SRI REJEKIFKIP MATEMATIKA UMS

PendahuluanPenggolongan GeometriGeometri Euclides

TransformasiFungsi dan Jenis-jenis FungsiTransformasi Sebagai FungsiSifat TransformasiGrup Transformasi

Transformasi GeseranPengertian GeseranMenemukan Rumus GeseranSifat-sifat GeseranHasil Kali Geseran

Setengah PutaranPengertian Setengah putaranMenemukan Rumus Setengah putaranSifat-sifat Setengah putaranHasil Kali Setengah putaran

Transformasi PencerminanPengertian PencerminanMenemukan Rumus PencerminanSifat-sifat PencerminanHasil Kali Pencerminan

Transformasi PutaranPengertian PutaranMenemukan Rumus PutaranSifat-sifat PutaranHasil Kali Putaran

Hasil Kali Isometri

Group dan Similaritas

B. SusantaGeometri Transformasi, UGMGatut IswahyudiGeometri Transformasi, UNSI.M YaglomGeometric Transformations I, Yale University

Presensi minimal 75%

A, B, : titik-titikg, h, : garis-garistitik (g,h): titik potong garis g dan hgaris (A,B)= : garis melalui A dan B: sinar garis AB dengan pangkal A: ruas garis ABAB: panjang ruas garis

: ruas garis berarah dari A ke B: vektor dengan pangkal A ujung BA-B-C: B terletak diantara A dan C : sudut ABC: besar sudut ABC (dalam derajat): kongruen: sebangun (similar)

Berdasar ruang lingkupGeometri bidang (dimensi 2)Geometri ruang (dimensi 3)Geometri dimensi nGeometri boladsb

Berdasar bahasaGeometri murni (dengan geometri/gambar)Geometri analitik (dengan bahasa aljabar)Geometri differensial (dengan bahasa derivatif)dsb

Berdasar sistem aksiomaGeometri euclidesGeometri non euclidesGeometri proyektifdsb

Berdasar transformasiBerdasar metode pendekatannyadst.

Dalam bidang diketahui lingkaran pusat A(0,0) dengan jari-jari 5Diketahui persamaan:x+2y=4z-y =4

TRANSFORMASI

BA

BA

BA

BA

BA

BA

BA

BA

Unsur tetapKolineasiIdentitasIsometriInvolusi

KOLINEASI

ISOMETRI

ISOMETRI?KOLINEASI?INVOLUSI?

Isometri adalah kolineasi atau bila U isometri dan g garis maka U(g) = g

Isometri mempertahankan kesejajaran

Isometri mempertahankan besar sudut

S merupakan geseran apabila terdapat suatu ruas garis berarah AB sedemikian sehingga untuk setiap titik P pada bidang V berlaku S(P)=P dengan PQ=AB. Selanjutnya geseran dengan vektor geser AB dinyatakan sebagai SAB

YXOB(a,b)P(x,y)P(x,y)baab

Q(c,d)P(a,b)

Diketahui titik-titik A(4, -6) dan B(3, 1)Carilah rumus SAB dan SBA?Kena Apakah SBA kolineasi? kan SBA pada garis h di mana h melalui titik A dan tegak lurus dengan garis g : 8x-3y+10=9.Apakah SBA involusi?Apakah SBA isometri?Apakah hasil kali SAB dan SBA?

Diketahui titik-titik A(4, -6) dan B(3, 1)Apakah SBA kolineasi?Kenakan SBA pada garis h di mana h melalui titik A dan tegak lurus dengan garis g : 8x-3y+10=0.Apakah SBA involusi?Apakah SBA isometri?Apakah hasil kali SAB dan SBA ?

Dari soal-soal di atas buatlah kesimpulan tentang sifat-sifat geseran,Apakah geseran merupakan suatu kolineasi?Apakah geseran merupakan involusi?Apakah geseran merupakan isometri?Apakah hasil kali geseran dengan vektor geser yang berlawanan arah?

TeoremaHasil kali dua geseran SAB dan SCD akan merupakan geseran lagi dengan TTTABCDPQ

ABCDYP(x1,y1)OXQ(x2,y2)

Setengah putaran terhadap titik P (dengan pusat P) dilambangkan dengan Hp, adalah pemetaan yang memenuhi untuk sebarang titik A di bidang V :Jika A P maka titik P titik tengah AAHp(A)=AJika A = P maka Hp(A)=P=A

Bukti :Akan ditunjukkan Hp2=IAmbil A, kenakan Hp sehingga Hp(A)=AKenakan A dengan Hp, makaHp(A)=AHp(Hp(A))=A=AHp2(A)=AHp2=IJadi Hp involusi

TEOREMA Setengah putaran adalah isometriBukti :Ambil titik P, A dan B yang tidak segaris.P sebagai pusat putar.

