Dinamika Dan Interaksi Soliton DNA Model Peyrard-Bishop...

DINAMIKA DAN INTERAKSI SOLITON DNA

MODEL PEYRARD-BISHOP-DAUXOIS DENGAN

APROKSIMASI POTENSIAL MORSE ORDE LIMA

IZZATU YAZIDAH

DEPARTEMEN FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2012

Izzatu Yazidah. Dinamika dan Interaksi Soliton DNA Model Peyrard-

Bishop-Dauxois dengan Aproksimasi Potensial Morse Orde Lima. Dibimbing

oleh : Dr. Husin Alatas, S. Si, M. Si.

Abstrak

DNA model PBD (perpanjangan dari model Peyrard-Bishop) merupakan model

DNA yang menggambarkan denaturasi (replikasi) DNA. Tulisan ini menjelaskan makna fisis dari solusi numerik DNA model PBD dengan aproksimasi potensial morse hingga

orde lima dalam efek gangguan pada dinamika gelombang soliton DNA. Dengan

menggunakan metode finite-difference yang dibantu metode interpolasi Lagrange diperoleh solusi numerik dinamika soliton DNA model PBD yang diberikan gangguan

pada solusi stabilnya. Pengaruh gangguan dengan mengalikan nilai (1+ɛ) pada solusi

stabilnya dapat terlihat pada peristiwa undulasi (dimana terjadi penyempitan soliton dan kenaikan amplitudo), sedangkan gangguan beda fase (θ=0,π/2 dan π) tidak memberikan

pengaruh yang cukup signifikan terhadap kondisi selanjutnya.

Kata kunci: DNA model PBD, metode finite-difference, interpolasi Lagrange, potensial morse, soliton.

PERNYATAAN

Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi yang berjudul Dinamika dan

Interaksi Soliton DNA Model Peyrard-Bishop-Dauxois dengan Aproksimasi

Potensial Morse Orde Lima adalah benar-benar hasil karya saya sendiri dibawah

bimbingan Dr. Husin Alatas. S.Si, M.Si, dan belum pernah digunakan sebagai

karya ilmiah pada perguruan tinggi atau lembaga manapun. Sumber informasi

yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan

dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar

Pustaka di bagian akhir skripsi ini.

Bogor, Agustus 2012

Izzatu Yazidah

Judul : Dinamika dan Interaksi Soliton DNA Model Peyrard-Bishop-Dauxois

dengan Aproksimasi Potensial Morse Orde Lima

Nama : Izzatu Yazidah

NRP : G74070035

Menyetujui,

Pembimbing

Dr. Husin Alatas, S.Si, M.Si

NIP : 19710604 199802 1 001

Mengetahui,

Ketua Departemen Fisika FMIPA IPB

Dr. Akhiruddin Maddu, M.Si

NIP : 19710604 199802 1 001

Disetujui tanggal :

DINAMIKA DAN INTERAKSI SOLITON DNA MODEL

PEYRARD-BISHOP-DAUXOIS DENGAN APROKSIMASI

POTENSIAL MORSE ORDE LIMA

Oleh:

IZZATU YAZIDAH

NRP. G74070035

Skripsi

Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor

DEPARTEMEN FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2012

i

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT karena atas

limpahan rahmat dan hidayah-Nya penulis dapat menyelesaikan penulisan laporan

tugas akhir dengan judul ”Dinamika dan Interaksi Soliton DNA Model

Peyrard-Bishop-Dauxois dengan Aproksimasi Potensial Morse Orde Lima”.

Shalawat serta salam tidak lupa dipanjatkan kepada Nabi besar Muhammad SAW

beserta para pengikutnya hingga akhir masa kelak.

Laporan penelitian tugas akhir yang dilakukan oleh penulis ini disusun

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Fakultas

Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor. Penulis

mengucapkan terima kasih kepada pihak-pihak yang telah membantu dalam

penyelesaian penulisan laporan tugas akhir ini, yaitu kepada dosen pembimbing,

dosen penguji, editor, keluarga besar di rumah serta teman-teman yang tidak dapat

dituliskan satu persatu.

Penulis menyadari bahwa usulan penelitian ini jauh dari sempurna, oleh

karena itu, saran dan kritik yang bersifat membangun sangat diperlukan bagi

penulis. Semoga laporan tugas akhir ini bermanfaat bagi semuanya.

Bogor, Agustus 2012

Penulis

ii

UCAPAN TERIMA KASIH

Pada kesempatan ini, penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada

seluruh pihak yang telah membantu dalam penyelesaian penelitian serta laporan

tugas akhir yang dilakukan:

1. Bapak Dr. Husin Alatas - selaku dosen pembimbing akademik serta

pembimbing tugas akhir yang telah banyak memberikan bimbingan,

masukan, dan semangat kepada penulis.

2. Bapak Dr. Irmansyah dan Ibu Mersi Kurniati, M.Si – selaku dosen penguji

yang telah memberikan masukan dan semangat kepada penulis.

3. Bapak M.N Indro, M.Sc – selaku editor yang telah memberikan masukan

mengenai tatacara penulisan laporan tugas akhir serta memberikan

semangat kepada penulis.

4. Bapak Dr. Laksmana Tri Handoko dan tim GFTK LIPI FISIKA yang telah

memberikan kesempatan kepada penulis untuk belajar mengenai

komputasi di GFTK, LIPI Puspiptek Serpong, Tangerang.

5. Keluarga besar H. Ahmad Suhaily – Papa, (Alm.) Mama, Cindy, Rully,

Ahsan dan Ela - yang telah memberi dorongan kepada penulis baik secara

materi maupun spiritual.

6. Laskar SA Palembang dan Big Families H. Syawal.

7. Direktur, Kasubdit serta staff di Direktorat Panas Bumi, Ditjen EBTKE,

Kementrian ESDM RI atas bantuan selama ini .

8. Switenia Wana Putri dan Dede Hermanudin – selaku rekan satu team dan

seperjuangan dalam melakukan penelitian DNA PBD ini. Terima kasih

banyak atas bantuan dan kebersamaan kita selama ini ^^.

9. Dita Rahayu B. – Teman, Sahabat, Saudara penulis selama berada di IPB,

Bogor. Terima kasih banyak atas sukaduka, kebersamaan, keceriaan dan

bantuan selama ini ^^~.

10. Teman-teman penghuni Lab Fisika Teori dan Komputasi, Ka Fabian, Ka

Teguh, Ka Mardhani, Ka Andre, Ka Chandra K, Firman, Maman, Hema.

11. Teman-teman Fisika 44 Dede Y, Hilal, Leli, Balgies, Neneng, Ayul, Wita,

Mbah, dll serta teman-teman dari Dept. Fisika IPB Bambang, Bagus, Epa,

Anggi, Nisa, Mbak Ais, Mbak Wenny, Mas Ian, Bu Grace, Pak Firman,

Mang Jun serta lainnya yang tidak dapat dituliskan satu persatu.

12. Teman-teman kosan RZ, GMSK, 348Nation, Pioner WI, Doetha serta adik

kelas di IPB angkatan 46,47 dan 48 yang tidak dapat dituliskan satu

persatu.

13. Teman-teman admin dan member di komunitas Korea: KPOPDRAMALv,

SungJoonID, SunghyunLv, dan ANJELL Indo, serta Wedding Channel –

Mediaworks Indonesia.

iii

DAFTAR RIWAYAT HIDUP

Penulis lahir di Bekasi pada 08 April 1989, anak ketiga dari

tiga bersaudara pasangan H. Ahmad Suhaily dan Hj.Lulu

Lutfiah, Dsy. (Alm). Pendidikan penulis dimulai pada tahun

1994 di TK Parkit Darma Wanita Tambun, tahun 1995 di

SD Negeri Mekarsari 01 Tambun, tahun 2001 di SLTP

Negeri 2 Tambun Selatan, tahun 2004 di SMA Negeri 1

Tambun Selatan dan tahun 2007 di Institut Pertanian Bogor

melalui jalur USMI.

