PRODI PENDIDIKAN MATEMATIKA

UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI

CIREBON

2011

FERRY FERDIANTO, S.T., M.Pd.

Operasi Himpunan

Operasi Himpunan

Operasi Himpunan

Operasi Himpunan

Operasi Himpunan

4. Beda Setangkup (Symmetric Difference)

Notasi: A B = (A B) – (A B) = (A – B) (B – A)

Contoh 19.

Jika A = { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5 }, maka A B = { 3, 4, 5, 6 }

Operasi Jumlah dan Selisih Himpunan

Operasi Jumlah dan Selisih Himpunan

Operasi Jumlah dan Selisih Himpunan

Operasi Jumlah dan Selisih Himpunan

Contoh

Jika A = {1, 3, 5, 7, 9} dan B = {4, 5, 6, 8, 10}

maka

1. A B =

2. A B =

3. A - B =

4. B - A =

5. A + B =

{5}

{1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

{1, 3, 7, 9}

{4, 6, 8, 10}

{1, 3, 4, 7, 8, 9, 10}

Operasi Jumlah dan Selisih Himpunan

Teorema 6.3.12. Untuk sembarang himpunan A,B

A + B = (A B)/(A B)

Teorema 6.3.13. Untuk sembarang himpunan A,B

A + B = (A/B) (B/A)

Teorema 6.3.14 (Komutatif jumlah).

Untuk sembarang himpunan A,B

A + B = B + A

Teorema 6.3.15 (Distributif Selisih).

Untuk sembarang himpunan A,B,C

(A B)/C = (A/C) (B/C)

(A B)/C = (A/C) (B/C)

Perkalian Kartesian

Perkalian Kartesian dari dua himpunan

didefinisikan sebagai :

AB = {(a, b) | aA bB}

Contoh: A = {x, y}, B = {a, b, c}

AB = {(x, a), (x, b), (x, c), (y, a), (y, b), (y, c)}

Perkalian Kartesian

Perhatikan bahwa:

A =

A =

Untuk himpunan A dan B yg tidak kosong:

AB AB BA

|AB| = |A||B|

Perkalian Kartesian dari dua himpunan atau lebih

didefinisikan sebagai:

A1A2…An = {(a1, a2, …, an) | aiAi for 1 i n}

Sifat-sifat Operasi Himpunan

Teorema 6.3.2 Komplemen Ganda.

Untuk sembarang himpunan A berlaku:

(Ac)c = A

Teorema 6.3.3 ( Sifat Komutatif/ Pertukaran).

Untuk sembarang himpunan A dan B berlaku:

A B = B A

A B = B A

Sifat-sifat Operasi Himpunan

Sifat-sifat Operasi Himpunan

Sifat-sifat Operasi Himpunan

Teorema 6.3.8 (Hukum De Morgan).

Untuk sembarang himpunan A dan B berlaku

(A B)c = Ac Bc

(A B)c = Ac Bc

Teorema 6.3.9 ( Hukum Distributif).

Untuk sembarang himpunan A,B dan Cberlaku:

A (B C) = (A B) (A C)

A (B C) = (A B) (A C)

Teorema 6.3.9 ( Hukum Distributif).

Bagaimana membuktikan A(BC) = (AB)(AC)?

Cara :

xA(BC)

xA x(BC)

xA (xB xC)

(xA xB) (xA xC)(hukum distributif untuk logika matematika)

x(AB) x(AC)

x(AB)(AC)

Sifat-sifat Operasi Himpunan

Teorema 6.3.10 ( Sifat Idempoten).

Untuk sembarang himpunan A berlaku

A A = A

A A = A

Soal

Buktikan bahwa:

A (Ac B) = A B

Jawab:

A (Ac B) = A B dibukti

(A Ac) (A B) = A B sifat distributif

S (A B) = A B sifat komplemen

A B = A B sifat identitas

Terbukti

Soal

Jika A B = S, maka Ac ⊆ B

Jika A B = S, maka Bc ⊆ A

A (Ac B) = A B

(A B) (A Bc) = A

A – B = A Bc

A (Ac B) = A B

tugas

Buatlah diagram venn dari operasi himpunan berikut:

a. Cc (A B) d. (A C ) c B

b. Ac (B C) e. (A B ) c C

c. Bc (A C ) f. (B C ) c A

Diketahui : S = { x I x < 10, x cacah}

A = { 2, 5, 7. 8. 9 }

B = { 1, 2, 4, 6, 8 }

C = { 1, 3, 5, 7, 9 }

Tentukan:

a. Ac f. A + B k. (A + B) c

b. Bc g. B + A l. (B – C) c

c. Cc h. A – C m. A - Bc

d. (A B ) c i. B – A

e. A c B c j. A x Bc

Kardinalitas

Kardinalitas dari A adalah jumlah semua elemen(yg berbeda) pd himpunan A

Notasi: |A|

Jika kardinalitas adalah bilangan cacah (dalam N) maka himpunan tersebut dikatakan berhingga, jikatidak, dikatakan tak berhingga

Contoh: N adalah tak berhingga karena |N| bukan bilangan cacah

|A| = n, maka |P(A)| = 2n

Kardinalitas

Peggunaan Himpunan

Misal A dan B merupakan himpunan-himpunan yang saling

bebas, maka:

n (A B) = n (A – B) + n(A B) + n (B – A)

= X + Y + Z

= X + Y + Z + Y – Y

= (X + Y) + (Z + Y) – Y

n (A B) = n (A) + n(B) – n(A B)

X Y Z

Soal

Dalam suatu kelas terdapat 32 siswa diantaranya 15 siswa senang IPA dan 29

siswa senang IPS. Tentukan banyaknya siswa yang senang keduanya?

Jawab:

S = Jumlah Siswa n(S) = 32

A = Siswa yang senang IPA n(A) = 15

B = Siswa yang senang IPS n(B) = 29

n(A B) …?

n(S) = n (A B) + n (A B)c

32 = n (A B) + 0

n (A B) = n (A) + n(B) – n(A B)

n (A B) = n (A) + n(B) – n(A B)

= 15 + 29 – 32

= 12

Jadi yang senang keduanya adalah 12

3 12 17

Soal

Hasil penelitian yang dilakukan terhadap 300 orang siswadi suatu sekolah, menyatakan 60 orang senang olah raga, dan 150 orang senang seni musik. Jika diketahui pula ada130 orang yang tidak senang olah raga dan seni musik, berapa orangkah yang senang kedua-duanya..?

Dalam suatu kelas terdapat 30 orang siswa diantaranya 17 orang senang membaca, 15 orang siswa senang menulis, 22 orang siswa senang menghitung, 8 orang siswa senangmembaca dan menulis, 12 orang siswa senang membacadan menghitung, sedangkan 2 orang siswa tidak senangmembaca, menulis dan menghitung. Tentukan banyaknyasiswa yang senang ketiganya?

Soal

Banyaknya murid siswa di kelas XII SMA 1 ada 100 orang diketahui ada 68 orang pemain sepak bola, 65 orang pemain bulu tangkis, 45 orang pemain tenis meja, selaindari itu diketahui pula pemain sepak bola dan tenis mejaada 25 orang, pemain sepak bola dan bulu tangkis ada 40 orang, sedangkan pemain bulu tangkis dan tenis meja ada25 orang, pemain tenis meja aja ada 5 orang

a. Berapa orang yang hanya pemain bulu tangkis

b. Berapa orang yang hanya pemain sepak bola

c. Berapa orang yang tidak merupakan pemain sepakbola, bulu tangkis dan tenis meja.

d. Berapa orang yang termasuk ketiganya.