Distribusi Bivariat

Nunung Nurhayati Teori Peluang (PAM 2231) - Unsoed

Bab 2

Distribusi Multivariat

2.1 Distribusi Bivariat

Definisi 1 (Vektor Acak Bivariat) Diberikan percobaan acak dengan ruang sampel S.Misal X1 dan X2 variabel acak yang terdefinisi di S. Vektor acak bivariat adalah fungsibernilai vektor di R2 yang terdefinisi pada ruang sampel S, dinotasikan dengan

X =

(X1

X2

)atau X = (X1, X2).

Ruang atau space dari X adalah himpunan pasangan terurut yang beranggotakan semuanilai-nilai yang mungkin dari X,

D = {(x1, x2);x1 = X1(c), x2 = X2(c), c ∈ S} ⊆ R2

Contoh 1. Misal koin dengan permukaan gambar (G) dan angka (A), dan dadu dilan-tunkan secara bersamaan, maka ruang sampel percobaan acak tersebut adalah

S = {c1 = (G, 1), c2 = (G, 2), c3 = (G, 3), c4 = (G, 4), c5 = (G, 5), c6 = (G, 6),

c7 = (A, 1), c8 = (A, 2), c9 = (A, 3), c10 = (A, 4), c11 = (A, 5), c12 = (A, 6)}.

Jika X1 variabel acak menyatakan permukaan koin dan X2 menyatakan permukaan dadu,maka X1 dan X2 masing-masing dapat didefinisikan sebagai fungsi bernilai real yangdidefinisikan dengan

X1(c) =

{1, c = c1 , c2 , . . . , c60, c = c7 , c8 , . . . , c12

dan X2(c) =

1, c = c1 , c72, c = c2 , c83, c = c3 , c94, c = c4 , c105, c = c5 , c116, c = c6 , c12

Misal D himpunan pasangan terurut yang didefinisikan sebagai

D = {(x1, x2);x1 = 0, 1 dan x2 = 1, 2, . . . , 6}

maka fungsi vektor X =

(X1

X2

): S → D, merupakan vektor acak bivariat. �

Distribusi vektor acak dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi distribusi (cdf) gabungan.Definisi cdf gabungan hampir serupa dengan definisi cdf variabel acak. Perbedaan hanyaterjadi pada domainnya saja, dari R menjadi R× R atau R2.

1


Definisi 2 (Fungsi distribusi gabungan) Fungsi distribusi (cdf) gabungan dari vektoracak (X1, X2) adalah fungsi yang terdefinisi di R2 yang memetakan setiap area (−∞, x1]×(−∞, x2] ∈ R2 ke F (x1, x2) ∈ [0, 1] dengan aturan

F (x1, x2) = P (X1 ≤ x1, X2 ≤ x2)

dengan P (X1 ≤ x1, X2 ≤ x2) = P ({X1 ≤ x1} ∩ {X2 ≤ x2}).

Fungsi distribusi F (x1, x2) dapat digunakan untuk menghitung peluang dari peristiwa(a1, b1]× (a2, b2] ⊂ D, yaitu

P (a1 < X1 ≤ b1, a2 < X2 ≤ b2) = F (b1, b2)− F (a1, b2)− F (b1, a2) + F (a1, a2)

Seperti pada variabel acak, distribusi vektor acak terbagi dua jenis, diskrit dan kontinu.Distribusi diskrit ditandai oleh ruang D yang berhingga atau tak berhingga tetapi count-able. Sementara itu, distribusi kontinu ditandai oleh ruang D yang kontinu dan cdfgabungan yang kontinu.

Untuk kasus diskrit, distribusi vektor acak juga dapat dinyatakan dalam bentuk pmfgabungan yang didefiniskan sebagai berikut:

Definisi 3 (Fungsi peluang massa gabungan) Misal (X1, X2) vektor acak dengan ru-ang D. Fungsi massa peluang (pmf) gabungan didefinisikan sebagai fungsi

p(x1, x2) = P (X1 = x1, X2 = x2)

untuk setiap (x1, x2) ∈ D, yang memenuhi dua syarat:

(i). 0 ≤ p(x1, x2) ≤ 1 dan (ii).∑∑(x1,x2)∈D

p(x1, x2) = 1

Peluang dari peristiwa B ⊆ D, dapat dihitung dengan menjumlahkan nilai-nilai pmfp(x1, x2) di setiap (x1, x2) yang mungkin, yang berada di B, atau

P [(X1, X2) ∈ B] =∑∑(x1,x2)∈B

p(x1, x2).

