Modul Matematika Bisnis

1

BAB I

PENGERTIAN DAN RUANG LINGKUP MATEMATIKA BISNIS

A. Tujuan Kompetensi Khusus

Setelah mengikuti kegiatan belajar, diharapkan mahasiswa mampu:

Memahami definisi himpunan

Mengerti dan memahami hubungan antar himpunan

Memahami operasi antar himpunan

Mengerti dan memahami himpunan bilangan

B. Tugas Latihan

Mahasiswa mengerjakan tugas latihan yang tersaji di akhir bab.

BAB I

2

PENGERTIAN DAN RUANG LINGKUP MATEMATIKA BISNIS

A. Definisi Himpunan

Konsep himpunan adalah suatu konsep yang paling mendasar bagi Ilmu Matematika modern pada

umumnya dan dibidang ilmu ekonomi dan bisnis pada khususnya.

Dalam bidang ekonomi dan bisnis terutama dalam hal pembentukan model kita harus

menggunakan sehimpunan atau sekelompok data observasi dari lapangan

Himpunan :

Set (Himpunan atau kumpulan ) adalah suatu kumpulan atau gugusan dari sejumlah obyek-obyek

yang berbeda

Ex : Nama-nama mahasiswa Piksi Ganesha, merk-merk disket di toko Komputer

Dinotasikan dan hurup besar

Ex : himpunan A, himpunan B, dll.

Obyek dalam himpunan disebut elemen/anggota himpunan

Ex : A = { 1, 2, 3 }, maka elemen-elemen himpunan A adalah 1, 2 dan 3

Himpunan yang tidak memiliki anggota disebut himpunan kosong (empty set) dinotasikan dengan

Menyatakan Himpunan :

Ada 2 cara :

1. Menuliskan tiap-tiap anggota himpunan diantara 2 kurung kurawal

ex : A = { Jhony, Yukiyem, Michael }

2. Menuliskan sifat-sifat semua anggota himpunan diantara 2 kurung kurawal

ex : B = { x / x = bilangan prima yang diawali dari angka 7 }

Perhatikan tabel berikut !

Cara 1 Cara 2

A = { 3, 5, 7, 11, 13 } A = { x t bilangan prima | 3 x 13 }

A = { ayam, buku, api } B = tidak dapat dinyatakan karena tidak

ada sifat yang sama

Tidak dapat dinyatakan karena jumlah

anggota C tak terhingga

C = < x E bil.bulat | x > 10

B. Hubungan antar Himpunan

1. Kesamaan Dua Himpunan

3

Definisi: Dua himpunan dikatakan sama, bila kedua himpunan tersebut mempunyai unsur-unsur

yang bersamaan.

A = B: artinya untuk setiap x elemen A maka x juga

merupakan elemen B atau sebaliknya.

AxBx

BxAx

2. Himpunan Bagian

Definisi: A dikatakan himpunan bagian dari B, jika setiap unsur

dari A adalah unsur dari B.

A B jika xA xB

Dari kedua definisi di atas maka:

Setiap himpunan adalah merupakan himpunan dari dirinya sendiri.

A A

Jika A bukan himpunan bagian dari B, maka ditulis:

AB

Himpunan kosong ( ) adalah merupakan himpunan bagian semua himpunan.

Untuk A=B, maka bisa diartikan bahwa A B dan B A atau A dab B saling

himpunan bagian.

Jika A B dan B C, maka berlaku A C.

C. Operasi Himpunan (Set Operation)

Himpunan Semesta (U) adalah himpunan yang merupakan batas dari ruang pembicaraan.

Diagram Venn adalah suatu cara menggambarkan secara mudah hubungan antara dua himpunan atau

lebih.

1. Komplemen (Complement)

Komplemen dari himpunan A adalah himpunan yang terdiri dari unsur-unsur yang terdapat dalam

himppunan semesta U tapi tidak merupakan unsur dari himpunan A.

Notasi A atau A maka A={x/xA}

U

A

4

2. Gabungan (Union)

Gabungan dari himpunan A dan B adalah suatu himpunan dimana unsur-unsurnya adalah unsur

yang berada di A atau di B atau dikeduanya.

3. Irisan (Intersection)

Irisan dari himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang unsur-unsurnya dimiliki oleh A dan

juga dimiliki oleh B secara bersamaan.

4. Selisih Himpunan (Set Difference)

Selisih dari dua himounan A dan B adalah suatu himpunan yang semua unsur-unsurnya termasuk

di A tetapi tidak termasuk di B.

D. Himpunan Bilangan

Himpunan bilangan yang pertama kita kenal adalah himpunan bilangan bulat positif

(himpunan bilangan asli/bilangan alam), yaitu ,1,2,3,... Notasi nya adalah N.

Himpunan N tertutup terhadap operasi-operasi perkalian dan pertambahan. Artinya bila kita

lakukan operasi-operasi tersebut pada himpunan bilangan asli maka hasilnya juga merupakan

bilangan asli. Tetapi untuk operasi pengurangan dan pembagian tidaklah demikian. Jadi N

tidak tertutup terhadap operasi perngurangan dan pembagian. Artinya bila kita operasikan

U

B A

U

B A

U

A B

A - B

5

operasi tersebut trhadap himpunan bilangan asli maka akan menimbulkan himpunan bilangan

baru.

a b akan menghasilkan bil asli bila a > b

a : b akan menghasilkan bil asli bila a mrpk kelipatan dari b

Adapun operasi penambahan dan perkalian pada bil asli

tunduk pada hukum-hukum berikut:

1. a+b = b+a ; hukum komutasi penjumlahan

2. (a+b)+c = a+(b+c) ; hukum asosiasi penjumlahan

3. axb = bxa ; hukum komutasi perkalian

4. (a+b)xc = ac+bc ; hukum distribusi perkalian

Karena bil asli tertutup untuk operasi pengurangan dan pembagian, maka para matematikawan

menciptakan bilangan nol, bilangan bulat negatif dan bilangan pecahan.

Bilangan pecahan dapat ditulis dalam bentuk desimal. Desimalnya selalu berakhir atau

berulang.

Misal: = 0,5

13/11 = 0.1818181818...

2/7 = 0,285714285714... (285714 berulang)

11/13 = 0,846153846153... (846153 berulang)

Gabungan bilangan bulat dan bilangan pecahan disebut bilangan rasional. Ternyata bilangan

rasional juga tidak mampu untuk memenuhi akan bilangan matematika. Maka pada tahun 500

SM, Phytagoras memperkenalkan suatu bilangan yang disebut bilangan Irrasional.

Misal: 2 = 1,414213562...

= 3,141592654... e = 2,718281828...

Bilangan riil adalah bilangan yang mungkin bulat, mungkin pecahan dan mungkin

irrasional.

Skema himpunan bilangan dapat dilihat pada gambar berikut ini:

Gambar 1.1

6

Skema Himpunan Bilangan

Bilangan Kompleks

Bilangan Nyata (riil) Bilangan Khayal

Bilangan Irasional Bilangan Rasional

Bilangan Bulat Bilangan Pecahan

Positif Negatif Nol

7

SOAL UNTUK LATIHAN

1. Bila diketahui himpunan-himpunan berikut:

Semesta (U) = {x|x adalah bilangan asli

8

BAB II

FUNGSI



Mengerti dan memahami fungsi linier

Mampu manggambar fungsi linier

Mengerti dan memahami fungsi non linier

Mampu manggambar fungsi non linier

B. Tugas Latihan


9

BAB II

FUNGSI

Fungsi adalah hubungan matematis antara suatu variabel dengan variabel lainnya

Unsur-unsur pembentukan fungsi :

1. Variabel Variabel yang berubah-ubah dari suatu keadaan ke keadaan lainnya

2. Koefisien bil. atau angka yang diletakkan tepat didepan suatu variabel

3. Konstanta Sifatnya tetap | tidak terkait dengan suatu variabel apapun

Secara umum : Y = f(x), dimana x adalah variabel bebas

y adalah variabel terkait

A. Fungsi Linier

Fungsi Linier adalah fungsi. Polinom yang variabel bebasnya memiliki pangkat paling

tinggi adalah satu :

y = ao + a1x1

dimana : ao konstanta, nilainya positif, negatif, atau nol

a1 koefisien, nilainya positif, negatif, atau nol

Contoh : y = 4 + 2x

CARA MENGGAMBAR FUNGSI LINIER

a) Dengan cara sederhana (curve traicing process)

Yaitu dengan menggunakan tabel x dan y, dimana kita tentukan dulu nilai x sebagai

variabel bebas, maka dengan memasukkan beberapa nilai x kita akan memperoleh

nilai y.

