Dra. Noeryanti, M.Si
46
Dra. Noeryanti, M.Si DISTRIBUSI PROBABLITAS (SSTS 2305 / 3 sks) 1
description
DISTRIBUSI PROBABLITAS (SSTS 2305 / 3 sks ). Dra. Noeryanti, M.Si. Pengantar: - PowerPoint PPT Presentation
Transcript of Dra. Noeryanti, M.Si
Dra. Noeryanti, M.Si
DISTRIBUSI PROBABLITAS(SSTS 2305 / 3 sks)
1
Pengantar:
Di bidang statistika, bentuk distribusi probabilitas perlu
dipelajari untuk memahami dan menafsirkan implikasi umum dari studi
staistik yang lebih lanjut. Misalnya dalam statistik inferensial yaitu
suatu cara pengambilan kesimpulan tentang populasi yang
didasarkan pada pengambilan sampel random. Inferensinya
bergantung pada bentuk distribusi probabilitas populasi.
Kadang-kadang pencatatan hasil percobaan yang kita peroleh
tidak selalu berasal dari perubah acak yang tunggal. Ada kalanya
diperlukan pencacatan beberapa perubah acak yang terjadi secara
serentak (distribusi probabilitas gabungan). Pokok bahasan disini
memberikan konsep dasar yang berguna untuk mempermudah
perhitungan yang berkaitan dengan distribusi probabilitas.
2
Kompetensi:
Setelah mempelajari materi pokok bahasan disini, mahasiswa
diharapkan:
1. Mampu menggunakan konsep-konsep dasar teori distribusi
probabilitas secara benar.
2. Mampu dan terampil dalam melakukan hitungan-hitungan yang
berkaitan dengan perubah acak, distribusi probabilitas diskrit,
kontinyu, fungsi padat gabungan, distribusi marginal, distribusi
bersyarat, dan bebas statistik.
3. Terampil dalam mengerjakan soal-soal tugas dan latihan.
3
4
Daftar Isi Materi:
• Perubah Acak Diskrit dan Komtinyu
• Distribusi Probabilitas Diskrit
• Distribusi Probabilitas Kontinyu
• Fungsi Padat gabungan
• Distribusi Marginal
• Probabilitas Bersyarat
• Bebas Statistik
3.1. Perubah acak Suatu percobaan statistika yang dilakukan selalu
menghasilkan pengamatan yang berkemungkinan. Sering kali kita
mengkaitkan suatu bilangan sebagai pemberian hasil tersebut.
Sebagai contoh suatu percobaan dengan ruang sampel
yang memberikan secara rinci setiap kemungkinan hasilnya bila ada 3
suku cadang elektronik yang diuji dapat dinyatakan sebagai:
Dimana, B menyatakan barang yang baik dan C menyatakan barang
yang cacat. Jika kita ingin mengetahui berapa banyaknya barang
yang cacat, maka setiap titik dalam ruang sampel dikaitkan dengan
bilangan 0, 1, 2, atau 3. Bilangan ini merupakan besaran acak yang
ditentukan oleh hasil percobaan, dan dapat dipandang sebagai nilai
perubah acak, X, yaitu banyaknya barang yang cacat.
S {BBB,BBC,BCB,CBB,BCC,CBC,CCB,CCC}
5
Definisi (3.1):
Peubah acak adalah suatu fungsi yang mengkaitkan bilangan
riel pada setiap unsur dalam ruang sampel S.
Perubah acak dinyatakan dengan huruf besar, misalnya X, sedangkan
nilainya dinyatakan dengan huruf kecil padanannya, misalnya x.
Pada contoh diatas, Jika X menyatakan banyaknya 2-barang yang cacat,
maka E {CCB,CBC,BCC} E S
Contoh (3.1):
Kembali ke contoh (1.2).
