PELUANG

A. Kaidah Pencacahan.Merupakan dasar untuk membahas masalah permutasi dan kombinasi yang

menjadi acuan dalam mempelajari peluang.

A.1. Aturan Perkalian.Adalah aturan pengisian tempat yang tersedia (filling slots) atau aturan dasar

membilang.

Contoh :

1. Dari SMA Petra 4 ke SMA Petra 5 ada 4 jalur utama, dari SMA Petra 5 ke

SMA Petra 2 ada 3 jalur utama, dari SMA Petra 2 ke SMA Petra 3 ada 2 jalur

utama, dari SMA Petra 3 ke SMA Petra 1 ada 3 jalur utama. Berapa banyaknya

rute berbeda yang dapat ditempuh dari :

a. SMA Petra 4 dengan melalui SMA Petra 5 menuju ke SMA Petra 2 ?

b. SMA Petra 5 ke SMA Petra 1 dengan menuju SMA Petra 3?

c. SMA Petra 4 ke SMA Petra 1 dengan menuju SMA Petra 5, dilanjutkan ke

SMA Petra 2, kemudian ke SMA Petra 3?

Penyelesaian :

a.

Jadi terdapat 12 rute berbeda dari SMA Petra 4 ke SMA Petra 2 melalui

SMA Petra 5.

b. .....................................................................................................................

.

Jika suatu peristiwa dapat dilakukan dengan n1 cara, diikuti dengan peristiwa

ke dua dengan n2 cara, dilanjutkan dengan peristiwa ke tiga dengan n3 cara,

dan seterusnya; maka semua peristiwa tersebut dapat dilakukan dengan : (n1

x n2 x n3 x ..........) cara.

.....................................................................................................................

.

c.

2. Seseorang mempunyai empat kemeja polos (k) dan 3 buah dasi (D) yang

semuanya berbeda warna. Berapa banyak variasi pemakaian kemeja dan dasi ?

Penyelesaian :

Cara 1 : Peristiwa I : Pemakaian kemeja polos, ada ......cara

Peristiwa II: Pemakaian dasi, ada......cara

Jadi variasi pemakaian kemeja polos dan dasi ada (.......... x..........) cara

= ........... cara

untuk memudahkan proses berfikir kita dapat memakai kotak-kotak

pengisian sebagai berikut :

Banyaknya variasi ada ( ..... x ......) cara.

Catatan : pengisian kotak-kotak/ tempat-tempat yang tersedia

biasanya disebut fillingslots.

3. Banyaknya siswa dalam suatu kelas ada 40 orang. Akan dipilih pengurus kelas

terdiri dari ketua (K), sekretaris (s) dan bendahara (B). Bila tidak boleh ada jabatan

rangkap, ada berapa susunan pengurus yang dapat di bentuk ?

Penyelesaian :

Untuk selanjutnya fillingslots di atas cukup ditulis secara sederhana sebagai berikut :

Jadi banyaknya susunan pengurus yang dpat

dibentuk ada .... x .... x.... = .... cara.

4. Dari angka-angka 2, 3, 5, 7, 8 akan dibuat bilangan yang terdiri dari 3 angka.

Dengan memakai filling slots, tentukan banyaknya bilangan yang dapat dibentuk

a). Jika bilangan-bilangan itu tidak boleh mempunyai angka yang sama.

b). Jika bilangan-bilangan itu boleh mempunyai angka yang sama.

Penyelesaian :

a.

Jadi banyaknya bilangan yang dapat

dibentuk ada =....................

b.

Jadi banyaknya bilangan yang dapat

dibentuk ada =......................

5. Dari angka-angka 1, 2, 3, 4, 5 akan dibuat bilangan yang terdiri dari 3 angka

berbeda. Tentukan banyaknya :

a. bilangan ganjil yang terbentuk b. bilangan genap yang terbentuk

c. bilangan yang nilainya lebih dari 300

Penyelesaian :

a). b). c).

Ada ........ bilangan Ada ........ bilangan Ada ....... bilangan

A.2. Notasi Faktorial

Definisi : n ! = 1 . 2 . 3. ..........(n-2) (n-1) . n atau

n ! = n . (n-1) (n-2) . ............. 3 . 2. 1

(n ! dibaca n faktorial), 0 ! = 1, 1 ! = 1

Contoh :

1. 5! = 5 . 4. 3. 2. 1 = 120

2. 2! 3! = .....

3. = .............

4. 6! = ...... ! 5 . 6

5. 20! = 19! ......

6. (n - 2)! = (n - 4) ! (......)(........)

7. (n + 1)! = (n - 3) ! ..................

Sederhanakan

8. =

9. =

10. =

B. Permutasi dan Kombinasi.

PERMUTASI KOMBINASI

Definisi :Pengaturan r unsur dari n unsur berbeda yang tersedia dengan memperhatikan susunan/ urutannya.

