GRAPH EULER DAN PERMASALAHAN TUKANG POS

OLEH Syafdi Maizora

Jembatan Konigsberg

Sebuah sirkit di graph G yang memuat semua titik G disebut sirkit Euler

Jika graph G memuat sirkit Euler, maka graph G disebut graph Euler

Sebuah jejak-buka yang memuat semua sisi graph disebut jejak Euler

Graph G disebut graph semi-Euler jika G memuat jejak EulerContoh :

V5

V4

V3

V2

V1

V4

V3

V2

V1

G2G3G1

V6

V5

V4

V3V2

V1

G1 graph Euler, G2 graph semi-Euler, G3 bukan Euler dan bukan semi-Euler

Karakterisasi Graph Euler dan Semi-Euler

Teorema6.1: Misalkan G graph terhubung. Graph G Euler jika dan hanya jika setiap titik G berderajat genap

Teorema 6.2 : Misalkan G graph terhubung. Graph G semi-Euler jika dan hanya jika G memuat tepat dua titik berderajat ganjil. Lebih jauh, jejak Euler di G berawal di sebuah titik berderajat ganjil dan berakhir di sebuah titik berderajat ganjil yang lainnya.

Bagaimana cara mengkonstruksi sebuah sirkit Euler pada graph Euler

Algoritma FleuryAlgoritma Fleury digunakan untuk mengkonstruksi sebuah sirkit Euler pada graph Euler.Langkah-langkah algoritma Fleury adalah :INPUT : Graph Euler GSTEP 1 : Pilih sebuah titik vo di graph G. Tulis Jo = vo

STEP 2 : Misalkan jejak = (vo, e1, v1,…,vi-1, ei, vi )telah terpilih. Selanjutnya, pilih sebuah sisi dari E(G)-{e1, e2,…, ei} sedemikian hingga:

(i) sisi ei+1 terkait di titik vi dan (ii) sisi ei+1 bukan sisi-pemutus pada graph Gi dengan Gi =G-{e1, e2,…, ei}, kecuali tidak ada pilihan lain. Tulis jejak Ji +1= Ji {ei}STEP 3 : STOP bila STEP 2 tidak bisa dilanjutkan; dan beri pesan: “Ji +1 adalah jejak Euler tutup (sirkit Euler) di graph G”

Sirkit yang terbentuk adalah…..(klik gambar berikut)

Contoh penerapan Algoritma Fleury

V7 V8

V2 V3 V4

V5 V6

V1

Bagaimana cara mengkonstruksi sebuah jejak Euler pada graph semi-Euler ?

Algoritma Fleury yang dimodifikasiAlgoritma Fleury yang dimodifikasi digunakan untuk mengkonstruksi sebuah jejak Euler pada graph semi-Euler.Langkah-langkah algoritma Fleury adalah :INPUT : Graph semi-Euler GSTEP 1 : Pilih sebuah titik vo yang berderajat ganjil di graph G. Tulis Jo = vo

STEP 2 : Misalkan jejak = (vo, e1, v1,…,vi-1, ei, vi )telah terpilih. Selanjutnya, pilih sebuah sisi dari E(G)-{e1, e2,…, ei} sedemikian hingga:

(i) sisi ei+1 terkait di titik vi dan (ii) sisi ei+1 bukan sisi-pemutus pada graph Gi dengan Gi =G-{e1, e2,…, ei}, kecuali tidak ada pilihan lain. Tulis jejak Ji +1= Ji {ei}STEP 3 : STOP bila STEP 2 tidak bisa dilanjutkan; dan beri pesan: “Ji +1 adalah jejak Euler buka di graph G”

Jejak buka yang terbentuk adalah…..(klik gambar berikut)

Contoh penerapan Algoritma Fleury yang dimodifikasi

V6V8

V10

V9V7

V4

V2

V5

V3

V1

Permasalahan Tukang Pos

Seorang Tukang Pos mempunyai tugas rutin mendistribusikan surat dalam suatu wilayah tertentu. Setiap hari dia harus berkeliling menelusuri semua jalan dalam daerah tersebut untuk mendistribusikan surat-surat, berangkat dari kantor pos dan kembali ke kantor pos. Mungkinkah Pak Pos menelusuri setiap jalan tepat satu kali? Kalau mungkin, bagaimanakah caranya? Kalau tidak, jalan-jalan manakah yang harus dilewati lebih dari satu agar total jarak yang dia tempuh minimum?

Untuk menjawab permasalahan ini, jaringan jalan di wilayah pendstribusian dapat dimodelkan dengan sebuah graph-bobot. Titik graph berkorespondensi dengan persimpangan jalan, dan sisi graph berkorespondensi dengan jalan yang menghubungkan dua persimpangan. Bobot sisi berkorespondensi dengan panjang jalan yang diwakili oleh sisi tersebut. Dalam hal ini, kantor pos dipresentasikan dengan sebuah titik.

Jika graph yang diperoleh adalah graph Euler, maka Tukang Pos dapat menelusuri semua jalan dengan sedemikian hingga setiap jalan dilewati tepat satu kali,berawal dan berakhir di kantor pos.

Berikut adalah ilustrasi untuk graph model tepat memiliki dua ganjil.

Misalkan graph model G yang diperoleh terhubung dan memiliki tepat dua titik berderajat ganjil, yaitu u dan v. Dengan algoritma Dijkstra, dapat dicari sebauh lintasan terpendek P yang menghubungkan titik u dan titik v di graph G. Bentuk G’ dari G dengan menduplikat semua sisi G sepanjang lintasan P. Jelas bahwa G’ berupa graph Euler, karena setiap titik berderajat genap.

Dengan menelusuri sirkit Euler di G’ yang berawal dan berakhir titik yang berkorespondensi dengan kantor pos, dengan catatan, menelusuri sisi duplikat berarti menelusuri sisi yang diduplikat, akan diperoleh jalan tutup dengan panjang minimum. Total panjang jalan yang ditempuh adalah w(G) + w(P).

Sebagai contoh, perhatikan graph bobot G pada gambar berikut yang mempresentasikan suatu jaringan jalan disekitar kantor pos tertentu.

22

5

5

5

5

2

2

2

1

1

1

1

1

13

4

4V8

V9

V10

V7

V6

V5

V4

V3

V2

V1

Maka diperoleh jalan tutup J = (v5, v3, v4, v1, v2, v3, v1, v4, v9, v5, v4, v5, v6, v2, v7, v6, v8, v7, v10, v8, v9, v10, v8, v7, v6, v5). Jadi panjang jalan J adalah w(G) + W(P) = 50+9 = 59

Dengan menggunakan algoritma Dijkstra, diperoleh lintasan terpendek dari v1 ke v10 yakni P=(v1,v4,v5,v6,v7,v8,v10). Selanjutnya, dibentuk graph G’ dari graph G dengan menduplikat sisi-sisi G sepanjang lintasan P seperti gambar berikut ini:

22

5

5

5

5

2

2

2

1

1

1

1

1

13

4

4V8

V9

V10

V7

V6

V5

V4

V3

V2

V1