Selama di IPB, penulis aktif di Organisasi Mahasiswa Daerah (OMDA)

Bekasi - KEMSI sebagai anggota pada tahun 2007-2008 dan Bendahara 2 pada

tahun 2008-2009, Himpunan Mahasiswa Fisika (HIMAFI) sebagai Ketua Divisi

Infokom pada tahun 2009 serta ikut aktif dalam berbagai kepanitian besar di

kampus sebagai divisi acara, pdd, humas dan konsumsi. Selain itu penulis juga

mengajar sebagai asisten praktikum Fisika Dasar untuk mahasiswa TPB pada

tahun 2008-2011 serta asisten praktikum Eksperimen Fisika 2 pada tahun 2011.

iv

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR GAMBAR ...…………………………………………………… v

DAFTAR LAMPIRAN…………………………………………………… vi

BAB 1 PENDAHULUAN .......................................................................... 1

1.1 Latar Belakang ........................................................................... 1

1.2 Tujuan Penelitian ....................................................................... 1

1.3 Perumusan Masalah ................................................................... 1

1.4 Hipotesis .................................................................................... 1

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA ................................................................. 2

2.1 Replikasi DNA ………………………………………....…… 2

2.2 Model DNA PBD ……………………………………....…… 2

BAB 3 METODE PENELITIAN .............................................................. 6

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian ................................................... 6

3.2 Peralatan ................................................................................... 6

3.3 Metode Penelitian ..................................................................... 6

3.3.1 Studi Pustaka ................................................................... 6

3.3.2 Penguasaan Software dan Persamaan Matematis ............. 6

3.3.3 Pembuatan dan Pengujian Program ................................. 6

3.3.3.1 Aplikasi Metode Finite Difference Dalam

Program ………………………………………. 6

3.3.3.2 Aplikasi Interpolasi Lagrange Dalam Program.. 8

BAB 4 HASIL DAN PEMBAHASAN ..................................................... 9

4.1 Simulasi Perambatan Soliton pada Kondisi Stabil .................... 9

4.2 Simulasi Perambatan Soliton Akibat Gangguan pada Amplitudo 10

4.3 Simulasi Interaksi Dua Soliton .................................................. 11

BAB 5 SIMPULAN .................................................................................. 13

SARAN ..................................................................................................... 14

DAFTAR PUSTAKA .................................................................................. 14

LAMPIRAN-LAMPIRAN .......................................................................... 16

v

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 1. Tiga cara teoritis replikasi DNA …............................................... 2

Gambar 2. Representasi grafis model pegas sederhana untuk rantai DNA .... 3

Gambar 3. Perkiraan untuk turunan dari f (x) di P dengan menggunakan

Forward, Backward, dan Central Difference …………………... 6

Gambar 4. Karakteristik solusi persamaan NLS soliton DNA model PBD

hingga orde lima stabil …………………………………………. 9

(a) profil soliton DNA dalam tiga dimensi ……………………... 9

(b) plot hubungan yn (pm) terhadap nl (pm), dimana grafik

berwarna merah menunjukkan grafik pada saat Tawal, dan grafik

biru menunjukkan grafik pada saat Takhir ………………………. 9


hingga orde lima Perturbasi I …………………………...……… 10

(a) profil soliton DNA dalam tiga dimensi ……………………... 10


berwarna merah menunjukkan grafik pada saat Tawal, grafik biru

menunjukkan grafik pada saat Takhir, dan grafik hijau

menunjukkan saat terjadinya undulasi …………………………. 10


hingga orde lima Perturbasi II ………………………...………... 11

(a) profil soliton DNA dalam tiga dimensi …………………….. 10


berwarna merah menunjukkan grafik pada saat Tawal, dan grafik

biru menunjukkan grafik pada saat Takhir ……………………….. 11


hingga orde lima Perturbasi III plot hubungan yn (pm) terhadap

nl (pm), dimana grafik berwarna merah menunjukkan grafik

pada saat Tawal, dan grafik biru menunjukkan grafik pada saat

Takhir …………………………………...................................... 12

(a) profil soliton DNA dalam tiga dimensi untuk θ = 0 ……….. 12

(b) profil soliton DNA dalam tiga dimensi untuk θ = 𝜋

2 ……..... 12

(c) profil soliton DNA dalam tiga dimensi untuk θ = π ……..... 12

vi

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman

Lampiran A. Program Simulasi Perambatan Soliton pada Kondisi Stabil …. 17

Lampiran B. Program Simulasi Perambatan Soliton Akibat Gangguan pada

Amplitudo …………………………………………………… 20

Lampiran C. Program Simulasi Interaksi Dua Soliton …………….……..... 23

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Asam deoksiribonukleat atau yang

lebih dikenal DNA (Deoxyribo Nucleic Acid), adalah sejenis asam nukleat yang

tergolong biomolekul utama penyusun

berat kering setiap organisme. Struktur heliks ganda DNA mengalami dinamika

yang sangat kompleks seperti transkripsi,

translasi dan mutasi. Dinamika DNA

sendiri telah dipelajari dengan hirarki-hirarki yang berbeda dari model struktural

batang elastik yang sederhana sampai ke

nonlinier kisi heliks diskrit1-4

. Dinamika nonlinier telah berhasil digunakan untuk

menjelaskan denaturasi DNA5. Masih

banyak spekulasi pada kemungkinan peran nonlinier (Kinks atau soliton) dalam

masalah interaksi protein-DNA, regulasi

transkripsi, interaksi jarak jauh dari

protein-protein, dan konfirmasi gelombang yang diproduksi oleh

karsinogen.1

Model nonlinear juga mendukung eksitasi koheren yang muncul dalam

banyak bidang ilmu pengetahuan dirintis

sejak penemuan oleh Fermi, Pasta dan

Ulam6. Penemuan Fermi, Pasta dan Ulam

tersebut mendorong banyak ilmuwan

menggunakan model nonlinier dalam

studi sistem yang kompleks7, diantaranya

model nonlinear yang mulai masuk ke

dalam fisika DNA. Englander et al.8 pada

tahun 1980, memodelkan dinamika DNA dengan persamaan sinus-Gordon. Sejak

saat itu, banyak pekerjaan yang

dikhususkan untuk eksitasi nonlinier

dalam DNA, baik dari sudut pandang mekanika dinamik dan statistik. Di antara

bagian kerja tersebut, terutama model

yang sukses yakni model dinamika DNA yang diajukan pertama kali oleh Peyrard-

Bishop (PB)5,9

, dan dikembangkan oleh

Dauxois10-14

dengan potensial morse

berperan menggambarkan ikatan hidrogen antar nukleotida dalam strand

(rantai) yang berbeda. Model Peyrard-

Bishop-Dauxois selanjutnya disebut

sebagai model PBD yang akan menjadi

fokus dalam penelitian ini.

Dinamika DNA model PBD dapat

didekati dengan gelombang soliton,

karena soliton merupakan solusi persamaan diferensial nonlinear, yang

memiliki energi total berhingga,

terlokalisasi dalam ruang, bersifat stabil,

dan tidak menyebar. Profil sebaran rapat energinya menyerupai gundukan yang

terpusat dalam rentang ruang berhingga.

Setiap gelombang soliton dicirikan oleh sifat tidak berubahnya topologi yang

menunjukkan sifat kestabilannya.15

1.2 Tujuan Penelitian

Di dalam penelitian ini akan dicari

bagaimanakah solusi numerik menggunakan metode beda higga (finite-

difference). Kemudian melakukan

simulasi terhadap berbagai macam efek gangguan dan menjelaskan arti fisis dari

hasil yang diperoleh.

1.3 Perumusan Masalah

Sampai saat ini, penelitian yang

dilaporkan di berbagai literatur masih terbatas pada model DNA PBD semi-

diskrit. Pada model ini di asumsikan

bahwa untai DNA merupakan sistem

kontinu. Padahal kenyataannya DNA merupakan sistem diskrit. Dinamika DNA

untuk model semi-diskrit sendiri telah

dikaji secara analitik hingga orde ke lima. Dan pada penelitian ini, akan ditinjau

pemecahan bagaimana solusi numerik

dan simulasi yang dihasilkan pada

persamaan soliton DNA model PBD orde ke lima saat diberi gangguan?.

1.4 Hipotesis

Solusi numerik persamaan soliton

DNA model PBD yang diberi gangguan akan memberikan hasil yang berbeda

dengan solusi eksak tanpa diberi

gangguan.

BAB 2

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Replikasi DNA

DNA atau asam deoksiribonukleat

merupakan polimer yang terdiri atas

tiga komponen utama, yaitu gugus

fosfat, gula deoksiribosa, dan basa

nitrogen19

. Salah satu fungsi pokok DNA

adalah menyimpan informasi genetik dan

dengan tepat dapat meneruskan informasi

tersebut dari tetua kepada keturunannya,

dari generasi ke generasi. Fungsi ini

merupakan fungsi genotipik, yang

dilaksanakan melalui replikasi.

Ada tiga cara teoretis replikasi DNA

yang pernah diusulkan, yaitu

semikonservatif, konservatif, dan

dispersif (lihat Gambar 1). Pada replikasi

semikonservatif tangga berpilin

mengalami pembukaan terlebih dahulu

sehingga kedua untai polinukleotida akan

saling terpisah, namun masing-masing

untai ini tetap dipertahankan dan akan

bertindak sebagai cetakan (template) bagi

pembentukan untai polinukleotida baru.

Pada replikasi konservatif seluruh tangga

berpilin DNA awal tetap dipertahankan

dan akan mengarahkan pembentukan

tangga berpilin baru. Pada replikasi

dispersif kedua untai polinukleotida

mengalami fragmentasi di sejumlah

tempat. Fragmen-fragmen polinukleotida

yang terbentuk akan menjadi cetakan bagi

fragmen nukleotida baru sehingga

fragmen lama dan baru akan dijumpai

berselang-seling di dalam tangga berpilin

yang baru.

