FUNGSI

1

Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers XI IPS SMA Tarakanita 1 Jakarta

KOMPOSISI FUNGSI DAN FUNGSI INVERS Contoh: Manakah yang merupakan fungsi/pemetaan dan manakah yang bukan fungsi? (i) (ii) (iii)

Relasi himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang memasangkan/mengkawankan/mengkorepodensikan anggota-anggota himpunan A ke anggota-anggota himpunan A ke anggota-anggota himpunan B dengan syarat himpunan A dan himpunan B bukanlah himpunan kosong. Fungsi/pemetaan dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang memasangkan/memetakan setiap anggota himpunan A ke tepat satu anggota himpunan B. Penyajian:

1. Diagram panah 2. Diagram kartesius 3. Himpunan pasangan berurutan 4. Menggunakan rumus

Notasi Fungsi

Himpunan A disebut domain/daerah asal (Df). Himpunan B disebut kodomain/daerah kawan. Himpunan semua peta dari himpunan A disebut range/daerah hasil (Rf). Pemetaan dari himpunan A ke himpunan B yang memetakan setiap x A ke f(x) B dapat dinotasikan sebagai berikut: f(x) : A B x f(x) = y

catatan: x A disebut prapeta, f(x) B yang memiliki hubungan dengan x A disebut peta/bayangan dari A, ditulis y = f(x). x disebut sebagai variabel bebas (variabel yang nilainya tidak tergantung dengan variabel lain). y disebut sebagai variabel terikat (variabel yang nilainya tergantung dengan variabel lain). Sifat-sifat fungsi khusus suatu fungsi 1. Fungsi injektif/fungsi satu-satu Suatu fungsi f: A B merupakan fungsi satu-satu (injektif) jika setiap unsur yang berbeda di A memiliki peta yang saling berbeda di B.

(i) (ii)

2


2. Fungsi into/fungsi ke dalam dan Fungsi surjektif/fungsi onto/fungsi ke pada a. Fungsi into/ fungsi ke dalam

Suatu fungsi f: A B disebut fungsi ke dalam jika terdapat unsur B yang tidak mempunyai pasangan atau pra peta di A.

b. Fungsi surjektif/ fungsi onto/ fungsi ke pada Suatu fungsi f: A B merupakan fungsi ke pada (surjektif) jika setiap umsur B memiliki pra peta di A.

(i) (ii) 3. Fungsi bijektif (fungsi injektif dan fungsi bijektif/Korespodensi satu-satu)

Suatu fungsi f: A B merupakan fungsi jika dan hanya jika fungsi f adalah fungsi injektif dan fungsi surjektif.

(i) (ii) Latihan Fungsi: 1. Gambarlah grafik fungsi ini pada bidang cartesius dalam daerah asal Df = { x x R}:

a. f(x) = 2 b. f(x) = 3-2x c. f(x) =3x+1 d. f(x) = x2 - 4 e. f(x) = x2 + x -2

2. Fungsi-fungsi berikut ini adalah pemetaan dari himpunan A = {x, y, z} ke himpunan B = {1, 2, 3}. Manakah

yang merupakan fungsi ke pada B dan manakah yang merupakan fungsi ke dalam? a. f = { (x,1), (y,1), (z,1)} b. f = { (x,1), (y,2), (z,2)} c. f = { (x,1), (y,2), (z,3)} d. f = { (x,2), (y,2), (z,3)} e. f = { (x,1), (y,3), (z,2)} f. f = { (x,3), (y,2), (z,1)}

3. Diketahui f : A B dan fungsi f ditentukan dengan rumus f(x) = 2 -3x. Apakah fungsi f merupakan fungsi

injektif?

3


4. Relasi pada R dinyatakan dengan grafik berikut, manakah yang merupakan grafik fungsi R : x y? a. b. c.

d. e. f.

g. h.

5. Di antara relasi yang disajikan ini manakah yang merupakan fungsi?

a. b. c.

d. e.

4


6. Tentukan domain (daerah asal) untuk fungsi-fungsi berikut: a. f(x) = x2 + 2x + 5, xR

b. 푓(푥) = √25 − 푥 , xR

c. 푓(푥) = , xR

d. 푓(푥) = , xR

e. 푓(푥) = 푥 − 2, xR

7. Tentukan daerah hasil dari: f(x) = 2x2 – 6x + 3, xR

Langkah-langkah dalam menggambar grafik fungsi kuadrat y = f (x) = ax2 + bx +c, a 0, a, b, c R 1.Buat daftar nilai f dalam tabel.

a.Tentukan titik puncak atau titik baliknya : (x,y) = , .

b. Tentukan titik potong dengan sumbu X, yaitu saat y = 0. c. Tentukan titik potong dengan sumbu Y, yaitu saat x = 0. d. Pilihlah beberapa nilai x kemudian carilah nilai y-nya dengan mensubstitusikan nilai x pada fungsi f. 2.Gambarkan titik-titik pada bidang koordinat. 3.Hubungkan titik-titik ini dengan kurva yang mulus. Langkah-langkah dalam menggambar grafik fungsi linear y = f (x) = ax + b 1.Buat daftar nilai f dalam tabel.

b. Tentukan titik potong dengan sumbu X, yaitu saat y = 0. c. Tentukan titik potong dengan sumbu Y, yaitu saat x = 0. d. Pilihlah beberapa nilai x kemudian carilah nilai y-nya dengan mensubstitusikan nilai x pada fungsi f. 2.Gambarkan titik-titik pada bidang koordinat. 3.Hubungkan titik-titik ini dengan garis.

x

y

x

y

Ingat: domain fungsi

푦 = 푔(푥) g(x) ≥ 0.