Jika X menyatakan banyaknya pasien yang sembuh, maka
X = {0, 1, 2, 3, 4}
Artinya untuk x=0 menyatakan tidak ada yang sebuh, x=1
menyatakan ada satu pasien yang sembuh, analog yang lainya.6
7
Definisi (3.2):
Jika suatu ruang sampel memuat titik yang berhingga, atau
banyaknya unsur sesuai dengan banyaknya bilangan cacah, maka
ruang sampel tersebut dikatakan ruang sampel diskret.
Ruang sampel untuk contoh 3.1 dikatakan ruang sampel diskret
Definisi (3.3):
Jika suatu ruang sampel memuat titk sampel yang
takberhingga banyaknya, dan banyaknya unsur sesuai dengan
banyaknya titik pada sepotong garis, maka dikatakan ruang sampel
kontinyu.
Ruang sampel yang datanya diukur seluruh kemungkinan berat badan,
tinggi, jarak, temperatur, dan jangka hidup
3.2. Distribusi Probabilitas Diskrit
Suatu perubah acak disebut perubah acak diskrit jika
himpunan kemungkinan hasilnya terhitung. Pada contoh (3.1) nilai X
adalah 0, 1, 2, 3, 4 maka X adalah perubah acak diskrit. Perubah acak
diskrit ini menggambarkan data cacah.
Lebih mudah jika semua probabilitas dari perubah acak X
dinyatakan dalam rumusan, misalnya f(x), g(x), h(x), dst. Kadang
ditulis f(x)=P(X=x). Pasangan (x, f(x)) disebut fungsi probabilitas atau
distribusi probabilitas perubah acak X
Jadi sebuah tabel yang memuat perubah acak diskrit X
beserta nilai fungsi probabilitasnya disebut distribusi probabilitas
diskrit. Dan distribusi kumulatif dari f(x) dinyatakan sebagai F(x)
8
Definisi (3.4):
Misalkan f(x) merupakan fungsi probabilitas, fungsi massa
probabilitas, atau distribusi probabilitas dari perubah acak diskrit X,
maka berlaku:
1.
2.
3.
Distribusi kumulatif F(x) dinyatakan sebagai
0f(x)
1x
f(x) P(X x) f(x)
t x
F(x) P(X x) f(t) ; untuk x
9
Contoh (3.2):
Suatu eksperimen dari pelemparan sebuah mata uang logam
sebanyak 3 kali. Tentukan distribusi probabilitas X yang menyatakan
banyaknya sisi muka yang tampak dari hasil eksperimen tersebut
Jawab:
Hasil eksperien adalah sbb;
dimana M = sisi muka ; B = sisi belakang
Misalnya:
X = perubah acak yang menyatakan banyaknya sisi muka yg muncul
X = { 0, 1, 2, 3}
Untuk x=0, artinya tidak ada sisi muka yg muncul
x=1, artinya ada 1-sisi muka yg muncul
S MMM, MMB, MBM, BMM, BBM, BMB, MBB,BBB n(S) 8
0 18
0 n(x )n(S)
P(X )
1 38
1 n(X )n(S)
P(X ) 10
x=2, artinya ada 1-sisi muka yg muncul
x=3, artinya ada 1-sisi muka yg muncul
Tabel 3.1 Distribusi Probabilitas perubah acak X
2 38
2 n(X )n(S)
P(X )
3 18
3 n(X )n(S)
P(X )
X 0 1 2 3
P(X x) f(x) 18
38
18
38
( ) 0f x 3 31 1
8 8 8 8( ) 1
x
f x ( ) ( )P X x f x
Tabel diatas, memenuhi:
1.
2.
3.
