1

MATEMATIKA BISNIS Teori dan Terapan

Edisi Pertama IMAM TAHYUDIN

ZAHIRA MEDIA PUBLISHER

2

BAB I HIMPUNAN

A. Pengertian Himpunan Himpunan adalah kumpulan benda atau objek-objek atau

lambang-lambang yang mempunyai arti yang dapat didefinisikan dengan jelas mana yang merupakan anggota himpunan dan mana bukan anggota himpunan. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.

Perhatikan objek yang berada di sekeliling kita, misal ada sekelompok mahasiswa yang sedang belajar di kelas A, setumpuk buku yang berada di atas meja belajar, sehimpunan kursi di dalam kelas A, sekawanan itik berbaris menuju sawah, sederetan mobil yang antri karena macet dan sebagainya, semuanya merupakan contoh himpunan dalam kehidupan sehari-hari.

Jika kita amati semua objek yang berada disekeliling kita yang dijadikan contoh di atas, dapat didefinisikan dengan jelas dan dapat dibedakan mana anggota himpunan tersebut dan mana yang bukan.

Himpunan makanan yang lezat, himpunan gadis yang cantik dan himpunan bunga yang indah adalah contoh himpunan yang tidak dapat didefinisikan dengan jelas. Lezatnya makanan, cantiknya gadis dan indahnya bunga bagi setiap orang relatif. Lezatnya suatu hidangan bagi seseorang atau sekelompok orang belum tentu lezat bagi orang lain atau sekelompok orang lainya.

Demikian juga indahnya sekuntum bunga bagi seseorang belum tentu indah bagi orang lain. Bagi A yang indah adalah mawar merah bagi B yang indah adalah melati. Jadi relatif bagi setiap orang.

Benda atau objek yang termasuk dalam himpunan disebut anggota atau elemen atau unsur himpunan tersebut. Umumnya penulisan himpunan menggunakan huruf kapital A, B, C dan seterusnya, dan anggota himpunan ditulis dengan huruf kecil.

3

Tipe himpunan adalah tipe yang bisa menerima himpunan nilai yang masing-masing elemennya adalah tipe enumerasi. Perhatikan: tidak semua bahasa pemrograman prosedural memiliki tipe SET.

Himpunan (Set) dalam turbo Pascal serupa dengan himpunan pada matematika. Sebuah himpunan adalah koleksi dari sejumlah nilai yang bertipe sama dan sifatnya tidak ada data yang kembar. Pada Turbo Pascal, anggota dari suatu himpunan terbatas pada dat ordinal yang nilai ordinalnya terletak antara nol (0) sampai dengan 255.

1. Pendeklarasian Himpunan Suatu himpunan biasa dideklarasikan pada bagian TYPE

(meskipun bisa saja pada bagian VAR). Bentuk pendeklarasiannya adalah: Type

hari = (senin, selasa, rabu, kamis, jumat, sabtu, minggu); setkar = set of char; harihari = set of hari;

Type Nama_tipe = SET OF tipe_elemen;

Dalam hal ini tipe_elemen dapat berupa misalnya Char, Byte, tipe enumerasi atau subjangkauan. Beberapa contoh pendeklarasian tipe_elemen : Type

Bulan = (Jan, Feb, Mar, Apr, Mei, Jun, Jul, Agu, Sep, Okt, Nov, Des); HimpKarakter = Set Of Char; HimpDigit = Set Of 0..9; HimpBulan = Set Of Bulan;

2. Konstanta Himpunan Suatu konstanta himpunan adalah daftar elemen atau

subjangkauan yang terletak didalam tanda kurung. Contoh: a. [0..9] {Himpunan Digit dengan nilai : 1, 2,3,4,5,6,7,8,9} b. [A,B,C,D,E] { Himpunan Karakter} c. [Jan, Feb, Mar] { Himpunan Nilai Enumerasi }

4

Contoh Program: Program Himpunan; Uses Wincrt; Const KumpulanHuruf : Set Of Char = [ D .. G, M,X ]; Var Kar : Char; Begin Writeln(Isi Kumpulan Huruf : ); For Kar : #0 to #225 do If Kar In KumpulanHuruf Then Writeln(Kar); Readln; End.

B. Cara Penyajian Himpunan 1. Enumerasi adalah cara penyajian himpunan yang elemen-

elemennya bisa disebutkan satu persatu (dapat dicacah). Contoh 1. - Himpunan empat bilangan asli pertama: A = {1, 2, 3, 4}. - Himpunan lima bilangan genap positif pertama: B = {4, 6, 8, 10}. - C = {kucing, a, Amir, 10, paku} - R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} } - C = {a, {a}, {{a}} } - K = { {} } - Himpunan 100 buah bilangan asli pertama: {1, 2, ..., 100 } - Himpunan bilangan bulat ditulis sebagai {, -2, -1, 0, 1, 2, }.

Keanggotaan x A : x merupakan anggota himpunan A; x A : x bukan merupakan anggota himpunan A.

Contoh 2. Misalkan: A = {1, 2, 3, 4}, R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} } K = {{}}

5

maka 3 A

5 B {a, b, c} R c R

{} K {} R

Contoh 3. Bila P1 = {a, b}, P2 = { {a, b} }, P3 = {{{a, b}}}, maka

a P1 a P2 P1 P2

P1 P3 P2 P3

2. Simbol-simbol Baku P = himpunan bilangan bulat positif = { 1, 2, 3, ... } N = himpunan bilangan alami (natural) = { 1, 2, ... } Z = himpunan bilangan bulat = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... } Q = himpunan bilangan rasional R = himpunan bilangan riil C = himpunan bilangan kompleks Himpunan yang universal: semesta, disimbolkan dengan U.

Contoh: Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A adalah himpunan bagian dari U, dengan A = {1, 3, 5}.

3. Notasi Pembentuk Himpunan Notasi: { x syarat yang harus dipenuhi oleh x } Contoh 4. (i) A adalah himpunan bilangan bulat positif yang kecil dari 5

6

A = { x | x adalah bilangan bulat positif lebih kecil dari 5} atau

A = { x | x P, x < 5 } yang ekivalen dengan A = {1, 2, 3, 4}

(ii) M = { x | x adalah mahasiswa yang mengambil kuliah IF2151}

4. Diagram Venn Contoh 5. Misalkan U = {1, 2, , 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}. Diagram Venn:

U

1 253 6

84

7A B

5. Kardinalitas Jumlah elemen di dalam A disebut kardinal dari himpunan A. Notasi: n(A) atau A Contoh 6. (i) B = { x | x merupakan bilangan prima yang lebih kecil dari 20 }, atau B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} maka B = 8 (ii) T = {kucing, a, Amir, 10, paku}, maka T = 5 (iii) A = {a, {a}, {{a}} }, maka A = 3

6. Himpunan Kosong Himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong (null set). Notasi : atau {}

7

Contoh 7. (i) E = { x | x < x }, maka n(E) = 0 (ii) P = { orang Indonesia yang pernah ke bulan }, maka n(P) = 0 (iii) A = {x | x adalah akar persamaan kuadrat x2 + 1 = 0 }, n(A) = 0 himpunan {{ }} dapat juga ditulis sebagai {} himpunan {{ }, {{ }}} dapat juga ditulis sebagai {, {}} {} bukan himpunan kosong karena ia memuat satu elemen yaitu himpunan kosong.

7. Himpunan Bagian (Subset) Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B. Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A. Notasi: A B Diagram Venn:

U

AB

Contoh 8. (i) { 1, 2, 3} {1, 2, 3, 4, 5} (ii) {1, 2, 3} {1, 2, 3} (iii) N Z R C (iv) Jika A = { (x, y) | x + y < 4, x , y 0 } dan B = { (x, y) | 2x + y < 4, x 0 dan y 0 }, maka B A.

8

TEOREMA 1. Untuk sembarang himpunan A berlaku hal-hal sebagai berikut: (a) A adalah himpunan bagian dari A itu sendiri (yaitu, A A). (b) Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari A ( A). (c) Jika A B dan B C, maka A C A dan A A, maka dan A disebut himpunan bagian tak

sebenarnya (improper subset) dari himpunan A. Contoh: A = {1, 2, 3}, maka {1, 2, 3} dan adalah improper subset dari A. A B berbeda dengan A B A B : A adalah himpunan bagian dari B tetapi A B.