Ilustrasi :

Dianggap berbeda dan dihitung 2

Notasi : n Pr = dengan r n

Rumus :

Contoh kasus permutasi:

1. Dari 3 orang siswa yaitu Adi (A), Budi(B) dan Dian (D), akan dipilih 2 orang sebagai Ketua dan sekretaris. Tentukan banyak cara memilihnya.

Penyelesaian :

Susunannya adalah sebagai berikut:

Ketua A B A D B D

Sekretaris B A D A D B

Cara ke 1 2 3 4 5 6

Banyaknya susunan ada 6 cara.

Jika dihitung dengan rumus:

= = = 6

Jadi diperoleh 6 cara

Definisi :Pengaturan r unsur dari unsur berbeda yang tersedia tanpa memperhatikan susunan/ urutannya.

Ilustrasi :

Dianggap sama dan dihitung 1

Notasi : n Cr = dengan r n

Rumus :

Contoh kasus kombinasi:

1. Dari 3 orang siswa yaitu Adi , Budi dan Dian, akan dipilih 2 orang untuk mengikuti upacara. Tentukan banyak cara memilihnya.

Penyelesaian :

Susunannya adalah sebagai berikut:

Cara ke 1 : A&B = B&A

Cara ke 2 : B&D = D&B

Cara ke 3 : A&D = D&A

Banyaknya susunan ada 3 cara.

Jika dihitung dengan rumus:

= = = 3

Jadi diperoleh 3 cara.

n Pr = n Cr =

2. Dari angka-angka 1, 2, 3, 4, 5, 6 akan

dibuat bilangan terdiri dari 3 angka

berbeda. Tentukan banyaknya

bilangan yang terbentuk.

Penyelesaian :

Karena 245 beda dengan 425, berarti kasus permutasi.

....P.... =

=

= .........

Pengaturan n unsur yang berbeda dengan

memperhati kan urutannya dinotasikan

n P n

nPn =

=

= .........

2. Dalam suatu ulangan matematika siswa

diminta mengerjakan 3 soal dari 6 soal

yang diberikan. Tentukan banyaknya

cara memilih 3 soal dari 6 soal

tersebut.

Penyelesaian :

Karena 2,4,5 = 4,2,5, berarti kasus kombinasi.

....C.... =

=

= .........

Pengaturan n unsur yang berbeda tanpa

memperhatikan urutannya dinotasikan

n C n

nCn =

=

= .........

B.1. Permutasi Memuat Beberapa Unsur Sama.

Misalkan n unsur yang tersedia, terdapat k unsur yang masing-masing muncul, m1,

m2, m3, .............., mK, kali. Maka :

Banyaknya permutasi dari n unsur itu ditentukan dengan aturan :

Contoh :

Tentukan banyaknya susunan huruf yang dapat dibentuk dari kata :

a). BAB

Penyelesaian :

Dari 3 huruf yang ada,

A 1 huruf

B 2 huruf

Banyaknya susunan = 3P(1,2) = = .........

Susunan tersebut adalah ........, ........... dan ........

Catatan : jika kemunculannya hanya sekali, biasanya tidak ditulis. Jadi soal di atas

penyelesaiannya = =

b). PAPA

Penyelesaian :

Dari 4 huruf yang ada,

P ........ huruf

A ........ huruf

Banyaknya susunan = .... P (....,.....) = = .........

Susunan tersebut adalah : ..........................................

c). PARTISIPASI

Penyelesaian : ..............................................................................................................

..............................................................................................................

B.2. Permutasi Siklis ( Melingkar ).Misalkan tersedia n unsur yang berbeda,

nP (m1,m2,m3,...mk) =

banyak permutasi siklis dari n unsur itu ditentukan dengan aturan.

P siklis = (n – 1)!

Contoh:

NO. UNSURSUSUNAN YANG DAPAT

DIBENTUKBANYAK CARA

1. A, B (2-1)! = 1!

= 1 cara

2. A, B, C (3-1)!=2!

=2x1

=2 cara

3. A, B, C, D ( ... - ....)!=...!

B.3. Permutasi Berulang.

Misalkan tersedia n unsur yang berbeda, banyak permutasi berulang r unsur yang

diambil dari n unsur yang tersedia ( r n ) ditentukan dengan aturan.P berulang = n r

No UNSUR SUSUNAN YANG DAPAT

DIBENTUK

BANYAK

CARA

1. Dari 2 huruf AB akan

disusun 2 huruf

22 = 4

cara

2. Dari 3 huruf ABC

akan disusun 2 huruf

..........= ...

cara

3 Dari 4 huruf ABCD

akan disusun 2 huruf

Latihan 1.