Hubungan antara cdf gabungan dengan pmf gabungan adalah

F (x1, x2) =∑

w1≤x1

∑w2≤x2

p(w1, w2)

Definisi 4 (pmf marjinal) Misal vektor acak (X1, X2) mempunyai pmf gabungan p(x1, x2).Jika DX1 dan DX2 masing-masing ruang untuk X1 dan X2, maka pmf marjinal untuk X1

adalahp(x1) =

∑x2∈DX2

p(x1, x2), x1 ∈ DX1

dan pmf marjinal untuk X2 adalah

p(x2) =∑

x1∈DX1

p(x1, x2), x2 ∈ DX2

2


Dengan kata lain, ketika penjumlahan pmf gabungan dilakukan hanya di sepanjang x2 ∈DX2 , pmf p(x1, x2) merupakan fungsi dari x1 saja dan fungsi tersebut disebut pmf marjinaluntuk X1. Sebaliknya, ketika penjumlahan pmf gabungan dilakukan hanya di sepanjangx2 ∈ DX1 , pmf p(x1, x2) merupakan fungsi dari x2 saja dan fungsi tersebut disebut pmfmarjinal untuk X2.

Contoh 2. Berikut contoh pmf gabungan dari (X1, X2) dan pmf marjinalnya, p1(x1) danp2(x2).

x1

x2 1 2 3

1 110

110

210

2 110

210

310

⇒

x1

x2 1 2 3 p2(x2)

1 110

110

210

410

2 110

210

310

610

p1(x1)210

310

510

Dalam hal ini, pmf marjinal

p1(x1) =

p(1, 1) + p(1, 2) = 1

10 + 110 = 2

10 , jika x1 = 1

p(2, 1) + p(2, 2) = 110 + 2

10 = 310 , jika x1 = 2

p(3, 1) + p(3, 2) = 210 + 3

10 = 510 , jika x1 = 3,

dan

p2(x2) =

p(1, 1) + p(2, 1) + p(3, 1) = 1

10 + 110 + 2

10 = 410 , jika x2 = 1

p(1, 2) + p(2, 2) + p(3, 2) = 110 + 2

10 + 310 = 6

10 , jika x2 = 2. �

Definisi 5 (pdf gabungan) Misal vektor acak (X1, X2) mempunyai cdf gabungan F (x1, x2).Jika F kontinu dan terintegralkan terhadap x1 dan x2 maka fungsi

f(x1, x2) =∂2F (x1, x2)

∂x1∂x2

disebut fungsi densitas peluang (pdf) gabungan dari (X1, X2).

Ciri-ciri dari pdf gabungan f(x1, x2) adalah

(i). f(x1, x2) ≥ 0 dan (ii).

∫ ∫(x1,x2)∈D

f(x1, x2) dx = 1

Untuk kasus kontinu, cdf F (x1, x2) dapat dinyatakan dalam bentuk integral lipat dua,yaitu

F (x1, x2) =

∫ x1

−∞

∫ x2

−∞f(w1, w2) dw1dw2

3


untuk setiap (x1, x2) ∈ R2.

Sementara itu, peluang dari peristiwa B ⊆ D, dapat dihitung dengan mengintegralkan pdff(x1, x2) di setiap (x1, x2) yang mungkin, yang berada di B, atau

P [(X1, X2) ∈ B] =

∫ ∫(x1,x2)∈B

f(x1, x2) dx1dx2.

Nilai P [(X1, X2) ∈ B] dapat diinterpretasikan sebagai volume di bawah permukaan z =f(x1, x2) yang dibatasi pada area B.

