Diferensial dan Hampiran Taylor

Deferensial

Kita ingat kembali bahwa lambang turunan pertama dari y terhadap x,

dydx

Merupakan suatu lambang yang tunggal, dalam arti bukan hasil bagi dy dan dx. Dalam hal ini dy dan dx belum diberi arti secara terpisah. Sebelum kita mendefinisikan dx dan dy, misalkan P(x0 , y0) adalah suatu titik tetap pada kurva y = f(x). Dengan P sebaagi titik asal, buatlah

sumbu koordinat baru dx dan dy yang sejajar dengan sumbu x dan sumbu y. Situasinya diperlihatkan pada gambar berikut.

Dalam sistem koordinat baru ini, persamaan garis singgung pada kurva f dititik P

adalah dy = m dx, dengan gradien m sama dengan f '( x0). Akibatnya persamaan garis

singgung pada kurva f dititik P dapat ditampilkan dalam bentuk dy=f ' ( x0 ) dx.

Gambar Hampiran dengan Diferensial

Perhatikan pada gambar, disekitar titik P(x0 , y0) garis singgungnya sangat dekat

dengan kurva y = f(x). Jadi jika pada x diberikan pertambahan sebesar ∆ x=dx, maka

pertambahan y pada kurva f sebesar ∆ y=f ( x0+∆ x )−f ( x0), sedangkan pada garis

singgungnya sebesar dy=f ' ( x0 ) dx. Ternyata bahwa dy merupakan suatu hampiran yang baik

untuk ∆ y dan bentuknya kelipatan dari ∆ x, yang terlihat jelas beradasarkan definisi turunan fungsi f di x0.

Perhatikan kembali definisi turunan fungsi f di x0, yaitu

f ' ( x0 )= lim∆x → 0

f ( x0+∆ x )−f (x0)∆ x

Bentuk ini dapat ditulis sebagai

¿

Atau

lim∆ x→ 0

f ( x0+∆ x )−f ( x0 )−f '(x¿¿0)

∆ x=0¿

Sekarang kita misalkan

E= lim∆ x→ 0

f ( x0+∆ x )−f ( x0 )−f '(x¿¿0)

∆ x¿

Maka

f ( x0+∆ x )=f ( x0 )+ f ' ( x0 ) ∆ x+E ∆ x , dengan lim∆ x→ 0

E=0

Atau

∆ y=f ( x0+∆ x )−f ( x0 )=f ' ( x0 ) ∆ x+E ∆ x ,dengan lim∆ x→ 0

E=0

Ini berarti bahwa f ' ( x0 ) ∆ x merupakan suatu hampiran yang cukup baik untuk ∆ y .

Pada fungsi y = f(x) yang terdiferensialkan dititik x, diferensial dari peubah bebas dan peubah tak bebasnya didefinisikan sebagai berikut.

Definisi

Misalkan fungsi y = f(x) terdiferensiakan di x Df, dengan Df suatu selang terbuka. Diferensial dari peubah bebas x, ditulis dx, didefinisikan sebagai suatu pertambahan sebarang dari x, yaitu

dx=∆ x

Diferensial dari peubah tak bebas y, ditulis dy, didefinisikan sebagai

dy=f ' ( x )dx

Catatan Dari bentuk diferensial dy diperoleh dydx

=f ' (x ), ini berarti bahwa dydx

mempunyai

dua makna, pertama sebagai turunan fungsi y terhadap x, dan kedua sebagai hasil bagi dari dy tehadap dx.

Aturan untuk menentukan turunan dapat ditampilkan dalam bentuk aturan untuk menetukan diferensial dengan cara mengalikan setiap ruasnya dengan dx. Berikut ini adalah beberapa aturan untuk menentukan diferensial suatu fungsi, yang dibandingkan dengan aturan yang sama untuk turunan.