1). Dari angka-angka 0 sampai dengan 9 akan dibuat bilangan yang terdiri dari 4

angka yang berbeda. Tentukan banyaknya :

a. Bilangan yang terbentuk

b. Bilangan ganjil yang terbentuk

c. Bilangan genap yang terbentuk

d. Bilangan kelipatan 5 yang terbentuk

e. Bilangan yang nilainya lebih dari 5000

f. Bilangan yang nilainya antara 3000 - 6000

2). Di suatu daerah, perusahaan telepon akan melakukan pembaharuan nomor

telp pelanggan, nomor telepon yang baru, akan memakai 6 digit. Tentukan

ada berapa nomor telepon yang dapat dibuat !

3). Ada 5 calon presiden, 6 calon wakil presiden dan 2 calon sekretaris. Dengan

berapa cara tiga posisi tersebut dapat diisi ?

4). Dalam berapa cara 6 buku dengan judul berbeda dapat ditempatkan berjajar

pada sebuah rak buku ?

5). Tujuh lukisan akan dipertunjukkan dalam sebuah pameran sehingga harus

dipasang di dinding dengan berjajar ke samping.

a). Berapa banyaknya pengaturan yang dapat dilakukan ?

b). Berapa banyaknya pengaturan yang dapat dilakukan, bila :

b.1. Ada sebuah lukisan tertentu yang harus diletakkan di posisi sentral.

b.2. Ada dua lukisan tertentu yang harus diletakkan di ujung kanan dan kiri.

6). Tentukan nilai dari :

a. b. c.

d. 2! + 4! e. (2 + 4)!

f. Kesimpulan apa yang dapat kamu peroleh dari soal e dan f ?

g. h. ( ) !

i. Kesimpulan apa yang dapat kamu peroleh dari soal g dan h ?

7). Sederhanakan :

a. b.

c. d.

e.

8).Tentukan n dari :

a. b.

c. d.

9. Hitunglah :

a) 6P4 d. 6C4

b) 2P3 e. 8C3

c) 2P7 f. 7C7

10. For what value of n is :

a) nP2 = 20 d) nP3 = 12. nC4

b) 7Pn = 210 e). 3 n + 1C3 = 7 . nC2

c) nC4 = n C6

11. Without using calculators, prove that 10C4 + 2. 210C3 + 10C2 = 12 C4

12. Dari 20 siswa akan dipilih 5 siswa sebagai duta sekolah. Berapa macam

susunan siswa yang dapat dipilih ?

13. Tentukan banyaknya bilangan yang terdiri dari 4 angka berbeda dari angka-

angka 3, 4, 5, 6, 7, dan 8.

14. In how many ways can 7 questions be selected out of 10 ?

15. Dengan berapa cara 8 orang dapat duduk di kursi yang berjajar ke samping bila

a). Hanya terdapat 6 kursi b). Terdapat 8 kursi

16. How many 4 – digit numbers can be formed with the 10 digits 0, 1, 2, 3, .......,9 if.

a). Repetitions are allowed b). Repetitions are not allowed

c). The last digit must be zero and repetitions are not allowed

17. Enam putra dan empat putri duduk berderet pada 10 kursi yang berdampingan

dalam sebuah pertemuan.

Dengan berapa cara mereka dapat duduk jika mereka duduk.

a). Secara sembarang b). Secara berkelompok

c). Secara berkelompok sehingga hanya sepasang putra-putri boleh duduk

berdampingan.

18. Ada berapa tali busur yang dapat dibuat dari 12 titik yang terletak pada

lingkaran?

19. Jika 40 orang saling berjabat tangan. Ada berapakah jabat tangan yang terjadi ?

20. Ada 2 orang China, 3 orang Jepang, 4 orang India, 14 kursi berdampingan.

dengan berapa cara mereka dapat duduk Jika :

a. Boleh duduk di sembarang kursi

b. Duduk secara berkelompok sehingga mereka duduk sebangsa.

21. Berapa banyak susunan huruf berbeda yang dapat dibentuk dari huruf-huruf

pada kata :

a. SUKACITA c. MATEMATIKA

b. STATISTIKA d. DAMAI SEJAHTERA

22. Five red marbles, two white marbles, and three blue marbles are arranged in a

row. If all the marbles of the same color are not distinguishable from each other,

how many different arrangements are possible ?

23. a. Berapa banyak susunan huruf yang dapat dibentuk dari huruf-huruf pada

kata “KOORDINATOR”

b. Berapa banyak susunan huruf yang dapat dibentuk dari huruf-huruf pada

kata “KOORDINATOR”

Bila :

b.1. Huruf O selalu berdampingan/ berkelompok

b.2. Diakhiri oleh kedua huruf R

b.3. Diakhiri oleh huruf K, N dan T yang berkelompok

b.4. Diawali dengan kelompok konsonan

b.5. Diawali dengan konsonan

b.6. Kumpulan O dan kumpulan R harus berdampingan.