푦 = ( )( )

h(x) 0.

Ingat untuk fungsi y = f (x) = ax2 + bx +c Jika a > 0 maka parabola terbuka ke

atas. Jika a < 0 maka parabola terbuka ke

bawah.

5


Skema macam-macam bilangan

Operasi Aljabar pada Fungsi Apabila f dan g masing-masing merupakan fungsi dari x, maka:

1. a. (f + g )(x) = f(x) + g (x)

b. (f - g )(x) = f(x) - g (x)

2. (f g) (x) = f(x) g (x)

3. (푥) = ( )( )

, dengan g(x) 0

4. 푓 (푥) = {(푓(푥))}

Contoh Operasi Aljabar pada Fungsi: 1. Diketahui fungsi-fungsi f(x) dan g(x) ditentukan dengan rumus f(x) = 2x -10 dan g(x) = √2푥 − 1. Tentukan

nilai fungsi-fungsi berikut ini:

a. (f +g ) (x) d. (푥)

b. (f – g ) (x) e. f 2 (x) c. (f g) (x)

2. Diketahui fungsi f (x) = x2 - 2x - 6. Tentukan nilai f(x +4)! 3. Diketahui fungsi f (x) = x2 +2x + 4. Tentukan nilai f(a - 3)!

Kesamaan Dua Fungsi f : A B dan g: A B dikatakan sama jika setiap unsur a A dipetakan sama oleh fungsi f dan g. Dengan kata lain, f = g jika dan hanya jika untuk setiap a A, berlaku f(a) = g(a). Contoh: buku paket hal 8 Latihan Kesamaan Dua Fungsi buku paket hal 9 Aktivitas Kelas no. a, b, d

Pecahan

Bilangan Nol

Bilangan bulat (Z)

Bilangan rasional (Q) Bilangan irasional

Bilangan real (R)

Bilangan cacah Bilangan bulat negatif

Bilangan asli (A)

Bilangan khayal (imajiner)

Bilangan kompleks (C)

Bilangan 1 Bilangan prima Bilangan komposit

6


Komposisi Fungsi

Fungsi f : A B dengan f: x y atau y = f (x) Fungsi g : B C dengan g: y z atau z = g (y) = g (f(x)) Fungsi h: A C dengan h: x z atau z = h (x) = g (f(x)) Jadi, h (x) = g (f(x)) atau h (x) = (g f)(x) = g(f(x)) g f dibaca g bundaran f atau g komposisi f h disebut fungsi komposisi.

Sehingga,

1. (g o f)(x) = g (f(x)) 2. (f o g)(x) = f (g(x))

Latihan Komposisi Fungsi : Selesaikan soal berikut!

1. Misal f: R R , g: R R dengan f(x) = 2x2 + 1 dan g (x) = x +2. Tentukan:

a. (g o f ) (x) b. (f o g) (x) c. (gof) (1) d. (fog) (1) e. (fog) (-2)

2. Diketahui fungsi : R R , g: R R dengan f(x) = 2x -3 dan g(x) = x2 + 5. Hitung: a. (gof)(2) b. (fog) (-3) c. (g o g) (x) d. (g og) (-4)

3. Jika fungsi f(x) = √푥 + 2 dan g(x) = x2 - 2, tentukan:

a. (gof)(x) b. (fog) (-20)

4. Diketahui f(x) = 4x-2, g(x) = 3x +7, dan (f o g) (a) = 2. Tentukan nilai a!

5. Jika fungsi f(x) = dan g(x) = √3푥, tentukan nilai (f o g)(x)!

6. Diketahui : f(x) = 2x + 1, (fog)(x) = 2x2 -2x +7. Tentukan g(x)! 7. Diketahui (fog)(x) = x2 – 2x + 3 dan g(x) = x - 1. Tentukan f(x)!

8. Diketahui (fog)(x) = 3x - 7 dan f(x) = 3x + 8. Tentukan g(x)!

9. Diketahui (fog)(x) = 6x -3 dan f(x) = 2x + 5. Tentukan g(x)!

10. Diketahui (fog)(x) = x2 – 4 dan g(x) = x+3. Tentukan f(x)!

11. Diketahui (fog)(x) = x2 – 9 dan g(x) = x - 3. Tentukan f(x)!

12. Jika f(x) = 3x – 11 dan (g o f) (x) = 3x + 7, tentukan g(x)! 13. Diketahui: g(x) =2x + 3, (fog)(x) = 4x2 +10x +11. Tentukan f(x)!