Misalkan y = 4 + 2x

X -2 -1 0 1 2

Y 0 2 4 6 8

Kemudian kita tinggal memplotkan masing-masing pasangan titik tersebut.

b) Dengan cara matematis (menggunakan ciri-ciri yang penting)

Misalkan diketahui y = 4 + 2x

Maka grafik fungsi dapat digambarkan menggunakan ciri-ciri penting, yaitu:

10

1) Titik potong fungsi dengan sumbu y, pada x=0, maka y=4. Jadi titiknya

adalah A(0,4)

2) Titik potong fungsi dengan sumbu x, pada y=0, maka x=4. Jadi titiknya

adalah A(-1/2,0

Dengan menggunakan kedua ciri ini maka kita dapat menggambar grafik fungsi

y=4 + 2x seperti terlihat pada gambar berikut:

Perpotongan Dua Fungsi Linier

Untuk fungsi. Linier yang saling berpotongan, maka untuk mencari titik potongnya dapat

dilakukan dengan cara :

1. Subtitusi

2. Eliminasi

Contoh : Tentukanlah titil potong fungsi 2x +3y = 4 dengan x + 2y = 1

1. Subsitusi : a) 2x + 3y = 4

2x = 4 3y

x = 2

34 y ..1) masuk ke 2)

x + 2y = 1 2)

[ 2

34 y+ 2y = 1] X 2

4 3y + 4y = 2

- 3y + 4y = 2 4

y = -2

b) 2x + 3y = 4

3y = 4 - 2x

y = 3

24 x .1) masuk ke 2)

y

(0,4)

y=4+2x

(-2,0) x

11

[ x + 2 3

24 x = 1] X 3

3x + 2 (4 2x) = 3

3x + 8 4x = 3

- x = 3 8

x = 5

Jadi himpunan penyelesaiannya { 5, -2 }

2. Eliminasi : 2x + 3y = 4 X 1 maka 2x + 3y = 4

x + 2y = 1 X 2 maka 2x + 4y = 2

y = - 2

2x + 3y = 4 X 2 maka 4x + 6y = 8

x + 2y = 1 X 3 maka 3x + 6y = 3

x = 5

Jadi himpunan penyelesaiannya { 5, -2 }

Untuk menggambar, gunakan langkah-langkang menggambar garis lurus:

B. Fungsi Non Linier

Fungsi non Linier dapat berupa fungsi Kuadrat, fungsi Eksponen, fungsi Logaritma,

fungsi pecahan, dll. Gambar dari fungsi ini bukan suatu garis lurus, melainkan suatu

garis lengkung. Fungsi kuadrat disajikan dalam gambar berupa suatu parabola vertikal

& horizontal, fs rasional yang gambarnya berbentuk hiperbola, fs kubik, lingkaran &

elips.

12

FUNGSI KUADRAT

Fungsi. Kuadrat adalah Fungsi yang pangkat tertinggi dari variabel a/ dua bentuk umum

dari fungsi. Kuadrat

y = f (x) = ax2 + bx + c

dimana :

Y = Variabel terikat

X = Variabel bebas

a, b, c = konstanta. Dan a o

CARA MENGGAMBAR FUNGSI KUADRAT

c) Dengan cara sederhana (curve traicing process)

Yaitu dengan menggunakan tabel x dan y, dimana kita tentukan dulu nilai x sebagai

variabel bebas, maka dengan memasukkan beberapa nilai x kita akan memperoleh

nilai y.

Misalkan y = x2 - 5x + 6

X -2 -1 0 1 2 3

y 20 12 6 2 -1/4 0

Kemudian kita plotkan masing-masing pasangan titik tersebut.

d) Dengan cara matematis (menggunakan ciri-ciri yang penting)

Misalkan diketahui y = x2 - 5x + 6

Maka grafik fungsi dapat digambarkan menggunakan ciri-ciri penting, yaitu:

1) Titik potong fungsi dengan sumbu y, pada x=0, maka y=6. Jadi titiknya

adalah A(0,6)

2) Titik potong fungsi dengan sumbu x, pada y=0, maka kita harud mencari

nilai Diskriminan (D) terlebih dahulu:

Nilai diskriminan ini akan menentukan apakah parabola vertikal memotong,

menyinggung dan atau tidak memotong maupun menyinggung sb x.

Jika nilai D = b2 4ac adalah negatif maka tidak terdapat titik

potong sb x.

13

Jika nilai D = b2 4ac adalah positif maka terdapat dua titik potong

sb x.

Jika nilai D = b2 4ac adalah nol maka terdapat satu titik potong

dengan sb x.

Maka kerena D = 25 4 (1) (6) = 1 > 0, terdapat dua buah titik potong

dengan sumbu x dengan menggunakan rumus X1,2 = a

acbb

2

42

diperoleh nilai x1 dan x2 yaitu:

32

15

2

)6)(1(42551

x jadi titik nya B1 (3,0)

22

15

2

)6)(1(42552

x jadi titiknya B2 (2,0)

3) Titik puncak, yaitu titik dimana arah dari grafik fungsi kuadrat kembali ke

arah semula. Titik puncak:

a

acb

a

b

4

)4(,

2

2

jadi titiknya C(5/2,-1/4)

4) Sumbu simetri adalah sumbu yang membagi/membelah dua grafik fungsi

kuadrat tersebut menjadi dua bagian yang sama besar.

Sumbu simetri x=-b/2a jadi sumbu semetrinya adalah: x=5/2

Dengan menggunakan keempat ciri ini maka kita dapat menggambar grafik fungsi

y = x2

- 5x + 6 seperti cara menggambar grafik fungsi linear di atas.

Perpotongan Dua Fungsi Kuadrat

Dengan cara yang sama dengan perpotongan dua fungsi linier, maka kita dapat

menentukan titik potong dua fungsi kuadrat.

SOAL-SOAL LATIHAN:

1. Gambarlah grafik fungsi

a. y = 9 2x

b. y = 2x2 9x + 12

c. y = -x2 + 8y - 15

2. Jika diketahui fungsi y = 4 x2 dan y = 2x2 5x + 4

a. Carilah titik potong antara kedua fungsi tersebut

b. Gambarlah grafik kedua fungsi tersebut.

14

BAB III

PENERAPAN FUNGSI DI BIDANG EKONOMI DAN BISNIS



Fungsi penawaran dan permintaan

Keseimbangan pasar

Pengaruh pajak terhadap keseimbangan pasar

Pengaruh subsidi terhadap keseimbangan pasar

Fungsi penerimaan

Fungsi biaya

B. Tugas Latihan


15

BAB III

PENERAPAN FUNGSI DI BIDANG EKONOMI DAN BISNIS

Penerapan fungsi Linier dalam bisnis dan teori ekonomi mikro, yaitu :

Fungsi permintaan, fungsi penawaran, keseimbangan pasar, pengaruh pajak dan subsidi

terhadap keseimbangan pasar, fungsi penerimaan, fungsi biaya dan break-even analisis.

Penerapan fungsi Linier dalam teori ekonomi makro :

Fungsi pendapatan yang terdistribusi menjadi fungsi konsumsi dan fungsi tabungan

fungsi pendapatan rasional yang dihitung melalui pendekatan pengeluaran.

A. Fungsi Permintaan dan Penawaran

Fungsi Permintaan

Fungsi permintaan merupakan fungsi mencerminkan hubungan antara variabel harga (P,

price) suatu barang dengan variabel jumlah barang yang diminta (Qd : quantity demand)

P = f(Qd)

Fungsi ini mencerminkan prilaku konsumen di pasar di mana sifat yang berlaku yaitu

bahwa jika harga barang mengalami peningkatan, maka jumlah barang yang diminta akan

mengalami penurunan, begitu juga sebaliknya.

Fungsi permintaan suatu barang dicerminkan sbb. :

Fungsi Penawaran

fungsi penawaran merupakan fungsi yang mencerminkan hubungan antara variabel harga

(P : Price ) suatu barang dengan variabel jumlah barang yang ditawarkan (Qs : Quantitif

supply) : P = f(Qs)

P

P

P

P

O Qd

Qd

Qd

Qd

16

Fungsi ini mencerminkan prilaku produsen dipasar dimana sifat yang berlaku yaitu bahwa

jika barang mengalami peningkatan, maka jumlah barang yang ditawarkan akan

mengalami peningkatan, begitu juga sebaliknya.

Fungsi. penawaran suatu barang dicerminkan sbb. :

B. Keseimbangan Pasar

1. Keseimbangan pasar (equilibrium) adalah harga yang terjadi di pasar yang

merupakan kesepakatan antara penjual (supply) dan pembeli (demand).

2. Keseimbangan dapat dihitung dengan menyamakan fungsi permintaan dan

fungsi penawaran (D = S) yang membentuk titik keseimbangan (equilibrium).

