3 Modul Plpg Matematika

download 3 Modul Plpg Matematika

of 70

Transcript of 3 Modul Plpg Matematika

MODUL B3

MATEMATIKAGURU SD/MI

JURUSAN PENDIDIKAN GURU SD FAKULTAS ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG 2011BAB I PENDAHULUAN

A. Deskripsi Bahan ajar matematika SD/MI ini disusun untuk membantu Anda dalam mengoptimalkan proses pembelajaran bilangan bulat dan pecahan agar lebih bermakna. Dalam bahan ajar ini Anda akan melakukan kegiatan mulai dari bagaimana menanamkan konsep bilangan bulat dan pecahan, operasi hitung bilangan bulat dan pecahan, strategi dan penyampaian materi kepada siswa dengan menggunakan media dan pendekatan yang sesuai, permasalahan yang dihadapi guru dan siswa dalam proses pembelajaran di kelas, serta tambahan materi matematika (sebagai penggayaan) yang sangat berguna bagi Anda untuk memperluas atau memperkuat bekal pengetahuan matematika yang telah Anda miliki. Dari segi materi tentunya Anda tidak mengalami kesulitan yang berarti untuk mempelajarinya, karena istilah-istilah yang ada dalam materi bilangan bulat dan pecahan sudah Anda kenal sebelumnya dan ini dapat Anda jadikan sebagai bekal pengalaman untuk mengikuti pelatihan yang disajikan melalui bahan ajar ini Jika Anda perhatikan buku-buku yang ada di sekolah dasar, sebenarnya cukup banyak disampaikan topik bilangan bulat dan pecahan yang ilustrasi dan penyampaian kurang tepat, dan terlalu abstrak. Padahal dalam usia sekolah dasar proses abstraksi siswa masih perlu dibantu dengan media lain. Hampir semua buku tidak menjelaskan kenapa harus ada bilangan negatif dan bilangan pecahan, bagaimana proses penentuan bilangan negatif dan bilangan pecahan.

2

Kemudian belum dipergunakan media atau alat peraga yang dapat memperlihatkan hasil operasi hitung secara realistik. B. Prasyarat Sebagai prasyarat untuk memahami bilangan bulat dan pecahan, Anda diharapkan telah memahami :konsep bilangan Asli dan cacah, operasi hitung pada bilangan Asli dan cacah, serta cara menyampaikan bilangan asli dan cacah. Dalam bahan ajar ini akan dibahas tentang bilangan bulat dan pecahan yang uraian materinya dimulai dengan membahas atau menjelaskan bagaimana menyampaikan konsep bilangan bulat (perluasan bilangan Asli dan Cacah) dengan pendekatan atau cara yang tepat, penggunaan alat peraga manik-manik dan petak garis bilangan untuk menjelaskan proses menentukan hasil operasi bilangan bulat secara konkret. Kemudian dilanjutkan dengan membahas operasi hitung bilangan bulat dan pecahan dengan menggunakan garis bilangan dan permasalahannya C. Petunjuk Belajar Untuk memudahkan Anda dalam memahami isi bahan ajar ini, petunjuk belajar berikut akan membekali keberhasilan Anda:: 1. Bacalah setiap uraian materi dengan cermat, teliti dan tertib, sampai Anda memahami pesan, ide, dan makna yang disampaikan 2. Lakukan diskusi dengan teman-teman Anda dalam mengatasi bagian-bagian yang belum Anda pahami. 3. Kerjakan semua soal yang terdapat pada latihan dan tes formatif dengan disiplin yang baik 4. Buatlah alat peraga sederhana untuk mempraktekkan masalah-masalah yang ada di bahan ajar ini, agar Anda secara langsung merasakan kegunaannya sehingga Anda tidak lagi mengalami kesulitan dalam mendemonstrasikan alat peraga tersebut. 5. Perbanyak pula membaca dan mengerjakan soal-soal dari sumber lainnya.

3

6. Jangan lupa, tanamkan dalam diri Anda bahwa Anda akan berhasil dan buktikanlah bahwa Anda memang berhasil. D. Kompetensi dan Indikator Setelah mempelajari bahan ajar ini diharapkan, Anda akan mampu: 1. menjelaskan cara menanamkan konsep bilangan bulat dan pecahan secara tepat 2. memilih suatu media atau alat peraga yang sesuai dengan tahap pengenalan konsep 3. menggunakan media atau peragaan yang tepat untuk menyampaikan konsep-konsep operasi hitung pada pembelajaran bilangan bulat dan pecahan 4. melakukan abstraksi terhadap konsep-konsep bilangan bulat dan pecahan 5. melakukan proses pembelajaran bilangan bulat dan pecahan yang sesuai dengan tahap perkembangan berpikir anak dengan strategi yang tepat 6. mengatasi permasalahan yang mungkin dialami siswa dalam permbelajaran bilangan bulat dan pecahan Kompetensi-kompetensi di atas akan sangat berguna bagi Anda dalam melaksanakan tugas di SD/MI, baik sebagai guru kelas, pengawas, kepala sekolah, dan pejabat di bidang kependidikan dasar yang penuh perhatian dalam usaha meningkatkan mutu pendidikan di SD/MI. Untuk membantu Anda menguasai kompetensi-kompetensi di atas, bahan ajarnya disajikan ke dalam tiga kegiatan belajar sebagai berikut: Kegiatan Belajar 1 : Pembelajaran Bilangan Bulat di SD/MI dan Permasalahannya. Isinya membahas tentang cara menanamkan konsep bilangan bulat, operasi hitung penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat dengan beberapa pendekatan (konkret sampai abstrak), penggunaan media atau alat peraga yang tepat pada bilangan bulat, serta permasalahan dalam pembelajaran bilangan bulat.

4

Kegiatan Belajar 2 : Perkalian dan Pembagian bilangan bulat serta sifat-sifat operasi hitung pada bilangan bulat. Isinya membahas tentang operasi hitung perkalian dan pembagian bilangan bulat dengan pendekatan-pendekatan yang sesuai dengan taraf berpikir anak., penggunaan media yang tepat pada bilangan bulat. Kegiatan Belajar 3 : Bilangan Pecahan dan operasi hitung pada bilangan pecahan. Isinya membahas tentang operasi hitung penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian bilangan pecahan dengan pendekatan-pendekatan yang sesuai dengan taraf berpikir anak., penggunaan media yang tepat pada bilangan pecahan.

5

BAB II KEGIATAN BELAJAR 1 PEMBELAJARAN BILANGAN BULAT DI SD/MI DAN PERMASALAHANNYA A. Kompetensi dan Indikator Kompetensi: 1. Mengenal bilangan bulat 2. Melakukan operasi penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat 3. Melakukan operasi perkalian dan pembagian bilangan bulat (pengayaan) Mampu mengenal bilangan bulat dalam kehidupan sehari-hari Mampu melakukan penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat dengan menggunakan manik- manik Mampu melakukan penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat dengan menggunakan garis bilangan Mampu melakukan perkalian dan pembagian bilangan bulat dengan menggunakan pola bilangan Mampu perkalian dan pembagian bilangan bulat dengan menggunakan garis bilangan

Indikator

B.

Uraian Materi Uraian dalam Kegiatan Belajar I diawali dengan membahas bagaimana menerapkan konsep bilangan bulat dengan pendekatan sebagai berikut. Pembahasan bilangan bulat (integers) tidak bisa dipisahkan dari uraian tentang bilangan asli (Natural Number) dan bilangan Cacah (Counting Numbers). Jadi sebelum membahas kajian bilangan bulatnya, akan disinggung terlebih dahulu tentang pembentuk bilangan bulat dari proses operasi hitung pada bilangan asli dan cacah. Masih ingatkah Anda pada waktu pertama kali mengenal bilangan, atau bagaimana kita memperkenalkan bilangan ini kepada anak kita. Tentunya kita sepakat salah satu caranya adalah dengan menggunakan jari-jemari anak tersebut dalam mengenalkan bilangan satu, dua, tiga dan seterusnya. Jadi yang kita kenalkan ini sebenarnya adalah bilangan asli.

Selanjutnya akan kita kaji proses pembentukan bilangan bulat dengan memperluas himpunan bilangan asli dan cacah. Pada himpunan bilangan asli, kita dapat melakukan proses perhitungan yang menghasilkan bilangan asli pula, misal: 4 + 5 = 9. kita ketahui bahwa 4 dan 5 merupakan bilangan asli, sedangkan hasil penjumlahan tersebut, yaitu 9 juga merupakan anggota dari himpunan bilangan asli. Jadi pada kalimat penjumlahan 4+5= ... , hasilnya adalah bilangan 9. berarti pada bilangan asli a dan b selalu ada bilangan asli c untuk melengkapi kalimat a + b=...... sehingga menjadi a + b = c. Jadi, kalimat - kalimat penjumlahan, 4 + 5 = ...; 4 + 3 =... ; 6 + 5 =.... selalu dapat dilengkapi oleh bilangan asli, yaitu 9, 7 dan 11, sehingga bentuk kalimat lengkapnya menjadi 3 + 5= 8, 4 + 3 =7, dan 6 + 5 = 11. Sekarang, perhatikanlah kalimat yang berbentuk a + ... = b, dengan a dan b bilangan asli. apakah kalimat tersebut selalu dapat dilengkapi oleh bilangan asli? Bagaimana menurut pendapat Anda? Belum tentu, pendapat Anda benar sekali bahwa kalimat a + ... =b tidak selalu dapat dilengkapi bilangan asli. Misalkan untuk bentuk kalimat 6 + ... = 4 lalu dengan bilangan yang bagaimana kita dapat melengkapi kalimat tersebut agar menjadi kalimat yang benar. Sebagai solusinya, maka kita perlu memperluas himpunan semua bilangan asli agar jawaban dalam kalimat tersebut termuat dalam himpunan bilangan yang baru ini. Yang menjadi pertanyaan sekarang adalah, bagaimana cara memperluas himpunan bilangan asli tersebut agar kita dapat melengkapi bentuk - bentuk kalimat seperti 6 + ... = 4; 5 + ... = 2; 7 + ... = 5; dan sebagainya . Sekarang perhatikanlah kalimat yang membentuk a + ... = b di atas. jika a = 4 dan b = 9 ( a < b ), maka bentuk kalimat 4 + ... = 9 solusinya berupa bilangan asli 5, dan untuk mendapatkan bilangan 5 ini dapat diperoleh dengan mengubah kalimat 4 + ... = 9 menjadi 9 - 4 dengan mengenalkan suatu operasi pengurangan ( - ) yang solusinya juga 5, sehingga 4 + 5 = 9 sama artinya dengan 9 - 4 = 5. Lalu, bagaimana proses menentukan bentuk pelengkap dari a + ... = b atau b - a = ... jika a = 9 dan b = 4 ( a > b )? Tentunya solusi dari kalimat tersebut

7

bukanlah merupakan bilangan asli. Bentuk kalimat - kalimat seperti inilah yang akan memperluas himpunan semua bilangan asli. Tentunya Anda telah mengenal bilangan 0, 1, 2, 3, 4, 5... atau yang kita kenal sebagai bilangan cacah , dan jika disajikan ke dalam garis bilangan dapat Anda lihat pada gambar 2.1 di bawah ini.

0

1

2

3

4

5

6

7

Gambar 2.1 Pada garis bilangan di atas kalau mobil bergerak maju dari 0 ( nol ) ke kanan sebanyak 4 langkah, maka mobil akan sampai pada bilangan 4 ( lihat gambar 2.2 ) .

0

1

2

3

4

5

6

7

Gambar 2.2 Selanjutnya, kalau mobil bergerak lagi maju dari bilangan 4 ini sebanyak 2 langkah ke kanan, maka mobil akan sampai pada bilangan 6 ( lihat gambar 2. 3).

0

1

2

3Gambar 2.3

4

5

6

7

Sekarang, kalau mobil bergerak mundur dari bilangan 5 ke kiri sebanyak 4 langkah, maka mobil akan sampai pada bilangan 1 ( lihat gambar 2.4)

0

1

2

3

4

5

6

8

Gambar 2.4 Lalu bagaimana kalau mobil bergerak mundur sebanyak 2 langkah dari bilangan 0 ( nol ). Untuk menjawab pertanyaan tersebut, maka garis bilangan harus diperpanjang ke kiri.

