qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmrtyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg

Permutasi dan Kombinasi

11/8/2010

Shinichi Wijaya

Kombinasi dan permutasi

Kombinasi adalah menggabungkan beberapa objek dari suatu grup

tanpa memperhatikan urutan. Di dalam kombinasi, urutan tidak diperhatikan.

{1,2,3} adalah sama dengan {2,3,1} dan {3,1,2}.

Contoh: Seorang anak hanya diperbolehkan mengambil dua buah amplop dari tiga

buah amplop yang disediakan yaitu amplop A, amplop B dan amplop C. Tentukan

ada berapa banyak kombinasi untuk mengambil dua buah amplop dari tiga buah

amplop yang disediakan?

Solusi: Ada 3 kombinasi yaitu; A-B, A-C dan B-C.

Sedangkan permutasi adalah menggabungkan beberapa objek dari

suatu grup dengan memperhatikan urutan. Di dalam permutasi, urutan diperhatikan.

{1,2,3} tidak sama dengan {2,3,1} dan {3,1,2}

Contoh: Ada sebuah kotak berisi 3 bola masing-masing berwarna merah, hijau dan

biru. Jika seorang anak ditugaskan untuk mengambil 2 bola secara acak dan urutan

pengambilan diperhatikan, ada berapa permutasi yang terjadi?

Solusi: Ada 6 permutasi yaitu; M-H, M-B, H-M, H-B, B-M, B-H.

Salah satu aplikasi kombinasi dan permutasi adalah digunakan untuk

mencari probabilitas suatu kejadian.

Rumus

a) Permutasi pengulangan

Jika urutan diperhatikan dan suatu objek dapat dipilih lebih dari sekali

maka jumlah permutasinya adalah:

di mana n adalah banyaknya objek yang dapat dipilih dan r adalah jumlah yang harus

dipilih.

Sebagai contoh, jika kamu memiliki huruf A, B, C, dan D dan kamu ingin

mencari tahu ada berapa cara untuk menyusunnya dalam suatu grup yang berisi tiga

angka maka kamu akan menemukan bahwa ada 43 atau 64 cara untuk menyusunnya.

Beberapa cara untuk menyusunnya adalah: AAA, BBB, CCC, DDD, ABB, CBB,

DBB, dst.

b) Permutasi tanpa pengulangan

Jika urutan diperhatikan dan setiap objek yang tersedia hanya bisa dipilih

atau dipakai sekali maka jumlah permutasi yang ada adalah:

di mana n adalah jumlah objek yang dapat kamu pilih, r adalah jumlah yang harus

dipilih dan ! adalah simbol faktorial.

Sebagai contoh, ada sebuah pemungutan suara dalam suatu organisasi.

Kandidat yang bisa dipilih ada lima orang. Yang mendapat suara terbanyak akan

diangkat menjadi ketua organisasi tersebut. Yang mendapat suara kedua terbanyak

akan diangkat menjadi wakil ketua. Dan yang mendapat suara ketiga terbanyak akan

menjadi sekretaris. Ada berapa banyak hasil pemungutan suara yang mungkin

terjadi ? Dengan menggunakan rumus di atas maka ada 5!/(5-3)! = 60 permutasi.

Umpamakan jika n = r (yang menandakan bahwa jumlah objek yang bisa dipilih

sama dengan jumlah yang harus dipilih) maka rumusnya menjadi:

karena 0! = 1! = 1

Sebagai contoh, ada lima kotak kosong yang tersedia. Kelima kotak kosong

itu harus diisi (tidak boleh ada yang kosong). Kelima kotak kosong itu hanya boleh

diisi dengan angka 1,2,3,4,5. Ada berapa banyak cara untuk mengisi kotak kosong ?

Dengan menggunakan rumus n! maka ada 5! = 120 permutasi.

Kombinasi tanpa pengulangan

Ketika urutan tidak diperhatikan akan tetapi setiap objek yang ada hanya

bisa dipilih sekali maka jumlah kombinasi yang ada adalah:

Di mana n adalah jumlah objek yang bisa dipilih dan r adalah jumlah yang harus

dipilih.

Sebagai contoh, kamu mempunyai 5 pensil warna dengan warna yang

berbeda yaitu; merah, kuning, hijau, biru dan ungu. Kamu ingin membawanya ke

sekolah. Tapi kamu hanya boleh membawa dua pensil warna. Ada berapa banyak

cara untuk mengkombinasikan pensil warna yang ada? Dengan menggunakan rumus

di atas maka ada 5!/(5-2)!(2)! = 10 kombinasi.

