y m

x mIkan Gurami Udang

2. FUNGSI KUADRATa. Menemukan Konsep Fungsi Kuadrat

Masalah 1Pak Ketut memiliki jaring jala sepanjang 60 m. Ia ingin membuat keramba ikan gurami dan udang. Kedua keramba dibuat berdampingan. a. Bagaimana bentuk keramba yang direncanakan Pak Ketut?b. Tentukanlah ukuran keramba agar luasnya maksimum!

Alternatif PenyelesaianPenampang permukaan keramba dapat digambarkan sebagai berikut

Keliling seluruh permukaan keramba 60 m, maka 2y + 3x = 60 atau y = 30 -

32

x

Luas keseluruhan permukaan keramba ikan adalah

L = yx = (30 -

32

x)x = -

32

x2

+ 30x Karena luas permukaan keramba tergantung nilai x maka dapat dibentuk persamaan fungsi luas

L (x) = -

32

x2

+ 30x , x € R, x ≥ 0Dengan mengambil beberapa harga x, diperoleh beberapa harga L dan disajikan pada tabel berikut

Nilai x 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Nilai L 0 54 96 126 144 150 144 126 96 54 0

Grafik fungsi L (x) = -

32

x2

+ 30x pada bidang koordinat dapat digambarkan sebagi berikut.

Grafik fungsi L (x) = -

32

x2

+ 30x memiliki ciri-ciri :a) Kurva berbentuk paarbola terbuka ke bawahb) Grafik memotong sumbu-x pada dua titik yang berbeda yaitu titik (0, 0) dan titik (20, 0).c) Grafik fungsi mencapai puncak pada titik (10, 150).d) Garis x = 10 membagi dua sama besar daerah di bawah kurva, sehingga dinamakan sumbu simetri e) Nilai maksimum L(x) = 150 dicapai pada x = 10

1

Berdasarkan grafik fungsi di atas, luas maksimum diperoleh saat lebar dan panjang permukaan keramba ikan, yaitu x = 10 m dan y = 15 m

Masalah 2Sebuah usaha penyewaan rumah mempunyai 30 unit apartemen. Manager mengetahui dari pengalaman masa lalu bahwa dia dapat menyewakan semua unit masing-masing dengan sewa Rp 1.000.000 perbuan, tetapi untuk setiap pertambahan sewa Rp 50.000, satu unit akan tersisa kosong. Berapa sewa apartemen/ unit yang harus dikenakan perbulan dan berapa unit yang disewakan agar didapat pendapatan maksimum? Catatan: Gambar grafik fungsi pendapatan yang didapat kemudian tentukan pula ciri-cirinya !

Alternatif penyelesaian :Misal banyak unit yang kosong = x Maka banyak unit yang disewakan = ................ 1)Sewa bulanan = ......................................... 2)Total pendapatan P(x) = ......................................... P(x) = ......................................... P(x) = ......................................... Dengan mengambil beberapa harga x, diperoleh beberapa harga P dan disajikan pada tabel berikut

Nilai x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11Nilai P(x1000)

Grafik fungsi P(x) = ......... pada bidang koordinat dapat digambarkan sebagi berikut:

Dengan mensubstitusikan x = ............. ke dalam persamaan 1 dan 2 diperoleh :Banyak unit yang disewakan = ............. = ............. kamarSewa bulanan = ................ = .....................Jadi untuk memperoleh pendapatan maksimum, maka dia menyewakan ............. unit @ Rp ................

Masalah 3.Pekerjaan Pak Suradi adalah pembuat Talang Air. Ia mendapat pesanan membuat sebuah Talang Airdari lembaran seng yang lebarnya 30 cm dengan melipat lebarnya atas tiga bagian yang rusuknya seperti terlihat pada Gambar di bawah ini.

Bantulah Pak Suradi menentukan ukuran tinggi talang agar volume air yang tertampung maksimal.

Masalah 4Persegi ABCD dengan panjang sisinya 10 cm. Pada sisi AB diberi titik E dengan panjang AE adalah xcm. Diantara sisi BC diberi titik F dengan panjang BF = AE. Panjang EB = FC. Tentukan luas minimumDEF !Berdasarkan keempat masalah tersebut, jawablah pertanyaan di bawah ini !1. Apa yang dimaksud dengan fungsi kuadrat ?2. Bagaimana ciri-ciri dari fungsi kuadrat ? DefinisiFungsi kuadrat dalam x adalah suatu fungsi yang berbentuk f(x) = ax2 + bx + c, dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0.

2

b. Grafik Fungsi Kuadrat

Masalah 1Cermati beberapa grafik fungsi kuadrat yang telah digambar sebelumnya kemudian jawab pertanyaan berikut:1) Apa yang dimaksud dengan grafik fungsi kuadrat ?2) Bagaimana bentuk grafik fungsi kuadrat ?2) Apa yang dimaksud dengan persamaan garis sumbu simetris grafik fungsi kuadrat?3) Apa yang dimaksud dengan titik puncak grafik fungsi kuadrat ?4) Bagaimana hubungan persamaan garis simetris dan titik puncak grafik fungsi kuadrat?

Masalah 2Diberikan fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c, dengan a,b,c adalah bilangan real dan a ≠ 0.a. Temukan persamaan sumbu simetri dan titik puncak grafik fungsi kuadrat tersebut.b. Temukan titik potong grafik dengan sumbu x dan sumbu y.c. Temukan sifat-sifat grafik fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c, dengan a, b,c bilangan real

dan a ≠ 0 terkait nilai koefisien a dan titik puncak parabola.

Sifat-sifat grafik fungsi kuadratGrafik fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c, dengan a, b, c bilangan real dan a ≠ 0, berbentuk parabola1). Memiliki

a. Persamaan sumbu simetri

x=−b2 a

b. Titik puncak P (

−b2 a ,

D−4 a ) , dengan D = b2 – 4ac

2). Jika a > 0, maka grafik terbuka ke atas dan mempunyai titik balik minimum P (

−b2 a ,

D−4 a )

3). Jika a < 0, maka grafik terbuka ke bawah dan mempunyai titik balik maksimum P (

−b2 a ,

D−4 a )

4). Misalkan D = b2 – 4ac (D adalah diskriminan)a. Jika D > 0 maka grafik y = f(x) memotong Sumbu-x pada dua titik berbedab. Jika D = 0 maka grafik y = f(x) menyinggung Sumbu-x pada satu titikc. Jika D < 0 maka grafik y = f(x) tidak memotong Sumbu-x

Langkahlangkah menggambar grafik fungsi kuadrat y ax2 + bx + c :a. Menentukan titik potong dengan sumbu koordinat.

b. Menentukan sumbu simetri x=−b

2a

c. Menentukan titik puncak P (x, y) dengan x=−b

2 a dan y= D

−4a , dengan D b2 4ac.

Soal latihan1. Diketahui fungsi kuadrat y = x2 – 6x +5, tentukan

a. koordinat titik potong dengan sumbu xb. koordinat titik potong dengan sumbu yc. persamaan sumbu simetri d. nilai ekstrim e. koordinat titik balik dan jenisnya

3

f. gambar grafiknya2. Sebuah fungsi kuadrat mempunyai nilai maksimum -3 pada saat x = 2, sedangkan untuk x = - 2 fungsi

bernilai -11. Tentukan fungsi kuadrat tersebut !3. Tentukan fungsi kuadrat yang memotong sumbu X di titik (0,0) dan (6,0) serta melalui titik (2,8)4. Tentukan rumus fungsi kuadrat seperti gambar di bawah.

Y (3,13) 4

X 0

4