BAB 2 MODUL I GEJALA - GEJALA FISIS

I.1 Pendahuluan

Sinyal merupakan suatu peranan penting dalam kehidupan, karena saat ini manusia banyak yang ketergantungan dengan telekomunikasi terutama teknologi peralatan (gadget), yang mana piranti ini sarat dengan pengolahan sinyal. Tanpa disadari, sinyal juga dapat ditemukan di sekitar manusia dalam bentuk sinyal elektromagnetik tubuh makhluk hidup. Agar sinyal dapat bermanfaat sesuai kebutuhan manusia dengan efisien dan optimal, maka diperlukan pengolahan sinyal dengan menggunakan suatu sistem elektronika analog maupun yang digital.

Klasifikasi sinyal digolongkan menjadi dua bagian, sinyal analog dan sinyal digital. Sinyal analog merupakan sinyal yang memiliki nilai untuk setiap waktu, sedangkan sinyal digital merupakan sinyal yang tidak pada semua waktu terdefinisi.Sinyal Riil dan sinyal kompleks

Sinyal riil merupakan sinyal yang bersifat riil untuk semua variabel. Sinyal kompleks merupakan sinyal yang mempunyai nilai yang kompleks ada faktor nilai imajiner.

Sinyal Genap dan sinyal Ganjil

Sinyal genap mempunyai sifat polinomial dengan pangkat yang genap, sedangkan sinyal ganjil mempunyai sifat polinomial dengan pangkat yang ganjil.

Sinyal Deterministik dan sinyal Random

Sinyal deterministik merupakan sinyal yang nilainya secara lengkap untuk semua titik waktu sudah dikenal, sedangkan sinyal random mempunyai nilai random untuk waktu yang diberikan. Nilai-nilai sinyal random untuk setiap titiknya tidak diketahui dengan pasti, sehingga sinyal random hanya dibahas berdasarkan karakter statistik, misalnya nilai rata-rata dan nilai tengah.

Dalam kehidupan modern, pengolahan sinyal sangat bermanfaat dalam segala bidang, antara lain :

Bidang Telekomunikasi, contoh : Pengiriman sinyal handphone menuju BTS dan sistem telekomunikasi berbasis listrik PLN.

Bidang Kedokteran, contoh : Pengolahan sinyal dari sensor menjadi suatu gambar / image untuk mengidentifikasi apakah ada penyakit pada otak / paru-paru.

Bidang Militer, contoh : Pengiriman sinyal radar pesawat dan sistem kendali satelit.

Bidang geofisika mirip dengan bidang kedokteran untuk mengenal struktur fisis material dan memperkirakan keberadaan sumber daya alam yang terpendam dibawah permukaan bumi.

Berikut ini diberikan contoh pembuatan sinyal menggunakan matlab. Program Matlab dapat digunakan untuk membuat sinyal sinusoidal kontinyu dan sinyal sinusoidal diskrit. Sinyal  waktu kontinu  (continous time)  adalah sinyal  dengan variable independen  bernilai nyata (real). Sinyal x(t) adalah sinyal waktu kontinu karena t adalah bilangan nyata. Sinyal waktu diskrit (discrete time) adalah sinyal dengan variable independen bernilai integer.  Sinyal x(n)  adalah sinyal waktu diskrit karena n adalah bilangan integer.

Source Code Program

t=[-pi/2:0.001:pi/2];

x=2*cos(2*pi*t);

plot(x);

title(‘SINYAL KONTINYU’,'FontSize’,14)

Capture Sinyal Sinusoida Kontinyu

Sinyal Sinusoida Diskrit

Ada dua cara memperoleh sinyal waktu diskrit:

·  Sampling dari sinyal waktu kontinu

·  Mencacah (counting)

Source Code Program

t=[-pi/3:0.03:pi/3];

x=3*cos(2*pi*t);

stem(x);

title(‘GRAFIK SINUSOIDA DISKRIT’,'FontSize’,14);

I.2 Deskripsi Dasar Gejala Fisis

Gejala-gejala fisis secara garis besar dapat diklasifikasi menjadi: gejala fisis

deterministik dan atau gejala fisis nondeterministik. Gejala deterministic adalah

gejala yang besaran-besaran fisisnya dapat dinyatakan oleh suatu hubungan

matematis yang eksplisit. Sinyal  deterministik adalah sinyal dimana besaran nya

diketahui dengan pasti apabila diketahui variable independen nya (misalnya besarnya

di masa lalu, saat ini, dan masa datang diketahui dengan pasti).