Kombinasi pengulangan

Jika urutan tidak diperhatikan dan objek bisa dipilih lebih dari sekali, maka

jumlah kombinasi yang ada adalah:

Di mana n adalah jumlah objek yang bisa dipilih dan r adalah jumlah yang harus

dipilih. Sebagai contoh jika kamu pergi ke sebuah toko donat. Toko donut itu

menyediakan 10 jenis donat berbeda. Kamu ingin membeli tiga donat. Maka

kombinasi yang dihasilkan adalah (10+3-1)!/3!(10-1)! = 220 kombinasi.

Untuk lebih jelasnya, maka akan d bahas satu per satu….(^_^)

Permutasi

Permutasi adalah penyusunan kembali suatu kumpulan objek dalam urutan

yang berbeda dari urutan yang semula. Sebagai contoh, kata-kata dalam kalimat

sebelumnya dapat disusun kembali sebagai "adalah Permutasi suatu urutan yang

berbeda urutan yang kumpulan semula objek penyusunan kembali dalam dari."

Proses mengembalikan objek-objek tersebut pada urutan yang baku (sesuai

ketentuan) disebut sorting.

Pengertian

Jika terdapat suatu untai abjad abcd, maka untai itu dapat dituliskan

kembali dengan urutan yang berbeda: acbd, dacb, dan seterusnya. Selengkapnya ada

24 cara menuliskan keempat huruf tersebut dalam urutan yang berbeda satu sama

lain.

abcd abdc acbd acdb adbc adcb

bacd badc bcad bcda bdac bdca

cabd cadb cbad cbda cdab cdba

dabc dacb dbac dbca dcab dcba

Setiap untai baru yang tertulis mengandung unsur-unsur yang sama dengan

untai semula abcd, hanya saja ditulis dengan urutan yang berbeda. Maka setiap untai

baru yang memiliki urutan berbeda dari untai semula ini disebut dengan permutasi

dari abcd.

Menghitung Banyaknya Permutasi yang Mungkin

Untuk membuat permutasi dari abcd, dapat diandaikan bahwa terdapat

empat kartu bertuliskan masing-masing huruf, yang hendak kita susun kembali. Juga

terdapat 4 kotak kosong yang hendak kita isi dengan masing-masing kartu:

Kartu Kotak kosong

----------- ---------------

a b c d [ ] [ ] [ ] [ ]

Maka kita dapat mengisi setiap kotak dengan kartu. Tentunya setiap kartu

yang telah dipakai tidak dapat dipakai di dua tempat sekaligus. Prosesnya

digambarkan sebagai berikut:

Di kotak pertama, kita memiliki 4 pilihan kartu untuk dimasukkan.

Kartu Kotak

----------- ---------------

a b c d [ ] [ ] [ ] [ ]

^ 4 pilihan: a, b, c, d

Sekarang, kondisi kartunya tinggal 3, maka kita tinggal memiliki 3 pilihan

kartu untuk dimasukkan di kotak kedua.

Kartu Kotak

----------- ---------------

a * c d [b] [ ] [ ] [ ]

^ 3 pilihan: a, c, d

Karena dua kartu telah dipakai, maka untuk kotak ketiga, kita tinggal

memiliki dua pilihan.

Kartu Kotak

----------- ---------------

a * c * [b] [d] [ ] [ ]

^ 2 pilihan: a, c

Kotak terakhir, kita hanya memiliki sebuah pilihan.

Kartu Kotak

----------- ---------------

a * * * [b] [d] [c] [ ]

^ 1 pilihan: a

Kondisi terakhir semua kotak sudah terisi.

Kartu Kotak

----------- ---------------

* * * * [b] [d] [c] [a]

Di setiap langkah, kita memiliki sejumlah pilihan yang semakin berkurang.

Maka banyaknya semua kemungkinan permutasi adalah 4×3×2×1 = 24 buah. Jika

banyaknya kartu 5, dengan cara yang sama dapat diperoleh ada 5×4×3×2×1 = 120

kemungkinan. Maka jika digeneralisasikan, banyaknya permutasi dari n unsur adalah

sebanyak n!.