Di antara ketiga cara replikasi DNA

yang diusulkan tersebut, hanya cara

semikonservatif yang dapat dibuktikan

kebenarannya melalui percobaan yang

dikenal dengan nama sentrifugasi

seimbang dalam tingkat kerapatan atau

equilibrium density-gradient

centrifugation. Percobaan ini dilaporkan

hasilnya pada tahun 1958 oleh M.S.

Meselson dan F.W. Stahl.19

Gambar 1. Tiga cara teoritis replikasi

DNA.19

2.2 Solusi Model DNA PBD

Model yang digunakan untuk

mendeskripsikan dinamika molekul DNA

pada penelitian ini adalah model Peyrard-

Bishop-Dauxois. Bentuk B-DNA dalam

model Watson-Crick merupakan helix

ganda, yang terdiri atas dua alur yang

digabungkan melalui ikatan hidrogen

(alur s1 dan s2) seperti terlihat pada

Gambar 2. Salah satu alur dapat

diasumsikan sebagai sebuah massa umum

m untuk semua nukleotida yang memiliki

nilai sama untuk konstanta kopling k

untuk interaksi longitudinalnya5,14

.

Struktur helicoidal dari rantai DNA

menunjukkan bahwa nukleotida dari alur

yang berbeda menjadi cukup dekat

sehingga alur-alur tersebut dapat

berinteraksi. Ini berarti bahwa suatu

nukleotida n disalah satu alur berinteraksi

dengan kedua nukleotida (n+h) dan (n-h)

pada alur lainnya.

2 2

Gambar 2. Representasi grafis model pegas sederhana untuk rantai DNA.10

Nukleotida mengalami gerak

transversal un dan vn dari posisi

kesetimbangan di sepanjang arah ikatan hidrogen. Energi nukleotida tersebut

direpresentasikan melalui Hamiltonian

untuk rantai DNA 10, 11,13

𝐻 = 𝑚

2 𝑢 2 + 𝑣 2 +

𝑘

2 𝑢𝑛 − 𝑢𝑛−1

2 +

𝑣𝑛−𝑣𝑛−12+𝐾2𝑢𝑛−𝑣𝑛+𝑕2+𝑢𝑛−𝑣𝑛−𝑕2+𝐷[𝑒^ −𝑎(𝑢_𝑛−𝑣_𝑛 ) −1]2

………….…...….. (1)

Dimana k adalah konstanta harmonik helicoid untuk untai yang sama; K adalah

konstanta harmonik helicoid untuk untai

yang berbeda; H adalah Hamiltonian potensial morse yang mendekati potensial

ikatan hidrogen; D adalah kedalaman

potensial morse; dan a adalah jarak antar

nukleotida pada rantai yang berbeda.

Dari Persamaan (1) akan lebih mudah

untuk menggambarkan gerakan dua

alurnya dengan membuat transformasi ke koordinat pusat massa yang mewakili

gerak ke dalam dan gerakan keluar untuk

gerakan transversal, yaitu

𝑥𝑛 = 𝑢𝑛 +𝑣𝑛

2 , 𝑦𝑛 =

𝑢𝑛−𝑣𝑛

2 ………... (2)

Dengan menyubstitusi Persamaan (2) ke

Persamaan (1) maka akan diperoleh

persamaan dinamis yang menggambarkan

gelombang linear dan gelombang nonlinier.

𝑚𝑥 𝑛 = 𝑘 𝑥𝑛+1 + 𝑥𝑛−1 − 2𝑥𝑛 +𝐾 𝑥𝑛+𝑕 + 𝑥𝑛−𝑕 − 2𝑥𝑛 …..... (3)

dan

𝑚𝑦 = 𝑘 𝑦𝑛+1 + 𝑦𝑛−1−2𝑦𝑛 −𝐾 𝑦𝑛+𝑕+ 𝑦𝑛−𝑕 + 2𝑦𝑛 +

2 2𝑎𝐷[𝑒^(−𝑎 2 𝑦_𝑛 ) −

1] 𝑒^(−𝑎 2 𝑦_𝑛 ) ..…………. (4)

Seperti dijelaskan dalam beberapa artikel

10,11,13,16-18 dapat diterapkan

transformasi

𝑦𝑛 = 휀1/2Φ𝑛 atau Φ𝑛 =𝑦𝑛

휀1/2 …..... (5)

Dimana faktor skala 0 < ɛ << 1

membolehkan kita untuk mengembangkan

potensial Morse menjadi ekspansi Taylor orde lima dengan menyesuaian pada

Hamiltonian sehingga didapatkan

persamaan gerak untuk Φ𝑛

Φ 𝑛 =𝑘

𝑚 Φ𝑛+1 + Φ𝑛−1−2Φ𝑛 −

𝐾

𝑚 Φ𝑛+𝑕 + Φ𝑛−𝑕 + 2Φ𝑛 −

𝜔𝑔2 Φ𝑛+∝ 휀1/2Φ𝑛

2 + 𝛽εΦ𝑛3 +

γ휀3/2Φ𝑛4 ……………..….....….

(6) dimana 𝜔𝑔

2 =4𝑎2𝐷

𝑚, 𝛼 = −

3𝑎

2, 𝛽 =

7𝑎2

3 dan

𝛾 = −5𝑎3

2 2 ...………………... (7)

Kita asumsikan pemecahan Persamaan (7)

menggunakan pendekatan semi-diskrit

sehingga solusi Φ𝑛 diberikan sebagai

berikut:

3

Φ𝑛 = 𝐹1 휀𝑛𝑙, 휀𝑡 𝑒𝑖𝜃𝑛 + 𝑐. 𝑐 +

휀1/2 𝐹0 휀𝑛𝑙, 휀𝑡 +𝐹2휀𝑛𝑙,휀𝑡𝑒𝑖2𝜃𝑛+𝑐.𝑐+𝑂휀 ..(8)

dimana 𝜃 ≡ 𝜃𝑛 = 𝑛𝑞𝑙 − 𝜔𝑡 ……….... (9)

dengan parameter l, ω dan q=2π/λ dimana

l merupakan jarak antara dua nukleotida

tetangga pada rantai yang sama, q adalah

bilangan gelombang soliton DNA, ω adalah frekuensi optik dari getaran

pendekatan linear dan c.c adalah istilah

conjugate-compleks dari fungsi F1 dan F2.

Untuk kasus semi-diskrit kita

mengambil batas 𝑛𝑙 → 𝑧 untuk fungsi 𝐹𝑖

sehingga secara umum menghasilkan

pendekatan :

𝐹𝑖 휀 𝑛 ± 𝑕 𝑙, ɛ𝑡 → 𝐹𝑖 𝑍, 𝑇 ± 휀𝑕𝑙 𝐹𝑍 𝑍, 𝑇 +1

2휀2𝑕2𝑙2 𝐹𝑍𝑍 𝑍, 𝑇 ...(10)

Dimana variabel kontinu z dan t telah

disubtitusi 𝑧 = 𝑍/휀, dan 𝑡 = 𝑇/휀. Subtitusi Persamaan (8) kedalam

Persamaan (6) dan dengan mengumpulkan

exp(i0) didapatkan bentuk hubungan dari

ɛ1/2:

𝐹0 = 𝜇 𝐹1 2…………......…... (11)

dengan 𝜇 = −2𝛼 1 +4𝐾

𝑚𝜔𝑔2

−1

........….. (12)

Selanjutnya dari hubungan harmonik

exp(2i𝜃𝑛) kita dapat mengeluarkan

ɛ0sehingga mengikuti relasi untuk 𝐹2 :

𝐹2 = 𝛿 𝐹12 …………...…..…... (13)

dengan

𝛿 =𝑚𝜔 𝑔

2𝛼

2 𝑘 cos 2𝑞𝑙 −1 −𝐾 cos 2𝑞𝑕𝑙 +1 +𝑚(4𝜔2−𝜔𝑔2)

(14)

Berdasarkan hubungan Persamaan (11)

dan (13) kita dapat mengikuti kondisi

konsisten yang berasal dari ɛ3/2 dengan

aturan exp(i𝜃𝑛 ):

α(μ² + 2δ²) + 6β(μ + δ) + 6γ = 0 ….... (15)

Akhirnya dari hubungan harmonik

exp(i𝜃𝑛) kita akan memperoleh

persamaan :