Source Code Program

t=0:0.02:20;

f=sawtooth(2*pi*t);

plot(t,f);

title(‘SINYAL DETERMINISTIK’,'FontSize’,14)

k

X(t’)

Contoh : benda jatuh bebas, gerak pegas, dan sebagainya.

Gejala non deterministic adalah gejala-gejala yang besaran-besaran fisisnya tak dapat

dinyatakan secara eksplisit oleh suatu hubungan matematis.

Contoh : Output listrik dari generator bising. Data pengamatan gejala non

deterministic adalah acak dan harus dinyatakan dalam pernyataan statistic dan rata-

rata statistic.

A. Klasifikasi Gejala Deterministik

Periodik Sinusoidal : gejala yang dapat dinyatakan secara matematis oleh fungsi

berubah waktu berbentuk

x (t )=x sin (2π f 0t +θ)

Kedudukan seimbang

Simpangan pada saat t

System massa-pegas sederhana

x (t )=x cos√ km

t ; t ≥ 0

Amplitude k = konstanta pegas m = massa benda

Deterministik

Periodik

Sinusoidal Periodik komplek

Non periodik

Hampir periodik

Transient

Sudut phase awal

frekuensi

x

-x

x

amplitudo

frekuensi

Representasi : dalam domain waktu : sejarah waktu

Representasi dalam domain frekuensi :

Spectra diskret atau spectra garis

Periodik Komplek : dinyatakan oleh fungsi matematis berubah waktu yang bentuk gelombangnya tepat berulang kembali pada selang-selang regular.

Misal : x (t )=x (t ± n T p ) n=1 , 2, ……… …………………

Dalam Domain Waktu :

x (t) dapat diuraikan ke dalam deret Fourier

x (t )=a0

2+∑

n=1

∞

¿¿

Dengan f 1: frekuensi fundamental = 1

T p T p Perioda

an=2

T p∫0

T e

x ( t ) cos2 πn f 1 t dt ; n=0 ,1 ,2 ………… …………….

T p periode

T p=1f 0

amplitudo

frekuensi

amplitudo

frekuensi

bn=2

T p∫0

T p

x ( t ) sin 2 πn f 1t dt ;n=1, 2 ,………………………… …

atau x (t )=x0+∑n=1

∞

xn cos (2 πn f 1t−θn)

dengan x0=a0

2;

Dalam domain frekuensi : spectrum periodik komplek

Hampir – periodic : dinyatakan oleh fungsi matematis berubah waktu yang berbentuk

x (t )=∑n=1

∞

xn sin (2 π f n t+θn ) dalam semua kasus

Dengan √ f n/ f m ≠ bilangan rasional

Spectrum :

xn=√an2+bn

2

θn=tg−1 bn

an

n= 1, 2 …………………………

A

X(t)

tf

0

A

0

X(f)

0f

A

X(t)

0 C

t

CA

X(f)

0f

Non periodik transien : adalah gejala-gejala non periodik yang tak termasuk dalam

gejala hamper periodik. Karakteristik yang penting : representasi spectral diskret tak

mungkin diperoleh. Representasi spectral kontinu dalam hamper semua kasus dapat

diperoleh dari intergral Fourier.

x ( f )=∫−∞

+∞

x ( t ) e− j 2 πft dt yang umumnya komplek

¿|x ( f )e− jθ(t )|

Contoh-contoh :

Definisi Domain waktu Domain frekuensi

x (t ) {A e−at;∧t ≥ 00 ;∧x<0

x (t ) {A e−atcos bt ;∧t>00 ;∧t<0

x (f ) {A ;∧C ≥ t ≥ 00 ;∧C<t<0

argumen

Magnitudo x(f)

acak

stasioner

Non ergodicErgodic

Non Stasioner

Klasifikasi Spesial Non Klasioner

B. Klasifikasi gejala random (acak)

Suatu sejarah waktu tunggal

yang menyatakan gejala acak

dinamakan fungsi sample (cuplikan) atau record sample. Koleksi semua fungsi

sample yang mungkin dinamakan proses acak (random) atau proses stekastik. Jadi

record sample adalah salah satu realisasi fisis proses acak.

