Fungsi phi dan teorema euler

download Fungsi phi dan teorema euler

of 24

  • date post

    30-Jun-2015
  • Category

    Education

  • view

    689
  • download

    3

Embed Size (px)

Transcript of Fungsi phi dan teorema euler

  • 1. DEFINISI 1 (SISTEM RESIDU) Sistem residu sederhana modulo m adalah himpunan semua bilangan bulat positif ri yang memenuhi (ri,m)=1 dengan ri rj(mod m) untuk i j. Contoh: {0,1,2,3,4,5,6,7,8} adalah himpunan semua residu terkecil modulo 9. Jika dipilih elemen yang saling prima dengan 9 maka diperoleh {1,2,4,5,7,8}, maka himpunan terakhir ini disebut sebagai sistem residu sederhana modulo 9

2. DEFINISI 2 (FUNGSI EULER) Misalkan m suatu bilangan bulat positif, maka (m) menyatakan banyaknya elemen dari himpunan residu sederhana modulo m. Contoh: Himpunan residu sederhana modulo 30 adalah {1,7,11,13,17,19,23,29}. Banyaknya elemen dari himpunan ini adalah 8, maka dikatakan bahwa (30)=8. 3. TEOREMA 1 Bukti: Pecah bilangan-bilangan bulat positif yang tidak lebih besar dan tidak saling prima terhadap pk, maka bilangan-bilangan tersebut adalah kelipatan-kelipatan dari p {p, 2p, 3p, 4p, , pk-1 p} = pk Dari himpunan di atas diperoleh bahwa banyaknya bilangan bulat positif yang tidak lebih besar dan tidak saling prima terhadap pk adalah sebanyak pk-1 buah. Berdasarkan pernyataan di atas diperoleh bahwa (pk)= pk pk-1 = pk-1 . p pk-1 = pk-1 (p-1) Apabila p suatu bilangan prima da k suatu bilangan bulat positif, maka (pk)=pk-1(p-1) 4. Contoh: Kita akan menentukan banyaknya elemen residu sederhana dari 32. 32= 25 Maka (25)= 25-1 (2-1) =16 Sistem residu sederhana dari 16 adalah {1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31), ada sebanyak 16 elemen. 5. DEFINISI 3 (FUNGSI GANDA) Suatu fungsi f didefinisikan pada himpunan semua bilangan bulat positif disebut fungsi ganda apabila untuk setiap bilangan-bilangan bulat positif m dan n (mn) = 1 maka f(m,n) = f(m) f(n) Contoh: Misalkan f(n)= n2, untuk setiap bilangan asli n. Untuk sembarang bilangan asli m dan n dengan (m,n)=1, maka f(mn)= (mn)2 = f(m) f(n). Sehingga fungsi f tersebut adalah fungsi ganda. 6. TEOREMA 2 Fungsi-fungsi dan keduanya adalah fungsi ganda. Bukti: Ambil sembarang bilangan asli m dan n dengan (m,n)=1. Misalkan bentuk-bentuk kanonik Karena (m,n)=1, maka factor-faktor prima pi dan qi tidak ada yang sama, sehingga bentuk kanonik dari hasil kali dengan demikian Jadi, (mn) adalah fungsi ganda 7. Selanjutnya, =(m) (n) Jadi, adalah fungsi ganda. Dari kedua penjelasan di atas jelas bahwa dan adalah fungsi ganda. 8. Contoh: Misal m=6 dan n =5 Apakah (mn) fungsi ganda? Apakah (mn) fungsi ganda? Penyelesaian: (6)=4, yaitu 1,2,3,6 (5)=2, yaitu 1,5 (6.5)=4.2 (30)=8 Faktor-faktor bulat positif dari 30 adalah 1,2,3,5,6,10,15,30. Faktor dari 30 tersebut ada sebanyak 8. Selanjutnya (6)= 1+2+3+6=12 dan (5)=1+5=6 (6.5)=12.6 (30)=72 (30)=1+2+3+5+6+10+15+10=72 9. TEOREMA 3 Bukti: Misal residu dari r1, r2, r3, , rm adalah A={0,1,2,3,,m}. Berdasarkan definisi 1, sistem residu sederhana dari