Definisi Formal

Bilangan Inversi

Setiap permutasi dapat kita kaitkan dengan barisan bilangan yang disebut

sebagai barisan bilangan inversi. Setiap unsur dalam permutasi dikaitkan dengan

sebuah bilangan yang menunjukkan banyaknya unsur setelah unsur tersebut, yang

posisinya salah. Sebagai contoh, salah satu permutasi dari untai abcdefg adalah

dacfgeb. Maka untuk setiap unsur dacfgeb dapat dibuat bilangan inversinya:

Posisi Unsur Bilangan

0 d 3Ada 3 huruf setelah posisi 0, yang seharusnya berada sebelum d,

yaitu a, b, dan c.

1 a 0Tidak ada huruf setelah posisi 1, yang seharusnya berada

sebelum a.

2 c 1Ada 1 huruf setelah posisi 2, yang seharusnya berada sebelum c,

yaitu b.

3 f 2Ada 2 huruf setelah posisi 3, yang seharusnya berada sebelum f,

yaitu e, dan b.

4 g 2Ada 2 huruf setelah posisi 4, yang seharusnya berada sebelum g,

yaitu e, dan b.

5 e 1Ada 1 huruf setelah posisi 5, yang seharusnya berada sebelum g,

yaitu b.

6 b 0 Tidak ada huruf setelah b.

Maka barisan bilangan inversi dari dacfgeb adalah 3, 0, 1, 2, 2, 1, 0.

Faktoradik

Barisan bilangan inversi dapat dimengerti sebagai sebuah sistem bilangan,

yang setiap digitnya memiliki sifat:

dan

Sistem bilangan ini disebut sebagai faktoradik. Masing-masing faktoradik

dapat diubah maupun dibentuk dari bilangan desimal. Ini berguna untuk dapat

menghasilkan permutasi ke-k dari sebuah untai.

Membangkitkan Permutasi

Permasalahan umum yang terdapat seputar membangkitkan permutasi

adalah:

Diberikan sebuah untai S, tentukan:

Semua permutasi dari S

Semua permutasi n-elemen dari S

Permutasi berikutnya setelah S

Permutasi ke-k dari s sesuai urutan leksikografik (atau aturan lainnya)

Jenis-jenis Permutasi Lainnya

a) Permutasi-k dari n benda

Terkadang kita hanya ingin menyusun ulang sejumlah elemen saja, tidak

semuanya. Permutasi ini disebut permutasi-k dari n benda. Pada contoh untai abcd,

maka permutasi-2 dari abcd (yang semuanya ada 4 unsur) adalah sebanyak 12:

ab ac ad

ba bc bd

ca cb cd

da db dc

Sedangkan permutasi-3 dari untai yang sama adalah sebanyak 24:

abc abd acb acd adb adc

bac bca bad bda bcd bdc

cab cba cad cda cbd cdb

dab dba dac dca dbc dcb

Banyaknya kemungkinan permutasi seperti ini adalah

b) Permutasi dengan elemen yang identik

Terkadang tidak semua unsur dalam permutasi dapat dibedakan. Unsur-

unsur ini adalah unsur-unsur yang identik atau sama secara kualitas. Suatu untai aabc

terdiri dari 4 macam unsur, yaitu a, b, dan c tetapi unsur a muncul sebanyak dua kali.

Kedua a tersebut identik. Permutasi dari aabc adalah berjumlah 12:

aabc aacb abac abca

acab acba baac baca

bcaa caab caba cbaa

Ini bisa dimengerti sebagai permutasi biasa dengan kedua unsur a dibedakan, yaitu a0

dan a1:

a0a1bc a1a0bc = aabc

a0a1cb a1a0cb = aacb

a0ba1c a1ba0c = abac

a0bca1 a1bca0 = abca

a0ca1b a1ca0b = acab

a0cba1 a1cba0 = acba

ba0a1c ba1a0c = baac

ba0ca1 ba1ca0 = baca

bca0a1 bca1a0 = bcaa

ca0a1b ca1a0b = caab

ca0ba1 ca1ba0 = caba

cba0a1 cba1a0 = cbaa

Total permutasi dari untai aabc adalah sebanyak 4! = 24. Tetapi total

permutasi ini juga mencakup posisi a0 dan a1 yang bertukar-tukar, yang jumlahnya

adalah 2! (karena a terdiri dari 2 unsur: a0 dan a1). Dengan demikian jika dianggap a0