Record-record sample output generator bising termal

- Proses random stasioner : koleksi fungsi sample, dinamakan ensemble,

meyatakan proses acak. Sifat-sifat gejala dapat dinyatakan pada setiap saat

dengan menghitung rata-rata pada ensemble.

contoh : mean value (momen pertama), korelasi (momen bersamaan) antara

harga-harga proses acak pada dua saat yang berlatihan, ytang dinamakan

fungsi auto korelasi.

𝞵x (t1) =limn → ∞

1n∑k=1

N

xk (t 1)

R x (t 1+ t1+τ ) limn → ∞

1n∑k=1

N

xk (t 1 ) xk (t 1+τ ) rata-rata ensemble

Dan seterusnya Xk (t) .................XN (t)

- Jika x (t1) dan Rx (t1, ti + 𝞽)berubah jika t1 berubah, maka proses acak {x(t)} dinamakan nonstasioner.- Jika x (t1) dan Rx (t1, ti + 𝞽) tak berubah jika t1 berubah maka proses acak {x(t)} dinamakan stasioner secara lemah atau stasioner dalam arti luas. 𝞵x (t1) = 𝞵x Rx(t1, ti + 𝞽)= Rx(𝞽)

Jika semua momen dan momen bersamaan yang mungkin invarian terhadap waktu,

proses acak {x(t)} dinamakan stasioner secara kuat atau stasioner dalam arti sempit.

Tinjau fungsi sample ke-k proses acak.

Harga mean 𝞵x (k) dan fungsi autokorelasi Rx(𝞽,k) fungsi sample ke k

μx (k )=limt → ∞

1T∫

0

T

xk (t)dt

Rata-rata terhadap waktu

R x ( τ , k )= limT → ∞

1T∫0

T

xk ( t)xk(k+𝞽) dt- Jika proses acak {x(t)} stasioner dan 𝞵x (k) dan Rx(𝞽,k) tidak berbeda jika

dihitung dengan fungsi-fungsi sample yang berbeda, maka proses acak dikatakan

ergadic.

Dalam proses acak ergedic, harga mean dan fungsi autokorelasi dirata-ratakan waktu

sama dengan harga dirata-ratakan ensemble.

- Proses acak tak stasioner semua proses acak yang tak memenuhi persyaratan

untuk kestasioneran.

Deskripsi dasar sifat-sifat proses acak.

Empat tipe utama fungsi statistik dapat dipergunakan untuk menyatakan sifat dasr

gejala acak.

a. Fungsi rapat kemungkinan;

b. Harga kwadrat mean;

c. Fungsi autokorelasi;

d. Fungsi rapat spektral daya.

Nama Sifat

Fungsi rapat Kemungkinan besaran p ( x )= lim∆ x→ 0

prob¿¿¿

kemungkinan mempunyai harga

dalam range tertentu(amplitudo ) lim

∆ x →0

1∆ x

¿

Harga kwadrat

mean

Harag rata-rata harga

kwadrat sejarah waktuφ x2= lim

T →∞

1T∫

0

T

x2 ( t ) dt

(intensitas)

Fungsi

autokorelasi

Kebergantungan

umum harga besaran

pada suatu saat pada

saat yang lain

R x ( τ )= limT → ∞

1t∫0

T

x ( t ) x( t , τ )dt

Fungsi rapat

spektral daya

Komposisi frekwensi

umum proses acak

dalam rapat spektral

harga kwadrat

meannya

φ x2 ( f 1 ∆ f )= limT →∞

1T∫0

T

x2 ( f 1 , f 1∆ f ) dt

G x ( f )= lim∆ f →0

φ x2( f 1 ∆ f )∆ f

=2∫−∞

+∞

Rx ( τ )e− j 2 πfτ dτ

Note G x( f ) ℱtransform Rx

(𝞽)

I.2. A. Transformasi Fourier

Transformasi Fourier merupakan alat yang sangat ampuh dalam analisa sistem

linier.

