Diktat or - LP

26
DIKTAT SOAL DAN JAWABAN RISET OPERASIONAL Fakultas Ekonomi – Universitas Muhammadiyah Bengkulu Halaman: 1 BAB I KONSEP RISET OPERASIONAL 1. Sejarah Riset Operasional Dorongan awal munculnya kegiatan-kegiatan riset operasional adalah Perang Dunia II. Sebenarnya, istilah Riset Operasional ini tercetus sebagai akibat dari “riset pada operasi militer” yang dilakukan selama perang tersebut. Kelompok ahli-ahli matematika, ekonomi, dan ahli-ahli disiplin ilmu lain-lainnya disatukan untuk menganalisis berbagai masalah operasi militer. Kelompok-kelompok ini dibentuk di Inggris dan Amerika Serikat, dimana Angkatan Laut AS (US NAVY) mempekerjakan lebih dari 70 orang analis. Berbagai bentuk masalah dapat dipecahkan dengan baik, seperti dimana harus ditempatkan instalasi radar, bagaimana menemukan lokasi kapal selam lawan, bagaimana menempatkan bom-bom yang dipicu dengan gelombang radio jarak jauh di laut sekeliling Jepang. Pendekatan-pendekatan ilmiah yang digunakan sebagian telah diciptakan sebelumnya, yaitu sebagai hasil kerja FW.Taylor dan Henry L.Gantt. Profesor P.M.S. Blackett yang ditugaskan untuk menganalisis masalah koordinasi radar di daerah perang. Kelompok yang dibentuk oleh Blackett ini terdiri dari ahli psikologi, fisika, matematika, perwira AD dan ahli survai. Pendekatan ahli kelompok gabungan ini kemudian juga diikuti oleh Amerika Serikat. Perkembangan riset operasional pasca perang yang cukup terkenal adalah temuan salah satu metode riset operasional oleh George Dantzig. Beliau sangat terkenal akan temuannya yang berupa pengembangan pemrograman linier yang merupakan metode riset operasional yang sangat luas digunakan. Dantzig ini sering disebut sebagai “Bapak Pemrograman Linier”. Disamping pemrograman linier, perkembangan awal riset operasional lainnya adalah dibidang statistika pengendalian mutu, pemrograman dinamis, analisis queue, dan pengendalian persediaan. 2. Pengertian Riset Operasional Riset Operasional dapat digambarkan sebagai suatu pendekatan ilmiah dalam pengambilan keputusan yang melibatkan operasi-operasi dalam sistem organisasi. Penggambaran tersebut masih bersifat umum, sehingga untuk lebih memahami segi unik dari riset operasional mungkin lebih baik bila dilihat dari sifat-sifat khas atau istimewa. Pengertian yang lainnya: Definisi 1 RO adalah penerapan metode-metode ilmiah terhadap masalah-masalah rumit yangmuncul dalam pengarahan dan pengelolaan dari suatu sistem

Transcript of Diktat or - LP

Page 1: Diktat or - LP

DIKTAT SOAL DAN JAWABAN RISET OPERASIONAL

Fakultas Ekonomi – Universitas Muhammadiyah Bengkulu Halaman: 1

BAB I KONSEP RISET OPERASIONAL

1. Sejarah Riset Operasional

Dorongan awal munculnya kegiatan-kegiatan riset operasional adalah Perang Dunia II. Sebenarnya, istilah Riset Operasional ini tercetus sebagai akibat dari “riset pada operasi militer” yang dilakukan selama perang tersebut. Kelompok ahli-ahli matematika, ekonomi, dan ahli-ahli disiplin ilmu lain-lainnya disatukan untuk menganalisis berbagai masalah operasi militer. Kelompok-kelompok ini dibentuk di Inggris dan Amerika Serikat, dimana Angkatan Laut AS (US NAVY) mempekerjakan lebih dari 70 orang analis. Berbagai bentuk masalah dapat dipecahkan dengan baik, seperti dimana harus ditempatkan instalasi radar, bagaimana menemukan lokasi kapal selam lawan, bagaimana menempatkan bom-bom yang dipicu dengan gelombang radio jarak jauh di laut sekeliling Jepang.

Pendekatan-pendekatan ilmiah yang digunakan sebagian telah diciptakan sebelumnya, yaitu sebagai hasil kerja FW.Taylor dan Henry L.Gantt.

Profesor P.M.S. Blackett yang ditugaskan untuk menganalisis masalah koordinasi radar di daerah perang. Kelompok yang dibentuk oleh Blackett ini terdiri dari ahli psikologi, fisika, matematika, perwira AD dan ahli survai. Pendekatan ahli kelompok gabungan ini kemudian juga diikuti oleh Amerika Serikat.

Perkembangan riset operasional pasca perang yang cukup terkenal adalah temuan salah satu metode riset operasional oleh George Dantzig. Beliau sangat terkenal akan temuannya yang berupa pengembangan pemrograman linier yang merupakan metode riset operasional yang sangat luas digunakan. Dantzig ini sering disebut sebagai “Bapak Pemrograman Linier”. Disamping pemrograman linier, perkembangan awal riset operasional lainnya adalah dibidang statistika pengendalian mutu, pemrograman dinamis, analisis queue, dan pengendalian persediaan.

2. Pengertian Riset Operasional

Riset Operasional dapat digambarkan sebagai suatu pendekatan ilmiah dalam pengambilan keputusan yang melibatkan operasi-operasi dalam sistem organisasi. Penggambaran tersebut masih bersifat umum, sehingga untuk lebih memahami segi unik dari riset operasional mungkin lebih baik bila dilihat dari sifat-sifat khas atau istimewa. Pengertian yang lainnya: Definisi 1

RO adalah penerapan metode-metode ilmiah terhadap masalah-masalah rumit yangmuncul dalam pengarahan dan pengelolaan dari suatu sistem

Page 2: Diktat or - LP

DIKTAT SOAL DAN JAWABAN RISET OPERASIONAL

Fakultas Ekonomi - UMB Halaman: 2

besar manusia, mesin, bahan dan uang dalam industri, bisnis, pemerintahan dan pertahanan. (Operational Research Society of Great Britain).

