COMPLEX NUMBER

Oleh :Viqri Dwi Putra125090700111013Harindya Fairuz125090700111014Dwiandari Aldyla 125090700111015Adelia Primardani125090700111016Ainul Yaqin Abror H.125090700111017Alfadeo V.S.125090700111018Inge Larisa R.125090700111019Rinaldy Rizky A.125090700COMPLEX NUMBER OLEH HARINDYA Fairuz 125090700111014THE BEGINNINGPart IPengertian Bilangan kompleks adalah gabungan antara bilangan rill dan bilangan imaginer. Pada gambar, lingkaran yang paling besar merupakan bilangan kompleks dan menunjukkan betapa luasnya bilangan kompleks itu.

Dalam matematika, bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk : +biDimana dan b adalah bilangan riil, dan i adalah bilangan imajiner yang mempunyai sifat : i2 = -1Bilangan riil disebut juga BILANGAN RIIL dari bilangan kompleksBilangan riil b disebut sebagai BAGIAN IMAJINERBilangan kompleks dapat ditambah, dikurang, dikali, dan dibagi seperti bilangan riil. Jika a,b,c,d adalah bilangan riil maka didapatkan :

dengan i2 = -1

(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i(a+bi) (c+di) = (ac) + (bd)i(a+bi)(c+di) =ac+bci+adi+bd i2= (acbd) + (bc+ad)i

Contoh :

Contoh :

Contoh :

OLEH VIQRI DWI PUTRA 125090700111013THE BEGINNING Part IIPenggunaan bilangan kompleks sebenarnya didasarkan pada prinsip Gauss, namun gambaran utama dari penggunaan prinsip ini selalu disebut sebagai Diagram Argand.Diagram Argand merupakan sistem koordinat kartesius yang dipakai untuk memberikan posisi pada bilangan kompleks.Diagram ini menggunakan sumbu x dan y, dengan sumbu x sebagai sumbu riil dan sumbu y sebagai sumbu imajiner.Gauss : teorema dasar aljabar yang menyatakan bahwa setiap non-konstan tunggal-variabel polinomial dengan koefisien kompleks memiliki setidaknya satu akar yang kompleks11Contoh Diagram ArgandMisalkan kita memiliki bilangan kompleks z1= 4 + 3i maka bilangan z1mirip dengan koordinat (3, 4) , hanya saja kita menarik garis ke dari (0, 0) ke arah (3, 4). Jika kita memiliki bilangan z2= 2 - 5i maka bilangan z2mirip dengan koordinat (5, -2), hanya saja kita menaik garis dari (0, 0)menuju (2, -5).12Jika kita menjumlahkan 2 bilangan kompleks dan proses penjumlahannya kita gambar pada diagram argand maka proses penjumlahannya akan seperti penjumlahan vektor yang menggunkan aturan jajaran genjang.

Jika z adalah bilangan kompleks, maka z merupakan jarak dari titik yang mewakili z dari titik asalnya.Penggunaan prinsip ini menggunakan kaidah Phytagoras seperti gambar berikut

Dengan cara yang sama jika z1 dan z2 adalah bilangan kompleks dan adalah jarak antara keduanya.Jadi, hal tersebut memungkinkan untuk dinyatakan dalam geometris sederhana dalam syarat bilangan kompleksKita dapat menunjukkan jarak dengan r dan sudut dengan . Lalu segala bilangan kompleks bukan nol a+ib ditentukan oleh hubungan (r dan ).

Hubungan dari r dan dapat diperlihatkan pada persamaan berikut :r cos = a r sin = b

z = a + ib r = z

OLEH ADELIA PRIMARDANI 125090700111016FUNCTION OF COMPLEX VARIABLEPart ITeknik dalam variabel kompleks sebenarnya sama seperti dalam kasus real. Fungsi polinomial yakni:

f(z) = z + 1Atauf(z) = z3 + 2z + 1Atauf(z) = iz2-(i+1)z-2i

Fungsi tersebut dapat dievaluasi sebelumnya. Jika koefisien dari sebuah polinomial adalah semua bilangan real seperti z3 + 2z + 1, dan jika z adalah real, sebagai contoh z = x + i0 untuk bilangan real x, kemudian f(z) = f(x) sama seperti jika semua bilangan real. Lebih umum, jika kita mempunyai variabel kompleks z = x + iy dimana x dan y adalah bilangan real, maka z dapat dianggap tergantung pada variabel real x dan y.Oleh karena itu, fungsi f(z) dapat dianggap melibatkan sepasang fungsi masing-masing dua variabel:

f(z) = u(x,y) + iv(x,y)

