Dra. Noeryanti, M.Si

BEBERAPA DISTRIBUSI PROBABLITAS DISKRET

(SSTS 2305 / 3 sks)

1

Pengantar:

Penyajian distribusi probabilitas dalam bentuk grafis, tabel

atau melalui rumusan tidak masalah, yang ingin dilukiskan adalah

perilaku (kelakuan) perubah acak tersebut. Sering kita menjumpai,

pengamatan yang dihasilkan melalui percobaan statistik yang

berbeda mempunyai bentuk kelakuan umum yang sama.

Oleh karena itu perubah acak diskret yang berkenaan dengan

percobaan tersebut dapat dilukiskan dengan distribusi probabilitas

yang sama, dan dapat dinyatakan dengan rumus yang sama.

Dalam banyak praktek yang sering kita jumpai, hanya

memerlukan beberapa distribusi probailitas yang penting untuk

menyatakan banyak perubah acak diskret.

2

Kompetensi:

Setelah mempelajari materi pokok bahasan disini, mahasiswa

diharapkan:

1. Mampu menggunakan konsep-konsep dasar teori distribusi

probabilitas disket secara benar.

2. Mampu dan terampil dalam melakukan hitungan-hitungan yang

berkaitan dengan distribusi Seragam Diskret, distribusi Binomial

dan Multinomial, distribusi Hhipergeometrik, dan distribusi

Poisson

3. Terampil dalam mengerjakan soal-soal tugas dan latihan.

3

4

Daftar Isi Materi:

• Distribusi Seragam Diskret

• Distribusi Binomial dan Multinomial

• Distribusi Hipergeometrik

• Distribusi Poisson

5.1. Distribusi Seragam Diskret

Distribusi probabilitas yang paling sederhana adalah yang

semua perubah acaknya mempunyai probabilitas yang sama.

Distribusi ini disebut distribusi probabilitas seragam diskret.

Definisi (5.1)

Jika perubah acak X mendapat nilai dengan

probabilitas yang sama , maka distribusi probabilitas diskret diberikan

oleh:

Lambang f(x;k) sebagai pengganti f(x), yang menunjukan bahwa

distribusi seragam tersebut bergantung pada parameter x

Tabel 5.1. Distribusi proabilitas X

1 2 kx ,x ,.....,x

1 21

kf(x;k) ; untuk x x ,x ,.....,xk

x 1 2 3 4 5 6

F(x;k)=f(x) 16

16

16

16

16

16

5

Contoh (5.1)

Sebuah dadu seimbang dilemparkan satu kali, maka tiap unsur

dalam ruang sampel S={1, 2,3 4, 5, 6}. Muncul dengan probabilitas

1/6. Jadi jika X menyatakan mata dadu yang muncul, maka X

terdistribusi peluang seragam (uniform) yakni f(x;6)=1/6, untuk x = 1,

2, 3, 4, 5, 6Teorema (5.1)

Nilai rata-rata (mean) dan variansi distribusi seragam

diskret f(x;k) adalah

Mean(X),

Varian(X); atau

Bukti sbb:

1

1

k

iki

x

2 21

1

k

iki

(x )

2 2 2E(X )

6

Menurut definisi,

dan

1 1

1 1 1

k k k

i i ik ki i i

E(X) x f(x;k) x ( ) x

2 2 2 2 1

1 1

21

1

k k

i i ki i

k

iki

E(X ) (x ) f(x;k) (x ) ( )

(x )

Contoh (5.2)

Cari mean dan variansi dari contoh (5.1)

Jawab:

1 2 3 4 5 63 5

6.

2 2 2 2 2 22

3512

1 3 5 2 3 5 3 3 5 4 3 5 5 3 5 6 3 5

6

( . ) ( . ) ( . ) ( . ) ( . ) ( . )

7

5.2. Distribusi Binomial dan Multinomial

Suatu percobaan yang terdiri atas beberapa usaha, tiap-tiap

usaha, memberikan hasil yang dapat dikelompokan menjadi 2-

kategori yaitu sukses atau gagal, dan tiap-tiap ulangan percobaan

bebas satu sama lainnya. Probabilitas kesuksesan tidak berubah dari

percobaan satu ke percobaan lainnya. Proses ini disebut proses

Bernoulli. Jadi proses Bernoulli harus memenuhi persyaratan berikut:

1. Percobaan terdiri atas n-usaha yang berulang

2. Tiap-tiap usaha memberikan hasil yang dapat dikelompokan

menjadi 2-kategori, sukses atau gagal

3. Peluang kesuksesan dinyatakan dengan p, tidak berubah dari

satu usaha ke usaha berikutnya.