= a1 maka banyak permutasinya menjadi 4! dibagi dengan 2!. Cara menghitung ini

dapat digeneralisasikan:

Untuk untai S sepanjang n yang mengandung satu macam unsur identik sebanyak k:

Lebih general lagi, jika panjang untai adalah n, mengandung m macam unsur yang

masing-masing adalah sebanyak k1, k2, ..., km, maka:

atau

Sebagai contoh, untai aaaaabbcccdddddd terdiri dari 5 a, 2 b, 3 c, dan 6 d, maka

banyaknya permutasi yang dapat dibentuk:

Dalam permutasi biasa, misalnya abcd, setiap unsur hanya muncul satu kali, sehingga

Unsur yang identik tersebut tidak perlu benar-benar identik, tetapi bisa

merupakan unsur yang berbeda, tetapi ada kualitas tertentu yang kita anggap sama

dari kedua unsur tersebut. Sebagai contoh, huruf A dan huruf a bisa dianggap identik

untuk keperluan tertentu.

c) Permutasi siklis

Permutasi siklis menganggap elemen disusun secara melingkar.

h a

g b

f c

e d

Pada susunan di atas, kita dapat membaca untai tersebut sebagai salah satu

dari untai-untai berikut:

abcdefgh

bcdefgha

cdefghab

defghabc

efghabcd

fghabcde

ghabcdef

habcdefg

Cara membaca untai abcdefgh dalam susunan melingkar tersebut

bermacam-macam, maka setiap macam cara kita anggap identik satu sama lain.

Permutasi siklis dapat dihitung dengan menganggap bahwa satu elemen harus ditulis

sebagai awal untai.

a bcdefgh

--------

^ bagian yang dipermutasikan

Dengan menganggap panjang untai (atau banyaknya elemen) adalah n, dan

karena elemen awal tidak boleh diubah-ubah posisinya, maka banyaknya elemen

yang dapat berubah-ubah posisinya adalah n-1. Dengan demikian kita cukup

mempermutasikan elemen yang dapat berubah-ubah posisi saja, yaitu sebanyak (n −

1)!.

Kombinasi

Istilah kombinasi dalam matematika kombinatorik berarti himpunan objek

yang tidak mementingkan urutan. Kombinasi berbeda dengan permutasi yang

mementingkan urutan objek.

Definisi

Kombinasi C dari sebuah himpunan S adalah himpunan bagian dari S.

Sebagai contoh, misalkan terdapat suatu kumpulan buah: apel, jeruk,

mangga, pisang. Maka {apel, jeruk} dan {jeruk, mangga, pisang} adalah merupakan

kombinasi dari kumpulan tersebut. Seluruh himpunan bagian yang mungkin dibentuk

dari kumpulan buah tersebut adalah:

tidak ada buah apa pun

satu buah:

o apel

o jeruk

o mangga

o pisang

dua buah:

o apel, jeruk

o apel, mangga

o apel, pisang

o jeruk, mangga

o jeruk, pisang

o mangga, pisang

tiga buah:

o apel, jeruk, mangga

o apel, jeruk, pisang

o apel, mangga, pisang

o jeruk, mangga, pisang

empat buah:

o apel, jeruk, mangga, pisang

Kombinasi r dari sebuah himpunan S, berarti dari himpunan S diambil

elemen sebanyak r untuk dijadikan sebuah himpunan baru. Dalam hal kumpulan buah

di atas, himpunan {apel, jeruk, pisang} adalah sebuah kombinasi 3 dari S, sedangkan

{jeruk, pisang} adalah sebuah kombinasi 2 dari S.

Banyaknya kombinasi r dari sebuah himpunan berisi n elemen dapat

dihitung tanpa harus memperhatikan isi dari himpunan tersebut. Besarnya dinyatakan

dengan fungsi:

Fungsi dalam banyak literatur dinyatakan juga dengan notasi .