Dimana u(x,y) merupakan bagian real dan v(x,y) merupakan bagian yang imajiner. Sebagai contoh, jika f(z) = z2 = (x+iy)2 = x2 y2 + 2ixy kemudian u(x,y) = x2 y2 dan v(x,y) = 2 xy.

Salah satu fungsi penting adalah fungsi eksponensial, ditulis ez atau exp(z). Kita harus memperluas definisi yang memungkinkan dari argumen kompleks z. Ketika z = x + iy, dimana x adalah bagian real dan y adalah bagian imajiner, kita mendefinisikan fungsi eksponensial berdasarkan aturan

exp(z) = ez = ex+iy = ex(eiy)= ex(cos y + i sin y)

Dalam fungsi u(x,y) dan v(x,y) yang didiskusikan di atas, kita mempunyaif(x + iy) = ex cos y + iex sin ymaka, u(x,y) = ex cos y dan v(x,y) = ex sin y

Dari definisi-definisi di atas diperoleh:Jika z = x + 0i, z adalah bilangan real dan y = 0, maka ez = ex (cos 0 + i sin 0) = ex; Jika z = 0 + iy, z adalah bilangan imajiner murni, maka ez = e iy = e0 ( cos y + i sin y) = cos y + i sin y; Jika z = 0 iy, z adalah bilangan imajiner murni, maka ez = e i(-y) = cos y + i sin (-y) = cos y i sin y; Dari no 2 dan 3 kita memperoleh

e iy + e iy = 2 cos ye iy e iy = 2 i sin y

sebagai contoh, e i = cos () = -1 = e ie i/2 = ie i/2 = -ie 2i = 1

Contoh terakhir merupakan persamaan umum

e z + 2i = e x + i (y + 2) = e x (cos(y + 2) + i sin (y + 2)) = e x (cos y + i sin y) = ez

Dari persamaan untuk cos y dan sin y yang diberikan pada (no 4), hal ini memungkinkan untuk mengeneralisasi konsep dari fungsi trigonometri yang mendefinisikan bilangan kompleks z oleh aturan:

cos z = e iz + e iz / 2sin z = e iz e iz / 2i

Rumus yang familiar untuk trigonometri contohnya cos2 z + sin2 z = 1

OLEH DWIANDARI ALDYLA 125090700111015FUNCTION OF COMPLEX VARIABLEPart IIKordinat polarDengan menggunakan fungsi exponensial kita dapat menjelaskan secara matematika tentang hubungan antara waktu dan frekuensi yg biasa muncul dalam interpretasi geofisika logaritmaOLEH ALFADEO V.S. 125090700111018DIFFERENTIATION AND INTEGRATIONPart IDiferensiasiOLEH AINUL YAQIN ABROR H. 125090700111017DIFFERENTIATION AND INTEGRATIONPart II

OLEH inge larisa r. 125090700111019THE APPLICATIONPart IPenerapan Bilangan Kompleks Pada Data SeismikTitle: Methods and applications in reservoir geophysicsEdited: David H. JohnstonPublished: society of exploration geophysicistsBand-limited and time-limited functionsKetidaksetaraan Schwarz dan hubungan Parseval menunjukkan bahwa diatas ada dan terbatas untuk semua k. Fungsi nilai-kompleks dapat menjadi differensial dari sebuah bilangan sewenang-wenang kali dalam bidang kompleks yang terbatas disebut seluruh fungsi dalam analisis kompleks. Memiliki serangkaian ekspansi Taylor setiap titik dengan radius yang tak terbatas konvergensi - sifat ini membuatnya 'halus' di mata matematikaTitle: spectral analysis for physical applications: multitaper and conventional univariate techniquesDonald B Percival and Andrew T. Walden. 2002Cambridge University Press