?

0

1

2

3

4

5

6

7

Gambar 2.5 Kemudian kita harus melengkapi terlebih dahulu bilangan - bilangan di sebelah kiri 0 pada garis bilangan di atas, yaitu dengan kajian sebagai berikut . Bila mobil bergerak maju ke kanan 1 langkah maka bilangan yang dituju sama dengan bilangan tempat mobil mulai bergerak ditambah 1. Contoh: Jika mobil bergerak maju 1 langkah ke kanan dari bilangan 2 maka mobil akan sampai pada bilangan 2 + 1 = 3. Sebaliknya kalau mobil bergerak mundur ke arah kiri 1 langkah , maka bilangan yang dituju sama dengan bilangan tempat mobil mulai bergerak dikurangi 1. Contoh : Jika kita melangkah mundur 1 langkah ke kiri dari bilangan 4, maka kita akan sampai pada bilangan 4 - 1 = 3. Jika Anda sudah paham dengan dua prinsip di atas selanjutnya kita mlengkapi garis bilanganya. Kalau mobil bergerak mundur ke arah kiri dari bilangan 0 sebanyak 1 langkah, maka bilangan yang dituju sama dengan 0 dikurangi 1 atau (0 1).

(01)

0

1

2

3

4

5

6

79

Gambar 2.6 Kalau mobil bergerak mundur ke arah kiri dari bilangan 0 sebanyak 2 langkah, maka bilangan yang dituju sama dengan 0 dikurangi 2 atau ( 0 - 2 ).

(02)

0

1

2

3

4

5

6

7

Gambar 2.7 Selanjutnya kalau mobil bergerak mundur ke arah kiri dari bilangan 0 sebanyak 3 langkah , tentunya bilangan yang dituju sama dengan 0 dikurangi 3 atau ( 0 3).

(03)

0

1

2

3

4

5

7

Gambar 2.8 Untuk memudahkan penulisan pada garis bilangan berdasarkan kesepakatan para ahli matematika 0 - 1, 0 - 2, 0 - 3 dan seterusnya ditulis sebagai negatif 1, negatif 2, negatif 3 ( ditulis -1, -2, -3, ...) dan seterusnya. Jadi, 0 1 = 1, 0 2 = - 2, 0 3 = - 3. dan seterusnya. Dengan demikian kita mendapatkan bilangan bilangan baru dari perluasan bilangan asli, yaitu: -1, -2, -3, -4, -5....sehingga bentuk garis bilanganya menjadi

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Gambar 2.9

10

Jadi bilangan bilangan yang terdapat pada garis bilangan pada gambar 2.9 di atas disebut sebagai himpunan bilangan bulat yang ditulis B = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2 , 3, ... } . Berarti pada bilangan bulat terdiri dari : 1. Bilangan bilangan yang bertanda negatif {-1, -2, -3, -4, ... } yang selanjutnya disebut bilangan bulat negatif. 2. Bilangan 0 ( nol ), dan 3. Bilangan bilangan yang bertanda positif { 1, 2, 3, 4, ... } yang selanjutnya disebut bilangan bulat positif. Jadi, dengan adanya himpunan bilangan bulat maka bentuk solusi dari kalimat kalimat 6 + ... = 4; 5 + ... = 2; 7 + ... = 5; dan 9 + ... = 4 dapat ditentukan dengan cara atau langkah langkah sebagai berikut : Bentuk 6 + ... = 4 dapat ditulis sebagai 4 6 = ... dan untuk mendapatkan hasil ini, Anda dapat lihat dalam peragaan berikut ( Lihat gambar 2.10).

-4Keterangan :

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Gambar 2.10 Mula-mula dari skala 0 mobil bergerak maju sebanyak 4 langkah sampai berhenti di skala 4. hal ini untuk menunjukkan bilangan positif 4. Kemudian dari skala 4 tersebut mobil bergerak mundur sebanyak 6 langkah sampai berhenti di skala -2 dengan arah mobil tetap mengarah ke bilangan positif ( mengapa?). jadi bilangan -2 inilah yang merupakan bentuk selesaian dari kalimat 6 + ... = 4, yaitu : 6 + ( -2) = 4 atau 4 6 = -2. Selanjutnya dengan cara yang sama, kita dapat menentukan bentuk selesaian dari kalimat kalimat 5 + ... = 2 ; 7 + ... = 5; dan 9 + ...= 4, yaitu -3, -2, -5.

11

Dalam kehidupan sehari hari, pertanyaan pertanyaan berikut : 1. 2. 3. 4. 5. hutang 50 rupiah ; enam derajat di bawah nol; 150 meter di bawah nol;

tentunya anda pernah mendengar

mengalami kerugian sebesar Rp 1. 500, 00; turun harga sebesar Rp 125, 00 Sebenarnya pertanyaan di atas merupakan bentuk aplikasi dari bilangan

bulat negatif dalam kehidupan sehari hari. Hutang 50 rupiah menyatakan -50; enam derajat di bawah nol menyatakan -6, 150 meter di bawah permukaan laut menyatakan -150, mengalami kerugian sebesar Rp. 1.500,00 menyatakan -1500, dan turun harga sebesar Rp 125, 00;menyatakan 125. Jadi perluasan himpunan bilangan asli menjadi bilangan bulat bukan hanya sekedar memenuhi kebutuhan kalimat kalimat yang berbentuk a + ... = b, dengan a > b melainkan untuk keperluan proses penghitungan yang lebih luas lagi dalam kehidupan nyata, seperti : untuk melakukan pembukuan, pemasaran, perdagangan, industri, dan iptek. Selain itu tumbuh pula untuk melakukan proses hutang piutang, maju mundur , atas bawah seperti pernyataan pernyataan di atas. Dalam proses pembelajaran matematika di SD/MI perlu dijelaskan bahwa keberadaan bilangan negatif memang perlu, misalkan untuk mengetahui kedalaman laut, pengukuran suhu (temperatur) yang negatif setelah diukur dengan termometer, dan lain sebagainya yang ada kaitannya dengan bilangan bulat. Operasi Hitung pada Bilangan Bulat Menurut kurikulum KTSP (Depdiknas, 2006) bilangan bulat baru diperkenalkan pada siswa SD/MI di kelas IV semester 2 ( pada siswa yang masih dalam taraf berpikir konkret). Ini berarti pendekatan yang harus dilakukan harus sesuai dengan tingkat perkembangan mental anak di usianya.

12

Banyak permasalahan yang muncul pada sistem bilangan bulat bagi siswa siswa SD/MI kelas IV, misalkan pada waktu mereka akan melakukan operasi hitung seperti : 4 + ( -7 ); ( -6 ) + 9; ( -3 ) ( -6 ) 2 7 ; dan sebagainya. Masalah yang muncul dalam kaitannya dengan soal soal tersebut adalah bagaimana memberikan penjelasan dan cara menanamkan pengertian operasi tersebut secara konkret, karena kita tahu bahwa pada umumnya siswa berpikir dari hal hal yang bersifat konkret menuju hal hal yang bersifat abstrak. Untuk mengenalkan konsep operasi hitung pada sistem bilangan bulat dapat dilakukan melalui 3 tahap, yaitu : Tahap 1: pengenalan konsep secara konkret, Tahap 2: pengenalan konsep secara semi konkret atau semi abstrak, Tahap 3: pengenalan konsep secara abstrak. Tahap Pengenalan Konsep Secara Konkret Alat peraga manik manik pendekatannya menggunakan konsep himpunan. Seperti kita ketahui bahwa ada himpunan, kita dapat menggabungkan atau memisahkan dua himpunan yang dalam hal ini anggotanya berbentuk manik manik . bentuk alat peraga ini dapat berupa bulatan bulatan lingkaran. Alat peraga ini biasanya terdiri dari dua warna, satu warna untuk menandakan bilangan positif (misal kuning), sedangkan warna lainnya (misal merah) untuk menandakan bilangan negatif.

Warna kuning mewakili bilangan bulat positif

Warna merah mewakili bilangan bulat negatif

Dalam alat ini bilangan nol (netral) diwakili oleh dua buah manik manik dengan warna berbeda yang dihimpitkan, sehingga membentuk sepasang manikmanik (misal warna kuning-merah), dua pasang manik-manik, dan seterusnya

atau

13

Netral = bernilai 0

atau

Menggambarkan bilangan positif (+5)

atau Menggambarkan bilangan negatif 5 (-5) Bentuk netral ini dipergunakan pada saat kita akan melakukan operasi pengurangan a b dengan b > a atau b < 0. selanjutnya, dalam menggunakan alat peraga ini ( dalam hal ini untuk melakukan operasi hitung penjumlahan dan pengurangan) harus memperhatikan beberapa prinsip kerjanya, yaitu : Dalam operasi hitung, proses penggabungan dalam konsep himpunan dapat diartikan sebagai penjumlahan, sedangkan proses permisahan dapat diartikan sebagai pengurangan. Berarti, kalau kita menggabungkan sejumlah manik manik ke dalam kelompok manik manik lain sama halnya dengan melakukan penjumlahan. Namun demikian, ada beberapa hal yang harus diperhatikan dalam melakukan proses penjumlahan, yaitu : 1. jika a > 0 dan b > 0 atau a < 0 dan b< 0, maka gabungkanlah sejumlah manikmanik ke dalam kelompok manik manik lain yang warnanya sama. 2. jika a > 0 dan b < 0 atau sebaliknya, maka gabungkanlah sejumlah manik manik yang mewakili bilangan positif ke dalam kelompok manik manik yang mewakili bilangan negatif. Selanjutnya, lakukan proses pemasangan di antara

14

kedua kelompok manik manik tersebut agar ada yang menjadi netral.(bernilai nol).. Melalui proses ini akan menyisakan manik manik dengan warna tertentu yang tidak mempunyai pasangan yang merupakan hasil penjumlahannya. Selanjutnya, kalau kita melakukan proses pemisahan sejumlah manik manik keluar dari kelompok manik manik, maka sama halnya dengan melakukan pengurangan, yaitu : 1. jika a > 0 dan b > 0 tetapi a > b, maka pisahkanlah secara langsung sejumlah b manik manik yang berjumlah a . 2. jika a > 0 dan b > 0 tetapi a < b maka sebelum memisahkan sejumlah b manik manik yang nilai bilanganya lebih besar dari a, terlebih dahulu Anda harus menggabungkan sejumlah manik manik yang bersifat netral ke dalam kelompok manik manik a, dan banyaknya tergantung pada seberapa kurangnya manik manik yang akan dipisahkan . 3. jika a > 0 dan b < 0, maka sebelum memisahkan sejumlah b manik manik yang bernilai negatif, terlebih dahulu anda harus menggabungkan sejumlah manik manik yang bersifat netral dan banyaknya tergantung dari besarnya bilangan pengurangan ( b ). 4. jika a < 0 dan b > 0, maka sebelum melakukan proses pemisahan sejumlah b manik manik yang bernilai positif dari kumpulan manik manik yang bernilai negatif, terlebih dahulu anda harus menggabungkan sejumlah manik manik yang bersifat netral ke dalam kumpulan manik manik a, dan banyaknya tergantung pada seberapa besarnya bilangan b. 5. jika a < 0 dan b < 0 tetapi a > b, maka sebelum melakukan proses pemisahan sejumlah b manik manik yang bilanganya lebih kecil dari a, terlebih dahulu anda harus melakukan proses penggabungan sejumlah manik manik yang bersifat netral ke dalam kumpulan manik manik a, dan banyaknya tergantung dari seberapa kurangnya manik manik yang akan dipisahkan. 6. jika a < 0 dan b < 0 tetapi a < b, maka pisahkanlah secara langsung sejumlah b manik manik keluar dari kelompok manik manik yang berjumlah a.

15

C.