Aturan untuk Menentukan Diferensial Aturan untuk Menentukan Turunan

d (u+v )=du+dvddx

(u+v )=dudx

+ dvdx

d (u−v )=du−dvddx

(u−v )=dudx

−dvdx

d (uv )=u dv+v duddx

(uv )=ududx

+vdvdx

d ( uv )= v du−udv

v2

ddx ( u

v )=v

dudx

−udvdx

v2

Ilustrasi

d ¿

d ( sin xx )=x d ¿¿

Diferensial sebagai Hampiran Pertama

Perhatikan kembali gambar beserta penjelasannya. Dari definisi turunan fungsi f dititik x0 kita telah sampai pada kesimpulan

f ( x0+∆ x )= f ( x0 )+ f ' ( x0 ) ∆ x+E ∆ x , dengan lim∆ x→ 0

E=0

Berdasarkan kenyataan ini, selisih nilai f ( x0 )+ f ' ( x0) ∆ x dengan f ( x0+∆ x ) cukup kecil untuk

∆ x yang kecil. Ini berarti bahwa nilai f ( x0 )+ f ' ( x0) ∆ x merupakan suatu nilai hampiran untuk

f ( x0+∆ x ), dan tulisan f ( x0+∆ x ) ≈ f ( x0 )+ f ' ( x0) ∆ x. Dengan demikian kita mempunyai

teorema berikut.

Teorema

Misalkan fungsi f terdiferensialkan pada selang terbuka I yang memuat x0. Jika x0+∆ x I,

maka nilai hampiran f ( x0+∆ x ) dengan konsep diferensial adalah

f ( x0+∆ x ) ≈ f ( x0 )+ f ' ( x0) ∆ x

Atau

f ( x0+∆ x ) ≈ f ( x0 )+dy ; dy=f ' ( x0 ) dx , dx=∆ x

Ilustrasi

Kita akan menentukan nilai hampiran √4,6 dan √8,2 dengan diferensial.

Perhatikan fungsi y=f ( x )=√ x. Bila x berubah dari 4 ke 4,6, maka y = √ x berubah dari √4 ke

√4+∆ y, yang nilai hampirannya √4+dy. Untuk x = 4 dan ∆ x=dx=0,6 diperoleh

dy= 12√4

dx= 12√4

∙0,6=0,15

Sehingga

√4,6 ≈√4+dy=2+0,15=2,15

Dengan cara yang sama, bila x berubah dari 9 ke 8,2, maka y=√x berubah dari √9 ke √9+∆ y, yang

nilai hampirannya √9+dy . Untuk x = 0 dan ∆ x=dx=−0,8 diperoleh

dy= 1

2√ xdx= 1

2√9∙ (−0,8 )=−0,133

Sehingga

√8,2 ≈√9+dy=3−0,133=2,867

Bandingkan hasil ini dengan nilai perhitungan kalkulator, √4,6=2,144761 dan √8,2=2,863564.

Situasi hampiran √4,6 dan √8,2 dengan diferensial diperlihatkan pada

Nilai Hampiran √4,6 dan √8,2 dengan Diferensial

Penggunaan Diferensial untuk Menentukan Hampiran Galat

Masalah berikut seringkali muncul dalam kehidupan sehari-hari. Kita ingin menghitung luas sebuah persegi dengan cara mengukur panjang rusuknya. Pada saat mengukur panjang

rusuknya, yang nilainya seharusnua x cm terjadi galat (error) pengukuran sebesar ∆ x cm, seperti diperlihatkan pada gambar. Luas perseginya adalah x2 cm, permasalahannya adalah berapakah galat dari luas persegi tersebut dengan menggunakan diferensial.

Diferensial dari fungsi L ( x )=x2 adalah dL=2 x dx. Galat dari

pengukuran luas bujur sangkar adalah

∆ L=L ( x+∆ x )−L ( x )=(x+∆ x)2−x2

¿2 x∆ x+(∆ x)2=2 x dx+(dx)2

¿dL+(dx )2

Nilai hampiran untuk galat pengukuran ini adalah diferensial dari L, yaitu ∆ L ≈ dL. Disini nilai hampiran untuk galatnya adalah dL=2 x dx cm.

Sebagai ilustrasi, jika x = 10 cm, dan dx=∆ x=0,05 cm, maka nilai hampiran untuk galat pengukuran luas persegi dengan konsep diferensial adalah

dL=2 (10 ) (0,05 )=1cm2

Bandingkan hasil ini dengan

∆ L=dL+(dx)2=1+(0,05)2=1,0025cm2

Berikut ini sebuah contoh tentang menentukan nilai hampiran pertambahan luas permukaan dan volume sebuah bola bila jari-jarinya bertambah panjang karena memuai.

