MA1114 Kalkulus I 1

2. FUNGSI

2

2.1 Fungsi dan Grafik

Rx

Definisi : Fungsi dari R (bilangan real) ke R adalah suatu aturan yangmengaitkan (memadankan) setiap dengan tepat satu Ry

Notasi : f : R R)(xfyx

x disebut peubah bebas, y peubah tak bebas

Contoh42)( 2 xxxf

xxf 1)(

32,)( 2 xxxf

1.

2.

3.

3

R Rf

f suatu fungsi

R Rf

f bukan fungsi

4

Domain / daerah asal dari f(x), notasi Df , yaitu

Daerah nilai / Range dari f(x) , notasi Rf , yaitu

})(|{ RxfRxDf

}|)({ ff DxRxfR

R R

Df Rf

f

5

Contoh Tentukan daerah asal dan daerah nilai dari

42)( 2 xxxf

xxf 1)(

1.

2.

Jawab :

1. Karena fungsi f(x) selalu terdefinisi untuk setiap x maka),(}{ RxD f

3)1(42)( 22 xxxxf

0

),3[ fR

2. ),0[}0|{ xRxD f

Karena 0untuk0 xx 11)( xxf

),1[ fR

Kalkulus 1 6

Latihan

Tentukan domain dan range dari fungsi berikut:

12. ( )

3

xf x

x

23. ( ) 4f x x

4. ( ) 1 4f x x

2

15. ( )f x

xxxf 6)(.1

22)(.6 xxf

23)(.7 xxf

2)(.8 xf

MA1114 Kalkulus I 7

Grafik FungsiMisal y = f(x), himpunan titik

},|),{( ff RyDxyx

disebut grafik fungsi f

Grafik fungsi sederhana

a. Fungsi linearbaxxf )(

Grafik berupa garis lurusCara menggambar : tentukan titikpotong dgn sumbu x dan sumbu y

-1

1

y=x+1

ContohGambarkan grafik y = x + 1Titik potong dgn sumbu x

y = 0 x = -1 (-1,0)

Titik potong dgn sumbu yx = 0 y=1 (0,1)

MA1114 Kalkulus I 8

b. Fungsi Kuadrat

cbxaxxf 2)(

Grafik berupa parabola. acbD 42

a>0, D>0 a>0, D=0 a>0, D<0

Misal

abx 2

aD

4

MA1114 Kalkulus I 9

a<0, D>0 a<0, D=0 a<0, D<0

MA1114 Kalkulus I 10

Menggambar Grafik Fungsidengan Pergeseran

Jika diketahui grafik fungsi y = f(x), maka :

Grafik y=f(x-h)+k diperoleh dengan cara menggeser grafik y = f(x)

(i) sejauh h satuan ke kanan jika h positif dan k satuan ke atas jika k

positif

(ii) sejauh h satuan ke kiri jika h negatif dan k satuan ke bawah jika k negatif.

11

Contoh Pergeseran

542 xxxf

54442 xx

12 2 x

2xy

22 xy

digeser sejauh

1. Gambarkan grafik fungsi

2 ke kanan

2

42xy = ( )22−= xy

Kalkulus 1 12

22 xy

12 2 xy

Kemudian digeser sejauh 1 ke atas

maka akan terbentuk

2

4

( )22−= xy

( ) 122 +−= xy

13

c. Fungsi Banyak Aturan

Bentuk umum

)(

.

.

)(

)(

1

xg

xg

xf

n

Contoh Gambarkan grafik

1,2

10,

0,

)(

2

x

xx

xx

xf

Kalkulus 1 14

Untuk 0x2)( xxf

Grafik: parabola

Untuk 0<x<1

f(x)=x

Grafik:garis lurus

Untuk 1x

2)( xf

Grafik: garis lurus sejajar sumbu x

1

2

º

Latihan

Gambarkan grafik

15

2;

21;3

1;

)(.2 xx

x

xx

xfa

42)(. 2 xxxfb

2)(. 2 xxfc

96)(. 2 xxxfd

16

2.2 Jenis-jenis Fungsi

f x a a x a x a xnn( ) ... 0 1 2

2

f xp x

q x( )

( )

( )

4

1)(

2

2

x

xxf

1. Fungsi polinom (suku banyak)

Fungsi suku banyak terdefinisi dimana-mana(R)

2. Fungsi Rasional :

dengan p(x) dan q(x) merupakan fungsi polinom , dan q(x) ≠0.

Fungsi rasional terdefinisi dimana-mana kecuali dipembuat nol q(x)

terdefinisi di mana2 , kecuali di x = 2, dan x = -2

contoh

}2,2{ RD f

17

3. Fungsi genap dan fungsi ganjil

Definisi : Fungsi f disebut fungsi ganjil jika f(-x) = - f(x)Grafik fungsi ganjil simetri terhadap titik asal

Fungsi f disebut fungsi genap jika f(-x) = f(x)Grafik fungsi genap simetri terhadap sumbu y

contoh3)( xxf ganjil karena )()()( 33 xfxxxf

contoh2)( xxf )()()( 22 xfxxxf genap karena

18

4. Fungsi periodikFungsi f(x) disebut periodik dengan perioda p jika f(x+p) = f(x).

Contoh

f(x) = sinx fungsi periodik dengan perioda 2п karena

f(x+2п) = sin(x+2п) = sinx cos(2п) + cosx sin2п)= sinx = f(x)

19

Fungsi Komposisi

Definisi: Komposisi dari fungsi f(x) dengan g(x) didefinisikan sebagai))(())(( xgfxgf

Syarat yang harus dipenuhi agar f o g ada (terdefinisi) adalah fg DR R R R

g f

f○g

Dg Rg Rf

Df

20

Sifat-sifat fungsi komposisi :

f o g g o f .

Contoh:Diketahui

Tentukan (jika ada),

1)(dan)( 2 xxgxxf

})(|{ fggf DxgDxD

},)(|{ gfgf RttfyRyR

gfDgf dan

21

Jawab :

xxf )(

1)( 2 xxg

,0fD ,0, fR

RDg ,1, gR

,0,0,1fg DR

maka f o g terdefinisi, dan

1)1())(())(( 22 xxfxgfxgf

Karena

22

0)1)(1(|01| 2 xxRxxRx

fggf DxgDxD )(| ,01| 2xRx

).,1[]1,(

Dengan fungsi yang sama, cobakan untuk fgDxfg ,))((

23

xxgxxfa

2)(;1)(.

2)(;1

2)(. xxg

xxfb

Latihan

Tentukan (jika ada)gfDxgf ),)((

dari

4)(;)(. 2 xxgxxfc

xxgxxfd )(;1)(. 2