Definisi 2

Riset Operasi berkaitan dengan menentukan pilihan secara ilmiah bagaimana merancang dan menjalankan sistem manusia-mesin secara terbaik, biasanya membutuhkan alokasi sumber daya yang langka. (Operation Research Society of America).

Definisi 3

Riset Operasi adalah seni memberikan jawaban buruk terhadap masalah-masalah, yang jika tidak, memiliki jawaban yang lebih buruk. (T.L. Saaty).

Definisi 4

Riset Operasi adalah pendekatan dalam pengambilan keputusan yang ditandai dengan penggunaan pengetahuan ilmiah melalui usaha kelompok antar disiplin yang bertujuan menentukan penggunaan terbaik sumber daya yang terbatas. (Hamdi A. Taha).

Definisi 5

Riset Operasi dalam arti luas dapat diartikan sebagai penerapan metode-metode, teknikteknik, dan alat-alat terhadap masalah-masalah yang menyangkut operasi-operasi dari sistem-sistem, sedemikian rupa sehingga memberikan penyelesaian optimal (Churchman, Ackoff, dan Arnoff).

3. RO Dalam Pegambilan Keputusan. Riset Operasi berusaha menetapkan arah tindakan terbaik (optimum) dari

sebuah masalah keputusan dibawah pembatasan sumber daya yang terbatas. Istilah riset operasi sering kali diasosiasikan secara eksklusif dengan penggunaan teknik-teknik matematis untuk membuat model dan menganalisi masalah keputusan. Walaupun matematika dan model matematis merupakan inti dari riset operasi, pemecahan masalah tidaklah hanya sekedar pengembangan dan pemecahan model-model matematis. Secara spesifik, masalah keputusan biasanya mencakup factor-faktor penting yang tidak berwujud dan tidak dapat diterjemahkan secara langsung dalam bentuk model matematis.

Sebuah pemecahan diajukan dimana sebuah cermin panjang dipasang ditempat masuk elevator. Keluhan menghilang karena para pengguna elevator asik memandangi diri mereka sendiri dan orang lain sambil menunggu elevator. Ilustrasi elevator ini menggarisbawahi pentingnya memandang aspek matematis dari riset operasi dalam konteks yang lebih luas dari sebuah proses pengambilan keputusan yang unsur-unsurnya tidak dapat diwakili sepenuhnya oleh sebuah model matematis. Sebagai sebuah teknik pemecahan masalah, riset operasi harus dipandang sebagai ilmu dan seni. Aspek ilmu terletak dalam penyediaan teknik-teknik matematis dan algoritma untuk memecahkan masalah keputusan yang tepat. Riset operasi adalah sebuah seni karena keberhasilan dalam semua tahap yang mendahului dan melanjuti pemecahan dari sebuah model matematis sebagian

Page 3: Diktat or - LP

DIKTAT SOAL DAN JAWABAN RISET OPERASIONAL

Fakultas Ekonomi - UMB Halaman: 3

besar bergantung pada kreativitras dan kemampuan pribadi dari mereka yang menganalisis pengambilan keputusan.

4. Model-Model Dalam RO. Model adalah abstraksi atau penyederhanaan realitas sistem yang kompleks

dimana hanya komponen-komponen yang relevan atau faktor-faktor yang dominan dari masalah yang dianalisis diikutsertakan. Ia menunjukan hubungan-hubungan dari aksi dan reaksi dalam pengertian sebab dan akibat. Salah satu alasan pembentukan model adalah untuk menemukan variabel-variabel apa yang penting. Penemuan variabel-variabel yang penting itu berkaitan erat dengan penyelidikan hubungan yang ada diantara variabel-variabel itu.

Teknik-teknik kuantitatif seperti statistik dan simulasi digunakan untuk menyelidiki hubungan yang ada diantara banyak variabel dalam suatu model. Model dapat diklasifikasikan dalam banyak cara, misalnya menurut jenisnya, dimensinya, fungsinya, tujuannya, subyeknya, atau derajad abstraksinya. Kriteria yang paling biasa adalah jenis model. Jenis dasar itu meliputi: a. Iconic (Physical) Model

Iconic model adalah suatu penyajian fisik yang tampak seperti aslinya dari suatu sistem nyata dengan skala yang berbeda. Contoh model ini adalah mainan anakanak, potret, histogram, maket dan lain-lain.

b. Analogue Model Model analogue lebih abstrak disbanding model iconic, karena tak kelihatan sama antara model dengan sistem nyata. Contohnya jaringan pipa tempat air mengalir dapat digunakan dengan pengertian yang sama sebagai distribusi aliran listrik. Contoh lain adalah peta dengan bermacam-macam warna merupakan model analog dimana perbedaan warna menunjukan perbedaan cirri, misalnya biru menunjukan air, kuning menunjukan pegunungan, hijau sebagai dataran rendah, dan lain-lain.

c. Mathematic (Symbolic) Model Model matematik sifatnya paling abstrak. Model ini menggunakan seperangkat simbol matematik untuk menunjukan komponen-komponen (dan hubungan antar mereka) dari sistem nyata. Namun, sistem nyata tidak selalu dapat diekspresikan dalam rumusan matematik. Model ini dapat dibedakan menjadi deterministic dan probabilistic. Model deterministic dibentuk dalam situasi kepastian (certainty). Model ini memerlukan penyederhanaan-penyederhanaan dari realitas karena kepastian jarang terjadi. Model probabilistik meliputi kasus-kasus dimana diasumsikan ketidakpastian (uncertainty).

