DiferensiasiDiferensiasiDiferensiasiDiferensiasi

Sudaryatno Sudirham

Bahan Kuliah Terbuka

dalam format pdf tersedia di

www.buku-e.lipi.go.id

dalam format pps beranimasi tersedia di

www.ee-cafe.org

Pengertian-Pengertian

Kita telah melihat bahwakemiringan garis lurus adalah

)(

)(

12

12

xx

yy

x

ym

−−=

∆∆=

Bagaimanakah dengan garis lengkung?

∆x∆y

0

1

2

-1

0 1 2 3 4 x

y

P1

∆y

∆x

x

yP2

y = f(x)

Jarak kedua titik potong semakin keciljika ∆x di perkecil menjadi ∆x*

Pada kondisi ∆x mendekati nol, kita peroleh

)()()(

limlim00

xfx

xfxxf

x

y

xx′=

∆−∆+=

∆∆

→∆→∆

Ini merupakan fungsi turunan dari

)(xf di titik P

Ekivalen dengan kemiringan garis singgung di titik P

P1∆y*

∆x*

x

y y = f(x)

∗2P

Garis Lengkung

Garis lurus dengan kemiringan ∆y/∆xmemotong garis lengkung di dua titik

(x1,y1)

(x2,y2)

x

y

f ′(x) di titik (x1,y1) adalah turunan y di titik (x1,y1),

f ′(x) di titik (x2,y2) adalah turunan y di titik (x2,y2)

),(xfy =Pada suatu garis lengkungkita dapat memperoleh turunannya di berbagaititik pada garis lengkung tersebut

maka dikatakan bahwa fungsi f(x) “dapat didiferensiasi di titik tersebut”

x

y

x ∆∆

→∆ 0limJika pada suatu titik x1 di mana benar ada

Penurunan ini dapat dilakukan jika y memang merupakan fungsi x. Jika tidak, tentulah penurunan itu tidak dapat dilakukan.

x

yy

dx

d

dx

dy

x ∆∆==

→∆ 0lim)(

Jika dalam suatu domain suatu fungsi f(x) dapat di-diferensiasidi semua x dalam dalam domain tersebut

kita katakan bahwa fungsi f(x) dapat di-diferensiasi dalam domain.

kita baca “turunan fungsi y terhadap x”

Mononom

kxfy == )(0

00)()(

lim0

0 =∆

=∆

−∆+=′→∆ xx

xfxxfy

x

Contoh:

xxfy 2)(11 ==

222)(2

lim)(0

1 =∆∆=

∆−∆+=′

→∆ x

x

x

xxxxf

x

Contoh:

0

2

4

6

8

10

0 1 2 3 4 5x

yxy 21 =

2)(1 =′ xf

Fungsi ramp

Fungsi tetapan

222 2)( xxfy ==

xxxx

xxxxx

x

xxxxf

x

xx

4)222(lim

2)2(2lim

2)(2lim)(

0

222

0

22

02

=∆+×=∆

−∆+∆+=∆

−∆+=′

→∆

→∆→∆

Turunan fungsi mononom pangkat 2 berbentuk mononompangkat 1 (kurva garis lurus)

Contoh:

333 2)( xxfy ==

2222

0

33323

0

33

03

623232lim

2)33(2lim

2)(2lim)(

xxxxx

x

xxxxxxx

x

xxxxf

x

x

x

=∆+∆×+×=∆

−∆+∆+∆+=

∆−∆+

=′

→∆

→∆

→∆

Turunan fungsi mononom pangkat 3 berbentuk mononompangkat 2 (kurva parabola)

Contoh:

nmxxfy == )(

)1()( −×=′ nxnmy

Secara umum, turunan fungsi mononom

adalah

kxfy =′=′ )(

Jika n = 1 maka kurva fungsi berbentuk garis lurus

dan turunannya berupa nilai konstan,

nmxy =

)(xfy ′=′Jika n > 1, maka turunan fungsi akan merupakan fungsi x,

nmxy =

Fungsi turunan ini dapat diturunkan lagi dan kita mendapatkan fungsi turunan berikutnya, yang mungkin masih dapat diturunkan lagi

)(xfy ′′=′′ turunan dari )(xfy ′=′

)(xfy ′′′=′′′ turunan dari )(xfy ′′=′′*) Untuk n berupa

bilangan tak bulat akandibahas kemudian

*)

dx

dyxfy =′=′ )( disebut turunan pertama,

2

2)(

dx

ydxfy =′′=′′ turunan kedua,

3

3)(

dx

ydxfy =′′′=′′′ turunan ke-tiga, dst.