휀2 𝜕2𝐹1

𝜕𝑇2 − 2𝑖ɛ𝜔𝜕𝐹1

𝜕𝑇− 𝜔²𝐹1 =

𝑘

𝑚[2𝐹1(cos𝑞𝑙 − 1) + 2𝑖ɛ𝑙𝐹1𝑍 sin𝑞𝑙 + ɛ2𝑙2 𝐹1𝑍𝑍 cos𝑞𝑙] −

𝐾

𝑚[2𝐹1(cos𝑞𝑙𝑕 − 1) + 2𝑖ɛ𝑙𝑕𝐹1𝑍 sin𝑞𝑙𝑕 +

ɛ2𝑙2𝑕2 𝐹1𝑍𝑍 cos𝑞𝑙𝑕] − 𝜔𝑔2{𝐹1 + ɛ[2𝛼 𝜇 + 𝛿 + 3𝛽]|𝐹1|²𝐹1 +

ɛ² 3𝛽 𝜇2 + 2𝜇𝛿 + 2𝛿2 + 4𝛾 3𝜇 +4𝛿 |𝐹1|4𝐹1} ………………………………………........ (16)

kemudian diperoleh hubungan dispersi sebagai berikut:

𝜔2 =2𝑘

𝑚 1 − cos 𝑞𝑙 +

2𝐾

𝑚 cos 𝑞𝑕𝑙 +

1+𝜔𝑔2 ………………….…... (17)

kemudian kita menerapkan transformasi

koordinat baru 𝑆 = 𝑍 − 𝑉𝑔𝑇, 𝜏 =

휀𝑇 dengan Vg merupakan kecepatan group

dari nukleotida sehingga Persamaan (16) menjadi :

𝑉𝑔 − 𝑙

𝑚𝜔(𝑘 sin𝑞𝑙 − 𝐾𝑕 sin 𝑞𝑙𝑕)

𝜕𝐹1

𝜕𝑆=

𝑖𝜔𝑔

2

2𝜔[2𝛼 𝜇 + 𝛿 + 3𝛽]|𝐹1|²𝐹1 ….….. (18)

untuk orde ɛ, sedangkan untuk orde ɛ² :

1

2𝜔 𝑉𝑔² −

𝑙2

𝑚(𝑘 cos 𝑞𝑙 − 𝐾𝑕2 cos 𝑞𝑙𝑕)

𝜕2𝐹1

𝜕𝑆2 − 𝑖𝜕𝐹1

𝜕𝑇= −

𝜔𝑔2

2𝜔[3𝛽 𝜇2 + 2𝜇𝛿 + 2𝛿2 +

4𝛾 3𝜇 + 4𝛿 ]|𝐹1|4𝐹1 ……..… (19)

Dari hubungan dispersi yang

diberikan oleh Persamaan (17) kita dapat

menemukan hubungan kecepatan grup dari nukleotida dengan menetapkan

𝑉𝑔 = 𝑑𝜔/𝑑𝑞 sehingga diberikan :

𝑉𝑔 =𝑙

𝜔𝑚 𝑘 sin 𝑞𝑙 − 𝐾𝑕 sin𝑞𝑙𝑕 ....... (20)

dengan mudah dapat dilihat kecepatan

grup pada Persamaan (20) menghilangkan

4

sisi kanan dari Persamaan (18) sehingga

dari Persamaan (15) akan didapatkan:

2α(μ+ δ) + 3β = 0 …………....... (21)

dengan pemecahan secara simultan untuk

kondisi Persamaan (15) dan (20) untuk μ

dan δ :

𝜇 = −𝛽± 10𝛽²−8𝛼𝛾

2𝛼 ………....... (22a)

𝛿 = −2𝛽± 10𝛽²−8𝛼𝛾

2𝛼 ………...... (22b)

dimana α, β, dan γ telah diberikan pada

Persamaan (7) sehingga untuk Persamaan (22) mudah dibuktikan selalu real pada

10𝛽² − 8𝛼𝛾 =220𝑎2

9> 0.

Dari penjumlahan Persamaan (22)

dengan Persamaan (12) dan (14) dapat

ditentukan nilai konstanta pegas k dan K

dengan memasukan nilai parameter m, a, D, q, l dan h melalui hubungan berikut :

𝐾 = −1

4𝑚𝜔𝑔

2 (1 +2𝛼

𝜇) ……...... (23)

𝑘 =𝑚𝜔𝑔

2 𝛼

𝛿−3 +4𝐾[𝑐𝑜𝑠2𝑞𝑙𝑕−2(cos 𝑞𝑙𝑕+1)]

4(cos 𝑞𝑙−1)² ... (24)

sebagai ilustrasi, kita menganggap nilai parameter sebagai berikut

16 :

l = 3.4 x 10−10 m, m = 5.1 x 10−25 kg, h = 5,

a = 0.9 x 1010 𝑚−1, D = 9.6 x 10−21J …. (25)

Akhirnya jelas bahwa Persamaan (19) tidak ada apa-apa tetapi persamaan NLS

Kuintik dapat dituliskan dengan sederhana

menjadi :

𝑖𝜕𝐹1

𝜕𝜏+ 𝑃

𝜕²𝐹1

𝜕𝑆²+ 𝑅 𝐹1

4𝐹1 = 0 …...… (26)

dengan koefisien dispersi dan koefisien nonlinear :

𝑃 =1

2𝜔 𝑙2

𝑚 𝑘 cos 𝑞𝑙 − 𝐾 𝑕2cos 𝑞𝑕𝑙 −

𝑉𝑔2 …………………..…….… (27)

𝑅 = −𝜔𝑔

2

2𝜔 3𝛽 𝜇2 + 2𝜇𝛿 + 2𝛿2 +

4𝛾3𝜇+4𝛿 ………..……...... (28)

Agar Persamaan (26) dapat diselesaikan

maka diberikan persamaan anzats

(tebakan) dari persamaan NLS kuintik

𝐹1 𝑆, 𝜏 = 𝑓 𝑆 − 𝑢𝑒𝜏 exp[𝑖𝜎 𝑆 − 𝑢𝑐𝜏 ] (29)

dengan F1 merupakan fungsi dari S dan 𝜏,

Sedangkan ζ merupakan frekuensi

gelombang soliton DNA berperan sebagai

varibel bebas dan 𝑓 𝑆 − 𝑢𝑒𝜏 merupakan

fungsi real.

Masukan Persamaan (29) kedalam Persamaan (26) maka akan didapatkan

bagian imajiner dengan hubungan:

𝜎 =𝑢𝑒

2𝑃 ………………....... (30)

Sementara hasil bagian real mengikuti

persamaan diferensial biasa :

𝑓′′ − 𝐴𝑓 + 𝐵𝑓5 = 0 ………...... (31)

dimana:

𝐴 = 𝑢𝑒 ²−2𝑢𝑐𝑢𝑒

4𝑃² , 𝐵 =

𝑅

𝑃 ……….... (32)

Dengan memindahkan koordinat (S-𝑢𝑒𝜏)

dan mengalikan Persamaan (31) dengan 𝑓′ sebagai integral pertama maka akan

didapatkan solusi sederhana:

𝑓 𝑆 − 𝑢𝑒𝜏 = (3𝐴

𝐵)1/4 sech1/2[2 𝐴 𝑆 −

𝑢𝑒𝜏] ....................... (33)

Terakhir dengan menggabungkan

Persamaan (8), (29), (30), (32) dan (33)

serta mengembalikan Z ɛnl dapat

dituliskan hubungan persamaan kuintik NLS DNA model PBD semi diskrit

sebagai berikut:

𝑦𝑛 𝑡 = 2휀1/2Ʌ sech1/2 2ɛ 𝐴 𝑛𝑙 − 𝑉𝑒𝑡 cos 𝛩𝑛𝑙 − 𝛺𝑡 + Ʌɛ1/2 sech1/2 2ɛ 𝐴 𝑛𝑙 −

𝑉𝑒𝑡 𝜇

2+ 𝛿 cos 2 𝛩𝑛𝑙 − 𝛺𝑡 + 𝑂(ɛ) …………………………………….. (34)

5

dengan :

Ʌ = 3(𝑢𝑒

2− 𝑢𝑒𝑢𝑐)

4𝑃𝑅

1/4

.................. (35)

𝑉𝑒 = 𝑉𝑔 + ɛ𝑢𝑒 ........................ (36)

𝛩 = 𝑞 + ɛ𝑢𝑒

2𝑃 .............................. (37)

𝛺 = 𝜔 +ɛ𝑢𝑒

2𝑃(𝑉𝑔+휀𝑢𝑐)............. (38)

BAB 3

METODE PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian

Penelitian ini dilakukan di

Laboratorium Fisika Teori dan Komputasi Departemen Fisika Fakultas

Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Pertanian Bogor mulai bulan Februari 2011 sampai bulan Februari

2012.

3.2 Peralatan

Peralatan yang digunakan adalah alat

tulis, PC, laptop, software Matlab versi 2008b, software Microsoft Office 2007

dan beberapa sumber literatur dari jurnal-

jurnal ilmiah, buku dan internet.

3.3 Metode Penelitian

3.3.1 Studi Pustaka

Studi pustaka dilakukan untuk

memahami dan mempelajari konsep dasar dari persamaan soliton DNA model

PBD.