r1, r2, r3, , rm adalah aA, (a,m)=1. Selanjutnya, dari definisi 2 banyaknya elemen residu sederhana mod m dinyatakan dengan (m). Dari pernyataan tersebut jelas bahwa jumlah suku yang saling prima dengan m ada sebanyak (m) buah. Apabila p suatu bilangan prima da k suatu bilangan bulat positif, maka (pk)=pk-1(p-1) 10. Contoh: Residu terkecil modulo 11 adalah {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}. Sistem residu sederhana dari 11 adalah {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, maka jumlah elemen residu sederhana tersebut adalah 10 dan dinyatakan dengan (11)=10 11. TEOREMA 4 Fungsi adalah fungsi ganda Bukti: Diambil sembarang bilangan-bilangan bulat positif m dan n dengan (m,n) = 1 Kita susun semua bilangan bulat positif dari 1 sampai dengan mn menjadi m baris dan n kolom sebagai berikut: 1 m + 1 2m +1 (n-1)m + 1 2 m + 2 2m + 2 (n-1)m + 2 3 m +3 2m + 3 (n-1)m + 3 . . . . . . . . . . . . . . . r m + r 2m + r (n-1)m +r . . . . . . . . . . . . . . . m 2m 3m mn 12. Perhatikan kolom pertama, yaitu 1, 2 ,3, , m. dalam barisan ini ada (m) bilangan yang saling prima dengan m. Setiap bilangan pada baris ke-r memenuhi km + r r(mod m). Jika (m,r)=d, maka (km + r, m) = 1 pula. Jadi jika m dan r saling prima, maka setiap bilangan pada baris ke-r semuanya saling prima dengan m. karena pada kolom pertama ada (m) bilangan yang saling prima dengan m, maka ada (m) baris yang setiap elemennya saling prima dengan m. Nah, sekarang bilangan-bilangan pada (m) baris tersebut, berapakah yang saling prima dengan m. Misalkan (r,m) =1 dan perhatikan bilangan-bilangan pada baris ke-r, yaitu r, m + r, 2m + r, 3m + r, , (n-1)m +r. Jelas bahwa pada baris ini tidak ada dua bilangan yang kongruen modulo n, sebab jika ada dua bilangan yang kongruen mod n, misalnya, sm + r t m + r (mod n) dengan 0s, t2. Apbila n suatu bilangan prima, maka n prima ganjil sehingga (n)= n-1. Jadi (n) bilangan genap. Dan apabila n suatuu bilangan komposit, maka n mempunyai factor prima ganjil p, misalnya n = pkm dengan (pk,m)=1 sehingga(n)= (pkm)= (pk) (m)= pk-1(p-1) (m) Karena p bilangan prima ganjil, maka p-1 suatu bilangan genap, sehingga pk-1(p-1)(m) suatu bilangan prima pula. Jadi (n) suatu bilanngan genap. 17. Contoh: Semua faktor bulat positif dari 12 adalah 1,2,3,4,6 dan 12. tiap faktor ini dicari nilai nya, yaitu (1)=1, (2)=1, (3)=2, (4)=2, (6)=2 dan (12)=4. Terlihat jelas bahwa faktor yang lebih besar dari 2 nya adalah bilangan genap. 18. TEOREMA 7 Untuk setiap bilangan bulat positif n, maka Bukti: Perhatikan bilangan-bilangan bulat positif: 1, 2, 3 ,4, , n. Kita akan meletakkan bilangan-bilangan ini dalam himpunan-himpunan dengan t|n, yaitu bilangan-bilangan itu yang dengan n, factor persekutuan terbesarnya sama dengan t. Dengan kata lain, m Ct jika dan hanya jika (m,n)=t. Sedangkan (m,n)=t jika dan hanya jika Menurut definisi fungsi Euler, banyaknya elemen dari Ct adalah . Maka banyaknya elemen dari semua gabungan himpunan Ct adalah . Mengingat setiap bilangan 1, 2, 3, , n hanya