Tinjau dua fungsi h(x) dalam domain ruang spatial dan waktu dan H (s) dalam

domain frekwensi spatial atau frekwensi temporal yang didefinisikan sebagai :

h(x) = ∫−∞

+∞

H ( s) e2 πjsxds Wave form (bentuk gelombang)

H(s) = ∫−∞

+∞

h ( x ) e2 πjsx dx spektrum

Maka fungsi h(x) dan H(s) dikatakan Transformasi Fourier satu sama lain atau

membentuk Pasangan Fourier dan diberi symbol h(x) H(s)

Beberapa teorema dasar ialah :

Pasangan Transformasi Fourier

Pasangan Dasar h(x) H(s)

Argumen negatif h(-x) H(-s)

Konyugasi komplek h * (x) H * (-s)

Konyugasi komplek dan Argumen

negatif

h * (-x) H * (s)

Penskalaan dengan kostanta positif h( x/a ) a H( as )

Perkalian dengan konstanta ch(x) cH(s)

superposisi h1(x) + h2(x) H1(s) + H2(s)

Pergeseran dalam x h ( x- x1 ) e−2 πjsx 1H( s )

Pergeseran dalam s e−2 πjs 1xh( x ) H ( s- s1 )

Konvolusi dalam x∫−∞

+∞

h1 ( x1) h2 ( x- x1 )dx1 H1 ( s ) H2 (s )

Konvolusi dalam ch1 ( x ) h2 ( x ) ∫

−∞

+∞

H 1 ( s1) H2 ( s - s1 ) ds1

Autokorelasi dalam x∫−∞

+∞

h1 ( x1) h * ( x1- x )dx1 H(s ) H* (s )

Autokorelasi dalam sh(x) h * ( x ) ∫

+∞

−∞

H ( s1) H* ( s1 - s ) ds1

Sifat – sifat simitri Transformasi Fourier

h(x) H(s)

GENAP GENAP

Riil dan genap Riil dan genap

Komplek dan genap Komplek dan genapGANJIL GANJIL

Riil dan ganjil Imaginer dan ganjil

Komplek dan ganjil Komplek dan ganjil

Riil genap dan imagine ganjil Riil

Riil ganjil dan imaginer genap Imaginer

Imaginer dan genap Imaginer dan genap

Riil Hermite

Imaginer Anti hermite

Korelasi silang dalam x

∫−∞

+∞

h1 ( x1) h2 * ( x - x1 )dx1 H1(s) H2* (s )

Korelasi silang dalam s

h1(x) h2 * ( x ) ∫−∞

+∞

H 1 ( s1) H2* (s – s1) ds1

Diferensiasi dalam x h1 ( x ) js H(s)

Diferensiasi dalam s -jx h(x) H1 ( s )

Note : Notasi Integral Konvolusi

h(x) = ∫−∞

+∞

h1 ( x1) h2 ( x- x1 ) = h1 (x) / h2 (x)

Laplacean

∆2h ( x )= d2

dx2 h ( x ) -4π2 s2 H (s)

Teorema Rayleigh

∫∫−∞

+∞

|h (x)|2 dx = ∫−∞

+∞

|H (s)|2 ds

Untuk fungsi variabel spatial x , Transformasi Fourier dengan mudah dapat

diperluas pada fungsi dua atau iga variabel. Jika fungsi f (x,y) fungsi kontinu dan

dapat diintegal, dan F(U,v) dapat diintegral, ada transformasi Fourier dua dimensi

F(U,v) = f { f (x , y )} = ∫∫−∞

+∞

f ( x , y )exp [− j2 π (Ux+vY )] dxdy

dan

f(x,y) = f1 {F (U , v )} = ∫∫−∞

+∞

F (U , v )exp [+ j2 π (ux+vY ) ] dudv

dengan u dan v variable frekwensi spatial

I.2. B. Transformasi Laplace

Transformasi lain yang sangat ampuh dalam analisa sistem linier adalah

transformasi Laplace.