Kenakan A dengan Hp, sehingga Hp(A)=A dengan AP=PA.Kenakan B dengan Hp, sehingga Hp(B)=B dengan BP=PB.

Lanjutan

Perhatikan APB dan APBKarena AP=PA

BP=PBMaka APB dan APB kongruen (s, sd, s)Akibat : AB=ABJadi setengah putaran adalah isometri

Ambil P(a,b) sebagai pusat putar.Hp memetakan A(x,y) ke A(x,y).

Diperoleh hubungan bahwa :

Jadi jika P(a,b) maka :Hp = (x,y)(x,y) dengan

LATIHANDiketahui A(-3,-5) dan B(-2,3)Carilah HAHBApakah HAHB involusi?HB memetakan KLM keKLM dengan K(3,5), L(-5,-4) dan M(5,6). Carilah koordinat K, L dan MCarilah Q s.d.s HAHB(Q)=P dengan P(-4,7)

PRDiketahui A(4,4), B(2,-5) dan P(6,4), tentukan HAHB(P) dan HBHA(P).Diketahui P(3,2). Tentukan Hp((1,3)) dan Hp-1 ((2,4)).Misalkan L={(x,y)x2+y2=25}.Tentukan L=HBHA(L) jika A(2,1) dan B(-3,5).Misalkan g={(x,y)y=5x+3} dan A(2,3), B(-1,-2) dan C(3,5). Tentukan SABHc(g).

Bukti :TEOREMA Hasil kali dua setengah putaran merupakan geseranPBACPP

Ambil titik P, A dan B tidak segaris, kenakan P dengan HA sehingga :HA(P)=P berlaku PA=APHB(P)=P berlaku PB=BPBerarti :HB(P)=PHB(HA(P))=PHBHA(P)=P

Karena PA=AP dan PB=BPMaka AB merupakan garis tengah sejajar alas PP dalam PPP sehingga PP=2ABBerarti HAHB merupakan geseran atau HAHB=SAC dengan AC=2AB

Hasil kali geseran dan setengah putaran ???

Diketahui koordinat P(-2,8) dan R(0,10) serta ABC dengan A(5,1) B(-3,-4) dan C(1,-5). Carilah ABC sehingga :HRHP(A)=A HRHP(B)=B HRHP(C)=CJawab :A(1,-3) B(-7,-8) C(-3,-9)

Diketahui koordinat E(-5,-1) F(1,4) G(-2,-8)Apakah hasil dari HFHG Jawab : (6-x, 22-y)Jika HFHG=SED carilah koordinat DJawab : (1, 21)Kenakan HEHF pada garis g di mana g melalui E dan tegak lurus garis yang melalui F dan GApakah hasil dari HFHEHGSelidiki apakah HGSEF involusi

Find the answers by yourself, pasti bisa!!!

Transformasi pencerminan /refleksi menghasilkan bayangan yang tergantung pada acuannya.

Refleksi terhadap sumbu xRefleksi titik A (a, c) terhadap sumbu x menghasilkan bayangan yaitu A(a, c), demikian juga untuk titik B dan titik C.Diperoleh persamaan bahwa : a = a, b = b, c= -c dan seterusnya sehingga persamaan matrik transformasinya adalah : Dengan notasi matrik :

Sama seperti refleksi terhadap sumbu x menghasilkan persamaan a= - a, b = - b dan c = c dan seterusnya. sehingga persamaan matrik transformasinya adalah : Dengan notasi matrik :

Refleksi terhadap titik asal (0,0)Menghasilkan persamaan :a= - a, dan c = -c,b= - b, dan c = -c,d= - d, dan c = -c,sehingga persamaan matrik transformasinya adalah : Dengan notasi matrik :

Refleksi terhadap garis y = xMenghasilkan persamaan :a= c, dan c = a,b= c, dan c = b,d= e, dan e = d dan seterusnyasehingga persamaan matrik transformasinya adalah : Dengan notasi matrik :