24. Ayah, ibu dan 5 orang anaknya duduk mengelilingi meja bundar di sebuah

restoran. Dengan berapa cara mereka dapat duduk bersama jika :

a. Ayah dan ibu selalu duduk berdampingan

b. Ayah dan ibu selalu duduk terpisah

c. 3 orang anak yang sama harus duduk berdampingan

25. In how many ways can 3 men and 3 women be seated at around table if :

a. No restriction is imposed

b. Two particular women must not seat together

c. Each woman is to be between two men

26. Expand

a. (2x – 5y)3 b. (x + 2x2)3

c. (x2 - )4 d. (x2 + x + 1)2

e. (x + )4 (x - )4

C. Peluang Suatu Kejadian.C.1. Percobaan, Ruang Sampel dan Kejadian.

Ruang sampel (S) = Himpunan dari semua hasil yang mungkin pada suatu

percobaan.

Kejadian (K) = Himpunan bagian dari ruang sampel.

Contoh :

1. Sebuah mata uang dilempar sekali. Tentukan ruang sampelnya.

Jawab : S = { A, G}

Catatan : dari percobaan ini dapat muncul kejadian, diantaranya :

a. Kejadian muncul angka K = {A}

b. Kejadian muncul gambar K = {G}

c. Kejadian muncul gambar sekaligus angka dan gambar k = { },

mengapa ?

2. Sebuah dadu dilempar sekali. Tentukan ruang sampelnya.

Jawab : S { ........................}

Catatan : dari percobaan ini dapat muncul kejadian diantaranya.

d. Kejadian muncul mata ganjil K = {1, 3, 5}

e. Kejadian muncul mata genap K = {...............

f. Kejadian muncul mata prima K = {...............

g. Kejadian muncul mata kurang dari 5 K = {...............

3. Tiga mata uang dilempar sekaligus. Tentukan ruang sampel (s) dan

banyaknya anggota ruang sampel, tentukan pola banyaknya anggota kejadian

munculnya 2 angka.

Penyelesaian :

S = { ...........................................................................}

N (s) = .........

K = { ...........................................................................}

N (s) = .........

4. Dari seperangkat kartu bridge diambil 2 kartu sekaligus. Tentukan banyaknya

anggota ruang sampel. Tentukan pula banyaknya anggota kejadian terambil.

a. Keduanya kartu king c. Salah satunya kartu king

b. Keduanya kartu hitam

Penyelesaian : (Untuk percobaan ini kita tidak perlu mendata ruang sampelnya,

mengapa ? Tetapi kita perlu mengindentifikasi bahwa percobaan ini merupakan

kasus kombinasi ).

n (S) = 52C2 = ........

(demikian juga kita tidak perlu mendata kejadiaannya)

n (K) = .................

n (K) = .................

n K) = .................

C.2. Definisi Peluang.Peluang kejadian K adalah perbandingan banyaknya anggota kejadian dengan

banyaknya anggota ruang sampel.

P (K) =

Ket : P (K) = Peluang kejadian K

n (K) = banyaknya anggota kejadian K

n (S) = banyaknya anggota ruang sampel

Contoh :

1). Sebuah dadu dilempar sekali. Tentukan peluang muncul angka genap

Penyelesaian :

n (S) = ....

K = Kejadian muncul angka genap

= { ..............................}

n(K)= ..........

P(K) = = =

2). Dari seperangkat kartu bridge diambil 3 kartu. Tentukan peluang terambil

ketiganya kartu As.

Penyelesaian :

n (S) = .............= ..........

K = Kejadian terambil tiga kartu as

n(K)= .............. = .............. P(K) = = ...................

3). Dari suatu kelas yang terdiri dari 30 siswa dan diantaranya 4 siswa

berkacamata, akan dipilih 3 siswa.

Tentukan peluang terpilih :

a). Ketiganya siswa berkacamata

b). Satu siswa berkacamata

c). Paling sedikit 1 siswa berkacamata

Penyelesaian :

.........................................................................................................................

.........................................................................................................................

.........................................................................................................................

C.3. Nilai Peluang.Karena kejadian merupakan himpunan bagian dari ruang sampel maka

0 n (k) n (s) atau 0 1

Sehingga

Kejadian yang peluangnya 0 (nol) disebut kejadian mustahil

Contoh : peluang matahari terbit dari sebelah barat.

Kejadian yang peluangnya 1 (satu) disebut kejadian pasti

Contoh : peluang matahari terbit dari sebelah timur

C.4. Frekuensi Harapan ( Ekspektasi).Frekuensi harapan dari kejadian K dalam N kali percobaan :

Contoh : Jika sebuah dadu dilempar 60 kali berturut-turut. Tentukan frekuensi

harapan muncul mata kurang dari 5.