3.3.2 Penguasaan Software dan

Persamaan Matematis

Penguasaan software Matlab 2008b

dilakukan agar lebih memahami dasar-

dasar pemrograman Matlab. Persamaan matematis sendiri dilakukan untuk

mempermudah saat pembuatan algoritma

program simulasi soliton DNA model PDB.

3.3.3 Pembuatan dan Pengujian

Program

Pembuatan dan pengujian program dengan bahasa pemrograman Matlab

diperlukan untuk mendapatkan solusi

numerik DNA model PBD. Pemecahan solusi numerik sendiri didapatkan

melalui simulasi terhadap berbagai

macam efek gangguan yang diberikan sehingga akan menggambarkan

karakteristik DNA model PBD.

Sintaks program simulasi dibuat

dengan bantuan software Matlab 2008b dan menggunakan metode numerik:

finite-difference dan interpolasi

Lagrange.

3.3.3.1 Aplikasi Metode Finite

Difference Dalam Program

Teknik-teknik pada Finite Difference

didasarkan pada pendekatan mengganti persamaan Differensial dengan

persamaan Finite Difference. Pendekatan

Finite Difference ini dalam bentuk

aljabar dan solusinya terkait dengan titik kisi. Skema dari Finite Difference :

Persamaan Differensial

memperkirakan turunan numerik persamaan Finite Difference.

Diberikan sebuah fungsi f(x) yang

ditunjukkan pada Gambar 3. Kita dapat

memperkirakan turunan, kemiringan atau garis singgung P dengan melihat

kemiringan busur PB, PA atau AB.

Dengan melihat kemiringan busur dapat diperoleh persamaan untuk masing-

masing Forward-Difference, Backward-

Difference, atau Central-Difference.

Gambar 3. Perkiraan untuk turunan dari fungsi f(x) di P dengan

menggunakan Forward,

Backward, dan Central

Difference. 20

6

Pendekatan yang digunakan untuk

memperoleh persamaan Finite Difference adalah deret Taylor :

𝑓 𝑥0 + ∆𝑥 = 𝑓 𝑥0 + ∆𝑥 𝑓′ 𝑥0 +1

2! ∆𝑥 2𝑓′′ 𝑥0 +

1

3! ∆𝑥 3𝑓′′′ 𝑥0 +

𝑂(∆𝑥)4……….……(39)

dan

𝑓 𝑥0 − ∆𝑥 = 𝑓 𝑥0 − ∆𝑥 𝑓′ 𝑥0 +1

2! ∆𝑥 2𝑓′′ 𝑥0 −

1

3! ∆𝑥 3𝑓′′′ 𝑥0 +

𝑂(∆𝑥)4…………….(40)

dimana 𝑂(∆𝑥)4 merupakan error yang

disebabkan oleh deret yang dipotong. Dengan mengurangi Persamaan (39) dan

(40), kita akan memperoleh :

𝑓 𝑥0 + ∆𝑥 − 𝑓 𝑥0 − ∆𝑥 =

2∆𝑥 𝑓′ 𝑥0 ...…. (41)

yang dapat dituliskan kembali menjadi

berikut yang merupakan persamaan

Central-Difference :

𝑓′ 𝑥0 =𝑓 𝑥0+∆𝑥 −𝑓 𝑥0−∆𝑥

2∆𝑥 ……… (42)

Persamaan Forward-Difference dan

Backward-Difference dapat diperoleh

dengan mengatur Persamaan (39) dan (40) sehingga :

Untuk persamaan Forward-Difference

𝑓′ 𝑥0 =𝑓 𝑥0+∆𝑥 −𝑓 𝑥0

∆𝑥 …………. (43)

dan untuk persamaan Backward-Difference

𝑓′ 𝑥0 =𝑓 𝑥0 −𝑓 𝑥0−∆𝑥

∆𝑥 …………. (44)

Kita dapat menemukan pemotongan

kesalahan untuk kedua persamaan dalam

bentuk ∆𝑥. Setelah menambahkan

Persamaan (43) dan (44) maka

didapatkan

𝑓 𝑥0 + ∆𝑥 + 𝑓 𝑥0 − ∆𝑥 = 2𝑓 𝑥0 + ∆𝑥 2𝑓′′ 𝑥0 ………... (45)

Kemudian akan diperoleh :

𝑓′′ 𝑥0 =𝑓 𝑥0+∆𝑥 − 2𝑓 𝑥0 + 𝑓 𝑥0−∆𝑥

∆𝑥 2 …. (46)

Orde yang lebih tinggi untuk pendekatan

Finite Difference dapat diperoleh dengan mengambil banyak batas dalam ekspansi

deret Taylor20

. Metode ini digunakan

untuk membantu dalam menentukan

solusi numerik dari persamaan NLS (26) sebelumnya, yang dapat dituliskan

kembali

𝑖𝜕𝐹1

𝜕𝜏+ 𝑃

𝜕²𝐹1

𝜕𝑆²+ 𝑅 𝐹1

4𝐹1 = 0 .. (26)

persamaan tersebut dapat diselesaikan

dengan melakukan pendekatan numerik beda hingga untuk masing-masing

turunan parsial, sehingga akan diperoleh

persamaan

𝑖𝐹 𝑥𝑖 ,𝑡𝑖+1 − 𝐹 𝑥𝑖 ,𝑡𝑖+1

∆𝑡+ 𝑃

𝐹 𝑥𝑖+1 ,𝑡𝑖 −2 𝐹 𝑥𝑖 ,𝑡𝑖 +𝐹 𝑥𝑖−1 ,𝑡𝑖

∆𝑥²+ 𝑅 𝐹1

4𝐹1 = 0 ......................... (47)

Kemudian akan diperoleh persamaan selanjutnya yang akan diubah ke dalam bahasa pemrograman MATLAB.

𝐹 𝑥𝑖 , 𝑡𝑖+1 = 2𝑖∆𝑡

∆𝑥2 𝑃 𝑓 𝑥𝑖+1 , 𝑡𝑖 − 2 𝑓 𝑥𝑖 , 𝑡𝑖 + 𝑓 𝑥𝑖−1, 𝑡𝑖 + 𝑅 𝐹1 4𝐹1𝐹 𝑥𝑖 , 𝑡𝑖+1 (48)

.

7

3.3.3.2 Aplikasi Interpolasi

Lagrange Dalam Program

Interpolasi Lagrange diterapkan

untuk mendapatkan fungsi polinomial P(x) berderajat tertentu yang melewati

sejumlah titik data. Misalnya, kita ingin

mendapatkan fungsi polinomial berderajat satu yang melewati dua buah

titik yaitu (x0, y0) dan (x1, y1). Langkah

pertama yang kita lakukan adalah

mendefinisikan fungsi berikut

𝐿0 𝑥 =𝑥−𝑥1

𝑥0−𝑥1 ............... (49a)

dan

𝐿1 𝑥 =𝑥−𝑥0

𝑥1−𝑥0 …………… (49b)

kemudian definisikan fungsi polinomial sebagai berikut:

𝑃 𝑥 = 𝐿0 𝑥 𝑦0 + 𝐿1(𝑥)𝑦1 … (50)

Substitusi Persamaan (49a) dan (49b) ke

Persamaan (50), maka akan didapat:

𝑃 𝑥 = 𝑥−𝑥1

𝑥0−𝑥1𝑦0 +

𝑥−𝑥𝑜

𝑥1−𝑥0𝑦1 …. (51)

dan ketika 𝑥 = 𝑥0

𝑃 𝑥0 =𝑥0−𝑥1

𝑥0−𝑥1𝑦0 +

𝑥0−𝑥𝑜

𝑥1−𝑥0𝑦1 = 𝑦0 (52a)

dan pada saat 𝑥 = 𝑥1

𝑃 𝑥1 =𝑥1−𝑥1

𝑥0−𝑥1𝑦0 +

𝑥1−𝑥𝑜

𝑥1−𝑥0𝑦1 = 𝑦1 (52b)

Dari persamaan tersebut dapat disimpulkan bahwa Persamaan (51)

benar-benar melewati titik (𝑥𝑜 , 𝑦𝑜) dan

(𝑥1, 𝑦1).21

Persamaan (50) dinamakan

interpolasi Lagrange derajat 1. Nama interpolasi ini diambil dari nama

penemunya, yaitu Joseph Louis Lagrange

yang berkebangsaan Perancis. Bentuk umum interpolasi Lagrange derajat ≤ n

untuk (n+1) titik berbeda adalah:

𝑃 𝑥 = 𝑎𝑖𝑛𝑖=0 𝐿𝑖 𝑥 = 𝑎0𝐿0 𝑥 +

𝑎1𝐿1 𝑥 + ⋯ +𝑎𝑛𝐿𝑛 ..... (53)

𝑎𝑖 = 𝑦𝑖 , 𝑖 = 0, 1, 2, … , 𝑛

dan

𝐿𝑖 𝑥 = 𝑥−𝑥𝑗

𝑥𝑖−𝑥𝑗=𝑛

𝑗=0𝑗≠𝑖

𝑥−𝑥0 𝑥−𝑥1 … 𝑥−𝑥𝑖−1 𝑥−𝑥𝑖+1 … 𝑥−𝑥𝑛

(𝑥𝑖−𝑥) 𝑥𝑖−𝑥𝑖 … 𝑥𝑖−𝑥𝑖−1 𝑥𝑖−𝑥𝑖+1 …(𝑥𝑖−𝑥𝑛 ) (54)

Mudah dibuktikan bahwa:

𝐿𝑖 𝑥𝑗 = 1 , 𝑖 = 𝑗0 , 𝑖 ≠ 𝑗

dan polinom interpolasi P(x) melalui setiap titik data.