Contoh 3. Misalkan pdf dari vektor acak (X1, X2).

f(x1, x2) =

{6x21x2 , 0 < x1 < 1, 0 < x2 < 10 , x1, x2 lainnya,

maka

P (0 < X1 <34 ,

13 < X2 < 2) =

∫ 2

1/3

∫ 3/4

0f(x1, x2) dx1dx2

=

∫ 1

1/3

∫ 3/4

06x21x2 dx1dx2 +

∫ 2

1

∫ 3/4

00 dx1dx2

=3

8+ 0 =

3

8

Definisi 6 (pdf marjinal) Misal (X1, X2) vektor acak dengan pmf gabungan f(x1, x2).Jika DX1 dan DX2 masing-masing ruang untuk X1 dan X2, maka pdf marjinal untuk X1

adalah

f(x1) =

∫ ∞−∞

f(x1, x2) dx2, x1 ∈ DX1

dan pdf marjinal untuk X2 adalah

f(x2) =

∫ ∞−∞

f(x1, x2) dx1, x2 ∈ DX2

Contoh 4. Misal X1 dan X2 mempunyai pdf gabungan

f(x1, x2) =

{x1 + x2 , 0 < x1 < 1, 0 < x2 < 10 , x1, x2 lainnya

maka pdf marjinal untuk X1

f1(x1) =

∫ 1

0(x1 + x2)dx2 = x1 + 1

2 , 0 < x1 < 1

dan 0 untuk yang lainnya.

4


Sementara itu, pdf marjinal untuk X2

f2(x2) =

∫ 1

0(x1 + x2)dx1 = 1

2 + x2, 0 < x2 < 1.

dan 0 untuk yang lainnya.

Peluang P (X1 ≤ 12) dapat dihitung berdasarkan f(x1, x2) atau berdasarkan f(x1)

P (X1 ≤ 12) =

∫ 1/2

0

∫ 1

0f(x1, x2) dx2dx1 =

∫ 1/2

0f1(x1) dx2 =

∫ 1/2

0(x1 + 1

2) dx2 = 38

Tetapi, untuk menghitung peluang P (X1 + X2 ≤ 1) hanya dapat didasarkan pada pdfgabungan f(x1, x2).

P (X1 +X2 ≤ 1) =

∫ 1

0

∫ 1−x1

0(x1 + x2)dx2dx1

=

∫ 1

0

[x1(1− x1) +

(1− x1)2

2

]dx1

=

∫ 1

0

(1

2− 1

2x21

)dx1 =

1

3. �

Ekspektasi. Konsep ekspektasi dari variabel acak dapat diperluas untuk kasus vektoracak. Sifat linieritas ekspektasi berlaku juga pada kasus vektor acak.

Definisi 7 (Ekspektasi fungsi dua variabel acak) Misal (X1, X2) vektor acak dan Y =g(X1, X2) fungsi bernilai real (g : R2 → R).

(a) Jika (X1, X2) kontinu dan∫ ∞−∞

∫ ∞−∞|g(x1, x2)| f(x1, x2) dx1dx2 <∞,

maka E[Y ] ada dan

E[Y ] =

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

g(x1, x2)f(x1, x2) dx1dx2

(b) Jika (X1, X2) diskrit dan∑x1

∑x2

|g(x1, x2)| f(x1, x2) <∞,

maka E[Y ] ada dan

E[Y ] =∑x1

∑x2

g(x1, x2)f(x1, x2)

5


Teorema 1 (Ekspektasi sebagai operator linier) Misal (X1, X2) vektor acak. Mis-alkan pula Y1 = g(X1, X2) dan Y2 = g(X1, X2) variabel-variabel acak yang mempunyaiekspektasi. Jika k1, k2 bilangan real sembarang, maka

E[k1Y1 + k2Y2] = k1E[Y1] + k2E[Y2]

Misal (X1, X2) vektor acak. Ekspektasi E[g(X2)] dapat dihitung dalam dua cara:

E[g(X2)] =

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

g(x2)f(x1, x2) dx1dx2

atau

E[g(X2)] =

∫ ∞−∞

g(x2)f(x2) dx2.

Persamaan terakhir diperoleh karena∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

g(x2)f(x1, x2) dx1dx2 =

∫ ∞−∞

g(x2)

(∫ ∞−∞

f(x1, x2) dx1

)dx2

=

∫ ∞−∞

g(x2)f(x2) dx2.

Contoh 5. Misal X1 dan X2 mempunyai pdf gabungan

f(x1, x2) =

{8x1x2 , 0 < x1 < x2 < 10 , untuk yang lainnya.

Tentukan E[X1X22 ], E[X2], dan E[7X1X

22 + 5X2].

