E - Modul Matematika WAJIB
Transcript of E - Modul Matematika WAJIB
E - Modul Matematika WAJIB xii ipa/ips
Oleh : Mu. Bima Azmi
i
Salah satu penunjang dalam proses belajar mengajar adalah modul. Modul yang baik
adalah modul yang menarik dipelajari, mudah dipahami, dan tidak membosankan serta
memberikan makna dan salah satu mata pelajaran sebagai ilmu dasar yang dapat digunakan
sebagai alat bantu memecahkan masalah dalam berbagai bidang ilmu, seperti Ekonomi,
Akuntansi, Geografi, Astronomi dan lainnya dalah matematika. Puji syukur penulis panjatkan
kehadirat Tuhan yang Maha Esa karena berkat rahmat dan hidayah-Nya penulis dapat
menyusun modul matematika kelas XII SMA untuk digunakan sebagai bahan ajar oleh guru.
Modul ini penulis susun berdasarkan Kompetensi Inti dan Kompetensi Dasar mata
pelajaran Matematika Wajib SMA/MA yang tercantum dalam kurikulum 2013 revisi yang
bertujuan untuk memabantu guru dalam mempelajari dan menerapkan pembelajaran yang
inovatif serta penulis telah menjabarkan Kompetensi Inti dan Kompetensi Dasar menjadi
materi yang dapat memberikan pembelajaran yang cukup bagi siswa. Dalam modul ini akan
dipelajari beberapa pokok bahasan pada semester ganjil dengan disertai langkah-langkah
pembelajaran yang menarik dan mendorong rasa ingin tahu siswa untuk menemukan konsep
matematika yang diperkenalkan secara lebih mandiri.
Setelah mempelajari modul ini diharapkan guru dapat menerapkannya dalam
pembelajaran disekolah dan beberapa siswa memperoleh pemahaman tentang konsep –
konsep yang berkaitan dengan matematika. Kemampuan dasar untuk berpikir logis, kritis dan
rasa ingin tahu memecahkan masalah sangat diharapkan dalam modul ini. Selain itu
diharapkan siswa memiliki kemampuan dan pengetahuan matematika yang dikaitkan dengan
kehidupan sehari – hari.
Namun demikian, penulis menyadari bahwa modul ini juga tak lepas dari kekurangan.
Karenanya penulis mengharapkan kritik dan saran dari semua pihak baik rekan – rekan guru
maupun para siswa, demi perbaikan diedisi mendatang.
Medan, Juli 2019
Penulis,
KATA PENGANTAR
ii
Daftar isi
KATA PENGANTAR .................................................................................... ........ i
DAFTAR ISI ................................................................................................... .......ii
PENDAHULUAN .......................................................................................... ...... iv
PETA KONSEP .............................................................................................. .....vii
PETUNJUK PENGGUNAAN MODUL ........................................................ ...... ix
MODUL I : TITIK , GARIS, DAN BIDANG
A. Tujuan Pembelajaran .......................................................................... ....... 1
B. Uraian Materi. ..................................................................................... ....... 1
C. Tes ....................................................................................................... ....... 6
D. Rangkuman ......................................................................................... ....... 7
E. Kunci Jawaban .................................................................................... ....... 8
MODUL II : JARAK DALAM BANGUN RUANG
A. Tujuan Pembelajaran .......................................................................... ....... 9
B. Uraian Materi ....................................................................................... ....... 9
C. Tes ........................................................................................................ ..... 15
D. Rangkuman .......................................................................................... ..... 16
E. Kunci Jawaban ..................................................................................... ..... 16
MODUL III : PENGERTIAN DASAR DAN PENYAJIAN DATA STATISTIKA A. Tujuan Pembelajaran .......................................................................... ..... 17
B. Uraian Materi ....................................................................................... ..... 17
C. Tes ........................................................................................................ ..... 23
D. Rangkuman .......................................................................................... ..... 24
E. Kunci Jawaban ..................................................................................... ..... 24
MODUL IV : UKURAN STATISTIK DATA
A. Tujuan Pembelajaran .......................................................................... ..... 25
B. Uraian Materi ....................................................................................... ..... 25
C. Tes ........................................................................................................ ..... 34
D. Rangkuman .......................................................................................... ..... 36
E. Kunci Jawaban ..................................................................................... ..... 36
iii
MODUL V : KAIDAH PENCACAHAN DAN PERMUTASI
A. Tujuan Pembelajaran ........................................................................... 37
B. Uraian Materi ....................................................................................... 37
C. Tes ........................................................................................................ 44
D. Rangkuman .......................................................................................... 45
E. Kunci Jawaban ..................................................................................... 45
MODUL VI : KOMBINASI DAN BINOMIUN NEWTON
A. Tujuan Pembelajaran ........................................................................... 46
B. Uraian Materi ....................................................................................... 46
C. Tes ........................................................................................................ 50
D. Rangkuman .......................................................................................... 51
E. Kunci Jawaban ..................................................................................... 51
MODUL VII : PELUANG A. Tujuan Pembelajaran ........................................................................... 52
B. Uraian Materi ....................................................................................... 52
C. Tes ........................................................................................................ 58
D. Rangkuman .......................................................................................... 59
E. Kunci Jawaban ..................................................................................... 59
DAFTAR PUSTAKA ...................................................................................... 60
iv
Standar isi satuan pendidikan merupakan standar pengukuran dalam pembelajaran yang
telah diberlakukan dalam satuan pendidikan menengah atas yang dasar itu penyusanan modul
menjadi suatu tatanan para guru dalam upaya untuk meningkatkan kemandirian dan keaktifan
siswa dalam belajar sebagai bahan ajar yang tepat untuk digunakan.
Seperti halnya dalam kehidupan sehari-hari, kita sering dihadapkan dengan persoalan
yang kalau ditelusuri ternyata merupakan masalah matematika. Seperti halnya meghitung
antar jarak pada suatu ruangan, pendataan dari suatu data, dan menghitung peluang suatu
kejadian misalnya. Dengan ilmu matematika maka persoalan tersebut akan lebih mudah untuk
diselesaikan ditambah dengan model pembelajaran yang inovatif. Oleh karena itu penulis
menyusun modul matematika kelas XII SMA dengan menerapkan pembelajaran kooperatif
dengan beberapa variasi. Kemudian diaharapkan setelah mempelajari modul ini akan
memperoleh pemahaman tentang konsep-konsep matematika yang dikaitkan dengan masalah
konstektual.
Adapaun modul ini akan mempelajari beberapa pokok bahasan mengenai, jarak dalam
bangun ruang, statistika dan peluang berdasarkan indikator pembelajaran. Indikator untuk
pencapaian hasil belajar dalam materi pokok tersebut adalah sebagi berikut.
Kompetensi Inti
KI–1 : Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya
KI–2 : Menghayati dan mengamalkan prilaku jujur, disiplin, santun, peduli (gotong
royong, kerjasama, toleran, damai), bertanggung jwab, responsif, dan pro–aktif
dalam berinteraksi secara efektif sesuai dengan perkembangan anak dilingkungan,
keluarga, sekolah, masyarakat dan lingkungan alam sekitar, bangsa, negara,
kawasan, regional dan kawasan internasional.
KI–3 : Memahami, menerapkan dan menganalisis pengetahuan konseptual, prosedural, dan
metakognitif berdasarkarasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi,
seni budaya dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan,
kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian serta
menerapkan pengatahuan procedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai
dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah.
KI-4 : Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait
dengan pengembangan dari yang dipelajarinya disekolah secara mandiri, bertindak
secara efektif dan kreatif, serta mampu menggunakan metode sesuai kaidah
keilmuan
Pendahuluan
v
3.1.1 Memahami konsep geometri ruang
3.1.2 Mengidentifikasi fakta jarak dalam
bangun ruang (antar titik, titik kegaris,
dan titik kebidang)
3.1.3 Mendeskripsikan jarak dalam bangun
ruang (antar titik, titik kegaris, dan
titik kebidang)
4.1.1 Menentukan jarak dalam bangun ruang
(antar titik, titik kegaris, dan titik
kebidang)
4.1.2 Menyelesaikan masalah yang berkaitan
dengan geometri ruang
4.1.3 Menyajikan penyelesaian masalah yang
berkaitan dengan geometri ruang
3.2.1 Mengidentifikasi fakta pada ukuran
pemusatan dan penyebaran data yang
disajikan dalam bentuk tabel,
distribusi frekuensi dan histogram
3.2.2 Menentukan ukuran pemusatan dan
penyebaran data yang disajikan dalam
bentuk tabel distribusi frekuensi dan
histogram
3.2.3 Menganalisis ukuran pemusatan dan
penyebaran data yang disajikan dalam
bentuk tabel distribusi frekuensi dan
histogram
4.2.1 Menyelesaikan masalah yang berkaitan
dengan penyajian data hasil pengukuran
dan pencacahan dalam tabel distribusi
frekuensi dan histogram
4.2.2 Menyajikan penyelesaian masalah yang
berkaitan dengan penyajian data hasil
pengukuran dan pencacahan dalam tabel
distribusi frekuensi dan histogram
Kompetensi Dasar
3.1 Mendeskripsikan jarak dalam ruang (antar titik, titik ke garis, dan titik ke bidang).
4.1 Menentukan jarak dalam ruang (antar titik, titik ke garis, dan titik ke bidang).
3.2 Menentukan dan menganalisis ukuran pemusatan dan penyebaran data yang disajikan
dalam bentuk tabel distribusi frekuensi dan histogram.
4.2 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan penyajian data hasil pengukuran dan pencacahan dalam tabel distribusi frekuensi dan histogram.
3.3 Menganalisis aturan pencacahan (aturan penjumlahan, aturan perkalian, permutasi,
dan kombinasi) melalui masalah kontekstual
4.3 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan kaidah pencacahan (aturan
penjumlahan, aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi).
3.4 Mendeskripsikan dan menentukan peluang kejadian majemuk (peluang kejadian-
kejadian saling bebas, saling lepas, dan kejadian bersyarat) dari suatu percobaan acak.
4.4 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan peluang kejadian majemuk (peluang, kejadian-kejadian saling bebas, saling lepas, dan kejadian bersyarat).
Indikator
vi
3.3.1 Memahami konsep kaidah pencacahan
3.3.2 Mengidentifikasi fakta pada aturan
pencacahan (aturan penjumlahan,
aturan perkalian, permutasi, dan
kombinasi) melalui masalah
kontekstual
3.3.3 Menganalisis aturan pencacahan
(aturan penjumlahan, aturan perkalian,
permutasi, dan kombinasi) melalui
masalah kontekstual
4.3.1 Menyelesaikan masalah kontekstual yang
berkaitan dengan kaidah pencacahan
(aturan penjumlahan, aturan perkalian,
permutasi, dan kombinasi)
4.3.2 Menyajikan penyelesaian masalah yang
berkaitan dengan kaidah pencacahan
(aturan penjumlahan, aturan perkalian,
permutasi, dan kombinasi)
3.4.1 Memahami konsep peluang majemuk
3.4.2 Mengidentifikasi fakta pada peluang
kejadian majemuk (peluang, kejadian-
kejadian saling bebas, saling lepas,
dan kejadian bersyarat) dari suatu
percobaan acak
3.4.3 Mendeskripsikan peluang kejadian
majemuk (peluang kejadian-kejadian
saling bebas, saling lepas, dan
kejadian bersyarat) dari suatu
percobaan acak
3.4.4 Menentukan peluang kejadian
majemuk (peluang kejadian-kejadian
saling bebas, saling lepas, dan
kejadian bersyarat) dari suatu
percobaan acak
4.4.1 Menyelesaikan masalah yang berkaitan
dengan peluang kejadian majemuk
(kejadian-kejadian saling bebas, saling
lepas, dan kejadian bersyarat)
4.2.2 Menyajikan masalah yang berkaitan
dengan peluang kejadian majemuk
(peluang, kejadian-kejadian saling bebas,
saling lepas, dan kejadian bersyarat)
vii
Peta konsep
STATISTIKA
GEOMETRI
Modul I Titik, Garis, Bidang
Modul II Jarak dalam Bangun Ruang
Kegiatan Belajar I ▪ Pengertian titik, garis,
dan bidang ▪ Kedudukan titik, garis
dan bidang dalam bangun ruang
Kegiatan Belajar II ▪ Jenis-jenis Bangun Ruang ▪ Jarak dalam Bangun
Ruang
Modul III Pengertian dasar dan
Penyajian Data Statistika
Modul IV Ukuran Statistika Data
Kegiatan Belajar III ▪ Pengertian Statistika ▪ Tabel Frekuensi
Distribusi ▪ Diagram/Grafik ▪ Ogive
Kegiatan Belajar IV ▪ Ukuran Pemusatan
Data ▪ Ukuran Letak Data ▪ Ukuran Penyebaran
data
viii
Peta konsep
PELUANG
Modul V Kaidah Pencacahan dan
Permutasi
Modul VI Kombinasi dan Binomium
Newton
Kegiatan Belajar V ▪ Aturan Penjumlahan ▪ Aturan Perkalian ▪ Notasi Faktorial ▪ Permutasi dari Unsur
Berbeda-beda ▪ Permutasi dengan
Beberapa Unsur Sama ▪ Permutasu Berulang ▪ Permutasi Siklis
Kegiatan Belajar VI ▪ Kombinasi ▪ Konsep binomian
Newton ▪ Menentukan Suku dan
Koefisien Binomial
Modul VII Peluang
Kegiatan Belajar VI ▪ Konsep Dasar Peluang ▪ Peluang Suatu Kejadian ▪ Frekuensi Harapan ▪ Kejadian Majemuk
ix
Petunjuk bagi Siswa
Untuk memperoleh prestasi belajar secara maksimal, maka langkah-langkah yang
perlu dilaksanakan dalam modul ini anatar lain :
1. Baca dan pahami benar-benar tujuan yang terdapat dalam modul ini
2. Perhatikan uraian yang terdapat dalam modul ini
3. Bila dalam mempelajari modul ini belum menguasai level materi yang diharapkan,
ulangi lagi pada kegiatan belajar sebelumnya. Dan bila masih mengalami
kesulitan, diskusikan dengan teman-teman yang lain. Dan apabila belum
terpecahkan sebaiknya tanyakan pada guru.