A adalah himpunan bagian sebenarnya (proper subset) dari B. Contoh: {1} dan {2, 3} adalah proper subset dari {1, 2, 3} (ii) A B : digunakan untuk menyatakan bahwa A adalah himpunan bagian (subset) dari B yang memungkinkan A = B.

8. Himpunan yang Sama A = B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B dan sebaliknya setiap elemen B merupakan elemen A. A = B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, maka A B. Notasi : A = B A B dan B A

Contoh 9. (i) Jika A = { 0, 1 } dan B = { x | x (x 1) = 0 }, maka A = B (ii) Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {5, 3, 8 }, maka A = B (iii) Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {3, 8}, maka A B Untuk tiga buah himpunan, A, B, dan C berlaku aksioma berikut: (a) A = A, B = B, dan C = C (b) jika A = B, maka B = A (c) jika A = B dan B = C, maka A = C

9

9. Himpunan yang Ekivalen Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika kardinal dari kedua himpunan tersebut sama. Notasi : A ~ B A = B

Contoh 10. Misalkan A = { 1, 3, 5, 7 } dan B = { a, b, c, d }, maka A ~ B sebab A = B = 4

10. Himpunan Saling Lepas Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika keduanya tidak memiliki elemen yang sama. Notasi : A // B Diagram Venn:

U

A B

Contoh 11. Jika A = { x | x P, x < 8 } dan B = { 10, 20, 30, ... }, maka A // B.

11. Himpunan Kuasa Himpunan kuasa (power set) dari himpunan A adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan semua himpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri. Notasi : P(A) atau 2A

Jika A = m, maka P(A) = 2m.

10

Contoh 12. Jika A = { 1, 2 }, maka P(A) = { , { 1 }, { 2 }, { 1, 2 }} Contoh 13. Himpunan kuasa dari himpunan kosong adalah P() = {}, dan himpunan kuasa dari himpunan {} adalah P({}) = {, {}}.

12. Operasi Terhadap Himpunan a. Irisan (intersection) Notasi : A B = { x x A dan x B }

Contoh 14. (i) Jika A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10, 14, 18},

maka A B = {4, 10} (ii) Jika A = { 3, 5, 9 } dan B = { -2, 6 }, maka A B = .

Artinya: A // B

b. Gabungan (union) Notasi : A B = { x x A atau x B }

11

Contoh 15. (i) Jika A = { 2, 5, 8} dan B = {7, 5, 22}, maka A B = {2, 5, 7, 8,

22} (ii) A = A

c. Komplemen (complement) Notasi : A = { x x U, x A }

Contoh 16. Misalkan U = { 1, 2, 3, ..., 9 }, (i) jika A = {1, 3, 7, 9}, maka A = {2, 4, 6, 8} (ii) jika A = { x | x/2 P, x < 9 }, maka A= { 1, 3, 5, 7, 9 } Contoh 17. Misalkan: A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri B = himpunan semua mobil impor C = himpunan semua mobil yang dibuat sebelum tahun 1990 D = himpunan semua mobil yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta E = himpunan semua mobil milik mahasiswa universitas tertentu (i) mobil mahasiswa di universitas ini produksi dalam negeri atau

diimpor dari luar negeri (E A) (E B) atau E (A B) (ii) semua mobil produksi dalam negeri yang dibuat sebelum

tahun 1990 yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta A C D

12

(iii) semua mobil impor buatan setelah tahun 1990 mempunyai nilai jual lebih dari Rp 100 juta BDC

d. Selisih (difference) Notasi : A B = { x x A dan x B } = A B

Contoh 18. (i) Jika A = { 1, 2, 3, ..., 10 } dan B = { 2, 4, 6, 8, 10 },

maka A B = { 1, 3, 5, 7, 9 } dan B A = (ii) {1, 3, 5} {1, 2, 3} = {5}, tetapi {1, 2, 3} {1, 3, 5} = {2}

e. Beda Setangkup (Symmetric Difference) Notasi: A B = (A B) (A B) = (A B) (B A)

Contoh 19. Jika A = { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5 }, maka A B = { 3, 4, 5, 6 } Contoh 20. Misalkan U = himpunan mahasiswa P = himpunan mahasiswa yang nilai ujian UTS di atas 80 Q = himpunan mahasiswa yang nilain ujian UAS di atas 80 Seorang mahasiswa mendapat nilai A jika nilai UTS dan nilai UAS keduanya di atas 80, mendapat nilai B jika salah satu ujian di atas 80, dan mendapat nilai C jika kedua ujian di bawah 80. (i) Semua mahasiswa yang mendapat nilai A : P Q

13

(ii) Semua mahasiswa yang mendapat nilai B : P Q (iii) Ssemua mahasiswa yang mendapat nilai C : U (P Q)

TEOREMA 2. Beda setangkup memenuhi sifat-sifat berikut: (a) A B = B A (hukum komutatif) (b) (A B ) C = A (B C ) (hukum asosiatif)

f. Perkalian Kartesian (cartesian product) Notasi: A B = {(a, b) a A dan b B } Contoh 21. (i) Misalkan C = { 1, 2, 3 }, dan D = { a, b }, maka C D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) } (ii) Misalkan A = B = himpunan semua bilangan riil, maka

A B = himpunan semua titik di bidang datar Catatan: 1. Jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka: A B= A. B. 2. Pasangan berurutan (a, b) berbeda dengan (b, a), dengan kata

lain (a, b) (b, a). 3. Perkalian kartesian tidak komutatif, yaitu A B B A dengan

syarat A atau B tidak kosong. Pada Contoh 20(i) di atas, D C = {(a, 1), (a, 2),(a, 3),(b, 1),(b, 2),(b,3)} C D.

4. Jika A = atau B = , maka A B = B A =

Contoh 22. Misalkan A = himpunan makanan = { s = soto, g = gado-gado, n = nasi

goreng, m = mie rebus } B = himpunan minuman = { c = coca-cola, t = teh, d = es dawet }

14

Berapa banyak kombinasi makanan dan minuman yang dapat disusun dari kedua himpunan di atas?

Jawab: A B = AB = 4 3 = 12 kombinasi dan minuman, yaitu {(s, c), (s, t), (s, d), (g, c), (g, t), (g, d), (n, c), (n, t), (n, d), (m, c), (m, t), (m, d)}. Contoh 23. Daftarkan semua anggota himpunan berikut: (a) P() (b) P() (c) {} P() (d) P(P({3})) Penyelesaian: (a) P() = {} (b) P() = (ket: jika A = atau B = maka A B = ) (c) {} P() = {} {} = {(,)) (d) P(P({3})) = P({ , {3} }) = {, {}, {{3}}, {, {3}} }

13. Perampatan Operasi Himpunan

n

iin AAAA

121 ...

n

iin AAAA

121 ...

i

n

inAAAA

121...

i

n

inAAAA

121...