4. Tiap usaha bebas dengan usaha lainnya.

8

Contoh (5.3)

Tiga barang diambil secara acak dari hasil produksi pabrik,

diperiksa, dan yang cacat dipisahkan dari yang tidak cacat.

Misalkan yang cacat disebut cacat. Maka banyaknya kesuksesan

mer upakan perubah acak X dengan nilai nol sampai 3.

Tabel 5.2.

C=cacat ; T=tidak cacat (baik)

Karena barang diambil secara acak, dan

misalkan dianggap menghasilkan 25%

barang cacat, maka

Probabilitas untuk hasil kemunkinan yang lain dilakukan dengan

jalan ang sama.

Hasil X

TTTTCTTTCCTTTCCCTCCCTCCC

01112223

3 3 914 4 4 64

P(TCT) P(T)P(C)P(T) ( )( )( )

9

tabel 5.3 Distribusi probabilitas X

Percobaan Binomial

Banyaknya X yang sukses dalam n-usaha Bernoulli disebut “perubah

acak binomial”, dan distribusi dari perubah acak ini disebut “distribusi

Binomial”. Jika p menyatakan probabilitas kesuksesan dalam suatu

usaha, maka distribusi perubah acak X ini dinyatakan dengan b(x;n,p).

Karena nilainya bergantung pada banyaknya usaha (n)

Misalnya: X= banyaknya barang yang cacat.

Selanjutnya menentukan rumus yang memberikan proailitas x sukses

dalam n-usaha suatu pecobaan binomial b(x;n,p)

914 64

2 2 2 3P(X ) f( ) b( ; , )

x 0 1 2 3

f(x) 2764

964

2764

164

10

Probabilitas x kesuksesan dan n-x kegagalan dalam urutan tertentu.

Tiap kesuksesan dengan probabilitas p dan tiap kegagalan dengan

probabilitas q=1-p . Banyaknya cara untuk memisahkan n-hasil

menjadi dua kelompok, sehingga x hasil ada pada kelompok

pertama dan sisanya n-x pada kelompok kedua, jumlah ini

dinyatakan sebagai Karena pembagian tersebut saling terpisah

(bebas) maka probabilitasnya adalah

n

x

x n xnp q

x

Suatu usaha bernoulli dapat menghasilkan kesuksesan dengan

probabilitas p dan kegagalan dengan probabilitas q=1-p, maka

distribusi probabilitas perubah acak binomial X yaitu banyaknya

kesuksesan dalam n-usaha bebas adalah

0 1 2x n xnb(x;n,p) p q ;x , , ,....,n

x

11

Suatu cara penyajian yang lain dari tabel 5.2 : n=3 dan 14

p

314

33 0 1 2 3x xb(x; , ) p q ;x , , ,

x

Contoh (5.4)

Suatu suku cadang dapat menahan uji guncangan tertentu

dengan probabilitas 0.75. Hitung probabilitas bahwa tepat 2 dari 4

suku cadang yang diuji tidak akan rusak.

Jawab:

Misal tiap pengujian saling bebas

12

2

223 3 3 271 4

4 4 4 2 2 1284

42 4

2!

! !b( ; , ) ( ) ( )

Catatan:

0

1n

x

b(x;n,p)

13

Contoh (5.5) Probabilitas seseorang sembuh dari penyakit jantung

setelah operasi adalah 0.4. Bila diketahui 15 orang menderita penyakit ini, berapa peluang:

a). sekurang-kurangnya 10 orang dpt sembuh b). ada 3 sampai 8 orang yg sembuh c). tepat 5 orang yg sembuh

Jawab: Mis: X = menyatakan banyaknya orang yg sembuhDiket : p = 0.4 n = 15

a).

Jadi probabilitas sekurang-kurangnya 10 orang sembuh = 0.0338

9

0

10 1 10 1 0 1 9

1 15 0 4

1 0 9662

0 0338

x

P(X ) P(X ) P(X ) P(X ) P(X )

b(x; ; . ) lihat tabel

.

.