3. Keseimbangan hanya berlaku pada nilai-nilai yang positif atau kuadran I.

4. Titik keseimbangan terbentuk pada pertemuan harga dan jumlah atau, (Q1,P1).

C. Pengaruh Pajak Terhadap Keseimbangan Pasar

Pemerintah mengenakan pajak penjualan kepada para produsen. Pajak penjualan tersebut

dinyatakan dengan tarif pajak (t) = satuan unit uang / satuan unit barang.

Pengaruh pajak terhadap keseimbangan harga / kuantitas di pasar

P P=f(Qs)

Qs o

P = f(Qs)

P = f(Qd)

Pe

Qe o Qd,Qs

17

Sebelum ada Pajak

Sesudah ada pajak

[tarif pajak (t)]

Fungsi permintaan P = f (Qd) P = f (Qd)

Fungsi Penawaran P = f (Qs) P = f (Qs) + t

Contoh soal

Diberikan fs permintaan dan fs penawaran sebagai : Qd = 11 P dan Qs = -4 + 5 kepada

produsen tersebut pemerintah mengenakan pajak dengan tarif pajak sebesar t = 3 / unit

barang

a. carilah keseimbangan harga dan kuantitas di pasar sesudah ada pajak

b. Gambarkan perubahan akibat pajak tersebut

c. Berapa tarif pajak yang ditanggung konsumen

d. Berapa tarif pajak yang ditanggung produsen

e. Berapa total pajak yang diterima pemerintah

f. Berapa tarif pajak yang ditanggung pemerintah

g. Berapa tarif pajak yang ditanggung produsen

h. Arsirlah total pajak masing-masing pada gambar diatas

Jawab !

Adanya pengenaan pajak dari permintaan kepada produsen ternyata mengakibatkan :

1. Keseimbangan harga setelah ada pajak lebih tinggi dari pada keseimbangan harga

sebelum pajak :

Pe = 7 Pe = 5

Maka Pe < Qe

2. Keseimbangan kuantitas setelah ada pajak lebih rendah dari pada keseimbangan

kuantitas sebelum kena pajak :

Pe = 4 Pe = 6

Maka Qe < Qe

Tarip pajak yagdikenakan oleh pemerintah kepada produsen t = 3 / unit. Akan tetapi

produksi sebagian dari pajak tersebut dibebankan kepada konsumen. Beban tarif pajak

yang dibebankan a/ produksi kepada konsumen terasa a/ adanya kenaikan keseimbangan

harga dari Pe = 5 terjadi Pe = 7, sedangkan yang ditanggung produsen berarti tanggal

masanya terhadap

Pajak | Total Pajak :

18

Tarif Pajak Total Pajak

Tarif pajak yang dikenakan o/ pemerin

ah kepada produsen

T = 3 / unit

Total pajak yang diterima o/ pemerintah

T = t x Qe

= 3 x 4 = 12

Tarif pajak yang dibebankan o/ produ

sen kepada konsumen

Tk = Pe Pe

= 7 5 = 2

Total pajak yang berasal dari konsumen

Tk = tk x Qe

= 2 x 4 = 8

Tarif pajak yang ditanggung o/ produsen

Tp = t tk

= 3 2 = 1

Total pajak yang berasal dari produsen

Tp = tp x Qe

= 1 x 4 = 4

Diketahui suatu perusahaan barang mempunyai, fungsi permintaan dan fungsi

penawaran sebagai berikut :

D: P = 40 2Q

S : P = Q - 5

Ditanyakan :

a. Bila dikenakan pajak sebesar Rp.3,00 per unit, tentukan keseimbangan

sebelum dan setelah pajak

b. Total pajak yang diterima pemerintah

c. Pajak yang dibayar produsen dan konsumen

d. Gambar grafiknya

Gambar grafiknya sebagai berikut :

19

Diketahui fungsi penawaran S : P = Q2 8 dan fungsi permintaan D:

P = Q2 14Q + 48 dengan pajak sebesar 20 % maka Pt = P ( 1 + t ) , tentukan:

a. Keseimbangan sebelum dan sesudah pajak

b. Besar total yang diterima pemerintah dan pajak yang ditanggung konsumen

dan produsen

c. Gambar grafik fungsi sebelum dan sesudah pajak.

20

D. Pengaruh Subsidi Terhadap Keseimbangan Pasar

Pengaruh Subsidi terhadap Keseimbangan Pasar

Pemerintah memberikan subsidi kepada para produsen. Subsidi tersebut dinyatakan

dengan tarif subsidi (s) = satuan unit uang / satuan unit barang.

Penaruh pajak terhadap keseimbangan harga / kuantitas di pasar

Sebelum ada Subsidi Sesudah ada Subsidi

Fungsi permintaan P = f (Qd) P = f (Qd)

Fungsi Penawaran P = f (Qs) P = f (Qs) - s

Contoh soal

Dari soal sebelumnya, diketahui fs permintaan | fs penawaran sbb. : Qd = 11 P dan Qs = -

4 + 2P kepada produsen tsb. pemerintah memberikan subsidi dengan tarif subsidi sebesar s

= 1 / unit barang

a. Carilah keseimbangan harga dan kuantitas di pasar sesudah ada subsidi

b. Gambarkan perubahan akibat subsidi tersebut

c. Berapa tarif subsidi yang ditanggung konsumen

d. Berapa tarif subsidi yang ditanggung produsen

21

e. Berapa total subsidi yang diterima konsumen

f. Berapa tarif subsidi yang ditanggung produsen

g. Berapa tarif subsidi yang ditanggung pemerintah

Jawab !

Adanya pemberian subsidi dari pemerintah kepada produsen teryata menghasilkan :

1. Keseimbangan harga setelah ada subsidi lebih rendah dari pada keseimbangan harga

sebelum ada subsidi :

Pe = 4,33 Pe = 5

Maka

Pe < Pe

2. Keseimbangan kuantitas setelah ada subsidi lebih tinggi dari pada keseimbangan

kuantitas sebelum ada subsidi :

Qe = 6,67 Qe = 6

Maka Qe > Qe

Tarif subsidi yang diberikan oleh pemerintah kepada produsen s = 4 / unit. Akan tetapi

: produsen tidak menikmatiya sendiri. Sebagian dari subsidi tersebut diberikannya kepada

konsumen.

Tarif subsidi yang diberikan c/ produsen kepada konsumen terasakan o/ adanya penuntas

keseimbangan harga dari Pe = 5 menjadi Pe = 4,33, sedangkan yang diberikan produsen.

Tarif Subsidi | Total Subsidi :

Tarif subsidi Total subsidi

Tarif subsidi yang dikenakan o/

pemerintah kepada produsen

S = 1 / unit

= 1 x 6,67 = 6,67

Total subsidi yang diterima o/

pemerintah

S = s x Qe

Tarif subsidi yang diterima o/ produ

sen kepada konsumen

Sk = Pe Pe

= 5 4,33 = 0,67

Total subsidi yang berasal dari

konsumen

Sk = sk x Qe

= 0,67 x 6,67

= 4,47

Tarif subsidi yang ditanggung o/ produ

sen

Total subsidi yang diminati produsen

Sp = sp x Qe

22

Sp = s sk

= 1 0,67 = 0,33

= 0,33 x 6,67 = 2,20

Fungsi Penerimaan

Fungsi penerimaan disebut juga fungsi pendapatan atau fungsi hasil penjualan

dilambangkan dengan R (Revenue) atau TR (Total Revenue)

Fungsi Penerimaan merupakan fungsi dari output : R = f(Q) dengan Q = jumlah produk

yang laku terjual. Fungsi penerimaan merupakan hasil kali antara harga jual perunit dengan

jumlah barang yang dip[roduksi dan laku dijual :

Jika P adalah harga jual perunit, maka :

R = P x Q dengan P = harga jual per unit

R = jumlah produk yang dijual

Contoh :

Misalkan suatu produk dengan harga Rp. 5.000 per unit barang, bagaimanakah fungsi

permintaannya ?

Gambarkan fungsi pemerintah tersebut pada grafik

Penyelesaian :

R = P x Q

R = 5.000Q

Gambar :

Karena intersepnya tidak ada (nol) maka fs penerimaan di gambarkan melalui titik (0,0)

dengan gradien positif :

E. Fungsi Penerimaan

Fungsi penerimaan disebut juga fungsi pendapatan atau fungsi hasil penjualan

dilambangkan dengan R (Revenue) atau TR (Total Revenue)

R = 5000 Q

R

Q o

23

Fungsi Penerimaan merupakan fungsi dari output : R = f(Q) dengan Q = jumlah produk

yang laku terjual. Fungsi penerimaan merupakan hasil kali antara harga jual perunit dengan

jumlah barang yang dip[roduksi dan laku dijual :

Jika P adalah harga jual perunit, maka :

R = P x Q dengan P = harga jual per unit

R = jumlah produk yang dijual

Contoh :

Misalkan suatu produk dengan harga Rp. 5.000 per unit barang, bagaimanakah fungsi

permintaannya ?

