1

Hampiran Numerik Solusi Persamaan Hampiran Numerik Solusi Persamaan Differensial Biasa (PDB) Orde duaDifferensial Biasa (PDB) Orde dua

Pertemuan 12

Matakuliah : K0342 / Metode Numerik I

Tahun : 2006

2

PERTEMUAN-PERTEMUAN-12 12

Hampiran Numerik Solusi Persamaan Hampiran Numerik Solusi Persamaan Differensial Biasa Differensial Biasa (PDB)(PDB)

Orde duaOrde dua

3

Bentuk umum persamaan diffrensial orde dua:

y” = f(x,y,y‘) dengan nilai awal y(x0) =y0 dan y’(x0)=z0Untuk menyelesaikan PDB orde dua, diubah menjadi PDB orde satu melali transformasi:

y’ = z

y” = f(x,y,y‘) z’ = f(x,y,z)

y(x0) =y0; y’(x0)=z y(x0) =y0; z(x0)=z0

4

y” = f(x,y,y‘) dengan nilai awal y(x0) =y0 dan y’(x0)=z0Diubah menjadi sistim persamaan diffrensial biasa orde satu

00

00

)(,),,(

)(,

zxzzyxfdx

dz

yxyzdx

dy

5

Atau dengan notasi vektor:

y’=f(x,y) ;y(x0) = y0Dimana:

0

00

'

)(

),,(,

z

yxy

zyxf

zfy

z

yy

6

Selanjutnya sistim persamaan diffrensial orde satu ini diselesaikan

Contoh:

1. Nyatakan PDB orde dua berikut kedalam sistim PDB orde satu

5.0)0('1)0(;023 '" ydanyyyy

Jawaban:

yyyyxfy 23)',,( '"

Misalkan: y’ = z

7

5.0)0(

1)0(

23),,('"

z

y

yzzyxfzy

Sistim PDB orde satu:

5.0)0(;23

1)0(;

zyzdx

dz

yzdx

dy

8

Dalam bentuk vektor:

y’ = f(x,y); y(0) = y0

Dimana:

5.0

1

2y3z

zf

0y

z

yy

9

2. Nyatakan PDB orde tiga berikut kedalam sistim PDB orde satu

1 (0)y"dan 0.5 (0)y' 0, y(0)

;'"3'" 2

yxyyy

Jawaban:2'"3)",',,('" yxyyyyyxfy

Misalkan:

y’ = z, y” = z’ = t

Maka:

10

1)0(

5.0)0(

0)0(

3),,,(''" 2

t

z

y

yxzttzyxfty

Sistim PDB orde satu menjadi:

11

1 ) t(0,3dx

dt

0.5 z(0) ,dx

dz

0 y(0) ,

2

yxzt

t

zdx

dy

12

Dalam notasi vektor:

1

5.0

0

)0(

3

2

y

yxzt

t

z

f

t

z

y

y

13

Terima kasih