GEOMETRI EUCLID/NON EUCLID

KELOMPOK 3

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS NEGERI MEDAN2013

BAB VSIMILARITAS

Bab ini akan membahas tentang similaritas atau kesebangunan, khususnya kesebangunan segitiga. Untuk itu berturut-turut akan dibahas tentang sudut-sudut poligon, teorema dasar untuk kesebangunan, dan segitiga-segitiga sebangun.5.1. SUDUT-SUDUT POLIGONPoligon yang paling sederhana adalah segitiga dan suatu poligon dapat dipartisi ke dalam segitiga-segitiga. Karena itu sebelum membahas sudut-sudut poligon akan dibahas dulu sudut-sudut segitiga.5.1.1. Sudut-sudut segitigaPembahasan diawali dengan teorema jumlah sudut segitiga seperti berikut ini.TEOREMA (Teorema Jumlah Sudut Segitiga)

AJumlah ukuran sudut-sudut segitiga 1800

ED

CB

Gambar 5.1.1

Misal segitiga itu , dapat dibuktikan bahwa .

Menurut aksioma kesejajaran di A tidak pada terdapat //.

Pandang //dipotong , menurut Convers teorema sudut dalam berseberangan .

Demikian pula // dipotong , menurut teorema sudut dalam bersebrangan . Sedang , , dan membentuk sudut lurus sehingga . Karena .

Berarti , demikian pula karena berarti . Sehingga didapat . Karena tidak lain adalah maka . (Terbukti)

Jika ada dua segitiga yaitu dan dengan dan , apakah sudut ketiga, yaitu dan kongruen?Jawaban dari pertanyaan ini ditetapkan sebagai teorema berikut iniTEOREMA (Teorema Konkruensi Sudut Segitiga)Jika dua sudut dari segitiga pertama konkruen dengan dua sudut pada segitiga kedua, maka sudut ketiga dari dua segitiga tersebut konkruen.TEOREMA Sudut-Sudut-Sisi (Sd.Sd.Ss)Dua segitiga konkruen jika terdapat korespondensi satu-satu antara titik-titik sudut sehingga dua sudut dan satu sisi di hadapan sasalah satu dari dua sudut pada segitiga pertama konkruen dengan bagian-bagian yang bersesuaian pada segitiga kedua.

DEFMisalkan dua segitiga itu dan denganA D, B E , akan dibuktkan

Gambar 5.12Bukti :Karena A D, B E, menurut Teorema Konkruensi Sudut Segitiga C F.Pandang dan , karena A D, dan B E ,menurut Aksioma Sd.Ss.Sd maka

Teorema Ukuran Sudut Luar SegitigaUkuran sudut luar segitiga sama dengan julah ukuran dua sudut segituga yang tidak bersisian dengan sudut luar tersebut.

Diketahui: ACD sudut luar pada ABCDibutikan : m ACD = m A + m BBukti:Menurut teorema jumlah sudut segitigam A + m B + m C = m BAC + m ABC + m ACB = menurut aturan jumlah sudutm ACB = - (m BAC + m ABC) (1)menurut aturan sudut bersuplemenm ACD + m ACB = menurut aturan jumlah sudutm ACD = - m ACB (2)Substitusi persamaan (1) ke persamaan (2)Sehinggam ACD = - m ACBm ACD = - [ - (m BAC + m ABC)]m ACD = - + m BAC + m ABCm ACD = m BAC + m ABC m ACD = m A + m B (terbukti)TEOREMA Sudut Lancip Segitiga Siku-SikuSudut sudut lancip pada segitig siku-siku saling berkomplemen.Coba buktikan sebagai latihan.5.1.2 Sudut sudut PoligonDEFENISI : Poligon konveks adalah polygon yang masing-masing sudutnya berukuran kurang dari ukuran sudut lurus.

Poligon Konveks

Gambar 5.2.1

Selanjutnya polygon konveks cukup di tulis polygon.Teorema Jumlah sudut poligon n sisiJumlah ukuran sudut-sudut suatu poligon n sisi adalah (n-2)180.Misalnya:Jumlah ukuran sudut-sudut segitiga : (3-2)180 = 180Jumlah ukuran sudut-sudut segiempat: (4-2)180 = 360Jumlah ukuran sudut-sudut segisepuluh: (10-2) 180 = 1440TEOREMA Jumlah Ukuran Sudut Luar Segi n:Jumlah ukuran sudut-sudut luar suatu poligon yang terbentuk dengan memperpanjang sisi ke arah yang sama adalah 360

SoalLatihan 5.11.