Gambarkan fungsi pemerintah tersebut pada grafik

Penyelesaian :

R = P x Q

R = 5.000Q

Gambar :

Karena intersepnya tidak ada (nol) maka fs penerimaan di gambarkan melalui titik (0,0)

dengan gradien positif :

F. Fungsi Biaya

Diimbangkan dengan C (Cost) atau TC (Total Cost) terdiri atas dua jenis fungsi gaya.

1. Fixed cost atau fungsi biaya tetap (FC) merupakan fungsi yang tidak bergantung pada

jumlah produk yang diproduksi. Jadi fungsi biaya tetap adalah fungsi konstanta

FC = k dengan k konstanta positif

Contoh :

Suatu perusahaan mengeluarkan biaya tetap sebesar Rp. 100.000.000

Bagaimanakah fungsi biaya tetapnya dan gambarkan fungsi tersebut pada grafik

kartesius

R = 5000 Q

R

Q o

24

Jawab : FC = 100.000.000

2. Variabel cost atau fungsi biaya yang berubah-ubah (VC)

Merupakan fungsi biaya yang besarnya bergantung dari jumlah produk yang diproduksi

Jadi : VC = f(Q) merupakan hasil kali antara harga jual perunit dengan jumlah barang

yang diproduksi.

Jika P adalah biaya produksi per unit, dimana biaya produksi per unit senantiasa lebih

kecil dibandingkan harga jual perunit barang, maka

VC = P x Q dengan P = biaya produksi per unit dan

Q = produk yang diproduksi

Contoh :

Suatu produk diproduksikan dengan biaya produksi Rp. 3.000 per unit. Bagaimana

fungsi biaya variabelnya dan gambarkan fungsi tersebut pada grafik

Jawab : VC = P x Q

= 3.000 Q

karena intersepnya td F ada (nol) maka fungsi biaya variabelnya di gambarkan

mmelalui titik (0,0) dengan gradiennya positif.

3. Fungsi Total Cost (TC) merupakan penjumlahan antara biaya tetap dengan biaya

variabel TC = FC + VC

Contoh :

FC

Q o

FC = 100.000.000

VC

Q o

VC = 8.000 Q

25

adalah contoh diatas, dimana biaya tetap yang dikeluarkan sebuah perusahaan sebesar

Rp. 100.000.000,- dan biaya variabelnya : 3.000 Q,maka TC = 100.000.000 + 3.000 Q.

Ternyata intersep dari fungsi total biaya adalah sama dengan biaya tetapnya dan

gradiennya sama dengan gradien fungsi biaya tetap. Hal ini mencerminkan bahwa

penggambaran fungsi total biaya harulah melalui titik (0,FC) dan sejajar dengan grafik

VC.

SOAL UNTUK LATIHAN:

1. Diketahui fungsi permintaan suatu barang P = - Q + 50

Ditanyakan:

a. Berapa harga barang apabila jumlah barang yang diminta sebesar 10 unit?

tingkat harga Rp. 10?

b. Gambarkan kurva permintaannya!

2. Diketahui fungsi penawaran suatu barang adalah sebagai berikut

Q = - 20 + 4P. Ditanyakan:

a. Berapa jumlah pada harga Rp. 8?

b. Berapa harga pada jumlah 4 unit?

c. Pada harga berapa penjual tidak mau menjual barangnya?

d. Gambarkan grafik kurvanya!

6

15. Diketahui fungsi permintaan D : Q = P2 12P + 36 dan fungsi penawaran S : Q

= P2

maka Qt =

tP

1. Pada barang tersebut dikenakan pajak sebesar t = 25%,

tentukan:

a. Keseimbangan sebelum dan sesudah pajak.

b. Besar total pajak yang diterima pemerintah dan pajak yang ditanggung

konsumen juga produsen.

c. Gambar grafik fungsi sebelum dan setelah pajak.

T

26

BAB IV

BARISAN DAN DERET



Memahami Barisan dan deret Aritmatika (deret hitung)

Memahami Barisan dan deret Geometri (deret ukur)

B. Tugas Latihan


27

BAB IV

BARISAN DAN DERET

A. Barisan dan deret Aritmatika (deret hitung)

Andaikan suku pertama,suku kedua, suku ketiga, suku keempat berturut-

turut sampai dengan suku ke-n suatu barisan diulis sbb :

S1, S2, S3, S4,, Sn

Barisan di atas merupakan merupak barisan hitung apabila selisih antara dua

suku yang berurutan (misalnya b) adalah sama. Jadi :

S2 - S1 = S3 - S2 = S4 - S3= = Sn - Sn-1 = b

Jika suku pertama dari barisan tersebut dimisalkan adalah a dan selisih

antara dua suku yang berurutan adalah b, maka nilai masing-masing suku dari

barisan hitung dapat dihitung dengan cara sbb :

S1 = a

S2 = S1 + b = a + b

S3 = S2 + b = a + b + b = a + 2b

S4 = S3 + b = a + 2b + b = a + 3b

.

Sn = Sn-1 + b = a + (n 2)b + b = a + (n-1)b

Maka rumus untuk menghitung nilai suku ke-n suatu barisan hitung dapat tulis sbb:

Sn = a + (n-1)b

Dimana : Sn = nilai suku ke-n

a = nilai suku pertama

n = banyaknya suku

b = selisih atau beda (b bisa positif, bisa negative tetapi b 0)

Jumlah dari seluruh bilangan yang membentuk suatu barisan hitung disebut dengan

deret hitung.

1

n

n i

i

D s

Atau Dn = S1 + S2 + S3 + S4 + + Sn

Dengan memasukkan nilai-nilai setiap suku barisan hitung sebagaimana

diuraikan sebelumnya, diperoleh :

Dn = a + (a+b) + (a + 2b) + (a + 3b) + + a + (n-1)b

28

Apabila suku terakhir, yaitu a + (n-1)b tetap dituliskan dengan Sn, maka :

Dn = a + (a+b) + (a + 2b) + (a + 3b) + + Sn

Jika deret hitung Dn ditulis dua kali dengan urutan yang berlawanan dan

kemudian dijumlahkan, diperoleh :

Dn = a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + +Sn

Dn = Sn + ( Sn b) + ( Sn 2b) + ( Sn 3b) + + a +

2Dn = (a + Sn) + (a + Sn) + (a + Sn) +(a + Sn) + + (a + Sn)

2Dn = n(a + Sn)

( )2

( 1)2

2 ( 1)2

n n

n

n

nD a S

nD a a n b

nD a n b

Maka rumus jumlah deret hitung dari barisan hitung dari suku ke-n adalah sbb :

2 ( 1)2

n

nD a n b

CONTOH SOAL

Contoh 1

Hitung suku ke-16 dan jumlah deret hitung sampai suku ke-16 dari barisan hitung

berikut :

a. 10, 12, 14, 16, 18,

b. 80, 75, 70, 65, 60,

Contoh 2

Nilai suku pertama dari suatu barisan hitung adalah 20 dan nilai suku ke-10 adalah

38. Hitung :

a. Beda antara dua suku yang berurutan,

b. Nilai dari suku ke-21

c. Suku ke berapa yang bernilai 100,

d. Jumlah deret hitung sampai suku ke-41.

Contoh 3

29

Suku ke-5 suatu barisan hitung adalah 2000 dan suku ke-14 adalah 4250. Hitung :

a. Beda antara dua suku yang berurutan

b. Suku pertama dan suku ke-17

c. Jumlah deret hitung sampai suku ke-17

B. Barisan dan deret Geometri (deret ukur)

Andaikan suatu barisan ditulis sbb :

S1, S2, S3, S4,, Sn

Barisan diatas adalah deret ukur apabila rasio antara dua suku yang berurutan

(misalkan r) adalah sama. Jadi :

32 4

1 2 3 1

...n

n

SS S Sr

S S S S

Jika suku pertama dari deret ukur adalah a dan rasio antara dua suku yang

berurutan adalah r, maka nilai masing-masing suku dari deret ukur tersebut dapat

dihitung dengan cara sbb :

S1 = a

S2 = S1 r = a r

S3 = S2 r = a r r = a r2

S4 = S3 r = a r2 r = a r

3.

.

