defleksi balok

[Defleksi Balok Elastis: Metode Integrasi Ganda]

49

IV. DEFLEKSI BALOK ELASTIS:

METODE INTEGRASI GANDA

4.1. Defleksi Balok

Sumbu sebuah balok akan berdefleksi (atau melentur) dari kedudukannya

semula apabila berada di bawah pengaruh gaya terpakai. Defleksi Balok adalah

lendutan balok dari posisi awal tanpa pembebanan. Defleksi (Lendutan) diukur dari

permukaan netral awal ke permukaan netral setelah balok mengalami deformasi.

Karena balok biasanya horizontal, maka defleksi merupakan penyimpangan vertikal

seperti yang ditunjukkan pada Gambar 4.1.

Gambar 4.1. Defleksi pada Balok Sederhana


50

Besarnya defleksi ditunjukan oleh pergeseran jarak y. Besarnya defleksi y

pada setiap nilai x sepanjang balok disebut persamaan kurva defleksi balok

Beberapa metode yang digunakan untuk mencari lendutan pada balok

adalah:

1. Metode Integrasi Ganda.

2. Metode Momen Area

3. Meode Fungsi Singularitas

4. Metode Energi Elastis

4.2. Penurunan Rumus pada Metode Integrasi Ganda

a. Persamaan Kelengkungan Momen

)1.......(..........1

R

R

Keterangan: R = Jari – jari kelengkungan balok

E & I Konstan sepanjang balok

M & R adalah fungsi dari x

b. Rumus Eksak untuk kelengkungan

)2....(..........1

1

1

2

2

2

32

2

2

dx

yd

R

dx

dy

dx

yd

R

dx

dySlope kurva pada setiap titik

Untuk lendutan balok yang kecil, dx

dy adalah kecil maka diabaikan.


51

c. Jadi untuk lendutan yang kecil [dari persamaan (1) dan (2) ] menjadi

)3......(..........2

2

2

2

dx

yd

dx

yd

Keterangan: E = Modulus Elastisitas

I = Momen inersia

M = Momen Lentur

y = Jarak vertikal (lendutan Balok)

x = Jarak sepanjang Balok

Momen lentur yang telah didapatkan dari setiap segmen balok diantara titik-

titik pembebanan dimana terjadi perubahan pembebanan, kemudian masing-masing

akan diintegralkan untuk setiap segmen balok. Untuk menghitung konstanta

integrasi dibutuhkan berbagai syarat batas dan kondisi kontinuitas.

Syarat batas homogen untuk balok dengan EI yang tetap, diperlihatkan pada

Gambar 4.2.


52

Gambar 4.2. Syarat batas homogen untuk balok dengan EI yang tetap


53

Contoh-Contoh Soal Dan Pembahasannya

1. Tentukan defleksi maksimum dari balok berikut.

Jawab:

1.........................................2

2

PxPLdx

ydEI

PxPLM

Integrasi I

2...............................2

1

2

CPx

PLxdx

dyEI

Integrasi II

3......................62

21

32

CxCPxPLx

EIy

Dari persamaan (3)

x = 0, y = 0 02 C

Dari persamaan (2)

x = 0, 0dx

dy 01 C

2

2PxPLx

dx

dyEI

Persamaan defleksi 62

32 PxPLxEIy

ymaks pada x = L

EI

PLy

PLPLEIy maks

362

333


54

2. Jika pada soal no.1, panjang balok 3 m dan diberi beban 50 kN, ketebalan balok

baja ini 450 mm, memiliki second moment pada axis 300 x 106 mm4 dan E = 200

GN/m2. Tentukan:

a) Defleksi maksimum yang terjadi pada balok

b) Tegangan lentur maksimum yang terjadi pada balok

Jawab:

a) Defleksi maksimum yang terjadi pada balok

mmEI

PL5.7

10300102003

1030001050

3 69

6333

max

b) Tegangan lentur maksimum yang terjadi pada balok

Mmaks terjadi pada dinding penyangga

Mmaks = PL = (50 x 103)(3) = 150 kN

MPa

I

Mcmaks 5.112

10300

225.0101506

3

3. Carilah persamaan defleksi dari kurva seperti pada gambar!

Jawab:

L

MMRRRF

L

MMRLRMMM

LRLy

RRo

21

2121

0

0

1.........................................................12

2

xRMdx

ydEI L


55

Integral I

2..............................................2

1

2

1 Cx

RxMdx

dyEI L

Integral II

3....................................322

21

32

1 CxCxRx

MEIy L

Dari persamaan (3)

x = 0, y = 0 02 C

x = L, y = 0 63

211

LMLMC

4.....................63322

21

32

1 xLMLMxRx

MEIy L

M1 = 0

Persamaan (4) menjadi 5................66

2

3

2 LxM

L

xMEIy

dan 6.............................................62

2

2

2 LM

L

xM

dx

dyEI

Nilai defleksi maksimum terjadi ketika slope pada persamaan (6) = 0

dengan nilai 43

kansubstitusiL

x

27

3

3636

2

22

3

2 LMLLML

L

MEIymaks


56

4. Carilah persamaan defleksi pada balok kantilever dengan pembebanan seperti di

bawah ini.