22

Jika terdapat N data yang terdiri dari

titik-titik 𝑥0 , 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, dan seterusnya,

dan jarak antara titik satu dengan lainnya adalah h, maka Persamaan (53) dapat

ditulis untuk tiga titik terdekat

(𝑥0, 𝑥1 , 𝑥2, 𝑥3):

𝑃 𝑥 = 𝑥 − 𝑥1 (𝑥 − 𝑥2)

𝑥0 − 𝑥1 (𝑥0 − 𝑥2)𝑦0 +

𝑥 − 𝑥0 (𝑥 − 𝑥2)

𝑥1 − 𝑥0 (𝑥1 − 𝑥2)𝑦1 +

𝑥 − 𝑥0 (𝑥 − 𝑥1)

𝑥2 − 𝑥0 (𝑥2 − 𝑥1)𝑦2

= −2𝑕 (−3𝑕)

−𝑕 (−2𝑕)𝑦0 +

−𝑕 (−3𝑕)

𝑕(−𝑕)𝑦1 +

−𝑕 (−2𝑕)

2𝑕 (𝑕)𝑦2

= 3𝑦0 − 3𝑦1 + 𝑦2 ...................................................................................... (55)

Persamaan-persamaan matematis yang telah diubah kedalam bentuk

persamaan finite-difference dan

interpolasi Lagrange diubah kedalam

bahasa pemrograman MATLAB

[Lampiran A-C]. Program simulasi soliton DNA model PBD ini akan

ditampilkan dalam bentuk grafik tiga

N h h h h h

x x0 x1 x2 x3 N

8

8

dimensi yang merupakan hasil solusi

numerik soliton DNA model PBD ini.

Solusi numerik yang diperoleh kemudian dianalisa dengan melihat

tingkat kestabilan serta karakteristik dari

dinamika DNA model PDB yang telah

diberi gangguan serta mengetahui bahwa program yang telah dibuat sudah benar.

BAB 4

HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Simulasi Perambatan Soliton

pada Kondisi Stabil

Hasil-hasil analisis numerik dari

DNA model PBD dengan karakteristik

solusi hingga orde-5 akan dibahas pada bagian ini. Parameter numerik yang

digunakan adalah parameter yang sudah

ada di literatur sehingga akan

difokuskan pada hasil numerik pada tiga

keadaan yakni keadaan stabil (tanpa gangguan), dengan gangguan serta

interaksi dua buah solusi soliton.

Dengan menggunakan metode finite-

difference dan interpolasi Lagrange sebagai syarat batas terkait maka akan

diperoleh solusi numeriknya dalam

bentuk grafik tiga dimensi dan dua dimensi.

Keadaan pertama yakni pada stabil

(tanpa gangguan) dapat terlihat pada

Gambar 4 bahwa pada keadaan ini karakteristik stabil sejak waktu awal

(T=1) hingga waktu akhirnya. Dari

gambar terlihat bahwa solusi yang diperoleh untuk keadaan stabil (tanpa

gangguan) yakni bentuk dari profil

soliton dengan amplitudo yang cukup stabil.

Gambar 4. Karakteristik solusi persamaan NLS soliton DNA model PBD hingga orde

lima stabil.

(a) profil soliton DNA dalam tiga dimensi (b) plot hubungan yn (pm) terhadap nl (pm), dimana grafik berwarna merah

menunjukkan grafik pada saat Tawal, dan grafik biru menunjukkan grafik

pada saat Takhir.

9

(a)

(b)

yn

(pm

)

nl (pm)

nl (pm)

T (s)

yn (

pm

)

4.2 Simulasi Perambatan Soliton

Akibat Gangguan pada Amplitudo

Keadaan kedua yakni karakteristik

solusi hingga orde-5 yang diberi

gangguan. Gangguan yang diberikan yakni terhadap amplitudonya dengan

mengalikan persamaan stabil 𝐹1 𝑆, 𝜏

dengan suatu nilai 1 + 휀 . Untuk

keadaan ini nilai ɛ yang digunakan

adalah 0.5. Penjelasan mengenai

perubahan yang terjadi saat keadaan stabil dengan keadaan saat diberikan

gangguan dapat dilihat pada Gambar 5

dan 6 sebagai berikut ini:


lima Perturbasi I.

(a) profil soliton DNA dalam tiga dimensi (b) plot hubungan yn (pm) terhadap nl (pm), dimana grafik berwarna

merah menunjukkan grafik pada saat Tawal, grafik biru menunjukkan

grafik pada saat Takhir.

(a)

(a)

10

(b)

nl (pm)

T (s)

nl (pm)

yn

(pm

)

nl (pm)

T (s)

yn

(pm

)

yn

(pm

)

Gambar 6. Karakteristik solusi persamaan NLS soliton DNA model PBD hingga orde lima Perturbasi II

(a) profil soliton DNA dalam tiga dimensi

(b) plot hubungan yn (pm) terhadap nl (pm), dimana grafik berwarna merah menunjukkan grafik pada saat Tawal, dan grafik biru menunjukkan

grafik pada saat Takhir

Dari kedua gambar diatas terlihat perbedaan antara solusi stabil (tanpa

gangguan) dengan solusi yang diberi

gangguan. Pada soliton DNA yang diberi gangguan terbentuk undulasi. Pada

saat undulasi terjadi penyempitan yang

diiringi dengan kenaikan amplitudonya.

Gambar 5 dan 6 menunjukkan bahwa amplitudo untuk solusi gangguan lebih

tinggi dibandingan dengan solusi stabil

sehingga menunjukkan bahwa gangguan yang diberikan pada anzatz

mempengaruhi amplitudo dari soliton.

Perubahan profil pada soliton itu sendiri juga terjadi, hal ini terlihat dengan

perubahan amplitudo yang terjadi serta

soliton yang mengalami dispersi lebih

besar dari keadaan stabilnya. Hal ini dapat berarti gangguan yang diberikan

juga mempengaruhi hubungan dispersi

pada persamaan Hamiltoniannya.

Pada kasus ini terdapat dua keadaan

yakni solusi perturbasi I dengan nilai 1 + 휀 yang dikalikan hanya pada satu parameter sedangkan pada solusi

perturbasi II terdapat dua parameter yang

dikalikan dengan 1 + 휀 . Dari Gambar 5

dan 6 dapat terlihat bahwa undulasi pada solusi II tampak lebih lebar daripada

solusi I namun nilai amplitudo undulasi

pada solusi II lebih kecil dari solusi I. Undulasi pada keadaan solusi perturbasi

ini mengakibatkan pengurangan jumlah nukleotida dalam proses denaturasi.

Dalam hal ini, nukleotida pada solusi II

berkurang lebih sedikit jika dibandingan dengan jumlah nukleotida pada solusi I.

Hasil numerik yang dapat dijelaskan

dari solusi perturbasi I dan II yakni

terjadi peristiwa undulasi pada keduanya. Peristiwa undulasi terjadi ketika soliton

mengalami penyempitan karena efek

nonlinier mengalami ketidakstabilan yang lebih dominan daripada efek

dispersinya. Pada peristiwa ini terjadi

pengurangan jumlah eksitasi nukleotida yang terlibat dalam proses denaturasi

dimana nukleotida yang awalnya

meregang menjadi terhalangi akibat efek

nonlinier ini.