11
Distribusi kumulatif perubah acak X:
1 18 2
78
0 0 1 0 1
2 0 1 2 3 0 1 2 3 1
F( ) f( ) ; F( ) f( ) f( )
F( ) f( ) f( ) f( ) ; F( ) f( ) f( ) f( ) f( )
Contoh (3.3):
Sebuah toko elektronik menjual 15 radio yang diantaranya ada 5 yang
rusak. Jika seoarang calon pembeli melakukan test 3 radio yang dipilih
secara random, tuliskan distribusi peluang dari banyaknya radio yang
rusak dalam sampel tersebut
JawabMisalkan:X = perubah acak yang menyatakan banyaknya radio yg rusak X = {0, 1, 2, 3}
10B, 5R 3 ; x=0,1,2,3
15
Diperoleh:
x=0 ; x=1
n N n
x k xP(X x)
N
k
5 10
0 3 1200
15 455
3
P( )
5 10
1 2 2251
15 455
3
P( )
12
225455
120455
5 10
2 1 1002
15 455
3
P( )
5 10
3 0 103
15 455
3
P( )
x=2 ; x=3
100455
10455
X 0 1 2 3
P(X x) f(x)
Tabel 3.2 Distribusi Probabilitas perubah acak X
( ) 0f x 120 225 100 10455 455 455 455
( ) 1x
f x ( ) ( )P X x f x
Tabel diatas, memenuhi:
1.
2.
3.
13
Distribusi kumulatif perubah acak X:
120 345455 455
445455
0 0 1 0 1
2 0 1 2 3 0 1 2 3 1
F( ) f( ) ; F( ) f( ) f( )
F( ) f( ) f( ) f( ) ; F( ) f( ) f( ) f( ) f( )
3.3. Distribusi Probabilitas Kontinyu
Distribusi probabilitas kontinyu adalah distribusi yang memuat
perubah acak kontinyu. Distribusi probabilitas kontinyu dinyatakan
dalam bentuk rumusan (dan tidak dapat dinyatakan dalam bentuk
tabel) karena perubah acaknya berupa interval (selang). Cara
menghitung fungsi peluang utk berbagai selang dari perubah acak
kontinyu adalah sebagai berikut:
( ) ( )
( )
( )
P a x b P a x b
P a x b
P a x b
Gambar 3.1. Luas daerah yang diarsir = ( ) P a x b0 a b
x
y
Tidak menjadi soal, apakah titik ujung selang diikutsertakan atau tidak.
Lihat gambar 3.1 14
f (x) 0
( ) 1f x dx
b
a
P(a X b) f(x) dx
xF(x) P(X x) f(t) dt
dF(x)P(a x b) F(b) F(a) dan f(x)
dx
Definisi (3.5):
Misalkan f(x) merupakan fungsi probabilitas, dari perubah acak diskrit
X, maka berlaku:
1.
2.
3.
Distribusi kumulatif F(x) dinyatakan sebagai
Akibatnya:
15
Contoh (3.4):
Misalkan galat suatu reaksi dalam derajat celsius (0c) pada
percobaan di laboratorium yang dikontrol merupakan perubah acak X
yang mempunyai fungsi peluang sbb:2
31 2
0
x ;untuk xf(x);untuk x yglain
a). Tunjuan 1f(x)dx
b). Hitung 0 1P( x )
Jawab2 22 3 8 1
3 9 9 911
1x xf(x)dx dx
1 12 3 13 9 9
00
0 1 x xP( x ) dx 16
17
Contoh (3.5):
Carilah distribusi kumulatif dari contoh(3.4) dan kemudian hitung P(0
< X < b)
Jawab:
untuk -1 < X < 2
Jadi:
Diperoleh:
32 3
3 91
9
xx xt t x
F(x) f(t)dt dt
3 19
0 1
1 2
1 2
x
;x
F(x) ; x
; x
2 1 19 9 9
0 1 1 0 P( x ) F( ) F( )
18
3.4. Fungsi Massa Gabungan
Kadang-kadang pencatatan hasil percobaan yang kita peroleh
tidak selalu berasal dari perubah acak yang tunggal. Ada kalanya
diperlukan pencacatan beberapa perubah acak yang terjadi secara
serentak.