14

b)

Jadi probabilitas terdapat 3 sampai 8 orang yg sembuh = 0.8779

8 2

0 0

3 8 8 2

15 0 4 15 0 4

0 9050 0 0271

0 8779

x x

P( X ) P(X ) P(X )

b(x; , . ) b(x; , . ) lihat tabel

. .

.

c)

Jadi probabititas tepat 5 orang yang sembuh = 0.1859 

5 4

0 0

5 5 15 0 4 5 4

15 0 4 15 0 4x x

P(X ) b( ; ; . ) P(X ) P(X )

b(x; , . ) b(x; , . ) lihat tabel

0.4032 - 0.2173

0.1859

15

Tabel 5.4 Cara menggunakan tabel binomialn r p

0.01 . . . . . . . 0.4 . . . . . . . . .

15 1

2 0.0271

:::

8 0.9050

9 0.9662

::

159

0

15 0 4 0 9662x

b(x; ; . ) .

Untuk n=15, p=0.4 ;

2

0

15 0 4 0 0271x

b(x; ; . ) .

8

0

15 0 4 0 9050x

b(x; ; . ) .

16

Cara lain mencari nilai distribusi Binomial:

Gunakan software R , langkahnya sbb:

> pbinom(9,15,0.4)

[1] 0.9661667

> pbinom(8,15,0.4)

[1] 0.9049526

> pbinom(2,15,0.4)

[1] 0.027114

> pbinom(5,15,0.4)

[1] 0.4032156

> pbinom(4,15,0.4)

[1] 0.2172777

Teorema(5.2) Distribusi Binomial b(x;n,p) mempunyai rata-rata dan

variansi sbb: dan np 2 npq

17

Contoh (5.6)

Tentukan mean dan variansi dari contoh (5.5) kemudikan

gunakan teorema chebyshev untuk menafsirkanselang 2

Jawab:

Dari contoh 5.6 diketahui n=15 dan p=0.4

Diperoleh:

dan

Menggunakan teorema Chebyshev adalah

Jadi, selang yang ditanakan adalah dari 2.206 sampai 9.794

15 0 4 6( )( . )

1 897.

2 15 0 4 0 6 3 6( )( . )( . ) .

2

2 9 794 2 2 206. dan .

18

Percobaan Multinomial

Percobaan binomial akan menjadi percobaan multinomial

jika tiap usaha dapat memberikan lebih dari 2 hasil yang mungkin.

Misalnya hasil produksi pabrik dapat dikelompokan menjadi barang

baik, cacat, dan masih bisa diperbaiki.

Bila suatu usaha dapat menghasilkan k macam hasil

Dengan probabilitasnya maka distribusi perubah acak

yang menyatakan banyaknya kejadian

Dalam n-usaha bebas adalah

Dengan dan

1 2 kE ,E ,....,E

1 2 kp ,p ,....,p

1 2 kX ,X ,....,X 1 2 kE ,E ,....,E

1 21 2 1 2 1 2

1 2

kk

x x xk; k

k

nf(x ,x ,...,x p ,p ,...,p ,n) p p ...p

x ,x ,...,x

1

k

ii

x n

1

1k

ii

p

19

Contoh(5.7)

Dua buah dadu dilantunkan 6 kali, berapa probabilitas akan

mendapatkan jumlah 7 atau 11 muncul dua kali, sepasang bilangan

yang sama satu kali, dan kominasi lainnya 3 kali?

Jawab:

Misal: E1= muncul jumlah 7 atau 11 p(E1)=2/9

E2= muncul pasangan bilangan yang sama p(E2)=1/6

E3= muncul selain E1 maupun E2 p(E3)=11/18

Nilai initidak berubah dari ke6-usaha. Menggunakan distribusi

multinomial dengan x1=2, x2=1 dan x3=3 diperoleh:

2 1 32 1 11 2 1 119 6 18 9 6 18

36 4 1 112 1 3 81 6 318

62 1 3 6

2 1 3

0 1127!! ! !

f( , , ; , , , ), ,

.

20

5.3. Distribusi Hipergeometrik

Perbedaan distribusi binomial dengan distribusi multinomial

terletak pada cara pengambilan sampelnya. Penggunaan distribusi ini

hampir sama dengan distribusi binomial. Misalnya distribusi binomial

diterapkan pada sampling dari sejumlah barang (sekotak kartu,

sejumlah hasil produksi) sampling harus dikerjakan dengan

pengembalian setiap barang setelah diamati. Sebaliknya distribusi

hipergeometrik tidak memerlukan kebebasan dan didasarkan pada

sampling tanpa pengembalian.