Contoh 24. (i) A (B1B2 ... Bn) = (A B1) (A B2) ... (A Bn)

n

ii

n

ii BABA

11)()(

(ii) Misalkan A = {1, 2}, B = {a, b}, dan C = {, }, maka A B C = {(1, a, ), (1, a, ), (1, b, ), (1, b, ), (2, a, ), (2, a, ), (2, b, ), (2, b, ) }

15

14. Hukum-hukum Himpunan

1. Hukum identitas: A = A A U = A 2. Hukum null/dominasi: A = A U = U

3. Hukum komplemen: A A = U A A = 4. Hukum idempoten: A A = A A A = A

5. Hukum involusi:

)(A = A 6. Hukum penyerapan

(absorpsi): A (A B) = A A (A B) = A 7. Hukum komutatif: A B = B A A B = B A

8. Hukum asosiatif: A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C 9. Hukum distributif: A (B C) = (A B)

(A C) A (B C) = (A B) (A C)

10. Hukum De Morgan: BA = BA BA = BA 11. Hukum 0/1

= U U =

Prinsip Dualitas Prinsip dualitas: dua konsep yang berbeda dapat dipertukarkan namun tetap memberikan jawaban yang benar. Contoh: AS kemudi mobil di kiri depan

Inggris (juga Indonesia) kemudi mobil di kanan depan Peraturan:

(a) di Amerika Serikat, - mobil harus berjalan di bagian kanan jalan, - pada jalan yang berlajur banyak, lajur kiri untuk mendahului, - bila lampu merah menyala, mobil belok kanan boleh langsung

(b) di Inggris,

16

- mobil harus berjalan di bagian kiri jalan, - pada jalur yang berlajur banyak, lajur kanan untuk mendahului, - bila lampu merah menyala, mobil belok kiri boleh langsung

Prinsip dualitas: Konsep kiri dan kanan dapat dipertukarkan pada kedua negara tersebut sehingga peraturan yang berlaku di Amerika Serikat menjadi berlaku pula di Inggris. (Prinsip Dualitas pada Himpunan). Misalkan S adalah suatu

kesamaan (identity) yang melibatkan himpunan dan operasi-operasi seperti , , dan komplemen. Jika S* diperoleh dari S dengan mengganti , , U, U , sedangkan komplemen dibiarkan seperti semula, maka kesamaan S* juga benar dan disebut dual dari kesamaan S. 1. Hukum identitas:

A = A Dualnya: A U = A 2. Hukum null/dominasi:

A = Dualnya: A U = U 3. Hukum komplemen:

A A = U Dualnya: A A= 4. Hukum idempoten:

A A = A Dualnya: A A = A 5. Hukum penyerapan:

A (A B) = A Dualnya: A (A B) = A 6. Hukum komutatif:

A B = B A Dualnya: A B = B A 7. Hukum asosiatif:

A (B C) = (A B) C Dualnya: A (B C) = (A B) C 8. Hukum distributif:

A (B C)=(A B) (A C) Dualnya: A (B C) = (A B) (A C) 9. Hukum De Morgan:

BA = A B Dualnya: BA = A B 10. Hukum 0/1

= U Dualnya: U =

17

Contoh 25. Dual dari (A B) (A B ) = A adalah (A B) (A B ) = A.

Prinsip Inklusi-Eksklusi Untuk dua himpunan A dan B:

A B = A + B A B

A B = A +B 2A B

Contoh 26. Berapa banyaknya bilangan bulat antara 1 dan 100 yang habis dibagi 3 atau 5? Penyelesaian: A = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3, B = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 5, A B = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3 dan 5 (yaitu himpunan bilangan bulat yang habis dibagi oleh KPK Kelipatan Persekutuan Terkecil dari 3 dan 5, yaitu 15), yang ditanyakan adalah A B. A = 100/3 = 33, B = 100/5 = 20, A B = 100/15 = 6

A B = A + B A B = 33 + 20 6 = 47 Jadi, ada 47 buah bilangan yang habis dibagi 3 atau 5.

Untuk tiga buah himpunan A, B, dan C, berlaku A B C = A + B + C A B A C B C + A B C

Untuk himpunan A1, A2, , Ar, berlaku: A1 A2 Ar =

iAi rji1 Ai Aj +

18

rkji1 Ai Aj Ak + + (-1)r-1 A1 A2 Ar

Partisi Partisi dari sebuah himpunan A adalah sekumpulan himpunan bagian tidak kosong A1, A2, dari A sedemikian sehingga:

(a) A1 A2 = A, dan (b) Ai Aj = untuk i j

Contoh 27. Misalkan A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, maka { {1}, {2, 3, 4}, {7, 8}, {5, 6} } adalah partisi A.

Himpunan Ganda Himpunan yang elemennya boleh berulang (tidak harus berbeda) disebut himpunan ganda (multiset). Contohnya, {1, 1, 1, 2, 2, 3}, {2, 2, 2}, {2, 3, 4}, {}. Multiplisitas dari suatu elemen pada himpunan ganda adalah jumlah kemunculan elemen tersebut pada himpunan ganda. Contoh: M = { 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1 }, multiplisitas 0 adalah 4. Himpunan (set) merupakan contoh khusus dari suatu multiset, yang dalam hal ini multiplisitas dari setiap elemennya adalah 0 atau 1. Kardinalitas dari suatu multiset didefinisikan sebagai kardinalitas himpunan padanannya (ekivalen), dengan mengasumsikan elemen-elemen di dalam multiset semua berbeda.

19

Operasi Antara Dua Buah Multiset: Misalkan P dan Q adalah multiset: 1. P Q adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama

dengan multiplisitas maksimum elemen tersebut pada himpunan P dan Q. Contoh: P = { a, a, a, c, d, d } dan Q ={ a, a, b, c, c }, P Q = { a, a, a, b, c, c, d, d }

2. P Q adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan multiplisitas minimum elemen tersebut pada himpunan P dan Q. Contoh: P = { a, a, a, c, d, d } dan Q = { a, a, b, c, c } P Q = { a, a, c }

3. P Q adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan: - multiplisitas elemen tersebut pada P dikurangi multiplisitasnya

pada Q, jika selisihnya positif - 0, jika selisihnya nol atau negatif. Contoh: P = { a, a, a, b, b, c, d, d, e } dan Q = { a, a, b, b, b, c,

c, d, d, f } maka P Q = { a, e } 4. P + Q, yang didefinisikan sebagai jumlah (sum) dua buah

himpunan ganda, adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan penjumlahan dari multiplisitas elemen tersebut pada P dan Q.

Contoh: P = { a, a, b, c, c } dan Q = { a, b, b, d }, P + Q = { a, a, a, b, b, b, c, c, d }

15. Pembuktian Pernyataan Perihal Himpunan Pernyataan himpunan adalah argumen yang menggunakan notasi himpunan. Pernyataan dapat berupa: 1. Kesamaan (identity)

20

Contoh: Buktikan A (B C) = (A B) (A C) 2. Implikasi

Contoh: Buktikan bahwa Jika A B = dan A (B C) maka selalu berlaku bahwa A C.

1. Pembuktian dengan menggunakan diagram Venn Contoh 28. Misalkan A, B, dan C adalah himpunan. Buktikan A (B C) = (A B) (A C) dengan diagram Venn. Bukti:

A (B C) (A B) (A C)

Kedua digaram Venn memberikan area arsiran yang sama. Terbukti bahwa A (B C) = (A B) (A C). Diagram Venn hanya dapat digunakan jika himpunan yang

digambarkan tidak banyak jumlahnya. Metode ini mengilustrasikan ketimbang membuktikan fakta. Diagram Venn tidak dianggap sebagai metode yang valid untuk pembuktian secara formal.

2. Pembuktikan dengan menggunakan tabel keanggotaan Contoh 29. Misalkan A, B, dan C adalah himpunan. Buktikan bahwa A (B C) = (A B) (A C).

21

Bukti: A B C B C A (B C) A B A C (A B) (A C) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Karena kolom A (B C) dan kolom (A B) (A C) sama, maka A (B C) = (A B) (A C).

3. Pembuktian dengan menggunakan aljabar himpunan. Contoh 30. Misalkan A dan B himpunan.

Buktikan bahwa (A B) (A B ) = A Bukti:

(A B) (A B ) = A (B B ) (Hukum distributif) = A U (Hukum komplemen) = A (Hukum identitas)

Contoh 31. Misalkan A dan B himpunan. Buktikan bahwa A (B A) = A B Bukti:

A (B A) = A (B A) (Definisi operasi selisih) = (A B) (A A) (Hukum distributif) = (A B) U (Hukum komplemen) = A B (Hukum identitas)

22

Contoh 32. Buktikan bahwa untuk sembarang himpunan A dan B, bahwa (i) A ( A B) = A B dan (ii) A ( A B) = A B Bukti:

(i) A ( A B) = ( A A) (A B) (H. distributif) = U (A B) (H. komplemen) = A B (H. identitas)

(ii) adalah dual dari (i) A ( A B) = (A A) (A B) (H. distributif)

= (A B) (H. komplemen) = A B (H. identitas)

4. Pembuktian dengan menggunakan definisi Metode ini digunakan untuk membuktikan pernyataan himpunan yang tidak berbentuk kesamaan, tetapi pernyataan yang berbentuk implikasi. Biasanya di dalam implikasi tersebut terdapat notasi himpunan bagian ( atau ).