Contoh : Karena dipanaskan secara merata, jari-jari sebuah bola bertambah panjang dari 10

cm menjadi 10,05 cm, yaitu sebesar 12

%. Tentukan prosentase pertambahan luas permukaan

tersebut dengan konsep diferensial.

Penyelesaian : Misalkan jari-jari bola tersebut adalah r cm.

Luas permukaan bola adalah

L=L (r )=4 π r2.

Diferensial dari fungsi ini adalah

dL=8 πr dr .

Untuk r = 10 dan dr=∆ r=0,05 cm,

L=4 π (10)2=400 πcm2 dan

dL=8 πr dr=(8π ) . (10 ) . (0,05 )=4 π cm2.

Prosentase pertambahan luas permukaannya adalah

dLL

∙ 100 %=1 %.

Turunan ke-n dari suatu Fungsi

Turunan dari fungsi f adalah suatu fungsi yang dinamakan turunan pertama dari f, yaitu f’. Jika f’ ini dihitung lagi turunannya dengan aturan atau definisi turunan, maka diperoleh fungsi baru yang dinamakan turunan kedua dari f, dan ditulis dengan lambang f”. Secara umum, turunan ke-n dari fungsi f, ditulis f(n), adalah suatu fungsi yang diperoleh dengan cara menghitung turunan dari fungsi f(n-1), n = 1, 2, 3, ... ; dengan f(0) (x) = f(x). Lambang turunan ke-n dari fungsi f dapat ditulis dalam berbagai cara, yaitu sebagai berikut.

Catatan Aturan fungsi f sendiri, yaitu y = f(x) adalah turunan ke-0 dari f.

Turunan ke-n dari suatu fungsi dapat diperoleh dengan aturan untuk menentukan turunan. Tetapi aturan ini tidak dapat memberi informasi ada atau tidaknya turunan di satu titik. Dalam hal aturan untuk menentukan turunan tidak dapat digunakan, turunan ke-n di titik x dapat dihitung dengan definisinya, yaitu

f (n ) ( x )=limt → x

f (n−1 ) (t )−f (n−1 ) ( x )t−x

=limh → 0

f (n−1) ( x+h )−f (n−1 ) ( x )h

n=1 ,2 ,3 , …;f (0) (x )=f (x )

Dari aturan f (n ) untuk sejumlah berhingga n, seringkali kita dapat menentukan suatu

bentuk umum dari f (n ). Pada beberapa contoh berikut kita akan membahas beberapa contoh tentang bentuk umum dari turunan ke-n tersebut.

Contoh : Hitunglah turunan ke-n dari fungsi f(x) = xn, n bilangan asli.

Penyelesaian : Turunan pertama, kedua, dan ketiga dari fungsi f adalah

f ' ( x )=n xn−1

f (x)=n(n-1) {x} ^ {n-2

f ' ' ' ( x )=n (n−1 ) (n−2 ) xn−3

Dari tiga bentuk aturan ini, bentuk umum turunan ke-n dari fungsi f adalah

f (n) ( x )=n (n−1 ) ( n−2 ) … (n−(n−1 ) ) xn−n

¿n (n−1 ) ( n−2 ) …3.2.1=n!

Contoh : Tentukan bentuk umum turunan ke-n dari fungsi f(x) = sin x.

Penyelesaian : Tentukan turunan pertama, kedua, ketiga, dan keempat dari fungsi f, kemudian nayatakan hasilnya sebagai fungsi dari sinus lagi, maka diperoleh hasil berikut.

f ' ( x )=cos x=sin(x+ 12

π)f } left (x right ) = - sin {x} = sin { (x+ π) ¿

f ' ' ' ( x )=−cos x=sin( x+112

π)f ' ' ' ' ( x )=sin x=sin ( x+2π )

Dari hasil ini, maka bentuk umum turunan ke-n dari fungsi f adalah

f (n ) ( x )=sin (x+n∙12

π)=sin(x+ 12

nπ )