Jika X dan Y perubah acak, maka probabilitas terjadinya
secara serentak dari X dan Y dinyatakan sebagai f(x,y) disebut
Distribusi Probabilitas Gabungan, untuk setiap pasangan (x,y) dalam
rentangan X dan Y
Jika X dan Y merupakan dua perubah acak diskret yang
dapat terjadi secara serentak dinyatakan dengan notasi f(x,y), maka
f(x,y) disebut Fungsi ( atau distribusi ) Massa Gabungan dari
perubah acak X dan Y.
19
Definisi (3.6):
Fungsi f(x,y) disebut distribusi probabilitas gabungan atau fungsi
massa gabungan dari perubah acak diskret X dan Y jika:
1. f(x,y) ≥ 0; untuk semua (x,y)
2.
3. P(X=x,Y=y) = f(x,y)
Untuk setiap daerah A di bidang xy, maka
P[(X,Y)єA] =
1x y
f(x,y)
A f(x,y)
20
Contoh (3.6):
Dua buah bolam dipilih secara acak dari sebuah kotak yang berisi 3
bolam berwarna biru, 2 berwarna merah, dan 3 berwarna hijau. Jika X
menyatakan banyaknya bolam berwarna biru dan Y berwarna merah
yang terpilih, maka hitunglah:
a. fungsi probabilitas gabungan X dan Y
b. P[(X,Y)єA], bila A daerah {(x,y)/ x+y≤ 1}
Jawab:
a. Misalkan,
X = banyaknya bolam biru yang terambil = {0, 1, 2}
Y = banyaknya bolam merah yang terambil = {0, 1, 2}
Pasangan nilai (x,y) yang terjadi :(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)
21
Ilustrasi:
2 n(S) = 3B 2M,3H 8
Misalnya n(S) = banyaknya cara memilih 2 bolam dari 8 yang ada
Fungsi peluang gabungan f(x,y) dinyatakan dengan rumus:
x = 0, 1, 2
y = 0, 1, 2
0 ≤ x+y ≤ 2
8 828
2 2 6
!! !
3 2 3
28
2
x y x yf ( x, y )
22
b. Dari hasil a), diperoleh sbb:
;
;
;
328
3 2 3
0 0 20 0
8
2
f( , ) 314
3 2 3
0 1 10 1
8
2
f( , )
128
3 2 3
0 2 00 2
8
2
f( , )
314
3 2 3
1 1 011
8
2
f( , )
928
3 2 3
1 0 11 0
8
2
f( , )
328
3 2 3
2 0 02 0
8
2
f( , )
23
Dari hasil diatas dapat dibuat tabel distribusi probabiliatas sbb:
Tabel. 3.3. Distribusi Peluang Gabuangan X dan Y
f(x,y)
X Jumlah
baris 0 1 2
Y
0
1
2
Jumlah kolom 1
328
314
128
928
37
1528
1528
514
Jadi P[(X,Y)єA] = P(x+y ≤ 1) = f(0,0) + f(0,1) + f(1,0)
= + + =328
914
328
328
128
314
314
928
24
3.5 Fungsi Padat Gabungan
Jika X dan Y, perubah acak kontinu, maka f(x,y) disebut
fungsi padat gabungan dari X dan Y yaitu suatu permukaan yang
terletak di atas bidang xy, dan P[(X,Y)єA] dimana A adalah
daerah di bidang xy , sama dengan isi silinder kanan yang dibatasi
oleh dasar A dan permukaan.
Fungsi padat gabungan ini merupakan cara menjelaskan
distribusi probabilitas untuk populasi atau sistem.
25
Definisi (3.7):
Fungsi f(x,y) disebut fungsi padat gabungan dari perubah
acak kontinu X dan Y jika:
1. f(x,y) ≥ 0; untuk semua (x,y)
2.