Contoh 33. Misalkan A dan B himpunan. Jika A B = dan A (B C) maka A C. Buktikan! Bukti: (i) Dari definisi himpunan bagian, P Q jika dan hanya jika setiap

x P juga Q. Misalkan x A. Karena A (B C), maka dari definisi himpunan bagian, x juga (B C). Dari definisi operasi gabungan (), x (B C) berarti x B atau x C.

(ii) Karena x A dan A B = , maka x B

23

Dari (i) dan (ii), x C harus benar. Karena x A juga berlaku x C, maka dapat disimpulkan A C .

C. Tipe Set dalam Bahasa Pascal Bahasa Pascal menyediakan tipe data khusus untuk himpunan, yang bernama set. Tipe set menyatakan himpunan kuasa dari tipe ordinal (integer, character). Contoh: type

HurufBesar = A..Z; { enumerasi } Huruf = set of HurufBesar; var HurufKu : Huruf;

Nilai untuk peubah HurufKu dapat diisi dengan pernyataan berikut:

HurufKu:=[A, C, D]; HurufKu:=[M]; HurufKu:=[]; { himpunan kosong } Operasi yang dapat dilakukan pada tipe himpunan adalah operasi

gabungan, irisan, dan selisih seperti pada contoh berikut:

{gabungan} HurufKu:=[A, C, D] + [C, D, E];

{irisan} HurufKu:=[A, C, D] * [C, D, E];

{selisih} HurufKu:=[A, C, D] - [C, D, E];

Uji keanggotaan sebuah elemen di dalam himpunan dilakukan dengan menggunakan opeator in seperti contoh berikut:

if A in HurufKu then ...

24

Di dalam kakas pemrograman Delphi, set sering digunakan untuk mengindikasikan flag. Misalnya himpunan icon untuk window:

type TBorderIcon=(biSystemMenu, biMinimize,

biMaximaze); Huruf = set of TBoderIcon;

25

BAB II BENTUK PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA

A. Pangkat Pangkat dari sebuah bilangan ialah suatu indeks yang

menunjukkan banyaknya perkalian bilangan yang sama secara berurutan.

Notasi xa : bahwa x harus dikalikan dengan x itu sendiri secara berturut-turut sebanyak a kali. Kaidah Pemangkatan Bilangan

Kaidah perkalian bilangan berpangkat

.5

1 .4

dimana 8. 00 .3

7. .2

6. )0( 1 .11

0

b aba

a

a

bcax

abba

a

aa

Xx

xx

acxx

x xxx

yx

yx

xx

b

22515)53(53 :contoh

7293333 :contoh

2222

64242

aaa

baba

xyyx

xxx

26

Kaidah pembagian bilangan berpangkat

Sifat-sifat Bentuk Pangkat. 1. ap x aq = ap + q

qp

fa ktorqp

fa ktorqfa ktorp

qp

fa ktorq

q

fa ktorp

p

a

xaaxaxaxxxaaxaxaxxaa

xaaxaxaxa

xaaxaxaxa

Bukti

)(

)...()...(

).......(

)......(:

Contoh : 22 x 23 = ap+q = 22 + 3 = 25 = 32

2. a n = na

1 a 0

259

535:3 :contoh

91333:3 :contoh

:

222

24242

a

aa

baba

yxyx

xxx

27

n

n

nn

a

a

a

aa

Bukti

1

:

0

0

3. ap : aq = ap q

qp

qp

qp

qp

q

p

a

a

aa

aa

a

a

Bukti

)(.

1.

:

Contoh :

16

33

4

26

2

6

a

a

a qp

4. (ap)q = apxq

pxq

fa ktorxqp

fa ktorqfa ktorpfa ktorpfa ktorp

ppppqp

a

xaaxaxaxaaxaxxxaaxax

xaaxaxxxaaxaxxxaaxax

faktorqaxaxaxaaBukti

)(

).....).......(.....()....(

)....(........)...()...(

).........()()()()(:

28

Contoh:

642

)2()()2(

6

23

23

x

qpa

5. ao = 1

1

:

m

m

mmo

a

a

aa

Bukti

B. Akar Akar merupakan bentuk lain untuk menyatakan bilangan

berpangkat. Akar dari sebuah bilangan ialah basis (x) yang memenuhi bilangan tersebut berkenaan dengan pangkat akarnya (a). Bentuk umum :

Kaidah pengakaran bilangan

Kaidah penjumlahan (pengurangan) bilangan terakar Bilangan-bilangan terakar hanya dapat ditambahkan atau

dikurangkan apabila akar-akarnya sejenis.

mxxm aa jika

b

bb

bb

ba

b a

bb

yx

yx

yxxy

xx

xx

.4

.3 .2

.11

29

Kaidah perkalian bilangan terakar

Hasil kali bilangan-bilangan terakar adalah akar dari hasil kali bilangan-bilanganya. Perkalian hanya dapat dilakukan apabila akar-akarnya berpangkat sama. Akar ganda dari sebuah bilangan adalah akar pangkat baru dari bilangan bersangkutan, pangkat baru akarnya ialah hasil kali pangkat dari akar-akar sebelumnya.

Kaidah pembagian bilangan terakar

Hasil bagi bilangan-bilangan terakar adalah akar dari hasil bagi bilangan-bilangannya. Pembagian hanya dapat dilakukan apabila akar-akarnya berpangkat sama.

a. Menyederhanakan, Mengalikan dan Membagi 1). Menyederhanakan

bxabxa

Contoh:

35325

32575

x

x

2). Mengalikan

bxabxa

b ab ab a xnmxnxm )(

bb

b

yx

yx

30

Contoh:

26236

23672126

x

x

x

3). Membagi

ba

ba

Contoh:

22

24

24

8648

648

x

x

b. Penjumlahan dan Pengurangan. 1). Penjumlahan xbaxbxa )( Contoh:

787)53(7573

2). Pengurangan

ybaybya )(

Contoh:

24

2)37(2327

31

c. Menarik Akar Kuadrat (x+y)2 = x2 + 2xy + y2

abbaba

abbababa

bbaabamakabydanaxJika

2)(2)(

2

)(.2)()( 222

Contoh:

25

2.5)25(1027 (x-y)2 = x2 - 2xy + y2

badenganabbaba

abbababa

bbaabamakabydanaxJika

2)(2)(

2

)(.2)()( 222

Contoh:

37

3.72)37(21210 d. Akar Pangkat n suatu bilangan

Akar Pangkat n suatu bilangan (bentuk akar) dapat dinyatakan dengan pangkat rasional.

12

2,

mberartiditulistidakmJikanberartiditulistidaknJika

ndanbulatbilangannmdenganaa nm

n m

32

Contoh:

422

264

2

36

3 63

e. Kesekawanan Bentuk Akar. Kesekawanan Bentuk Akar adalah pasangan bentuk akar

(bilangan irasional) yang hasil kalinya bukan bentuk akar (bil.rasional).

Untuk a, b, m dan nbilangan rasional selain nol, maka : Bentuk Akar Bentuk Sekawan Hasil Kali

ba ba ba 2 ba

ba

ba

ba cba

cba bccba 2)(

Contoh:

1). Sekawan dari 3+ 2 adalah 3 - 2 Hasil kali bentuk akar dengan sekawannya:

9)23)(23( - 2 = 7

2). Sekawan dari 25 adalah 25 Hasil kali bentuk akar dengan sekawannya

145)25)(25(

3). Sekawan dari 57( ) adalah )57( Hasil kali bentuk akar dengan sekawan:

ba 2ba

33

57)57)(57( = 2 f. Merasionalkan Penyebut Pecahan Bentuk Akar.