Rumus Taylor dan Suku Sisanya

Kita ingat kembali Teorema yang menyatakan bahwa niali hampiran untuk f (x0+∆ x) adalah

f ( x0+∆ x ) ≈ f ( x0 )+dy ; dy=f ' ( x0 ) dx , dx=∆ x

Misalkan x=x0+∆ x, maka ∆ x=x−x0, sehingga rumus ini dapat ditulis dalam bentuk

f ( x ) ≈ f ( x0 )+ f ' ( x0 )(x−x0)

Khususnya, untuk x0=c kist mempunyai rumus hampiran nilai fungsi oleh suku banyak linear, yaitu

f ( x ) ≈ f (c )+ f ' (c )(x−c)

Rumus ini dapat diperoleh dari definisi turunan fungsi f di titik c. Perhatikan bahwa disini kita melakukan hampiran nilai fungsi f(x) oleh sukubanyak linear

P1 (x )=a0+a1 ( x−c )=f (c )+ f ' (c )(x−c)

Sehingga memenuhi

P1 (c )=f (c) dan P1 ' (c )=f ' (c )

Gagasan ini dapat diperluas, kita dapat melakukan hampiran niali fungsi f(x) oleh sukubanyak linear derajat dua, tiga, dan seterusnya dengan kondisi seperti diatas.

Pola hampiran nilai fungsi oleh sukubanyak linear diatas memberikan gagasan bahwa hampiran nilai fungsi f(x) disekitar c oleh sukubanyak derajat dua

P2 (x )=a0+a1 ( x−c )+a2(x−c )2

Harus memenuhi syarat

P2 (c )=f (c), P2 ' (c )=f ' (c ), dan P2 left (c right ) = f (c ).

Turunan pertama dan kedua dari P2 adalah

P2' (x )=a1+2 a2(x−c) dan P2 (x)=2 {a} rsub {2

Dari syarat P2 (c )=f (c) diperoleh a0=f (c), dari syarat P2 ' (c )=f ' (c ) diperoleh a1=f ' (c),

dan dari syarat P2 left (c right ) = f (c ) diperoleh 2 a2=f (c, sehingga a2=12

f (c. Akibatnya,

kiat mempunyai pola hampiran

f ( x ) ≈ P2 ( x )=f (c )+ f ' (c ) ( x−c )+ f (c)} over {2!} {(x-c)} ^ {2¿

Duplikasi pola hampiran ini, kita mempunyai pola hampiran nilai fungsi f(x) disekitar c oleh

sukubanyak derajat tiga P3 ( x ) dengan syarat P3 (c )=f ( c ), P3 ' (c )=f ' (c ), P3 left (c right ) = f (c ), dan P3

' ' ' (c )=f ' ' ' ( c ) memberikan hasil

f ( x ) ≈ P3 ( x )=f (c )+f ' (c ) (x−c )+ f (c)} over {2!} {(x-c)} ^ {2} + {{f} ^ {'''} (c)} over {3!} {(x-c)} ^ {3} ¿

Rumus ini dapat diperumum sehingga melibatkan turunan ke-n dari fungsi f, hasilnya adalah rumus hampiran

f ( x ) ≈ Pn ( x )=f (c )+f ' (c ) (x−c )+ f (c)} over {2!} {(x-c)} ^ {2} + …+ {{f} ^ {(n)} (c)} over {n!} {(x-c)} ^ {n} ¿

Perhatikan bahwa ruas kanan rumus ini berbentuk sukubanyak derajat n, yang dinamakan sukubanyak Taylor derajat n dari fungsi f di c. Bila c = 0, maka kita mempunyai

f ( x ) ≈ Pn ( x )=f (0 )+ f ' (0 )+ f (c)} over {2!} {x} ^ {2} + …+ {{f} ^ {(n)} (0)} over {n!} {x} ^ {n} ¿

Disini sukubanyak Pn ( x ) dinamakan sukubanyak Mac Laurin derajat n dari fungsi f.

Contoh : Tentukan nilai hampiran dari √8,5 oleh sukubanyak Taylor derajat tiga di c = 9. Tentukan juga sampai berapa desimal ketelitian hampiran ini.