344 2)( xxfy ==

12

;12)2(6

;6)3(2

4

)12(4

2)13(4

=′′′==′′

==′−

−

y

xxy

xxy

Contoh:

nmxxfy == )(Kurva fungsi mononom yang memiliki beberapa turunan

akan berpotongan dengan kurva fungsi-fungsi turunannya.

-100

0

100

200

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

4xy =

34xy =′

212xy =′′ xy 24=′′′

24=′′′′y

212xy =′′34xy =′

Contoh:34xy =′ 212xy =′′ xy 24=′′′ 24=′′′′y

4xy = dan turunan-turunannya Fungsi

Polinom

Contoh: 24)(11 +== xxfy

{ } { }4

242)(4lim)(1 =

∆+−+∆+=′

→∆ x

xxxxf

xx

f1(x) = 4x + 2

-4

-2

0

2

4

6

8

10

-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2x

y

4)('1 =xf Turunan fungsi inisama dengan

turunan f(x)=4x karena turunan daritetapan 2 adalah 0.

Secara Umum: Jika F(x) = f(x) + K maka Fʹ(x) = f′ (x)

)2(4)(22 −== xxfy 84)(2 −= xxf

4)(2 =′ xf

)2(4)(2 −−−−==== xxf

4)(2 ====′′′′ xf

-15

-10

-5

0

5

10

-1 0 1 2 3 4xy

Contoh:

Contoh: 524)( 233 −+== xxxfy

{ } { }28224

5245)(2)(4lim

22

03

+=+×=∆

−+−−∆++∆+=′→∆

xxx

xxxxxxy

x

5245)( 2344 −++== xxxxfy

{ } { }281522435

5245 5)(2)(4)(5lim

22

2323

04

++=+×+×=∆

−++−−∆++∆++∆+=′→∆

xxxx

x

xxxxxxxxxy

x

Contoh:

Secara Umum:

Turunan fungsi polinom, yang merupakan jumlah beberapa mononom, adalah jumlah turunan masing-masing mononom dengan syarat setiap mononom yang membentuk polinom itu

memang memiliki turunan.

Fungsi Yang Merupakan Perkalian

Dua Fungsi

dx

dvw

dx

dwv

dx

vwd

dx

dy +== )(

)(

))(()(

vwvwwvvw

wwvvyy

∆∆+∆+∆+=∆+∆+=∆+

x

wv

x

vw

x

wv

x

vwvwvwwvwv

x

yyy

x

y

∆∆∆+

∆∆+

∆∆=

∆−∆∆+∆+∆+=

∆−∆+=

∆∆

)()(

vwy =Jika

maka

Contoh:

44422323

3018126362)32(

xxxxxxxdx

xxdy =+=×+×=

×=′

56xy = 430xy =′Turunan adalah

Jika dipandang sebagai perkalian dua fungsi

dx

duvw

dx

dvuw

dx

dwuv

dx

duv

dx

dvuw

dx

dwuv

dx

uvdw

dx

dwuv

dx

wuvd

dx

uvwd

)()()(

)( )(

)())(()(

++=

++=+==

Jika uvwy =

56xy =

44442

222

3012126)4)((3x

)6)(2()1)(32()(

xxxxxx

xxxxxdx

uvwd

dx

dy

=++=×+

×+×==

Contoh:Jika dipandang sebagai perkalian tiga fungsi

Fungsi Yang Merupakan Pangkat dari suatu Fungsi

vvvvy ××== 2361Contoh:

dx

dvv

dx

dvv

dx

dvvv

dx

dvv

dx

dvv

dx

dvv

dx

dvv

dx

dvvv

dx

dvv

dx

dvvv

dx

dvv

dx

dvvv

dx

dvvv

dx

dvvv

dx

dy

5

4555

22345

32

23231

6

2

)()()(

=

++++=

++

++=

++=

dx

dvv

dx

dv

dv

dv

dx

dv 566

6==

dx

dvnv

dx

dv nn

1−=

Contoh ini menunjukkan bahwa

Secara Umum:

Contoh: 2332 )1()1( −+= xxy

)12()1)(1(6

)1()1(6)1()1(6

2)1(3)1()3)(1(2)1(

)1()1(

)1()1(

3223

22233322

22232332

3223

2332

−++−=

+−+−+=

+−+−+=

+−+−+=

xxxxx

xxxxxx

xxxxxx

dx

xdx

dx

xdx

dx

dy

Kita gabungkan relasi turunan untuk perkalian dua fungsi dan pangkat suatu fungsi