5. Asumsi-Asumsi untuk Membentuk Suatu Model Pemrograman Linier

Untuk membentuk suatu model pemrograman linier perlu diterapkan beberapa asumsi-asumsi diantaranya adalah sebagai berikut : 1) Linearity

Page 4: Diktat or - LP

DIKTAT SOAL DAN JAWABAN RISET OPERASIONAL

Fakultas Ekonomi - UMB Halaman: 4

Fungsi obyektif dan kendala haruslah merupakan fungsi linier dan variabel keputusan. Hal ini akan mengakibatkan fungsi bersifat proporsional dan additif.

2) Divisibility Nilai variabel keputusan dapat berupa bilangan pecahan. Apabila diinginkan solusi berupa bilangan bulat (integer), maka harus digunakan metode untuk integer programming.

3) Nonnegativity Nilai variabel keputusan haruslah nonngatif (≥0).

4) Certainty Semua konstanta (parameter) yaitu Cj,a ij, dan bi diasumsikan mempunyai nilai yang pasti (sudah tentu). Bila nilai-nilai parameternya probabalistik, maka harus digunakan formulasi pemrograman masalah stokastik. Walaupun ada beberapa batasan asumsi yang harus ada, namun pemrograman linier ini dapat digunakan untuk memecahkan masalah-masalah pengalokasian sumber daya yang terbatas guna mendapatkan hasil yang optimal.

6. Syarat- Syarat Program Linier untuk Merumuskan Suatu Masalah

Untuk merumuskan suatu masalah kedalam bentuk model pemrograman linier, harus memenuhi syarat-syarat berikut :

1) Tujuan masalah tersebut harus jelas dan tegas, yang dimaksudkan adalah apabila pada contoh masalah, tujuan dalam masalah tersebut jelas yaitu ingin mendapatkan keuntungan yang maksimal.

2) Harus ada sesuatu atau beberapa alternatif yang ingin dibandingkan, yang dimaksudkan adalah apabila pada contoh masalah, alternatif perbandingannya adalah kombinasi jumlah produksi dan keuntungan yang diperoleh.

3) Adanya sumber daya yang terbatas, yang dimaksudkan disini adalah apabila pada contoh masalah, sumber daya yang terbatas adalah waktu untuk subassembly dan inspeksi.

4) Bisa dilakukan perumusan kuantitatif, fungsi ini tujuan dan kendalanya harus dapat dirumuskan secara kuantitatif.

5) Adanya keterkaitan peubah, yang dimaksudkan disini adalah adanya hubungan keterkaitan antara peubah-peubah yang membentuk fungsi tujuan dan kendala.

Page 5: Diktat or - LP

DIKTAT SOAL DAN JAWABAN RISET OPERASIONAL

Fakultas Ekonomi - UMB Halaman: 5

Soal Latihan Essay

1. Siapakah yang diebut sebagai “bapak Riset operasional”? Apa sumbangan riset operasi tertahap ilmu pengetahuan?

2. Sebutkan langkah-langkah dalam algoritma simpleks untuk mencari solusi optimal!

3. Apakah Riset Operasional itu! 4. Dalam menggunakan metode grafik, beberapa tahapan-tahapan mesti

dilalui. Sebutkan! 5. Suatu model pemrograman linier perlu diterapkan beberapa asumsi-asumsi.

Sebutkan!

Page 6: Diktat or - LP

DIKTAT SOAL DAN JAWABAN RISET OPERASIONAL

Fakultas Ekonomi - UMB Halaman: 6

BAB II

LINIER PROGRAMMING

2.1. Asumsi Model Linier Programming.

Terdapat empat asumsi dasar dalam penyelesaian masalah dengan model linier programming, yaitu;

1. Liniaritas :fungsi tujuan (objective function) dan kendala (constraint equations)dapat dibuat satu set fungsi linier.

2. Divisibility : nilai variabel keputusan dapat berbentuk pecahan atau bilangan bulat(integer).

3. Nonnegativity :nilai variabel keputusan tidak boleh negatif atau sama dengan nol.

4. Certainty : semua keterbatasan maupun koefisien variabel setiap kendala dan fungsi tujuan dapat ditentukan secara pasti.

Keempat asumsi diatas harus dipenuhi apabila ingin menyelesaikan masalah model linier programming.jika masalah tidak dapat memeuhi asumsi tersebut, persoalan tersebut dapat diselesaikan dengan program matematik yang lain seperti; integer programming, goal programming, nonlinier programming, dan dynamic programming.

2.2. Formulasi Model Linier Programming

Untuk membuat Fomulasi model linier programming atau sering juga disebut model matematik linier programming,terdapat tiga langkah utama yang harus dilakukan, yaitu;

a. Tentukan variabel keputusan atau variabel yang ingin diketahui dan gambarkan dalam simbul matematik.

b. Tentukan tujuan dan gambarkan dalam satu sel fungsi linier dari variabel keputusan yang dapat berbentuk maksimum atau minimum.

c. Tentukan kendala dan gambar dalam bentuk persamaan linier atau ketidaksamaan linier dari variabel keputusan.

Di dalam model linier programming dikenal dua macam fungsi yaitu fungsi tujuan (objective function) dan fungsi batasan (Constraint function). Fungsi tujuan adalah fungsi yang menggambarkan tujuan atau sasaran didalam permasalahan linier programming yang berkaitan dengan pengaturan secara optimal

Page 7: Diktat or - LP

DIKTAT SOAL DAN JAWABAN RISET OPERASIONAL

Fakultas Ekonomi - UMB Halaman: 7

sumber daya agar dip eroleh keuntungan maksimal atau biaya yang minimal. Pada umumnya nilai yang akan dioptimalkan dinyatakan sebagai Z

Dalam pembahasan model linier programming digunakan simbol-simbol sebagai berikut :

m : macam batasan-batasan sumber atau fasilitas yang tersedia

n : macam kegiatan yang menggunakan sumber atau fasilitas tersebut

i : nomor setiap macam sumber atau fasilitas yang tesedia(i : 1,2,3,….,m)

j : nomor setiap macam kegiatan yang menggunakan sumber ataufasilitas yang tersedia (j : 1,2,3,…,n)

x j : tingkat kegiatan ke j (j : 1,2,3,…,n)

aij : banyak sumber diperlukan untuk menghasilkan setiap unit keluaran atau output kegiatan j (i : 1,2,3,…,m dan j : 1,2,3,…,n)

bi : banyak sumber ( fasilitas ) i yang tersedia untuk dialokasikan ke setiap unit kegiatan (i : 1,2,3,…,n)