Penyelesaian : Sukubanyak Taylor derajat tiga dari fungsi f ( x )=√x di c = 9 adalah

P3 ( x )=f (9 )+ f ' (9 ) (x−9 )+ f (9)} over {2!} {(x-9)} ^ {2} + {{f} ^ {'''} (9)} over {3!} {(x-9)} ^ {3 ¿

Turunan pertama, kedua, ketiga, dan keempat dari fungsi f ( x )=√x adalah

f ' ( x )= 1

2√x, f (x)= {-1} over {4x sqrt {x}} , f'''(x)= {3} over {8 {x} ^ {2} sqrt {x}} , { f} ^ {(4)} (x)= {-15} over {16 {x} ^ {3} sqrt {x}

Nilai fungsi f beserta turunannya di x = 9 adalah

f ( 9 )=3 , f ' (9 )=16

, f (9)= - {1} over {108} , f'''(9)= {3} over {1944

Jadi, sukubanyak Taylor dari fungsi f ( x )=√x di c = 9 adalah

P3 ( x )=3+ 16

( x−9 )− 1216

(x−9)2+ 13888

(x−9)3

Dari sini diperoleh nilai hampiran untuk √8,5, yaitu

√8,5=P3 ( x )=3+ 16

( x−9 )− 1216

(x−9)2+ 13888

(x−9)3=2,915477

Pembuktian Teorema Taylor

Kita telah melihat berbagai penggunaan Teorema tentang uraian Taylor beserta suku sisanya pada contoh-contoh diatas. Selain penggunaannya, pembuktian Teorema Taylor juga merupakan rangkaian cerita yang menarik

Teorema Taylor dibuktikan dengan menggunakan Teorema Nilai Rata-rata Cauchy (TNR Cauchy) tentang perbandingan gradien garis inggung di suatu titik dari dua fungsi yang terdiferensialkan

TNR Cauchy dibuktikan dengan menggunakan TNR, yang menyatakan terdapatnya suatu titik yang garus singgungnya sejajar dengan suatu talibusur dari kurvanya.

TNR sendiri merupakan suatu bentuk umum dari Teorema Rolle, yang menyatakan bahwa untuk fungsi terdiferensialkan yang memotong garis sejajar sumbu x, akan terdapat suatu titik pada kurva yang garis singgungnya horisontal.

Teorema Rolle

misalkan fungsi f kontinu pada [a,b], terdiferensialkan pada (a,b), dan f(a) = f(b). Maka terdapat suatu c (a,b) sehingga f’(c) = 0.

Bukti

Dalam kasus f fungsi konstan pada [a,b], f’(x) = 0 untuk setiap x (a,b), sehingga kesimpulan teorema ini diperoleh secara otomatis.

Karena fungsi f kontinu pada [a,b]. Maka terdapat m, M R sehingga

Dalam kasus fungsi f tidak konstan dengan f(a) = f(b), maka nilai minimum atau maksimim fungsinya tidak mungkin tercapai di titik ujung a dan b. Berdasarkan TNA untuk fungsi kontinu, maka terdapat c (a,b) sehingga M = f(c), atau m = f(c). Karena fungsi f

terdiferensialkan pada (a,b), maka f ¿' (c )=f +¿' (c )= f ' ( c ) ¿. Untuk kasus f(c) = M (kasus f(c) = m

dikerjakan serupa), hal ini mengakibatkan

f ' (c )=f ¿' (c )= lim

x →c−¿ f ( x )−f (c)x−c

= limx→c−¿ f ( x )−M

x−c≥ 0 ¿

¿ ¿

¿

Karena f ( x )−M ≤ 0 dan x−c<0; dan

f ' (c )=f +¿' ( c )= limx→ c+ ¿f (x )−f( c)

x−c= lim

x → c+ ¿ f ( x )−M

x−c≤ 0¿

¿ ¿

¿¿

Karena f ( x )−M ≤ 0 dan x−c<0. Dari kedua hasil ini diperoleh f’(c) = 0.

Teorema Nilai Rata-rata/TNR

Misalkan fungsi f kontinu pada [a,b] dan terdiferensialkan pada (a,b). Maka terdapat suatu c (a,b) sehingga

f ' (c )=f (b )−f (a)

b−a

Catatan

Jika f(a) = f(b), maka diperoleh Teorema Rolle karena disini f(b)-f(a) = 0.