Fungsi Rasional

Fungsi rasional merupakan rasio dari dua fungsi

w

vy = 1−= vwy

−=

+−=+−=

+==

=

−−

−−−

dx

dwv

dx

dvw

w

dx

dv

wdx

dv

w

v

dx

dvw

dx

dvvw

dx

dvw

dx

dwv

dx

vwd

w

v

dx

d

dx

dy

2

212

111

1

1

)(

2w

dx

dwv

dx

dvw

w

v

dx

d

−=

atau

Jadi:

3

2 3

x

xy

−=

4

2

6

244

6

223

9)93(2

)3)(3()2(

x

x

x

xxx

x

xxxx

dx

dy

+−=−−=

−−=

Contoh:

22 1

xxy +=

3

2 22

4

2102

xx

xxx

dx

dy −=×−×+=

Contoh:

1dengan ;1

1 22

2≠

−+= x

x

xy

2222

33

22

22

)1(

4

)1(

2222

)1(

2)1(2)1(

−−=

−−−−=

−+−−=

x

x

x

xxxx

x

xxxx

dx

dy

(agar penyebut tidak nol)Contoh:

Fungsi BerpangkatTidak Bulat

(v adalah fungsi yang bisa diturunkan)

q

pn = dengan p dan q adalah bilangan bulat dan q ≠ 0Bilangan tidak bulat

dx

dvpv

dx

dyqy pq 11 −− =

Jika y ≠ 0, kita dapatkandx

dv

qy

pv

dx

vd

dx

dyq

pqp

1

1/ )(−

−==

( ) )/(1/1 qppqqpq vvy −−− ==

dx

dvv

q

p

dx

dvv

q

p

dx

dv

qv

pv

dx

vd

dx

dy

qp

qpppqpp

pqp

1)/(

)/()1()/(

1/

)(

−

+−−−

−

=

===

sehingga

qpn vvy /== pq vy =

Formulasi ini mirip dengan keadaan jika n bulat,hanya perlu persyaratan bahwa v ≠ 0 untuk p/q < 1.

Fungsi Parametrik danKaidah Rantai

Kaidah rantai

)(tfx = dapat diturunkan terhadap t,

)(xFy = dapat diturunkan terhadap x dan Jika

( ) )()( tgtfFy == dapat diturunkan terhadap t menjadimaka

dt

dx

dx

dy

dt

dy =

Apabila kita mempunyai persamaan

maka relasi antara x dan y dapat dinyatakan dalam t. Persamaan demikian disebut persamaan parametrik, dan t disebut parameter. Jika kita eliminasi t dari kedua persamaan di atas, kita dapatkan persamaan yang berbentuk

)(dan )( tfytfx ==

)(xFy =

Fungsi Implisit

Sebagian fungsi implisit dapat diubah ke dalam bentuk explisitnamun sebagian yang lain tidak.

Untuk fungsi yang dapat diubah dalam bentuk eksplisit, turunanfungsi dapat dicari dengan cara seperti yang sudah kita pelajari di

atas.

Untuk mencari turunan fungsi yang tak dapat diubah ke dalambentuk eksplisit perlu cara khusus, yang disebut diferensiasi

implisit. Dalam cara ini kita menganggap bahwa fungsi y dapatdidiferensiasi terhadap x.

Fungsi implisit ini merupakan sebuah persamaan. Jika kita melakukan operasi matematis di ruas kiri, maka operasi yang sama harus dilakukan pula di ruas kanan agar kesamaan tetap terjaga. Kita lakukan diferensiasi (cari turunan) di kedua ruas, dan kita akan peroleh

822 =++ yxyxContoh:

yxdx

dyyx

dx

dyy

dx

dxy

dx

dyxx

−−=+

=+++

2)2(

022

yx

yx

dx

dy

2

2

++−=

0)2( ≠+ yx kita peroleh turunanJika

434 434 =−+ yxyx

0124)3(44

0)3()4(

44

3323

43

33

=−++

=−++

dx

dyyy

dx

dyyxx

dx

yd

dx

xdy

dx

dyxx

Fungsi implisit ini juga merupakan sebuah persamaan. Kita lakukan diferensiasi pada kedua ruas, dan kita akan memperoleh

Contoh:

)(3

)(32

33

yxy

yx

dx

dy

−+−=

0)( 32 ≠− yxy kita dapat memperoleh turunanUntuk

Turunan FungsiTrigonometri

x

xxxxxx

xxx

dx

xd

dx

dy

∆−∆+∆=

∆−∆+==

sinsincoscossin

sin)sin(sin

xy sin= maka Jika

Untuk nilai yang kecil, Δx menuju nol, cos∆x = 1 dan sin∆x = ∆x. Oleh karena itu

xdx

xdcos

sin =

x

xxxxxx

xxx

dx

xd

dx

dy

∆−∆−∆=

∆−∆+==

cossinsincoscos

cos)cos(cos

xy cos= maka Jika

Untuk nilai yang kecil, Δx menuju nol, cos∆x = 1 dan sin∆x = ∆x. Oleh karena itu

xdx

xdsin

cos −=

Turunan fungsi trigonometri yang lain tidak terlalu sulit untuk dicari.