4. Rangkumlah materi dengan bahasa mu sendiri agar lebih mudah dalam mengingat
kembali materi yang dipelajari.
Petunjuk bagi Guru
Dalam setiap pembelajaran , guru berperan untuk :
1. Membantu siswa dalam proses pembelajaran
2. Membimbing siswa dalam memahami konsep, analisa dan menjawab pertanyaan
siswa
3. Mengorganisir kegiataan belajar kelompok.
PeTunjuk Penggunaan modul
x
1
A. TUJUAN PEMBELAJARAN
B. URAIAN MATERI
1. Pengertian Titi, Garis, dan Bidang
a. Titik
Titik tidak memiliki dimensi (tidak memiliki ukuran), disimbolkan dengan noktah
dan diberi nama dengan huruf kapital, misalnya 𝑃, 𝑄, 𝑅, 𝑆 dan lainnya.
Contohnya :
• 𝐴
b. Garis
Garis adalah kumpulan dari beberapa titik yang memiliki satu dimensi yaitu
dimensi panjang. Disimbolkan dengan dengan huruf kecil atau dua buah huruf besar.
Contohnya :
c. Bidang
Bidang memiliki dua dimensi yaitu dimensi panjang dan lebar. Bidang tidak
memiliki ketebalan. Bidang biasa disimbolkan dengan huruf yunani seperti yang diberikan
di pojok suatu bidang. Namun terkadang penamaan bidang berdasarkan nama titik-titik
hubungannya.
Modul I Titik, Garis, dan Bidang
Kamu akan mempelajari :
• Apa itu titik, garis, dan bidang
• Bagaimana kedudukan titik, garis dan bidang
dalam bangun ruang
2
Contohnya :
contoh :
Dari gambar balok ABCD.EFGH berikut ini, manakah yang dinamakan titik, garis dan
bidang!
Jawab :
Titik yaitu : A, B, C, D, E, F, G, dan H
Garis yaitu : AB, BC, CD, AD, EF, FG, GH, EH, AE, BF, CG, dan DH
Bidang yaitu : ABCD, EFGH, ABFE, DCGH, ADHE dan BCGF
2. Kedudukan Titik, Garis, dan Bidang dalam Bangun Ruang
a. Kedudukan titik terhadap garis
Kedudukan titik terhaap garis yaitu :
➢ Titik yang dilewati garis atau berada digaris
➢ Titik yang berada diluar garis
b. Kedudukan titik terhadap bidang
Kedudukan titik terhadap bidang yaitu :
A B
CD
E
H GF
3
➢ Titik yang berada di bidang
➢ Titik yang berada diluar bidang
c. Kedudukan garis terhadap garis lainnya
Kedudukkan garis terhadap garis lainnya terdiri dari empat, yaitu :
➢ Berpotongan, jika kedua garis terletak di bidang yang sama dan saling
bertemu pada satu titik potong pada garis-garis tersebut.
➢ Sejajar, jika terletak sebidang tetapi tidak memiliki titik potong.
➢ Berimpit, jika kedua garis terletak dibidang yang sama dan setiap titik pada
garis pertamaberada pada garis kedua.
4
➢ Bersilangan, jika dua garis tersebut tidak sebidang dan juga tidak sejajar, serta
tidak berpotongan.
d. Kedudukan garis terhadap bidang
➢ Garis terletak pada bidang, jika semua titik garis tersebut berada pada bidang
➢ Garis memotong pada bidang, jika garis tidak pada bidang, sehingga garis
tersebut memotong bidang.
➢ Garis sejajar dengan bidang, jika garis tersebut tidak berada pada bidang, dan
tidakmemiliki titik persekutuan.
e. Kedudukan bidang dengan bidang lain
5
➢ Berpotongan ika kedua bidang bertemu dan membentuk satu garis
persekutuan.
➢ Sejajar, jika kedua bidang tersebut tidak memiliki daerah persekutuan.
➢ Berimpit, jika pertemuan kedua bidang tersebut membentuk persekutuan
berupa bidang.
contoh :
Dari gambar kubus ABCD.EFGH berikut ini,
Tentukanlah kedudukan dari
a. Titik A terhdap rusuk AB, AD, dan AE
b. Titik C terhadap diagonal AC, AH, dan CH
c. Titik F terhadap bidang ABFE, CDGH, dan BDHF
d. Titik H terhadap bidang ABCD, BCHE, dan ACGE
Jawab :
a. Titik A terletak pada rusuk AB, terletak pada rusuk AD, dan terletak pada rusuk AE
b. Titk C terletak pada diagonal AC, terletak diluar diagonal AH, dan terletak pada diagonal
CH
c. Titik F terletak pada bidangABFE, terletak diluar bidang CDGH, dan terletak pada bidang
BDHF
d. Titik H terletak diluar bidang ABCD, terletak pada bidang BCHE, dan terletak diluar
bidang ACGF
A B
C D
E F
GH
6
C. TES
TES UJIAN KEMAMPUAN SISWA
1. Nyatakan pernyataan berikut ini benar atau salah
a. Jika suatu titik dilalui suatu garis, maka dikatakan titik tersebut terletak pada garis
b. Jika titik P dan Q masing – masing terletak pada garis k dan l, maka kedua garis
tersebut berimpit
c. Jika garis k dan l tidak mempunyai titik persekutuan, maka kedua garis tersebut
sejajar
d. Jika garis k dan l terletak sebidang, maka kedua garis itu bersilangan
e. Jika garis k dan bidang u tidak mempunyai titik persekutuan, maka garis k dan bidang
u sejajar
2. Tentukan titik – titik sudut limas T. ABC yang
a. Terletak pada garis TA
b. Terletak di luar garis TA
3. Tentukan banyaknya titik – titik sudut limas T. ABC yang
a. Terletak pada bidang TAB
b. Terletak di luar bidang TAB
4. Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan kedudukan garis BC terhadap garis
a. AF c. EH
b. BE d. AG
5. Tentukan banyaknya diagonal – diagonal pada kubus ABCD.EFGH yang sejajar dengan
bidang BCGF
6. Tentukan banyaknya rusuk – rusuk pada kubus ABCD.EFGH yang sejajar dengan bidang
ABCD
7. Tentukan banyaknya rusuk – rusuk limas T.ABCD yang
a. Sejajar dengan rusuk AB
b. Berpotongan dengan rusuk AB
c. Bersilangan dengan rusuk AB
8. Diketahui prisma tegak seperti tergambar di samping ini.
Tentukan kedudukan bidang ABGH terhadap
a. Bidang DEKJ
b. Bidang CDJI
c. Bidang CFLI
d. Bidang CDEF
A B
E DF C
G H
I
JK
L
7
D. RANGKUMAN
1. Titik A terletak pada garis g, sementara titik B terletak di luar garis g.
2. Titik A, B, C, dan D terletak pada bidang 𝛼. sementara titik E dan F terletak di
luar bidang 𝛼.
3. Kedudukan garis terhadap garis dapat berimpit (kedudukannya sama),
berpotongan (sebidang dan memiliki 1 titik persekutuan), sejajar (sebidang tapi
tidak memiliki titik persekutuan), atau bersilangan (tidak sebidang).
4. Kedudukan garis terhadap bidang dapat sejajar (0 titik persekutuan),
berpotongan (1 titik persekutuan), atau terletak pada (tak hingga titik
persekutuan)
5. Kedudukan bidang terhadap bidang dapat sejajar (0 persekutuan), berpotongan
(1 titik persekutuan), atau berimpit (tak hingga garis persekutuan)
ABg
A B
CDE
F
8
E. KUNCI JAWABAN
1. Pernyataan
a. Benar d. Salah
b. Salah e. Benar
c. Benar
2. Titik – titik yang terletak
a. T dan A
b. C dan B
3. Banyaknya titik – titik yang terletak
a. 3
b. 1
4. kedudukan
a. bersilangan
b. Bersilangan
c. Bersilangan
d. Sejajar
5. AH dan ED jadi banyaknya ada 2
6. EF, FG, GH, dan EH jadi banyak nya ada 4
7. Banyak rusuk
a. 1
b. 2
c. 2
8. Kedudukan
a. Sejajar
b. Bersilangan
c. Sejajar
d. Bersilangan
T
A B
C
D
A B
C
E F
GH
T
A B
CD
9
A. TUJUAN PEMBELAJARAN
B. URAIAN MATERI
1. Jenis – Jenis Bangun Ruang
a. Kubus
Kubus merupakan bangun ruang yang dibatasi oleh 6 bujur sangkar yang saling
kongruen. Keenam bujur sangkar disebut sisi kubus dan garis yang menjadi perpotongan dua
sisi kubus disebut rusuk kubus. Kubus memiliki 12 rusuk sama panjang.
b. Balok
Balok memiliki 6 sisi dimana masing-masing sisi yang berhadapan saling kongruen.
Balok memiliki 12 rusuk dengan 3 kelompok panjang yang berbeda yaitu p, l, dan t
Modul II Jarak dalam Bangun Ruang
Disini kita akan mempelajari tentang
1. Apa saja jenis-jenis bangun ruang
2. Bagaimana menentukan jarak dalam
bangun ruang
Volume : 𝑠3 Luas permukaan : 6𝑠2
Volume : 𝑝 × 𝑙 × 𝑡
Luas permukaan : 2(𝑝𝑙 + 𝑝𝑡 + 𝑙𝑡)
10
c. Prisma
Prisma adalah bangun ruang yang memiliki 2 bidang yang sejajar dan kongruen yang
disebut penampang. Bidang yang menghubungkan kedua penampang disebut selimut prisma.
d. Limas
Limas merupakan bangun ruang yang terdiri dari satu bidang alas dan selimut bangun
yang berbentuk bidang-bidang segitiga. Satu titik dari masing-masing segitiga saling bertemu
di sebuah titik disebut titik puncak limas.
e. Slinder
Slinder merupakan bangun ruang yang memiliki 2 bidang penampang berbentuk
lingkaran yang sejajar dan kongruen. Bidang selimut slinder merupakan bidang persegi
panjang yang dilengkungkan secara mulus mengikuti keliling bidang lingkarannya.
f. Kerucut
Kerucut merupakan bidang ruang yang terdiri dari satu bidang alas lingkaran dan sebuah
titik puncak dengan selimut bidang berbentuk juring lingkran dan busurnya dilengkungan
semulus keliling lingkarannya.
Volume : luas alas ×tinggi Luas permukaan : (2×luas alas) + keliling × tinggi
Volume : 1
3 (luas alas ×tinggi)
Luas permukaan : luas alas + luas selimut
Volume : 𝜋𝑟2 × 𝑡 Luas permukaan : (2 × luas alas) + luas selimut
11
g. Bola
Bola merupakan bangun ruang yang tidak mempunyai bidang alas dan titik pojok. Bola
merupakan himpunan titik dalam dimensi tiga yang memiliki jarak sama terhadap satu titik
tertentu yang disebut pusat bola. Jarak pusat bola ke titik-titik permukaan lingkaran disebut
jari-jari bola.
2. Jarak dalam Bangun Ruang
a. Jarak titik ke titik
Jarak antara titik A dan titik B adalah panjang ruas garis AB.
Contoh
Pada kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm terdapat titik P di tengah-tengah AB. Tentukan
jarak titik G ke titik P!
Jawab
𝑃𝐵 =1
2𝐴𝐵 =
1
2. 8 = 4 𝑐𝑚
𝐵𝐺 = √𝐵𝐶2 + 𝐶𝐺2
𝐵𝐺 = √82 + 82
𝐵𝐺 = √128 = 8√2 𝑐𝑚
Volume : 1
3𝜋𝑟2 × 𝑡
Luas permukaan : luas alas + luas selimut
Volume : 4
3𝜋𝑟3𝑡
Luas permukaan : 4𝜋𝑟2
12
Maka
𝑃𝐺 = √𝑃𝐵2 + 𝐵𝐺2
𝐵𝐺 = √42 + (8√2)2
𝐵𝐺 = √16 + 128
𝐵𝐺 = √144 = 12 𝑐𝑚
b. Jarak titik ke garis
Jarak antara titik A dan ruas garis g adalah panjang ruas garis AA1, dimana A1
merupakan proyeksi A pada garis g dan tegak lurus.
Contoh
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Tentukan jarak antara titik F
dengan diagonal ruang HB.
Jawab
𝐹𝐻 = 4√2
𝐻𝐵 = √𝐹𝐻2 + 𝐹𝐵2
𝐻𝐵 = √(4√2)2 + 42
𝐻𝐵 = √32 + 16 = √48 = 4√3
Jarak titik F dengan garis HB sama dengan
panjang garis PF.
Maka luas segitiga HBF diketahui
Luas ∆𝐵𝐹𝐻 = Luas ∆𝐵𝐹𝐻 1
2. 𝐻𝐵. 𝐹𝑃 =
1
2. 𝐻𝐹. 𝐹𝐵
4√3. 𝐹𝑃 = 4√2. 4
𝐹𝑃 =4√2.4
4√3
𝐹𝑃 =4
3√6
13
c. Jarak titik ke bidang
Jarak antara titik p dan bidang v adalah panjang ruas garis ,, dimana P merupakan
proyeksi p, pada bidang v.
Contoh
Pada kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm terdapat titik P ditengah-tengah AE.
Tentukanlah jarak titik P ke bidang BDHF.