Bukti

Persamaan talibusur yang menghubungkan titik (a,f(a)) ke (b,f(b)) adalah

y−f (a )=f (b )−f (a)

b−a(x−a)

Sehingga

y=f ( b )−f (a)

b−a(x−a )+ f (a)

Definisikan fungsi

F ( x )=f ( x )−f (b )−f (a)

b−a( x−a )−f (a ) , x [a , b]

Yang arti geometrinya diperlihatkan pada gambar. Turunannya fungsi F pada (a,b) adalah

F ' ( x )=f ' ( x )−f (b )−f (a)

b−a

Karena fungsi F kontinu pada [a,b], terdifirensiasialkan pada (a,b), dan F(a) = F(b) = 0, maka fungsi F memenuhi syarat Teorema Rolle. Akibatnya, terdapat c (a,b) sehingga

F ' ( c )=f ' ( c )−f (b )−f ( a )

b−a=0

Yang menghasilkan

f ' ( c )=f (b )−f ( a )

b−a

Sehingga terbuktilah yang diinginkan.

Perhatikan bahwa kesimpulan TNR dapat ditulis dalam bentuk

f (b )=f (a )+ f '(c)(b−a)

Jika fungsi f terdiferensialkan pada selang terbuka I yang memuat titik a dan b = a + h, maka kesimpulan TNR dapat dituliskan dalam bentuk

f ( a+h )=f (a )+h f ' (a+Өh), dengan 0 < Ө < 1.

Teorema TNR Cauchy

Misalkan fungsi f dan g kontinu pada [a,b], terdiferensialkan pada (a,b), dan g’(x) ≠ 0 pada (a,b). Maka terdapat suatu c (a,b) sehingga

f ' (c )g '(c)

=f (b )−f (a)g (b )−g (a)

Catatan

Jika g(x) = x, maka g’(c) = 1, g(b) = b, dan g(a) = a, sehingga diperoleh TNR.

Bukti

Didefinisikan fungsi

F ( x )=( f ( x )−f ( a ) ) ( g (b )−g (a ) )−( g ( x )−g (a ) ) ( f (b )−f (a ) ) , x [a , b]

Turunan fungsi ini adalah

F ' ( x )=f ' (x) ( g (b )−g (a ) )−g '¿) ( f (b )−f (a ) )

Karena fungsi F kontinu pada [a,b], terdiferensialkan pada (a,b), dan F(a) = F(b) = 0, maka fungsi F mmenuhi syarat Teorema Rolle. Akibatnya, terdapat c (a,b) sehingga

F ' ( c )=f ' (c )( g (b )−g (a ) )−g' ¿) ( f (b )−f (a ) )=0

Perhatikan bahwa kondisi g’(x) ≠ 0 pada (a,b) ini selalu menghasilkan g(b)-g(a) ≠ 0. Ini mengakibatkan

f ' (c )g '(c)

=f (b )−f (a)g (b )−g (a)

Sehingga terbuktilah yang diinginkan.

Teorema TNR Taylor

Misalkan fungsi f(n) kontinu pada [a,b] dan fungsi f(n+1) terdiferensialkan pada (a,b). Maka terdapat suatu c (a,b) sehingga

f (b )=f (a )+ f ' (a ) (b−a )+ f (a)} over {2!} {(b-a)} ^ {2} + …+ {{f} ^ {left (n right )} (a)} over {n!} {(b-a)} ^ {n} + {{f} ^ {(n+1)} (c)} over {left (n+1 right ) !} {(b-a)} ^ {n+1 ¿

Bukti

Pada [a,b] definisikan fungsi

F ( x )=f (b )−f ( x )−f ' ( x ) (b−x )−f (x)} over {2!} {(b-x)} ^ {2} - …- {{f} ^ {left (n right )} (x)} over {n!} {(b-x)} ^ {n ¿

Dan

G ( x )=(b−x)n+1

(n+1 )!

Hitunglah turunan dari fungsi F dan G kemudian sederhanakan, hasilnya adalah

F ' ( x )=−f (n+1 )( x)n!