0 P (K) 1

F(K) = N. P(K)

Penyelesian :

n (S) = ...., N = .........

K = Kejadian muncul mata kurang dari 5

= { ..............................}

n(K)= ..........

P(K) = F(K) = P(K) . N = .........................

C.5. Peluang Komplemen Suatu Kejadian.Jika K, adalah kejadian pada ruang sampel S dan

K1 adalah komplemen dari K maka (kejadian tidak terjadinya k)

N (K1) = n (S) – n (k)

Sehingga P (K1) =

= -

= 1 -

Contoh :

1. Dalam suatu penelitian, diperoleh fakta bahwa dari 30 orang, ternyata 6

diantaranya terjangkit deman berdarah. Berapa peluang yang tidak

terjangkit demam berdarah ?

Penyelesaian :

n (S) = ....

n(K)= ..........

P(K) =

F (K1) = 1 – P(K)

= .....

= ....

2. Dari sebuah kotak yang berisi 4 bola hitam dan 6 bola putih diambil 3 bola

sekaligus secara acak.

P (K1) = 1 – P(K)

Tentukan peluang bahwa yang terambil paling sedikit satu bola putih :

Penyelesaian :

.........................................................................................................................

.........................................................................................................................

.........................................................................................................................

.........................................................................................................................

C.6. Kejadian Majemuk.1. Kejadian majemuk adalah kejadian yang memiliki lebih dari satu titik sampel.

2. Kejadian majemuk dapat dibentuk dari beberapa kejadian sederhana atau

TEKA-TEKI

Suatu minimarket yang baru saja di buka berusaha

menarik minat pembeli dengan iklan sebagai berikut:

Jika minimarket tersebut menyediakan 100 kupon.

Dan kamu belanja dengan nilai Rp. 260.000,00.

Tentukan peluang kamu mendapatkan :

a). Hadiah sepeda motor

b). Hadiah apapun

c). Tidak mendapat hadiah satupun

Periode Juli – Agustus 1996

MENANGKAN !!

1 hadiah sepeda motor

1 hadiah lemari es

1 hadiah handphone

* Untuk setiap belanjaan Rp. 25.000,00 dan kelipatannya, anda berhak mendapatkan 1 kupon).

dengan menggunakan beberapa macam operasi himpunan, antara lain

komplemen, gabungan (union), dan irisan ( interseksi).

3. Gabungan kejadian A dan B adalah himpunan semua kejadian yang terdapat pada

kejadian A atau pada kejadian B. (notasi : A B)

4. Irisan kejadian A dan B adalah himpunan semua kejadian yang terdapat pada

kejadian A sekaligus pada kejadian B (notasi: A B)

5. Rumus jumlah anggota himpunan : n (A B) = n (A) + n(B) – n(A B)

6. Rumus peluang kejadian A dan B : p (A B) = p (A) + p(B) – p(A B)

Contoh :Suatu RT terdiri atas 20 kepala keluarga, diantara mereka 10 orang memiliki

mobil, 14 orang memiliki sepeda motor, dan 2 orang tidak memiliki kendaraan.

Jika dipilih secara acak seorang kepala keluarga, berapa peluangnya bahwa dia

pemilik mobil atau sepeda motor dan berapakah peluangnya bahwa yang terpilih

adalah pemilik mobil sekaligus sepeda motor.

Jawab :

Jumlah kepala keluarga n (s) = 20

Jumlah kepala keluarga yang memiliki mobil = n (m) = 10

Jumlah kepala keluarga yang memiliki sepeda motor = n (N) = 14

Jumlah kepala keluarga yang tidak memiliki kendaraan : n ( )= 2a). n ( M N ) = n (s) – n ( ) =20 – 2 = 18

p ( M N ) = = = .............

Jadi peluang bahwa yang terpilih adalah pemilik mobil atau sepeda motor

adalah : ...

b). n (M N ) = n (m) – n (N) – n (M N)

= ......... + ........- ...............

p (M N ) = = = .............

Jadi peluang bahwa yang terpilih adalah pemilik mobil sekaligus sepeda motor

adalah : ...

7. Peluang gabungan dua kejadian yang saling lepas (mutually exclusive).Dua kejadian atau lebih disebut saling lepas, jika tidak terdapat irisan antara

kejadian-kejadian tersebut , maka A B = atau n(A B) = 0. Jadi P(A B)= 0.

Dengan demikian peluang gabungan dua kejadian itu : p (A B) = p(A) + p(B)

Contoh :

Dalam sebuah kantong terdapat 8 bola billiard, masing-masing memiliki nomor

berturutan. Sebuah bola diambil dari dalam kantong secara acak. Misalkan A

adalah kejadian bahwa yang terambil bola bernomor genap dan B adalah

kejadian terambil bola bernomor tujuh. Tentukan peluang kejadian A atau B !.