Jawab
𝑃𝑅 =1
2𝑃𝑄
𝑃𝑅 =1
2𝐸𝐺
𝑃𝑅 =1
2. 6√2
𝑃𝑅 = 3√2
d. Jarak antar dua garis
• Dua garis yangs sejajar
Jarak antara garis g dan l yang sejajar adalah panjang ruas garis AA1, dimana A
adalah sembarang titik pada g dan A1 merupakan proyeksi A pada garis l.
• Dua garis yang bersilangan
Jarak antara garis g dan l yang bersilangan adalah panjang ruas garis AA1, dimana
A pada g dan A1 pada l sehingga AA1 tegak lurus g dan AA1 tegak lurus l.
14
Contoh
Pada kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm tentukanlah jarak garis AB ke garis HG
Jawab
AB dan HG sejajar
Jarak AB dan HG = AH
Jarak AB dan HG = 8√2 cm
e. Jarak garis ke bidang
Jarak antara garis g dan bidang v adalah panjang ruas garis AA1, dimana A adalah titik
sembarang pada g dan A1 adalah proyeksi A pada bidang v.
Contoh
Pada kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm tentukanlah jarak garis AD dan bidang BCGF !
Jawab
jarak AD dan BCGF = AB
jarak AD dan BCGF = 8 cm
f. Jarak antar dua bidang
Jarak antara bidang v dan w yang saling sejajar adalah panjang ruas garis AA1, dimana A
adalah titik sembarang pada v dan A1 adalah proyeksi A pada bidang w.
Contoh
Pada kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm tentukanlah jarak bidang BDG dan bidang AFH
Jawab
Jarak BDG dan AFH = PQ
Jarak BDG dan AFH = 1
3 EC
Jarak BDG dan AFH = 1
3. 6√3
Jarak BDG dan AFH = 2√3
15
C. TES
TES UJIAN KEMAMPUAN SISWA
1. Dikethaui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm. M adalah titik tengah EH. Jarak titik
M ke AG adalah ….
a. 4√6 cm d. 4√2 cm
b. 4√5 cm e. 4 cm
c. 4√3 cm
2. Diketahui limas beraturan T.ABCD. Panjang rusuk tegak dan Panjang rusuk alas 4 cm.
jarak titik A ke TB adalah …
a. 2√2 cm d. 4√2 cm
b. 2√3 cm e. 4√3 cm
c. 4 cm
3. Panjang rusuk kubus ABCD. EFGH adalah 12 cm. jika P titik tengah CG maka jarak titk P
dengan garis HB adalah …
a. 8√5 cm d. 6√2 cm
b. 6√5 cm e. 6 cm
c. 6√3 cm
4. Diketahui limas beraturan T. ABCD dengan ABCD adalah persegi yang memiliki Panjang
AB = 4 cmdan TA = 6 cm. jarak titik C ke garis AT = …
a. 1
4√14 cm d.
3
2√14 cm
b. 2
3√14 cm e.
4
3√14 cm
c. 3
4√14 cm
5. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 12 cm. titik S adalah tengah – tengah BC.
Jarak titik titik G ke AS adalah …
a. 6√5 cm d. 6√3 cm
b. 3
5√30 cm e.
12
5√30 cm
c. 6√2 cm
16
D. RANGKUMAN
E. KUNCI JAWABAN
1. D
2. B
3. D
4. E
5. A
Misalkan diketahui sebuah kubus ABCD.EFGH dengan Panjang rusuk a cm.
Maka Panjang :
Diagonal sisi (AC) = a√2
Diagonal ruang (EC) = a√3
Ruas garis (EO) = a
2√6
D
A B
C
E F
GH
17
A. TUJUAN PEMBELAJARAN
B. URAIAN MATERI
PENGERTIAN DASAR STATISTIKA
A. Pengertian Dasar Statistika
Statistika adalah pengetahuan yang berhubungan dengan cara-cara pengumpulan
data, pengolahan, penganalisiannya, dan penarikan kesimpulan berdasarkan data dan
penganalisian nya yang dilakukan.
Statistik adalah pengumpulan data, bilangan maupun non bilangan yang disusun
dalam tabel dan atau diagram yang menggambarkan atau melukiskan suatu masalah.
Secara umum, statistika dibagi menjadi dua fase:
1. Statistik Deskriptif
Yaitu fase statistika yang hanya meliputi kegiatan-kegiatan mengumpulkan data,
menyusun dan menggambarkan data dalam bentuk tabel atau grafik serta menganalisis data
yang diperoleh tanpa menarik kesimpulan terhadap populasi secara umum.
2. Statistika Induktif atau Inferensi
Yaitu fase statistika lebih lanjut dimana data yang telah diperoleh dianalisa agar
diperoleh kesimpulan secara umum.
B. Istilah dalam Statistika
➢ Data atau data Statistik
Kumpulan keterangan atau informasi yang diperoleh dari suatu pengamatan.
a. Data kuantitatif : data berupa bilangan
b. Data kualitatif : data berupa kategori (rusak, gagal, berhasil, baik)
➢ Populasi
Keseluruhan objek yang akan diteliti
➢ Sampel
Sebagian anggota populasi yang benar-benar diamati atau diteliti
Modul III Pengertian dasar dan Penyajian
Data Statistika
Kamu akan mempelajari :
• Apa itu statistika
• Bagaimana menyajikan suatu data dalam
konsep statistika
18
C. Penyajian Data
1. Pengamatan (observasi)
2. Penggunaan koesioner (angket)
3. Wawancara (interview)
4. Literatur
PENYAJIAN DATA
A. Tabel Frekuensi Distribusi
Suatu tabel dapat disajikan sebagai Distribusi Frekuensi Tunggal ataupun Distibusi
Frekuensi Berkelompok.
1. Distribusi Frekuensi Tunggal
Nilai Frekuensi
40 2
50 3
60 3
70 7
80 4
90 1
Jumlah 20
2. Distribusi Frekuensi Kelompok
Bila data tersedia cukup banyak dan bervariasi, maka dapat dibuat data distribusi
frekuensi kelompok sebagai berikut :
Interval Nilai Titik Tengah Frekuensi
56 – 60 58 3
61 – 65 63 10
66 – 70 68 12
71 – 75 73 14
76 – 80 78 8
81 – 85 83 17
86 – 90 88 5
Beberapa istilah yang terdapat dalam distribusi frekuensi kelompok.
a) Kelas Interval
Banyak data yang dikumpulkan dalam kelompok berbentuk 𝑎 − 𝑏 disebut kelas
interval yang disusun mulai dari data terkecil samapi dengan data terbesar.
Kelas I : 56 - 60
Kelas VII : 86 – 90
b) Batas Kelas
Pada tabel diatas batas kelas 56 − 60 adalah batas kelas bawah 56 dan batas kelas
atasnya 60.
c) Tepi Kelas
Data ulangan harian matematika 20 siswa :
Nilai 40 muncul 2 kali
Nilai 50 muncul 3 kali
Nilai 60 muncul 3 kali
Nilai 70 muncul 7 kali
Nilai 80 muncul 4 kali
Nilai 90 muncul 1 kali
19
Tepi kelas ada dua macam
• Tepi kelas bawah : batas kelas bawah −0,5
• Tepi kelas atas : batas kelas atas +0,5
Pada interval 71 − 75
Tepi kelas bawah : 70,5
Tepi kelas atas : 75,5
d) Panjang Kelas
Dengan demikian panjang kelas masing-masingkelas selalu sama
e) Titik Tengah Kelas
Titik tengah atau nilai tengah suatu interval kelas merupakan pertengahan antara
batas kelas bawah dan batas kelas atasnya.
Nilai titik tengah dapat ditentukan dengan cara :
Batas kelas : 81 -85
Titik tengah : 1
2 (81+85) = 83
Untuk menyusun sekumpulan data kedalam tabel distribusi frekuensi kelompok
diperlukan langkah sebagai berikut:
1) Tentukan jangkauan atau range data tersebut
2) Tentukan banyak kelas yang akan disusun
Biasanya banyak kelas yang digunakan paling sedikit 5 kelas dan paling banyak 15
kelas. Bisa juga menggunakan aturan Sturges.
3) Tentukan panjang kelas
4) Tentukan batas bawah kelas interval pertama
▪ Batas bawah kelas pertama boleh dipilih data yang terkecil
▪ Batas bawah interval kelas pertama boleh dipilih lebih kecil dari data yang
terkecil asalkan nilai terkecil berada pada kelas pertama dan nilai terbesar
berada pada kelas interval terakhir.
Panjang kelas = tepi kelas atas – tepi kelas bawah
Titik Tengah = 𝟏
𝟐 ( batas kelas bawah + batas kelas atas )
Jangkauan = nilai terbesar – nilai terkecil
𝐉 = 𝐗𝐦𝐚𝐱 − 𝐗𝐦𝐢𝐧
𝐊 = 𝟏 + 𝟑, 𝟑 𝐥𝐨𝐠 𝐧
𝐏 =𝐉
𝐊
20
Contoh :
Berikut ini merupakan nilai ujian matematika 40 orang siswa kelas XII MIA 1
65 72 67 82 72 91 67 73 71 70
85 87 68 86 83 90 74 89 75 61
65 76 71 65 91 79 75 69 66 85
95 64 73 68 86 90 70 71 68 68
Susunlah data diatas kedalam tabel distribusi frekuensi kelompok dengan panjang kelas yang
sama.!
Pembahasan :
1. Jangkauan : 95 − 61 = 34
2. Kelas : 1 + 3,3 log 40 = 6,28, banayk kelas bisa 6 atau 7
3. Panjang kelas : 𝑃 =34
7= 4,86, maka panjang kelasnya 5
4. Batas bawah diambil 61, sehingga diperoleh kelas intervalnya 61 – 65, 66 – 0, 71 – 75,
76 – 80, 81 – 85, 86 – 90, 91 – 95.
Nilai Frekuensi
Frekuensi
Komulatif
(naik)
Frekuensi
komulatif
(turun)
61 – 65 4 4 40
66 – 70 9 13 36
71 – 75 11 24 27
76 – 80 2 26 16
81 – 85 4 30 14
86 – 90 7 37 10
91 – 95 3 40 3
Jumlah 40 40 40
3. Jenis – Jenis Tabel Distribusi Frekuensi
a. Tebel Distribusi Frekuensi Relatif
Tebel distribusi frekuensi relatif mempunyai frekuensi relatif dalam bentuk
persentase (%) dan dilambangkan dengan fr. Frekuensi relatif dirumuskan dengan:
fr : frekuensi relatif
fi : banyaknya frekuensi
n : jumlah seluruh frekuensi
Contoh :
Untuk kelas 61 – 65
fr =4
40× 100% = 10
b. Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif
Frekuensi komulatif adalah frekuensi suatu kelas yang dijumlahkan dengan
frekuensi kelas sebelumnya. Frekuensi komulatif terbagi atas dua macam. Frekuensi
komulatif kurang dari (jumlah frekuensi kelas itu dengan frekuensi komulatif kelas
sebelumnya) dan frekuesni komulatif lebih dari (jumlah frekuensi kelas dengan frekuensi
komulatif kelas sesudahnya). Contoh bisa dilihat dari tabel distribusi diatas.
𝐟𝐫 =𝐟𝐢
𝐧× 𝟏𝟎𝟎%
21
B. Diagram / Grafik
1. Diagram Batang
Contoh :
2. Diagram Lingkaran
Contoh :
Data jumlah siswa perkelas
3. Diagram Garis
Contoh :
Data jumlah panen mangga pertahun
.
22
4. Histigram dan Poligon Frekuensi
Ada dua cara membuat histigram dan poligon frekuensi dari daftar distribusi
frekuensi yaitu :
• Pada sumbu datar dicantumkan tepi-tepi kelas setiap kelas intervalnya (misal .... ) atau
bisa mencantumkan titik tengah – titik tengah setiap kelas intervalnya (misal ... )
• Pada sumbu tegak cantumkan bilangan-bilangan untuk nilai frekuensinya.
Contoh :
5. Ogive
ogive adalah grafik dari tabel frekuensi kumlatif. Untuk data yang disusun dalam
bentuk tabel distribusi frekuensi kumulatif kurang dari, grafiknya berupa ogive positif,
sedangkan untuk data yang disusun dalam bentuk tabel distribusi frekuensi kumulatif lebih
dari, grafiknya berupa ogive negatif.
Contoh :
23
C. TES
TES UJIAN KEMAMPUAN SISWA
1. Hasil ujian matematika siswa laki – laki dan perempuan disajikan pada diagram berikut
Jumlah laki – laki dan perempuan yang dapat nilai 7 adalah ….
a. 7 d. 20
b. 9 e. 22
c. 13
2. Diagaram lingkaran dibawah ini menunjukkan pekerjaan kepala rumah tangga dari 720
kepala keluarga disuatu daerah. Banyak kepala keluarga dengan pekerjaan petani adalah
….
a. 260 d. 360
b. 276 e. 380
c. 340
3. Diagram lingkaran berikut menggambarkan banyak siswa yang mengikuti olahraga. Jika
banyak siswa ada 400 siswa, maka banyak siswa yang mengikuti dance adalah … siswa
a. 40 d. 140
b. 80 e. 160
c. 120
24
D. RANGKUMAN
E. KUNCI JAWABAN
1. E
2. B
3. D
1. Statistika adalah pengetahuan yang berhubungan dengan cara-cara
pengumpulan data, pengolahan, penganalisiannya, dan penarikan kesimpulan
berdasarkan data dan penganalisian nya yang dilakukan.