Z : nilai yang dioptimalkan ( maksimum atau minimum)

Cj : kenaikan nilai Z apabila ada pertambahan tingkat kegiatan dengan satu satuan atau merupakan sumbangan setiap satuan keluaran kegiatan j terhadap nilai Z

Tabel data untuk model linier programming

Page 8: Diktat or - LP

DIKTAT SOAL DAN JAWABAN RISET OPERASIONAL

Fakultas Ekonomi - UMB Halaman: 8

Atas dasar pengertian diatas maka dapat dirumuskan model matematis sebagai berikut :

Fungsi tujuan,

Maksimasi Z = C1X1 + 2X2 + C3X3 + …. + CnXn ...............( 1 )

Minimasi Z = C1X1 + C2X2 + C3X3 + …. + CnXn.............( 2 )

Batasan-batasan :

a. a11x1 + a12x2 + a13x3 + …. + a1mXn < b1 ...............( 3 )

b. a21x1 + a22x2 + a23x3 + …. + a2mXn < b2 ................( 4 )

c. am1x1 + am2x2 + am3x3 + … .+ amnXn < bm ................ ( 5 )

x1 > 0, x2 > 0

Langkah – langkah menyelesaikan kasus LP ini dapat dilakukan dengan :

• Metode Grafik • Metode Simplek

2.3. Linier Programming Maximal

Soal 1:

Sebuah perusahaan sepatu “Bengkulen Shoes” membuat 2 macam sepatu. Macam pertama merek I1, dengan sol dari karet, dan macam kedua merek I2 dengan sol dari kulit. Untuk membuat sepatu-sepatu itu perusahaan memiliki 3 macam mesin. Mesin 1 khusus membuat sol dari karet, mesin 2 khusus membuat sol dari kulit, dan mesin 3 membuat bagian atas sepatu dan melakukan assembling bagian atas dengan sol. Setiap lusin sepatu merek I1 mula-mula dikerjakan di mesin 1 selama 2 jam, kemudian tanpa melalui mesin 2 terus dikerjakan di mesin 3 selama 6 jam. Sedang untuk sepatu merek I2 tidak diproses di mesin 1, tetapi pertama kali dikerjakan di mesin 2 selama 3 jam kemudian di mesin 3 selama 5 jam. Jam kerja maksimum setiap hari untuk mesin 1 = 8 jam, mesin 2 = 15 jam, dan mesin 3 = 30 jam. Sumbangan terhadap laba untuk setiap lusin sepatu merek I1 = Rp.30.000,- sedang merek I2 = Rp.50.000,-. Masalahnya adalah menentukan berapa lusin sebaiknya sepatu merek I1 dan merek I2 yang dibuat agar bisa memaksimumkan laba ?

Jawaban:

Page 9: Diktat or - LP

DIKTAT SOAL DAN JAWABAN RISET OPERASIONAL

Fakultas Ekonomi - UMB Halaman: 9

a) Tabel Data / Matrik Persoalan, sebagai berikut:

Mesin Merek Sepatu Kapasitas Maksimum Mesin I1 (X1) I2 (X2)

Mesin 1 2 0 8 Mesin 2 0 3 15 Mesin 3 5 6 30 Kontribusi laba ( X Rp. 10.000,-)

3 5

b). Fungsi tujuan, kendala dan penegasan

Fungsi tujuan: Z maksimum= 3X1 + 5X2

Kendala Batasan: 1) 2X1 ≤ 8

2) 3X2 ≤ 15

3) 6X1 + 5X2 ≤ 30

Penegasan: 4) X1 ≥ 0 (non negatif)

5) X2 ≥ 0 (non negatif)

c) Solusi Grafis

Persaman kendala 1: 2X1 ≤ 8 dirubah menjadi 2X1 =8

Titik potong X1 0 4 X2 0 0

Persaman kendala 2: 3X2 ≤ 15 dirubah menjadi 3X2 = 15

Titik potong X1 0 0 X2 0 5

Persaman kendala 3: 6X1 + 5X2 ≤ 30 dirubah menjadi 6X1 + 5X2 = 30

Titik potong X1 0 5 X2 6 0

Grafiknya:

Page 10: Diktat or - LP

DIKTAT SOAL DAN JAWABAN RISET OPERASIONAL

Fakultas Ekonomi - UMB Halaman: 10

d). Tabel Alternatif solusi

Titik A: X1=0, X2=0, maka Z=0.

Titik B: X1=4, X2=0, maka Z=3(4) + 0 = 12

Titik C: X1=4, X2=6/5, maka Z=3(4) + 5(6/5) =18

Titik D: X1=5/6, X2=5, maka Z=3(5/6)) + 5(5) =27 1/2

Titik E: X1=0, X2=5, maka Z=3(0) + 5(5) =25

Fungsi tujuan maksimalkan laba: Z maksimum= 3X1 + 5X2 Alternatif di titik

Nilai X1 Nilai X2 Nilai Z Keterangan

A 0 0 0 B 4 0 12 C 4 6/5 18 D 5/6 5 27 1/2 Maksimum, optimal E 0 5 25

e) Simpulan

Berdasarkan perhitungan nilai Z maksimum (optimum) sebesar 27 ½ tercapai pada X1 = 5/6 dan X2 = 5. Jadi keputusannya, sepatu merek I1 dibuat 5/6 lusin atau 10 pasang (5/6 x 12 = 10), dan sepatu merek I2 dibuat 5 lusin atau 60 pasang (5 x 12) setiap hari, dengan laba setiap harinya sebesar Rp. 275.000,-.

