BAB I

UJI BEDA RATAAN MULTIVARIAT

Perhatikan statistik uji t berikut:

Jika kedua ruas dikuadratkan, diperoleh:

=

=

=

Formula untuk rumus tersebut mengilhami formula untuk statistik uji pada uji t multivariat.

Misalnya terdapat p variabel terikat , , ... , pada Kelompok I dan Kelompok II, yang tata letaknya adalah sebagai berikut.

Kelompok Kelompok I Kelompok IIVar. Terikat ... ...Data

... ... ... ... ... ...

Banyak dataRerata ... ...

Hipotesis nol yang diuji pada uji t multivariat adalah:

=

Statistik uji yang digunakan untuk menyelesaikan persoalan pada uji t multivariat adalah:

dengan , p adalah banyaknya variabel terikat, dan

11

N = n1+n2 adalah banyaknya seluruh subjek. Statistik uji ini dikemukakan pertama kali oleh Hotelling.

Nilai dicari dari formula:

dengan n1 adalah banyakya data amatan pada kelompok I, n2 adalah banyaknya data amatan pada kelompok II, dan

= .

Matriks S dicari dari formula:

=

dengan W1 dan W2 adalah SSCP (sum of square cross product matrix) kelompok I dan kelompok II. Matriks S adalah matriks variansi kovariansi gabungan dari matriks variansi dan kovariansi S1 dan S2. Matriks S ini setara dengan variansi gabungan pada uji t univariat.

Pada SPSS, statistik uji yang digunakan untuk menyelesaikan persoalan ini, , termasuk untuk uji analisis variansi multivariat satu jalan pada umumnya, adalah uji Pillai-Barlett Trace, Hotelling’s T2, Wilks’s Lambda, dan Roy’s Largest Root (Field, 2000: 396).

Contoh 1Seorang peneliti ingin melihat apakah metode A mempunyai efek yang berbeda dengan metode B pada kemampuan matematika siswa. Variabel kemampuan matematika siswa terbagi menjadi dua, yaitu: (a) pemahaman konsep siswa dan (b) keterampilan komputasi siswa dalam pelajaran Matematika. Datanya adalah sebagai berikut.

Metode A Metode BKonsep Komputasi Konsep Komputasi

12352

63445

456

867

Jika diambil α = 0.05, bagaimanakah kesimpulan penelitian tersebut?Jawab:Perhatikanlah bahwa hipotesis nol yang diuji pada persoalan ini adalah sebagai berikut:

=

atau dapat ditulis secara lebih jelas sebagai berikut:

=

Komputasinya dikerjakan sebagai berikut:

12

Dengan cara yang sama, SSCP untuk kelompok II adalah:

Dari dan diperoleh:

dan

=

Dengan menggunakan dan − diperoleh:

=

=

Dengan membandingkan dengan maka disimpulkan bahwa ditolak. Ini berarti kemampuan matematika yang dihasilkan oleh metode A tidak sama dengan kemampuan matematika yang dihasilkan oleh metode B.

Mungkin masih dipertanyakan lebih lanjut. Pertanyaannya adalah apakah perbedaan efek antara metode A dan metode B tersebut terletak pada pemahaman konsep atau pada keterampilan komputasinya. Jika demikian halnya, maka peneliti tersebut dapat melanjutkan dengan melakukan uji univariat secara terpisah untuk variabel terikat pemahaman konsep dan untuk variabel keterampilan komputasi, sebagai berikut.

Untuk variabel terikat pemahaman konsep:Hipotesis yang diuji adalah:

H0: 11 = 12 (pemahaman konsep yang dihasilkan metode A sama dengan pema-haman konsep yang dihasilkan oleh metode B)

Dari matriks dan diperoleh SS11 = 9.2 dan

SS12 = 2.0, sehingga , , , dan Selanjutnya, diperoleh:

13

DK = {t | t 2.447 atau t 2.447} dan tobs = 2.406 DKBerdasarkan hal-hal di atas, keputusan ujinya adalah H0 tidak ditolak dan kesimpulan

penelitiannya adalah pemahaman konsep yang dihasilkan oleh metode A sama dengan pemahaman konsep yang dihasilkan oleh metode B.

