GEOMETRI

●

Standar Kompetensi :Menentukan kedudukan, jarak, dan besar sudut

yang melibatkan titik, garis, dan bidang dalam ruang dimensi tiga

Kompetensi Dasar :

Kompetensi Dasar :

Menentukan kedudukan titik, garis, dan bidang

dalam ruang dimensi tiga

Menentukan jarakdari titik ke garis dan dari titik ke bidang

dalam ruang dimensi tiga

Menentukan besar sudut antara garis dan bidang dan antara dua bidang

dalam ruang dimensi tiga

DALAM BAB INI KITA AKAN BELAJAR

DALAM BAB INI KITA AKAN BELAJAR

KEDUDUKAN TITIK, GARIS DAN BIDANG DALAM RUANG

MENENTUKAN JARAK DALAM RUANG

MENENTUKAN SUDUT DALAM RUANG

Pengertian titik, garis dan bidang

Pengertian Titik, Garis dan Bidang

• Titik : Suatu titik ditentukan oleh letaknya, tetapi tidak memiliki ukuran (besaran), sehingga dikatakan bahwa titik tidak berdimensi

Ex : ● Titik B

• Garis : Himpunan titik-titik yang hanya memiliki ukuran panjang, sehingga dikatakan bahwa garis berdimensi satuEx : k

garis k • Bidang : Himpunan titik-titik yang memiliki

ukuran panjang dan lebar, sehingga dikatakan bahwa bidang berdimensi dua Ex :

bidang αbidang α

αα

Aksioma Garis dan Aksioma Garis dan BidangBidang

Aksioma (postulat)Aksioma (postulat) adalah adalah pernyataan yang diandaikan dalam pernyataan yang diandaikan dalam sebuah sistem dan kebenarannya sebuah sistem dan kebenarannya

itu harus diterima tanpaitu harus diterima tanpapembuktianpembuktian

sioma - aksioma Euclides

Aksioma 1

Melalui dua buah titik sebarang yang tidak berimpit hanya dapat dibuat sebuah garis lurus

Aksioma 2

Jika sebuah garis dan sebuah bidang memiliki dua buah titik persekutuan, maka garis itu seluruhnya terletak pada bidang

αα

Aksioma 3

Melalui tiga buah titik sebarang tidak segaris hanya dapat dibuat sebuah bidang

● ●

●

αα

Selanjutnya dapat diturunkan empat buah dalil (teorema) untuk menentukan sebuah bidang

Dalil 1

Sebuah bidang ditentukan oleh tiga titik

sebarang yang tidak segaris

●z

α ● x ● y

Dalil 2

Sebuah bidang ditentukan oleh sebuah garis dan sebuah titik (titik terletak di luar garis)

k

●A β

Dalil 3

Sebuah bidang ditentukan oleh dua buah garis berpotongan

α

4 Dalil

Sebuah bidang ditentukan oleh dua buah garis sejajar

α

Kedudukan Titik Terhadap Garis

Sebuah titik A dikatakan terletak pada garis g, jika titik A dapat dilalui oleh garis g

Titik Terletak pada Garis

Sebuah titik A dikatakan berada di luar garis g, jika titik A tidak dapat dilalui oleh garis g

●

Titik di luar garis

Kedudukan Titik Terhadap Bidang

Sebuah titik A dikatakan terletak pada Sebuah titik A dikatakan terletak pada bidang α jika titik A dapat dilalui oleh bidang α jika titik A dapat dilalui oleh bidang αbidang α

● A

αα

Titik Terletak pada BidangTitik Terletak pada Bidang

● A

Sebuah titik A dikatakan berada Sebuah titik A dikatakan berada diluar bidang α, jika titik A tidak diluar bidang α, jika titik A tidak dapat di lalui oleh bidang α.dapat di lalui oleh bidang α.

● A

αα

Titik diluar BidangTitik diluar Bidang

● A

kedudukan garis terhadap garis dan garis terhadap bidang

Kedudukan garis terhadap garis lain

Ada tiga kemungkinan kedudukan sebuah garis terhadap garis lain dalam sebuah bangun ruang,

yaitu :

Berpotongan Sejajar

Bersilangan

Dua buah garis g dan h dikatakan berpotongan, Jika kedua garis itu terletak pada sebuah bidang dan memiliki sebuah titik persekutuan. Titik persekutuan ini disebut titik potong.Ex :

αα

Garis g dan h berpotongan A disebut titik potong atau titik persekutuandititik A

Dua Garis berpotongan

Jika g dan h memiliki titik potong atau titik persekutuan lebih dari satu, maka g dan h dikatakan berimpit.Ex :

β

Garis g dan h berimpit pada titik A dan titik BA dan B di sebut titik potong atau titik persekutuan

Garis Berhimpit

Dua buah garis g dan h dikatakan sejajar, jika kedua garis itu terletak pada sebuah bidang dan tidak memiliki satupun titik persekutuan.