7


Komposisi Tiga Fungsi

Fungsi h : A B dengan h: x y atau y = h (x) Fungsi g : B C dengan g: y z atau z = g (y) = g (h(x)) Fungsi f: C D dengan f: z w atau w = f (z) = f (g(y)) = f (g(h(x))) Komposisi dari tiga fungsi, yaitu (f g h) (x) = f (g(h(x))) Sehingga,

1. (f g h) (x) = f (g(h(x))) 2. (h g f) (x) = h (g(f(x)))

Sifat-sifat Komposisi Fungsi 1. Tidak komutatif (g o f)(x) (f o g)(x) 2. Asosiatif (f g h)(x) = f (g(h(x))) = ((f g) h) (x) = (f (g h))(x) 3. Ada elemen identitas, yaitu I (x) = x, artinya untuk setiap f berlaku f I = I f = f Latihan: 1. Misal fungsi f, g, dan h masing-masing memetakan f: R R dengan R adalah himpunan bilangan real. Jika

f(x) = 2x -1, g (x) = x2 +1 dan h (x) = x +2. Tentukanlah: a. (f g) (x) c. ((f g) h)(x) b. (g f) (x) d. (f (g h))(x) Apakah (f g) (x) = (g f) (x)? Apakah ((f g) h)(x) = (f (g h))(x)?

2. Diketahui f: R R dengan R himpunan bilangan R, dengan f(x) = x +3. Tentukan: a. (f I ) (x) b. ( I f) (x)

3. Misal f (x) = 3x, g (x) = 2x - 3, h(x) = x2 - 2. Tentukan :

a. (fogoh)(x) b. (fogoh)(-1) c. (fogoh)(2)

4. Misal f (x) = x+1, g (x) = 2x, h(x) = x2 +2. Tentukan : a. (hogof)(x) b. (hogof)(0) c. (hogof)(1)

8


Fungsi Invers

Fungsi f : A B dengan f: x y. Fungsi f -1 : B A dengan f -1: y z. Fungsi f -1 disebut invers dari fungsi f. Ada kecenderungan/kebiasaan yang menotasikan variabel bebas dengan x dan variabel terikat dengan y, sehingga: Penulisan invers fungsi f yaitu = f -1 (y) diganti menjadi y = f -1 (x). Inversnya diganti/ditulis y = f (x) x = f -1 (y) y = f -1 (x) 1. Tentukan invers dari fungsi berikut kemudian tentukan nilai f -1 (-1) dan f -1 (0)!

a. f(x) = 3x – 9 b. 푓(푥) = , dengan x c. 푓(푥) = 푥 − 1 d. 푓(푥) = 푥 + 1 e. 푓(푥) = √푥 + 2 + 1 f. f(x) = , dengan x − g. f(x) = −3x + 7 h. f(x) = x3 +2 i. f(x) = 2− √푥 + 4 j. f(x) = dengan x −

2. Diketahui )(1 xf = - 3x +15. Tentukan nilai f (-3)!

3. Diketahui f (x) = . Tentukan:

a. f b. daerahasalf

4. Diketahui )(1 xf = x - 12. Tentukan nilai f (2)!

5. Diketahui f(x) = dan )(1 kf = 6. Tentukan nilai k!

6. Diketahui f(x) = dan )(1 kf = 4. Tentukan nilai k!

7. Diketahui g (x) =

. Tentukan:

a. g (x)b. daerahasalg (x)

8. Diketahui )(1 xf = x - 6. Tentukan nilai f (3)!

9. Diketahui f(x) = dan )(1 af = 4. Tentukan nilai a!

9


Fungsi Invers dan Komposisi Fungsi

Misalkan f: A B dan g: B C bijektif, maka: 1. 푓 푓= 푓푓 = I 2. (푔f) = 푓 푔 3. (푓g) = 푔 푓 4. (푓gh) = h 푔 푓

Latihan 1. Diketahui f: RR dan g: RR dengan f(x) = x + 2, g(x) = 4 - 2x. Tentukan:

a. (f g)(x) b. (g f)(x) c. (푓g) (푥) d. (푔f) (푥) e. 푔 푓 (푥) f. 푓 푔 (푥) Buatlah kesimpulan dari c-f!

2. Diketahui fungsi f (x) = 3x + 2 dan g(x) = - x - 5. Tentukan ( )!() 1 xgf !

3. Diketahui fungsi f (x) = x - 5 dan g(x) = 6x – 7. Tentukan nilai x jika ( 1)() 1 xfg !

4. Diketahui fungsi f(x) = dengan x 0 dan g(x) = 3x -2. Tentukan )!()( 1 xgf

5. Diketahui fungsi f (x) = x - 2 dan g(x) = 2x + 5. Tentukan ( )!() 1 xfg

6. Diketahui fungsi f (x) = x - 1 dan g(x) = 3x – 4. Tentukan nilai x jika ( 2)() 1 xgf !

7. Diketahui f(x) = √푥 dengan x ≥ 0 dan 푔(푥) = dengan x -1. Tentukan ( )!() 1 xfg

FUNGSI

Documents

Transcript of FUNGSI