Refleksi terhadap garis y = - x Menghasilkan persamaan :a= -c, dan c = -a,b= -c, dan c = -b,d= -e, dan e = -d dan seterusnya, sehingga persamaan matrik transformasinya adalah : Dengan notasi matrik :

Refleksi terhadap garis y = h

Sumbu x digeser sejauh h, menghasilkan persamaan :a= a, dan c = 2h-c,b= b, dan c = 2h-c,d= d, dan e = 2h-e, sehingga notasi persamaan matrik transformasinya adalah :

Bukti :Sumbu-x dipindahkan sejauh h sehingga sumbu-x yang baru adalah y = h. Maka koefisien setiap titik berubah menjadi (x, y) dengan :

Kemudian titik tersebut direfleksikan pada sumbu-x yang baru menjadi :

Tahap terakhir, menggeser sumbu-x yang baru ke sumbu-x semula dengan memakai translasi diperoleh:

Refleksi terhadap garis x = k

Sekarang yang digeser adalah sumbu y sejauh k, menghasilkan persamaan :a= 2k-a, dan c = c,b= 2k-b, dan c = c,d= 2k-d, dan e = e, sehingga notasinya adalah : Dengan notasi matrik :

Contoh Soal :Tentukan bayangan jajaran-genjang ABCD dengan titik sudut A(-2,4), B(0,-5) C(3,2) dan D(1,11) jika direfleksikan terhadap sumbu-x, kemudian dilanjutkan dengan refleksi terhadap sumbu-y. Jawab :Penyelesaian soal tersebut dilakukan dengan dua tahap yaitu mencari bayangan jajaran-genjang ABCD dari refleksi terhadap sumbu-x, kemudian bayangan yang terjadi direfleksikan terhadap sumbu-y.

Refleksi terhadap sumbu-x adalah sebagai berikut :

Selanjutnya titik A, B, C dan D direfleksikan pada sb-y

Hasil akhir diperoleh jajaran-genjang ABCD dengantitik sudut A(2,-4), B(0,5), C(-3,-2) dan D(-1,-11).

Coba pikirkan : Bagaimana cara mendapatkan matrik transformasi pada suatu sistem yang mengalami refleksi lebih dari satu kali tetapi penyelesaiannya hanya dengan mengunakan satu tahap saja ?

Telah dibahas bahwa :Hasil kali 2 pencerminan dengan kedua sumbu sejajar adalah berupa geseran.Hasil kali 2 pencerminan dengan kedua sumbu yang saling tegak lurus adalah berupa setengah putaran.

Apakah hasil kali 2 pencerminan jika kedua sumbu sebarang???

Ambil sebarang sumbu s dan t yang berpotongan di P.Sebuah titik A sebarang dikenai Ms dan Mt , berarti :Ms(A) = AMt(A) = AJadi, Mt(A) = A Mt(Ms(A)) = A (MtMs)(A) =AAmbil Q titik tengah AAAmbil R titik tengah AA

Putaran terhadap P dengan sudut sebagai sudut putar dilambangkan dengan RP, adalah pemetaan yang memenuhi :RP, (P) = PRp, (A) =A di mana PA=PA dan P = pusat putar = sudut putar

Jika = 0o maka RP, = IJika = 180o maka RP, = HPJika = maka = + k360o, dengan k anggota B+Sudut positif jika arah berlawanan jarum jam

Sebarang putaran RP, selalu dapat dianggap sebagai hasil kali 2 pencerminan, satu terhadap sumbu s dan satu terhadap sumbu t. P = titik (s,t)Jadi, hasil kali 2 pencerminan MtMs :Jika s//t maka MtMs = SAB dengan AB = 2 jarak (s,t)Jika s tidak sejajar t maka MtMs = Rp, dengan P = titik (s,t) dan Jika s tegak lurus t maka MtMs = RP, = HP

Dengan pusat putar (0,0)

Dengan pusat putar P(a,b)

HASILKALI YANG DIBICARAKANREFLEKSI GESERGESERAN DAN ROTASIROTASI DAN ROTASI

Definisi Misalkan s suatu garis dan AB suatu garis berarah dengan AB // s. Suatu refleksi geser G adalah pemetaan yang memenuhi G=MsSAB..Teorema Misal s garis dan AB garis berarah. Jika s//AB , maka MsSAB = SABMs

Teorema Suatu refleksi geser tidak mempunyai titik tetap.Satu-satunya garis tetap adalah sumbunya sendiri. Teorema Misal t suatu garis dan CD suatu garis berarah sedemikian sehingga CD tida tegak lurus t. Terdapat suatu refleksi geser G sedemikian sehingga G = SCDMt.