Untuk variabel terikat keterampilan komputasi:Hipotesis yang diuji adalah:

H0: 21 = 22 (keterampilan komputasi yang dihasilkan metode A sama dengan kete-rampilan komputasi yang dihasilkan oleh metode B)

Dari matriks dan diperoleh SS21 = 5.2 dan

SS22 = 2.0, sehingga , , , dan Selanjutnya, diperoleh:

DK = {t | t 2.447 atau t 2.447} dan tobs = 3.252 DKBerdasarkan hal-hal di atas, keputusan ujinya adalah H0 ditolak dan kesimpulan

penelitiannya adalah keterampilan komputasi yang dihasilkan oleh metode A tidak sama dengan keterampilan komputasi yang dihasilkan oleh metode B.

LATIHAN1. Seorang peneliti ingin melihat apakah metode A mempunyai efek yang berbeda dengan

metode B pada kemampuan matematika siswa. Variabel kemampuan matematika siswa terbagi menjadi dua, yaitu: (a) pemahaman konsep siswa dan (b) keterampilan komputasi siswa dalam pelajaran Matematika. Datanya adalah sebagai berikut.

Metode A Metode BNo Subjek Konsep Komputasi No Subjek Konsep Komputasi

12345

23463

104556

1234

5676

9788

Jika diambil α = 0.05, bagaimanakah kesimpulan penelitian tersebut?

2. Misalnya terdapat dua kelompok dengan 30 subjek pada masing-masing kelompok. Rerata variabel X1 dan X2 pada kelompok I adalah 10 dan 9, sedangkan rerata variabel X1 dan X2

pada kelompok II adalah 9 dan 9.5. Variansi gabungan untuk variabel X1 dan X2 adalah 9 dan 4, sedangkan koefisien korelasi gabungan adalah 0.70.a. Tunjukkan bahwa setiap uji univariat t tidak signifikan pada α = 0.05 (uji dua ekor),

tetapi uji multivariat t signifikan pada α = 0.05.

14

b. Jika koefisien korelasi gabungannya sebesar 0.20, apakah uji multivariat t masih signifikan? Mengapa?

3. Berikut ini adalah data mengenai variabel X1, X2, dan X3 pada kelompok I dan kelompok II.

Kelompok I Kelompok IINo Subjek X1 X2 X3 No Subjek X1 X2 X3

123

654

876

1086

123

456

654

753

Dengan α = 0.05, ujilah hipotesis nol berikut:

=

4. Kelompok pertama yang terdiri dari 20 orang drug addicts dan kelompok kedua yang terdiri dari 30 orang chronic alcoholics diberi dua jenis tes psikologi, yaitu tes A dan tes B, yang menghasilkan skor dalam skala 10. Rerata dua kelompok tersebut pada dua tes A dan B, serta matriks SSCP gabungan W sebagai berikut.

A B nk W = Drug addicts 5.8 2.9 20Alcoholics 6.7 2.3 30

***

15

BAB IIANALISIS VARIANSI SATU JALUR MULTIVARIAT

Jika pada analisis variansi univariat, banyaknya variabel terikatnya hanya sebuah, maka pada analisis variansi multivariat banyaknya variabel terikat lebih dari sebuah.

Misalnya terdapat k kelompok sebagai berikut.

Klp Kelompok ke-1 Kelompok ke-2 ... Kelompok ke-kVar ... ... ... ...Data

... ... ... ... ... ... ... ... ...

Banyak ...

Rerata ... ... ... ...

Hipotesis nol yang diuji pada analisis varuansi multivariat satu jalur ini adalah:

= = … =

Didefinisikan besaran , yang disebut lambda Wilks, sebagai berikut:

dengan W = jumlah dari seluruh SSCP = T = SSCP untuk seluruh data (dianggap hanya satu kelompok)

Pada anava multivariat satu jalur terdapat banyak uji. Uji statistik pada anava multivariat satu jalur antara lain uji khi-kuadrat Barlett dan Uji Rao (Stevens, 1996: 196) dan uji Wilks (Johnson & Wichern, 2002:300).

Statistik Uji Khi-Kuadrat BarlettUji Khi-kuadrat Barlett digunakan, terutama, jika ukuran sampelnya besar.Statistik uji khi-kuadrat Barlett dirumuskan dengan

dengan db = p(k−1), p = banyaknya variabel terikat, k = banyaknya kelompok, N = n1 + n2 + ... + nk, dan

Statistik Uji RaoStatistik uji untuk Rao dirumuskan dengan

16

dengan ,

, N = n1 + n2 + ... + nk, dan

Statistik R berdistribusi F dengan derajad kebebasan dan

Catatan: statistik uji ini tidak dapat dipakai, misalnya, untuk p = 2 dan k =2.