2. Data atau data Statistik
Kumpulan keterangan atau informasi yang diperoleh dari suatu pengamatan.
a. Data kuantitatif : data berupa bilangan
b. Data kualitatif : data berupa kategori (rusak, gagal, berhasil, baik)
3. Populasi
Keseluruhan objek yang akan diteliti
4. Sampel
Sebagian anggota populasi yang benar-benar diamati atau diteliti
25
A. TUJUAN PEMBELAJARAN
B. URAIAN MATERI
UKURAN STATISTIK DATA
A. Ukuran Pemusatan Data
Ukuran pemusatan data (ukuran tendensi sentral) adalah suatu ukuran atau nilai yang
diperoleh dari sekumpulan data dan mempunyai kecendrungan berada di tengah-tengah dari
sekumpulan data tersebut. Ukuran pemustan data terbagi atas tiga macam.
1. Rata-Rata Hitung (Mean �̅�)
Rata-rata hitung adalah jumlah semua nilai data dibagi dengan banyaknya data.
• Rata-Rata Data Tunggal
a. Rata-rata dari data 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛 dimana 𝑥𝑖 = data ke i ( i = 1,2,3,...) dan n = banyak
data
Contoh :
Nilai 10 orang siswa SMA yang mengikuti ujian matematika adalah
60, 70, 65, 55, 82, 68, 73, 57, 55, 65. Maka rata-rata nilai ujian semua siswa tersebut adalah ...
Pembahasan :
�̅� =60+70+65+55+82+68+73+57+55+65
10=
650
10= 65
b. Rata-rata hitung dari data 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛 dengan bobot (frekuensi) 𝑓1, 𝑓2, 𝑓3, … , 𝑓𝑛
Modul IV Ukuran Statistika Data
Disini kita akan mempelajari tentang
1. Apa saja jenis-jenis bangun ruang
2. Bagaimana menentukan jarak
dalam bangun ruang
�̅� =𝒙𝟏+𝒙𝟐+𝒙𝟑+⋯+𝒙𝒏
𝒏=
∑ 𝒙𝒊𝒏𝒊=𝟏
𝒏
26
Contoh :
Perhatikan tabel berikut
Nilai ujian 3 4 5 6 7 8 9
Frekuensi 3 5 12 17 14 6 3
Maka rata-ratanya adalah ....
Pembahasan :
�̅� =3.3+4.5+5.12+6.17+7.14+8.6+9.3
60=
364
60= 6,07
c. Rata-rata Gabungan
Jika 𝑓1 buah bilangan mempunyai rata-rata 𝑚1
Jika 𝑓2 buah bilangan mempunyai rata-rata 𝑚2
Jika 𝑓𝑛 buah bilangan mempunyai rata-rata 𝑚𝑛, maka rata-ratanya adalah ...
Contoh :
Diketahui empat kelompok siswa masing-masing terdiri dari 5, 8, 10 dan 17 siswa ikut
menyumbang korban bencana alam. Rata-rata sumbangan masing-masing kelompok adlah
4000, 2500, 2000, dan 1000 dalam rupiah. Maka rata-rata sumbangan tiap siswa seluruhnya
adalah ....
Pembahasan :
𝑓1 = 5 𝑓2 = 8 𝑓3 = 10 𝑓4 = 17
𝑚1 = 4000 𝑚2 = 2500 𝑚3 = 2000 𝑚4 = 1000
�̅�𝑔𝑎𝑏 =5.4000+8.2500+10.2000+17.1000
5+8+10+17=
7700
40= 1925
• Rata-Rata Data Kelompok
Bentuk umum data kelompok
Kelas
Interval
Frekuensi
(𝒇𝒊) Titik tengah kelas (𝒙𝒊) 𝒇𝒊. 𝒙𝒊
𝒂𝟏 − 𝒃𝟏
𝒂𝟐 − 𝒃𝟐
𝒂𝟑 − 𝒃𝟑
.
.
.
𝒂𝒏 − 𝒃𝒏
𝑓1
𝑓2
𝑓3
.
.
.
𝑓𝑛
𝑥1
𝑥2
𝑥3
.
.
.
𝑥𝑛
𝑓1𝑥1
𝑓2𝑥2
𝑓3𝑥3
.
.
.
𝑓𝑛𝑥𝑛
�̅� =𝒇
𝟏𝒙𝟏+𝒇
𝟐𝒙𝟐+𝒇
𝟑𝒙𝟑+⋯+𝒇
𝒏𝒙𝒏
𝒏=
∑ 𝒇𝒊𝒙𝒊
𝒏𝒊=𝟏
𝒏
�̅�𝒈𝒂𝒃 =𝒇𝟏𝒎𝟏+𝒇𝟐𝒎𝟐+𝒇𝟑𝒎𝟑+⋯+𝒇𝒏𝒎𝒏
𝒇𝟏+𝒇𝟐+𝒇𝟑+⋯+𝒇𝒏
27
Jumlah ∑ 𝑓𝑖 ∑ 𝑓𝑖 . 𝑥𝑖
Titik tengah kelas ke-i (𝑥𝑖) dapat dihitung nilainya dengan menghitung
𝑥𝑖 =1
2(𝑎1 + 𝑏1)
Kegunaan atau fungsi titik tengah kelas merupakan wakil nilai-nilai yang terdapat
dalam suatu kelas interval. Sehingga untuk menghitung rata-rata data kelompok adalah
𝑥𝑖 = titik tengah kelas ke-i
𝑓𝑖 = frekuensi kelas ke-i
Cara lain yang lebih sederhana untuk menentukan rata-rata data kelompok adalah
dengan mempergunkan nilai rata-rata sementara.
�̅�𝑠 = rata-rata sementara ( pilih 𝑥𝑖 yang mempunyai frekuensi terbanyak atau yang
letaknya ditengah
𝑝 = panjang kelas
𝑑𝑖 = 𝑥𝑖 − �̅�𝑠
𝑢𝑖 =𝑑𝑖
𝑝
Contoh :
Tentukan rata-rata dari tabel berikut.!
Kelas
Interval (𝒇𝒊) 𝒙𝒊 𝒇𝒊. 𝒙𝒊 𝒅𝒊 = 𝒙𝒊 − 𝒙𝒊 𝒇𝒊. 𝒅𝒊 𝒖𝒊 𝒇𝒊. 𝒖𝒊
𝟓𝟓 − 𝟓𝟗
𝟔𝟎 − 𝟔𝟒
𝟔𝟓 − 𝟔𝟗
𝟕𝟎 − 𝟕𝟒
𝟕𝟓 − 𝟕𝟗
𝟖𝟎 − 𝟖𝟒
𝟖𝟓 − 𝟖𝟗
3
5
8
16
10
6
2
57
62
67
72
77
82
87
171
310
536
1152 770
492
174
−15
−10
−5
0
5
10
15
−45
−50
−40
0
50
60
30
−3
−2
−1
0
1
2
3
−9
−10
−8
0
10
12
6
50 3605 5 1
Pembahasan :
�̅� =3605
50= 72,1
Dengan menggunakan rata-rata sementara
➢ �̅�𝑠 = 72
�̅� = �̅�𝑠 +∑ 𝑓𝑖𝑑𝑖
𝑛𝑖=1
∑ 𝑓𝑖𝑛𝑖=1
= 72 +5
50= 72,1
�̅� =∑ 𝒇𝒊𝒙𝒊
𝒏𝒊=𝟏
∑ 𝒇𝟏𝒏𝒊=𝟏
�̅� = �̅�𝒔 + (∑ 𝒇𝒊𝒅𝒊
𝒏𝒊=𝟏
∑ 𝒇𝒊𝒏𝒊=𝟏
)
�̅�
= �̅�𝒔 + (∑ 𝒇𝒊𝒅𝒊
𝒏𝒊=𝟏
∑ 𝒇𝒊𝒏𝒊=𝟏
)
�̅� = �̅�𝒔 + 𝒑 (∑ 𝒇𝒊𝒖𝒊
𝒏𝒊=𝟏
∑ 𝒇𝒊𝒏𝒊=𝟏
)
28
➢ �̅� = �̅�𝑠 + 𝑝 (∑ 𝑓𝑖𝑢𝑖
𝑛𝑖=1
∑ 𝑓𝑖𝑛𝑖=1
) = 72 + 5(1
50) = 72,1
2. Modus ( Mo )
modus digunakan untuk gejala-gejala yang sering terjadi, diberi simbol Mo (atau
data dengan frekuensi terbanyak).
• Modus Data Tunggal
𝒙𝒊 𝒇𝒊
𝟐𝟎
𝟐𝟐
𝟐𝟓
𝟐𝟗
𝟑𝟎
81
56
98
75
72
Frekuensi terbanyak pada data ke-25 makanya modusnya adalah 25.
• Modus Data Berkelompok
tb : tepi bawah kelas modus
p : panjang kelas interval
𝑑1 : selisih frekuensi kelas modus dengan kelas
sebelumya
𝑑2 : selisih frekuensi kelas modus dengankelas
sesudahnya
Contoh :
Tentukan modus dari data berikut
Kelas
Interval (𝒇𝒊)
𝟑𝟎 − 𝟑𝟗
𝟒𝟎 − 𝟒𝟗
𝟓𝟎 − 𝟓𝟗
𝟔𝟎 − 𝟔𝟗
𝟕𝟎 − 𝟕𝟗
𝟖𝟎 − 𝟖𝟗
𝟗𝟎 − 𝟗𝟗
2
3
9
12
6
6
2
jumlah 40
3. Median ( Me )
Median dari data yang telah terurut dari yang paling kecil ke yang paling besar
adalah nilai data yang berada tepat ditengah bila data ganjil atau rata-rata data yang berada
ditengah bila banyak data genap.
• Median Data Tunggal
I. Data Ganjil
8,7,8,7,6,8,7,6,4,5,5,6,4,9,8
𝑴𝒐 = 𝒕𝒃 + 𝒑 (𝒅𝟏
𝒅𝟏 + 𝒅𝟐)
Pembahasan :
𝑡𝑏 = 60 − 0,5 = 59,5 𝑝 = 39,5 − 29,5 = 10 𝑑1 = 12 − 9 = 3 𝑑2 = 12 − 6 = 6
𝑀𝑜 = 𝑡𝑏 + 𝑝(𝑑1
𝑑1+𝑑2)
𝑀𝑜 = 59,5 + 10(3
3+6)
𝑀𝑜 = 59,5 + 3,3 = 62,8
29
Urutkan terlebih dahulu dari yang terkcil
4,4,5,5,6,6,6,7,7,7,8,8,8,8,9
Maka mediannya adalah 7
II. Data Genap
21, 21, 24, 26, 29, 30, 31, 29, 40
Maka mediannya adalah
𝑀𝑒 =𝑋4+𝑋5
2
𝑀𝑒 =26+29
2= 27,5
• Median Data Berkelompok
F : jumlah semua frekuensi (frekuensi komulatif)
sebelum frekuensi kelas median
𝑓𝑚𝑒 : frekuensi kelas median
Contoh :
Median dari data berikut adalah ....
Kelas
Interval (𝒇𝒊) 𝒇𝒌
𝟓𝟓 − 𝟓𝟗
𝟔𝟎 − 𝟔𝟒
𝟔𝟓 − 𝟔𝟗
𝟕𝟎 − 𝟕𝟒
𝟕𝟓 − 𝟕𝟗
𝟖𝟎 − 𝟖𝟒
𝟖𝟓 − 𝟖𝟗
3
5
8
16
10
6
2
3
8
16
32
42
48
50
50
B. Ukuran Letak Data
1. kuartil
Nilai yang membagi data yang sudah terurut menjadi empat bagian yang ama
dinamakan dengan kuartil. Masing-masing nilai pembagi terseut dinamakan dengan kuartil
bawah (𝑄1), kuartil tengah (𝑄2), dan kuartil atas (𝑄3).
• Untuk Data Tunggal
Untuk mennetukan nilai (𝑄𝑖) (𝑖 = 1,2,3) data tunggal digunakan rumus :
Jika 𝑄𝑖 =𝑖
4(𝑛 + 1) bukan bilangan bulat, maka 𝑄𝑖
ditentukan dengan interpolasi,
Contoh :
Tentukan nilai 𝑄𝑖 (𝑖 = 1,2,3) dari sekumpulan data berikut 9, 9, 10, 13, 14, 17, 19, 19, 21, 22,
23, 25, 25, 29, 33, 35, 35, 39, 43, 47.
Pembahasan :
𝑛 = 20
𝑴𝒆 =𝑿𝒏
𝟐+𝑿𝒏
𝟐+𝟏
𝟐
𝑴𝒆 = 𝒕𝒃 + 𝒑 (𝒏
𝟐−𝑭
𝒇𝒎𝒆)
Pembahasan :
𝑡𝑏 = 69,5 𝑝 = 5 𝐹 = 3 + 5 + 8 = 16 𝑓𝑚𝑒 = 16
𝑀𝑒 = 69,5 + 5 (50
2−16
16)
𝑀𝑒 = 69,5 + 5(2.8) = 83,5
Letak 𝑸𝒊 =𝒊
𝟒(𝒏 + 𝟏)
30
Letak 𝑄1 =1
4(20 + 1) = 5,25 Letak 𝑄3 =
3
4(20 + 1) = 15,75
Nilai 𝑄1 = 𝑋5 + 0,25(𝑋6−𝑋5 Nilai 𝑄3 = 𝑋15 + 0,75(𝑋16−𝑋15)
= 14 + 0,25(17 − 14) = 33 + 0,75(35 − 33)
= 14,75 = 34,75
Letak 𝑄2 =2
4(20 + 1) = 10,5
Nilai 𝑄1 = 𝑋10 + 0,5(𝑋11−𝑋10
= 22 + 0,5(23 − 22)
= 22,5
• Untuk Data Berkelompok
Untuk data kelompok 𝑄𝑖 dapat ditentukan dengan :
𝑄𝑖 : kuartil ke-i
𝑡𝑏 : tepi bawah kelas kuartil
𝑝 : panjang kelas
𝑛 : jumalh semua frekuensi
𝐹 : jumlah semua frekuensi kumulatif sebelum
frekuensi kelas kumulatif
𝑓𝑄𝑖 : frekuensi kelas kuartil ke-i
2. Desil
Jika sekumpulan data yang sudah diurutkan dari yang terkecil ke yang terbesar
dibagi menjadi 10 bagian disebut persepuluh atau disebut desil.