Penyelesaian. Berdasarkan Definisi 7,

E[X1X22 ] =

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

x1x22f(x1, x2) dx1dx2

=

∫ 1

0

∫ x2

0(8x21x

32) dx1dx2 =

∫ 1

0

83x

62 dx2 =

8

21,

dan

E[X2] =

∫ 1

0

∫ x2

0x2(8x1x2) dx1dx2 =

∫ 1

0x2(4x

32) dx2 =

4

5.

Akibatnya,

E[7X1X22 + 5X2] = 7E[X1X

22 )] + 5E[X2] = (7)( 8

21) + (5)(54) =20

3.

Contoh 6. Misal X1 dan X2 mempunyai pdf gabungan seperti pada Contoh 5. Jika Y =X1/X2, tentukan E[Y ] dengan dua cara, berdasarkan pdf marjinal dari Y, dan berdasarkanDefinisi 7.

6


Penyelesaian. Lihat Hogg, et al. (2005, hal. 81).

Definisi 8 (Ekspektasi vektor acak) Misal X = (X1, X2) vektor acak. Jika E[X1] danE[X2] ada maka vektor

E[X] =

(E[X1]E[X2]

)disebut nilai ekspektasi dari vektor acak X.

Mean dan matriks variansi-kovariansi. Misal X = (X1, X2) vektor acak. Jika meanµ1 = E[X1] dan µ2 = E[X2] ada, maka vektor

µ = E[X] =

(µ1µ2

)=

(E[X1]E[X2]

)disebut mean dari X, dan matriks

Cov(X) = E[(X− µ)(X− µ)′]

disebut matriks variansi-kovariansi dari vektor acak X.

Definisi 9 (mgf vektor acak) Misal X = (X1, X2) vektor acak. Jika E[et1X1+t2X2 ] adauntuk |t1| < h1 dan |t2| < h2, dengan h1 dan h2 bilangan real positif, maka

M(t1, t2) = E[et1X1+t2X2 ]

disebut fungsi pembangkit momen (mgf) dari X.

Seperti pada variabel acak, jika mgf dari X ada maka mgf menentukan distribusi dari Xsecara tunggal. Dalam notasi vektor, mgf dari X dapat ditulis

M(t) = E[et′X]

dengan t = (t1, t2).

Dari Definisi 9, mgf marjinal untuk X1 dan X2 masing-masing dapat dinyatakan sebagaiM(t1) = M(t1, 0) dan M(t2) = M(0, t2).

Contoh 7. Misal X dan Y variabel acak dengan pdf gabungan

f(x, y) =

{e−y , 0 < x < y <∞0 , x, y lainnya.

Tentukan mgf marjinal dan pdf marjinal untuk X dan Y.

7


Penyelesaian. Dari Definisi 9, mgf dari X dan Y adalah

M(t1, t2) =

∫ ∞0

∫ ∞x

exp(t1x+ t2y − y) dydx

=1

(1− t1 − t2)(1− t2)

dengan syarat t1 + t2 < 1 dan t2 < 1.

Akibatnya, mgf marjinal untuk X dan Y adalah

M(t1, 0) =1

1− t1, t1 < 1

M(0, t2) =1

(1− t2)2, t2 < 1

Berdasarkan pdf gabungannya, pdf marjinal untuk X adalah

f1(x) =

∫ ∞−∞

f(x, y) dy =

∫ ∞x

e−y dy = e−x, 0 < x <∞

dan 0 untuk x lainnya. Sementara itu, pdf marjinal untuk Y adalah

f2(y) =

∫ ∞−∞

f(x, y) dx =

∫ y

0e−y dy = e−y

∫ y

0dy = ye−y, 0 < y <∞.

dan 0 untuk y lainnya.

Latihan

1. Misal pdf dari X1 dan X2 adalah f(x1, x2) = 4x1x2, 0 < x1 < 1, 0 < x2 < 1,dan 0 untuk yang lainnya. Tentukan P (0 < X1 <

12 ,

14 < X2 < 1), P (X1 = X2),

P (X1 < X2), dan P (X1 ≤ X2).Petunjuk. P (X1 = X2) dapat diinterpretasikan sebagai volume di bawah permukaanf(x1, x2) = 4x1x2 dan di atas garis 0 < x1 = x2 < 1 pada bidang x1x2.