xxx

xxx

x

x

dx

d

dx

xd 222

2sec

cos

1

cos

)sin(sincos

cos

sintan ==−−=

=

xxx

xxx

x

x

dx

d

dx

xd 222

2csc

sin

1

sin

)(coscossin

sin

coscot −=−=−−=

=

xxx

x

x

x

xdx

d

dx

xdtansec

cos

sin

cos

)sin(0

cos

1sec22

==−−=

=

xxx

x

x

x

xdx

d

dx

xdcotcsc

sin

cos

sin

)(cos0

sin

1csc22

−=−=−=

=

Contoh:

Tegangan pada suatu kapasitor dengan kapasitansi C = 2×10-6 farad merupakan fungsi sinus vC = 200sin400t volt. Arus yang mengalir pada kapasitor ini adalah

Hubungan antara tegangan kapasitor vC dan arus kapasitor iC adalah

dt

dvCi C

C =

( ) ampere 400cos160,0400sin200102 6 ttdt

d

dt

dvCi C

C =××==

-200

-100

0

100

200

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

vC iC

vC

iC

t [detik]

Contoh:

Arus pada suatu inductor L = 2,5 henry merupakan fungsi sinus iL = −0,2cos400t ampere.

Hubungan antara tegangan induktor vL dan arus induktor iL adalah

dt

diLv L

L =

( ) tttdt

d

dt

diLv L

L 400sin200 400400sin2,05,2400cos2,05,2 =×××=−×==

vL

iL

vL iL

-200

-100

0

100

200

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 t[detik]

Turunan FungsiTrigonometri Inversi

xy 1sin−= yx sin= ydydx cos=

ydx

dy

cos

1=21

1

xdx

dy

−=x

1

21 x−

y

ydx

dy

sin

1−= 21

1

xdx

dy

−

−=

x

1 21 x−y

xy 1cos−= yx cos= ydydx sin−=

xy 1tan−= yx tan= dyy

dx2cos

1=

ydx

dy 2cos=21

1

xdx

dy

+=x

1

21 x+y

xy 1cot−= yx cot= dyy

dx2sin

1−=

ydx

dy 2sin−= 21

1

xdx

dy

+−=

x

1

21 x+y

xy 1sec−=y

yxcos

1sec == dy

y

xdx

2cos

)sin(0 −−=

1

1

1

1

sin

cos

2

22

2

−=

−×==

xx

x

x

xy

y

dx

dy

1

x12 −xy

xy 1csc−=y

yxsin

1csc == dy

y

xdx

2sin

)(cos0 −=

1

1

1

1

cos

sin

2

22

2

−

−=

−×−=

−=

xx

x

x

xy

y

dx

dy1

x

12 −x

y

Fungsi Trigonometridari Suatu Fungsi

dx

dvv

dx

dv

dv

vd

dx

vdcos

)(sin)(sin ==

dx

dvv

dx

dv

dv

vd

dx

vdsin

)(cos)(cos −==

Jika v = f(x), maka

dx

dvv

dx

dv

x

xx

v

v

dx

d

dx

vd 22

22sec

cos

sincos

cos

sin)(tan =+=

=

dx

dvv

v

v

dx

d

dx

vd 2cscsin

cos)(cot −=

=

dx

dvvv

dx

dv

v

v

vdx

d

dx

vdtansec

cos

sin0

cos

1)(sec2

=+=

=

dx

dvvv

vdx

d

dx

vdcotcsc

sin

1)(csc −=

=

dx

dw

wdx

wd

2

1

1

1)(sin

−=

−

dx

dw

wdx

wd

2

1

1

1)(cos

−−=

−

dx

dw

wdx

wd2

1

1

1)(tan

+=

−

dx

dw

wdx

wd2

1

1

1)(cot

+−=

−

dx

dw

wwdx

wd

1

1)(sec

2

1

−=

−

dx

dw

wwdx

wd

1

1)(csc

2

1

−−=

−

Jika w = f(x), maka

Fungsi Logaritmikdan

Fungsi Eksponensial

Turunan Fungsi Logaritmik

)0( 1

ln)(1

>== ∫ xdtt

xxfx

xxf ln)( = didefinisikan melalui suatu integralFungsi logaritmik

luas bidang yang dibatasi oleh kurva (1/t) dan

sumbu-t, dalam selang antara t = 1 dan t = x

x t

1/x

1/t

x +∆x 1/(x+∆x)