Latihan Selanjutnya, agar Anda dapat memahami prinsip prinsip di atas, berikut ini akan diperagakan beberapa contoh penggunaan alat peraga tersebut , misal untuk menjelaskan operasi hitung 3 + (-5) dan 3 5, yaitu dengan langkah langkah sebagai berikut 1) Penjumlahan: Contoh: 3 + (-5) = ....? Untuk menjalankan proses pembelajaran bentuk operasi ini harus mengacu pada prinsip kerja nomor 2 pada sub bagian penjumlahan yaitu dengan proses kerja sbb :

3

-5

(Musser & Burger, 1991:284 - 292 ) -2 1. Tempatkanlah 3 buah manik-manik kuning yang bertanda positif ke dalam papan peragaan. Hal ini untuk menunjukkan bilangan positif 3. 2. Tambahkanlah ke dalam papan peragaan tersebut manik-manik merah yang bertanda negatif sebanyak 5 buah yang menunjukkan bilangan negatif 5 atau -5.

16

3. Gabungkan manik-manik yang bertanda positif dengan yang bertanda negatif untuk mencari pasangan bilangan yang bersifat netral (bernilai nol). 4. Dari hasil gabungan di atas, terlihat ada 3 pasangan manik-manik (kuning merah) netral (bernilai nol), kemudian yang tidak mempunyai pasangan ada 2 buah manik-manik berwarna merah (bernilai negatif 2). Peragaan ini menunjukkan kepada kita bahwa 3 + (-5) = -2. 2) Pengurangan: Contoh: 3 5 = ..... ? diambil/ dipisahkan

-2 Untuk menjalankan proses bentuk operasi ini harus mengacu pada prinsip kerja nomor 2 pada sub bagian pengurangan yaitu dengan proses pembelajaran sbb : 1. positif 3. 2. Karena operasi hitungnya berkenaan dengan pengurangan yaitu oleh bilangan positif 5, maka seharusnya kita memisahkan dari papan peragaan tersebut manik-manik yang bertanda positif sebanyak 5 buah. Namun untuk sementara pengambilan tidak dapat dilakukan. Mengapa? 3. Agar pemisahan dapat dilakukan maka kita perlu menambahkan 2 pasangan manik-manik positif dan negatif (warna kuningmerah) yang netral (bernilai nol) dan letaknya dihimpitkan ke dalam papan peragaan. Tempatkanlah 3 buah manik-manik yang bertanda positif ke dalam papan peragaan. Hal ini untuk menunjukkan bilangan

17

4.

Setelah melalui proses tersebut dalam papan

peragaan terlihat ada 5 buah manik yang bertanda positif dan 2 buah manik yang bertanda negatif. Selanjutnya kita dapat memisahkan ke 5 buah manikmanik yang bertanda positif keluar dari papan peragaan. 5. Dari hasil pemisahan tersebut di dalam papan peragaan sekarang tinggal 2 buah manik yang bertanda negatif (bernilai negatif 2). Hal ini menunjukkan kepada kita bahwa 3 5 = -2 Berdasarkan proses kerja dari kedua peragaan di atas secara realistik penggunaan alat peraga ini dapat memperlihatkan perbedaan proses untuk mendapatkan hasil dari operasi hitung dalam sistem bilangan bulat yang berbentuk a + (-b) dan a b, sekaligus memperlihatkan pula secara nyata keberlakuan konsep a b = a + (-b). Penggunaan alat peraga ini dapat kita manfaatkan untuk melatih pola pikir siswa dalam memahami suatu persoalan. D. Lembar Kegiatan Selanjutnya untuk memperlancar pemahaman Anda terhadap prinsip-prinsip kerja alat peraga tersebut, khususnya terkait dengan operasi hitung penjumlahan dan pengurangan ada baiknya Anda coba peragakan a. Masalah penjumlahan 1) 2) 3) 4) 2 + 5 = ... ? - 2 + 5 = ... ? 2 + (-5) = ... ? -2 + (-5) = ... ? 2 5 -2 5

b. Masalah pengurangan 5) 6) 7) 8) = ... ? = ... ?

2 (-5) = ... ? -2 (-5) = ... ?

Selanjutnya Anda diberi kesempatan untuk mengamati fakta hasil pengurangan bilangan bulat yang didapat dengan menggunakan manik-manik atau garis

18

bilangan dan membandingkannya dengan fakta penjumlahan. Peserta diminta untuk mengisi tabel berikut: Dari hasil kolom (1) dan (2) didapat hubungan pengurangan dan penjumlahan (3)

Pengurangan (1) 1). 2 - 5 = ... 2). 2 (-5) = .. 3). -2 - 5 = ... 4). -2 - (-5)= ...

Penjumlahan (2) 1). 2 + (- 5) = ... 2). 2 + 5 = .. 3).-2 + (- 5) = ... 4). -2 + 5 = ...

Anda diberi kesempatan untuk membuat simpulan tentang konsep pengurangan bilangan bulat bahwa a b = a + (-b) selanjutnya Anda diberi kesempatan untuk menggunakan konsep pengurangan untuk mengerjakan soal (tanpa alat peraga). Model Peragaan Garis Bilangan Selain alat peraga manik-manik di atas terdapat alat peraga lain yaitu Tangga/pita/garis bilangan. Untuk memperagakan tangga garis bilangan biasanya diperlukan model yang diperankan oleh siswa (siswa melakukan loncatan-loncatan maju atau mundur di atas mistar dan tiap loncatannya mewakili bilangan yang dioperasikan. Pita garis bilangan adalah alat bantu sejenisnya yang dibuat dari karton duplek dan prinsip kerjanya sama dengan tangga garis bilangan. Jika pada tangga garis bilangan modelnya siswa, maka pada pita garis bilangan modelnya orangorangan atau mobil-mobilan. Garis bilangan, prinsip kerja yang harus diperhatikan dalam melakukan operasi penjumlahan atau pengurangan dengan menggunakan alat ini adalah sbb: Anda membuat kesepakatan dengan peserta didik tentang penggunaan garis bilangan untuk mencari hasil penjumlahan sbb Misalkan a dan b bilangan bulat, kita letakkan mobil menghadap kekanan pada posisi 0. Untuk mencari hasil a + b dapat dilakukan peragaan sebagai berikut a. operasi penjumlahan (+) peragaannya dilanjutkan

19

b.

a + b peragaannya mobil menghadap kekanan berangkat dari

nol bergerak a satuan maju (untuk a positif ) atau mundur (untuk a negatif ) dilanjutkan bergerak b satuan maju ( untuk b positif) atau mundur (untuk b negatif) Contoh: 1) 2 + 5 = ... ?

1 2 3 4 6 5 7 . .2 Dari 0 (nol) mobil maju 2 satuan, dan dari 2 maju 5satuan.berhenti di 7

0

Contoh: 2)

2 + (-5 ) = ... ?

-4..2

-3

-2

-1

0

1

2

3

Dari 0 (nol) mobilbergerak maju 2 satuan, dan dari 2 bergerak mundur 5 satuan.berhenti di -3

Contoh: 3)

-2 + 5 = .... ?

-320

-2

-1

0

1

2

3

-4..2

Dari 0 mobil mundur 2 satuan, dan dari -2 maju 5 satuan. berhenti di 3 . Contoh: 4) -2 + (-5) = ... ?

-7.. 2

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

Dari 0 (nol) mobil bergerak mundur 2 satuan, dan dari -2 mundur 5 satuan. berhenti di -7 . b. Guru memberikan kesempatan peserta pelatihan untuk mengejakan soal latihan 1) Gunakan alat peraga manik-manik berwarna atau garis bilangan a.7 + c.-7 + 4 = 4 = b.7 + (-4) = d.-7 + (-4) = 2) Jawablah pertanyaan berikut tanpa bantuan garis bilangan a. 70 + 14 = b. c. 70 + (-14) = -70 + 14 =

d. -70 + (-14) = 2. Pengurangan Bilangan Bulat Menggunakan garis Bilangan Langkah Pembelajaran Pengurangan Bilangan Bulat 1. bilangan. Guru menyampaikan pertanyaan tertulis sbb : Tentukan hasil pengurangan di bawah ini dengan menggunakan garis

21

a. c.

2 - 5 2 - (-5)

b. - 2 - 5 d. - 2 - (-5 ) 2. pelatihan tentang pengurangan sbb Misalkan a dan b bilangan bulat. dilakukan peragaan sebagai berikut a) Peragaan menggunakan Garis Bilangan 1. Letakkan mobil menghadap kekanan peragaannya berbalik arah. 2. a b peragaannya mobil menghadap kekanan berangkat dari nol bergerak a satuan maju (untuk a positif) atau mundur (untuk a negatif ) berbalik arah bergerak b satuan maju ( untuk b positif) atau mundur (untuk b negatif) Contoh: 1) 2 - 5 = pada posisi 0.dikurangi (-) Untuk mencari hasil a - b dapat Guru membuat kesepakatan dengan peserta

penggunaan garis bilangan untuk mencari hasil

-4..2

-3

-2

-1

0

1

2

3

Dari no, mobill maju 2 satuan, dari 2 mobil berbalik arah maju 5 satuan, berhenti di -3 Contoh: 2) -2 - 5 =

-7..2

-6..2

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

22

Dari nol mundur 2 satuan, dari -2 berbalik arah maju 5 satuan, berhenti di -7

Contoh: 3)

2 - (-5) =

0

1

2

3

4

5

7 6.. 2

Dari nol maju 2 satuan, dari 2 berbalik arah mundur 5 satuan, berhenti di 7

Contoh: 4)

-2 - (-5) =

-4..2

-3

-2

-1

0

1

2

3

Dari nol mobil bergerak mundur 2 satuan, dari -2 berbalik arah mundur 5 satuan, berhenti di 3

3.

Guru menulis kembali fakta hasil pengurangan

dengan garis bilangan, dan menulis fakta penjumlahan serta meminta peserta didik untuk mengamati hubungan kedua fakta tersebut sbb: Dari hasil kolom (1) dan (2) didapat hubungan pengurangan dan penjumlahan

Pengurangan

Penjumlahan

23

1). 2). 3). 4).

(1) 2 - 5 = ... -2 - 5 = .. 2 - (-5)= ... -2 - (-5) = ...

1). 2). 3). 4).

(2) 2 + (- 5) = ... 2 + (-5) = .. 2 + (- 5) = ... -2 + 5 = ...

(3)

Peserta pelatihan diberi kesempatan untuk membuat simpulan tentang konsep pengurangan bilangan bulat bahwa a - b = a + (-b).

2. Tahap pengenalan Konsep secara semi konkret/semi abstrak Pada tahap ini proses pengerjaan operasi hitung pada sistem bilangan bulat diarahkan kepada bagaimana menggunakan garis bilangan. Untuk lebih jelasnya perhatikan prinsip kerja penggunaan garis bilangan, seperti pada pengenalan konsep secara konkret, namun modelnya mobil-mobilan sudah tidak dipergunakan lagi tetapi cukup menggunakan garis berarah. Selanjutnya akan dijabarkan bagaimana kita dapat menjumlahkan 2 bilangan bulat dengan pendekatan yang semi konkret atau semi abstrak ini dengan menggunakan garis bilangan dan sebaran penjumlahannya mencakup: a. b. c. d. Penjumlahan bilangan bulat positif dengan bilangan bulat positif. Penjumlahan bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif Penjumlahan bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat positif. Penjumlahan bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat negatif

TAHAP PENGENALAN KONSEP SECARA ABSTRAK Penggunaan alat peraga manik-manik ataupun garis bilangan untuk melakukan operasi hitung bilangan bulat mempunyai keterbatasan, karena tidak dapat menjangkau bilangan-bilangan yang cukup besar. Dengan demikian, kita harus dapat menyampaikannya tanpa menggunakan alat bantu yang didahului oleh proses abstraksi. Setelah melalui proses abstraksi diharapkan pada saat kita mengenalkan konsep operasi hitung secara abstrak