• Untuk Data Tunggal
Untuk mennetukan nilai desil 𝐷𝑖 data tunggal digunakan rumus :
Jika 𝑄𝑖 =𝑖
10(𝑛 + 1) bukan bilangan bulat, maka 𝑄𝑖
ditentukan dengan interpolasi.
Contoh :
Diberikan data dari yang terkecil sampai yang terbesar sebagai berikut 9, 9, 10, 13, 14, 17, 19,
19, 21, 22, 23, 25, 25, 29, 33, 35, 35, 39, 43, 47
Tentukan nilai dari 𝐷6
Pembahasan :
𝑛 = 20
Letak 𝐷6 =6
10(20 + 1) = 12,6
Nilai 𝐷6 = 𝑋12 + 0,6(𝑋13−𝑋12
= 25 + 0,6(25 − 25)
= 25
• Untuk Data Berkelompok
Untuk data kelompok dari 𝐷𝑖 dapat ditentukan dengan
𝑓𝐷𝑖 : frekuensi kelas desil ke-i
𝑸𝒊 = 𝒕𝒃 + 𝒑 (
𝒊𝟒
𝒏 − 𝑭
𝒇𝑸𝒊)
Letak 𝑫𝒊 =𝒊
𝟏𝟎(𝒏 + 𝟏)
𝑫𝒊 = 𝒕𝒃 + 𝒑 (𝒊
𝟏𝟎𝒏−𝑭
𝒇𝑫𝒊)
31
3. Persentil
Persentil merupakan ukuran letak yang paling halus karena pembagiannya 1
sampai denga n 100.
• Untuk Data Tunggal
Untuk mennetukan nilai persentil 𝑃𝑖 data tunggal digunakan rumus :
Jika 𝑄𝑖 =𝑖
10(𝑛 + 1) bukan bilangan bulat, maka 𝑄𝑖
ditentukan dengan interpolasi.
Contoh :
Tentukan 𝑃25 dan 𝑃70 dari data berikut ini .!
9, 9, 10, 13, 14, 17, 19, 19, 21, 22, 23, 25, 25, 29, 33, 35, 35, 39, 43, 47
Pembahasan :
𝑛 = 20
Letak 𝑃25 =25
100(20 + 1) = 5,25 Letak 𝑃70 =
70
100(20 + 1) = 14,7
Nilai 𝑃25 = 𝑋5 + 0,25(𝑋6−𝑋5) Nilai 𝑃70 = 𝑋14 + 0,7(𝑋15−𝑋14)
= 14 + 0,25(17 − 14) = 29 + 0,7(33 − 29)
= 14,75 = 31,8
• Untuk Data Berkelompok
𝑓𝑃𝑖 : frekuensi kelas desi ke-i
Contoh :
Diberikan data tinggi badan 40 orang siswa kelas XII MIA 15
Kelas
Interval (𝒇𝒊) (𝒇𝒌)
𝟏𝟒𝟎 − 𝟏𝟒𝟒
𝟏𝟒𝟓 − 𝟏𝟒𝟗
𝟏𝟓𝟎 − 𝟏𝟓𝟒
𝟏𝟓𝟓 − 𝟏𝟓𝟗
𝟏𝟔𝟎 − 𝟏𝟔𝟒
𝟏𝟔𝟓 − 𝟏𝟔𝟗
𝟏𝟕𝟎 − 𝟏𝟕𝟒
4
5
7
13
7
2
2
4
9
16
29
36
38
40
40
Tentukan 𝑄3, 𝐷6, dan 𝑃35 !
Pembahasan :
𝑛 = 40
Letak 𝑄3 =3
4𝑛 =
3
4. 40 = 30 Letak 𝐷6 =
6
10. 40 = 24
Letak 𝑷𝒊 =𝒊
𝟏𝟎𝟎(𝒏 + 𝟏)
𝑷𝒊 = 𝒕𝒃 + 𝒑 (𝒊
𝟏𝟎𝟎𝒏−𝑭
𝒇𝑷𝒊)
32
Kelas 30 : 160 − 164 Kelas 24:155 − 159
Maka tb : 159,5 Maka tb : 154,5
Nilai 𝑄3 = 159,5 + 5 (3
440−29
7) Nilai 𝐷6 = 159,5 + 5 (
6
1040−16
13)
= 159,5 + 5 (1
7) = 159,5 + 5 (
8
13)
= 160,2 = 157,57
Letak 𝑃35 =35
100𝑛 =
35
100. 40 = 14
Kelas 30 : 150 − 154
Maka tb : 149,5
Nilai 𝑄3 = 149,5 + 5 (35
10040−9
7)
= 159,5 + 5 (5
7)
= 153,07
C. Ukuran Penyebaran Data ( Dispersi )
Ukuran penyebaran data (ukuran dispersi) adalah suatu ukuran yang menyatakan
sejauh mana penyimpangan-penyimpangan antara nilai data dengan nilai rata-rata,
1. Jangkauan atau rentang ( range )
Jangkauan adalah selisih antara nilai maksimum dan nilai minimum. Jangkauan
data dirumuskan :
Untuk data kelompok jangkauan ditentukan dengan
➢ Selisih titik tengah kelas tertinggi dengan titik tengah kelas terendah
➢ Selisih tepi atas kelas tertinggi dengan tepi kelas terendah
Jangkauan antar kuartil atau rentang antar kuartil (RAK) merupakan selisih antara
kuartil atas dengan kuartil bawah. RAK sering disebut juga Hamparan.
Disamping RAK ada juga yang disebut dengan Rentang Semi Kuartil atau
Jangkauan Semi Kuartil yang nilainya sama dengan setengah RAK.
2. Rata – Rata Simpangan
Jika kita mempunyai data 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 dan nilai rata-ratanya �̅� maka kita dapat
menentukan selisish tiap-tiap nilai data dengan nilai rat-ratanya. Sehingga kita peroleh
sebagai berikut
𝑹 = 𝑿𝒎𝒂𝒙 − 𝑿𝒎𝒊𝒏
𝑹𝑨𝑲 = 𝑸𝟑 − 𝑸𝟏
𝑹𝑺𝑲 =𝟏
𝟐(𝑸𝟑 − 𝑸𝟏)
|𝒙𝟏 − �̅�|, |𝒙𝟐 − �̅�|, … , |𝒙𝒏 − �̅�|
33
Jika kita mencari rata-rata baru tersebut, maka kita peroleh nilai rata-rata
simpangan dan dituliskan
RS : rata-rata simpangan
𝑥𝑖 : data ke-i
�̅� : rata-rata hitung
𝑛 : banyak data
Untuk data kelompok, rata-rata simpangan dapat ditentukan dengan menggunakan
rumus.
𝑥𝑖 : titik tengah kelas ke-i ∑ 𝑓𝑖: jumlah smeua frekuensi
𝑓𝑖 : frekuensi kelas ke-i
3. Simpangan Baku atau Deviasi Standar (S)
Dalam rata-rata simpangan nilai selalu mempunyai kelemahan.
Sebagai contoh : |−4|+|−6|+|3|
3= 4,5 jangakauan 9
|4|+|6|+|3|
3= 4,5 jangkauan 3
Dalam contoh diatas mempunyai rata-rata simpangan yang sama padahal
jangkauan berbeda. Untuk mengatasi kelemahan rata-rata simpangan tersebut maka dipelajari
nilai simpangan baku.
Ukuran penyimpangan inilah yang umumnya banyak dipakai. Kuadrat dari
simpangan baku disebut Varians atau Ragam. Jika kita mempunyai sampel berukuran 𝑛
dengan data 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 dengan rata-rata �̅� dan setiap selisih antara 𝑥𝑖 dan �̅� dikuadratkan
maka :
𝑆2 : varians atau ragam
𝑥𝑖 : data ke-i
�̅� : rata-rata hitung
𝑛 : banyak data
Jika nilai ragam ditarik kembali akarnya maka diperoleh simpangan baku. Yakni :
𝑹𝑺 =∑ |𝒙𝒊−�̅�|𝒏
𝒊=𝟏
𝒏
𝑹𝑺 =∑ |𝒙𝒊−�̅�|𝒇𝒊
𝒏𝒊=𝟏
∑ 𝒇𝒊𝒏𝒊=𝟏
𝑺𝟐 =(𝒙𝟏−�̅�)𝟐+(𝒙𝟐−�̅�)𝟐+⋯+(𝒙𝒏−�̅�)𝟐
𝒏 𝑺𝟐 =
∑ (𝒙𝒊−�̅�)𝟐𝒏𝒊=𝟏
𝒏
𝑺 =√∑ (𝒙𝒊 − �̅�)
𝟐𝒏𝒊=𝟏
𝒏
34
Untuk data terkelompok, maka varians dan simpangan bakunya :
𝑓𝑖 : frekuensi data ke-i
𝑥𝑖 : data ke-i
�̅� : rata-rata hitung
𝑛 : banyak data
C. TES
TES UJIAN KEMAMPUAN SISWA
1. Siswa suatu kelas terdiri atas tiga kelompok penyumbang korban bencana banjir.
Kelompok I, II, dan IIImasing – masing terdiri atas 10, 12 dan 18 siswa. Jika rata- rata
sumbangan kelompok I adalah Rp 10.000,00. Rata – rata sumbangan kelompok II adalah
Rp 11.000,00 dan rata – rata sumbangan seluruh kelas adalah Rp 9.400,00 maka rata -rata
sumbangan kelompok III adalah …
a. Rp 7.500,00 d. Rp 9.000,00
b. Rp 8.000,00 e. Rp 10.000,00
c. Rp 8.500,00
2. Perhatikan data pada table berikut
Nilai Frekuensi
31 – 40 3
41 – 50 5
51 – 60 10
61 – 70 11
71 – 80 8
81 – 90 3
Kuartil bawah dari data pada tabel tersebut adalah ….
a. 48,5 d. 54,5
b. 51,5 e. 58,5
c. 52,5
3. Data yang diberikan dalam tabel frekuensi sebagai berikut
Nilai Frekuensi
20 – 29 3
30 – 39 7
40 – 49 8
50 – 59 12
60 – 69 9
70 – 79 6
80 – 89 5
𝑺𝟐 =∑ 𝒇𝒊(𝒙𝒊−�̅�)𝟐𝒏
𝒊=𝟏
𝒏
𝑺 = √∑ 𝒇𝒊(𝒙𝒊−�̅�)𝟐𝒏
𝒊=𝟏
𝒏
35
Nilai modus dari data pada tabel adalah …
a. 49,5 −40
7 d. 49,5 +
40
7
b. 49,5 −36
7 e. 49,5 +
48
7
c. 49,5 +36
7
4. Rata – rata dari x, 62, 74, 83, 2x , 85, 60 adalah 73. Nilai x adalah …
a. 45 d. 90
b. 47 e. 98
c. 49
5. Simpangan baku dari data 2,1,3,6, 1, 4, 2, 5 adalah …
a. √7 d. √3
b. √6 e. √2
c. √5
6. Ragam atau varian dari data 6, 8, 6, 7, 8, 7, 9, 7, 7, 6, 7, 8, 6, 5, 6, 7 adalah ….
a. 1 d. 7
8
b. 13
8 e.
5
8
c. 11
8
7. Perhatikan tabel berikut
Nilai Frekuensi
10 – 19 8
20 – 29 12
30 – 39 10
40 – 49 13
50 – 59 7
Nilai median dari data tersebut adalah …
a. 30,50 d. 34,50
b. 32,50 e. 38,50
c. 32,83
8. Rata – rata upah 10 orang pekerja Rp 70.000,- perhari. Jika upah ketua kelompok pekerja
itu juga dihitung maka rata – ratanya menjadi Rp 71.000,-. Upah ketua kelompok itu
perhari adalah ….
a. Rp 78.500,- d. Rp 80.500,-
b. Rp 79.000,- e. Rp 81.000,-
c. Rp 80.000,-
36
D. RANGKUMAN
E. KUNCI JAWABAN
1. B 5. D
2. C 6. A
3. D 7. D
4. C 8. E
1. Rata – rata data tunggal
�̅� =𝒙𝟏+𝒙𝟐+𝒙𝟑+⋯+𝒙𝒏
𝒏=
∑ 𝒙𝒊𝒏𝒊=𝟏
𝒏
2. Rata – rata data kelompok
�̅� =𝒇𝟏𝒙𝟏+𝒇𝟐𝒙𝟐+𝒇𝟑𝒙𝟑+⋯+𝒇𝒏𝒙𝒏
𝒏=
∑ 𝒇𝒊𝒙𝒊𝒏𝒊=𝟏
𝒏
3. Kuartil data tunggal
Letak 𝑸𝒊 =𝒊
𝟒(𝒏 + 𝟏)
4. Kuartil data kelompok
𝑸𝒊 = 𝒕𝒃 + 𝒑 (𝒊
𝟒𝒏−𝑭
𝒇𝑸𝒊)
5. Modus data kelompk
𝑴𝒐 = 𝒕𝒃 + 𝒑 (𝒅𝟏
𝒅𝟏+𝒅𝟐)
6. Simpangan baku
𝑺𝟐 =(𝒙𝟏−�̅�)𝟐+(𝒙𝟐−�̅�)𝟐+⋯+(𝒙𝒏−�̅�)𝟐
𝒏
37
A. TUJUAN PEMBELAJARAN
B. URAIAN MATERI
1. KAIDAH PENCACAHAN Kaidah pencacahan adalah suatu ilmu yang berkaitan dengan menentukan banyaknya
cara suatu percobaan dapat terjadi. Menentukan banyaknya cara suatu percobaan dapat terjadi
dilakukan dengan :
a. Aturan Penjumlahan
Contoh :
Budi akan membeli sebuah mobil di sebuah showroom yang menyediakan 5 jenis mobil sport
dan 3 jenis mobil minibus. Banyak pilihan Budi untuk membeli mobil adalah
Jawab :
Banyak pilihan Budi membeli mobil adalah 5 + 3 = 8 pilihan
b. Aturan Perkalian
pada peraturan perkalian dapat diperinci menjadi dua yaitu :
I. Menyebutkan Kejadian Satu perSatu
Contoh :
1. Sebuah dadu dan sebuah uang logam dilempar secara bersamaan. Berapa cara yang
mungkin terjadi ?