Page 11: Diktat or - LP

DIKTAT SOAL DAN JAWABAN RISET OPERASIONAL

Fakultas Ekonomi - UMB Halaman: 11

Soal 2:

PT B & J menghasilkan dua jenis produk yaitu P1 dan P2, masing-masing memerlukan 2 macam bahan baku, A dan B. Harga jual tiap satuan P1 adalah Rp. 150,- dan P2 adalah Rp. 100,-. Bahan baku A yang tersedia adalah sebanyak 600 satuan dan B sebanyak 1000 satuan. Satu satuan P1 memerlukan satu satuan A dan dua satuan B, sedang P2 memerlukan satu satuan A dan satu satuan B. Persoalannya adalah menentukan alokasi bahan A dan B sebaik mungkin atau dengan kata lain menentukan jumlah produksi P1 dan P2 sedemikian rupa sehingga tercapai tujuan perusahaan yaitu meraih keuntungan semaksimal mungkin semaksimal mungkin.

Jawaban:

a) Tabel Data / Matrik Persoalan, sebagai berikut:

Bahan mentah Jenis Produksi Bahan yg tersedia P1 (X1) P2 (X2)

A 1 1 600 B 2 1 1000 Harga jual (Rp.) 150 100

b). Fungsi tujuan, batasan dan penegasan

Fungsi Tujuan: Z = 150X1 + 100X2

Batasan: 1) X1 + X2 ≤ 600

2) 2X1 + X2 ≤ 1000

Penegasan: 3) X1 ≥ 0

4) X2 ≥ 0

c) Solusi Grafis

Persaman kendala 1: X1 + X2 ≤ 600 dirubah menjadi X1 + X2 = 600

Titik potong X1 0 600 X2 600 0

Persaman kendala 2: 2X1 + X2 ≤ 1000 dirubah menjadi 2X1 + X2=1000

Titik potong X1 0 500 X2 1000 0

Grafiknya:

Page 12: Diktat or - LP

DIKTAT SOAL DAN JAWABAN RISET OPERASIONAL

Fakultas Ekonomi - UMB Halaman: 12

d). Tabel Alternatif solusi

Titik A: X1=0, X2=0, maka Z=0.

Titik B:X1=500, X2=0, maka Z= Z= 1500(500) + 0= 75000

Titik C:X1=400, X2=200, maka Z= Z= 1500(400) + 100(200)=80000

Titik D:X1=0, X2=600, maka Z=1500(0) + 100(600)= 60000

Fungsi tujuan maksimalkan laba:Z maksimum= 1500X1 + 100X2

Alternatif di titik

Nilai X1 Nilai X2 Nilai Z Keterangan

A 0 0 0 B 500 0 75.000 C 400 200 80.000 Maksimum, optimal D 0 600 60.000

e) Simpulan

Berdasarkan perhitungan nilai Z maksimum (optimum) sebesar 80.000 tercapai pada X1 = 400 dan X2 = 200. Jadi keputusannya, Produk P1 dibuat 400 buah, dan Produk P2 dibuat 200 buah setiap hari, dengan pendapatan setiapharinya sebesar Rp. 80.000,.

Page 13: Diktat or - LP

DIKTAT SOAL DAN JAWABAN RISET OPERASIONAL

Fakultas Ekonomi - UMB Halaman: 13

Metode Matematika

Soal 1:

PT ANISA TOYS adalah sebuah perusahaan yang bergerak pada bidang mainan anak-anak. Perusahaan ini memproduksi dua buah mainan yang terbuat dari kayu, yaitu boneka dan kereta api. Untuk memperoleh sejumlah keuntungan perusahaan tersebut menjual boneka sebesar Rp 27.000,- dan Kereta Api sebesar Rp 21.000,-.

Modal Pembuatan Mainan

1. Boneka Material Rp 10.000,- dan Pekerja Rp 14.000,-

2. Kereta Api Material Rp 9.000,- dan Pekerja Rp 10.000,-

Untuk pengerjaan mainan harus melewati 2 tahapan, yaitu pemolesan dan tukang kayu. Untuk pemolesan maksimal waktu sebanyak 100 Jam sedangkan untuk tukang kayu maksimal waktu sebanyak 80 jam. Untuk pengerjaan 1 lusin boneka memerlukan waktu 2 jam pemolesan dan 1 jam tukang kayu, sedangkan untuk kereta api memerlukan waktu 1 jam pemolesan dan 1 jam tukang kayu. Untuk produksi boneka diproduksi paling banyak 40 lusin sedangkan produksi kereta api tidak terbatas.

Pertanyaan

1. Buatlah fungsi tujuan agar keuntungan dapat diperoleh secara maksimal ? 2. Buatlah gambar grafik! 3. Hitung keuntungan dan berapa banyak masing-masing mainan yang diproduksi? Jawaban

(1) Misalkan : X1= Mainan Boneka; X2 = Mainan Kereta Api; Z = Keuntungan Maksimum

Fungsi Tujuan :

X1 = (27X1 + 21X2) - (10X1 + 9X2) - (14X1+10X2)

Zmaks = (27X1 + 10X1+ 14X1) - (21X2+ 9X2+10X2)

jadi: Zmaks = 3X1 + 2X2

Fungsi Kendala / Batasan : 1. X1 ≤ 40 (produksi boneka) 2. X1 ≥ 0 (produksi boneka) 3. X2 ≥ 0 (produksi kereta api) 4. 2X1 + X2 ≤ 100 (waktu pemolesan) 5. X1 + X2 ≤ 80 (waktu tukang kaX2u)

Page 14: Diktat or - LP

DIKTAT SOAL DAN JAWABAN RISET OPERASIONAL

Fakultas Ekonomi - UMB Halaman: 14

(2) Grafik : 1. X1 ≤ 40 =>X1 = 40 2. X1 ≥ 0 => X1 = 0 3. X2 ≥ 0 => X2 = 0 4. 2X1 + X2 ≤ 100 => 2X1 + X2 = 100