3. P[(X,Y)єA] =
untuk tiap daerah di bidang xy
1f ( x,y )dx dy
A
f ( x,y )dx dy
26
• Contoh (3.7):
Suatu pengiriman barang yang memproduksi coklat dengan
campuran krem,cofee dan kacang, dengan berlapis coklat cerah dan
pekat. Bila sebuah kotak diambil secara acak , serta X dan Y masing-
masing menyatakan proporsi campuran krem berlapis coklat cerah
dan pekat dengan fungsi padat gabungannya adalah :
a. Tunjukan
b. Cari P[(X,Y)єA] jika A daerah {(x,y)/ 0 < x < ; < y < }12
12
14
23
2 3 0 1 0 1
0
( x y); x , yf(x,y)
; untuk x yanglain
1f x y dx dy
( , )
27
Jawab:a.
b. P[(X,Y)єA] = P ( 0 < x < ; < y < )
11 1 12 62 2
5 5 50 0 0 01 126 2 3 32 2
5 5 5 5 5 500
2 3
1
x
xyx
x
y y y
f(x,y)dxdy ( x y)dxdy dy
( )dy ( )
x 1/ 21/ 2 1/ 2 1/ 22 6xy2 2x
5 5 51/ 4 0 1/ 4 x 01/ 2 1/ 223y y 3y 131
10 5 10 10 1601/ 41/ 4
(2x 3y)dxdy dy
( )dy ( )
12
12
14
28
3.5 Distribusi Marginal (pias)
Jika f(x,y) peluang gabungan dari perubah acak diskrit X
dan Y maka peluang g(x) dari X sendiri diperoleh dengan
menjumlahkan f(x,y) terhadap semua Y. demikian pula untuk
distribusi peluang h(y) dari Y diperoleh dengan menjumlahkan f(x,y)
terhadap semua nilai X.
g(x) disebut distribusi marginal dari X, dan h(y) disebut
distribusi marginal dari Y.
Jika X dan Y perubah acak kontinu, tanda penjumlahan diganti
dengan integral.
29
Definisi (3.8):
Distribusi marginal dari perubah acak X sendiri dan Y sendiri
didefinisikan sebagai :
a. Untuk hal diskrit, maka
dan
b. untuk hal kontinu, maka
dan
y
g(x) f(x,y) x
h(y) f(x,y)
g(x) f(x,y)dy
h(y) f(x,y)dx
30
Contoh (3.8):
a. Tunjukan jumlah kolom dan baris pada tabel 3.3 memberikan
distribusi marginal dari X sediri dan Y sendiri.
b. Cari g(x) dan h(y) untuk fungsi padat gabungan pada
contoh (3.6)
Jawab:a. Untuk perubah acak X
P(X=0) = g(0) =
P(X=1) = g(1) =
P(X=2) = g(2) =
2
0
50 0 0 0 1 0 2
14
y
f( ,y) f( , ) f( , ) f( , )
2
0
151 1 0 11 1 2
28
y
f( ,y) f( , ) f( , ) f( , )
2
y 0
3f (2, y) f (2,0) f (2,1) f (2,2)
28
31
Untuk perubah acak Y
P(Y=0) = h(0) =
P(Y=1) = h(1) =
P(Y=2) = h(2) =
Distribusi Marginal dalam bentuk tabel sbb:
2
0
150 0 0 1 0 2 0
28
x
f(x, ) f( , ) f( , ) f( , )
2
x 0
6f (x,1) f (0,1) f (1,1) f (2,1)
14
2
x 0
3f (x,2) f (0,2) f (1,2) f (2,2)
28
x 0 1 2g(x)
y 0 1 2h(y) 3
71528
128
1528
514
328
32
b. Untuk perubah acak X
dan
Untuk perubah acak Y
dan
125
0126
100
2 3
4 4 30 1
5 5
y
y
y
g(x) f(x,y)dy ( x y)dy
xy x;untuk x
0g(x) ;untuk x yanglainnya
125
012
65
0
2 3
2 2 60 1
5 5
x
xy
x
h(y) f(x,y)dx ( x y)dx
x y;untuk y
0h(y) ;untuk y yanglainnya
33
Catatan:
Distribusi marginal g(x) dan h(y) adalah distribusi masing-
masing perubah X dan Y sendiri. Hal ini dapat dengan mudah dengan
menunjukan misalnya untuk hal kontinu:
Dan
P(a< X < b) = P(a< X < b; -∞ < Y < ∞ )
1
g(x)dx f(x,y)dydx
b b
a a
f(x,y)dydx g(x)dx
34
3.6 Distribusi Bersyarat
Menurut definisi probabilitas bersyarat sebelumnya
bahwa kejadian B terjadi setelah A muncul dinyatakan:
Jika kejadian A dan B masing-masing menyatakan X=x
dan Y=y, maka untuk X dan Y perubah acak diskrit:
0 P(A B)
P(B / A) ; P(A)P(A)
0
P(X x,Y y)P(Y y / X x)
P(X x)f(x,y)
; g(x)g(x)
• Berlaku juga untuk X dan Y kontinu.