Statistik Uji WilkStatistik uji Wilk dirumuskan berbeda-beda untuk nilai p (banyaknya variabel terikat)

dan k (banyaknya kelompok) sebagai berikut (Johnson & Wichern, 2002:300):

Banyak var. terikat

Banyak Kelompok

Statistik Uji

p = 1 k 2 F(k – 1, N – k)

p = 2 k 2 F(2(k – 1), 2(N – k – 1))

p 1 k = 2 F(p, N – p – 1)

p 1 k = 3 F(2p, 2(N – p – 2))

dengan: p = banyaknya variabel terikat, k = banyaknya kelompok, N = n1 + n2 + ... + nk, dan

Contoh 1Seorang peneliti ingin melihat apakah metode A, metode B, dan metode C mempunyai efek yang berbeda pada kemampuan matematika siswa, yang terbagi menjadi pemahaman konsep dan keterampilan komputasi, dalam pelajaran Matematika. Datanya adalah sebagai berikut.

Metode A Metode B Metode CNS Konsep Komputasi NS Konsep Komputasi NS Konsep Komputasi12345

34556

778910

12345

44566

56778

12345

56677

55678

Jika diambil α = 0.05, bagaimanakah kesimpulan penelitian tersebut?

Jawab:17

a. Dengan Uji Khi-Kuadrat Barlett

1) atau = =

: tidak demikian halnya2) α = 0.05 3) Statistik Uji: 4) Komputasi:

Untuk data pada kelompok I diperoleh:; ; ; ;

Untuk data pada kelompok II diperoleh:; ; ; ;

Untuk data pada kelompok III diperoleh:; ; ; ;

Diperoleh:W=

=

Untuk seluruh data, diperoleh:;

; 18

;;

;n = 5 + 5 + 5 = 15

T =

Nilai dari lambda Wilks dapat dihitung sebagai berikut.

Dengan menggunakan nilai lambda tersebutdiperoleh:

= dengan db = (2)(3−1)=45) Daerah Kritik:

Karena , maka DK = 6) Keputusan Uji:

Karena DK, maka ditolak. 7) Kesimpulan: metode A, metode B, dan metode C tidak semuanya memberikan efek

yang sama terhadap kemampuan matematika siswa.

b. Dengan Statistik Uji Rao

1) = =

: tidak demikian halnya2) α = 0.05

3) Statistik Uji:

4) Komputasi:=

=

= 5) Daerah Kritik:

19

db1 = (k – 1)(p) = (3 – 1)(2) = 4 db2 =

Karena maka DK = {F | F > 2.82}6) Keputusan Uji: ditolak7) Kesimpulan: metode A, metode B, dan metode C tidak semuanya memberikan efek

yang sama terhadap kemampuan matematika siswa.

c. Dengan Statistik Uji Wilks

1) = =

: tidak demikian halnya2) α = 0.05 3) Statistik Uji:

F(2p, 2(N – p – 2))

4) Komputasi:

5) Daerah Kritik: Karena maka DK = {F | F > 2.82}

6) Keputusan Uji: ditolak7) Kesimpulan: metode A, metode B, dan metode C tidak semuanya memberikan efek

yang sama terhadap kemampuan matematika siswa.

Persoalan pada Contoh 1 ini dapat dilanjutkan, jika peneliti ingin melihat metode manakah yang menghasilkan kemampuan matematika siswa yang berbeda, yaitu dengan

menguji hipotesis: dan dan .

Pada SPSS, untuk melakukan uji hipotesis pada anava multivariat digunakan uji Pillai-Barlett Trace, Hotelling’s T2, Wilks’s Lambda, dan Roy’s Largest Root (Field, 2000: 396).

20

Gambar 1. Data editor untuk data Contoh 1

Gambar 2. Main dialog anava multivariat satu jalur

Untuk melakukan analisis variansi multivariat data pada Contoh 1 dengan mengguna-kan SPSS, data tersebut diinputkan pada data editor, seperti tampak pada Gambar 1. Pada Gambar 1, metode A dinyatakan dengan 1, metode B dinyatakan dengan 2, dan metode C dinyatakan dengan 3. Untuk melakukan analisis variansi multivariat satu jalur, dilakukan akses pada main dialog dengan memilih Analyze General Linear Modal Multivariate, seperti yang terlihat pada Gambar 2. Perhatikan bahwa pada Gambar 2, konsep dan komputasi sebagai variabel terikat, sedangkan variabel bebasnya adalah metode.

