Integral

1. INTEGRAL TAK TENTU DAN TENTU (SUATU PENDAHULUAN)

2. Aplikasi dalam Ekonomi

Integral tak tentu Mengintegralkan suatu fungsi turunan

f(x) berarti adalah mencari integral atau turunan antinya, yaitu F(x)

Bentuk umum integral dari f(x) adalah :

kxFdxxf )()(

Dimana k adalah sembarang konstanta yang nilainya tidak tentu.

2

Integral tak tentu © Contoh

untuk fungsi asal : F(x) = x2 + 5fungsi turunannya : f(x) = dF(x) / dx = 2x

Jika prosesnya dibalik, maka :

kxkxFdxxf 2)()(

3

Kaidah- kaidah Integrasi tak tentuKaidah 1. Formula Pangkat

knxdxx

nn

1

1

Kaidah 2. Formula Logaritmis

kxdxx

ln1

4

Kaidah- kaidah Integrasi tak tentu ©

Kaidah 3. Formula Eksponensial

Kaidah 4. Formula Penjumlahan

f(x)u kedue

kedxeuu

xx

kG(x)F(x)

dxxgdxxfdxxgxf

)()()()(

5

Kaidah-kaidah Integrasi tak tentu ©

Kaidah 5. Formula Perkalian

Kaidah 6. Formula Substitusi

0 )( ndxxfndxn f(x)

kuFduufdxdxduuf )()()(

6

Penerapan EkonomiPendekatan integral tak tentu dapat diterapkan untuk mencari persamaan fungsi total dari suatu variabel ekonomi apabila persamaan fungsi marginalnya diketahui.1. Fungsi Biaya2. Fungsi Penerimaan3. Fungsi Produksi

Fungsi Biaya Biaya total Biaya marjinal : Biaya total tak lain adalah integral

dari biaya biaya marjinal

𝐶=𝑀𝐶𝑑𝑄= 𝑓 ′ (𝑄 )𝑑𝑄

Contoh kasus Biaya marjinal dari suatu perusahaan

ditunjukkan oleh . Carilah persamaan biaya total dan biaya rata-ratanya.

Biaya total :

Biaya rata-rata :

Konstanta tak lain adalah biaya tetap. Jika diketahui biaya tetap tersebut sebesar 4, maka :

Fungsi Penerimaan Penerimaan total : Penerimaan marjinal : Penerimaan total tak lain adalah integral

dan penerimaan marjinal

𝑅=𝑀𝑅𝑑𝑄= 𝑓 ′ (𝑄 ) 𝑑𝑄

Contoh Kasus Carilah persamaan penerimaan total dan

penerimaan rata-rata dari suatu perusahaan jika penerimaan marjinalnya .

Penerimaan total :

Penerimaan rata-rata: Dalam persamaan penerimaan total

kontanta , sebab penerimaan tidak akan ada jika tak ada barang yang dihasilkan atau terjual.

Fungsi Produksi Produk total : di mana, keluaran; masukan Produk marjinal : Produk total tak lain adalah integral

dari produk marjinal

𝑃=𝑀𝑃𝑑𝑋= 𝑓 ′ ( 𝑋 )𝑑𝑋

Contoh kasus Produk marjinal sebuah perusahaan dicerminkan oleh

. Carilah persamaan produk total dan produk rata-ratanya.

Produk total :

Produk rata-rata : Dalam persamaan produk total juga konstant , sebab

tidak akan ada barang (P) yang dihasilkn jika tidak ada bahan (X) yang diolah atau digunakan.

Integral Tertentu Integral tertentu adalah integral dari suatu fungsi yang

nilai-nilai variabel bebasnya (memiliki batas-batas) tertentu.

Integral tertentu digunakan untuk menghitung luas areal yang terletak di antara kurva y = f(x) dan sumbu horizontal – x, dalam suatu rentangan wilayah yang dibatasi oleh x = a dan x =b.