Jika ditulis f(y/x), maka diperoleh definisi berikut ini P(Y y / X x)
35
Definisi (3.9):
Misalkan X dan Y merupakan perubah acak diskrit maupun kontnu.
Maka distribusi probabilitas bersyarat dari perubah acak Y , jika
diketahui X=x dinyatakan sebagai:
Distribusi peluang bersyarat perubah acak X, jika diketahui Y=y
dinyatakan sebagai:
0f(x,y)
f(y / x) ; g(x)g(x)
0f(x,y)
f(x / y) ; h(y)h(y)
36
Mencari probabilitas perubah acak diskrit X , a <x < b
• jika perubah acak diskrit Y telah diketahui , maka dihitung:
penjumlahan meliputi semua nilai X antara a dan b.
• Jika X dan Y Kontinu, maka dihitung:
Contoh (3.9):
Kembali ke contoh (3.6).
a). Cari distribusi bersyarat X, jika diketahui Y=1
b). Gunakan a). Untuk menghitung P(X=0/Y=1)
x
P(a X b / Y y) f(x,y)
b
a
P(a X b / Y y) f(x / y)dx
37
Jawab:
a). Yang akan kita cari
Pertama-tama dicari
b). Untuk menghitung P(X=0/Y=1)
0f(x,y)
f(x / y) ; h(y)h(y)
1f(x / y); untuk y
26 3
14 70
1 1 0 1 11 2 1
x
h( ) f(x, ) f( , ) f( , ) f( , )
146
11 1 0 1 2
1f(x, )
f(x / ) f(x, ) ; x , ,h( )
7 314 16 3 14 2
0 10 0 1 0 1
1f( , )
x f( / ) f( , ) ( )( )h( )
7 314 16 3 14 2
111 1 1 11
1f( , )
x f( / ) f( , ) ( )( )h( )
38
7146 3
2 12 2 1 2 1 0 0
1f( , )
x f( / ) f( , ) ( )( )h( )
x 0 1 2
f(x/1) 012
12
Tabel 3.4 distribusi bersyarat X, bila Y=1
Sehingga diperoleh P(X=0/Y=1) = f(0/1) =12
• Jadi bila diketahui bahwa 1 dari kedua isi bulpoint yang
terambil berwarna merah maka probabilitasnya
bahwa isi yang satu lagi bukan biru
12
39
Contoh (3.10):
Misalkan X perubah acak yang menyatakan banyaknya pelari pria dan
Y pelari wanita yang menyelesaikan lomba-lomba maraton. Secara
matematika dapat dinyatakan sebagai fungsi padat gabungan:
a). Hitung lah g(x), h(y), f(y/x)
b). Tentukan peluang bahwa kurang dari 1/8 pelari wanita
yang menyelesaikan maraton bila ada tepat 1/2 pria
telah menyelesaikan maraton tsb
8 0 1 0
0
xy; x , y xf(x,y)
; untuk x,y yanglainya
40
Jawab:
dan
Jadi,
dan
02 3
0
8
4 4 0 1
x
y x
y
g(x) f(x,y)dy xy dy
xy x ; x
1
12 2
8
4 4 1 0 1
yx
x y
h(y) f(x,y)dx xy dx
x y y( y ) ; y