Modul V Kaidah Pencacahan dan Permutasi
Kamu akan mempelajari :
• Apa itu kaidah pencacahan dan permutasi
• Bagaimana konsep kaidah pencacahan dan
permutasi
Jika ada sebanyak 𝑎 benda pada himpunan pertama dan ada sebanyak 𝑏 benda pada
himpunan kedua, dan kedua himpunan itu tidak beririsan maka kejadian tersebut dapat
terjadi dalam (𝑎 + 𝑏) cara.
38
Jawab :
Uang Dadu Hasil yang mungkin
1 G1
2 G2
G 3 G3
4 G4
5 G5
6 G6
1 A1
2 A2
A 3 A3
4 A4
5 A5
6 A6
2. Dua buah Dadu dilemparkan secara bersamaan, berapa banyak kemungkinan mata dadu
yag akan muncul?
Jawab :
3. Dari kota A ke kota B dapat ditempuh dengan 2 cara, dari kota A ke kota C dapat ditempuh
dengan 4 cara, dari kota B ke kota D dapat ditempuh dengan 3 cara dan dari kota C ke kota
D dapat ditempuh dengan 3 cara. Tentukan banyaknya cara yang ditempuh dari kota A ke
kota D !
Jawab :
B.
A. .D
C.
Banyaknya cara yang dapat ditempuh dari kota A ke kota D adalah :
18 cara
II. Aturan Pengisian Tempat yang Tersedia
Menentukan banyaknya cara suatu percobaan dapat dilakukan dengan menyebutkan
satu-persatu. Tetapi akan mengalami kesulitan jika kejadiannya cukup banyak. Hal ini akan
lebih cepat jika diselesaikan dengan menggunakan aturan pengisian tempat yang tersedia atau
dengan mengalikan.
1 2 3 4 5 6
1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6
2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6
3 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6
4 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6
5 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6
6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6
39
Contoh :
1. Budi mempunyai 6 baju dan 4 celana. Berapa cara Budi dapat memakai baju dan celana?
Jawab :
Misalkan ke enam baju itu 𝐵1, 𝐵2, 𝐵3, 𝐵4, 𝐵5, 𝐵6, dan ke empat celana tersebut adalah
𝐶1, 𝐶2, 𝐶3, 𝐶4, hasil yang mungkin terjadi adalah
Langkah diatas dapat dilakukan dengan cara
Baju Celana
Jadi 6 × 4 = 15cara
Contoh :
2. Tito mempunya 5 baju, 3 celana, 4 sepatu, dan 2 topi. Tentukan berapa cara Tito dapat
memakainya!
Jawab :
Baju Celana Sepatu Topi
Jadi ada 5 × 3 × 4 × 2 = 120 cara
Contoh :
3. Dari angka-angka 0,1,2,3,4,5,dan 6 berapa banyak bilangan terdiri dari 4 angka yang dapat
disusun
a. Tanpa pengulangan
b. Boleh berulang
Jawab :
a. Tanpa pengulangan
Ribuan Ratusan Puluhan Satuan
Jadi banyak bilangan yang apat disusun 6 × 6 × 5 × 4 = 720 cara
b. Boleh Pengulangan
𝑩𝟏 𝑩𝟐 𝑩𝟑 𝑩𝟒 𝑩𝟓 𝑩𝟔
𝑪𝟏 𝐵1𝐶1 𝐵2𝐶1 𝐵3𝐶1 𝐵4𝐶1 𝐵5𝐶1 𝐵6𝐶1
𝑪𝟐 𝐵1𝐶2 𝐵2𝐶2 𝐵3𝐶2 𝐵4𝐶2 𝐵5𝐶2 𝐵6𝐶2
𝑪𝟑 𝐵1𝐶3 𝐵2𝐶3 𝐵3𝐶3 𝐵4𝐶3 𝐵5𝐶3 𝐵6𝐶3
𝑪𝟒 𝐵1𝐶4 𝐵2𝐶4 𝐵3𝐶4 𝐵4𝐶4 𝐵4𝐶4 𝐵6𝐶4
Jika suatu kejadian dapat terjadi dalam 𝑛1 𝑐𝑎𝑟𝑎 yang berlainan dan kejadian yang lain
dapat terjadi dalam 𝑛2 𝑐𝑎𝑟𝑎 yang berlainan maka kejadian-kejadian tersebut bersama-
sama dapat terjadi 𝑛1. 𝑛2 𝑐𝑎𝑟𝑎 yang beralianan.
6 cara 4 cara
5 cara 3 cara 4 cara 2 cara
6 6 5 4
40
Ribuan Ratusan Puluhan Satuan
Jadi banyak bilangan yang dapat disusun 6 × 7 × 7 × 7 = 2058 cara
Contoh :
4. Berapakah banyak bilangan-bilangan ganjil terdiri atas 3 angka yang dapat disusun dari
angka-angka 3,4,5,6 dan 7.
Jawab :
Ratusan Puluhan Satuan
Jadi banyak bilangan yang dapat disusun 5 × 5 × 3 = 75 cara
2. PERMUTASI
Permutasi dari sejumlah objek adalah susunan objek dalam urutan berhingga.
a. Pengertian dan Notasi Faktorial
Perkalian 𝑛 bilangan asli yang berurutan yang dimulai dari 𝑛 dan diakhiri dengan
angka 1 disebut 𝑛 faktorial dan ditulis dengan notasi 𝑛!. Dengan demikian 𝑛 didefinisikan
sebagai berikut :
Sifat-sifat fakatorial
Contoh :
Tentukan nilai dari
1. 4!
2. 11!
9!
Jawab :
1. 4! = 4 × 3 × 2 × 1
= 24
2. 11!
9!=
11 ×10 × 9!
9!
= 110
b. Permutasi Dari Unsur-Unsur Berbeda
Sekumpulan 𝑟 unsur yang diambil dari 𝑛 unsur yang disusun dalam suatu urutan
tertentu sehingga diperoleh urutan yang berbeda disebut permutasi 𝑟 unsur dari 𝑛 unsur.
6 7 7 7
5 5 3
𝒏! = 𝒏 × (𝒏 − 𝟏) × (𝒏 − 𝟐) × … × 𝟏
1. 𝟏! = 𝟏 4. 𝟎! = 𝟏
2. 𝒏! = 𝒏(𝒏 − 𝟏)! 5. 𝒏!
(𝒏−𝟏)!= 𝒏
3. 𝒏!
(𝒏−𝟏)!≠ (
𝒏
𝒏−𝟏) ! 6. 𝒏! (𝒏 − 𝟏)! ≠ (𝒏(𝒏 − 𝟏))!
41
Dalam permutasi, urutan dipermasalahkan, misalkan dua huruf dari huruf-huruf A, B,
C, dan D adalah AB, BA, AC, CA, AD, DA, BC, CB, BD, DB, CD, dan DC.
Perhatikan kasus berikut!
Banyaknya permutasi dari sekumpulan 6 huruf a, b, c, d, e, ,dan f jika setiap kali diambil 3
huruf!
Pembahasan :
Untuk bentuk ini dapat diselesaikan dengan aturan penyajian tempat yang tersedia
Huruf I Huruf II Huruf III
Maka banyaknya permutasi : 6 × 5 × 4 = 120 cara
Dari contoh diatas , hasil permutasi dapat dinyatakan dalam notasi faktorial sebagai berikut
𝑃(6,3) = 6 × 5 × 4
=6×5×4×3×2×1
3×2×1=
6!
3!=
6!
(6−3)!
Dengan demikian secara umum dapat didefinisikan
Contoh :
Berapa banyak permutasi dari pengambilan 5 kartu pada 52 kartu?
Jawab :
𝑃(52,5) =52!
(52−5)!
𝑃(52,5) =52×51×50×49×48×47!
47! = 311.875.200
c. Permutasi dengan Beberapa Unsur Sama
Adakala diantara sekumpulan objek yang tersedia, terdapat objek-objek yang sama.
Jika semua objek tersebut disusun, maka akan terdapat susunan yang sama atau permutasi
yang sama.
Perhatikan susunan huruf yang mungkin pada kata “APA” berikut ini. Misalkan kedua
huruf A berbeda A1 dan A2 maka didapat
Permutasi 𝑟 unsur yang diambil dari 𝑛 unsur yang berbeda (tiap unsur
berbeda) adalah susunan dari 𝑟 unsur itu dalam suatu urutan (𝑟 ≤ 𝑛).
Banyaknya permutasian 𝑟 unsur yang diambil dari 𝑛 unsur yang tersedia
dilambangkan dengan 𝑷(𝒏,𝒓), 𝑷𝒓𝒏, 𝒏𝑷𝒓
6 cara 5 cara 4 cara
Banyaknya permutasi 𝑟 unsur dari 𝑛 unsur yang berbeda adalah
𝑷(𝒏,𝒓) =𝒏!
(𝒏 − 𝒓)! , 𝒓 ≤ 𝒏
42
𝑃(3,3) =3!
(3−3)!=
3×2×1
0!= 6
Yakni A1A2P, A2A1P, A1PA2 , A2PA1 , PA1A2 , PA2A1 . akan tetapi kedua huruf A
sama, maka didapat AAP, APA, PAA. Jadi permutasi 3 huruf dari huruf-huruf “APA”
sebanyak 3 permutasi yang berasal dari perhitungan 6
2=
3!
2!.
Contoh : Berapa banyak cara untuk menyusun huruf-huruf dari kata
1. KATAK
2. BATARA
Jawab :
1. Pada kata KATAK
Huruf A ada 2 maka 𝑟1 = 2
Huruf K ada 2 maka 𝑟2 = 2
Jumalh kata ada 5 maka 𝑛 = 5
𝑃(5;2,2) =5!
2!2!=
5×4×3×2!
2×1×2!= 30 cara
2. Pada kata BATARA
𝑃(6;3) =6!
3!=
6×5×4×3!
3!= 120 cara
d. Permutasi Berulang
Permutasi dua huruf dari huruf-huruf A, B, C adalah AB, BA, AC, CA, BC,dan CB.
Dalam hal ini huruf-huruf digunakan tidak berulang. Bila huruf-huruf boleh digunakan secara
berulang maka hasilnya akan menjadi AA, AB, AC, BA, BB, BC, CA, CB, CC. Jadi
banyaknya permutasi berulang 2 huruf dari 3 huruf A, B, dan C adalah 9.
Perhitungan ini dapat juga dilakukan dengan craa sebagai berikut :
• Huruf pertama dapat diisi dengan huruf A, B, C ( 3 cara )
• Karena pemakaian huruf boleh berulang maka huruf kedua juga dapat diisi dengan
huruf A, B, C ( 3 cara )
Berdasarkan aturan pengisian tempat yang tersedia, banyaknya susunan seluruhnya
adalah 3 × 3 = 32.
Banyaknya permutasi keseluruhan dari 𝑛 unsur yang dari 𝑛 unsur tersebut
terdapat 𝑟1 unsur yang sama dan terdapat 𝑟2 unsur yang sama pula dan
seterusnya adalah
𝑷(𝒏;𝒓𝟏,𝒓𝟐,… ) =𝒏!
𝒓𝟏! × 𝒓𝟐 × …
43
Secara umum
Contoh : Tentukan banyaknya bilangan yang terdiri dari 3 angka yang dibentuk dari angka-angka 1, 2,
3, 4, 5 bila pemakaian angka
a) Tidak boleh berulang
b) Boleh berulang
Jawab :
a) Tidak boleh berulang
𝑃(5,3) =5!
(5−3)!=
5×4×3×2!
2!= 60 cara
b) Boleh berulang
𝑃𝑏(5,3) = 53 = 125 cara
e. Permutasi Siklis
Ciri khusus dari permutasi siklis adalah adanya tempat pertama untuk diisi. Misalkan 4
orang yaitu P, Q, R dan T yang akan duduk dimeja bundar. Oleh karena tidak ada tempat
pertama yang harus diisi, maka dapat diambil salah satu dari 4 orang sebagai patokan.
Misalnya P, selanjutnya tinggal menyusun tiga orang lainnya disekeliling P.
Perhatikan susunan tempat duduk berikut
P P P
Q S Q R S R
R S Q
P P P
S Q R S R Q
R Q S
Banyaknya permutasi berulang 𝑟 unsur yang diambil dari 𝑛 unsur yang
tersedia adalah
𝑷𝒃(𝒏,𝒓) = 𝒏𝒓
44
Dari gambar diatas terlihat bahwa yang menyusun permutasi hanya 3 orang. Sehingga
banyaknya cara penyusunan adlah 6. Hal tersebuat juga dapat diperoleh dengan (4 − 1)! = 6
Contoh :
Empat pejabat yang diundang akan duduk dalam satu meja bundar. Banyak cara pejabat untuk
memili tempat duduk adalah ?