Hasil analisisnya adalah sebagai berikut.Multivariate Testsc

.975 218.763a 2.000 11.000 .000

.025 218.763a 2.000 11.000 .00039.775 218.763a 2.000 11.000 .00039.775 218.763a 2.000 11.000 .000

.952 5.450 4.000 24.000 .003

.097 12.201a 4.000 22.000 .0008.856 22.139 4.000 20.000 .0008.799 52.791b 2.000 12.000 .000

Pillai's TraceWilks' LambdaHotelling's TraceRoy's Largest RootPillai's TraceWilks' LambdaHotelling's TraceRoy's Largest Root

EffectIntercept

METODE

Value F Hypothesis df Error df Sig.

Exact statistica.

The statistic is an upper bound on F that yields a lower bound on the significance level.b.

Design: Intercept+METODEc.

21

Tests of Between-Subjects Effects

6.933a 2 3.467 3.467 .06511.200b 2 5.600 3.574 .061

416.067 1 416.067 416.067 .000735.000 1 735.000 469.149 .000

6.933 2 3.467 3.467 .06511.200 2 5.600 3.574 .06112.000 12 1.00018.800 12 1.567

435.000 15765.000 1518.933 1430.000 14

Dependent VariableKONSEPKMPUTASIKONSEPKMPUTASIKONSEPKMPUTASIKONSEPKMPUTASIKONSEPKMPUTASIKONSEPKMPUTASI

SourceCorrected Model

Intercept

METODE

Error

Total

Corrected Total

Type III Sumof Squares df Mean Square F Sig.

R Squared = .366 (Adjusted R Squared = .261)a.

R Squared = .373 (Adjusted R Squared = .269)b.

Perhatikan kembali bahwa ada dua hasil yang ditampilkan, yaitu hasil dari uji multivariat (Multivariate Test) dan hasil uji univariat (Test of Between-Subjects Effects).

Berdasarkan hasil uji multivariat, untuk uji Pillai’s Trace diperoleh F = 5.450 dengan p = 0.003, untuk uji Wilks’ Lamda diperoleh F = 12.201 dengan p < 0.001, untuk uji Hotelling’s Trace diperoleh F = 12.139 dengan p < 0.001, dan untuk uji Roy’s Largest Root diperoleh F = 52.791 dengan p < 0.001. Untuk keseluruhan uji tersebut, nilai p lebih kecil daripada α, sehingga pada multivariat ditolak.

Berdasarkan hasil uji univariat, dapat disimpulkan bahwa tidak terdapat perbedaan pemahaman konsep (F = 3.461 dengan p = 0.065) dan tidak terdapat perbedaan keterampilan komputasi (F = 3.574 dengan p = 0.061).

Terlihat bahwa pada uji multivariat ditolak, sedangkan pada uji univariat tidak ditolak. “Kontradiksi” antara hasil uji multivariat dan hasil uji univariat ini disebabkan adanya korelasi yang cukup tinggi antara variabel konsep dan komputasi. (Perhatikanlah bahwa koefisien korelasi antara variabel konsep dan komputasi pada kelompok I adalah 0.908, pada kelompok II adalah 0.877, pada kelompok III adalah 0.871)

Untuk menguji kesamaan matriks kovariansi dan kesamaan variansi, dipilih OptionsHomogeinety Test. Hasilnya adalah sebagai berikut.

Box's Test of Equality of Covariance Matricesa

1.223.154

63589.988

Box's MFdf1df2Sig.

Tests the null hypothesis that the observed covariancematrices of the dependent variables are equal across groups.

Design: Intercept+METODEa.

Levene's Test of Equality of Error Variancesa

.311 2 12 .738.125 2 12 .884

KONSEPKMPUTASI

F df1 df2 Sig.

Tests the null hypothesis that the error variance of thedependent variable is equal across groups.

Design: Intercept+METODEa.

Berdasarkan tampilan tersebut, dapat dilihat bahwa persyaratan kesamaan matriks kovariansi dipenuhi (Box’s M = 1.223 dengan p = 0.998) dan kesamaan variansi dipenuhi (F = 0.311 dengan p = 0.738 untuk pemahaman konsep dan F = 0.125 dengan p = 0.884 untuk keterampilan komputasi).

22

Untuk melihat matriks SSCP, dipilih Options SSCP Matrices dan Residual SSCP Matrices. Hasilnya adalah sebagai berikut.