24

kepada siswa tidak terlalu mengalami kendala yang berarti. Dari segi mental siswa siap menerima pelajaran dalam tahap pengenalan konsep yang abstrak. Oleh karena itu, dalam uraian berikut akan kita pelajari strategi yang diperlukan guna menyampaikan materi tersebut tanpa alat bantu. Untuk memberikan pemahaman kepada anak, mereka diinstruksikan untuk melihat atau memperhatikan kembali hasil-hasil penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat pada waktu mereka menggunakan alat bantu. Misalnya, untuk penjumlahan nya diperlihatkan contoh-contoh seperti: a. 2 + 5 = 7. b. 2 + (- 5) = -3 atau (- 5) + 2 = - 3. c. (-2) + 5 = 3atau 5 + (- 2) = 3. d. (- 2) + (- 5) = - 7. Kemudian, informasikanlah kepada siswa Anda, bahwa dari keempat hasil penjumlahan bilangan-bilangan di atas ada beberapa hal menarik yang bisa disimpulkan untuk melakukan ketepatan - ketepatan, yaitu: 1. Dari soal butir a, dapatlah disimpulkan bahwa jumlah dua buah bilangan bulat positif adalah positif lagi. Adapun cara untuk memperoleh hasilnya sama saja denga7 menjumlahkan kedua bilangan itu seperti penjumlahan biasa. Misal: (i) 4 + 5 = 9 (ii) 6 + 17 = 23, dan sebagainya. 2. Dari butir b dan c, dapat lah disimpulkan bahwa jumlah dua buah bilangan bulat, satu positif dan yang satunya lagi negatif hasilnya dapat berupa bilangan bulat positif atau bilangan negatif, atau dapat pula menghasilkan bilangan 0 (nol). Hal ini tergantung dari bilangan-bilangan bulat yang dijumlahkan. Misal: (i) 2 + (-5) =-3 atau (-5) + 2 = -3. Pada penjumlahan (i), tampak bahwa angka dari bilangan bulat negatifnya (yaitu 5) lebih besar dari angka bilangan bulat positif nya

25

(yaitu 2), sehingga hasil penjumlahan nya adalah selisih dari 5 dengan 2 yang ditandai negatif. (ii) ( -2) + 5 =3 atau 5 + (- 2) = 3 Pada penjumlahan (ii), tampak bahwa angka dari bilangan bulat positifnya (yaitu S) lebih besar dari angka bilangan bulat negatifnya (yaitu 2), sehingga hasil penjumlahan adalah selisih dari 5 dengan 2 yang ditandai positif. Dengan menggunakan cara-cara tersebut, mantapkanlah pengetahuan siswa Anda dengan contoh-contoh soal yang lain. (iii) 6 + (-6) = 0 atau (-6) + 6 = 0. Pada penjumlahan yang bersifat khusus ini, tampak bahwa angka dari bilangan bulat positif maupun bilangan bulat negatifnya aam7; sehingga hasil penjuml2han bilangan - bilangan itu sama dengan no). (Ingat konsep tentang lawan atau invers aditif pada sifat - sifat. ( penjumlahan bilangan bulat). 3. Dari soal butir d, dapatlah disimpulkan bahwa jumlah dua buah bilangan bulat negatif adalah bilangan negatif lagi. Sedangkan cara untuk memperoleh hasilnya sama saja dengan menjumlahkan kedua angka tersebut dan hasilnya diberi tanda negatif. Misal: (i) (ii) (iii) (- 6) + (- 7)= - (6 + 7) = 13. (- 11 ) + (-19) = - (11 + 19) = - 30. (- 31) + (- 4) = - (31 + 4) = - 35. Sedangkan untuk bentuk pengurangan nya, dapat di, strategi dan pendekatan berikut: Pada waktu pengurangan dengan menggunakan alat bantu, sebaiknya contoh yang berpola dan pada akhirnya dapat digunakan untuk merumuskan atau menetapkan suatu kesimpulan yang mengarah ke konsep pengurangan pada sistem bilangan bulat. Misalnya

26

dapat Anda sajikan beberapa contoh soal berikut, tentunya masih banyak variasi contoh soal berpola yang dapat Anda berikan. 1. 4 - (- 7) =... 2. 4 - (- 6) =... 3. 4 - (- 5) =... 4. 4 - (- 4) =... 5. 4 - (- 3) =... Kemudian, Anda minta pula kepada siswa untuk membandingkan nya dengan peragaan-peragaan yang menyangkut operasi penjumlahan berikut: 1. 2. 3. 4. 5. 4 +7 = ... 4 + 6 =... 4 + 5 =... 4 + 4 =... 4 + 3 = ... Tentunya siswa Anda nantinya dapat melihat fakta bahwa basil yang didapat dari operasi-operasi hitung di atas adalah bilangan-bilangan yang sama, yaitu 11, 10, 9, 8 dan 7. Kalau langkah-langkah pembelajaran seperti itu sudah dijalankan dengan baik dan benar, setelah itu baru Anda dapat menegaskan kepada siswa suatu konsep pengurangan pada sistem bilangan bulat, bahwa mengurangi suatu bilangan bulat sama saja dengan menjumlahkan lawan dari bilangan yang mengurangi, dan secara matematis ditulis sebagai a - b = a +(- b) atau a - (- b) = a + b. Setelah siswa diperkenalkan dengan konsep pengurangan yang seolah - olah didapatnya dari proses penemuan, maka di dalam proses pembelajaran selanjutnya baru kita dapat meningkatkan proses berpikir anak ke jenjang: berpikir yang lebih tinggi, yaitu memasuki tahap pengerjaan soal-soal atau ~ pengerjaan operasi hitung pengurangan bilangan tanpa menggunakan alat peraga. Misalnya kita ingin menentukan hasil dari 5 dikurangi negatif 8 ditulis (5 - (-8), maka

27

dengan menggunakan konsep pengurangan di atas kita dapat ubah penulisan 5 - (- 8) menjadi 5 + 8. (Ingat, lawan dari - 8 adalah 8). Selanjutnya, dari tulis sebagai berikut: 5 (-8) = 5 + 8 = 13 Contoh lainnya: 1. -11 (19) = -11 + (-19) = -30. 2. 5 - 8 = 5 + (-8) = -3. 3. (- 6) 11 = -17. Catatan: Untuk dua contoh terakhir, proses penentuan hasilnya sama saja dengan cara pada waktu menjumlahkan dua buah bilangan bulat tanpa alat bantu. PERMASALAHAN DALAM PEMBELAJARAN BILANGAN BULAT DI SD 1. Kurang tepatnya memberikan pengertian bilangan bulat Pada umumnya, dalam buku-buku pelajaran di sekolah dasar (khususnya untuk kelas 4B) banyak yang tidak memperhatikan bagaimana memberikan penjelasan atau pengertian adanya bilangan bulat secara tepat. Misal, ada buku yang memberi ilustrasi anak berjalan maju untuk menandakan bilangan positif dan anak mundur untuk bilangan negatif tanpa adanya penjelasan kenapa harus ada bilangan negatif. Atau ada pula buku yang memberi ilustrasi anak berjalan ke kiri dari suatu pohon untuk menandakan bilangan negatif dan di sisi lain dari pohon tersebut diperlihatkan anak sedang berjalan ke arah kanan untuk menandakan bilangan positif. Padahal untuk menjelaskan pengertian' bilangan bulat = (-b) + (-11) _ bentuk yang terakhir ini dengan mudah Anda dapat menentukan hasitnya secara matematis proses di atas dapat kita

28

(khususnya yang menyangkut bilangan yang negatif harus dikaitkan dengan jenis atau bentuk operasi pada bilangan asli seperti yang disampaikan di awal pembahasan bahan ajar ini, sehingga anak akan mengerti kenapa harus ada bilangan negatif yang secara utuh jika digabungkan dengan bilangan cacah menjadi bilangan bulat. Setelah pengertian ini diberikan, barulah dalam penjabaran berikutnya dikaitkan dengan fakta-fakta yang ada dalam kehidupan sehari-hari untuk menambah pemahaman anak terhadap bilangan bulat. 2. Sulitnya memberikan penjelasan bagaimana melakukan operasi hitung pada bilangan bulat secara konkret maupun secara abstrak (tanpa menggunakan alat bantu) Untuk mengatasi hal ini, bacalah kembali uraian materi yang menyangkut bahasan operasi hitung bilangan bulat baik yang terdapat dalam madul ini, maupun dalam bahan pendukung. Di samping itu baca pula uraian materi yang menyangkut bahasan tentang penyampaian konsep operasi hitung tanpa alat bantu. Yang terpenting, Anda harus mempunyai keinginan untuk mencoba menggunakan alat peraga dengan prinsip yang benar dan ini harus Anda latih sendiri, serta harus banyak berbuat agar pembelajaran matematika menjadi pelajaran yang menarik dan tidak kering. Dan jangan lupa, kaitkan lah setiap soal yang Anda sampaikan dengan persoalan dalam kehidupan sehari-hari walaupun tidak semuanya dapat dilakukan. Latihan Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakan lah latihan berikut! 1) Jelaskan secara tepat, bagaimana memperagakan garis bilangan untuk menjelaskan bentuk operasi (- 6) - (- 8) dan (-5) - 4! 2) Jelaskan secara tepat, bagaimana memperagakan alat peraga manik - manik untuk menjelas4an bentuk operasi 4 - 7 dan (-S) + 8! 3) Apa yang dapat Anda simpulkan tentang gerakan model pada garis bilangan dalam kaitannya dengan gerakan anak panah pada garis bilangan?

29

4) Seorang guru sedang menjelaskan cara penggunaan garis bilangan untuk mengerjakan operasi hitung 6 - (-5) dan 5 - 9 dengan hasil peragaan nya sebagai Berikut: Menurut Anda apakah peragaan tersebut sudah sesuai dengan prinsip penggunaan garis bilangan yang dikemukakan dalam modul ini? Jelaskan! 5) Seorang guru sedang memberikan beberapa contoh soal dengan menggunakan garis bilangan untuk beberapa soal berikut: 1. 4 4 = 0 4. 4 -1 =... 2. 4 3 =1 5. 4 0 =... 3. 4 2 =2 6. 4-(-1) =... 7. 4 - ( - 2)... 8. 4 - (- 3)... 9. 4 - (- 4)=...

Untuk nomor 4 sampai 9 diperintahkan nya 6 orang siswa untuk melanjutkan pengisiannya. Setelah itu diperintahkan pula beberapa siswa lainnya untuk menyelesaikan soal-soal berikutnya tanpa alat bantu. 10. 4 + 1 =... 11. 4 + 2 =... 12. 4 + 3 =... Menurut Anda, konsep apakah yang hendak ditekankan oleh guru tersebut. dan dalam tahap yang mana sebaiknya. konsep tersebut diperkenalkan kepada siswa? 6) Kajilah beberapa buku pelajaran matematika SD (khusus yang membicarakan pokok bahasan bilangan bulat) di sekitar lingkungan Anda mengajar. Identifikasilah bentuk-bentuk penyampaian konsep yang kurang tepat. Kemudian diskusikan lah bersama teman-teman sejawat Anda, bagaimana seharusnya penyampaian konsep yang Anda anggap salah tersebut. 7) Sifat-sifat apa saja yang berlaku pada operasi pengurangan bilangan bulat? 8) Selidikilah, sifat-sifat apa saja yang berlaku pada himpunan A = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3} terhadap operasi penjumlahan?

Petunjuk Jawaban Latihan Untuk mengetahui benar atau tidaknya jawaban yang Anda buat, gunakanlah rambu-rambu (petunjuk) jawaban berikut sebagai salah satu solusinya.