.CDEtr

Misalkan p suatu garis dengan p // t dan jarak (p,t) = |CE|Maka :SCDMt = SEDSCE Mt = SED (Mp Mt ) Mt = SED Mp (Mt Mt ) = SED Mp I = SED Mp = G ( = suatu refleksi geser

karena p//ED )

Misal s suatu garis dan A titik di luar s . Misalkan diketahui suatu sudut dengan besar . Terdapat suatu refleksi geser G1 dan G2 sedemikian sehingga G1 = Ms RA, dan G2 = RA, Ms.

( Dengan kata lain teorema ini ,mengatakan bahwa suatu putaran terhadap A dan diikuti oleh suatu refleksi terhadap garis s atau sebaliknya merupakan suatu refleksi geser )

.ArsDCt/2

Misalkan r garis yang melalui A dan r // s.Misalkan t garis yang melalui A dengan m(

Misalkan s suatu garis, P titik yang tidak terletak pada s. Misal r garis yang melalui P tegak lurus s. Maka berlaku:a. HPMs merupakan suatu refleksi geser yang sama dengan MrSAB b. MsHP merupakan suatu refleksi geser yang sama dengan SCDMr.

Misal t adalah garis yang melalui P dengan t // s dan r garis yang melalui P dengan r tegak lurus s.

Misal AB garis berarah dengan AB//r , |AB| = 2 kali jarak (s,t) dan CD garis berarah dengan CD//r , |CD| = 2 kali jarak ( t,s).

Sehingga HP Ms = ( Mr Mt ) Ms= Mr ( Mt Ms )= Mr SAB

Kemudian Ms HP = Ms ( Mt Mr )= (Ms Mt ) Mr= SCD Mr

bukti

TeoremaUntuk sebarang titik A, B, P dan suatu sudut dengan besar , selalu dapat ditemukan titik C dan D sedemikian sehingga :a. SAB RP, = RC, b. RP, SAB = RD,

.rPCABpq/2

. Dari yang diketahui titik-titik A, B, dan P serta suatu sudut dengan besar , tarik garis p melalui P dengan p tegak lurus AB dan tarik garis q dengan q // p , (p,q) = |AB|. Kemudian buat garis r melalui P dengan m(

.rPABqp/2/2

b. Dari yang diketahui titik-titik A, B, dan P serta suatu sudut dengan besar , tarik garis p melalui P dengan p tegak lurus AB dan tarik garis q dengan q // p , (p,q) = |AB|. Kemudian buat garis r melalui P dengan m(

Pada saat membahas tentang putaran telah diketahui bahwa hasil kali dua putaran yang pusatnya sama , akan menghasilkan suatu putaran baru dengan pusat semula dan besar sudut putar adalah jumlah dari kedua sudut putar semula, atau dalam lambang putaran . Berikut ini akan dibahas tentang hasil kali putaran dengan putaran tetapi pusat kedua putaran tidak sama. Teorema Hasil kali dua putaran , A B akan berupa putaran lagi dengan sudut putar + atau berupa geseran jika + = 360.

.rC(+)/2/2/2stBA

Dalam segitiga ABC di atas, m(

Hal tersebut tidak akan terjadi jika C tidak ada( yaitu dalam kondisi r // s). Jadi apabila m(

Untuk tiga garis sebarang r,s,t yang tidak bertemu di satu titik dan tidak saling sejajar, maka hasil kali MtMsMr tanpa memandang urutan merupakan suatu refleksi geser.

BA/2/2rs

Pandang MtMsMr = Mt (MsMr ) = Mt RA, = G ( misal m(

Diketahui dua segitiga ABC dan segitiga ABC yang konkruen seperti pada gambar berikut. Tentukan suatu refleksi geser G yang membawa segitiga ABC menjadi ABC.

ABCABC

Andaikan G sudah didapat, berarti terdapat ruas garis berarah PQ dan garis s sedemikian sehingga G = SPQMs yang berarti G(ABC) = ABC.Misalkan ABC = Ms(ABC) dan ABC= SPQ(ABC), diperoleh AC//AC dan m(

a.Lukis P = ( AC , AC )b.Lukis garis bagi

Similaritas (kesebangunan)

Definisi

Suatu transformasi L disebut suatu similatitas, jika terdapat bilangan positif k sedemikian hingga untuk sebarang titik P, Q dipenuhi |PQ| = k |PQ| , dengan P=L(P) dan Q=L(Q).

similaritas dengan faktor k tersebut dilambangkan dengan LK dan k disebut faktor similaritas.