Merasionalkan penyebut pecahan bentuk akar artinya mengubah penyebut pecahan bentuk akar ( bilangan irasan) menjadi bilangan rasional, tetapi tidak mengubah nilai pecahan tersebut.

1). Pecahan bentuk :badan

ba

*)**)

Menyelesaikan bentuk : * b

ba

bb

xb

a

ba

Contoh:

32

336

33

36

36

x

Menyelesaikan bentuk :

**

abb

bb

xba

ba

1

34

Contoh:

621

682

6.481

2481

824

88

83

83

x

2). Pecahan bentuk : *)ba

cdanba

c *)* Menyelesaikan bentuk:

babac

baba

bac

bac

2

)(

*)

Contoh:

)63(43

)63(1269

)63(12)63()63(

)63(12

6312

x

Menyelesaikan bentuk :

babac

baba

xba

c

bac

2

)()()(

)(*)*

35

Contoh:

)52(534

)52(5)32()32(

)32(5

325

x

3). Pecahan bentuk ba

cdanba

c *)**) Menyelesaikan bentuk :

babac

baba

bac

bac

)(

*)

Contoh:

)35(32

)35(635

)35(63535

356

356

x

Menyelesaikan bentuk :

babac

baba

bac

bac

)(

*)*

Contoh:

)26(34

)26(1226

)26(1226

)26(122626

2612

2612

x

36

C. Logaritma Logaritma pada hakekatnya merupakan kebalikan dari proses

pemangkatan dan/atau pengakaran.

Basis Logaritma Logaritma dapat dihitung untuk basis berapapun. Biasanya berupa bilangan positif dan tidak sama dengan satu. Basis logaritma yang paling lazim dipakai adalah 10 (common logarithm)/(logaritma briggs) logm berarti 10 log m, log 24 berarti 10 log 24 Logaritma berbasis bilangan e (2,72) disebut bilangan logaritma alam (natural logarithm) atau logaritma Napier ln m berarti elogm

Kaidah-kaidah Logaritma

Penyelesaian Persamaan dengan Logaritma Logaritma dapat digunakan untuk mencari bilangan yang belum diketahui (bilangan tertentu) dalam sebuah persamaan, khususnya persamaan eksponensial dan persamaan logaritmik. Persamaan logaritmik ialah persamaan yang bilangan tertentu berupa bilangan logaritma, sebagai contoh : log (3x + 298) = 3

Suku-suku pada ruas kanan menunjukkan bilangan yang dicari atau hendak dihitung pada masing-masing bentuk

amxmmx xaa log LogaritmaBentuk akar Bentuk pangkat Bentuk

mmx

xnmmam

xmax

nmn

m

nmmnx

x

nmxxax

mxax

xxxx

xxxx

log .51logloglog 9. loglog .4

1loglog 8. log .3

loglog log 7. 01log .2

loglog log .6 1log .1

37

Bentuk Umum : bp paba log Syarat : p > 0 dan p 1 a > 0 p = bilangan pokok jika tidak ditulis artinya p=10 a = numerus

b = hasil logaritma. Jika p=10 dan a= 10m maka log 10m = m

log 1 = log 100 = o log 10 = log 101 = 1 log 100 = log 102 = 2 log 1000 = log 103 = 3

a. Sifat-sifat Logaritma.

bayx

pbap

ppbapbybpaxamisalkanBukti

baba

pp

yxpp

yx

yx

yp

xp

ppp

loglog)(

log.log

..

loglog:

loglog.log).1

Contoh : 6log 72 + 6log 3 = 6log (72x3) =

6log 216 =

6log 63 = 3. 6log 6 = 3.1 = 3

38

bayx

pba

ppp

ba

pbybpaxamisalkanBukti

baba

pp

yxpp

yxy

x

yp

xp

ppp

loglog)(

loglog

loglog:

logloglog).2

)(

Contoh:

25log2

5log25log

)4

100log(4log100log

5

25

5

555

an

aaaa

axaaxaxaxaBuktiana

p

fa ktorn

pppp

fa ktorn

pnp

pnp

log.

log.......logloglog

)........(loglog:log.log).3

Contoh:

41.4

2log42log16log

2

422

39

a

bx

ypb

pbybpaxaMisalkanBukti

a

bb

p

p

ypa

yp

xp

p

pa

x

loglog

loglog

loglog:

logloglog).4

Contoh:

2

3log.36

3log33log6

3log3log

27log729log729log

3

3

6

27

b

ca

b

a

a

abberarti

abcbBuktiba

log

log

log:).5

Contoh:

4

3log

3log

3log3log

33

)4(4

)2(2

41

41

4

441

4214

40

b

a

b

ba

aBukti

ba

a

p

p

p

pb

a

b

log1loglog1logloglog:

log1log).6

Contoh:

31

2log31

2log1

8log12log

2

32

28

b. Persamaan Logaritma. 1). alog f(x)=alog p f(x)=p dengan syarat f(x)>0 Contoh 1 :

6101250361.2

0320)(

611222125)32(

125log5log

3)32log(

5

35

5

annyapenyelesaihimpunanmakamemenuhi

x

xfselidikix

x

x

x

41

2). alog f(x)=blog f(x) Contoh 2 : 3log(x2-x-3)=2 =

3log32 =

3log 9 (x2-x-3) = 9 x2 +x -12 = 0 (x+4)(x-3)=0 x+4=0 atau x-3=0 x= - 4 x=3 Syarat : f(x) > 0 x2 + x - 3 > 0 x= - 4 (-4)2 +(-4) 3>0 | x=332 +3 -3>0 16 - 4 -3 > 0 | 9 > 0 memenuhi 16 - 7 > 0 9 > 0 memenuhi Hp={-4 , 3}

3). alog f(x)=blog f(x) f(x)=1 syarat : a b

Contoh 1 : 5log (2x-3)=7log(2x-3) Syarat f(x)=1 2x 3 = 1 2x = 4 x = 2 Syarat : a b 5 7 memenuhi maka Hp={2} Contoh 2 : 3log (x2 +2x-2)=4log (x2 +2x-2) Syarat f(x)=1

42

x2+2x-2=1 x2 +2x-3=0 (x+3)(x-1)=0 x + 3=0 atau x -1=0 x = -3 x= 1 Syarat : a b 3 4 memenuhi Hp={-3, 1}

4). alog f(x)=alog g(x) f(x) = g(x)

Syarat f(x) > 0 dan g(x) > 0 Contoh 1 : log (x2 +3x-7)=log (x+8) (x2+3x-7)= (x+8) x2 +2x -15=0 (x+ 5)(x- 3)=0 x + 5 = 0 atau x 3=0 x = - 5 x=3 Syarat : f(x) > 0 x2+3x-7>0 x=-5(-5)2+3(-5)-7>0 | x=3 (3)2+3(3)-7>0 25 -15 -7 >0 9 + 9 -7 >0 3 > 0 memenuhi 11 >0 memenuhi Syarat : g(x) > 0 x + 8 > 0 x=-5(-5)+8 > 0 | x=3(3)+8 > 0 3 >0 memenuhi 11 > 0 memenuhi Maka Hp={ -5, 3 } Contoh 2 :

log log 2x = log(log 2x + 6)-log 4

log log 2x = log 4 62log x

43

log 2x = 4

62log x

4log 2x = log 2x + 6 3log 2x = 6 log 2x= 2 2x= 102 2x= 100 x= 50

Syarat f(x)>0 | Syarat g(x)>0 log 2x > 0 0

462log x

log 2.50>0 04

650.2log log 100 >0 0

46100log

2 > 0 02

04

62

Hp = { 50 }

44

DERET

A. Pengertian Deret merupakan rangkaian bilangan yang disusun secara

teratur dan memenuhi kaidah-kaidah tertentu. Dalam deret ada yang disebut sebagai suku,pembeda ,pengganda dan yang lainya. Suku adalahbilangan-bilangan yang merupakan unsur dan pembentuk sebuah deret. Pembeda/beda merupakan penunjuk pola perubahan pada suatu deret begitu pula pengganda/rasio. Bedanya adalah kalo pembeda itu dalam deret hitung sedangkan pengganda dalam deret ukur/deret geometri.