30

1) Untuk bentuk operasi (-b) - (-8), dari skala 0 langkahkanlah model ke arah bilangan negatif di skala -b, kemudian langkahkanlah mundur sebanyak 8 langkah dengan muka model menghadap ke bilangan negatif (mengapa?) Lalu, pada skala berapa model tersebut berhenti. 2) Untuk bentuk operasi (-5) - 4, dari skala 0 langkahkan model ke arah bilangan negatif dan berhenti di skala -5. Kemudian, langkahkanlah mundur model tersebut sebanyak 4 langkah dengan muka model menghadap ke bilangan positif (mengapa?). Dan perhatikanlah pada skala berapa model tersebut berhenti. Untuk bentuk operasi 4 - 7, letakkan lah empat buah manik-manik yang bertanda positif ke dalam papan peragaan. Kemudian, letakkan pula 3 buah manik-manik yang bertanda positif dan negatif dengan posisi dihimpitkan sehingga menjadi lingkaran penuh. setelah itu, barulah kita ambil manikmanik yang bertanda positif sebanyak 7 buah. Sisa manik - manik yang tertinggal itulah hasil dari 4 - 7. Untuk bentuk operasi (-5) + 8, letakkanlah 5 buah manik-manik yang bertanda negatif ke dalam papan peragaan. Kemudian, letakkan pula 8 buah manik-manik yang bertanda positif. Setelah itu, lakukanlah pemetaan antara manik-manik yang bertanda negatif dan positif sehingga menjadi lingkaran penuh. Tentunya ada beberapa manik-manik dengan tanda positif yang tidak mempunyai pasangan. Manik-manik yang tidak mempunyai pasangan itulah merupakan hasil dari (-5) + 8. 3) Kalau kita melakukan peragaan menggunakan balok garis bilangan, maka gerakan model yang terjadi sama halnya dengan gerakan anak panah pada garis bilangan. Untuk lebih jelasnya, cobalah Anda gambarkan gerakan-gerakan model untuk operasi hitung tertentu, kemudian hapuslah gambar modelnya. Maka gambar yang terjadi merupakan gambar arah-arah anak panah seperti pada peragaan garis bilangan. 4) Berdasarkan prinsip penggunaan garis bilangan, ada langkah-langkah yang salah pada kedua garis bilangan tersebut yaitu kurang tepatnya

31

memperagakan gerakan anak panah untuk bilangan-bilangan keduanya. Coba Anda perbaiki kesalahan langkah anak panah tersebut. 5) Yang ditekankan adalah konsep a - b = a + (-b) atau a - (-b) = a + b. Dan sebaiknya konsep ini diperkenalkan di akhir tahap pengenalan konsep secara semi konkret atau semi abstrak. 6) Umumnya banyak kesalahan dalam penyampaian konsep pengertian bilangan bulat, penggunaan garis bilangan, atau pengenalan istilah lawan. 7) Sifat yang berlaku pada pengurangan bilangan bulat hanya sifat ketertutupan. 8) Untuk menyelidikinya, lengkapilah tabel yang ada di halaman berikut: + -3 -2 -1 0 1 2 3 kemudian kajilah seperti npda waktu membahas sifat sifat penjumlahan pada bilangan bulat. Kalau hasil kajian anda benar, maka ada beberapa sifat yang tidak memenuhi syarat. Silakan anda sendiri yang menyebutkannya. E. Rangkuman 1. Untuk menyampaikan pengertian bilangan bulat, sebaiknya diawali dengan penyampaian kasus kasus dalam operasi hitung pada bilangan asli, agar anak dapat mengerti kenapa harus ada bilangan bulat. 2. Dalam menyampaikan konsep operasi hitung bilangan bulat, sebaiknya dilakukan dalam 3 tahap, yaitu: tahap pertama : Tahap pengenalan konsep secara konkrit. -3 -2 -1 0 1 2 3

32

Tahap kedua semi abstrak Tahap ketiga

: Tahap pengenalan konsep secara semi konkrit atau : tahap pengenalan konsep secara abstrak

3. Pada pengenalan konsep secara konkrit sebaiknya diperkenalkan melalui alat peraga, seperti balok garis bilangan dan manik manik. Ataupun alat peraga lan selama prinsip kerjanya dapat dipertanggung jawabkan kebenarannya. 4. Pada tahap pengenalan konsep secara semi konkrit atau semi abstrak dapat mempergunakan garis bilangan. 5. Sedangkan pada tahap pengenalan konsep secara abstrak dapat dilakukan dengan memberikan contoh contoh soal yang berpola atau mempunyai keistimewaan keistimewaan. 6. Pada penjumlahan bilangan bulat berlaku sifat-sifat: a. b. c. d. e. Tertutup. Komutatif. Asosiatif, Adanya unsur identitas penjumlahan (bilangan 0). Adanya unsur invers aditif (linear).

Sedangkan pada pengurangan nya hanya berlaku sifat yang pertama, yaitu sifat tertutup. 7. Untuk menghindarkan salah penafsiran hendaknya dibedakan bentuk penulisan tanda - sebagai operasi hitung dan sebagai jenis bilangan. 8. Masih cukup banyak ragam permasalahan dalam pembelajaran bilangan bulat, seperti: a. Penggunaan alat peraga atau garis bilangan yang menyimpang dari prinsip kerjanya. b. Salah penafsiran bentuk a + (-b) sebagai a - b atau a - (-b) sebagai a+b. c. Masih banyak para guru dan siswa yang tidak dapat membedakan antara tanda + / - sebagai operasi hitung dengan tanda + / - sebagai bilangan.negatif d. Kurang tepatnya-memberikan pengertian bilangan bulat.

33

e. Sulitnya memberikan penjelasan bagaimana melakukan operasi hitung pada bilangan bulat secara konkret maupun secara abstrak. F.Tes Formatif Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! 1. Bentuk-bentuk kalimat matematika nerikut yang dapat dijadikan sebagai awal pembahasan bilangan bulat adalah ....... A. 15 - 7 = . B. . + 8 = 5 C. 13 + = 17 D. 20 + 5 = 2. Ali dibelikan 6 kelereng berwarna putih (menyatakan bilangan bulat positif), kemudian dibelikan lagi 2 kelereng berwarna hitam (menyatakan bilangan bulat negatif). Kemudian digabung dan dipasangkan..Pernyataan tersebut menyatakan . A. 6 + (-2) B. 6 + C. 6 D. -6 + 3. 2 2 2

Peragaan pengerjaan hitung bilangan bulat di atas menyatakan pengerjaan A. 7 + 2 B. 7 + (-2) C. 9 - 2 D. 5 - (-2) 4. Pernyataan di bawah ini benar, kecuali...

34

A. 110 - (- 23) = 133 B. D. 110 + 23 = - 133 23 + ( -23 ) = 0 C. 0 - ( -23) = 23 5. Peragaan pada garis bilangan di bawah ini menyatakan pengerjaan hitung

0 A. 6 - 4

1

2

3

4

5

6

7

B. 6 - (-2) C. 6 + (-2) D. 6 + (-4) 6. Penggunaan dua buah mistar hitung untuk melakukan operasi hitung bilangan bulat lebih dapat digunakan untuk mengenalkan konsep secara .... A. konkret B. semi konkret C. semi abstrak D. abstrak 7. Bentuk operasi hitung 20 - (-15) sama artinya dengan bentuk operasi hitung.... A. 20 - 15 B. (-15) + 20 C. 20 - (-15) D. (-20) + 15 8. Pada operasi pengurangan bilangan-bilangan bulat tidak berlaku sifat sifat berikut, kecuali.... A. komutatif B. asosiatif C. tertutup

35

D. ada unsur inversinya 9. Seekor burung terbang ke utara dengan kecepatan 10 m/detik. Dari utara tertiup angin dengan kecepatan 11 m/detik, maka besarnya kecepatan burung tersebut ke arah utara adalah.... A. 1 m/detik B. -1 m/detik C. -21 m/detik D. 21 m/detik 10. Masih terkait soal nomor 9, bentuk operasi untuk menyatakan kecepatan burung ke arah utara tersebut adalah.... A. (11 - 10) m /detik B. (-11 -10) m /detik C. (10 - (-11)) m /detik D. (10 + (-11)) m /detik Kerjakan 1. Gambarlah penjumlahan 5 + ( 3) dengan menggunakan kartu 2 warna yang berbeda: (hitam dan putih) 2. Gambarlah perkalian 5 3 dengan menggunakan garis bilangan

36

BAB III KEGIATAN BELAJAR 2 PEMBELAJARAN PERKALIAN DAN PEMBAGIAN BILANGAN BULAT SERTA PERMASALAHANNYA

A.

Kompetensi dan Indikator Kompetensi: Mengalikan bilangan bulat Membagi bilangan bulat Mampu melakukan perkalian dua bilangan bulat positif Mampu melakukan perkalian bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat positif Mampu melakukan perkalian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif Mampu melakukan perkalian dua bilangan bulat negatif Mampu melakukan pembagian dua bilangan bulat positif Mampu melakukan pembagian bilangan negatif dengan bilangan positif Mampu melakukan pembagian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif Mampu melakukan pembagian dua bilangan bulat negatif

Indikator

B.

Uraian Materi Materi yang akan dibahas dalam Kegiatan Belajar 2 ini dapat dikatakan sebagai materi pengayaan. Namun hal ini perlu Anda pelajari pu1a dengan sungguh-sungguh. Di samping sebagai materi tambahan, juga berguna untuk memperluas wawasan pengetahuan Anda, sehingga Anda sendiri nantinya punya cukup bekal untuk menyampaikan pengetahuan ini kepada siswa agar tidak terjadi penyampaian konsep yang tidak pada tempatnya. Seperti halnya pada waktu membahas operasi penjumlahan dan pengurangan, maka untuk mengenalkan konsep operasi hitung perkalian dan pembagian pada sistem bilangan bulat juga dilakukan melalui 3 tahap, yaitu:

tahap pengenalan konsep secara konkret, tahap pengenalan konsep secara semi konkret dan tahap pengenalan konsep secara abstrak. Selanjutnya karena materi yang ada pada kegiatan belajar ini sifatnya pengayaan, maka pembahasannya diarahkan ke dalam tahap yang ketiga, sedangkan untuk tahap pertama dan tahap kedua dapat Anda pelajari, pada bahan pendukung. Namun, agar materi yang Anda pelajari ini dapat diterima secara berkesinambungan sebelum melanjutkan pembahasan materi yang ada dalam bahan ajar ini, ada baiknya Anda pelajari terlebih dahulu bahasan materi yang ada dalam bahan pendukung. C. Operasi hitung perkalian bilangan bulat (Pengenalan konsep secara konkret). Sebelum membahas perkalian bilangan bulat, cobalah Anda kaji kembali pengertian tentang perkalian bilangan Asli dan Cacah, dan sifat-sifat yang berlaku pada perkalian bilangan Asli dan Cacah yang mungkin pernah Anda ajarkan kepada siswa Anda di SD kelas rendah. Pada operasi perkalian bilangan cacah, telah diketahui bahwa 3 x 4 (yang dibaca tiga kali empat) diartikan sebagai 4 + 4 + 4 sedangkan 4 x 3 (yang dibaca empat kali tiga) diartikan sebagai 3 + 3 + 3 + 3. Dari uraian yang singkat ini, dapat kita tekankan bahwa sebenarnya perkalian pada suatu bilangan dapat diartikan sebagai penjumlahan berulang. Berarti, untuk mencari hasil dari a x b sama halnya dengan cara menunjukkan penjumlahan b + b + b + ... + b sebanyak a kali. Berpedoman pada prinsip tersebut, maka dapatlah diperlihatkan bentuk - bentuk peragaan perkalian bilangan-bilangan bulat menggunakan garis bilangan dengan berbagai kemungkinannya, yaitu: 1. a. Jika a x b dengan a > 0 dan b > 0, maka prinsip kerja yang Pasang model (mobil) pada skala 0 dan menghadap ke kanan harus dijalankan adalah: (bilangan positif).

38

b. c.

Langkahkan model (mobil) maju sebanyak a langkah, dan setiap Kedudukan akhir model menunjukkan hasil perkaliannya

langkah sebanyak b skala Langkah Peragaan: Contoh 1: 3 x 2 = ... ?

0.. 2

1

2

3

4

5

6

7

Arah mobil menghadap ke kanan dan gerakannya maju 3 kali, tiap gerakan 2 satuan. 2. Jika a x b dengan a > 0 dan b < 0, maka prinsip kerja yang a. Pasang model pada skala 0 dan menghadap ke bilangan negatif. b. Langkahkan model mundur sebanyak a langkah, dan setiap langkah sebanyak b satuan. c. Kedudukan akhir model menunjukkan hasil perkaliannya. Contoh 2: 3 x (-2) = ?

harus dijalankan adalah:

-6+ -4 -3 -2 -5 .. 2 Arah mobil menghadap ke kanan dan

-1

0

gerakannya mundur 3 kali, tiap gerakan 2 satuan. 2. Jika a x b dengan a < 0 dan b > 0, maka prinsip kerja yang harus dijalankan adalah: a. Pasang model pada skala 0 dan menghadap ke bilangan negatif b. Langkahkan model maju sebanyak a langkah, dan setiap langkah sebanyak b satuan c. Kedudukan akhir model menunjukkan hasil perkaliannya

39

Contoh 3: - 3 x 2 =

-61

7 + ..Arah mobil menghadap ke kiri dan gerakannya 2 maju 3 kali, tiap gerakan 2 satuan.