Sn = Sn-1 r = a rn-2

r = a rn-1

Maka rumus untuk menghitung nilai suku ke-n suatu deret ukur dapat tulis sbb :

Sn = a rn-1

Dimana : Sn = nilai suku ke-n

a = nilai suku pertama

n = banyaknya suku

r = rasio atau pembanding (r bisa positif, bisa negative tetapi

r dan r 1)

Bila bilangan-bilangan S1, S2, S3, S4,, Sn dapat ditentukan yang

membentuk suatu barisan ukur dijumlahkan, hasilnya disebut dengan deret ukur.

Misalkan jumlah deret ukur sampai suku ke-n adalah Dn, maka :

30

1

n

n i

i

D s

Atau Dn = S1 + S2 + S3 + S4 + + Sn

Dengan mensubtitusikan nilai masing-masing suaku deret ukur, diperoleh :

Dn = a + ar + ar2 + + arn-1

rDn = ar + ar2 + + arn-1 + arn

Dn - rDn= a - a rn

(1 r)Dn = a(1 + rn)

(1 )

1

n

n

a rD

r

Maka rumus jumlah deret ukur dari suku ke-n adalah sbb :

(1 )

1

n

n

a rD

r

jika r < 1 atau

( 1)

1

n

n

a rD

r

jika r > 1

Contoh 4

Hitunglah suku ke-10 dan jumlah deret hitung sampai suku ke-10 dari barisan ukur

berikut :

a. 2, 6, 18, 54, 162,

b. 10, - 20, 40, - 80, 160,

c. 1, (1.05), (1.05)2, (1.05)3, (1.05)4,

Contoh 5

Nilai suku ke-4 dari suatu barisan ukur adalah 1600 dan nilai suku ke-6 adalah

25600. Hitung :

a. Rasio antara dua suku yang berurutan

b. Suku pertama dan suku ke-9

c. Jumlah deret ukur sampai suku ke-9

Contoh 6

31

Seseorang menulis suatu surat berantai dan mengirimkannya kepada lima orang

temannya (tahap pertama). Oleh kelima orang ini, surat tersebut digandakan dan

kemudian mengirimkannya lagi ke masing-masing lima temannya (tahap kedua).

Jika pada tahap-tahap berikutnya, setiap orang yang menerima surat menggandakan

dan mengirimkannya lagi ke masing-masing lima temannya, hitung jumlah orang

yang sudah mendapatkan surat berantai sampai tahap ke-10

SOAL UNTUK LATIHAN

Terdapat (tergabung) dalam bab berikutnya.

32

BAB V

PENERAPAN BARISAN DAN DERET DI BIDANG

EKONOMI DAN BISNIS



Memahami penggunaan deret untuk Perkembangan Kegiatan Perusahaan

Memahami penggunaan deret dalamTeori Nilai Uang

B. Tugas Latihan


33

BAB V

PENERAPAN BARISAN DAN DERET DI BIDANG

EKONOMI DAN BISNIS

A. Perkembangan Kegiatan Perusahaan

Contoh 1

PT.Chyntiamega menghasilkan suatu produk sebesar 10.000 unit pada tahun

pertama produksinya dan menjualnya dengan harga sebesar Rp.50.000 per unit.

Jika setiap tahunnya perusahaan mampu meningkatkan produksi sebesar 5.000 unit

dan harga jual meningkat sebesar Rp.2.500 per unit, tentukan :

a. Tingkat produksi pada tahun ke-10 dan jumlah produksi selama 10 tahun

tersebut.

b. Tingkat harga pada tahun ke-10

c. Hasil penjualan pada tahun ke-10

Contoh 2

Perusahaan keramik Seroja Jaya mengeluarkan biaya total sebesar Rp 8.000.000,-

dan memperoleh penerimaan total sebesar Rp 6.000.000,- pada bulan pertama

produksinya. Jika biaya marginal dan penerimaan marginal perusahaan setiap

bulannya bertambah dengan mengikuti pola barisan hitung, yaitu biaya marginal

sebesar Rp 1.500.000,- dan penerimaan marginal sebesar Rp 2.000.000,- .

Tentukanlah!

a. Total biaya dan penerimaan perusahaan, masing-masing pada bulan ke-12?

b. Pada bulan keberapa perusahaan mencapai titik impas?

c. Pada bulan keberapa perusahaan memperoleh laba sebesar Rp 4.000.000,-?

Contoh 3

Hasil penjualan PT Mega pada tahun pertama produksinya adalah sebesar Rp

150.000.000,- Apabila hasil penjualan tersebut bertambah sebesar 8% per tahun,

berapa hasil penjualan perusahaan pada tahun ke-6?

34

B. Teori Nilai uang

Contoh 4

Albert meminjam uang sebesar Rp.5.000.000 dari Koperasi Karyawan di

lingkungan kerjanya dan berjanji akan membayar secara cicilan sebesar Rp.250.000

tiap akhir bulan dengan membayar bunga 15% per tahun dari sisa hutangnya.

Hitung total bunga yang dibayar sampai dengan pinjamannya lunas.

Jawab : 62.500, 59.375, 56.250, ....3.125

jadi a= 62.500 ; b = - 3.125 ; n = 20

atau Dn = nSan

2

jadi D20 = 125.3500.62

2

20

= 10 ( 65.625) = Rp 656.250,00

Contoh 5

Ricahardo meminjam uang sebesar Rp.10.000.000 dari suatu lembaga perkreditan

dan berjanji akan membayarnya secara angsuran sebesar Rp. 400.000 tiap akhir 3

bulan ditambah dengan bunga 18% per tahun dari sisa hutangnya. Hitung :

a. Jumlah bunga yang dibayar pada angsuran yang terakhir?

b. Jumlah bunga yang dibayar sampai dengan pinjamannya lunas?

c. Jumlah uang yang harus dibayar dalam melunasi pinjaman tersebut?

Contoh 6

Suatu lembaga pendidikan berencana untuk membentuk suatu dana yang akan

dihadiahkan dalam bentuk beasiswa secara abadi kepada sejumlah mahasiswa yang

berprestasi dengan jumlah beasiswa sebesar Rp.20.000.000 per semester. Untuk

mencapai tujuan tersebut, berapa jumlah dana yang harus disetor lembaga tersebut

sekarang dalam suatu rekening yang menghasilkan suku bunga 15% dimajemukkan

secara semesteran apabila pembayaran pertama beasiswa tersebut dilakukan

sekarang juga.

35

SOAL UNTUK LATIHAN

1. Carilah suku ke-n dan jumlah deret ukur sampai suku ke-n dari setiap barisan

ukur berikut, untuk n yang ditentukan.

a. 54, 162, 486, 1458, untuk n = 20

b. 320, -160, 80, -40, untuk n = 15

c. , 1/8, 1/16, untuk n = 10

d. 1, (1.12), (1.12)2, (1.12), untuk n = 24

2. Tentukan suku pertama , rasio antara dua suku-sukunya yang berurutan dan

suku ke-15 dari suatu barisan ukur, apabila pada barisan ukur tersebut

diketahui:

a. S4 = 3200 dan S8 = 819200 c. S3 = dan S7 = 4

b. S7 = (1.02)13

dan S10 = (1.02)19

d. SS5 = (1.05)-4

dan S9 = 1

3. PT. Chyntiasari memperoleh hasil penjualan sebesar Rp 460.000.000 pada

tahun ke-3 dan Rp 850.000.000 pada tahun ke-6. Apabila pertambahan hasil

penjualan perusahaan mengikuti pola barisan hitung, tentukan :

a. Pertambahan hasil penjualan perusahaan per tahun

b. Hasil penjualan perusahaan pada tahun pertama,

c. Pada tahun berapakah hasil penjualan perusahaan menjadi Rp

1.370.000.000?

36

BAB VI

BUNGA DAN DISKONTO SEDERHANA



Memahami serta menghitung Jumlah Bunga, Nilai Kemudian dan Nilai

Sekarang

Memahami Metode Menghitung Bunga Sederhana

Menghitung Suku Bunga dan Periode Waktu

B. Tugas Latihan


37

BAB VI

BUNGA DAN DISKONTO SEDERHANA

A. Jumlah Bunga, Nilai Akhir dan Nilai Sekarang

Dalam perhitungan bunga sederhana (simple interest), jumlah yang dihitung pada

suatu periode waktu tertentu tidak diikutkan dalam menghitung jumlah bunga pada periode

waktu berikutnya. Jumlah uang pokok dengan bunga pada saat jatuh tempo disebut dengan

nilai jatuh tempo atau nilai akhir atau nilai akumulasi.