Jika X1 = 0 maka X2 = 100, jadi (0,100) Jika X2 = 0 maka X1 = 50, jadi (50,0)

5. X1 + X2 ≤ 80 => X1 + X2 = 80 Jika X1 = 0 maka X2 = 80, jadi (0,80) Jika X2 = 0 maka X1 = 80, jadi (80,0)

Grafiknya:

(3) Untuk produksi maksimum kita mendapatkan ada 5 titik pada daerah maksimum :

Fungsi Tujuan : Z= 3X1 + 2X2 Titik JUMLAH

BONEKA JUMLAH KERETA API

KEUNTUNGAN (RIBUAN)

KET

A. 0 0 Rp 0 E. 0 80 Rp 160 C. 40 20 Rp 160 D 20 60 Rp 180 MAKSIMUM B. 40 0 Rp 120

Jadi untuk mendapatkan keuntungan maksimum sebanyak Rp 180.000,- maka PT ANISA TOYS harus memproduksi boneka sebanyak 20 Lusin dan kereta api mainan sebanyak 60 Lusin.

Page 15: Diktat or - LP

DIKTAT SOAL DAN JAWABAN RISET OPERASIONAL

Fakultas Ekonomi - UMB Halaman: 15

2.4. Linier Programming Minimal

Soal 3:

Perusahaan makanan Keraton merencanakan untuk membuat dua jenis makanan yaitu Royal Bee dan Royal Jelly. Kedua jenis makanan tersebut mengandung vitamin dan protein. Royal Bee paling sedikit diproduksi 2 unit dan Royal Jelly paling sedikit diproduksi 1 unit. Tabel berikut menunjukkan jumlah vitamin dan protein dalam setiap jenis makanan :

Jenis Makanan Vitamin (unit)

Protein (unit)

Biaya per unit

(Ribu rupiah)

Royal Bee 2 2 100

Royal Jelly 1 3 80

Minimum kebutuhan 8 12

Tentukanlah kombinasi kedua jenis makanan agar meminimumkan biaya produksi?.

Jawaban:

a) Tabel Data / Matrik Persoalan, sebagai berikut:

Jenis Makanan Vitamin (unit)

X1

Protein (unit)

X2

Biaya per unit

(Ribu rupiah)

Royal Bee (X1) 2 2 100

Royal Jelly (X2) 1 3 80

Minimum kebutuhan

8 12

b). Fungsi tujuan, kendala dan penegasan

Fungsi tujuan meminimkan biaya: Zmin = 100X1 + 80X2 Fungsi kendala:

1) 2X1 + X2 ≥8 (vitamin)

2) 2X1 + 3X2 ≥12 (protein)

Page 16: Diktat or - LP

DIKTAT SOAL DAN JAWABAN RISET OPERASIONAL

Fakultas Ekonomi - UMB Halaman: 16

3) X1 ≥2 (Produksi Royal Bee)

4) X2 ≥1 (Produksi Royal Jelly)

Penegasan:

5) X1 ≥ 0 (non negatif)

6) X2 ≥ 0 (non negatif)

c) Solusi Grafis

Persaman kendala 1: 2X1 + X2 ≥8 dirubah menjadi 2X1 + X2 = 8

� X1 = 0, X2 = 8 � X2 = 0, X1 = 4

Titik potong X1 0 4 X2 8 0

Persaman kendala 2: 2X1 + 3X2 ≥12 dirubah menjadi 2X1 + 3X2 =12

� X1 = 0, X2 = 4 � X2 = 0, X1 = 6

Titik potong X1 0 6 X2 4 0

Persaman kendala 3: X1 ≥ 2 dirubah menjadi X1 = 2

Titik potong X1 0 2 X2 0 0

Persaman kendala 3: X2 ≤ 1 dirubah menjadi X2 = 1

Titik potong X1 0 0 X2 1 0

Grafiknya:

Page 17: Diktat or - LP

DIKTAT SOAL DAN JAWABAN RISET OPERASIONAL

Fakultas Ekonomi - UMB Halaman: 17

d). Tabel Alternatif solusi

Titik A: X1=5, X2=1, maka Z=100(5) + 80(1)=580.

Titik B: X1=3, X2=2, maka Z= 100(3) + 80(2)=300+160=460

Titik C: X1=4, X2=2, maka Z=100(4) + 80(2)=680

Fungsi tujuan meminimkan biaya: Zmin = 100X1 + 80X2 Alternatif di

titik Nilai X1 Nilai X2 Nilai Z Keterangan

A 5 1 580 B 3 2 460 Minimal, optimal C 4 2 680

Atau dengan cara lain:

Solusi optimal tercapai pada titik B (terdekat dengan titik origin), yaitu persilangan garis kendala (1) dan (2).

2X1 + X2 = 8

2X1 + 3X2 = 12

--------------------------- -

-2X2 = -4 � X2 = 2

Page 18: Diktat or - LP

DIKTAT SOAL DAN JAWABAN RISET OPERASIONAL

Fakultas Ekonomi - UMB Halaman: 18

masukkan X2 ke kendala (1)

2X1 + X2 = 8

2X1 + 2 = 8

2 X1 = 6 � X1 = 3

masukkan nilai X1 dan X2 ke Z

Z min = 100X1 + 80X2 = 100 (3 )+ 80(2) = 300 + 160 = 460

e) Simpulan

Untuk meminimumkan biaya produksi, maka harus diproduksi oleh perusahaan sebesar X1 = 3 dan X2 = 2 dengan biaya produksi 460 ribu rupiah.

Soal 4:

JIHAN ingin merencanakan membuat dua jenis makanan yaitu jenis makanan A dan jenis makanan B. Dia ingin mengetahui berapa banyak kedua jenis bahan makanan tersebut harus dibeli, karena dia ingin keluarganya mendapat makanan yang bergizi. Dia pernah membaca dalam majalah “NIRMALA” bahwa satu orang kebutuhan minimum per harinya adalah 12 unit protein dan 9 unit karbohidrat. Sedangkan kandungan unsur-unsur itu dalam jenis makanan A dan jenis makanan B dapat dilihat pada tabel berikut ini :

Kandungan Jenis Makanan A (unit)

Jenis Makanan B (unit)

Protein 1 3

Karbohidrat 2 1

Di pasar dia melihat harga kedua jenis bahan makanan tersebut adalah satu unit A harganya Rp. 500,- dan satu unit B harganya Rp. 300,- Tentukanlan kedua jenis makanan tersebut harus dibeli oleh Jihan agar menghemat biaya!