-5

-4

-3

-2

-1

0

3. Jika a x b dengan a < O dan b < 0, maka prinsip kerja yang harus dijalankan adalah: a. Pasang model pada skala 0 dan menghadap ke bilangan negatif. b. Langkahkan model mundur sebanyak a langkah, dan setiap langkah sebanyak b satuan c. Kedudukan akhir model menunjukkan hasil perkaliannya. Contoh: -3 x (-2) = ...

02 5 1 2 3 4 5 1 7 + Arah mobil menghadap ke kiri dan gerakannya . .2 1. Perkalian mundur 3 Bulattiap gerakan 2 satuan. Bulat Positif Bilangan kali, Positif dengan Bilangan Menggunakan Pola Bilangan Mengalikan bilangan bulat positif dengan bilangan bulat positif caranya sama seperti: pada waktu melakukan perkalian pada bilangan - bilangan Asli dan Cacah sebagai berikut: a. b. c. 3x4=4+4+4=12. 4x3=3+3+3+3 =12. 3 x 7 = 7 + 7 + 7 = 21.

6

7

40

Dari contoh tersebut, dapatlah disimpulkan bahwa: Hasil kali dua buah bilangan bulat positif adalah bilangan bulat positif. 2. Perkalian Bilangan Bulat Positif dengan Bilangan Bulat Negatif Pada subbahasan di atas telah dijelaskan bahwa 3 x 4 sama artinya dengan penjumlahan berulang terhadap bilangan 4 sebanyak 3 kali, atau 3 x 4 = 4 + 4 + 4 = 1 2 . Selanjutnya dengan menggunakan pengertian tersebut, cobalah Anda kerjakan soal-soal perkalian berikut: 3 x ( - 4 ) ; 4 x ( - 3 ) ; dan 2 x ( - 8 ) . Silakan! Kemudian bandingkan lah jawaban Anda dengan keterangan berikut: a . 3 x ( - 4 ) sama artinya dengan (-4) + ( - 4 ) + ( - 4 ) = - 1 2 , jadi: 3 x ( - 4 ) = - 1 2 . b . 4 x ( - 3 ) sama artinya dengan (-3) + (-3) + (-3) + (-3) = -11, jadi 4 x ( - 3 ) = - 1 2 . c. 2 x ( - 8 ) sama artinya dengan (-8) + (-8) = -16, jadi 2 x ( - 8 ) = - 1 6 . Dari keterangan serta penjabaran contoh di atas, memberi petunjuk kepada kita bahwa "hasil kali bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat negatif'. 3. Perkalian Bilangan Bulat Negatif dengan Bilangan Bulat Positif Pada sub bahasan ini masih akan membicarakan perkalian antara bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif, tetapi dengan penempatan yang berbeda. Artinya kita akan mencari tahu bagaimanakah cara menghitung soal seperti: (- 4) x 2 ; ( - 5 ) x 2 ; ( - 6 ) x 2 , dan seterusnya dengan posisi bilangan negatif letaknya pada bilangan pertama. Tentunya proses pengerjaannya tidak dapat dilakukan menggunakan prinsip penjumlahan berulang seperti contoh di atas. Lalu, bagaimana caranya? Pandang bentuk perkalian - perkalian berikut:

41

4 x 2 = 8 3 x 2 = 6 2 x 2 = 1 x 2 = 4 2

-2 (berkurang 2) -2 -2 -2 -2

0 x 2 = 0 -1 x 2 = ... -2 x 2 = ... -3 x 2 = ... -4 x 2 = ....

Simpulan: Hasilkali bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat positif bulat .... ?

Amati hasilnya, perhatikan polanya, dengan pola tersebut jawablah pertanyaan apa yang dapat kamu adalah simpulkan bilangan

Untuk dapat melengkapi hasil perkalian di atas, amati dan kajilah keterangan berikut: Perhatikan perkalian-perkalian pada contoh di atas. Dalam kelompok tersebut terlihat bahwa dari urutan teratas sampai urutan di bawahnya, bilangan pengali selalu "berkurang 1" (dari 4 ke 3 berkurang l, dari 3 ke 2 berkurang 1, dan seterusnya). Sedangkan bilangan yang dikalinya tetap, yaitu 2. Hasil-hasil perkalian dari urutan yang teratas ke urutan berikutnya selalu "berkurang 2" (dari 8 ke 6 berkurang 2, dari 6 ke 4 berkurang 2, dan seterusnya). Dengan memperhatikan pola atau aturan yang terlihat dari perkalian di atas, maka dapatlah kita tentukan hasil kali bilangan-bilangan yang ada di bawah garis putusputus, yaitu: (-1) x 2 = (-2) (-2) x 2 = (-4) (-3) x 2 = (-6) di dapat dari hasil kali bilangan di atasnya, yaitu 0, dikurang 2 di dapat dari hasil kali bilangan di atasnya, yaitu (- 2), dikurang 2. di dapat dari hasil kali bilangan di atasnya, yaitu (- 4), dikurang 2

42

(- 4) x 2 = (-8)

di dapat dari hasil kali bilangan di atasnya, yaitu (-6), dikurang 2.

Dan jika perkalian ini diteruskan, maka akan selalu menghasilkan bilangan bulat negatif. Dari pola-pola di atas maka kita dapat menarik suatu kesimpulan, yaitu: "hasil kali bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat positif adalah bilangan bulat negatif'. Selanjutnya kita dapat menyelesaikan soal-soal seperti: 1. 2. 3. 4. (-4) x 6 = -24. (-5) x 7 = -35. (-3) x 9 = -27. (-2) x 8 = -16.

4. Perkalian Bilangan Bulat Negatif dengan Bilangan Bulat Negatif Pada subbahasan ini kita akan membahas bagaimana menentukan proses penyelesaian soal-soal seperti -1 x (-2), -2 x (-2), seterusnya. Gunakan pola-pola perkalian seperti pola di atas: 4 x (-2) = -8 3 x (-2 ) = -6 2 x (-2 ) = -4 -3 x (-2) dan

Amati hasilnya, 0 x (-2) = 0 perhatikan -1 x (-2) = ... polanya, dengan -2 x (-2) = ... pola tersebut -3 x (-2) = ... jawablah Simpulan: pertanyaan apa Hasilkali bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat ....? positif yang dapat kamu simpulkan1 x (-2) = -2 Dari pola-pola tersebut apa yang dapat Anda simpulkan? Ya, kesimpulan yang dapat diperoleh adalah: "hasil kali dua buah bilangan bulat negatif merupakan

43

bilangan bulat positif'. Dengan demikian kita dapat menyelesaikan soal-soal seperti: 1. (-7) x (-3) = 21 2. (-4) x (-5) = 20 3. (-9) x (-6) = 54 4. (-8) x (-7) = 56 5. (-6) x (-5) = 30 6. (-15) x (-20) = 300

Lengkaplah semua perkalian yang mungkin pada bilangan-bilangan bulat, sehingga dengan mudah kita dapat menghitung hasil kali sebarang dua buah bilangan bulat. Selanjutnya dapat disimpulkan bahwa: (bilangan bulat positif x (bilangan bulat positif) = (bilangan bulat positif). (bilangan bulat positif x (bilangan bulat negatif) = (bilangan bulat negatif). (bilangan bulat negatif) x (bilangan bulat positif) = (bilangan bulat negatif). (bilangan bulat negatif) x (bilangan bulat negatif) = (bilangan bulat positif). D. Operasi Pembagian Pada Bilangan Bulat Operasi pembagian pada dasarnya sama dengan mencari faktor (bilangan) yang belum diketahui. Karenanya bentuk pembagian dapat dipandang sebagai bentuk operasi perkalian dengan salah satu faktor nya belum diketahui. Sebagai contoh, kalau dalam perkalian 3 x 4 = n, maka tentu nilai n = 12. Dalam pembagian hal tersebut dapat dinyatakan dengan bentuk 12 : 3 = n atau 12 : 4 = n. Dari bentuk ini, bagaima7akah proses mencari nilai n-nya? Seperti halnya pada operasi hitung penjumlahan, pengurangan, dan perkalian, maka pada operasi hitung pembagian pada bilangan bulat pada tahap "pengenalan konsep secara konkret juga dapat di dekati dengan menggunakan alat peraga balok garis bilangan. Selanjutnya, untuk memperagakan hasil pembagian bilangan bulat dengan menggunakan balok garis bilangan ini, prinsip kerja yang harus diperhatikan adalah: Untuk menuju bilangan yang akan dibagi (misal a), dengan skala sebesar bilangan pembaginya (misal b), berapa langkahkah kita dapat menjalankan model, baik maju maupun mundur agar dapat sampai ke bilangan a. Posisi awal model tergantung pada bilangan pembaginya. Bila bilangan pembaginya merupakan bilangan positif (b > 0), maka posisi awal model. menghadap ke bilangan positif. Sebaliknya, bila bilangan pembaginya merupakan bilangan negatif (b < 0), maka posisi awal model menghadap ke bilangan negatif.

44

Bilangan yang merupakan hasil pembaginya ditentukan dari jumlah langkah, sedangkan jenis bilangannya ditentukan oleh gerakan maju atau mundurnya model. Bila model bergerak maju dengan jumlah langkah tertentu, maka hasil baginya merupakan bilangan positif yang besarnya sesuai dengan jumlah langkah yang terjadi. Selanjutnya, bila model bergerak mundur dengan jumlah langkah tertentu, maka hasil baginya merupakan bilangan negatif yang besarnya sesuai dengan langkah yang terjadi. Untuk lebih jelasnya, perhatikan peragaan beberapa contoh berikut. Sementara itu, untuk kelancaran memahami proses kerja alat ini, banyak - banyaklah berlatih dengan contoh-contoh yang Anda buat sendiri. 1. 2. . . Dari soalnya diketahui b > 0, berarti posisi awal model menghadap Untuk sampai ke bilangan -6 model bergerak mundur sebanyak 3 masing-masing langkah sebanyak 2 skala (bilangan a. - 6 : 2 =....?

ke bilangan positif pada skala 0. langkah dengan pembaginya 2). 3. Hasil dari 6 : 2 = -3 (diperlihatkan oleh mundurnya model sebanyak 3 langkah). b. 6 : -2 = ....? 1. 2. Dari soalnya diketahui b < 0, bernrti posisi awal model Untuk sampai ke bilangan -6 model bergerak maju sebanyak 3 langkah dengan masing-masing langkah sebanyak 2 skala (bilangan 3. sebanyak 3 langkah). Selanjutnya, dalam tahap pengenalan konsep secara semi konkret, seperti halnya pada operasi-operasi sebelumnya maka pada operasi pembagian pun prosesnya diarahkan kepada bagaimana menggunakan garis bilangan". pembaginya -2). Hasil dari -6 : -2 = 3 (diperlihatkan oleh majunya model menghadap ke bilangan negatif pada skala 0.

45

Demikian uraian singkat bagaimana seharusnya menanamkan konsep operasi hitung pembagian bilangan bulat dalam tahap konkret dan semi konkret. Selanjutnya, uraian berikut akan dipaparkan bagaimana seharusnya kita menanamkan konsep operasi hitung pembagian pada bilangan bulat secara semi abstrak atau abstrak. Coba Anda perhatikanlah bentuk-bentuk perkalian berikut: perkalian tersebut. Untuk mencari nilai a, sama artinya dengan mencari jawab pertanyaan berikut: 1) Bilangan manakah yang jika dikalikan dengan 3 menghasilkan 15, atau 2) Berapakah nilai 15: 3? Dua pertanyaan di atas, tentunya menghasilkan bilangan yang sama. Jadi bila dalam pertanyaan pertama sudah pasti bilangan yang dimaksud 5, berarti pula nilai dari 15 : 3 = 5 p a = S. Bagaimana dengan nilai b dan c? Uraian di atas memberikan petunjuk kepada kita bahwa membagi 15 dengan 3 sama artinya dengan mencari bilangan yang harus dikalikan 3 untuk memperoleh 15. Dengan demikian dapat lah dikatakan bahwa pembagian merupakan operasi kebalikan dari perkalian. Jadi, 15: 3 = 5 3 x 5 =15. Berarti 12: 4 = n 4 x n = 12 dan 12: 3= n 3 x n = 12 Dari bentuk 4 x n = 12 didapat n = 3, sehingga 12 : 4 = 3 sedangkan dari bentuk 3 x n = 12 didapat n = 4, sehingga 12 : 3 = 4. Hitunglah pembagian bilangan-bilangan bulat berikut: a. 40: (-8) =... b. (-48):6 =... Penyelesaian a. 40: (-8) = -5, sebab (-5) x (-8) = 40 c. (-72): (-9) = d 45:5 =... 3 x a =15. 4 x b = I2. 7 x c = 28.

