perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

MASALAH NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN YANG

DIPERUMUM MATRIKS ATAS ALJABAR MAKS-PLUS

oleh

DIAN RIZKI NURAINI

M0111021

SKRIPSI

ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar

Sarjana Sains Matematika

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SEBELAS MARET

SURAKARTA

2016

i

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

ii

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

ABSTRAK

Dian Rizki Nuraini. 2016. MASALAH NILAI EIGEN DAN VEKTOREIGEN YANG DIPERUMUM MATRIKS ATAS ALJABAR MAKS-PLUS. Fa-kultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Sebelas Maret.

Aljabar maks-plus adalah semiring R dengan R = R∪{−∞} yang dilengkapioperasi ⊕ = maks dan operasi ⊗ = +. Masalah nilai eigen dituliskan sebagaiA⊗ x = λ⊗ x dengan λ merupakan nilai eigen dan x(k) merupakan vektor eigendari matriks A. Masalah nilai eigen dan vektor eigen yang diperumum dituliskansebagai A ⊗ x = λB ⊗ x dengan A,B matriks nonnegatif. Selain itu, masalahnilai eigen dan vektor eigen yang diperumum pada aljabar maks-plus dapat puladituliskan dalam bentuk A⊗ x = λ⊗B ⊗ x.

Tujuan dari penelitian ini adalah menentukan nilai eigen dan vektor eigendari masalah nilai eigen yang diperumum untuk matriks atas aljabar maks-plus.Hasil penelitian ini adalah nilai eigen dan vektor eigen dari masalah nilai eigenyang diperumum untuk matriks tak tereduksi dan matriks tereduksi pada aljabarmaks-plus.

Kata kunci: Aljabar maks-plus, nilai eigen, vektor eigen, masalah nilai eigendan vektor eigen yang diperumum

iii

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

ABSTRACT

Dian Rizki Nuraini. 2016. GENERALIZED EIGEN VALUE AND EIGENVECTOR PROBLEM MATRIX ON MAX-PLUS ALGEBRA. Faculty of Ma-thematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University.

Max-plus algebra is the semiring R where R = R∪ {−∞} is equipped withoperations ⊕ = max and ⊗ = plus. Eigenvalue problem A ⊗ x = λ ⊗ x whereλ is called eigenvalue and x(k) is called eigenvector of matrices A. Generalizedeigenvalue problem and eigenvector A⊗ x = λB ⊗ x where A and B are nonne-gative matrices. In addition, generalized eigenvalue and eigenvector problem inmax-plus algebra can also written in the form of A⊗ x = λ⊗B ⊗ x.

The aims of this research are to obtain eigenvalue and eigenvector fromgeneralized eigenvalue problem matrix on max-plus algebra. The results of thisresearch are eigenvalue and eigenvector from generalized eigenvalue problem forirreducible matrix and reducible matrix in max-plus algebra.

Key words: max-plus algebra, eigenvalue, eigenvector, generalized eigenvalueand eigenvector problem

iv

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

MOTTO

Orang-orang yang sukses telah belajar membuat diri mereka melakukan hal

yang harus dikerjakan ketika hal itu memang harus dikerjakan, entah mereka

menyukainya atau tidak. (Aldus Huxley)

v

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

PERSEMBAHAN

Saya persembahkan karya ini untuk

kedua orang tua saya,

adik saya, Devi Adillah Nuraini dan Dedy Achmad Alfarizi,

serta teman-teman saya, Laela Nur Aeni dan Durri Indy Mahbubah.

vi

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

KATA PENGANTAR

Segala puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah

melimpahkan rahmat dan hidayah-Nya sehingga penulis berhasil menyelesaikan

skripsi ini. Ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada

1. Bapak Drs. Siswanto, M.Si. sebagai Pembimbing I yang telah memberi

bimbingan dan arahan dalam penulisan skripsi.

2. Bapak Drs. Santoso Budi Wiyono, M.Si. sebagai Pembimbing II yang telah

memberi bimbingan dan arahan dalam penulisan skripsi.

3. Seluruh pihak yang telah memberikan semangat, motivasi dan kerja sama-

nya.

Penulis berharap semoga laporan ini bermanfaat.

Surakarta, Februari 2016

Penulis

vii

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i

ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv

MOTTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

PERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi

KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii

DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix

I PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Perumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Manfaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

II LANDASAN TEORI 4

2.1 Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Teori Penunjang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2.1 Struktur Aljabar Biasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2.2 Aljabar Maks-Plus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2.3 Matriks atas Aljabar Maks-Plus . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2.4 Graf dalam Aljabar Maks-Plus . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.5 Nilai Eigen dan Vektor Eigen . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3 Kerangka Pemikiran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

IIIMETODE PENELITIAN 15

viii

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

IVPEMBAHASAN 16

4.1 Masalah Nilai Eigen dan Vektor Eigen yang Diperumum . . . . . 16

4.1.1 Kasus Matriks 2× 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.2 Eksistensi Nilai Eigen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.3 Ketunggalan Nilai Eigen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

V PENUTUP 35

5.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

DAFTAR PUSTAKA 36

ix