Sebagai contoh, tanpa harus mengetahui elemen himpunan {apel, jeruk,

mangga, pisang}, banyaknya kombinasi 3 dari himpunan tersebut dapat dihitung:

Sifat rekursif dari Kombinasi

Kombinasi dapat dibentuk dari dua kombinasi sebelumnya. Ini

mengakibatkan banyaknya kombinasi juga bersifat rekursif:

Hubungan dengan Permutasi

Dari himpunan {apel, jeruk, mangga, pisang} dapat diambil permutasi 3

unsur, yang dapat didaftar sebagai berikut:

apel jeruk

mangga

apel mangga

jeruk

jeruk apel

mangga

jeruk mangga

apel

mangga apel

jeruk

mangga jeruk

apel

apel jeruk

pisang

apel pisang

jeruk

jeruk apel

pisang

jeruk pisang

apel

pisang apel

jeruk

pisang jeruk

apel

apel mangga

pisang

apel pisang

mangga

mangga apel

pisang

mangga

pisang apel

pisang apel

mangga

pisang

mangga apel

jeruk mangga

pisang

jeruk pisang

mangga

mangga jeruk

pisang

mangga

pisang jeruk

pisang jeruk

mangga

pisang

mangga jeruk

Perhatikan bahwa dalam susunan ini setiap kolom merupakan permutasi

dari kolom pertama. Karena dalam kombinasi urutan tidak dipentingkan, maka cukup

salah satu kolom saja yang diambil. Jika kita mengambil kolom pertama saja, maka

kita mendapatkan kombinasi 3 dari keempat buah tersebut adalah:

apel, jeruk, mangga

apel, jeruk, pisang

apel, mangga, pisang

jeruk, mangga, pisang

Penyusunan tabel seperti di atas akan menghasilkan atau 24 permutasi,

dengan 3! kolom, karena untuk setiap baris terdapat 3! permutasi dari kolom pertama.

Dengan demikian, jumlah baris dari tabel akan sebesar:

Aturan seperti ini dapat digeneralisasikan sehingga untuk setiap n unsur

yang dikombinasikan r unsur, berlaku:

Yang dapat dengan mudah dibuktikan:

Hubungan dengan Permutasi Berunsur Identik

Kombinasi juga berhubungan dengan permutasi dengan unsur identik.

Kombinasi dari sebuah himpunan S dapat dimengerti sebagai pemilihan unsur-unsur

himpunan S. Unsur yang terpilih kita tandai dengan 1, dan yang tidak terpilih kita

tandai dengan 0. Dengan demikian dari himpunan {apel, jeruk, mangga, pisang}

tersebut, kita dapat mendaftarkan kombinasi-3 nya seperti ini:

Kombinasi apel jeruk mangga pisang

apel, jeruk, mangga 1 1 1 0

apel, jeruk, pisang 1 1 0 1

apel, mangga, pisang 1 0 1 1

jeruk, mangga, pisang 0 1 1 1

Dengan demikian, banyaknya kombinasi 3 unsur dari himpunan S yang

berisi 4 benda setara dengan banyaknya permutasi terhadap untai 1110, yaitu:

Karena untai 1110 memiliki 4 unsur, tetapi ada 3 unsur identik, yaitu 1.

Maka total permutasinya adalah 4! dibagi dengan 3!. Kombinasi r dari n unsur, sesuai

dengan pengertian itu, selalu setara dengan permutasi yang terdiri dari r angka 1 dan

n - r angka 0. Maka permutasinya menjadi:

Yang sesuai dengan rumus kita di awal, untuk menghitung .

Koefisien Binomial

Suatu binomial (a + b)n yang dijabarkan dalam bentuk jumlahan, akan

membangkitkan koefisien-koefisien yang merupakan bilangan kombinasi.

Dengan penjabaran seperti di atas, maka banyaknya kombinasi r dari n

unsur bisa didapat dari setiap suku:

Daftar berikut menunjukkan beberapa penjabaran binomial:

1. (a + b)0 = 1a0b0

2. (a + b)1 = 1a1b0 + 1a0b1

3. (a + b)2 = 1a2b0 + 2a1b1 + 1a0b2

4. (a + b)3 = 1a3b0 + 3a2b1 + 3a1b2 + 1a0b3

5. (a + b)4 = 1a4b0 + 4a3b1 + 6a2b2 + 4a1b3 + 1a0b4

6. (a + b)5 = 1a5b0 + 5a4b1 + 10a3b2 + 10a2b3 + 5a1b4 + 1a0b5

7. (a + b)6 = 1a6b0 + 6a5b1 + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6a1b5 + 1a0b6

Segitiga Pascal

Dengan menuliskan hanya koefisiennya saja, dari penjabaran binomial

dapat kita peroleh:

1.

2.

3.

4.

Jika diteruskan, daftar koefisien ini akan membentuk susunan yang disebut sebagai

Segitiga Pascal.

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1