B. Jenis deret Pada makalah ini kami akan menyebutkan dua jenis deret,yaitu

deret hitung dan deret ukur/deret geometri. 1. Deret hitung

Deret hitung merupakan deret yang perubahan-perubahan sukunya berdasarkan penjumlahan sebuah bilangan tertentu. Bias juga diartikan sebagai barisan yang suku berurutannya mempunyai tambahan bilangan yang tetap. Tambahan bilangan itulah yang di sebut pembeda.

Perhatikan contoh berikut! 1000,750,500,250 ini adalah contoh deret hitung yang memiliki pembeda 250.

Jadi pada suku setelah suku pertama(a) akan berubah secara konstan pada suku berikutnya

Perubahan tersebut dapat berupa penambahan nilai suku atau pengurangan nilai suku. Contoh diatas berarti merupakan

45

pengurangan nilai suku. Karena setelah suku pertama suku berikutnya berkurang secara konstan yaitu sebesar 250.

a. Suku ke-n dari Deret hitung Ada beberapa cara untuk menentukan berapakah nilai suku

ke-n. Kita bisa mencarinya dengan mengurutkan mulai dari suku pertama sampai dengan suku yang hendak kita cari. Mungkin cara itu sepintas terlihat simple,tapi apa jadinya kalau yang kita cari sukunya yang ke seribu atau mungkin lebih banyak? Oleh karena itu kita perlu mencari cara yang lebih mudah yaitu dengan mencari rumus untuk menentukan nilai suku ke-n Berikut caranya, Missal kita mempunyai deret sebagai berikut; 4, 6, 8, 10

U1 U2 U3 U4

U1/a = 4 U2 = 6 = a + (2 - 1)b U3 = 8 = a + (3 - 1)b U4 = 10 = a + (4 - 1)b

Dengan demikian kita dapat menyimpulkan rumus untuk mencari nilai suku ke-n sebagai berikut:

Keterangan a= suku pertama b= pembeda n= indek suku

46

contoh : misal diketahui sebuah deret, 3,5,7,9,11,..tentukanlah nilai suku ke-20 pada deret tersebut! Jawab: Diketahui: a = 3 b = 2 Ditanya: U20 Un = a + (n - 1)b U20 = 3 + (20 - 1)2 U20 = 3 + 38 U20 = 41

b. Jumlah n suku pertama pada Deret hitung Jumlah n suku pertama biasanya dinotasikan dengan Sn.

Untuk mencari jumlah n suku yang pertama bias menggunakan cara manual,yaitu ditulis secara langsung deret yang akan dicari

Kemudian tingal dijumlahkan. Tetapi untuk mencari Sn yang sekalanya besar bisa kita cari dengan menggunakan rumus sebagai berikut:

bnnnaS bnanS

UanS

SS

n

n

nn

n

iin

12

122

2

1

47

Contoh: Diketahui sebuah deret, 5,8,11,14,.berapakah jumlah 12 suku pertama pada deret tersebut? Jawab : Diketahui : a = 5 b = 3 ditanya : S12 , U12 = 5 + (12-1)3 U12 = 38

2. Deret ukur Deret ukur disebut juga dengan nama deret geometri. Deret

ukur ialah deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan perkalian terhadap sebuah bilangan tertentu. Bilangan yang membedakan suku-suku sebuah deret ukur dinamakan pengganda, yakni merupakan hasil bagi nilai suatu suku terhadap nilai suku di depannya. Contoh : 2, 6, 18, 54, 162, . . . (pengganda = 3) a. Suku ke-n dari Deret ukur

Untuk mencari suku ke-n dari deret ukur kita dapat menggunakan rumus berikut :

Un = apn-1

48

Ket : a : suku pertama p : pengganda n : indeks suku

b. Jumlah n suku pada Deret ukur Seperti halnya dalam deret hitung, jumlah sebuah deret ukur

sampai dengan suku tertentu adalah jumlah nilai suku-sukunya sejak suku pertama sampai dengan suku ke-n yang bersangkutan. Untuk mencarinya kita lakukan penjabaran rumus dibawah ini:

Berdasarkan rumus suku ke-n dari Deret Ukur,kita jabarkan masing-masing Ui . sehingga menjadi: Jika persamaan diatas dikalikan dengan pengganda p,maka menjadi : Setelah kita memperoleh kedua persamaan tersebut,maka kurangkan persamaan yang kedua dengan persamaan yang pertama.sehingga akan diperoleh persamaan sebagai berikut:

Dari data diatas secara ringkas kita dapat menuliskan rumus secara ringkas untuk mencari Sn sebagai berikut:

untuk p < 1 untuk p > 1

49

Untuk lebih jelasnya ,lihatlah contoh dibawah ini: Sebuah deret ukur memiliki suku pertama 5 dengan pengganda 2. Tentukan jumlah lima suku pertama dari deret tersebut! Karena penggandanya memiliki nilai lebih besar daripada 1 maka kita gunakan rumus yang kedua:

C. Penerapan ekonomi Pada makalah ini kita akan sedikit membahas deret dalam

perananya dalam bidang ekonomi. Diantaranya ialah penerapan deret dalam hal perhitungan perkembangan usaha dan penerapan deret dalam penentuan modal bunga majemuk.

1. Model perkembangan usaha

Inilah salah satu penerapan deret dalam kehidupan sehari-hari. Deret dapat kita gunakan untuk melakukan penghitungan perkembangan usaha. Kita bisa menggunakan deret hitung melakukan perhitungan ini,dengan catatan perkembangan usaha yang kita akan hitung memiliki perkembangan yang konstan,tidak berubah-ubah.

Berikut contoh kasus yang dapat kita lakukan penghitungan menggunakan deret:

Abu adalah seorang pedagang madu. Pada bulan pertama Abu berhasil menjual 30 botol madu. Pada bulan ke dua berhasil menjual 40 botol dan pada bulan-bulan berikutnya bertambah secara konstan. Jika harga madu perbotolnya Rp 22.500,00 , berapakah uang yang diperoleh Abu pada bulan ke Sembilan ?

50

Jawab : Diketahui : a = 30

b = 10

Ditanya : U9 ? (untuk mengetahui berapa banyak botol yang dapat terjual)

U9 = a + (n-1) b = 30 + (9-1) 10 = 110

Jadi, uang yang di peroleh Abu = 110 x 22.500 = 2.475.000

2. Model bunga majemuk Model bunga majemuk merupakan penerapan deret ukur

kasus dalam simpan pinjam dan kasus investasi. Dengan menggunakan deret ukur, kita bisa mengetahui jumlah bunga dari uang yang telah kita pinjam untuk rentang waktu tertentu. Selain itu kita juga dapat menghitung hasil investasi yang akan kita terima di masa yang akan datang.

Misalkan kita memiliki modal sebesar P dibungakan secara majemuk dengan bunga setingkat i dan jumlah akumulatif dimasa yang akan datang setelah n tahun adalah Fn,maka secara matematis didapat rumus sebagai berikut:

Keterangan: n = indeks tahun

Fn = P(1 + n)n

51

Pt = P1 Rt-1

rumus ini digunakan apabila pembayaran dilakukan satu kali dalam satu tahun. Namun apabila kita melakukan pembayaran m kali dalam satu tahun(masing-masing i/m per termin)maka Fn menjadi:

Dalam dunia bisnis (1 + i) dan (1 + i/m) disebut factor bunga majemuk/compounding interest factor yaitu suku bilangan lebih dari 1 yang dapat digunakan untuk mencari Fn dan bisa juga untuk mencari P.

3. Model pertumbuhan penduduk Menurut Malthus,penduduk yang ad di dunia ini tumbuh

mengikuti pola deret ukur. Jika jumlah pada tahun pertama (basis) = P1, jumlah setelah t tahun = Pt, r = presentase pertumbuhan/tahun dan R = 1 + r, Maka secara matematis dirumuskan sebagai berikut:

Kasus: Pada tahun 1990 penduduk kota A sebesar 500.000 orang,berapakah jumlah penduduk kota A pada tahun 1993 jika presentase pertumbuhan penduduk pertahun = 2%?