Between-Subjects SSCP Matrix

416.067 553.000553.000 735.000

6.933 -7.200-7.200 11.20012.000 13.20013.200 18.800

KONSEPKMPUTASIKONSEPKMPUTASIKONSEPKMPUTASI

Intercept

METODE

Hypothesis

Error

KONSEP KMPUTASI

Based on Type III Sum of Squares

Residual SSCP Matrix

12.000 13.20013.200 18.8001.000 1.1001.100 1.5671.000 .879.879 1.000

KONSEPKMPUTASIKONSEPKMPUTASIKONSEPKMPUTASI

Sum-of-Squaresand Cross-Products

Covariance

Correlation

KONSEP KMPUTASI

Based on Type III Sum of Squares

Berdasar tampilan, dapat dilihat bahwa W= dan B= .

Jika peneliti ingin melakukan uji post hoc pada variabel konsep dan komputasi, seperti pada kasus-kasus sebelumnya, dipilih Post Hoc Scheffe. Hasilnya adalah sebagai berikut.

Multiple Comparisons

Scheffe

-.4000 .6325 .821 -2.1630 1.3630-1.6000 .6325 .077 -3.3630 .1630

.4000 .6325 .821 -1.3630 2.1630-1.2000 .6325 .207 -2.9630 .56301.6000 .6325 .077 -.1630 3.36301.2000 .6325 .207 -.5630 2.96301.6000 .7916 .172 -.6067 3.80672.0000 .7916 .077 -.2067 4.2067

-1.6000 .7916 .172 -3.8067 .6067.4000 .7916 .881 -1.8067 2.6067

-2.0000 .7916 .077 -4.2067 .2067-.4000 .7916 .881 -2.6067 1.8067

(J) METODE231312231312

(I) METODE1

2

3

1

2

3

Dependent VariableKONSEP

KMPUTASI

MeanDifference

(I-J) Std. Error Sig. Lower Bound Upper Bound95% Confidence Interval

Based on observed means.

Sejalan dengan ditolaknya pada univariat, tidak ada perbedaan yang signifikan antar-metode pada aspek pemahaman konsep dan keterampilan komputasi.

23

LATIHAN1. Ingin dilihat perbedaan efek tiga metode pembelajaran (A, B, dan C) pada aspek kognitif

(X1) dan aspek afektif (X2) pada suatu mata pelajaran tertentu. Datanya adalah sebagai berikut.

Metode A Metode B Metode CNo Subjek X1 X2 No Subjek X1 X2 No Subjek X1 X2

12345

56645

47755

1234

2343

3454

12345

46355

37355

Bagaimana kesimpulan tersebut, jika diambil tingkat signifikansi 5%? Kerjakan secara manual.

2. Kerjakan soal nomor 1 dengan menggunakan SPSS.

3. Ingin dilihat perbedaan efek tiga metode pembelajaran (A, B, dan C) pada aspek kognitif (X1), aspek afektif (X2) dan aspek psikomotor (X3) pada suatu mata pelajaran tertentu. Datanya adalah sebagai berikut.

Metode A Metode B Metode CNo Sub X1 X2 X3 No Sub X1 X2 X3 No Sub X1 X2 X3

12345

56645

47754

45352

1234

2343

3454

7564

12345

46355

37355

45554

Bagaimana kesimpulan tersebut, jika diambil tingkat signifikansi 5%? Kerjakan dengan menggunakan SPSS.

4. Enam puluh orang dikelompokkan secara random ke dalam tiga kelompok eksperimental, dengan masing-masing 20 orang per kelompok. Masing-masing kelompok diberikan pembelajaran dengan metode yang berbeda. Kepada mereka diberikan tes kecepatan (X1) dan tes ketepatan (X2). Rerata dari tiga kelompok tersebut dalam tes kecepatan dan tes ketepatan, matriks SSCP gabungan W, dan matriks SSCP total T adalah sebagai berikut.

W = T = Kel I 38.5 19.6Kel II 34.0 22.4Kel III 30.1 16.2

Ujilah hipotesis .

24

***REFERENSI

Johnson, R. A. & Wichern, D. W. (2002). Aplied multivariate statistical analysis. New Jersey: Prentice-Halll.

Stevens, J. (1996). Applied multivariate statistics for the social sciences (3rd ed.). Mahwah, NJ: Lawrence Erlabaum Associates.

Tatsuoka, M. M. (1988). Multivariate analysis: Techniques for educational and psychological research (2nd ed.). New York: John Wiley & Sons.

***

25