Distribusi hipergeometrik mempunyai sifat:

1. Sampel acak berukuran n yang diambil tanpa pengembalian dari N

benda.

2. Sebanyak k-benda dapat diberi nama sukses dan sisanya N-k

diberi nama gagal.

21

Distribusi Hipergeometrik

Distribusi probabilitas perubah acak hipergeometrik X yang

menyatakan banyaknya kesuksesan dalam sampel acak dengan

ukuran n yang diambil dari N-obyek yang memuat k sukses dan N-k

gagal dinyatakan sebagai:

0 1 2

k N k

x n xN

n

h(x;N,n,k) ; x , , ,......,n

Contoh (5.8)

Suatu panitia 5 orang dipilih secara acak dari 3 kimiawan

dan 5 fisikawan. Hitung distribusi probabilitas banyknya kimiawan

yang duduk dalam panitia.

Jawab:

22

Misalkan: X= menyatakan banyaknya kimiawan dalam panitia.

X={0,1,2,3}

Distribusi probabilitasnya dinyatakan dengan rumus

;

;

Tabel 5.6 Distribusi hipergeometrik

3 50 5 1

5685

0 0 8 5 3x h( ; , , )

3 51 4 15

5685

1 1 8 5 3x h( ; , , )

3 52 3 30

5685

2 2 8 5 3x h( ; , , )

3 53 2 10

5685

3 3 8 5 3x h( ; , , )

x 0 1 2 3

h(x;8,5,3) 156

1556

3056

1056

3 5585

8 5 3 0 1 2 3x x

h(x; , , ) ; x , , ,

23

Teorema(5.3) Distribusi hipergeometrik h(x;N,n,k) mempunyai rata-rata

dan variansi sbb: dan nk

N

21

1N n k kN n n

(n)( )( )

Contoh (5.9)

Tentukan mean dan variansi dari contoh (5.8) kemudikan

gunakan teorema chebyshev untuk menafsirkanselang 2

Jawab:

Dari contoh 5.8 diketahui n=15 dan p=0.4

Diperoleh dan

Menggunakan teorema Chebyshev adalah

Jadi, selang yang ditanakan adalah dari -0,741 sampai 1,491

5 3 340 8

0 375( )( ) , 2 40 5 3 339 40 40

5 1 0 3113( ) ,

2

2 1 491 2 0 741, dan ,

2424

Contoh (5.10)

Suatu pabrik ban mempunyai data bahwa dari pengiriman

sebanyak 5000 ban ke sebuah toko tertentu terdapat 1000 cacat. Jika

ada seseorang membeli 10 ban ini secara acak dari toko tersebut,

berapa probabilitasnya memuat tepat 3 yang cacat.

Jawab:

Karena n=10 cukup kecil dibandingkan N=5000, maka

probabilitasnya dihampiri dengan binomial dengan p= 10/5000= 0,2

adalah probailitas mendapat satu ban. Jadi probabilitas mendapat

tepat 3 ban cacat:

3 2

0 0

3 5000 10 1000 3 10 0 2

10 0 2 10 0 2

0 8791 0 6778

0 2013

x x

h( ; , , ) b( ; , . )

b(x; , . ) b(x; , . )

, ,

,

25

Jika dihitung dengan software R

> phyper(3,5000,10,1000) # tidak bisa menghitung

[1] 0

Dihitung dengan pendekatan distribusi binomial

> pbinom(3,10,0.2)

[1] 0.8791261

> pbinom(2,10,0.2)

[1] 0.6777995

Jadi probabilitas mendapat tepat 3 ban cacat adalah

3 5000 10 1000 3 10 0 2

0 8791261 0 6777995

0 2013266

h( ; , , ) b( ; , . )

, ,

,

26

5.4. Distribusi Poisson

Percobaan yang menghasilkan prubah acak X ynag

menyatakan banyaknya hasil selama dalam selang waktu/daerah

tertentu disebut “distribusi poisson”.

Proses poisson memiliki sifat-sifat berikut:

1. Banyaknya kesuksesan yang terjadi dalam suatu daerah (selang)

waktu tertentu independen dengan daerah lainya.

2. Probabilitas sukses dalam daerah/selang yang kecil tidak

tergantung banyaknya sukses yang terjadi diluar selang.