Bentuk umum :

)()()()( aFbFxFdxxfb

a

ba

15

Integral Tertentu ©

∆x1

∆x2

∆xn

0 a x1 x2 xi xi bxn

x

y

y=f(x)

Nilai atau harga masing-masing titik yang mebatasi tiap sub-rentangan adalah :

X0 = a

X1 = a + ∆x

X2 = a + 2 (∆x)

…………………

Xn = a + n (∆x) = b

x0 16

Kaidah- kaidah Integrasi Tertentu

Untuk a < b < c, berlaku :

a

b

b

a

a

b

a

ba

dxxfdxxf

dxxf

aFbFxFdxxf

)()( .3

0)( .2

)()()()( .1

17

Kaidah- kaidah Integrasi Tertentu ©

bc

a

b

c

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

dxxfdxxfdxxf

dxxgdxxfdxxgxf

dxxfkdxxkf

)()()( .6

)()()()( .5

)()( .4

18

Surplus Konsumen Surplus konsumen atau CS (singkatan dari

Consumer Surplus) Surplus konsumen mencerminkan suatu

keuntungan lebih atau surplus yang dinikmati oleh konsumen tertentu berkenaan dengan tingkat harga pasar.

Fungsi permintaan (P) = f (Q) menunjukkan jumlah suatu barang yang akan dibeli oleh konsumen pada tingkat harga tertentu.

Surplus konsumen Jika tingkat harga pasar adalah Pe, maka bagi

konsumen tertentu yang sebetulnya mampu dan bersedia membayar dengan harga yang lebih tinggi dari Pe.

Hal ini akan merupakan keuntungan baginya, sebab ia cukup membayar barang tadi dengan harga Pe. Secara geometri, besarnya surplus konsumen ditunjukkan oleh luar daerah di bawah kurva permintaaan tetapi di atas tingkat harga pasar.

B (O1,)

𝐶 𝑠

PeE (Qe,Pe)

P=f(Q)

A(,0)

QeQ

Surplus konsumen atau (singkatan dari Consumers’ surplus) tak lain adalah segitiga , dengn rentang wilayah yang dibatasi oleh sebagai batas-bawah dan sebagai batas-atas.

Besarnya surplus konsumen adalah :

Dalam hal fungsi permintaan berbentuk atau

Dalam hal fungsi permintaan berbentuk ; adalah nilai untuk atau penggal kurva permintaan pada sumbu harga

Dengan demikian :

𝐶 𝑠=0

𝑄𝑒

𝑓 (𝑄)𝑑𝑄−𝑄𝑒𝑃𝑒=𝑃 𝑒

�̂�

𝑓 (𝑃 )𝑑𝑃

Contoh Kasus Fungsi permintan akan suatu barang

ditunjukkan oleh persamaan . Hitunglah surplus konsumen jika tingkat harga pasar adalah 30.

Jawab

Jika , Jika , Jika ,

=

Cs40

30

0 21 48

E

Q

P

Surplus Produsen Surplus Produsen atau Ps (singkatan dari

Producers’ Surplus) Mencerminkan suatu keuntungan lebih

atau surplus yang dinikmati oleh produsen tertentu berkenaan dngan tingkat harga pasar dari barang yang ditawarkan

Fungsi penawaran menunjukkan jumlah suatu barang yang akn dijual oleh produsen pada tingkat harga tertentu

Surplus Produsen Jika tingkat harga pasar adalah , maka

bagi produsen tertentu yang sebetulnya bersedia menjual dengan harga yang lebih rendah dari

Hal ini merupakan keuntungan baginya, sebab ia dapat menjual barangnya dengan harga . Secara geometri, besarnya surplus produsen ditunjukkan oleh luas area di atas kurva penawaran tetapi di bawah tingkat harga pasar.

P

Pe

P=f(Q)

E(Qe,Pe)

D(0,)

QeQ

Surplus produsen (Ps)

0

Surplus produsen atau Ps (singkatan dari Producers’ surplus) tak lain adalah segitiga , dengan rentang wilayah yang dibatasi oleh sebagai batas bawah dan sebagai batas-atas.

Besarnya surplus produsen adalah :

Dalam hal fungsi penawaran berbentuk

Dalam hal fungsi penawaran berbentuk ; adalah nilai untuk , atau penggal kurva penawaran pada sumbu harga

Dengan demikian :

𝑃𝑠=𝑄𝑒𝑃𝑒−0

𝑄𝑒

𝑓 (𝑄 )𝑑𝑄=̂𝑃

𝑃𝑒

𝑓 (𝑃 )𝑑𝑃

Contoh Kasus Seorang produsen mempunyai fungsi

penawaran . Berapa surplusprodusen itu bila tingkat harga keseimbangan di pasar adalah 10?

Cara pertama

Cara Kedua

P

10

3

0 14 Q

𝑃𝑒