(b−x)n dan G' ( x )=−1

n!(b−x)n

Karena fungsi F dan G kontinu pada [a,b], terdiferensialkan pada (a,b), dan G’(x) ≠ 0 pada (a,b), maka fungsi F dan G memenuhi syarat TNR Cauchy. Akibatnya terdapat suatu c (a,b) sehingga

F' (c)G'(c)

=F (b )−F (a)G (b )−G(a)

Karena F(b) = 0 dan G(b) = 0, maka F' (c)G'(c)

=F(a)G(a)

, sehingga

F ( a )= F '(c)G' (c)

G (a )=

f (n+1)(c )n !

(b−c)n

1n !

(b−c)n∙(b−a)n+1

(n+1 ) !=

f ( n+1 )(c)(n+1 )!

(b−a)n+1

Tetapi aturan fungsi F mempunyau nilai F(a), yaitu

f (b )=f (a )+ f ' (a ) (b−a )+ f (a)} over {2!} {left (b-a right )} ^ {2} + …+ {{f} ^ {left (n right )} (a)} over {n!} {(b-a)} ^ {n} + {{f} ^ {left (n+1 right )} (c)} over {left (n+1 right ) !} {(b-a)} ^ {n+1} ¿

Penggunaan Teorema Rolle dan Teorema Nilai Rata-rata

Salah satu penggunaan Teorema Rolle adalah untuk menunjukkan bahwa suatu persamaan mmepunyai tepat satu akar real, berikut ini adalah contohnya.

Contoh : Tunjukkan bahwa persamaan x3 - 3x + 5 = 0 mempunyai tepat satu akar real, dan tentukan pada selang manakah akar real tersebut.

Penyelesaian : Misalkan f(x) = x3 - 3x + 5, maka turunannya adalah

f ' ( x )=3 x2−3 x=3 ( x−1 )(x+1)

Disini fungsi f dan f’ terdiferensialkan pada R, f’(-1) = 0, dan f’(1) = 0. Akibatnya, pada selang (-∞,-1), (-1,1), dan (1, ∞) kita mempunyai f’(x) ≠ 0.

Berdasarkan Teorema Rolle, persamaan f(x) = 0 tidak mungkin mempunyai lebih dari satu akar pada selang (-∞,-1). Bila pada selang ini persamaan f(x) = 0 mempunyai dua akar (sebutlah a dan b), maka syarat f(a) = 0 = f(b) dari Teorema Rolle mengakibatkan terdapatnya c (a,b) (-∞,-1) sehingga f’(c) = 0. Hal ini bertentangan dengan fakta bahwa f’(c) = 0 hanya tercapai di c = -1 dan 1.

Argumentasi diatas menghasilkan kesimpulan bahwa persamaan f(x) = 0 mempunyai paling banyak satu akar pada selang (-∞,-1). Karena f(-3) = -13 < 0 dan f(-2) = 3 > 0, serta fungsi f kontinu pada R, maka menurut Teorema Nilai Antara, lokasi akar-akarnya terletak pada selang (-3,-2). Akibatnya persamaan f(x) = 0 mempunyai tepat satu akar real pada selang (-3,-2).

Kita tinggal menunjukkan bahwa pada selang (-1,1) dan selang (1,∞) fungsi f tidak memtong lagi sumbu x. Dengan argumentasi yang sama, fungsi f mempunyai paling banyak satu akar pada selang (-1,1) dan selang (1,∞). Karena f(-1) = 8 > 0 dan f(1) = 3 > 0, maka fungsi f tidak memotong sumbu x pada selang (-1,1). Kemudian karena fungsinya dapat ditulis dalam

bentuk f ( x )=(x−1)3+3(x−1)2+3, maka f(x) > 1 untuk x > 1, sehingga fungsi f tidak

memotong lagi sumbu x pada selang (1,∞).

Kesimpulan

Persamaan x3 – 3x + 5 = 0 mempunyai tepat satu akar real, dan akar realnya terletak pada selang (-3,-2).

Sumber : http://www.scribd.com/doc/52981728/3-3-Diferensial-Hampiran-Taylor

Nama : Fitri Hajar Rofiqoh

Absen : 14 (1241160057)

Materi : Turunan dari Fungsi : “Diferensial dan Hampiran”