3. Peluang terjadinya lebih dari satu sukses dalam daerah yang

sempit diabaikan.

Jika X perubah acak poisson maka distribusi poisson ini dinyatakan

dengan , dimana adalah rata-rata hasil p(x, t) t

27

Distribusi perubah acak Poisson X yang menyatakan banyaknya

kesuksesan yang terjadi dalam suatu selang waktu/daerah tertentu t,

dinatakan:

dimana: e=2,71828 dan menyatakan rata-rata banyaknya sukses

yang terjadi per satuan waktu.

Misalkan , untuk beberapa nilai tertentu dari 0,1 sampai 18

diberikan pada tabel Poisson. Atau dengan bantuan software R

0 1 2t xe ( t)x!

p(x, t) ;x , , ,.....

t

t

Contoh (5.11)

Rata-rata banyaknya Tanker minyak yang tiba tiap hari di suatu

pelabuhan adalah 10. Pelabuhan tersebut hanya mampu menampung

paling banyak 15 Tanker perhari. Berapa probabilitas pada suatu hari

tertentu Tanker terpaksa pergi karena pelabuhan penuh dan tidak

mampu melayani.

28

Jawab:

Misalkan: X = banyaknya Tanker minyak yg tiba tiap hari

X = {1, 2, 3, . . . . . , 15}

Maka

 

Jadi peluang pd suatu hari tertentu Tanker terpaksa pergi = 0.0487

15

0

15 1 15 1 10

1 0 9513 0 0487x

P(X ) P(X ) p(x; ) tabel

. .

• Cara lain, jika tidak menggunakan tabel, gunakan program R,

langkahnya sbb:

> ppois(15,10)

[1] 0.9512596

Artinya:15

0

10x

p(x; ) 0.9512596

29

Teorema(5.4)

Distribusi poisson mempunyai rata-rata dan

variansi sbb dan t

Contoh (5.12)

Rata-rata banyaknya partikel radio atif yang meleati suatu

penghiung selama 1 milidtik dalam suatu percobaan di laoratoium adalah

4. berapa probabilitas 6 partikel melewati penhtung it dalam 1 milidetik

tertentu. Kemudikan gunakan teorema chebyshev untuk

menafsirkanselang

Jawab:

dari tabel poisson dengan diperoleh

dari diperoleh

Jadi, selang yang ditanakan adalah dari 0 sampai 8

2

6 4x ; t

2 8 2 0dan

p(x, t)2 t

6 54 646

0 0

6 4 4 4 0 8893 0 7851 0 1042e ( )!

x x

p( ; ) p(x; ) p(x; ) , , ,

24 4t dan

30

r

0. 1 . . . . . . . 4.0 . . . . . . . . .

0

1

:::

5 0,7851

6 0,8893

::

16

6

0

4 0 8893x

p(x; ) .

Untuk n=15, p=0.4, menggunakan tabel diperoleh:

5

0

4 0 7851x

p(x; ) .

Tabel 5.7. Cara menggunakan tabel Poisson

Meggunakan R:

> ppois(6,4)

[1] 0.889326

> ppois(5,4)

[1] 0.7851304

3131

Teorema(5.5)

Misalkan X perubah acak binomial dengan distribusi

probabilitas b(x,n,p). Jika n , p dan tetap sama maka

Contoh (5.12)

Dalam suatu proses produksi yang menghasilkan barang dari

gelas, terjadi gelembung(cacat) yang kadang menyebabkan sulit

dipasarkan. Jika diketahui rata-rata 1 dari 1000 barang yang dihasilkan

mempunyai satu atau lebih gelembung. Berapa probailiasnya bahwa

dalam sampel acak sebesar 8000 barang akan erisi kurang dari 7 yang

bergelembung?

Jawab:

n=8000, p=0.001 dihampiri dengan distribusi poisson dengan

diperoleh menggunakan tabel:

np 0

b(x,n,p) p(x, )

8000 0 001 8( )( , )

32

Jika tidak menggunakan tabel, cara lain, gunakan R, langkahnya > pbinom(6,8000,0.001) [1] 0.3132521 > ppois(6,8) [1] 0.3133743

Diperoleh:

Dan

6 6

0 0

7 8000 0 001 8 0 3134x x

P(X ) b(x; , . ) p(x; ) ,

6

0

8000 0 001x

b(x; , . ) 0.3132521

6

0

8x

p(x; ) 0.3133743