4.3 Simulasi Interaksi Dua Buah

Soliton

Bagian ini membahas mengenai

simulasi dari interaksi dua buah soliton

dimana persamaan yang digunakan adalah

𝐹1 𝑆, 𝜏 = (3𝐴

𝐵)1/4 sech1/2 2 𝐴 𝑆 −

𝑢𝑒𝜏 exp[𝑖𝜃] ………... (56)

(b)

11

yn (

pm

)

nl (pm)

Dengan membuat variasi pada nilai beda

fase (θ) yakni degan nilai θ = 0, θ = 𝜋

2,

dan θ = π) didapatkan hasil simulasinya

yang ditunjukkan pada Gambar 7 berikut


lima Perturbasi III plot hubungan yn (pm) terhadap nl (pm), dimana grafik

berwarna merah menunjukkan grafik pada saat Tawal, dan grafik biru

menunjukkan grafik pada saat Takhir (a) profil soliton DNA dalam tiga dimensi untuk θ = 0

(b) profil soliton DNA dalam tiga dimensi untuk θ = π/2

(c) profil soliton DNA dalam tiga dimensi untuk θ = π

12

(a)

(b)

(c)

yn (

pm

)

nl (pm)

yn

(pm

)

nl (pm)

yn

(pm

)

nl (pm)

Untuk kondisi x = 0.0005 pm dan θ

= 0, artinya, jarak antara soliton satu dengan yang lain adalah 0.0005 pm

dengan beda fase 0. Pada gangguan ini

tampak pada gambar 7, kedua soliton yang awalnya terpisah dengan jarak

0.0005 menjalar dengan bentuk dan

kecepatan yang sama, kemudian kedua

soliton semakin mendekat namun masih dalam kondisi yang sama (tetap stabil).

Untuk kondisi interaksi dua soliton

pada θ = 𝜋

2 dan θ = π terlihat bahwa hasil

yang diperoleh sama seperti pasa kondisi θ = 0 yakni pada awalnya terbentuk dua

buah soliton yang terpisah dengan jarak

0.0005 pm dengan amplitudo dan kecepatan yang sama namun sampai

akhir kondisi ini tetap sama dan tidak ada

perubahan yang signifikan. Hal ini

berarti beda fase tidak memberikan pengaruh yang cukup signifikan terhadap

kondisi selanjutnya. Terlihat pula bahwa

soliton mengalami undulasi, kenaikan dan penurunan amplitudo, serta dispersi

yang semakin meningkat.

BAB 5

SIMPULAN

Pada penelitian sebelumnya15

, telah diperoleh solusi analitik untuk

persamaan NLS kubik DNA model PBD.

Model PBD merupakan model yang menggambarkan denaturasi DNA.

Penelitian ini dilakukan untuk mencari

solusi numerik persamaan NLS kubik

DNA model PBD dengan menggunakan metode finite-difference dengan

interpolasi Lagrange. Hasil yang

diperoleh dari solusi numerik yang dilakukan adalah bagaimana profil dari

dinamika DNA saat terjadi proses

denaturasi dimana DNA mengalami

dinamika yang cukup stabil dari proses awal hingga akhirnya. Keadaan DNA

model PBD yang ditinjau pada penelitian

ini yakni keadaan stabil (tanpa gangguan), diberi gangguan serta

interaksi dua buah solusi soliton. Dengan

menggunakan metode finite-difference

dan interpolasi Lagrange sebagai syarat batas terkait maka akan diperoleh solusi

numeriknya dalam bentuk grafik tiga

dimensi dan dua dimensi.

Pada keadaan stabil (tanpa

gangguan) terlihat bentuk dari profil

soliton dengan amplitudo yang cukup

stabil serta gambaran umum proses replikasi (denaturasi) DNA yang

bergerak dominan ke arah un. Keadaan

kedua yakni karakteristik solusi hingga orde lima yang diberi gangguan.

Gangguan yang diberikan yakni terhadap

amplitudonya dengan mengalikan

persamaan stabil 𝐹1 𝑆, 𝜏 dengan suatu

nilai 1 + 휀 . Kondisi ini menunjukkan

bahwa amplitudo untuk solusi gangguan

lebih tinggi dibandingan dengan solusi stabil sehingga menunjukkan bahwa

gangguan yang diberikan pada anzatz

mempengaruhi amplitudo dari soliton.

Perubahan profil pada soliton itu sendiri juga terjadi, yakni pada perubahan

amplitudo serta dispersi lebih besar dari

keadaan stabilnya. Saat diberi gangguan terlihat pula di gambar bahwa terdapat

undulasi. Peristiwa undulasi terjadi

ketika soliton mengalami penyempitan karena efek nonlinier mengalami

ketidakstabilan yang lebih dominan

daripada efek dispersinya. Pada peristiwa

ini terjadi pengurangan jumlah eksitasi nukleotida yang terlibat dalam proses

denaturasi dimana nukleotida yang

awalnya meregang menjadi terhalangi akibat efek nonlinier ini.

Pada interaksi dua soliton dengan

jarak x telah ditinjau kasus tiga kondisi fase awal yaitu dengan membuat variasi

pada beda fase diantara kedua soliton,

yaitu pada saat θ = 0, 𝜋

2 , dan π. Interaksi

dua soliton pada jarak x dapat diartikan sebagai proses denaturasinya, dimana

nukleotida terlokalisasi dalam dua ruang.

Untuk kondisi x = 0.0005 pm dan θ = 0,

artinya, jarak antara soliton satu dengan yang lain adalah 0.0005 pm dengan beda

fase 0. Pada gangguan ini terlihat bahwa

kedua soliton yang awalnya terpisah dengan jarak 0.0005 menjalar dengan

13

bentuk dan kecepatan yang sama,

kemudian kedua soliton semakin mendekat namun masih dalam kondisi

yang sama (tetap stabil). Begitupula

untuk kondisi interaksi dua soliton pada

θ = 𝜋

2 dan θ = π yakni pada awalnya

terbentuk dua buah soliton yang terpisah

dengan jarak 0.0005 pm dengan

amplitudo dan kecepatan yang sama namun sampai akhir kondisi ini tetap

sama dan tidak ada perubahan yang

signifikan. Hal ini berarti beda fase tidak

memberikan pengaruh yang cukup signifikan terhadap kondisi selanjutnya.

Terlihat pula bahwa soliton mengalami

undulasi, kenaikan dan penurunan amplitudo, serta dispersi yang semakin

meningkat.

SARAN

Untuk pengembangan selanjutnya,

ada beberapa hal yang perlu dilakukan.

Metode numerik yang digunakan sebaiknya yang mempunyai tingkat

akurasi yang tinggi dan mengekpansi

potensial morse hingga orde yang lebih

tinggi agar perhitungan solusi dapat lebih cepat dan hasilnya akurat (mendekati

keadaan sebenarnya). Selain itu

penelitian ini dapat dikembangkan dengan mengamati DNA model lainnya

atau dapat pula meninjau untuk gerak

longitudinal atau gerak torsional untuk DNA model PBD.

DAFTAR PUSTAKA

1. Yakushevich, L.V. (1998).

Nonlinear Physics of DNA. Wiley

Series in Nonlinear Science, John Wiley, Chichester.

2. Christiansen, P. L., Lomdahl, P.S. &

Muto, V. (1990). On a Toda lattice

model with a transversal degree of freedom. Nonlinearity 4, 477-501.

3. Muto, V., Scott A.C., Christiansen

P.L. (1989). Microwave and thermal

generation of solitons in DNA. J. de

Phys. 50 (C3), 217-222.

4. Ichikawa, Y. H., Konno K, Wadati

M. (1981). Nonlinear transverse

oscillation of elastic beams under tension. J. Phys. Soc. 50, 1799.

5. Peyrard, M. and Bishop, A.R.

(1989). Statistical mechanics of a

nonlinear model for DNA denaturation. Phys. Rev. Lett. 62,

2755-2758.

6. E. Fermi, J. R. Pasta and S. Ulam, Los Alamos Report LA-UR-1940

(1955); reprinted in Collected Papers

of Enrico Fermi, edited by E. Segr¶e,

University of Chicago, Chicago (1965).

7. A. C. Scott. (1999). Nonlinear

Science. Oxford University, Oxford.

8. Englander, S.W., Kalenbach, N.R.,

Heeger, A.J., Krumhansl, J.A. and

Litwin, S. (1980). Nature of the open state in long polynucleotide double

helices: possibility of soliton

excitations. Proc. Natl. Acad. Sci.

USA 77, 7222-7226.

9. T. Dauxois, M. Peyrard, and A. R.

Bishop. (1993). Entropy-driven

DNA denaturation. Phys. Rev. E 47, R44.

10. Dauxois, T. (1991). Dynamics of

breathers modes in a nonlinear “helocoidal” model of DNA. Phys.

Lett. A-159, 390-395.

11. Dauxois, T. and Peyrard, M. (1991).

Dynamics of Breather Modes in a Nonlinear Helicoidal Model of

DNA. Lecture Notes in Physics 393,

Dijon, p.79.

12. Zdravković, S. and Satarić, M.V.

(2001). „Impact of viscosity on DNA

dynamics‟, Phys. Scripta 64, 612-

615.

13. Satarić, M.V. and Tuszyński, J.A.

(2002). Impact of regulatory proteins

on the nonlinear dynamics of DNA. The American Physics Society. 65, 1-

10.

15

14

14. Zdravković, S., Tuszyński, J.A. and

Satarić, M.V. (2004). Peyrard-Bishop-Dauxois model of DNA

dynamics and impact of viscosity. J.

Comput. Theor. Nanosci.1, 171-179.