Jawab :
𝑛 = 4
Maka banyak cara memilih adalah (𝑛 − 1)! = (4 − 1)! = 6
C. TES
TES UJIAN KEMAMPUAN SISWA
1. Dari angka – angka 1, 2, 3, 4, 5, 6 akan disusun suatu bilanagn yang terdiri dari 3
angka berbeda. Banyak bilangan yang dapat disusun adalah …
a. 18 d. 120
b. 36 e. 216
c. 60
2. Dari angka – angka 2,3 ,5, 7 dan 8 disusun bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda.
Banyak bilangan yangd apat disusun adalah …
a. 10 d. 48
b. 15 e. 60
c. 20
3. Seorang ingin melakukan pembicaraan melalui sebuah wartel. Ada 4 buah kamar bicara dan
ada 6 buah nomor yang akan dihubungi. Banyak susunan pasangan kamar bicara dan nomor
telepon yang dapat dihubungi adalah ….
a. 10 d. 1.296
b. 24 e. 4.096
c. 360
4. Dalam kompetisi bola basket yang terdiri dari 10 regu akan dipilih juara 1, 2 , dan 3. Banyak
cara memilih adalah …
a. 120 d. 720
b. 360 e. 900
c. 540
5. Dari 7 orang pengurus suatu ekstrakurikuler akan dipilih seorang ketua, wakil ketua, sekretaris,
bendahara dan humas. Banyak cara pemilihan pengurus adalah …
Secara umum, banyaknya permutasi siklis dari
𝑛 unsur adalah
(𝒏 − 𝟏)!
45
a. 2.100 d. 4.200
b. 2.500 e. 8.400
c. 2.520
D. RANGKUMAN
E. KUNCI JAWABAN
1. D
2. E
3. C
4. C
5. C
1. Kaidah pencacahan
Aturan perkalian
Apabila suatu peristiwa dapat terjadi dengan n tahap yang berurutan, dimana tahap
pertama terdapat a1 cara yang berbeda dan seterusnya sampai dengan tahap ke-n dapat
terjadi dalam an cara yang berbeda , maka total banyaknya cara peristiwa tersebut dapat
terjadi adalah a1 × a2 ×a3 × ... × an
2. Permutasi
46
A. TUJUAN PEMBELAJARAN
B. URAIAN MATERI
KOMBINASI
Misalkan kombinasi 3 huruf dari huruf-huruf a, b, c dan d adalah abc, abd, acd, dan bcd.
Berikut ini akan anda perhatikan perbandingan antara kombinasi 3 huruf tersebut dengan
permutasinya.
Kombinasi Permutasi
abc abc, acb,, bac, bca, cab, cba
abd abd, adb, bad, bda, dab, dba
acd acd, adc, cad, cda, dac, dca
bcd bcd, bdc, cbd, cdb, dbc, dcb
Perhatikan bahwa banyaknya kombinasi adalah 4 dan masing-masing kombinasi terdiri
dari 3 unsur serta ketiga unsur tersebut mempunyai 3! = 6 susunan dan permutasinya ada 24
susunan.
Jika kita hubungkan banyaknya kombinasi dengan banyaknya permutasi pada pengambilan
3 huruf dari 4 huruf yang tersedia, maka akan diperoleh hubungan :
𝐶(4,3)3! = 𝑃(4,3)
𝐶(4,3) =𝑃(4,3)
3!
𝐶(4,3)3! =4!
3!(4−3)!= 4
Kombinasi adalah suatu permutasi yang tidak memperhatikan urutan. Walaupun urutannya
berbeda, asal unsur-unsurnya sama dianggap kombinasi.
Modul VI Kombinasi dan Binomium Newton
Disini kita akan mempelajari tentang
1. Ap itu kombinasi dan binomium
newton
2. Bagaimana konsep kombinasi dan
binomium newton
47
Contoh :
Seorang siswa diharuskan mengerjakan 6 dari 8 soal, tetapi no 1 sampai 4 wajib dikerjakan.
Tentukan banyak pilihan yang dapat diambil oleh siswa!
Jawab :
Mengerjakan 6 dari 8 soal, tetapi nomor 1 sampai 4 wajib dikerjakan berarti tinggal memilih 2
soal lagi dari soal nomor 5 samapi 8.
𝑟 = 2 dan 𝑛 = 4
𝐶(4,2)=
4!
2!(4−2)!=6
Jadi banyaknya pilihan yang dapat dilakukan oleh siswa adalah 6 pilihan
Dari sebuah kantong yang berisi 10 bola merah dan 8 bola putih akan diambil 6 bola sekaligus
secara acak. Tentukan banyaknya cara mengambil 4 bola merah dan 2 bola putih!
Jawab :
Mengambil 4 bola merah dari 10 merah
𝐶(10,4) =10!
4!(10−4)!
=10×9×8×7×6!
4×3×2×1×6!
= 210
Mengambil 2 bola putih dari 8 bola putih
𝐶(8,2) =8!
2!(8−2)!
=8×7×6!
2×1×6!
= 28
Jadi banyak cara mengambil 4 bola merah dan 2 bo;a putih adalah
Banyaknya kombinasi 𝑟 unsur dan 𝑛 unsur yang disediakan (𝑟 ≤ 𝑛)
ditulis dengan lambang 𝒏𝑪𝒓 atau 𝑪(𝒏,𝒓) atau 𝑪𝒓𝒏 atau (
𝒏𝒓
).
Secara umum banyaknya kombinasi 𝑟 unsur dari 𝑛 unsur adalah
𝒏𝑪𝒓 =𝒏!
𝒓! (𝒏 − 𝒓)!
48
𝐶(10,4). 𝐶(8,2) = 210 × 28
= 5880 cara
3. BINOMIUM NEWTON (EKSPANSI NEWTON)
a. Konsep Binomial Newton
Binomial Newton mempelajari tentang cara penjabaran (ekspansi) bentuk pangkat aljabar
yang terdiri dari dua suku (binomial). Untuk menjabarkan pangkat aljabar dua suku bisa
menggunakan segitiga Pascal seperti berikut :
Dari bentuk segitiga pascal tersebut dapat membantu dalam penjabaran pangkat dua suku
berikut dimana angka-angka pada segitiga pascal merupakan koefisien dari setiap sukunya
(𝑎 + 𝑏)0 = 1
(𝑎 + 𝑏)1 = 𝑎 + 𝑏
(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2
(𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3
(𝑎 + 𝑏)4 = 𝑎4 + 4𝑎3𝑏 + 6𝑎2𝑏2 + 4𝑎𝑏3 + 𝑏4
(𝑎 + 𝑏)5 = 𝑎5 + 5𝑎4𝑏 + 10𝑎3𝑏2 + 10𝑎2𝑏3 + 5𝑎𝑏4 + 𝑏5
(𝑎 + 𝑏)𝑛 = ⋯
Tetapi ada metode lain yang lebih mudah diterapkan untuk mencari koefisien binomial
yaitu dengan menggunakan konsep kombinasi 𝐶𝑟𝑛 yang dinamakan Bonomial Newton,
sehingga segitiga pascal dapat dituli sebagai berikut
(𝑎 + 𝑏)0 → 𝑛 = 0 𝐶00
(𝑎 + 𝑏)1 → 𝑛 = 1 𝐶01 𝐶1
1
(𝑎 + 𝑏)2 → 𝑛 = 2 𝐶02 𝐶1
2 𝐶22
(𝑎 + 𝑏)3 → 𝑛 = 3 𝐶03 𝐶1
3 𝐶23 𝐶3
3
(𝑎 + 𝑏)4 → 𝑛 = 4 𝐶04 𝐶1
4 𝐶24 𝐶3
4 𝐶44
(𝑎 + 𝑏)0 = 𝐶00
(𝑎 + 𝑏)1 = 𝐶01𝑎 + 𝐶1
1𝑏
(𝑎 + 𝑏)2 = 𝐶02𝑎2 + 𝐶1
2𝑎𝑏 + 𝐶22𝑏2
(𝑎 + 𝑏)3 = 𝐶03𝑎3 + 𝐶1
3𝑎2𝑏 + 𝐶23𝑎𝑏2 + 𝐶3
3𝑏3
(𝑎 + 𝑏)4 = 𝐶04𝑎4 + 𝐶1
4𝑎3𝑏 + 𝐶24𝑎2𝑏2 + 𝐶3
4𝑎𝑏3 + 𝐶44𝑏4
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
... ... ... ... ...
dan seterusnya
49
Sehingga dapat disimpulkan secara umum rumus Binomial Newton yakni :
Contoh :
Jabarkan bentuk polonimial berikut ini:
(𝑥 + 2)3
Jawab :
(𝑥 + 2)3 artinya 𝑛 = 4
(𝑥 + 2)3 = ∑ 𝐶𝑟4−𝑟2𝑟3
𝑟=0
= 𝐶03𝑥3−020 + 𝐶1
3𝑥3−121 + 𝐶23𝑥3−222 + 𝐶3
3𝑥3−323
= 1. 𝑥3. 1 + 3. 𝑥2. 2 + 3. 𝑥. 22 + 1.1. 23
= 𝑥3 + 6𝑥2 + 12𝑥 + 8
b. Menentukan Suku dan Koefisien Binomial
Contoh :
Tentukan suku ke-3 dari binomial (2𝑥 − 5𝑦)20 dan besar koefisiennya.
Jawab :
𝑛 = 20, 𝑘 = 3
𝐶(𝑘−1)𝑛 𝑎𝑛−(𝑘−1)𝑏𝑘−1 = 𝐶(3−1)
20 (2𝑥)20−(3−1)(−5𝑦)3−1
= 𝐶220(2𝑥)18(−5𝑦)2
=20!
2!(20−2)!218𝑥18(−5)2𝑦2
=20!
2!18!218𝑥18 25𝑦2
(𝒂 + 𝒃)𝒏 = ∑ 𝑪𝒓𝒏𝒂𝒏−𝒓𝒃𝒓
𝒏
𝒓=𝟎
Atau (𝒂 + 𝒃)𝒏 = 𝑪𝟎
𝒏𝒂𝒏 + 𝑪𝟏𝒏𝒂𝒏−𝟏𝒃 + ⋯ + 𝑪𝒏−𝟏
𝒏 𝒂𝒃𝒏−𝟏 + 𝑪𝟑𝟒 +
𝑪𝒏𝒏𝒃𝒏
Dengan 𝑛, 𝑟 adalah bilangan asli
Dari rumus Binomial Newton berikut ini,
(𝒂 + 𝒃)𝒏 = ∑ 𝑪𝒓𝒏𝒂𝒏−𝒓𝒃𝒓𝒏
𝒓=𝟎
Maka suku ke-𝑘 bentuk suku banyak hasil penjabaran dapat ditentukan dengan rumus
𝑪(𝒌−𝟏)𝒏 𝒂𝒏−(𝒌−𝟏)𝒃𝒌−𝟏
50
=20×19×18!
2×1×18!218𝑥18 25𝑦2
=20×19
221825 𝑥18𝑦2
= 4750 × 218𝑥18 25𝑦2
Sehingga koefisien suku ke 3 dari binomial (2𝑥 − 5𝑦)20 adalah 4750 × 218
C. TES
TES UJIAN KEMAMPUAN SISWA
1. Banyak cara Menyusun suatu regu cerdas cermat yang terdiri dari 3 siswa dipilih daei 10
siswa yang tersedia adalah ….
a. 80 d. 240
b. 120 e. 720
c. 160
2. Dari 20 orang siswa yang berkumpul, mereka saling berjabat tangan, maka banyaknya
jabatan tangan yang terjadi adalah ….
a. 40 d. 360
b. 80 e. 400
c. 190
3. Seorang ibu mempunyai 8 sahabat, banyak komposisi jika ibu ingin mengundang 5
sahabatnya untuk makan malam adalah ….
a. 8! 5! d. 8!
5!
b. 8! 3! e. 8!
3!5!
c. 8!
3!
4. Banyak kelompok yang terdiri atas 3 siswa berbeda dapat dipilih dari 12 siswa pandai
untuk mewakili sekolahnya dalam kompetisi matematika adalah ….
a. 180 d. 420
b. 220 e. 1.320
c. 240
5. Seorang peserta ujian haris mengerjakan 6 soal dari 10 soal yang ada. Banyak cara peserta
memilih soal ujian yang harus dikerjakan adalah ….
a. 210 d. 5.040
b. 110 e. 5.400
c. 230
51
D. RANGKUMAN
E. KUNCI JAWABAN
1. B
2. C
3. E
4. B
5. A
1. Kombinasi adalah pemilihan objek tanpa memperhatikan urutannya.
Notasi: Untuk semua bilangan positif n dan r,
dengan , banyaknya kombinasi r objek yang diambil dari n
objek pada waktu yang sama.
2. Binomial Newton adalah teorema yang menjelaskan mengenai
pengembangan eksponen dari penjumlahan antara dua variabel
(binomial). Dalam Binomial Newton menggunakan koefisien-koefisien (a +
b)n.
Misalnya, n = 2 didapat: (a + b)2 = (1) a2 + 2ab + (1)b2
Koefisien-koefisien hasil penjabaran (a + b)2 adalah 1, 2, 1 yang senilai
dengan C(2,0) dan C(2,2) dapat ditulis
52
A. TUJUAN PEMBELAJARAN
B. URAIAN MATERI
PELUANG
Peluang (Probabilitas) merupakan suatu konsep matematika yang digunakan untuk
melihat kemungkinan terjadinya suatu kejadian.
Istilah-istilah dalam mempelajari peluang :
Ruang sampel
Ruang sampel dari suatu percobaan adalah himpunan seluruh kejadian yang mungkin
dari percobaan tersebut. Ruang sampel suatu percobaan dapat dinyatakan dalam bentuk
diagram pohon atau tabel.
Contoh :
Sebuah kotak berisi lima baterai, dua diantaranya rusak. Dua baterai diambil secara acak dari
kotak untuk di tes. Tentukanlah anggota-anggota ruang sampelnya!
Jawab :
Misalkan baterai-baterai yang tidak rusak T1, T2, T3
baterai-baterai yang rusak R1, R2
maka banyak ruang sampel yang mungkin adalah
S = {T1R1, T2R1, T3R1, T1R2, T2R2, T3R2, T1T2, T1T3, T2T3, R1R2}
a. Peluang Suatu Kejadian
Peluang sautu kejadian didefenisikan berdasarkan konsep ruang sampel dan kejadian.