Yang menjadi pertanyaannya adalah, berapakah nilai a, b, c dari perkalian-

46

b. (-48): 6-= -8, d. 45: 5 = 9, Rangkuman

sebab (-8) x b = - 48 sebab 9 x 5 = 45

c. (-72): (-9) = 8, sebab 8 x (-9) = -72 E.

Jika hasil penyederhanaan anda benar maka diperoleh bentuk x5. 1. Operasi perkalian bilangan-bilangan bulat pada dasarnya merupakan operasi penjumlahan yang dilakukan secara berulang. 2. Dalam perkalian bilangan bulat berlaku: (bilangan bulat positif) x (bilangan bulat positif) = (bilangan bulat positif). (bilangan bulat positif) x (bilangan bulat negatif) = (bilangan bulat negatif). (bilangan bulat negatif) x (bilangan bulat positif) = (bilangan bulat negatif). (bilangan bulat negatif) x (bilangan bulat negatif) = (bilangan bulat positif). 3. Operasi pembagian pada dasarnya adalah proses perkalian faktor yang belum diketahui dari suatu perkalian. 4. Dalam pembagian bilangan bulat berlaku: (bilangan bulat positif) : (bilangan bulat positif) = (bilangan bulat positif). (bilangan bulat positif) : (bilangan bulat negatif) = (bilangan bulat negatif). (bilangan bulat negatif) : (bilangan bulat positif) = (bilangan bulat negatif) (bilangan bulat negatif) : (bilangan bulat negatif) = (bilangan bulat positif). F. Tes Formatif 2 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! 1. -7 25 1 7 + A. 2 x (-3) .. 2 B. -2 x 3 C. D. 2 x 3 -2 x (-3) Peragaan pada garis bilangan di bawah ini menyatakan pengerjaan hitung

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

47

2. -7 25 1 7 + A. 2 x (-3) .. 2 B. -2 x 3 C. D. 3. A. B. C. D. 4. A. B. C. D. 5. A. B. C. D. 6. 2 - ( -2 ) = 0 2 - ( -2 ) = 4 0 : 2 = 0 2 : (-2) = -1 2 + ( -2 ) = 0 2 x ( -2 ) = -4 0 2 = 2 0 x (-2) = 0 2 x 3 -2 x (-3)

Peragaan

pada garis bilangan di bawah ini

menyatakan pengerjaan hitung

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

Pernyataan di bawah ini benar, kecuali...

Pernyataan di bawah ini benar, kecuali...

Pernyataan di bawah ini benar, kecuali... - 100 - ( -100 ) = 0 - 100 + (100) = 0 - 100 : 100 - 100 : -100 = -1 = -1 Bila model yang dipasang pada skala 0 dan

menghadap ke bilangan negatif, kemudian dilangkahkan mundur 3 kali dengan setiap langkah 4 skala, maka peragaan ini menunjukkan operasi hitung... A. (-3) x (-4)

48

B. C. D. 7.

3x(-4) (-4)x(-3) (-4)x3 Bila operasi * pada bilangan bulat didefinisikan

sebagai a * b = a+b-7 maka nilai x sehingga untuk setiap bilangan bulat a berlaku x * a = a adalah... -7 0 7 14 8. kecuali... A. (8x90) + (8x5) B. (8x100) (8x5) C. (8x100) + (8x5) D. (10x95)-(2x95) Bentuk perkalian 8x 45 dapat ditulis seperti berikut,

9. A. (14x20)+ (14x1) B. (14x20)+(14x(-1) C. (10x19)+(4x9) D. (10x19)-(4x19) 10.

Bentuk perkalian 14 x 15 dapat dinyatakan sebagai ...

Suatu persegi panjang diketahui panjangnya (2x-3)

cm dan lebarnya (x+1) cm. Bila K adalah keliling persegi panjang tersebut, maka bentuk formula dari keliling tersebut adalah... A. K = 4x+6 B. K = 6x+4

49

C. K = 6x-4 D. K =4x-6 Kerjakan 1. Buktikan bahwa perkalian pendekatan pola bilangan 2. Gambarlah perkalian - 3 x 2 dengan menggunakan garis bilangan 5 X ( 3) = - 15 dengan menggunakan

50

BAB IV KEGIATAN BELAJAR 3 PEMBELAJARAN BILANGAN PECAHAN DAN PERMASALAHANNYA A. Kompetensi dan Indikator Kompetensi: Mengenal bilangan pecahan sederhana Menjumlah dan mengurang bilangan pecahan Mengalikan dan membagi bilangan pecahan Indikator Mampu mengenal pecahan biasa Mampu menjumlahkan dan mengurangkan bilangan oecahan Mampu mengalikan dan membagi bilangan pecahan

B. Materi 1. Pengalaman anak tentang pecahan Anak-anak sudah sejak kecil mengalami arti pecahan dalam kehidupan sehari-hari. Banyak anak dalam keluarga mereka masing-masing tidak mendapat satu telur asin, melainkan hanya separuh saja. Betapa orang tua sukar untuk membagi telur atau mangga atau kue mejadi dua atau tiga atau empat bagian yang betul-betul dapat memuaskan masing-masing anak. Membagi satu telur asin, atau satupisang goreng atau satu semangka menjadi beberapa bagian bukan pekerjaan yang asing lagi; sehingga anak tahu apa yang disebut separuh (setengah), sepertiga, seperempat dan lain-lain. Peristiwa demikian di dalam rumah merupakan pengalaman-pengalaman tentang pecahan bagi anak-anak. Demikian juga anak-anak kerapkali dihadapkan kepada situasi di mana mereka harus membagi 8 kelereng (duku) diantara beberapa anak.

Contoh:

51

Banyaknya kelereng berwarna merah ada 3 buah. Banyaknya kelereng berwarna kuning ada 5 buah. Perbandingan antara kelereng berwarna merah dengan kelereng berwarna kuning ada 3 : 5 atau 3 . 5

2. Menanamkan pengertian tentang pecahan Tahap pertama (menggunakan benda konkret) Sekalipun anak-anak sudah ada pengertian tentang pecahan berdasarkan pengalaman-pengalaman diluar sekolah, anak anak masih memerlukan banyak pengalaman lagi agar supaya mereka dapat memahami arti pecahan. Untuk keperluan itu guru membawa beberapa jenis kue (apem, cucur), buah-buahan ( apel, pisang, semangka), makanan ( tahu, tempe) ke sekolah. Guru memperagakan bagaimana membagi apel menjadi 2 bagian yang sama besar. Kemudian guru bertanya Berapa bagian kita dapat? Anak-anak : dua bagian Guru : Berapa besar tiap bagian? Anak-anak: separuh; setengah; seperdua. Kata-kata ini tidak asing bagi anak karena sudah banyak mereka dengar dan alami dalam kehidupan sehari-hari. Pekerjaan ini kemudian dilanjutkan oleh guru untuk membagi semangka menjadi 4 bagian yang sama besar. Tiap bagian disebut seperempat. Tahap kedua Dari kue dan buah-buahan, kita berpindah kepada alat alat pengajaran (alat peraga) yang lain. Kali ini menggunakan kertas. Supaya seluruh anak ikut aktif, hendaknya kepada tiap-tiap anak diberikan sehelai kertas dan sebuah gunting.

52

Guru: Lipatlah kertasmu menjadi 2 bagian yang sama besarnya (lipatannya tepat saling menutupi satu sama lain). Anak-anak melipat dengan berbagai cara: Mintalah kepada setiap siswa untuk menyediakan lembaran-lembaran kertas. Masing-masing anak diminta mengambil kertasnya satu lembar dan melipatnya sesuai dengan keinginan masing-masing sehingga lipatan yang satu dapat menutup lipatan yang lain, kemudian menggunting tepi lipatan dan terjadi lepatan kertas yang mempunyai dua lipatan yang tepat dapat saling menutup. Beberapa bentuk guntingan mungkin sebagai berikut.

Gambar 4.1. Beri kesempatan kepada mereka untuk membuka dan menutup lipatan kertas masing-masing sampai mereka merasakan bahwa satu lembaran kertas mempunyai dua lipatan yang sama, yaitu lipatan yang satu tepat menutup lipatan yang lain. Katakan kepada mereka 1 lipatan dari 2 lipatan yang sama disebut setengah, atau seperdua, ditulis dengan lambang pecahan 1 . 2

Mintalah setiap siswa untuk melipat kembali satu kali kertasnya, dengan jalan melipat garis lipatan sehingga tepat berhimpitan. Kemudian mintalah mereka memotong tepi lembaran kertas yang bukan lipatan. Beberapa bentuk lipatan antara lain adalah:

Gambar 4.2.

53

Beri kesempatan kepada mereka untuk membuka dan menutup lipatan kertas masing-masing sampai mereka merasakan bahwa satu lembaran kertas mempunyai empat lipatan yang sama, yaitu lipatan yang satu dan yang lain tepat bisa saling menutup. Katakan kepada mereka pengertian atau makna seperempat, duaperempat, tigaperempat, dan empatperempat.

Peragaan tersebut di atas dapat dilanjutkan untuk pecahan gambar di bawah ini:

1 1 1 1 , , dan seperti 4 8 3 6

1 3

Pada pecahan penyebut.

1 , angka 1 disebut pembilang, sedangkan angka 4 disebut 4

Apabila kita menggunakan pita atau tongkat yang dipotong dengan pendekatan pengukuran panjang, maka kita dapat pula mengenalkan letak pecahan pada garis bilangan. Pita dipotong menjadi 2 sama panjang untuk memperagakan pecahan 1 2

1 2

00

1 2

1

54

Pengenalan letak pecahan pada garis bilangan tersebut sangat bermanfaat untuk mencari pecahan yang senilai. Pecahan Senilai Pecahan senilai biasanya disebut juga pecahan yang ekuivalen. Untuk menentukan pecahan yang senilai dapat dilakukan dengan cara sebagai berikut. Peragaan dengan benda konkret Contoh: Kita akan menunjukkan bahwa 1 2 4 = = dengan menggunakan 3 lembar 2 4 8

kertas yang berbentuk persegi panjang yang konkruen. Anggap satu lembar kertas itu sebagai satu bagian utuh. Satu lembar kertas dilipat menjadi 2 bagian yang sama, sehingga bagian yang diarsir diperoleh 1 . Kemudian dilipat lagi 2 2 . 4

menjadi 4 bagian yang sama, sehingga bagian yang diarsir diperoleh

Kemudian dilipat lagi menjadi 8 bagian yang sama, sehingga bagian yang diarsir diperoleh 4 . Bila digambarkan lipatan-lipatan tersebut sebagai berikut: 8

1 lembar kertas yang ke-1 Dilipat menjadi 2 bagian yang sama

Y Yang di arsir 1 lembar kertas yang ke-2 Dari lipatan pertama dilipat lagi menjadi 2 bagian sama

Yang di arsir

1 lembar kertas yang ke-3 Dari lipatan yang kedua dilipat lagi menjadi 2 bagian yang sama 55 Yang diarsir

Dari gambar di atas jelas bahwa 4 8

1 2 4 1 2 senilai dengan dan atau = = 2 4 8 2 4

1. Peragaan dengan garis Bilangan Pecahan senilai dapat pula ditunjukkan dengan garis bilangan. Berikut ini ditunjukkan beberapa pecahan senilai dengan menggunakan garis bilangan.

0

1 21 3 2 3 3 4

1

0 0 1 4

1 1

2 4

56

0

1 61 8 2 8

2 6 3 8

3 6 4 8

4 6

5 6 6 87 8

1

0

5 8

1

Dengan menggunakan penggaris dapatlah diurutkan dari atas ke bawah dan ditemukan bahwa : 1 2 3 4 = = = 2 4 6 8 1 2 = 4 8 1 2 = 3 6 2 4 = 3 6 3 6 = 4 8 1 = 2 3 4 6 8 = = = = 2 3 4 6 8 .

Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa untuk mencari pecahan yang senilai dapat dilakukan dengan cara mengalikan atau membagi pembilang dan penyebutnya dengan bilangan yang sama, tapi tidak nol. 1 1x3 3 3 3:3 1 = = atau sebaliknya = = . 4 4 x3 12 12 12 : 3 4 a axc a:d = = b bxc b:d

Secara umum dapat ditulis

Pelu pula ditunjukkan kepada siswa bahwa pecahan senilai dapat pula dimanfaatkan untuk mempelajari topik/sub pokok bahasan antara lain : a. mengurutkan pecahan

57

b. penjumlahan dan pengurangan pecahan. Mengurutkan Pecahan dengan Membandingkan Mengurutkan pecahan dengan membandingkan dapat dilakukan bila penanaman konsep pecahan senilai dengan peragaan konkret pada bagian B dipahami oleh siswa. 1. Pembilangnya sama. Pecahan dengan pembilang yang sama, mudah untuk dibandingkan. Contoh. 3 3 dengan 7 8 Pada pecahan positip, bila pembilangnya sama, maka pecahan yang lebih dari adalah pecahan yang penyebutnya lebih kecil. Sedangkan pada pecahan negatip sebaliknya. 2. Penyebutnya sama. Pecahan yang penyebutnya sama mudah dibandingkan. Contoh. 3 5 dengan 7 7 Pada pecahan positip, bila penyebutnya sama, maka pecahan yang lebih dari adalah yang pembilangnya lebih dari yang lain. 3. Pembilang dan penyebutnya tidak sama. Untuk mengurutkan dua pecahan yang pembilang dan penyebutnya tidak sama dapat dilakukan sebagai berikut. a. Dengan menggunakan peragaan . Menggunakan lipatan pita, tali atau ruas garis. Contoh:

58

Kita menunjukkan mana yang lebih dari antara

2 3 dengan . Dengan 3 4

mengambil dua pita yang panjangnya sama. Yang satu dilipat menjadi 3 bagian yang sama, yang satu lagi dilipat menjadi 4 bagian yang sama. Selanjutnya dibandingkan, seperti gambar di bawah ini. 2 3 3 4 3 2 > . 4 3

Dari gambar tampak bahwa

b. Dengan menyamakan penyebutnya. Kita bandingkan 2 3 dengan , dengan cara menyamakan penyebutnya atau 3 4

menentukan pecahan senilainya lebih dahulu. 2 8 = 3 12 3 9 = 4 12 Apabila siswa sudah mengenal KPK, maka dapat ditunjukkan bahwa 12 adalah KPK dari penyebut 3 dan 4. Setelah penyebutnya sama kita bandingkan pembilangnya. Karena 9 > 8, maka 9 8 3 2 > jadi > . 12 12 4 3

Operasi pada Bilangan Pecahan 1. Penjumlahan Penjumlahan pecahan dapat diperagakan dengan model konkret (menggunakan kertas yang dilipat atau gambar) a. Penjumlahan pecahan yang penyebutnya sama.

59

Misal :

2 3 + = ... 6 6

1). Dengan gambar

2 3 5 + = 6 6 6

Penjumlahan yang berpenyebut sama dapat dilakukan dengan menjumlah pembilangnya, sedangkan penyebutnya tetap. Jadi 2 3 ( 2 + 3) 5 + = = 6 6 6 6

2). Dengan garis bilangan

0

1 6

2 6

3 6

4 6

5 6

1

2 3 5 + = 6 6 6 Mulai dari 0 (nol) 2 dan 6 3 5 menjadi 6 6 anak panah yang terakhir menunjukkan

melangkah ke kanan

dilanjutkan dengan hasilnya) Soal cerita:

2 meter. 3 1 Budi mempunyai tali yang panjangnya meter. 3 Jika kedua tali mereka disambung, berapa meter panjangnya? Ali mempunyai tali yang panjangnya Langkah pembelajaran: Guru membimbing siswa membaca dan mengartikan kalimat-kalimat dalam soal tersebut. Bila kalimat disederhanakan menjadi berikut:

60

2 meter 3 1 Tali Budi meter 3 Berapa meter tali mereka bila disambung? Tali Ali Menemukan apa yang 2 Diketahui : Tali Ali meter 3 1 Tali Budi meter 3 Ditanyakan: Tali mereka = ... meter Menemukan kata kunci yaitu disambung yang berarti tali bertambah panjang atau dijumlah. Soal disajikan dalam bentuk gambar:

disambung Langkah pengerjaan menjadi berikut: Tali mereka disambung : ( 2 1 3 + ) meter = meter = 1 meter 3 3 3

2. Pengurangan Pengurangan pecahan dapat diragakan dengan model konkret Misal: 3 1 = ... 5 5

1). Dengan menggunakan gambar (luasan)

3 1 2 = 5 5 5 Luas daerah yang diarsir semula adalah 3 1 2 diambil (arsiran lain) menjadi . 5 5 5

61

Dari peragaan di atas, dapat disimpulkan bahwa pengurangan pecahan yang berpenyebut sama dapat dilakukan dengan mengurangkan pembilangnya, sedangkan penyebutnya tetap. 3 1 ( 3 1) 2 = = 5 5 5 5

Jadi

2). Dengan garis bilangan

0

1 5

2 5

3 5

4 5

1

3 1 2 = 5 5 5 Mulai dari 0 (nol) melangkah ke kanan 2 5 ( anak panah yang terakhir menunjukkan hasilnya) Soal cerita 7 bagian 10 3 Diberikan kepada adiknya bagian 10 Tinggal berapa bagian cokelat Ahmad sekarang? Cokelat Ahmad tinggal Langkah pembelajaran: Guru membimbing siswa membaca dan mengartikan kalimat-kalimat dalam soal tersebut. Bila kalimat disederhanakan menjadi berikut: 7 bagian. 10 3 Diberikan adiknya bagian. 10 Cokelat Ahmad 3 1 dan dilanjutkan ke kiri menjadi 5 5

62

Cokelat Ahmad sekarang tinggal = ... bagian? Menemukan apa yang 7 bagian. 10 3 Diberikan adiknya bagian. 10 Ditanyakan: Cokelat Ahmad sekarang tinggal = ... bagian? Diketahui: Cokelat Ahmad Menemukan kata kunci yaitu diberikan yang berarti cokelat berkurang atau dikurang. Soal disajikan dalam bentuk gambar:

Langkah pengerjaan menjadi berikut: Cokelat Ahmad sekarang tinggal = ( 7 3 4 ) bagian = bagian. 10 10 10

2. Perkalian 1 3/4 2/4 1/4 1

13/4 2/4 1/4

0

1/5

2/5

3/5

4/5

0

1/5

2/5

3/5

4/5

1

2/4 x 3/5 = 6/20

63

Gambar 4.9 C. Latihan Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! 1. Tunjukkan paling sedikit tiga gambar yang menyatakan pecahan 1 ! 4

2. Tunjukkan paling sedikit dua gambar hasil memotong dua kali melipat untuk menunjukkan pecahan 3 ! 4

4 3. Tunjukkan susunan potongan karton yang menyatakan 4 : ! 5 4. unjukkan cara lain untuk menyatakan 3 2 ! 4 5

1 3 5. Tunjukkan cara lain untuk menyatakan 1 ! 2 5 Petunjuk Jawaban Latihan Gunakan rambu-rambu atau kunci jawaban berikut untuk mengetahui benar atau tidaknya jawaban yang Anda buat. 1.

2.

3.

64

1 1 1 1 1 5 5 5 5 5sisa

Satu empat perlimaan

1 5

1 1 1 1 1 5 5 5 5 5 1 1 1 1 1 5 5 5 5 5

1 1 1 1 1 5 5 5 5 5 1 1 1 1 1 5 5 5 5 5 6 20

3.

3 2 = 6 bagian dari 20 bagian yang sama = 4 3 1

5. Daerah yang terkena 2 kali arsiran menyatakan hasil kalinya, yaitu 6 bagian dari 6 20 bagian 20

2 3 3 5

1

1 3 3 3 1 = = 9 dari bagian 2 5 2 5 yang sam a 9 = 10

3 43 265

D. Rangkuman 1. Pecahan dan operasinya merupakan salah satu topic matematika SD yang masih dirasakan sulit oleh banyak siswa, dan masih dirasakan sulit oleh banyak guru dalam mengajarkannya. 2. Mengerjakan pecahan sebaiknya tidak mekanistik dan empiric dalam bentuk hapalan, ingatan, dan statis tetapi dalam bentuk konseptual, bermakna manipulatif benda konkret, dan realistic. 3. Potongan kertas yang dilipat-lipat dan digunting dengan cara tertentu dapat digunakan sebagai salah satu cara agar siswa lebih aktif, lebih partisipatif dan lebih terlibat secara mental. 4. Potongan karton dengan warna menarik dan beragam dapat dimanfaatkan untuk membuat bahan manipulatif dalam menjelaskan pecahan, sifat-sifat pecahan, dan operasi pecahan. 5. Penjelasan dengan bahan manipulatif sebaiknya diakhiri dengan penyelidikan pola atau aturan umum yang berlaku. 6. Kreativitas dan kemauan yang tinggi para guru untuk lebih E. Tes formatif 3 1. Kecenderungan pembelajaran matematika masa kini hendaknya . 2. Strategi pembelajaran matematika yang perlu dihindari oleh para guru adalah . 3. Dari pernyataan-pernyataan di bawah ini yang benar adalah . a. b. 1 1 1 + = p q p+q p r p+r + = q s qs

66

c. d.

p r ps qr + = q s qs t 1 t r : = u q u s

4. Dari pernyataan-pernyataan di bawah ini yang benar adalah . a. Jika q, s > 0 dan b. Jika q, s > 0 dan c. Jika q, s 0 dan d. Jika q, s < 0 dan p r < , maka ps qr < 0 q s p r p < , maka 3 < 2 q s q p r < , maka ps qr < 0 q s p r > , maka ps qr = 0 q s

5.

Peragaan di atas menyatakan . a. b. c. d. 6. 1: 1 =4 4 1 =1 4 1 4

4

1: 4 =

1 1 1 = 4 4

1 3

Peragaan di atas menyatakan . a. 4

67

b. c.

4:

1 3 3 4 1 3

4:3 =

d. 1 : 3 =

7.

Peragaan di atas menyatakan . a. b. c. d. 3: 3 =4 4

1 4 =1 4 3: 3 1 3 = 4 4 1 3 = 4 4

8.

1 1 1 1 1 1 1 5 5 5 5 5 5 5

Peragaan di atas dapat digunakan untuk mencari . a. b. c. d. 7 1 : 5 3 7 1 5 3 1 7 : 3 5 1 7 3 5

9. Peragaan di bawah ini menyatakan .

68

a. b. c. d.

1 1 3 4 2 1 3 3 3 1 2 4 4 3 1 2

10. Peragaan di bawah ini menyatakan . a. b. c. d. 1 2 5 3 5 3 4 2 4 2 5 3 5 2 4 3 1 1

69

DAFTAR PUSTAKA Burger, William F. dan Musser, Gary L. 1991 Mathematics for Elementary Teachers. New York: Macmillan Publishing Company 284 292 DAgustine, Charles H. dan Smith, C. Winston. 1992. Teaching Elementary School Mathematics. Ohio University, Athens: Harper Collins Publisher Inc. Depdiknas. 2005. Kurikulum KTSP: Standar Isi. Jakarta : Puskur. Kennedy, Leonard M. dan Tipps, Steve. 1994. Guiding Childrens Learning of Mathematics. Belmont, California: Wadworth Publishing ompany. MEQIP. 2006. Buku Pembuatan dan Penggunaan Alat Peraga Alternatif Matematika. Jakarta: Depdiknas. Muhsetyo, Gatot. dkk.2007. Pembelajaran Matematika SD. Jakarta: Universitas Terbuka Pitadjeng. 2006. Pembelajaran Matematika yang Menyenangkan. Jakarta: Depdiknas Subarinah, Sri. 2006. Inovasi Pembelajaran Matematika Sekolah Dasar. Jakarta: Depdiknas