Jawab:

wL

xw

w

w

L

xx

x

Momen pada jarak x:

xJarak

wxL

xxwP xx

3

1

2

1

2

1

1

4

3

2

2

3

24

1

6

1

6

1

3

1

2

1

CxL

w

dx

dyEI

xL

w

dx

ydEI

xL

wxwx

L

xM

Pada x = L, 3

124

10 wLC

dx

dy

2

35

34

24

1

120

1

24

1

24

1

CxwLxL

wEIy

wLxL

w

dx

dyEI


57

Pada x = L, 4

230

10 wLCy

435

30

1

24

1

120

1wLxwLx

L

wEIy

5. Tentukan persamaan defleksi dari balok kantilever di bawah ini.

Jawab:

M = - M1

11

12

2

CxMdx

dyEI

Mdx

ydEI

pada x = 0, 00 1 Cdx

dy

2

2

12

1CxMEIy

pada x = 0, 00 2 Cy

2

12

1xMEIy


58

6. Carilah defleksi maksimum pada balok berikut.

Jawab:

Momen lentur pada bagian sepanjang x

1

3

2

2

2

2

21

6

2

2

CxLw

dx

dyEI

xLw

dx

ydEI

xLw

xLxLwM

3

1

0 60 L

wC

dx

dy

x

2

34

33

624

66

CxLw

xLw

EIy

Lw

xLw

dx

dyEI

x = 0, y = 0 4

224

Lw

C

434

24624L

wxL

wxL

wEIy

Defleksi maksimum pada x = L

8246

444 wLwLwLEIymaks

Jadi EI

wLmaks

8

4


59

7. Tentukan defleksi maksimum yang terjadi pada balok berikut.

Jawab:

xP

M2

untuk 0 < x < L/2

Pxdx

ydEI

2

12

2

untuk 0 < x < L/2

1

2

4

1CPx

dx

dyEI

Pada 2

116

10,

2PLC

dx

dyLx

2

23

22

16

1

12

1

16

1

4

1

CxPLPxEIy

PLPxdx

dyEI

Pada x = 0, y = 0 C2 = 0

xPLPxEIy 23

16

1

12

1

ymaks terjadi pada x = L/2

4896

2

3296

216

12

12

1

3333

23

PLPLPLPLEIy

LPLLPEIy

maks

maks

Jadi EI

PLmaks

48

3


60

8. Balok seperti pada gambar berukuran 50 x 100 mm dan beban 20 kN dengan a

= 1 m dan b = 0.5 m, carilah defleksi maksimum yang terjadi denga E = 200

GN/m2.

Jawab:

3/36

22223 bLxxbLxL

PbL

dx

dyEI

subsitusikan:

mmy

mmI

bLL

PbEIy

45.11020010167.4105.127

103105.0105.1105.01020

10167.412/10050

27

3

963

62/3232333

max

463

3/222

max

9. Carilah defleksi maksimum dari kurva seperti gambar yang mendapatkan

pembebanan seragam yaitu 1.5 kN/m1, a = 1 m dan b = 4 m dan ukurannya 75

x 100 mm dan E = 200 GN/m2.


61

Jawab:

12

45105.1

424

15105.1

44

15105.16/105.1

1224460

2344322333

244223

xx

bwL

b

aLw

b

axwLwx

saat x = 0 m maka

3

43433433

0

369

10424

101105105.1

24

101105.110075

12

11010200

xy

.25.2

12/104101105105.1

0

33233

mmyx

maka max

MPa

I

Mc21

1.0075.012

1

05.01064.2

3

3

max

10. Sebuah balok kantilever seperti pada gambar, terdiri dari bentuk segitiga yang

memiliki ketebalan konstan, carilah defleksi yang terjadi.


62

Jawab:

Dari persamaan Bernaulli

32

2

2

23

2

2

12

12

Ebh

PL

dx

yd

xLPdx

ydh

L

xLbE

Mdx

ydEI

xLPPxPLM

L

xLbU

Integral I

13

12Cx

Ebh

PL

dx

dy

Integrasi II

x = 0, 00 1 Cdx

dy

23

26C

Ebh

PLxy

x = 0, y = 0 C2 = 0

3

26

Ebh

PLxy

ymaks pada saat x = L

3

36

Ebh

PLymaks


63

Latihan Soal

1. Hitunglah defleksi maksimum pada balok di bawah ini dengan menggunakan

metoda integrasi ganda! Gunakan E = 200 GN/m2 dan ukuran penampang 50

mm x 100 mm.

2. Hitunglah defleksi maksimum pada ujung bebas balok kantiliver akibat beban

pada ujungnya dengan menggunakan metode Integrasi Ganda! Gunakan E =

200 GN/m2 dan ukuran penampang 60 mm x 80 mm.

3. Tentukan defleksi maksimum pada balok dengan pembebanan seperti pada

gambar berikut. Balok dari baja dengan E = 300 Gpa dan penampang empat

persegi panjang dengan ukuran 15 x 30 mm dan posisi tegak. Gunakan metode

Integrasi Ganda!


64

4. Tentukan defleksi maksimum dan dimana terjadi (jarak x dari titik asal O) dari

balok dengan pembebanan seperti pada Gambar di bawah ini. Ukuran

penampang dan bahan balok sama seperti soal nomor 3. Gunakan metoda

Integrasi Ganda!

5. Sebuah poros baja bulat pejal dengan panjang antara pusat bantalan penumpu

2 m dan E = 300 GPa, harus sanggup menahan gaya dorong sebesar 6 kN tegak

lurus ke poros. Pada sebarang titik di antara bantalan dimana tegangan

maksimum tidak melebihi 65 MPa. Dengan menggunakan metode integrasi

ganda hitunglah:

a) Defleksi maksimum di tengah poros

b) Diameter poros yang harus digunakan

Tak ada orang yang tahu, bahkan Anda pun tidak tahu, akan sejauh

dan setinggi apa Anda bisa terbang, Until You spread Your Wings.

(Anonim)

defleksi balok

Documents

Transcript of defleksi balok