Jawaban :

A) Tabel Data / Matrik Persoalan, sebagai berikut:

Page 19: Diktat or - LP

DIKTAT SOAL DAN JAWABAN RISET OPERASIONAL

Fakultas Ekonomi - UMB Halaman: 19

Kandungan Jenis Makanan A (unit)

Jenis Makanan B (unit)

Jumlah Minimum

Protein 1 3 12

Karbohidrat 2 1 9

Harga 500 300

b). Fungsi tujuan, kendala dan penegasan

Variabel keputusan : X1 = banyaknya jenis makanan A yang dibuat. X2 = banyaknya jenis makanan B yang dibuat. Fungsi tujuan : Zmin = 500X1 + 300X2 Kendala :

1) X1 + 3X2 ≥ 12 (protein) 2) 2X1 + X2 ≥ 9 (karbohidrat)

Penegasan: 3)X1 ≥ 0 (non negatify) 4)X2 ≥ 0 (non negatify)

c) Solusi Grafis Persaman kendala 1: X1 + 3X2 ≥ 12 dirubah menjadi X1 + 3X2 = 12

� X1 = 0, 0 + 3X2 = 12 � => X2=12/4 = 3 � X2 = 0, X1 = 12

Titik potong X1 0 12 X2 3 0

Persaman kendala 2: 2X1 + X2 ≥ 9 dirubah menjadi 2X1 + X2 = 9

� X1 = 0, 0 + X2 = 9, � X2 = 0, 2X1 + 0 = 9 � X1 = 4.5

Titik potong X1 0 4.5 X2 9 0

Grafiknya:

Page 20: Diktat or - LP

DIKTAT SOAL DAN JAWABAN RISET OPERASIONAL

Fakultas Ekonomi - UMB Halaman: 20

d). Tabel Alternatif solusi

X1 + 3X2 = 12 � X1 = 0, X2 = 12/3 = 4 � ( 0, 4) X2 = 0, X1 = 12. � (12,0)

2X1 + X2 = 9 � X1 = 0, X2 = 9 � (0,9) X2 = 0, X1 = 4½ � ( 4½, 0) Titik A : X1 = 0 , X2 = 9, Jadi Z = 300 (9) = 2700

Titik B : X1 + 3X2 = 12 � x 2 � 2X1 + 6X2 = 24 2X1 + X2 = 9 � x 1 � 2X1 + X2 = 9 ------------------------- - 5X2 = 15 � X2 = 15/5 = 3 X1 + 3 (3) = 12 � X1= 12 – 9 = 3 Jadi Z = 500 (3) + 300 (3) = 1.500 +900 = 2.400 � minimum

Titik C : X1 = 12, X2 = 0, jadi Z = 500 (12) = 6.000 satuan.

Fungsi tujuan meminimkan biaya:: Zmin = 500X1 + 300X2

Alternatif di titik

Nilai X1 Nilai X2 Nilai Z Keterangan

A 0 9 2.700 B 3 3 2.400 Minimal, optimal C 12 0 6.000

Page 21: Diktat or - LP

DIKTAT SOAL DAN JAWABAN RISET OPERASIONAL

Fakultas Ekonomi - UMB Halaman: 21

e) Simpulan

Titik B merupakan solusi terbaik meminimumkan kebutuhan , maka harus dikonsumsi makanan sebesar X1 = 3 dan X2 = 3 dengan biaya produksi 2.400 ribu rupiah.

Soal 5:

Untuk menjaga kesehatan, Si Nisa harus memenuhi kebutuhan minimum per hari dengan beberapa zat makanan. Perhatikan table berikut !

Kandungan Jenis Makanan Kebutuhan Minimum

Sayur (gram) Daging (gram)

Kalsium 5 1 10

Protein 2 2 8

Harga per unit 2.000 8.000

Tentukan kombinasi jenis makanan tersebut agar Nisa memenuhi kebutuhan minimum per hari dan memberi biaya terendah !

Jawaban:

1. Variabel terikat: X1 : Sayur; X2 : Daging 2. Fungsi tujuan : 21 000.8000.2min XXZ += 3. Fungsi kendala/batasan :

(1) 5X1 + X2 ≥10, (2) 2X1+2X2≥8 (3) X1≥0 (4) X2≥0

4. Grafiknya:

Page 22: Diktat or - LP

DIKTAT SOAL DAN JAWABAN RISET OPERASIONAL

Fakultas Ekonomi - UMB Halaman: 22

5. Tentukan titik-titik pojok dari grafik dan substitusi ke dalam fungsi obyektif.

Titik A

X1 = 0 , X2 = 0

Titik B

X1 = 2 , X2 = 0

Page 23: Diktat or - LP

DIKTAT SOAL DAN JAWABAN RISET OPERASIONAL

Fakultas Ekonomi - UMB Halaman: 23

Titik C

Mencari titik potong :

822

105

21

21

=+=+

XX

XX↔ −

==

=+=+

5,1

128

822

20210

1

1

21

21

X

X

XX

XX

Substitusi X1 ke dalam persamaan 2

5,2

52

82)5,1.(2

822

2

2

2

21

==

=+=+

X

X

X

XX

Titik D

X1 = 0 , X2 = 4

6. Tentukan solusi optimum

Titik Pojok

21 000.8000.2min XXZ +=

A X1 = 0 , X2 = 0 Z=2.000 (0) + 8.000 (0) 0

B X1=2 , X2 = 0 Z=2.000 (2) + 8.000 (0) 4.000

C X1=2.5 , X2=1.5 Z=2.000 (2.5) + 8.000 (1.5) 23.000

D X1= 0, X2=4 Z=2.000 (0) + 8.000 (4) 32.000

Simpulan :

Si Nisa harus memenuhi kebutuhan minimum per hari dengan beberapa zat makanan dengan pemilihan mengkonsumsi 4 gram daging dan tidak mengkonsumsi sayur, dengan pengeluaran minimum sebesar Rp. 32.000,-.