Diketahui dengan bisektor dan berpotongan di D. Jika , hitunglah

CPenyelesaian:

D

A

B

merupakan segitiga sama kaki, maka berdasarkan teorema sama kaki diperoleh:

sehingga Berdasarkan teorema jumlah sudut segitiga maka,

2. Sisi dari diperpanjang sampai di D bisektor ABC dan ACD berpotongan di titik E. Jika mABC= 80 dan ACB= 60. Berapakah mE ?Penyelesaiannya:

20F401001006060604040CBAEDABC

Karena ABC memiliki bisektor sehingga, ABF= ABC = 40Berdasarkan Teorema Jumlah Sudut Segitiga maka, A = 180 - (ABC + ACB)= 180-(80 + 60)= 40 Pada , F = 180 (A + BF)= 180 (40 + 40)= 100AFB = EFC = 100, karena merupakan sudut yang saling bertolak belakang.Karena ACD adalah sudut luar dari maka,ACD = A + B = 80 + 40 = 120Karena ACD memiliki bisektor dengan ACE = ACD = 60Sehingga pada , mE = 180 (EFC + ACF), berdasarkan Teorema Jumlah Sudut Segitiga = 180 (100 + 60) = 203. Pada gambar berikut ini diketahui dan adalah garis tinggi, m ABC = 70 dan m ACB = 40. Berapakah m BFC ?

m BAC + m ABC + m ACB = m A + m B + m C = m A = - (m B + m C)m A = - ( + )m A = - m A = garis dan adalah garis tinggi,makam BDC = dan m CEB = menurut aturan sudut bersuplemen,makam CDA = dan m BEA = m A + m D + m E + m F = + + + m F = m F = - ( + + )m F = - = 4. Jika dalam ABC berlaku m A = m B =m C Maka berapakah m A?Jawab :Menurut teorema sudut poligon n sisi, jumlah ukuran sudut segitiga = (n-2) 180 dimana n adalah banyak sisi poligon = (3-2) 180 = (1) 180= 180Jumlah ukuran sudunya adalah 180.m + m B + mC = 180 ; m B + mC = 180 - m diketahui m = m B + mC m = 180 - m 2 m = 180 m = 905. Pada gambar berikut ini, dan adalah bisektor ABC dan ACB. Buktikan bahwa mD = 90 +mA

A

D

BC

Jawab: A+B+C = 180B +C+D = 360 |x2 maka B+C+2D = 360A+B+C = 180B+C+2D = 360 2D-A = 1802D = 180+AD = 90 +AMaka terbukti bahwa: mD = 90 +mA6. Garis tinggi ke sisi dan pada segitiga lancip ABC berpotongan di titik E. Buktikan: m BEC = m B + m C.

ABCEDFPenyelesaian:Menurut Teorema Jumlah sudut Poligon n sisi, jumlah ukuran sudut-sudut segiempat ADEF = (4 2) 180 = 360.Maka m A + m D + m E + m F = 360Berdasarkan definisi garis tinggi, m D = m F = 90, sehingga diperoleh:m A + 90 + m E + 90 = 360m A + m E = 180Karena m A + m B + m C = 180 (teorema jumlah sudut poligon), makam A = 180 m B m C, sehingga:m A + m E = 180 (180 m B m C) + m E = 180 m B m C) + m E = 0m E = m B + m Cm BEC = m B + m C

7. ABCDEF Pada gambar berikut ini, bisektor EBC dan bisektor BCF. Apakah m D = 90 - m A?

Penyelesaian:Misalkan m ABC = m B1 ; m CBD = m B2 ; m DBE = m B3 ; m ACB = m C1 ; m BCD = m C2 ; m DCF = m C3 Menurut Teorema Jumlah sudut Poligon n sisi:m A + m B1 + m C1 = 180 ;m B1 + m B2 + m B3 = 180m C1 + m C2 + m C3 = 180Karena BD merupakan bisector CBE, maka m CBD = m DBE, sehingga m B2 = m B3, maka menjadi m B1 + 2 (m B2) = 180. Begitu juga dengan BCD dengan DCF, sehingga m C2 = m C3, maka menjadi m C1 + 2 (m C2) = 180.

8.

Diketahui dengan adalah sudut tumpul. Garis tinggi ke dan ke jika diperpanjang berpotongan di titik E. Dapatkah ditunjukkan bahwa ?Penyelesaian:

m BAC + m ABC + m ACB = m A + m B + m C = m A = - (m B + m C)garis dan adalah garis tinggi,makam BDC = dan m CEB = menurut aturan sudut bersuplemen,makam CDA = dan m BEA = m A + m D + m E + m F = - (m B + m C) + + + m F = m F = - + m B + m Cm F = m B + m C

9. ABcDEyy180-2yxxalas ABC yaitu diperpanjang sampai di D. Bisektor B dan ACD berpotongan di titik E. Dapatkah ditunjukkan bahwa mE =

Karena bisector B membagi dua B maka besar B memiliki ukuran sama besar untuk EBC dan ABC yaitu sebesar x. hal sama juga berlaku untuk bisector C yang membagi dua sudut yang sama yaitu y. A = 180 (2x+(180-2y))= 180-(2x-2y+180)= -2x + 2y= 2 (y-x) AFB= 180-(x + (-2x + 2y))= 180 +x -2yKarena AEB bertolak belakang dengan EFC = 180 +x -2y E = 180 (y + (180 + x 2y) = y-xm E = (y-x) = (2 (y-x))(y-x) = (y-x).(terbukti)

10. 904545454590ADCBPada gambar berikut ini, sama kaki dengan dan . Buktikan bahwa BAC siku-siku.

m mm = mDAC ACD ADB ABDMisalkan DAC = x maka,Untuk segitiga BACABC + BAC + ACB = 180ABC + (BAD + DAC ) + ACB = 180X + X + X + X = 180 4X = 180 X = 45BAC = BAD + DAC = X + X = 45 + 45 = 90