52

Jawab: Pt = P1 Rt-1

=500.000 x (1 + 0,02)3-1 =500.000 x 1,0404 =520.200 Jadi pada tahun 1993 penduduk kota A sebanyak 520.000 orang.

D. Latihan soal 1. Tentukan nilai suku ke-10 dari deret dibawah ini

a. 2,5,8,11.. b. 20,15,10,5.

2. Sebuah deret hitung sebagai berikut: 3,7,11,15, Tentukanlah: a. U10 dan U15 b. Bentuk rumus suku ke-n

3. Sebuah deret hitung dengan U8=18 dan U15=46 tentukanlah a. Suku ke10 dan 4 suku pertama b. Bentuk rumus suku ke-n

4. Hitunglah jumlah 20 suku pertama dari deret hitung 4,7,10,13,. 5. Dari suatu barisan aritmetika, suku ketiga adalh 36, jumlah suku

kelima dan ketujuh adalah 144. Jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut adalah .

6. Seorang ibu membagikan permen kepada 5 orang anaknya menurut aturan deret aritmetika. Semakin muda usia anak semakin banyak permen yang diperoleh. Jika banyak permen yang diterima anak kedua 11 buah dan anak keempat 19 buah, maka jumlah seluruh permen adalah buah.

7. Seorang anak menabung di suatu bnk dengan selisih kenaikan tabungan antar bulan tetap. Pada bulan pertama sebesar Rp. 50.000,00, bulan kedua Rp.55.000,00, bulan ketiga Rp.60.000,00,

53

dan seterusnya. Besar tabungan nak tersenut selama dua tahun adalah .

8. Dari suatu deret aritmetika diketahui U3 = 13 dan U7 = 29. Jumlah dua puluh lima suku pertama deret tersebut adalah .

9. Suku ke n suatu deret aritmetika Un = 3n 5. Rumus jumlah n suku pertama deret tersebut adalah .

10. Jumlah n buah suku pertama deret aritmetika dinyatakan oleh Sn = n/2 ( 5n 19 ). Beda deret tersebut adalah .

11. Jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah Sn = n2 + 5/2n. Beda dari deret aritmetika tersebut adalah .

12. Dari deret aritmetika diketahui suku tengah 32. Jika jumlah n suku pertama deret itu 672, banyak suku deret tersebut adalah .

13. Sebuah mobil dibeli dengan haga Rp. 80.000.000,00. Setiap tahun nlai jualnya menjadi dari harga sebelumnya. Berapa nilai jual setelah dipakai 3 tahun ?

14. Sebuah bola jatuh dari ketinggian 10 m dan memnatul kembali dengan ketinggian kali tinggi sebelumnya, begitu seterusnya hingga bola berhenti. Jumlah seluruh lintasan bola adalah .

15. Seutas tali dipotong menjadi 7 bagian dan panjang masing masing potongan membentuk barisan geometri. Jika panjang potongan tali terpendek sama dengan 6 cm dan potongan tali terpanjang sama dengan 384 cm, panjang keseluruhan tali tersebut adalah cm.

16. Sebuah bola pingpong dijatuhkan dari ketinggian 25 m dan memantul kembali dengan ketinggian 4/5 kali tinggi semula. Pematulan ini berlangsung terus menerus hingga bola berhenti. Jumlah seluruh lintasan bola adalah m.

17. Pertambahan penduduk suatu kota tiap tahun mengikuti aturan barisan geometri. Pada tahun 1996 pertambahannya sebanyak 6 orang, tahun 1998 sebanyak 54 orang. Pertambahan penduduk pada tahun 2001 adalah orang.

54

BAB III FUNGSI

A. Pengertian Fungsi Fungsi adalah suatu bentuk hubungan matematis yang

menyatakan hubungan ketergantungan ( hubungan fungsional ) antara satu variabel dengan variabel lain. Sebuah fungsi dibentuk oleh beberapa unsur. Unsur-unsur pembentuk fungsi adalah variabel, koefisien,dan konstanta. Sebuah fungsi, yang secara konkret dinyatakan dalam bentuk persamaan atau pertidaksamaan. Koefisien dan variabel sering melengkapi sebuah fungsi, namun konstanta jarang melengkapi/terdapat pada fungsi. Namun ada tidaknya konstanta pada sebuah fungsi, tak mengurangi arti dari fungsi tersebut.

Variabel adalah unsur pembentuk fungsi yang mencerminkan atau mewakili faktor tertentu, dilambangkan ( berdasarkan keseakatan umum ) dengan huruf-huruf Latin. Dalam matematika, variabel-variabel dalam sebuah persamaan lazimnya ditulis dengan huruf kecil, melambangkan sumbu dalam sistem koordinat ( absis dan ordinat ). Namun dalam ekonomika, tidak ada ketentuan dalam penulisan variabel. Berdasarkan kedudukan dan sifatnya, di dalam sebuah fungsi terdapat dua macam variabel,yaitu variabel bebas dan variabel terikat. Variabel bebas adalah variabel yang nilainya tidak tergantung pada variabel lain, sedangkan variabel terikat adalah variabel yang nilainya tergantung pada variabel lain.

Koefisien dan konstanta. Koefisien adalah bilangan atau angka yang terkait pada dan terletak di depan suatu variabel dalam sebuah fungsi. Konstanta adalah bilangan atau angka yang ( kadang-kadang ) turut membentuk sebuah fungsi tetapi berdiri sendiri sebagai bilangan dan tidak terkait pada suatu vaiabel tertentu.

55

Contoh fungsi : y = 2x + 8 , y adalah variabel terikat karena nilainya tergantung pada variabel x, x merupakan variabel bebas karena nilainya tak terikat pada variabel y, 2 merupakan koefisien karena letaknya terikat pada variabel x, sedangkan 8 adalah konstanta karena letaknya berdiri sendiri.

Untuk mempermudah memahami sebuah fungsi maka dibuatlah sistem koordinat cartesius atau disebut juga sistem tegak lurus berasal dari nama Latin Rene Descartes. Sistem ini terdiri dari dua komponen yaitu garis mendatar, disebut sumbu X, dan garis tegak disebut sumbu Y. Sumbu X dan sumbu Y berpotongan tegak lurus di titik O(0,0) yang disebut titik asal.

Koordinat cartesius dibagi oleh sumbu X dan sumbu Y yang membagi menjadi empat bagian atau daerah yang disebut kuadran. Kuadran I = { (x,y) | x > 0 dan y > 0 } Kuadran II = { (x,y) | x < 0 dan y > 0 } Kuadran III = { (x,y) | x < 0 dan y < 0 } Kuadran IV = { (x,y) | x > 0 dan y < 0 }

Dalam ilmu ekonomi, daerah atau kuadran yang sering digunakan adalah kuadran I.

X

Y

Kuadran I

Kuadran IV Kuadran III

Kuadran II

Gambar 1 Koordinat Cartesius

56

B. Jenis-Jenis Fungsi

FUNGSI

Fungsi aljabar Fungsi non aljabar

f. polinom f. pangkat f. ekspononsial f. linear f.logaritmik f. kuadrat f.trigonometrik f. kubik f.hiprbolik f. bikuadrat

1. Fungsi yang paling sederhana adalah fungsi konstan ( f(x) = k, k adalah konstan) dan fungsi identitas ( f(x) = x ). Namun secara garis besar, fungsi dikelompokan menjadi dua, yaitu fungsi aljabar dan fungsi non-aljabar( transenden ).

2. Fungsi aljabar adalah fungsi yang diperoleh dengan sejumlah berhingga operasi aljabar ( penjumlahan, perkalian, pembagian, perpangkatan, dan penarikan akar ) terhadap fungsi identitas dan fungsi konstan. Fungsi aljabar dibagi menjadi menjadi fungsi irrasional dan fungsi rasional. Fungsi rasional mempunyai beberapa jenis, diantaranya fungsi polinom, fungsi linear, dan fungsi berderajat n ( fungsi kuadrat, fungsi kubik, dan fungsi bikuadrat ), serta fungsi pangkat.