28
04
f(x,y) xyf(y / x) ; y x
g(x) x
1 81 1 18 2 16
0
8
/
P(Y / X ) y dy
41
Contoh (3.11):
Diketahui fungsi padat gabungan:
a). Carilah g(x), h(y), f(x/y)
b). Hitunglah
Jawab: menurut definisi,
21 30 2 0 1
40
x( y ); x , yf(x,y)
; untuk x,y yanglainya
1 1 14 2 3
P( X / Y )
1 2
013
0
1 34
0 24 4 2
y
y
x( y )g(x) f(x,y)dy dy
xy xy x; x
42
dan
Jadi,
dan
2 2
022 2 2
02
1 34
38 8
1 30 1
2
x
x
x( y )h(y) f(x,y)dx dx
x x y
y; y
2
21 3 4
0 221 3 2
f(x,y) x( y ) / xf(x / y) ; x
h(y) ( y ) /
1 231 1 1
4 2 3 641 4
2
/
/
xP( X / Y ) dx
43
3.7. Bebas Statistik
Jika f(x/y) tidak tergantung pada y, maka hasil dari perubah acak Y
tidak mempengaruhi oleh hasil perubah acak X, dan disebut bahwa “X
dan Y perubah acak bebas”.
• Definisi (3.10):
Jika f(x,y) merupakan fungsi probabilitas gabungan dari perubah
acak X dan Y dan distribusi marginal masing-masing g(x) dan h(y),
maka X dan Y dikatakan bebas statistik jika :
untuk setiap (x,y) dalam daerah definisinya
f(x,y) g(x)h(y)
44
Contoh (3.12):
Tunjukan bahwa perubah acak pada contoh (7.1) tidak
bebas statistik.
Jawab: Untuk x=0 dan y=1 pada tabel 7.1. diperoleh
30 1
14f( , )
2
0
3 3 1 50 0
28 14 28 14y
g( ) f( ,y)
diperoleh: , Jadi X dan Y tidak bebas statistik
2
0
3 3 61 1 0
14 14 14x
h( ) f(x, )
0 1 0 1f( , ) g( ) h( )
45
Definisi (3.8) juga berlaku untuk n-perubah acak ,yaitu:
untuk setiap dalam daerah definisinya
1 2 1 1 2 2n n nf(x ,x ,...,x ) f (x ) f (x )....f (x )
1 2 n(x ,x ,....,x )
Contoh (3.13):
Umur makanan kemasan dalam kotak sebelum rusak (tahan lama)
merupakan perubah acak dengan fungsi padat berbentuk
Hitung
0
0
xe ;xf(x);x yang lainnya
1 2 32 3 2P(X ,X ,X )
46
Jawab:
Misal menyatakan umur tahan lama dari tiga kotak
makanan. karena dipilih secara acak, maka dapat dianggap bebas
statistik, sehingga distribusi gabungannya:
Jadi:
1 2 3x ,x ,dan x
31 21 2 3 1 2 3
31 21 2 30 0 0
xx x
xx x
f(x ,x ,x ) f(x ) f(x ) f(x ) e e e
e ;untuk x ,x ,x
1 2 3 0f(x ,x ,x ) ;untuk x yang lainnya
3 231 2
1 2 3 1 2 3
2 1 02 1 3 2
2 3 2
1
0 0376
xx xP(X ,X ,X ) e dx dx dx
( e )(e e )e
.