15. Hermanudin, D. (2011). Efek osilasi

anharmonik pada soliton Deoxyribo

Nucleic Acid Peyrard-Bishop-

Dauxois [Skripsi]. Bogor: Departemen Fisika-FMIPA, IPB.

16. Alatas, Husin dan Hermanudin,

Dede. (2011). Quintic DNA-Breather in Peyrard-Bishop-Dauxois Model

with Fifth Order Approximation

Morse Potential [Jurnal]. Bogor:

Departemen Fisika-FMIPA, IPB.

17. Remoissenet, M. (1986). Low-

amplitude breather and envelope

solitons in quasi-one dimentional physical models. Phys. Rev. B-33,

2386-2392.

18. Zdravković, S. and Satarić, M.V.

(2001). Impact of viscosity on DNA dynamics. Phys. Scripta 64, 612-615.

19. Anonim. BAB IV. REPLIKASI DNA.

Edublogs. Februari 2010. Web. 28 Februari 2011.

<http://biomol.edublogs.org/files/201

0/02/BAB-IV-REPLIKASI-

DNA.pdf>.

20. A. Thom an C. J. Apelt. (1961).

Field Computations in Engineering

and Physics. London: D. Van Nostrand.

21. Supriyanto. (2007). Komputasi untuk

Sains dan Teknik. Jakarta:

Universitas Indonesia.

22. Munir, R. (2006). Metode numerik.

Bandung: Informatika.

15

http://biomol.edublogs.org/files/2010/02/BAB-IV-REPLIKASI-DNA.pdf



LAMPIRAN

17

Lampiran A

Program Simulasi Perambatan Soliton pada Kondisi Stabil

clear all clc

% ## DEFINISI NILAI PARAMETER ## %Parameter Awal M = 10000; N = 200; dx = 0.001; dt = 2.5000e-005; r = dt/dx^2; t0 = -N/2*dt; x0 = -N/2*dx;

%Parameter Masukan k=5.370; K=1.146; l=3.4e-13; m=5.1e-23; h=5; a=0.9e-9 D = 9.6e-21; Ue=10^5; Uc=0; e1=0.0001; lamda=10*l; q=(2*pi)/lamda; ql=0.85*pi; tau=0; phi=0.001; psi=0.002; epsilon=0.5;

% ## DEFINISI NILAI KOEFISIEN ## Wg = 2*a*sqrt(D/m); alfa =(-3*a)/sqrt(2); beta = (7*(a^2))/3; gamma =(-5*(a^3))/(2*sqrt(2));

% ## DEFINISI HUBUNGAN DISPERSI ## W = sqrt((Wg^2) + (2/m)*(k*(1-cos(q*l)) + (K*(cos(q*l*h)+1))));

% ## DEFINISI HUB. F1 dgn F0 dan F2 miu = -2*alfa/(1+(4*K)/(m*Wg.^2)); delta = (m*(Wg.^2) * alfa)/((m*((4*W^2)-(Wg^2))) +

(2*((k*(cos(2*q*l)-1)/m) - (K*(cos(2*h*q*l)+1)))));

% ## DEFINISI KECEPATAN GRUP Vg =(l/(m*W))*((k*sin(q*l)) - (K*h*sin(q*l*h)));

18

% ## DEFINISI KOEF. DISPERSI (P) DAN KOEF.NON LINIER (R) P = (1/(2*W))*((l^2/m)*((k*cos(q*l))- (K*(h^2)*(cos(q*l*h))))-

Vg^2); R = (-

Wg^2/(2*W))*((3*beta*(miu^2+(2*miu*delta)+(2*(delta^2))))+(4*gamma

*((3*miu)+(4*delta)))); sigma=10^10;

A=sigma/P; B=R; Ag=((3*(Ue^2-(Ue*Uc)))/(4*P*R))^0.25; Ve=Vg+(e1*Ue); Q=q*((e1*Ue)/(2*P)); ohm=W+(((e1*Ue)/(2*P))*(Vg+(e1*Uc))); O=0;

% ## RUNNING PROGRAM ## F=zeros(N,M); yn=zeros(N,M);

for i=1:N x(i,1)=x0+(i-1)*dx; F(i,1)=((3/P)^0.25*psi)*((sech(2*x(i,1)/phi))^0.5); end

for j=1:M for i=3:N-1 if i==3 F(i-1,j)=3*F(i,j)-3*F(i+1,j)+F(i+3,j); end if i==N-1 F(i+1,j)=3*F(i,j)-3*F(i-1,j)+F(i-3,j); end

if j==1 F(i,j+1)=1i*((r*phi^2*(F(i+1,j)-2*(F(i,j))+F(i-1,j)))+

(psi^6*dt*((conj(F(i,j))^2)*(F(i,j)^3))))+F(i,j); else F(i,j+1)=2*1i*((r*phi^2*(F(i+1,j)-2*(F(i,j))+F(i-

1,j)))+(psi^6*dt*((conj(F(i,j))^2)*(F(i,j)^3))))+F(i,j-1); end

t(j)=(j-1)*dt; yn(i,j)=

(2*(e1^0.5)*(psi*F(i,j)/(sqrt(R/sigma)))*((cos((sigma*tau)+theta(i

,j)))+

(((e1^0.5)*(psi*F(i,j)/(sqrt(R/sigma))))*((miu/2)+(delta*cos(2*((s

igma*tau)+theta(i,j)))))))); end j end

surf(t,x,abs(yn(:,1:M))) view(0,90); colorbar shading interp

19

xlabel ('T (s)'); ylabel ('nl (pm)'); zlabel ('yn (pm)');

figure plot(x,abs(yn(:,1)));

figure plot(x,abs(yn(:,M)));

20

Lampiran B

Program Simulasi Perambatan Soliton Akibat Gangguan pada Amplitudo

clear all clc


%Parameter Masukan k=5.370; K=1.146; l=3.4e-13; m=5.1e-23; h=5; a=0.9e-9 D = 9.6e-21; Ue=10^5; Uc=0; e1=0.0001; lamda=10*l; q=(2*pi)/lamda; ql=0.85*pi; tau=0; phi=0.1; psi=0.2; epsilon=0.25;




(2*((k*(cos(2*q*l)-1)/m) - (K*(cos(2*h*q*l)+1)))));


21


Vg^2); R = (-


*((3*miu)+(4*delta)))); sigma=10^10;



for i=1:N x(i,1)=x0+(i-1)*dx; % Solusi Perturbasi I

F(i,1)=(((3/P)^0.25)*psi)*((sech(2*x(i,1)/phi))^0.025)*

(1+epsilon); % Solusi Perturbasi II %F(i,1)=(((3/P)^0.25)*psi)*((sech(2*(1+epsilon)*x(i,1)/phi))^0

.025)*(1+epsilon); end





t(j)=(j-1)*dt; yn(i,j)=


,j)))+


igma*tau)+theta(i,j)))))))); end j end

22

surf(t,x,abs(yn(:,1:M))) view(0,90); colorbar shading interp xlabel ('T (s)'); ylabel ('nl (pm)'); zlabel ('yn (pm)');



23

Lampiran C

Program Simulasi Interaksi Dua Soliton

clear all clc


%Parameter Masukan k=5.370; K=1.146; l=3.4e-13; m=5.1e-23; h=5; a=0.9e-9 D = 9.6e-21; Ue=10^5; Uc=0; e1=0.0001; lamda=10*l; q=(2*pi)/lamda; ql=0.85*pi; tau=0; phi=0.000015; psi=0.000025; epsilon=1;




(2*((k*(cos(2*q*l)-1)/m) - (K*(cos(2*h*q*l)+1)))));


24


Vg^2); R = (-


*((3*miu)+(4*delta)))); sigma=10^10;



for i=1:N x(i,1)=x0+(i-1)*dx;

% Interaksi 2 soliton dengan θ=0 F(i,1)=(((3/P)^0.25)*psi)*((sech((x(i,1)+0.055)/phi))+

(sech((x(i,1)-0.015)/phi))*(exp(1i*(0))));

% Interaksi 2 soliton dengan θ=π %F(i,1)=(((3/P)^0.25)*psi)*((sech((x(i,1)+0.055)/phi))+

(sech((x(i,1)-0.015)/phi))*(exp(1i*(pi)))); % Interaksi 2 soliton dengan θ=π/2

%F(i,1)=(((3/P)^0.25)*psi)*((sech((x(i,1)+0.055)/phi))+

(sech((x(i,1)-0.015)/phi))*(exp(1i*(pi/2)))); end





t(j)=(j-1)*dt; yn(i,j)=


,j)))+


igma*tau)+theta(i,j)))))))); end j

25

end

surf(t,x,abs(yn(:,1:M))) view(0,90); colorbar shading interp xlabel ('T (s)'); ylabel ('nl (pm)'); zlabel ('yn (pm)');



Dinamika Dan Interaksi Soliton DNA Model Peyrard-Bishop...

Documents

Transcript of Dinamika Dan Interaksi Soliton DNA Model Peyrard-Bishop...