Misalkan S mewakili suatu ruang sampel dengan n(S) menyatakan banyaknya hasil yang
mungkin yang mempunyai kesempatan sama untuk muncul dan misalkan E suatu kejadian
pada ruang sampel yang berisi n(E) hasil dimana 𝐸 ⊆ 𝑆 maka peluang kejadian E
didefenisikan :
Modul VII Peluang
Kamu akan mempelajari :
• Apa itu peluanh
• Bagaimana konsep peluang dalam
meyelesaikan masalah konstektual dalam
kehidupan sehari - hari
𝑷(𝑬) =𝒏(𝑬)
𝒏(𝑺)
53
Karena E adalah himpunan bagian dari S, 𝑛(𝐸) ≤ 𝑛(𝑆). Sehingga 𝑃(𝐸) ≤ 1
Jika E adalah kejadian yang tidak mungkin, maka E = ⊘ dan n(E) = 0. Sehingga P(E) = 0
Jika E adalah kejadian yang pasti terjadi, maka E = S dan n(E) = n(S). Sehingga P(E) = 1
Dari hasil tersebut dapat disimpulkan untuk setiap kejadian E, maka :
𝟎 ≤ 𝑷(𝑬) ≤ 𝟏
Jika Ec yang merupakan kejadian yang bukan kejadian E, maka
Contoh :
Pada pelemparan tiga mata uang logam sekaligus. Berapakah peluang bahwa :
a. E1 : dua atau lebih muncul gambar
b. E2 : paling sedikit muncul satu angka
Jawab :
Ruang sampel dalam percobaan ini adalah
S ={GGG,GGA,GAG,AGG,GAA,AGA,AAG,AAA}
Sehingga n(S) = 8
a. E1 = {GGG, GGA, GAG, AGG}
Sehingga, P(E1) = n(E1)
n(S)=
4
8=
1
2
b. E2 : {GGA, GAG, AGG, GAA, AGA, AAG, AAA}
P(E2) = n(E2)
n(S)=
7
8=
1
2
Contoh :
Sebuah kantong berisi 8 kelereng merah dan 5 kelereng biru,diambil 3 kelereng sekaligus
secara acak. Tentukan :
a. Peluang terambilnya dua kelereng merah dan satu kelereng biru
b. Peluang terambilnya satu kelereng merah dan dua kelereng biru
c. Peluang terambilnya ketiganya kelereng merah
d. Peluang terambilnya ketiganya kelereng biru
Jawab :
Ruang sampel S adalah banyaknya cara memilih tiga kelereng dari tiga belas kelereng. Ini
adalah kombinasi karena urutan pengambilan tidak dipentingkan,
𝑛(𝑆) = 𝐶313 =
13!
3! 10!= 286
a. Misalkan E1 kejadian mendapatkan dua kelereng merah dan satu kelereng biru
𝑛(𝐸1) = 𝐶28. 𝐶1
5 = 140
𝑃(𝐸1) =𝑛(𝐸1)
𝑛(𝑆)=
140
286=
70
143
catatan
𝑷(𝑬𝒄) = 𝟏 − 𝑷(𝑬)
54
b. Misalkan E2 kejadian mendapatkan satu kelereng merah dan dua kelereng biru
𝑛(𝐸2) = 𝐶18. 𝐶2
5 = 80
𝑃(𝐸2) =𝑛(𝐸2)
𝑛(𝑆)=
80
286=
40
143
c. Misalkan E3 adalah kejadian mendapatkan tiga kelereng merah
𝑛(𝐸3) = 𝐶38 = 280
𝑃(𝐸3) =𝑛(𝐸3)
𝑛(𝑆)=
280
286=
140
143
d. Misalkan E4 adalah kejadian mendapatkan tiga kelereng biru
𝑛(𝐸4) = 𝐶45 = 10
𝑃(𝐸3) =𝑛(𝐸4)
𝑛(𝑆)=
10
286=
5
143
b. Frekuensi Harapan
Jika suatu percobaan dilakukan sebanyak N kali dan peluang kejadian E = P(E),
maka frekuensi harapan munculnya kejadian E adalah :
Contoh :
Dari seperangkat kartu bridge yang banyaknya 52 kartu, diambil 2 kartu sekaligus. Jika
pegambilan dilakukan sebanyak 884 kali. Tentukan frekuensi harapan yang terambil
keduanya kartu As !
Jawab :
Munculnya kedua kartu As
𝑛(𝐸) = 𝐶24 = 6
Munculnya kedua kartu dari 52 kartu yang tersedia
𝑛(𝑆) = 𝐶252 = 1326
𝑃(𝐸) =𝑛(𝐸)
𝑛(𝑆)=
6
1326=
1
221
Jadi, frekuensi harapan yang terambil keduanya kartu As adalah
𝐹ℎ(𝐸) = 𝑃(𝐸). 𝑁
=1
221. 884 = 4
c. Kejadian Majemuk
1) Pengertian Kejadian Majemuk
Kejadian majemuk dapat terbentuk dengan cara mengkombinasikan dua atau lebih
kejadian. Kerana kejadian merupakan himpunan, maka operasi pada himpunan juag berlaku
pada kejadian-kejadian
• Gabungan
𝐸1 ∪ 𝐸2 adalah kejadian “terjadi 𝐸1, 𝐸2 atau 𝐸1 dan 𝐸2”
𝑭𝒉(𝑬) = 𝑷(𝑬). 𝑵
55
• Irisan
𝐸1 ∩ 𝐸2 adalah kejadian “terjadi 𝐸1 dan 𝐸2”
• 𝐸𝑐 = 𝐸 , = (komplemen E) adalah kejadian “tidak terjadi 𝐸
2) Kejadian Saling Lepas
Dua kejadian disebut saling lepas (mutually exclusive) apabila kedua kejadian tersebut
tidak dapat terjadi secara bersamaan. Dengan notasi himpunan dapat kita tulis bahwa kejadian
𝐸1 dan 𝐸2 saling lepas apabila 𝐸1 ∩ 𝐸2 =⊘.
Jika dua kejadian memiliki titk sampel persekutuan maka kedua kejadian itu disebut
kejadian yang tidak saling lepas. Kejadian 𝐸1 dan 𝐸2 tidak saling lepas apabila 𝐸1 ∩ 𝐸2 ≠⊘
Contoh :
Pada pelemparan dua dadu secara bersamaan. Tentukan peluang
a. Munculnya jumlah mata dadu sama dengan 8 atau 10
b. Munculnya jumlah mata dadu bilangan prima atau bilangan genap
Jawab :
1 2 3 4 5 6
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
a. Munculnya jumlah mata dadu sama dengan 8 atau 10
n(S) = 36
E1 = {(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)} maka n(E1) = 5
E2 = {(4,6), (5,5), (6,4))} maka n(E2) = 3
Maka peluang munculnya jumlah mata dadu sama dengan 8 atau 10 adalah
P(E1) + P(E2) = 5
36 +
3
36 =
8
36 =
2
9
b. Munculnya jumlah mata dadu bilangan prima atau bilangan genap
n(S) = 36
E1 = {(1,1), (1,2), (1,4), (1,6), (2,1), (2,3), (2,5), (3,2), (3,4), (4,1), (4,3), (5,2)(6,1)}
maka n(E1) = 13
Peluang Gabungan Dua Kejadian
➢ 𝑷(𝑬𝟏 ∪ 𝑬𝟐) = 𝑷(𝑬𝟏) + 𝑷(𝑬𝟐) saling lepas
➢ 𝑷(𝑬𝟏 ∪ 𝑬𝟐) = 𝑷(𝑬𝟏) + 𝑷(𝑬𝟐) − 𝑷(𝑬𝟏 ∩ 𝑬𝟐) tidak saling lepas
56
E2 = {(1,1), (1,3), (1,5), (2,2), (2,4), (2,6), (3,1), (3,3), (3,5), (4,2), (4,4), (4,6), }
= {(5,1), (5,3), (5,5), (6,2), (6,4), (6,6)}
Maka n(E2) = 18
E1⋂ E2 = {(1,1)}
maka n(E1⋂ E2) = 1
Maka peluang munculnya jumlah mata dadu bilangan prima atau bilangan genap
adalah P(E1 ∪ E2) = P(E1) + P(E2) − P(E1 ∩ E2) =13
36+
18
36−
1
36=
30
36=
5
6
3. Kejadian Saling Bebas
Dua kejadian disebut saling bebas (independent) jika terjadinya kejadian pertama tidak
tergantung kepada terjadinya kejadian kedua. Misalnya dalam pelemparan dua dadu secara
bersamaan, kejadian munculnya mata dadu pertama tidak tergantung kepada munculnya mata
dadu kedua.
Misalnya peluang kejadian E1 = P(E1) dan peluang kejadian E2 = P(E2). Jika kejadian E1
dan E2 bebas maka peluang terjadinya kejadian E1 dan E2 adalah
Contoh :
Dua dadu dilempar secara bersamaan. Tentukan peluang munculnya mata dadu pertama 2 dan
mata dadu kedua 4!
Jawab :
1 2 3 4 5 6
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
Misalnya, munculnya jumlah mata 2 dadu pertama adalah E1
E1 = {(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6)} maka n(E1) = 6
Misalnya, munculnya jumlah mata 2 dadu pertama adalah E2
E2 = {(1,4), (2,4), (3,4), (4,4), (5,4), (6,4)} maka n(E2) = 6
E1⋂ E2 = {(2,4)} maka n(E1⋂ E2) = 1
Sehingga peluang munculnya mata dadu pertama 2 dan mata dadu kedua adalah 4 yakni
P(E1⋂E2) = P(E1). P(E2) =6
36×
6
36=
1
36
𝑷(𝑬𝟏⋂𝑬𝟐) = 𝑷(𝑬𝟏). 𝑷(𝑬𝟐)
57
4. Kejadian Bersyarat
Jika kedua kejadian terjadi secara berurutan dan kedua kedua kejadian tersebut tidak
saling lepas, tetapi saling mempengaruhi maka kejadian tersebut disebut kejadian bersyarat.
Peluang terjadinya kejadian B apabila kejadian A diketahui telah terjadi disebut peluang
bersyarat dan dilambnagkan dengan : P(B/A)
Dirumuskan dengan :
Contoh :
Dua buah dadu dilempar secara bersamaan. Jika mata dadu pertama adalah bilangan ganjil,
tentukan peluang bahwa jumlah mata kedua dadu kurang dari 5!
Jawab :
1 2 3 4 5 6
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
Misal, A adalah kejadian munculnya bilangan ganjil pada mata dadu pertama yaitu
A = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (5,1), (5,2)}
{(5,3), (5,4), (5,5), (5,6)}
Maka 𝑃(𝐴) =18
36
Misal, B adalah kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 5 yaitu
B = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (3,1)}
𝐴⋂𝐵 = {(1,1), (1,2), (1,3), (3,1)} maka 𝑃(𝐴⋂𝐵) =4
36
Jadi peluang bahwa jumlah mata kedua dadu kurang dari 5 dengan syarat mata dadu pertama
bilangan ganjil adalah
P(B ∕ A) =P(A⋂B)
P(A)=
436⁄
1836⁄
=4
18=
2
9
𝑷(𝑩 ∕ 𝑨) =𝑷(𝑨⋂𝑩)
𝑷(𝑨)
58
C. TES
TES UJIAN KEMAMPUAN SISWA
1. Sebuah kotak berisi 6 bola hitam dan 5 bola putih. Jika dari kotak tersebut diambil 2 bola
secara acak, maka peluang terambil 2 bola hitam adalah …
a. 2
55 d.
15
55
b. 6
55 e.
25
55
c. 12
55
2. Sebuah kotak berisi 4 bola merah dan 5 bola putih. Dari dalam kotak diambil 3 bola sekaligus
secara acak. Peluang terambil 1 bola merah dan 2 bola putih adalah …
a. 3
20 d.
9
20
b. 2
9 e.
10
21
c. 1
3
3. Dua buah dadu dilempar undi bersama sama sebanyak satu kali. Peluang munculnya mata 3 pada
dadu pertama atau 2 pada dadu kedua adalah …
a. 5
36 d.
12
36
b. 6
36 e.
17
36
c. 11
36
4. Dua buah dadu dilempar undi satu kali. Peluang kejadian muncul mata dadu berjumlah 4 atau 7
adalah …
a. 4
36 d.
9
36
b. 5
36 e.
18
36
c. 7
36
5. Dalam suatu kotak terdapat 6 bola kuning dan 10 bola biru. Dua bola diambil satu demi satu tanpa
pengembalian bolz pertama kedalam kotak. Peluang terambilnya pertama bola kuning dan kedua
bola biru adalah ….
a. 15
64 d.
4
25
b. 3
20 e.
35
64
c. 1
4
59
D. RANGKUMAN
E. KUNCI JAWABAN
1. D
2. E
3. C
4. D
5. C
60
Anton, Howard, Dasar – Dasar Aljabar, Edisi Ketujuh, Interaksara, Batam Center, 2000
Sembiring, Suwah and Sudarajat, M. 2008. Penuntun MAFIKIBI kelas XII. Bandung :
Yrama Widya
Simangunsong, Wilson, Poyk M, Frederik, Matematika kelas 2 SMU IPA, Gematama,
Jakarta, 2003
Sukirman, dkk, matematika, Unibersitas Terbuka, Jakarta, 2009
Tampomas, Husein. 2008. Seribu pena matematika untuk SMA/MA kelas X, XI & XII.
Jakarta: Erlangga
Wirodokromo, Sartono. 2003. Matematika 2000. Bandung : Erlangga
DAFTAR PUSTAKA