terdapat dalam tepat satu himpunan dari Ct, maka 19. Contoh: 1,2,4,5,7,8 masing-masing adalah residu yang saling prima dengan 9. Apabila setiap bilangan tersebbut dikalikan 10 didapat 10,20,40,50,70,80. Selanjutnya, jika dari bilangan-bilangan tersebut dicari residu terkecil modulo 9 maka diperoleh: 101(mod9) 20 2(mod9) 404(mod9) 505(mod9) 707(mod9) 808(mod9) Jika ruas-ruas dari kekongruenan ini dikalikan, kita akan memperoleh 10.2040.50.70.80 1.2.4.5.7.8(mod9) 106 (1.2.4.5.7.8) 1.2.4.5.7.8(mod9) 106 1(mod9) 20. TEOREMA 8 Jika (a,m)=1 dan r1, r2, r3, , r(m) adalah bilangan-bilangan bulat positif yang kurang dari m dan masing-masing saling prima denngan m, maka residu-residu terkecil mod m dari bilangan-bilangan ar1, ar2, ar3, , ar(m) adalah suatu permutasi dari r1, r2, r3, , ar(m). Bukti: (m) adalah banyaknya elemen dari himpunan {ar1, ar2, ar3, , ar(m)}. Untuk membuktikan bahwa residu-residu terkcil dari {ar1, ar2, ar3, , ar(m)}..(1) adalah suatu permutasi dari r1, r2, r3, , r(m), kita harus menunjukkan bahwa ariarj (mod m) untuk 1I,j(m) dengan ij serta masing-masing harus ditunjukkan saling prima dengan m. Misalkan ariarj (mod m) untuk 1I,j(m) dengan ij. Karena (a,m)=1, maka kita dapat melenyapkan a dari kekongruenan itu, sehingga diperoleh rirj(mod m). Dan karena ri dan rj masing-masing residu-residu terkecil mod m, maka ri rj. Jadi jika ariarj (mod m), maka ri rj. sehingga kontraposisinya benar pula bahwa jika ri = rj maka ari arj (mod m) hal ini berarti bahwa bilangan-bilangan pada (1) tidak ada yang kongruen mod m. 21. Contoh: 1,3,5,7 masing-masing saling prima dengan 8 dan (8)=4, maka 9.1, 9.3, 9.5, 9.7 masing-masing mempunyai residu terkecil modulo 8 dengan tepat satu dari 1,3,5,7, karena (8,9)=1. hal ini diperiksa sebagai berikut: 9.11(mod 8), 9.33(mod 8), 9.55(mod 8), 9.77(mod 8) Selanjutnya akan dibuktikan bahwa ar1, ar2, ar3, , ar(m) masing-masing prima dengan m. Andaikan ada suatu bilangan prima p yang merupakan factor persekutuan dari arid an m maka p|arid an p|m. P|arid an p suatu bilangan prima, maka p|a atau p|ri. Jadi p merupakan factor prsekutuan dari a, ri, dan m. hal ini tidak mungkin, karena (a,m) + (m, ri) =1. Jadi (ari, m) =1 untuk 1I,j(m). 22. TEOREMA 9 Jika m suatu bilangan bulat positif dan (a,m) =1, maka a(m) 1(mod m) Bukti: Misalkan r1, r2, r3, , r(m) adalah bilangan-bilangan bulat positif yang kurang dari m dan masing-masing prima dengan m. menurut teorema 8, karena (a,m)=1, maka residu-residu terkeci modulo m dari r1, r2, r3, , r(m) adalah suatu permutasi r1, r2, r3, , r(m). Sehingga diperoleh (ar1) (r2) (r3) (r(m)) r1r2r3 r(m) ar(m) = [(ar1) (r2) (r3) (r(m))] r1, r2, r3, , r(m) Karena r1, r2, r3, , r(m) masing-masing saling prima dengan m, maka hasil kali bilangan-bilangan itu saling prima dengan m. Sehingga kita dapat menyelenggarakan r1r2r3 r(m) dari kekongruenan terakhir dan diperoleh a(m) 1(mod m) 23. Contoh: (8)=4, 3(8) = 34 =811(mod 8), sebab (3,8)=1. Tetapi 2(8) = 24 =161(mod 8), sebab (2,8)1. 24. TERIMA KASIH ATAS PERHATIANNYA