Untuk memudahkan penulisan formula dalam menghitung beberapa variable dalam

matematika bisnis yang berhubungan dengan bunga sederhana sbb :

I = Jumlah bunga sederhana

r = suku bunga per tahun

t = periode waktu (tahun)

P = Uang pokok atau nilai sekarang atau nilai diskonto

S = Nilai akhir atau nilai akumulasi atau nilai jatuh tempo

Pada bunga sederhana,jumlah bunga atas suatu trasaksi keuangan adalah

merupakan fungsi dari tiga variabel,yaitu:besarnya uang pokok,persentase suku bunga dan

periode waktu.dengan demikian,sejumlah uang pokok P yang dikenakan suku bunga

sederhana sebesar r persen per tahun selama periode waktu t tahun akan menghasilkan

jumlah bunga I sebesar uang pokok dikali dengan suku bunga dengan periode waktu.dalam

bentuk pesamaan dapat ditulis:

I = P r t (1)

Nilai akhir dari sejumlah uang pokok tersebut pada saat jatuh tempo adalah uang pokok

ditambah dengan jumlah bunga atau :

S = P + I S= P + P r t (2)

Dengan mensubtitusikan nilai I pada persamaan (1) ke persamaan (2) diperoleh

S = P (I + rt) (3)

Persamaan (3) merupakan formula untuk menghitung sejumlah uang yang akan diterima

pada masa yang akan dating yang disebut dengan nilain akhiratau nilai akumulasi, dimana

(I + rt) pada persamaan tersebut adalah factor akumulasi yaitu nilai akumulasi dari Rp 1

per periode. Proses menghitung nilai akhir S dari nilai sekarang P disebut mengakumulasi.

38

Apabila persamaan (3) ditulis kebali dilihat dari segi P diperoleh:

Atau

r t = P

S - 1

r = (P

S - 1) : t

t = (P

S - 1) : r

Persamaan (4) merupakan formula untuk menghitung nilai sekarang dari sejumlah uang

pada masa yang akan dating,dimana [1 + r t ] disebut faktor diskonto dari Rp 1 per periode

proses perhitungan sekarang P dari nilai akhir S disebut mendiskonto.

Bunga Sederhana untuk periode waktu bulan atau hari

Periode waktu dalam formula menghitung jumlah bunga,dinyatakan pada persamaan

(1) sampai persamaan (4) dapat juga dinyatakan dalam bulan atau hari.suku bunga

dinyatakan dalam persentase tertentu per tahun,dalam waktu periode waktu bulan atau hari

maka periode waktu tersebut harus dikonversi menjadi periode waktu dalam tahunan

dengan cara sebagai berikut:

a. apabila periode waktu dinyatakan dalam bulan,maka rumus mengkonversi waktu

tersebut menjadi tahun adalah:

b. apabila periode waktu dinyatakan dalam hari, maka ada dua cara menghitung bunga

sederhana yaitu:

1. Bunga Eksak (Exact interest)

Dalam menghitung bunga eksak dianggap bahwa 1 tahun adalah 365 hari

(tanpa membedakan tahun kabisat)mengkonversi periode waktu dari harian menjadi

tahunan dapat digunakan rumus berikut:

2. Bunga ordinari (Ordinary interest)

39

Dalam menghitung bunga ordinari dianggap bahwa 1 tahun adalah 360 hari

(sering juga disebut banker`s year). mengkonversi periode waktu dari harian

menjadi tahunan dapat digunakan rumus berikut:

Menghitung Jumlah Hari Diantara Dua Tanggal Kalender

Ada dua cara untuk menghitung jumlah hari diantara dua tanggal kalender yaitu:

a. Waktu eksak (exact time)

Adalah hitungan jumlah hari yang sebenarnya yang dapat dihitung dengan

menggunakan suatu tabel yang disebut suatu Tabel Angka serial masing-

masing,angka serial dalam table yang dimulai dari angka 1 (angka serial untuk 1

januari) sampai dengan angka 365 (angka untuk 31 desember) tahun yang

sama.jumlah hari diantara dua tanggal yang ditetapkan adalah merupakan selisih

diantara angka serial yang mewakili kedua-duanya.khusus untuk tahun kabisat,angka

serial untuk semua hari setelah tanggal 28 pebruari perlu ditambah dengan

1,misalnya 354 + 1 = 355.angka serial suatu hari yang jatuh tempo pada 1 tahun

berikutnya ditambak 365,angka serial suatu hari yang jatuh tempo untuk dua tahun

berikutnya ditambah 730 dan seterusnya

B .Waktu kiraan (approximate time)

Adalah hitungan jumlah hari yang mengasumsikan bahwa semua bulan mempunyai

jumlah hari yang sama masing-masing 30 hari tanpa mempersoalkan tahun kabisat.

Contoh 1

Tuan A meminjam Rp 10.000.000,00 selama 3 tahun yang dikenakan suku bunga

sederhana 15%. Hitung jumlah bunga dan nilai akhir dari pinjaman tersebut!

Contoh 2

Tuan B membuka suatu rekening tabungan pada bank yang mengenakan suku bunga

sederhana 20%. Jika selama 3 tahun nilai rekening tabungannya menjadi Rp 8.000.000

berapa tabungan pokok yang setor tuan B ?

Contoh 3

Tuan C meminjam Rp 10.000.000 pada suku bunga sederhana 18%, hitung jumlah

bunga dan nilai akhir dari pinjaman dengan menggunakan :

40

a. Bunga sederhana selama 5 bulan

b. Bunga eksak selama 146 hari

c. Bunga ordinary selama 240 hari

Contoh 4

Setelah dua tahun 73 hari, tuan D mengembalikan pinjamannya termasuk

bunga sebesar Rp 7.640.000. Jika bunga atas pinjaman tersebut adalah 24%, hitung

jumlah uang yang sebenarnya telah dipinjam dengan

menggunakan : a. Bunga eksak b. Bunga ordinary

Tabel 1 . Angka Serial dari masing-masing hari dalam setahun

Tgl Jan Feb Mar Apr Mei Jun Jul Agt Sep Okt Nov Des Tgl

1 1 32 60 91 121 152 182 213 244 274 305 335 1

2 2 33 61 92 122 153 183 214 245 275 306 336 2

3 3 34 62 93 123 54 184 215 246 276 307 337 3

4 4 35 63 94 124 155 185 216 247 277 308 338 4

5 5 36 64 95 125 156 186 217 248 278 309 339 5

6 6 37 66 96 126 157 187 218 249 279 310 340 6

7 7 38 65 97 127 158 188 219 250 280 311 341 7

8 8 39 67 98 128 159 189 220 251 281 312 342 8

9 9 40 68 99 129 160 190 221 252 282 313 343 9

10 10 41 69 100 130 161 191 222 253 283 314 344 10

11 11 42 70 101 131 162 192 223 254 284 315 345 11

12 12 43 71 102 132 163 193 224 255 285 316 346 12

13 13 44 72 103 133 164 194 225 256 286 317 347 13

14 14 45 73 104 134 165 195 226 257 287 318 348 14

15 15 46 74 105 135 166 196 227 258 288 319 349 15

16 16 47 75 106 136 167 197 228 259 289 320 350 16

17 17 48 76 107 137 168 198 229 260 290 321 351 17

18 18 49 77 108 138 169 199 230 261 291 322 352 18

19 19 50 78 109 139 170 200 231 262 292 323 353 19

20 20 51 79 110 140 171 201 232 263 293 324 354 20

21 21 52 80 111 141 172 202 233 264 294 325 355 21

22 22 53 81 112 142 173 203 234 265 295 326 356 22

23 23 54 82 113 143 174 204 235 266 296 327 357 23

24 24 55 83 114 144 175 205 236 267 297 328 358 24

25 25 56 84 115 145 176 206 237 268 298 329 359 25

26 26 57 85 116 146 177 207 238 269 299 330 360 26

27 27 58 86 117 147 178 208 239 270 300 331 361 27

28 28 59 87 118 148 179 209 240 271 301 332 362 28

29 29 88 119 149 180 210 241 272 302 333 363 29

30 30 89 120 150 181 211 242 273 303 334 364 30

31 31 90 151 212 243 304 365 31

41

Contoh 5 :

Hitung waktu eksak dan waktu kiraan dari 20 Januari sampai 25 Agustus pada tahun yang

sama. Jawab :

Waktu eksak sbb:

Tanggal Angka serial

25 Agustus 237

20 Januari 20

Waktu eksak 217 hari

Waktu kiraan :

Tanggal Bulan Hari

25 Agustus 8 25

20 Januari 1 20

Waktu kiraan 7 5

Waktu kiraan = 7 bulan 5 hari

= 7 x 30 hari + 5 hari = 215 hari

Contoh 6

Hitung waktu eksak dan waktu kiraan dari 15 Februari sampai 10 Desember

pada tahun yang sama untuk tahun kabisat.