2. Misal D ruang dari vektor acak (X1, X2). Misalkan pula A1 = {(x, y) : x ≤ 2, y ≤ 4},A2 = {(x, y) : x ≤ 2, y ≤ 1}, A3 = {(x, y) : x ≤ 0, y ≤ 4}, dan A4 = {(x, y) : x ≤0, y ≤ 1} merupakan subset dari D. Jika P (A1) = 7

8 , P (A2) = 48 , P (A3) = 3

8 , danP (A4) = 2

8 , tentukan P (A5) dengan A5 = {(x, y) : 0 < x ≤ 2, 1 < y ≤ 4}.

3. Misal pdf dari X dan Y adalah f(x, y) = e−x−y, 0 < x < ∞, 0 < y < ∞, dan 0untuk yang lainnya. Jika Z = X + Y, tentukan P (Z ≤ 0), P (Z ≤ 6), dan secaraumum P (Z ≤ z), untuk 0 < z <∞. Tentukan pula pdf dari Z.

4. Misal pdf dari X dan Y adalah f(x, y) = 1, 0 < x < 1, 0 < y < 1, dan 0 untuk yanglainnya. Tentukan cdf dan pdf dari dari Z = XY.

5. Misal 13 kartu diambil secara acak dan tanpa pengembalian dari satu set kartu remi.Jika X menyatakan banyaknya ♠ di antara 13 kartu yang terambil, tentukan pmf dariX. Selanjutnya, jika Y menyatakan banyaknya ♥ di antara 13 kartu yang terambil,tentukan P (X = 2, Y = 5). Tentukan pula pmf gabungan dari X dan Y.

8


6. Misal variabel acak X1 dan X2 mempunyai pmf gabungan berikut:

(x1, x2) (0,0) (0,1) (0,2) (1,0) (1,1) (1,2)

f(x1, x2)212

312

212

212

212

112

dan f(x1, x2) = 0 untuk yang lainnya.

(a) Tulis peluang-peluang tersebut dalam bentuk tabel seperti pada Contoh 2.Lengkapi tabel tersebut dengan pdf marjinal untuk X1 dan X2.

(b) Hitung P (X1 +X2 = 1)

7. Misal X1 dan X2 mempunyai pdf gabungan f(x1, x2) = 15x21x2, 0 < x1 < x2 < 1,dan 0 untuk yang lainnya. Tentukan pdf marjinal untuk X1 dan X2, dan hitungP (X1 +X2 ≤ 1).

8. Misal X1 dan X2 mempunyai pmf gabungan p(x1, x2) = (x1+x2)/12, untuk x1 = 1, 2,x2 = 1, 2, dan 0 untuk yang lainnya. Hitung E[X1], E[X2

1 ], E[X2], E[X22 ], dan

E[X1X2]. Apakah E[X1X2] = E[X1]E[X2]? Tentukan E[2X1 − 6X22 + 7X1X2].

9. Misal X1 dan X2 dua variabel acak dengan pdf gabungan f(x1, x2) = 4x1x2, 0 <x1 < 1, 0 < x2 < 1, dan 0 untuk yang lainnya. Hitung E[X1], E[X2

1 ], E[X2], E[X22 ],

dan E[X1X2]. Apakah E[X1X2] = E[X1]E[X2]? Tentukan E[3X2 − 2X21 + 6X1X2].

10. Misal X1 dan X2 dua variabel acak dengan pmf gabungan p(x1, x2) = (1/2)x1+x2 ,untuk x1, x2 = 1, 2, 3, . . . , dan 0 untuk yang lainnya. Tentukan mgf gabungan dariX1 dan X2. Tunjukkan bahwa M(t1, t2) = M(t1, 0)M(0, t2).

11. Misal X1 dan X2 dua variabel acak dengan pdf gabungan f(x1, x2) = x1e−x2 , untuk

0 < x1 < x2 < ∞, dan 0 untuk yang lainnya. Tentukan mgf gabungan dari X1 danX2. Tunjukkan bahwa M(t1, t2) = M(t1, 0)M(0, t2).

12. Misal X dan Y mempunyai pdf gabungan f(x, y) = 6(1− x− y), x + y < 1, x > 0,y > 0, dan 0 untuk yang lainnya. Hitung P (2X + 3Y < 1) dan E[XT + 2X2].

9

Distribusi Bivariat

Documents

Transcript of Distribusi Bivariat