Jawab : A = { 2, 4, 6, 8} n(A B) = 0

B = { 7 } p(A B) = =

=

Jadi peluang kejadian A atau B = ....

8. Peluang kejadian yang saling bebas stokastik.

Dua kejadian atau lebih disebut kejadian yang saling bebas stokastik apabila

terjadi atau tidaknya kejadian yang satu tidak bergantung pada terjadi atau

tidaknya kejadian yang lain.

Contoh :

Pada percobaan pelemparan dua kubus bernomor, jika A adalah kejadian kubus

pertama muncul nomor 3 dan B adalah kejadian kubus kedua muncul nomor 5.

a). Tentukanlah peluang kejadian A dan B !

b). Apakah kejadian A dan B saling bebas stokastik !

Jawab :

a) A = {( 3,1) , (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6)} A B = {(3,5)}n(A B) = ........

B = {( 1,5) , (2,5), (3,5), (4,5), (5,5), (6,5)}

P(A B) = = = ..........

p(A) . p(B) = . = . = . = ..........

p(A B) .............. p(A) . p(B) Jadi kejadian A dan B saling....................

9. Peluang kejadian bersyarat.Misalkan A dan B adalah dua kejadian dalam ruang sampel S.

Kejadian A dengan syarat B adalah kejadian munculnya A yang ditentukan oleh

persyaratan kejadian B telah muncul (notasi : A/B)

Peluang munculnya kejadian A dengan persyaratan kejadian B telah muncul

adalah P(A/B) = , dengan P(B) >0

Contoh :

Dua dadu bernomor dilemparkan secara bersama-sama. Jika salah satu dadu

muncul nomor 1, tentukan peluang bahwa jumlah mata dadu yang muncul pada

kedua dadu adalah 4.

Jawab :

Misal A = Kejadian jumlah mata dadu yang muncul pada kedua dadu adalah 4.

A = {(1,3), (2,2), (3,1)}

B = Kejadian salah satu mata dadu muncul angka 1

B = {(1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (20,1), (3,1), (4,1), (5,1), (6,1)} -

n(B) = 10

A B = {(1,3), (3,1)} -- n(A B) = 2

p( A/B) = = = ...........

10. Aturan perkalian untuk kejadian bersyarat.Jika kejadian A dan kejadian B adalah dua kejadian bersyarat, maka peluang

terjadinya A dan B adalah : p (B A) = p(B) . p(A/B)

p (A B) = p(A) . p(B/A)

Contoh :

Sebuah kotak berisi 5 kelereng berwarna merah dan 3 kelereng berwarna putih.

Dua kelereng diambil secara acak berturut-turut dari kotak tersebut. Tentukan

peluang kedua kelereng yang terambil berwarna merah jika :

a. Pengambilan kelereng dilakukan dengan pengembalian

b. Pengambilan kelereng dilakukan tanpa pengembalian.

Jawab :

Misal:

A = kejadian pengambilan pertama diperoleh kelereng berwarna merah.

B = kejadian pengambilan kedua diperoleh kelereng berwarna merah.

P(A B) = peluang diperoleh dua kelereng berwarna merah adalah

a. p(A) = ; p (B/A) = p(B) =

p(A B) = p(A) . p(B) = . =

b. p(A) = ; p (B/A) =

p(A B) = p(A) . p(B/A) = . =

D. Sebaran PeluangContoh : Pada pelemparan dua buah dadu, x menyatakan jumlah angka yang

muncul pada pelemparan dua buah dadu. Hitunglah :

a) P(x = 5) b). P (x 10) c). P(X>9) d). P(7<x 10)

Kubus IIKubus I 1 2 3 4 5 61

2

3

4

5

6

(1,1)

(2,1)

(3,1)

(4,1)

(5,1)

(6,1)

(1,2)

(2,2)

(3,2)

(4,2)

(5,2)

(6,2)

(1,3)

(2,3)

(3,3)

(4,3)

(5,3)

(6,3)

(1,4)

(2,4)

(3,4)

(4,4)

(5,4)

(6,4)

(1,5)

(2,5)

(3,5)

(4,5)

(5,5)

(6,5)

(1,6)

(2,6)

(3,6)

(4,6)

(5,6)

(6,6)

Nilai x adalah: x = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,12.

Maka:

x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

P(x) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36

Ini disebut Sebaran/Distribusi Peluang, yaitu fungsi dari x ke P(x), dimana

x adalah suatu kejadian dan P(x) adalah peluang dari kejadian tersebut.