Ex :

Garis g dan h sejajar

Dua garis sejajar

Dua buah garis g dan h dikatakan bersilangan, jika kedua garis itu tidak terletak pada sebuah bidang.Ex :

Garis g dan h bersilangan

Dua garis bersilangan

Jika garis g dan garis h tidak berpotongan dan tidak sejajar, maka garis g dan h bersilangan

☻Diketahui : Kubus ABCD.EFGH Rusuk AB sebagai wakil garis g

☻Ditanya :

a) Garis – garis yang berpotongan dengan garis g

b) Garis – garis yang sejajar dengan garis g

c) Garis – garis yang bersilangan dengan garis g

Contoh & Jawab

☻Jawab :a) Garis – garis yang

berpotongan dengan garis g adalah garis – garis AD, AE, BC, dan BF

b) Garis – garis yang sejajar dengan garis g adalah garis –garis DC, EF, dan HB

c) Garis – garis yang bersilangan dengan garis g adalah garis – garis CG, DH, EH, dan FG

Aksioma 4 :melalui sebuah titik yang berada di luar sebuah garis tertentu, hanya dapat dibuat sebuah garis yang sejajar dengan garis tertentu itu.Contoh :

●

Titik A berada diluar garis h, sehingga melalui titik A dan garis h dapat dibuat bidang α dan melalui titik A dapat dibuat sebuah garis g yang sejajar h

AA

Dalil Tentang dua garis sejajar

Dalil 5 :

jika garis k sejajar dengan garis l, dan garis l sejajar dengan garis m, maka garis k sejajar dengan garis m.

Contoh :

Dalil 6 :

jika garis k sejajar dengan garis h dan memotong garis g, l sejajar dengan garis h dajuga memotong garis g, maka garis – garis k, l dan g terletak pada sebuah bidang .

Contoh :

Dalil 7 :

jika garis k sejajar garis l sedangkan garis l menembus bidang α maka garis k juga menembus bidang α.

Contoh :

kedudukan Garis Tehadap Bidang

Ada juga kemungkinan kedudukan sebuah garis terhadap sebuah bangun ruang, yaitu :

garis terletak pada bidang

garis sejajar bidang

garis memotong atau menembus bidang

Sebuah garis g dikatakan terletak pada bidang α jika garis g dan bidang α itu sekurang – kurangnya memiliki dua titik persekutuan

Contoh :

Garis g terletak pada bidang α

Garis h dikatakan sejajar bidang β, jika garis h dan bidang β tidak mempunyai satupun titik persekutuan

Contoh :

Garis h sejajar dengan bidang β

Sebuah garis k dikatakan memotong atau menembus bidang γ jika garis k dan bidang γ hanya mempunyai sebuah titik persekutuan. Titik persekutuan ini disebut titik potong atau titik tembus.

Contoh :

Garis k memotong bidang γ dititik ATitik A disebut titik potong atau titik tembus

☻Diketahui : kubus ABCD, EFGH

Bidang alas ABCD sebagai wakil

bidang α

☻Ditanya : a) Garis – garis yang terletak pada bidang α b) Garis – garis yang sejajar dengan bidang α c) Garis – garis yang memotong dan menembus bidang α

Jawab :

a) garis – garis yang terletak pada bidang α adalah garis – garis AB, AD, BC dan CD

b) Garis – garis yang sejajar dengan α adalah garis – garis EF, EH, FG dan GH

c) Garis – garis yang memotong dan menembus bidang α adalah garis – garis EA, FB, GC dan HD

Dalil – dalil tentang garis sejajar bidang

Dalil 8 :

jika garis g sejajar dengan garis h dan garis h terletak pada bidang α, maka garis g sejajar dengan bidang α

Contoh :

Dalil 9:

jika bidang α melalui garis g dan garis g sejajar terhadap garis β, maka garis potong antara bidang α dengan bidang β sejajar terhadap garis g

Contoh :

Dalil 10 :

jika garis g sejajar dengan garis h dan garis h sejajar terhadap bidang α, maka garis g sejajar terhadap bidang αContoh :

Dalil 11 :

jika bidang α dan bidang β berpotongan oleh masing – masing sejajar terhadap garis g maka garis potong antara

bidang α dan bidang β sejajar dengan garis g. Contoh :

☻Diketahui : Kubus ABCD.EFGH Bidang alas ABCD mewakili

bidang α

☻Ditanya : a) Garis – garis dan diagonal sisi yang teletak pada bidang α b) Garis – garis dan diagonal sisi yang sejajar dengan bidang α c) Garis – garis yang menembus bidang α