Page 24: Diktat or - LP

DIKTAT SOAL DAN JAWABAN RISET OPERASIONAL

Fakultas Ekonomi - UMB Halaman: 24

Soal Latihan dirumah

1. Sebuah perusahaan menghasilkan dua macam output, yaitu barang A dan barang B. perusahaan selama ini menggunakan dua macam bahan baku, yaitu bahan baku I (BB I) dan bahan baku II (BB II). untuk membuat satu unit barang A diperlukan BB I sebanyak 4 unit dan BB II sebanyak 3 unit. Barang B diperlukan BB I sebanyak 2 unit, dan BB II sebanyak 4 unit. Jumlah BB I yang tersedia 100 unit dan BB II tersedia 120 unit. Harga jual barang A Rp. 5000 per unit dan harga jual barang B Rp. 6000 per unit. Verapa unit barang A dan barang B harus dihasilkan agar perusahaan memperoleh penerimaan maksimal?

2. Sebuah pabrik sepatu NABILA membuat dua macam sepatu dengan merek X1 (dari karet) dan X2 (dari kulit). Untuk membuat sepatu tersebut, perusahaan memiliki 3 mesin, yaitu : mesin 1 membuat sol karet, mesin 2 membuat sol kulit dan mesin 3 untuk assemblling. Sepatu X1 dikerjakan di mesin 1 selama 2 jam, tidak dikerjakan dimesin 2 dan dikerjakan di mesin 3 selama 6 jam. Sepatu X2 tidak dikerjakan di mesin 1 dan dikerjakan di mesin 2 selama 3 jam dan mesin 3 selama 5 jam. Jam kerja maksimum mesin 1 = 8 jam, mesin 2 = 15 jam, dan mesin 3 = 30jam. Tiap lusin sepatu X1 menghasilkan laba 30.000,- dan sepatu X2 menghasilkan laba 50.000,- Pertanyaan: berapa sepatu X1 dan X2 diproduksi dan berapa labanya?

3. Sebuah perusahaan elektronik memproduksi dua macam barang elektronik, yaitu Televisi dan Radio/Tape. Setiap Televisi diproses secara berturut-turut selama 30 menit pada Departemen I, 40menit pada Departemen II, dan 1 jam pada Departemen III. Sedangkan Radio/Tape diproses selama 25 menit pada Departemen I, 20 menit pada Departemen II, dan 10 menit pada Departemen III. Keuntungan bersih yang diperoleh dari penjualan Televisi sebesar Rp. 200.000,- tiap unit dan Radio/Tape sebesar Rp. 120.000,- tiap unit. Kapasitas pengopersian masing-masing Departemen setiap harinya: Departemen I selama 50 jam, Departemen II selama 46 jam 40 menit, dan Departemen III selama 40 jam. Jika setiap produk yang diproduksi selalu laku terjual, tentukan:

a. formulasikan permasalahan di atas dalam bentuk program linier! b. Berapa unit TV dan Radio/Tape harus diproduksi setiap harinya agar

keuntungan perusahaan mencapai hasil yang maksimal?

4. Sebuah lembaga penelitian di Bengkulu akan menyebarkan 1000 kuosioner. Dan harus habis disebarkan ke Pulau Jawa, Pulau Sumatra, dan Pulau Kalimantan. Ongkos kirim di Pulau Jawa Rp. 800 per kuosioner, Pulau Sumatra Rp. 1200 per kuosioner, dan Pulau Kalimantan Rp. 1000 per kuosioner. Jumlah maksimal kuosioner yang dikirim ke Pulau Jawa adalah 2500,untuk Pulau Sumatra paling sedikit 2500, dan untuk Pulau Kalimantan paling sedikit 2500 kuosioner.

c. formulasikan permasalahan di atas dalam bentuk program linier!

Page 25: Diktat or - LP

DIKTAT SOAL DAN JAWABAN RISET OPERASIONAL

Fakultas Ekonomi - UMB Halaman: 25

d. Berapa kuosiner harus dikirim ke masing-masing pulau agar biaya pengiriman tidak membengkak?

e. Tentukan perhitungan dengan software POM!

5. PT. NUMBERONE sedang mempertimbangkan program advertensi dalam rangka mempromosikan produk yang dihasilkannya. Untuk rencana advertensi sedang dipertimbangkan 3 alternatif media advertensi, yaitu surat kabar, radio, dan televisi dengan karakteristik sebagai berikut:

Media Advertensi Biaya Adv. untuk 1 kali Konsumen yang dapat dijangkau

Surat Kabar

Radio

Televisi

Rp. 4.000.000

Rp. 6.000.000

Rp. 16.000.000

400.000 orang

800.000 orang

2.600.000 orang

Target dan ketentuan lain yang ingin dicapai dari penggunaan media advertensi tersebut sebagai berikut:

• maksimum biaya advertensi Rp. 82.000.000 • minimum biaya untuk televisi Rp. 32.000.000 • minimum konsumen yang dijangkau 1.000.000 orang • biaya surat kabar paling sedikit Rp. 12.000.000 • rasio biaya advertensi melalui radio dengan surat kabar paling sedikit

2:1 Tentukan:

a. formulasi kasus di atas dalam linier programming! b. media advertensi manakah yang akan digunakan dan berapa kali

penggunaan agar menjangkau konsumen semaksimal mungkin?

Page 26: Diktat or - LP

DIKTAT SOAL DAN JAWABAN RISET OPERASIONAL

Fakultas Ekonomi - UMB Halaman: 26