Jika P(x) dijumlahkan hasilnya selalu 1.

a). P( x = 5) = 4/36

b). P( x 10) = 1 – (p(x = 11) + p(x = 12)) = 1 – ( + ) =

c). P( x > 9) = p(x = 10) + p(x = 11) + p(x=12) = + + = =

d). P(7<x 10) = p(x = 8) + p(x = 9) + p(x=10) = = =

D.1.Sebaran Binomial.Sebaran Binomial = Distribusi Binomial dinyatakan dengan rumus berikut :

P (x) = C (n,x) . px (1 – p)n-x, untuk n = 0 , 1, 2, ...., n

Dengan : p sebagai parameter dan 0 p 1

p = peluang sukses

n = banyak percobaan

x = muncul sukses

n-x = muncul gagal

Contoh :

Tentukan peluang munculnya angka prima sebanyak 4 kali pada pengetosan 10

dadu.

Jawab :

S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } -- n (s) = 6

A = Himpunan angka prima yang muncul pada pengetasan sebuah kubus

berangka = { 2, 3, 5} n (A) = 3

P = = = ; n = 10

P ( x = 4) =

=

=

= . 2-10 =

D.2.Sebaran Seragam (Uniform).Sebaran seragam adalah sebaran peluang yang setiap nilai perubah acaknya

memiliki peluang yang sama untuk terjadi. Fungsi peluang dari sebaran seragam

adalah :

f(x) = p (x = ) = , untuk = 1, 2, 3, .........., n

atau

f( ,k) = , untuk = 1, 2, 3, .........., k

Catatan :

f(x) = P(x = ) adalah notasi fungsi peluang

f( ,k) adalah untuk menunjukkan bahwa sebaran seragam bergantung pada

parameter k.

Contoh :

Pada percobaan pelemparan sebuah dadu sebanyak 1 kali, perubah acak x dapat

mencapai nilai = 1, 2, 3, 4, 5, 6

Carilah :

a). Sebaran peluangnya

b). Nilai harapan perubah acaknya.

Jawab :

a). Sebaran peluang itu merupakan sebaran seragam.

Fungsi peluangnya = f(x ; 6) = , untuk x = 1, 2, 3, 4, 5, 6

b). = E(x)

= 1 ( ) + 2. ( ) + 3. ( ) + 4 . ( ) + 5. ( )+ 6 . ( )

= ( ) . (1+2+3+4+5+6)

=

= 3

D.3. Rata-rata atau Nilai harapan suatu perubah acakJika x1, x2, x3, ........, xn adalah nilai-nilai dari perubah acak x dan peluangnya

berturut-turut P1, P2, P3, ........., Pn, maka nilai harapan ditulis atau E(x) adalah :

= E(x) = xk . PK = x1 . P1 + x2 . P2 + ......+ xn . Pn

Contoh : Pada pengetosan sebuah mata uang 3 kali, x menyatakan banyaknya

muncul gambar. Tentukan nilai harapan perubah acak x.

Jawab :

Perubah acak x dengan nilai x = 0, 1, 2, 3

X 0 1 2 3

P(x = )

= 0 . + 1. + 2. + 3. = =

Latihan 2.1. Sebuah kartu diambil dari seperangkat kartu bridge.

Tentukan peluang yang terambil :

a. Kartu As

b. Kartu Merah

c. Bukan Kartu King.

2. Dalam kantong terdapat 5 kelereng merah, 6 kelereng putih dan 4 kelereng biru.

Diambil 3 kelereng sekaligus. Tentukan peluang terambil.

a). Ketiganya warna biru

b). Dua kelereng merah

c). Satu merah, 1 putih, 1 biru

d). Paling sedikit 1 merah

3. Dari seperangkat kartu bridge diambil sebuah kartu. Percobaan ini dilakukan

sampai 50x. Tentukan frekuensi harapan terambil kartu bernomor dua.

4. Suatu kelas yang terdiri dari 21 siswa putra dan 19 siswa putri akan mengadakan

pemilihan ketua kelas . Berapa peluang terpilih :

a. Siswa putri b. Siswa putra

5. Dalam sebuah ulangan, siswa di haruskan mengerjakan 8 nomor dari 10 nomor

yang ada. Jika nomor 1 dan 3 adalah soal yang wajib dikerjakan, tentukan

peluang siswa mengerjakan soal No. 6

6. Peluang A dapat menyelesaikan ulangan adalah 0,7. Tentukan peluang A tidak

dapat menyelesaikan ulangan.

7. Dari 100 orang siswa, 30 orang mengambil kursus Bahasa Inggris, 20 orang

mengambil kursus bahasa perancis, dan 10 orang mengambil kedua kursus itu.

Jika seorang siswa dipilih secara acak, tentukan peluang bahwa siswa itu

mengambil kursus bahwa Inggris dan bahasa Perancis.