Jawab :a) Garis – garis dan diagonal

sisi yang teletak pada bidang α adalah garis – garis AB, BC, CD, AD, dan AC, BD

b) Garis – garis dan diagonal sisi yang sejajar dengan bidang α adalah garis – garis EF, FG, GH, EH dan EG, HF

c) Garis – garis yang menembus bidang α adalah AE, BF, CG dan DH

Kedudukan Bidang Terhadap Bidang Lain

Kemungkinan kedudukan Kemungkinan kedudukan sebuah bidang terhadap sebuah bidang terhadap bidang lain dalam sebuah bidang lain dalam sebuah bangun ruang adalahbangun ruang adalah berimpit,berimpit, sejajar, sejajar, atau berpotonganatau berpotongan

Bidang α dan bidang β dikatakan berimpit, jika setiap titik yang terletak pada bidang α juga terletak pada bidang β atau setiap titik yang terletak pada bidang β juga terletak pada bidang α

Contoh :

Dua Bidang Berimpit

Bidang α dan bidang β dikatakan sejajar jika kedua bidang itu tidak mempunyai satu pun titik persekutuan

Contoh :

Dua Bidang Sejajar

Bidang α dan bidang β dikatakan berpotongan jika kedua bidang itu tepat memiliki sebuah garis persekutuan. Garis persekutuan atau garis potong merupakan tempat kedudukan titik-titik persekutuan bidang α dan bidang β. Garis persekutuan antara bidang α dan bidang β dituliskan sebagai (α, β).

Contoh :

Dua Bidang Perpotongan

Diketahui : Kubus ABCD EFGH Bidang sisi ABCD sebagai wakil bidang U

Ditanya :

a) Bidang sisi kubus yang berimpit dengan bidang U b) Bidang sisi kubus yang sejajar dengan bidang U c) Bidang-bidang sisi kubus yang berpotongan dengan bidang U

Contoh & Jawab

jawab :

a) Bidang sisi kubus yang berimpit dengan bidang U adalah ABCD

b) Bidang sisi kubus yang sejajar dengan bidang U adalah bidang sisi EFGH

c) Bidang-bidang sisi kubus yang berpotongan dengan bidang U adalah bidang-bidang sisi ABFE, BCGF, CDHG, dan ADHE

Misalkan tiga bidang (α ,β dan γ) berpotongan dan mempunyai tiga buah garis persekutuan. Kedudukan dari ketiga garis persekutuan itu dapat berimpit (Gambar 6-20a), sejajar (Gambar 6-20b), atau melalui sebuah titik (Gambar 6-20c).

Tiga Bidang Berpotongan

Dalil 12 :

Jika garis a sejajar garis g dan garis b sejajar garis h, garis a dan garis b berpotongan terletak pada bidang α, garis g dan garis h berpotongan terletak pada bidang β, maka bidang α sejajar dengan bidang β.Contoh :

Dalil 13 :

Jika bidang α sejajar bidang β dan dipotong oleh bidang γ, maka garis potong (α, γ) sejajar garis potong (β, γ)contoh :

Dalil 14 :Jika garis g menembus bidang α dan bidang α sejajar bidang β, maka garis g juga menembus bidang β.Contoh :

Dalil 15 :Jika garis g sejajar bidang α dan bidang α sejajar bidang β, maka garis g juga sejajar bidang β.Contoh :

Dalil 16 :

Jika garis g terletak pada bidang α dan bidang α sejajar bidang β, maka garis g juga sejajar bidang β.Contoh :

Dalil 17 :

Jika bidang α sejajar bidang β dan bidang γ memotong bidang α, maka bidang γ juga memotong bidang β.Contoh :

Dalil 18 :

Jika bidang α sejajar bidang β dan bidang β sejajar bidang γ, maka bidang α sejajar bidang γ.Contoh :

Dalil 19 :

bidang U dan bidang β sejajar bidang V, bidang α dan bidang β berpotongan pada garis (α, β), bidang U dan bidang V berpotongan pada garis (U, V), maka garis (α, β) sejajar garis (U, V).Contoh :

Menyelesaikan Soal-soal Lukisan Ruang

langkah-langkahnya sebagai berikut :

Langkah 1Buatlah analisa dan sketsa berdasarkan informasi dan data yang ada dalam soal. Dalam analisa itu, perhatikan aksioma atau dalil yang digunakan secara singkat, tepat dan jelas.

Langkah 2Berdasarkan analisa dan sketsa ruang pada langkah 1, buatlah lukisan ruang yang sebenarnya sesuai dengan permintaan soal.

Catatan :Untuk suatu analisa yang sama, mungkin saja diperoleh lukisan ruang yang agak

berbeda.