0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4

y

∫=x

dtt

x1

1

ln

∆=

∆−∆+= ∫

∆+ xx

xdt

txx

xxx

dx

xd 11)ln()ln(ln

Luas bidang ini lebih kecil dari luas persegi panjang (Δx × 1/x). Namun jika Δx

makin kecil, luas bidang tersebut akan makin mendekati (Δx × 1/x); dan jika Δx

mendekati nol luas tersebut sama dengan (Δx × 1/x).

xdx

xd 1ln =

ln(x+∆x)−lnx

Tentang integral akan dipelajari lebih lanjut

Turunan Fungsi Eksponensial

xey = xexy == lnln

penurunan secara implisit di kedua sisi

11ln ==

dx

dy

ydx

yd

xeydx

dy ==atau

Jadi turunan dari ex adalah ex itu sendiri

xey =′ xey =′′ xey =′′′ dst.

.

dx

dve

dx

dv

dv

de

dx

de vvv

==)(xvv =Jika

xey1tan−

=2

tan1tan

1

tan1

1

x

e

dx

xde

dx

dy xx

+==

−− −

Diferensial dx dan dy

dx dan dy didefinisikan sebagai berikut:

Turunan fungsi y(x) terhadap x dinyatakan dengan formulasi

)(lim0

xfx

y

dx

dy

x′=

∆∆

=→∆

Sekarang kita akan melihat dx dan dy yang didefinisikan sedemikian rupa sehingga rasio dy/dx , jika dx≠ 0, sama dengan turunan fungsi yterhadap x. Hal ini mudah dilakukan jika x adalah peubah bebas dan y merupakan fungsi dari x: )(xFy =

dxxFdy )('=2). dy, yang disebut sebagai diferensial y, adalah fungsi dari x dan dxyang dinyatakan dengan

1). dx, yang disebut sebagai diferensial x, adalah bilangan nyata dan merupakan peubah bebas lain selain x;

Penjelasan secara grafis

Pdx

dy

θ

y

xIni adalah

peubah bebas

Ini adalah fungsi(peubah tak bebas)

dxxFdy )('= Pdx

dy

θ

y

x

Jika dx berubah, maka dyberubah sedemikian rupasehingga dy/dx samadengan kemiringan garissinggung pada kurva

θ= tandx

dydxdy )(tanθ=

adalah besar perubahan nilai ysepanjang garis singgung di titik P

pada kurva, jika nilai x berubah sebesar dx

adalah laju perubahan yterhadap perubahan x.

Pdx

dyθ

x

yP

dx

dy

θ

x

y

Pdx

dy

θ

x

y

Diferensial dx dianggap bernilai positif jika ia “mengarah ke kanan” dan negatif jika “mengarah ke kiri”.

Diferensial dy dianggap bernilai positif jika ia “mengarah ke atas” dan negatif jika “mengarah ke bawah”.

Dengan pengertian diferensial seperti di atas, kita kumpulkan formula turunan fungsi dan formula diferensial fungsi dalam tabel berikut.

Dalam tabel ini v adalah fungsi x.

konstan ;0 == cdx

dc

dx

dvc

dx

dcv =

dx

dw

dx

dv

dx

wvd +=+ )(

cdvdcv =

konstan ;0 == cdc

dwdvwvd +=+ )(

dx

dvw

dx

dwv

dx

dvw += wdvvdwvwd +=)(

2w

dx

dwv

dx

dvw

dx

w

vd −

=

2w

vdwwdv

w

vd

−=

dx

dvnv

dx

dv nn

1−= dvnvdv nn 1−=

1−= nn

cnxdx

dcx dxcnxcxd nn 1)( −=

DiferensialTurunan Fungsi

Ada dua cara untuk mencari diferensial suatu fungsi.

1).Mencari turunannya lebih dulu (kolom kiri tabel), kemudian dikalikan dengan dx.

2). Menggunakan langsung formula diferensial (kolom kanan tabel)

Contoh: 653 23 −+−= xxxy

563 2 +−=′ xxy

dxxxdy )563( 2 +−=sehingga

Kita dapat pula mencari langsung dengan menggunakan formula dalam tabel di atas

dxxx

dxxdxdxxdxdxdxddy

)563(

563 )6()5()3()(2

223

+−=

+−=−++−+=

Bahan Ajar

DiferensiasiSudaryatno Sudirham