Transformasi Laplace dapa dipandang sebagai perluasan transformasi Fourier

ke domain komplek. Transformasi Laplace fungsi h(x) dalam domain ruang spatial

atau waktu kedalam domain Laplace didefinisikan sebagai

F(s) = L {f (x )} = ∫0

∞

f ( x )e−s x dx

dan invers transformasi Laplace adalah sebagai berikut:

F(x) = L−1 {F(s)} = 12 π j

∫σ− j ∞

σ+ j ∞

F ( s) es x ds

Dengan s menyatakan variabel Laplace yang merupakan variabel komplek s=

σ+ j ω sehingga s sering dinamakan frekwensi komplek dan domain Laplace

dinamakan domain frekwensi komplek.

Seperti halnya transformasi Fourier, transformasi Laplace mempunyai sifat

istimewa yaitu :

Sifat linier : L {c f (x )}=C L {f (x)}=C F(s)

Sifat diferensiasi : L { dn

d x nf (x )}=sn F (s)

Sifat integrasi : L {∫0

x

f (x ) dx }=1S

F (s )

Sifat pergeseran : L {e−ax f (x) }=F (s+a)

Sifat translasi : L {f (x−a)}=e−as F (s)

Sifat korelasi : L {f ( x )∗g (x)}=L { f (x) }L {g(x) }

Beberapa pasangan transfomasi Laplace

f(x) F(s)

Impuls satuan (x) 1

Tangga satuan

0; x ≠ 0

u(x) 12

; x = 0

1 ; x ≠ 0

1s

Sinus Sin x / (s2 + 2)

Cosinus Cos x s / (s2 + 2)

Eksponensial e-ax 1 / (s + a)

Pangkat tn / n1 1 / (sn+1)

I.2. C. Transformasi Hilbert

Suatu fungsi f(x) dinamakan causal (kausatif, sebab akibat) jika memenuhi

sifat f(x) = 0 untuk x < 0. Untuk fungsi domain ini, baik riil maupun komplek, bagian

riil dan imaginer transformasi Fouriernya berhubungan yaitu jika

f(x) = 0 untuk x < 0 dan

F(s) = R(s) + j Im(s) = ∫0

∞

f ( x )e− j2 π s x dx

Maka R(s) = 1π∫−∞

+∞ I m(U )s−U

du dan Im(s) = −1π

∫−∞

+∞R(U )s−U

=du

dan pasangan diatas dinamakan pasangan transformasi Hilbert. Bentuk lain : jika f(x)

fungsionil dengan Transformasi Fourier

F(s) dan z(x) = f(x) + j f̂ (x) = 1π∫−∞

+∞

F (s ) e j 2 π s x ds

maka f̂ (x) = 1π∫−∞

+∞f ( y)x− y

dy

I.3 Rangkuman

Sinyal Deterministik

Sinyal Periodik

• Sinyal Sinusoida

• Sinyal Complex-Periodic

• Sinyal Pseurandom

Sinyal Non-Periodik

• Sinyal Transien

• Sinyal Step

• Sinyal Ramp

• Sinyal Pulsa Segiempat

• Sinyal Segitiga

• Sinyal Signum

• Sinyal Sinc

• Sinyal Gaussian

I.4 Soal Latihan

1. Jelaskan apa yang dimaksud dengan sinyal?2. Sebutkan dan jelaskan klasifikasi dari sinyal?3. Jelaskan apa yang dimaksud sinyal waktu kontinyu dan sinyal waktu diskrit?4. Diketahui sinyal diskrit :

x[n] = 3 untuk n → -3 s/d 0 x[n] = 0 untuk n → -3>n>0 Proses sinyal tersebut dengan menggunakan MATLAB jika diinginkan y[n] = x[n+3] → sinyal digeser ke kiri 2 kali y[n] = x[-n-3] → sinyal dicerminkan

5. Beri 2 contoh aplikasi pengolahan sinyal pada bidang komunikasi data komputer