Contoh 7

Hitung waktu eksak dan waktu kiraan dari 10 September sampai 24 Juni

satu tahun berikutnya?

Contoh 10

Pinjaman selama 10 bulan terhitung dari tanggal 31 januari akan jatuh

tempo pada tanggal 30 november tahun yang sama. Pinjaman selama 11 bulan yang

dimulai pada tanggal 31 maret akan jatuh tempo pada tanggal 28 februari (atau

pada tanggal 29 februari untuk tahun kabisat).

a. Jika pinjaman dimulai pada tanggal tertentu dan berlangsung selama beberapa

bulan atau beberapa hari dan ternyata tanggal jatuh tempo pinjaman tersebut

tepat berada pada hari libur, maka tanggal jatuh tempo akan diundur ke hari

kerja berikutnya dan tambahan hari tersebut akan diperhitungkan dalam periode

pembayaran bunga.

42

B. Metode-metode Menghitung Bunga Sederhana

Contoh 11

Pada tanggal 13 Maret, seseorang meminjam Rp 30.000.000 dari suatu bank

yang menggunakan suku bunga sederhana 15% dan akan melunasinya pada tanggal

20 Desember dalam tahun yang sama. Hitung jumlah bunga dan nilai akhir

pinjaman tersebut dengan menerapkan :

a. Metode bunga eksak dan waktu eksak

b. Metode bunga ordnary dan waktu eksak

c. Metode bunga eksak dan waktu kiraan

d. Metode bunga ordnary dan waktu kiraan

Contoh 12

Pada tanggal 8 Agustus seseorang menginvestasikan Rp 10.000.000

dengan suku bunga sederhana 18%. Hitung jumlah bunga dan nilai akhir dari

investasi tersebut pada tanggal 21 Desember satu tahun yang berikutnya dengan

menerapkan :


b. Metode bunga orinary dan waktu eksak


d. Metode bunga ordinary dan waktu kiraan

Contoh 13

Pada tanggal 1 agustus seseorang, memperoleh sejumlah pinjaman dari

suatu bank yang mengenakan suku bunga sederhana 18%. Jika pada tanggal 17

November satu tahun berikutnya dia mengembalikan pinjaman beserta bunga

sebesar Rp 12.365.000 hitung berapakah jumlah pinjaman pokoknya dengan

menerapkan :

a. Metode bunga orinary dan waktu eksak

b. Metode bunga eksak dan waktu kiraan



43

C. Menghitung Suku Bunga dan Periode Waktu

1. Menghitung Suku Bunga

Contoh 14

Hitung suku bunga sederhana dari suatu tabungan sebesar Rp 10.000.000

jika tabungan tersebut menghasilkan jumlah bunga sebesar Rp 750.000 selama 6

bulan.

Contoh 15

Hitung suku bunga eksak dari pinjaman pokok sebesar Rp 6.250.000 jika

selama 292 hari menghasilkan nilai akumulasi sebesar Rp 7.250.000.

Jawab : P = 6.250.000 ; S = 7.250.000 ; t = 292

365

Suku bunga eksak : r = 1

1S

tP

= 1

292 7.250.0001

365 6.250.000

= 0.2 = 20 %

Contoh 16

Pada tanggal 5 maret seseorang meminjam Rp 15.000.000 dari suatu bank

dan akan membayar sebesar Rp 16.875.000 termasuk bunga pada tanggal 30

desember tahun yang sama. Jika bank menerapkan bankers rule (metode bunga

ordinary dan waktu eksak), hitung suku bunga yang dikenakan oleh bank.

Contoh 17

Berapa harikah pinjaman pokok sebesar Rp 2.500.000 berlangsung sehingga

menghasilkan bunga sebesar Rp 300.000 apabila bunga dihitung menggunakan

bunga ordinary 16% ?

Jawab : P=2.500.000 ; I = 300.000 ; r = 0.16

Periode waktu : t = 1

Pr

t =

300.000

2.500.000 0.16

t = 0,75 tahun

Dalam bunga ordinary . 1 tahun = 360 hari, jadi 0,75 tahun = 0,75 x 360 = 270 hari

Contoh 18

44

Berapa bulankah tabungan pokok sebesar Rp 3.000.000 berlangsung

sehingga menghasilkan nilai akhir sebesar Rp 4.125.000, Apabila tabungan tersebut

menghasilkan suku bunga sederhana 15% ?

SOAL UNTUK LATIHAN

1. Hitung jumlah bunga dan nilai akhir dari pinjaman-pinjaman berikut :

a. Rp 5.000.000 selama 1 tahun pada suku bunga sederhana 18%

b. Rp 4.000.000 selama 1 tahun 3 bulan pada suku bunga sedehana 16%?

2. Seseorang menginvestasikan Rp 8.000.000 pada suku bunga 15%. Hitung:

a. Bunga sederhana dan nilai akhir investasi tersebut selama 15 bulan,

b. Bunga eksak dan nilai akhir investasi tersebut selama 1 tahun 85 hari,

c. Bunga ordinary dan nilai akhir investasi tersebut selama 450 hari.

3. Setelah 2 tahun 146 hari, seseorang mengembalikan pinjamannya termasuk

bunga sebesar Rp 6.800.000. Jika pinjaman tersebut dikenakan suku bunga

15%, hitung jumlah uang yang sebenarnya telah dipinjam dengan menerapkan :

a. Bunga eksak b. Bunga ordinary

4. Pada tanggal 10 januari 2000, seseorang meminjamkan Rp 15.000.000 yang

dikenakan suku bunga sederhana 14%. Pinjaman tersebut akan dilunasi pada

tanggal 25 desember dalam tahun yang sama. Hitung jumlah bunga dan nilai

akhir dari pinjaman tersebut dengan menerapkan :





5. Pada tanggal 8 agustus seseorang menginvestasikan Rp 10.000.000 dengan

suku bunga sederhana 18%. Hitung jumlah bunga dan nilai akhir dari investasi

tersebut pada tanggal 21 desember satu yang berikutnya dengan menerapkan :





45

BAB VII

BUNGA DAN DISKONTO MAJEMUK



Mengerti dan memahami bunga majemuk dan nilai akhir

Memahami dan menghitung equivalensi suku bunga

Mengetahui dan memahami suku bunga dan periode pembayaran bunga

B. Tugas Latihan


46

BAB VII

BUNGA DAN DISKONTO MAJEMUK

Transaksi keuangan yang mengunakan perhitungan bunga majemuk yaitu

bunga yang dihitung pada periode pertama ditambahkan kepada uang pokok mula-

mula dan jumlahnya adalah merupakan uang pokok. Kedua dalam menghitung

bunga pada akhir periode kedua. Untuk memudahkan dibuat formula berupa notasi

dalam matematika bisnis yaitu:

P = uang pokok mula-mula atau nilai sekarang atau nilai diskonto

S = nilai akhir atau nilai akumulasi atau nilai jatuh tempo

m = banyaknya periode bunga dalam satu tahun

n = total periode bunga dalam keseluruhan jangka waktu

jm= suku bunga nominal pertahun yang dimajemukan sebanyak m kali per

tahun

i = suku bunga per periode konversi

Suku bunga per periode konversi (i) adalah suku bunga Nominal ( jm ) di bagi

dengan banyaknya periode bunga dalam Satu tahun ( m ) atau: mj

im

maka n = m t

A. Bunga Majemuk dan Nilai Akhir

Perhitungan Bunga majemuk dan Nilai Akhir untuk Uang Pokok (P)

Suku bunga I per periode sebanyak n periode:

S = P ( 1 + i )n

Karena i = jm /m atau n = m t maka persamaan dapat ditulis

1

mt

mjS Pm

Contoh :

Ruth Yosephine membuka rekening tabungan pada suatu bank dengan

menyetor Rp 2.000.000,00 pada suku bunga nominal 15% yang dimajemukan

Secara bulanan ( j12 = 15% ).

Hitung nilai rekening tabungannya pada akhir 2 tahun berapa bunga majemuk atas

tabungan tsb?