OLEH RINALDY RIZKY A. 125090700THE APPLICATIONPart IIAplikasi Complex Number (bilangan kompleks) pada Complex Seismic Trace untuk Time-Lapse SeismicComplex trace seismic memungkinan memindahkan amplitudo dari sudut (frekuensi dan fase), dan definisi dari instantaneous (sesaat) amplitudo, fase, dan frekuensi, yang bebas satu sama lain.Instantaneous Amplitudo merupakan respon langsung dari reflectivitas magnitude, menggambarkan singel lobes dari individual wavelet dan memiliki power lebih untuk menyelesaikan reflector.

instantaneous frekuensi adalah pengukuran dari frekuensi energy-loaded terbanyak atau frekuensi tengah dari power spectrum yang sesaat, bersama dengan instantanous phase.Dalam survey time-lapse seismic, power dari resolusi mengubah event picks dan perhitungan dari time shift dan variasi amplitudo, serta representasi dari fase dan amplitudo yang berubah terhadap waktu.Dalam monitoring reservoir, kecepatan impedansi akustik dan atenuiasi dari batuan reservoir dapat berubah terhadap respon dari perubahan fluid saturation, tekanan, temperatur, porositas, dll.Hal ini dapat terdeteksi dengan survey time-lapse seismic, bergantung dari kemampuan dalam mengidentifikasi dan menyelesaikan karakteristik waveform, yang diukur oleh seismic attributeSeismic attributes dalam survey time-lapse seismic didasari oleh deskripsi dari real seismic trace.Analisis Complex trace biasanya digunakan oleh teknik elektro dan analisis sinyal.Seismic trace dari survey permukaan seimic dilakukan sebagai bagian dari complex seismic trace.

Penggunaan dari complex number dalam signal processing dapat memudahkan mathematical manipulation.Dalam osilasi harmonik, the real signal we measure or digitize, f(t), is often expressed as (t) = A[cos(t+) + isin(t+)], of which f(t) = Acos(t+). In polar representation, (t) = Aei(t+). Geometrically, (t) is considered a phasor of length A, which rotates counterclockwise with time at angular frequency and phase In amplitude modulation, (t) = A(t)[cos(t+) + i sin(t+)], where A(t) is instantaneous amplitude. In frequency and phase modulation, (t) = A {cos[(t) t+(t)] + i sin[(t) t+(t)]}.we define the term (t), which integrates the effect of frequency and phase, i.e., (t) = A {cos[(t)] + i sin[(t)]} or (t) = A ei(t). (t) is called instantaneous phase. Then, 1/2 d(t)/dt is defined as instantaneous frequencyThe corresponding complex trace can be defined as: (t) = A(t) {cos[(t)] + i sin[(t)]} or (t) = A(t) ei(t)..(1)where f(t) = A(t)cos[(t)], the real part of the complex trace, is the seismic trace we measure from surface seismic surveys.An efficient way to obtain A(t) and (t) from the seismic trace is to calculate the imaginary part of equation (1). Then A(t) and (t) are derived by the following relations:

From equation (1), the imaginary part lags behind the real part by 900. The imaginary part is found by 900 shifting the frequency spectrum of the real part and performing an inverse Fourier transform. Let F() and H() be the respective frequency spectra of f(t) (the real part) and h(t) (the imaginary part). We have:

-/2 sgn() is used instead of -/2 to apply the 900 shift in order to keep () antisymmetric because h(t) is real. From (4), we transform H() back into h(t) using the inverse Fourier transform:

Equation (5) is the negative of Hilbert transform. Hence the complex seismic trace is:

where fhi(t) denotes the Hilbert transform of f(t), also termed as the quadraturefunction of f(t) (Bracewell, 1978).The Fourier transform of the complex seismic trace, (t), will have the form:

As shown in equation (7), the frequency spectrum of the complex seismic trace T() vanishes for 0. Due to being zero for negative frequencies, the complex seismic trace is also called the analytical signal (Ackroyd, 1970; Claerbout, 1992).Based on equation (7), another way to calculate A(t) and (t) is to: 1) Fourier transform the real seismic trace; 2) zero the amplitude for negative frequencies and double the amplitude for positive frequencies; 3) inversely Fourier transform; 4) use equations (2) and (3). TERIMA KASIH