Dari definisi diatas, tampak bahwa jika k=1 suatu similaritas adalah suatu isometri atau dengan kata lain, suatu isometri adalah kejadian khusus dari similaritas.

Teorema

Similaritas adalah suatu kolineasi.

Teorema

Similaritas mempertahankan besar sudut.

Teorema

Similaritas mempertahankan ketegaklurusan.

Teorema

Similaritas mempertahankan kesejajaran.

Bukti Similaritas adalah suatu kolineasi

Ambil sebarang garis t, dan dua titik A , B di t yang berbeda dan A=T(A) , B=T(B). Misal h garis yang melalui A dan B. Misalkan pula T suatu transformasi kesebangunan.

Akan dibuktikan bahwa T(t) = h. Untuk itu akan dibuktikan T(t) (h dan h( T(t)

a. Bukti T(t) (h

Ambil sebarang titik P di t dengan P berbeda dengan A dan B. Misalkan P terletak antara A dan B , maka berlaku |AP|+|PB|=|AB|.

Kemudian misalkan P = T(P) dan faktor kesebangunan T adalah k, maka berlaku

|AP| + |PB| = k|AP| + k|PB|

= k |AP + PB |

= k |AB|

Oleh karena |AB| = k|AB| maka |AP |+|PB| = |AB|.

Oleh karena |AB| = k|AB| maka |AP |+|PB| = |AB|.

Jadi P terletak antara A dan B yang berarti bahwa A, P, dan B segaris. Dengan cara serupa, dapat ditunjukkan bahwa hal ini berlaku pula untuk A antara P dan B maupun B antara A dan P.

Jadi P anggota h atau T(P) ( h

a. Bukti h( T(t).

Ambil sebarang titik Q pada h.

Karena T suatu transformasi, jadi surjektif maka ada Q pada bidang V sedemikian sehingga Q = T(Q).

Misalkan Q terletak antara A dan B. Sehingga berlaku |AQ|+|QB|=|AB|.

Misalkan Q tidak berada di t maka berlaku |AQ|+|QB|>|AB|, akibatnya k|AQ|+k|QB|> k|AB|.

Sehingga |AQ|+|QB|>|AB|. Ini bertentangan dengan |AQ|+|QB|=|AB|. Jadi haruslah Q terletak pada t.

Bukti serupa untuk A antara Q dan B dan juga B antara A dan Q.

Diperoleh h( T(t).

Dari bukti a. dan b. dapat disimpulkan bahwa T(t) = h.

A. Kesebangunan mempertahankan besar sudut

Misalkan diberikan sebarang sudut < ABC dan T(

Teorema

Hasil kali similaritas Lk dan Lm adalah similaritas Lkm, yaitu suatu similaritas dengan faktor km.

Definisi

Misal P suatu titik tertentu dan k (0. Transformasi DP,k disebut suatu dilatasi terhadap P dengan faktor k jika

a. DP,k (P)=P.

b. Untuk sebarang titik Q(P, DP,k(Q) = Q dengan PQ=kPQ dan Q pada PQ untuk k>0 kemudian Q pada P/Q untuk k

Teorema

Hasil kali suatu dilatasi dan suatu isometri adalah suatu similaritas. Sebaliknya, suatu similaritas selalu dapat dinyatakan sebagai hasilkali suatu dilatasi dan suatu isometri.

Teorema

Untuk sepasang segitiga yang sebangun ABC dan ABC terdapat tepat satu similaritas L yang membawa A ke A, B ke B , dan C ke C

1. Rumus Dilatasi

Misalkan titik P(x,y) suatu titik tertentu. T(a,b) sebarang titik dengan T(a,b) sedemikian hingga T=DP,k(T).

Kemudian p adalah vektor posisi dari P(x,y), t vektor posisi dari T(a,b) dan t vektor posisi dari T(a,b)

T(a,b)

P(x,y)

t

x T(a,b)

t

Sehingga dengan menggunakan aturan vektor dan matriks diperoleh:

PT = k(PT)

t-x = k(t-x)

atau

sehingga

_1054581462.unknown

_1054581506.unknown

*************