47

Jawab: P = 2.000.000 ; i = 0.15

12 = 0.0125 ; n = 12 x 2 = 24

Nilai rekening tabungan pada akhir 2 tahun :

S = P [ 1 + i ]n

= 2.000.000 [ 1 + 0.0125 ]24

= Rp 2.694.701,11

Bunga majemuk untuk 2 tahun pertama ( misalkan Ii ):

I1= nilai rekening tabungan pada akhir 2 tahun dikurangi dengan tabungan

pokok

I1 = 2.694.702,11 2.000.000 = Rp 694.701,11

B. Ekuivalensi Suku Bunga

Ekuivalensi Suku Bunga Nominal Majemuk dengan Suku Bunga Efektif

Apabila suku bunga j adalah ekuivalen dengan suku bunga jm maka:

( 1 + j ) = ( 1 + i )m

j = ( 1 + i )m

- 1

Dimana j adalah suku bunga efektif tahunan

Contoh 6 :

Hitung suku bunga efektif yang ekuivalen dengan:

a.j2 = 15 % b. j12 = 18% c. j365 = 12%

jawab : a. j = ( 1 + 0.15

2 )

2 -1

= ( 1 + 0.075 )2 1

= 1.155625 1 = 0.155625 = 15%

Ekuivalensi Dua Suku Bunga Nominal Majemuk

Apabila kedua suku bunga tersebut menghasilakan nilai akumulasi yang sama dari

sejumlah uang pokok pada akhir suatu periode.

Contoh :

Tentukan suku bunga nominal majemuk j4 yang ekuivalen dengan

suku bunga nominal majemuk berikut :

a. j12 = 12% b. j3 = 21% c. j2 = 17%

jawab:

a.( 1 + 4

4

j ) 4 = ( 1 +

0.12

12 )

12

48

( 1 + 4

4

j ) = ( 1 + 0.01 ) 3

1 + 4

4

j = 1.03031

4

4

j = 0.03031

j4 = 0.121204 = 12 %

Ekuivalensi Suku Bunga Nominal Majemuk dengan Suku Bunga Sederhana.

Suatu suku bunga majemuk adalah ekuivalen dengan suku bunga tsb

menghasilkan nilai akumulasi dari sejumlah uang yang sama pada akhir suatu

periode tertentu.

Contoh:

Tentukan suku bunga sederhana yang ekuivalen dengan :

a. J2 = 14% jika uang diinvestasikan selama 1 tahun

b. J12 = 13.5% jika uang diinvestasikan selama 2 tahun

c. J365 = 12 % jika uang diinvestasikan selama 3 tahun

Contoh 10 :

Seseorang mengivestasikan Rp 15.000.000,00 selama 10 tahun dengan suku

bunga nominal majemuk j4 = 16% . Hitung nilai akumulasi investasi tsb dengan

menggunakan n:

a. Formula bunga majemuk?

b. Suku bunga efektif yang ekuivalen dengan j4 = 16% ?

c. Suku bunga majemuk bulanan yang ekuivalen dengan j4 = 16% ?

d. Suku bunga sederhana yang ekuivalen dengan j4 = 16%?

Jawab:

a. Hitung nilai akumulasi S dari :

P = Rp 15.000.000 ; i = 0,04 ; n = 40

S = P(1 + i)n

= 15.000.000 (1 + 0,04)40

= Rp.72.015.309,41

49

C. Suku Bunga dan Periode Pembayaran

Untuk memperoleh suku bunga i dengan cara sbb;

a) Menyelesaikan persamaan S = P (1 i)n untuk suku bunga per periode i atau

suku bunga nominal jm secara aljabar

b) Menyelesaikan persamaan S = P (1 i)n untuk suku bunga per periode i atau

suku bunga nominal jm secara logaritma

Sedangkan untuk memperoleh n dengan metode sbb:

a) Metode teoritis yaitu metode yang menyelesaikan persamaan

S = P (1 i)n secara logaritma

b) Metode praktis, yaitu metode yang menyelesaikan persamaan

S = P (1 i)n dengan menggunakan interpolasi linier

Contoh 18:

Berapakah suku bunga nominal j3 yang membuat sejumlah uang pokok

menjadi 3 kali lipat dalam waktu 6 tahun?

Jawab:

Misal x = jumlah uang pokok

P = x ; S = 3x ; n=18

Menghitung suku bunga j3 secara aljabar

S = P (1 + i)n

3x = x(1+ i)18

(1 + i)18

= 3

1+i = 31/18

diperoleh i = 0,06293507

j3 = 3 i

= 0,188805211 ~ 18.88%

Menghitung suku bunga j3 secara logaritma

S = P (1 + i)n

3x = x(1+ i)18

(1 + i)18

= 3

18 log (1 + i) = log 3

diperoleh i = 0,06293507

50

j3 = 3 i

= 0,188805211 ~ 18.88%

3.8 SOAL UNTUK LATIHAN

1. Hitung nilai akumulasi dan jumlah bunga majemuk dari

a. Rp 1.000.000 pada suku bunga j2 = 16% selama 6 tahun,

b. Rp 2.000.000 pada suku bunga j3 = 15% selama 5 tahun,

c. Rp 3.000.000 pada suku bunga j4 = 14% selama 4 tahun,

d. Rp 4.000.000 pada suku bunga j12 = 12% selama 3 tahun.

2. Hitung nilai akumulasi investasi sebesar Rp 25.000.000 untuk jangka waktu 5

tahun pada suku bunga nominal 15% yang dimajemukan secara:

a. Tahunan, e. Bulanan,

b. Setengah tahunan, f. Minggguan,

c. Empat bulanan, g. Harian

3. Pada tanggal 1 pebruari 2002, Ikobastian memasukkan tabungan sebesar Rp

5.000.000 pada suatu rekening pada suatu bank yang mengenakan suku bunga j4

= 18%. Hitung nilai rekening tabungannya pada :

a.Tanggal 1 pebruari 2004, c. Tanggal 1 Agustus 2006,

b. Tanggal 1 Mei 2005, d. Tanggal 1 November 2007.

4. Edofrans ingin mendepositokan uang sebesar Rp 15.000.000 selama 18 bulan

pada suatu bank. Untuk memaksimumkan nilai depositonya pada saat jatuh

tempo, tentukan bank mana dari 3 alternatif bank berikut harus dipilih.

7. Tentukan suku bunga efektif j yang ekuivalen dengan :

a. j2 = 20%, b. j3 = 18%,

c. j4 = 16%, d. j12 = 15%,

8. Tentukan ekuivalensi suku bunga berikut :

a. j2 yang ekuivalen dengan j1 = 16%, ,

b. j4 yang ekuivalen dengan j12 = 16%,

Alternatif Bank Suku Bunga Nominal Frekuensi Pemajemukan (m)

Bank Arthagraha 18% Semesteran

Bank Bonigraha 15% Bulanan

Bank caniagraha 14% Kontinu

51

c. j12 yang ekuivalen dengan j3 = 16%,

9. Tentukan suku bunga r yang ekuivalen dengan :

a. j3 = 18% selama 3 tahun,

b. j4 = 16% selama 2 tahun,

c. j12 = 15% selama 1 tahun.

10.Suatu lembaga keuangan menawarkan 4 jenis sertifikat investasi yang berbeda

suku bunga nominal dan frekuensi pemajemukannya, yaitu j12 = 24%, j4 = 23%,

j3 =22% dan j2 = 21%. Alternatif mana yang terbaik?

11.Yosephine menginvestasikan dana sebesar Rp 10.000.000 selama tiga tahun

yang menghasilkan suku bunga nominal j3 = 21%. Hitung nilai akumulasi

investasi tersebut dengan menggunakan :

a. Formula bunga majemuk,

b. Suku bunga efektif yang ekuivalen dengan j3 = 21%,

c. Suku bunga majemuk semesteran yang ekuivalen dengan j3 = 21%,

d. Suku bunga majemuk bulanan yang ekuivalen dengan j3 = 21%.

12.Pada tanggal 1 Juni 2001, Christanty menyetor tabungan sebesar Rp 5.000.000

pada suatu bank yang mengenakan suku bunga nominal j2 = 18%. Hitung nilai

rekening tabungannya pada tanggal 1 Desember 2004 dengan menggunakan :

a. Formula bunga majemuk,

b. Suku bunga majemuk bulanan yang ekuivalen dengan j2 = 18%,

c. Suku bunga majemuk tiga bulanan yang ekuivalen dengan j2 = 18%,

d. Suku bunga sederhana yang ekuivalen dengan j2= 18%.

13.Hitung nilai diskonto dan diskonto majemuk dari uang sebesar Rp 8.000.000

pada

a. Suku bunga j365 = 12% selama 3 tahun,

b. Suku bunga j12 = 15% selama 4 tahun,

c. Suku bunga j4 = 16% selama 5 tahun.

14.Dalam pembelian suatu barang, seseorang diberi alternatif apakah membayar

tunai sebesar Rp 20.000.000 atau akan mengangsurnya dengan cara membayar

uang muka sebesar Rp 10.000.000 dan angsuran sebesar Rp 4.000.000 per

tahun selama 4 tahun. Jika uang dihargai pada suku bunga j1 16%, tentukan

alternatif mana yang lebih murah.

Modul Matematika Bisnis

Documents

Transcript of Modul Matematika Bisnis