8. Selama 1 minggu Metro TV memiliki 24 macam maka acara, dengan 10 mata

acara berisi materi pendidikan, 12 mata acara yang cukup menarik untuk

dinikmati, 5 mata acara berisi pendidikan dan sekaligus cukup menarik untuk

dinikmati. Jika kita diminta memilih salah satu program untuk ditonton,

berapakah peluang kita akan mendapatkan mata acara.

a). Yang tidak menarik untuk dinikmati

b). Yang berisikan pendidikan atau cukup menarik untuk dinikmati atau kedua-

duanya.

9. Hasil survei yang dilaksanakan di sebuah kecamatan tentang ke pemilikan

rumah dan sepeda motor menghasilkan data sebagai berikut :

10% penduduk tidak memiliki rumah

40% penduduk memiliki sepeda rumah

5% tidak memiliki rumah tetapi memiliki sepeda motor

Jika dari kecamatan itu dipilih satu orang secara acak, berapa peluang orang itu

memiliki rumah tetapi tidak memiliki sepeda motor ?

10. Sebuah perusahaan elektronik mengambil sampel 1000 kepala rumah tangga.

Kemudian responder ditanya tentang apakah mereka merencanakan untuk

membeli mobil atau motor.

Tabel berikut merupakan hasil survei terhadap 1000 responden

Membeli mobil

Membeli motor

TotalYa Tidak

Ya

Tidak

60

100

240

600

300

700

a). Berapa probabilitas seseorang membeli mobil atau motor ?

b). Berapa probabilitas seseorang membeli mobil atau tidak membeli motor ?

c). Berapa probabilitas seseorang tidak membeli mobil atau membeli motor ?

d). Berapa probabilitas seseorang tidak membeli keduanya ?

11. Diketahui P(A) = dan p(A B) = .

Carilah : a) p(A) b. p(A/B) c. p(B/A) d. p(BC/A)

12. Peluang seorang laki-laki hidup 25 tahun dari sekarang adalah dan peluang

istrinya akan hidup 25 tahun dari sekarang adalah . Tentukan peluang dari

sekarang:

a). Keduanya hidup

b). Paling sedikit satu dari mereka masih hidup

c). Hanya laki-laki yang hidup

13. Dalam sebuah kotak ada 9 bola bernomor 1 sampai dengan 9. Apabila diambil 2

buah bola secara acak. Tentukan probabilitas p bahwa :

a). Keduanya genap

b). Satu ganjil dan satu genap

Latihan 3.1. Pada pengetosan uang logam 4 kali, perubah acak x menunjukkan banyaknya

sisi angka yang muncul dan x menunjukkan peluang nilai perubah acak.

Tentukan :

a . P(x=0) b. P (x 2) c. P(X<3) d. P (1<X 3)

2. Dari 16 buah disket, terkena virus 20%, carilah peluang bahwa :

a). Sebuah disket terkena virus

b). Dua buah disket terkena virus

c). Paling banyak dua buah disket terkena virus

3. Dari 10 orang calon pelamar kerja yang berpeluang sama akan dipilih 3 orang

secara acak, carilah sebaran seragamnya !

4. Sebuah koin yang seimbang dilempar 4 kali, x menyatakan munculnya angka.

Carilah nilai harapan perubah acak x!

5. Seorang pemanah memiliki ketepatan membidik tepat mengenai sasaran sebesr

90%. Jika kepadanya diberikan 6 kali kesempatan menembak, hitunglah

probabilitas.

a). Bahwa 4 kali bidikan akan tepat mengenai sasaran

b). Paling banyak 1 kali bidikan tepat mengenai sasaran

c). Paling sedikit 5 kali bidikan tepat mengenai sasaran

6. Dari suatu penelitian peluang seorang siswa SMP yang melanjutkan ke SMA

adalah 0,80. Tentukan peluang bahwa 3 dari 10 siswa SMP melanjutkan ke SMA

!

7. Dalam suatu pertandingan, seorang pemain bola memiliki peluang memasukkan

bola sebesar 0,75. Tentukan peluang bahwa dalam 8 kali pertandingan dapat

memasukkan bola sebanyak 3x.

8. Seorang petugas asuransi menjual polis asuransi jiwa kepada seorang.

Diasumsikan bahwa umur dan kondisi kesehatan kelima orang tersebut sama,

dan setiap orang memiliki peluang untuk hidup 30 tahun lagi.

Tentukan bahwa peluang dalam waktu 30 tahun :

a). Ke delapan orang tersebut masih hidup semua

b). Paling sedikit ada 4 orang yang masih hidup

9. Dari 10 orang peserta suatu tes diperkirakan peluang mereka masing-masing

akan lulus sebesar 0,6. Carilah peluang bahwa :

a). Paling sedikit 3 orang lulus

b). Ada 2 orang yang tidak lulus

10. A machine produces a total of 12,000 bolts a day which are on the average 3%

defective. Find the probability that out of 600 bolt chosen at random 12 will be

defective !