3. Fungsi polinom adalah fungsi yang mengandung banyak suku ( polinom ) dalam variabel bebasnya. Bentuk umum persamaan polinom adalah : y = a0 + a1x + a2x2 + ...+ anxn . Pangkat tertinggi pada variabel suatu fungsi polinom menceriminkan derajat polinomnya, sekaligus juga mencerminkan derajat persamaan atau fungsi tersebut.

4. Fungsi linear adalah fungsi polinom khusus yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat satu, oleh karenanya sering

57

disebut fungsi berderajat satu. Bentuk umum persamaan linear adalah : y = a0 + a1x ; dimana a0 adalah konstanta dan a1 0. Fungsi-fungsi lain yang pangkat tertinggi dari variabelnya lebih dari satu, secara umum disebut fungsi non-linear meliputi fungsi kuadrat, fungsi kubik, fungsi bikuadrat dan seterusnya.

5. Fungsi berderajat n adalah fungsi yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat n ( n = bilangan nyata ). Bentuk umumnya adalah : y = a0 + a1x + a2x2 + ...+ anxn. Fungsi kuadrat n = 2 ( bentuk umum y = a0 + a1x + a2x2 ), fungsi kubik n = 3 ( bentuk umum y = a0 + a1x + a2x2 + a2x3), fungsi bikuadrat n =4 ( bentuk umum y = a0 + a1x + a2x2+ a2x3+ a2x4 ) dan seterusnya.

6. Fungsi pangkat adalah fungsi yang variabel bebasnya berpangkat bilangan nyata bukan nol. Bentuk umum : y = xn , n = bilangan nyata bukan nol.

7. Fungsi non-aljabar adalah fungsi yang tidak termasuk fungsi aljabar. Jenis-jenis fungsi non-aljabar antara lain fungsi eksponensial, fungsi logaritmik, fungsi trigonometrik, dan fungsi hiperbolik.

8. Fungsi eksponensial adalah fungsi yang variabel bebasnya merupakan pangkat dari suatu konstanta bukan nol. Bentuk umumnya adalah : y = nx n > 0.

9. Fungsi logaritmik adalah fungsi balik ( inverse ) dari fungsi eksponensial, variabel bebasnya merupakan bilangan logaritmik. Bentuk umumnya : y = nlog x.

10. Fungsi trigonometrik dan fungsi hiperbolik adalah fungsi yang variabel bebasnya adalah bilangan-bilangan goneometrik. Bentuk umum fungsi trigonometrik : y = sin 5x , sedangkan bentuk umum fungsi hiperbolik : y = arc cos 2x.

Bedasarkan letak ruas variabel-variabelnya fungsi dibedakan menjadi dua jenis yaitu fungsi eksplisit dan fungsi implisit. Fungsi eksplisit adalah fungsi yang variabel bebas dan variabel terikatnya

58

terletak di ruas yang berlainan. Sedangkan fungsi implisit adalah fungsi yang variabel bebas dan variabel terikatnya terletak di ruas yang sama. Contoh : fungsi eksplisit : y = a0 + a1x , fungsi implisit : a0 + a1x y = 0 . Setiap fungsi yang berbentuk eksplisit senantiasa dapat diimplisitkan, tetapi tidak semua fungsi implisit dapat diubah menjadi bentuk eksplisit.

Selain pembagian jenis fungsi sebagaina yang baru saja diuraikan diatas, fungsi juga dapat dibedakan menjadi dua jenis yaitu fungsi eksplisit dan fungsi implicit. Fungsi eksplisit adalah fungsi yang variable bebas dan variable terkaitnya terletak diruas yang berlainan. Sedangkan fungsi implicit adalah fungsi yang variable bebas dan variable trikatnya terletak disatu ruas yang sama. Secara operasional, bentuk umum persamaan fungsi yang eksplisit dan yang implicit dapat dilihat sebagai berikut:

C. Penggambaran Grafik Fungsi Setiap fungsi (yang berbentuk eksplisit, atau bisa di

eksplisitkan) dapat disajikan secara grafik pada bidang sepasang sumbu silang ( sistem koordinat ). Gambar yang dihasilakan dapat berupa garis lurus ataupun kurva, tergantung pada jenis fungsi yang bersangkutan. Gambar dari sebuah fungsi dapat dihasilkan dengan cara menghitung koordinat titik-titik yang memenuhi persamaannya, dan kemudian memindahkan pasangan-pasangan titik tersebut ke sistem sumbu silang. Dalam menggambarkan suatu fungsi terdapat

Fungsi Bentuk Eksplisit Bentuk Implisit

Umum Linear Kuadrat Kubik

59

kebiasaan meletakkan variabel bebas pada sumbu horizontal ( absis ) dan variabel terikat pada sumbu vertikal ( ordinat ).

Pada penggambaran grafik fungsi linear, dengan memberikan nilai-nilai tertentu untuk variabel bebas x lalu disubstitusikan ke dalam persamaan fungsinya, akan diperoleh nilai-nilai variabel terikat y. Setelah diketahui nilai-nilainya ( x,y ) , dapat ditentukan koordinat titik-titiknya. Lalu hubungkan titik-titik tersebut hingga terbentuk garis lurus ( grafik fugsi linear ).

Pada persamaan lenear y = a + bx , konstanta a adalah penggal garis pada sumbu vertikal y, sedangkan koefisien b merupakan koefisien arah atau lereng ( slope ) garisnya. Jika a = 0 maka garisnya mempunyai penggal pada sumbu vertikal.

Apabila koefisien b positif ( b > 0 ), garis yang tercipta bergerak dari kiri-bawah ke kanan-atas, sedangkan bila koefisien b negatif ( b < 0 ) maka garisnya bergerak dari kiri-atas ke kanan-bawah.

Pada penggambaran fungsi non-linear tidak semudah fungsi linear. Namun prinsip penggambarannya sama, tetapi lebih sulit dalam

8

X 4 0

Gambar 2

Y

y = 8 2x 8

X 4

60

penghitungannya dan penggambarannya karena bentuk kurvanya tak seperti fungsi linear yang berbentuk garis lurus.

Berikut cara sederhana dalam membuat grafik fungsi non-linear terutama grafik fungsi kuadrat : Misalkan y = ax2 + bx + c 1. Carilah perpotongan grafik y dengan sumbu Y dan sumbu X.

Perpotongan sumbu X dengan memisalkan y = 0 dan perpotongan dengan sumbu Y dengan memisalkan x = 0

2. Carilah sumbu simetri grafik y. Sumbu simetri dapat dicari dengan

menggunakan rumus sederhana a

bx

2

3. Carilah titik puncak grafik y. Sebelum menentukan titik puncak, cari dahulu titik ekstrimnya atau titik y dengan menggunakan rumus

a

acbyeks 442 , 0min ayy imumeks , 0 ayy maksimumeks .

Setelah diperoleh nilai ekstrim, kemudian cari titik puncaknya aacbabyx 44,2, 2 4. Periksa apakah grafik terbuka ke atas atau terbuka ke bawah.

Grafik akan terbuka ke atas bila 0a , dan grafik akan terbuka ke bawah bila 0a .

5. Setelah perhitungan selesai, kemudian gambar kurva sesuai dengan informasi yang telah di dapat dari perhitungan.

D. Sifat Kurva Non-Linear Kurva non-linear mempunyai sifat-sifat tertentu. Melalui sifat-

sifat yang khas ini, dapat diketahui pola kurvanya. Sifat-sifat tersebut adalah penggal, simetri, perpanjangan, asimtot, dan faktorisasi. 1. Penggal

Penggal sebuah kurva adalah titik-titik potong kurva tersebut pada sumbu-sumbu koordinat. Penggal pada sumbu x dapat dicari

61

dengan memisalkan y = 0 dalam persamaan yang bersangkutan, sehingga nilai x dapat dihitung. Penggal pada sumbu Penggal pada sumbu y dicari dengan memisalkan x = 0 sehingga nilai y dapat dihitung.

2. Simetri Dua buah titik dikatakan simetrik terhadap sebuah garis

apabila garis tersebut berjarak sama terhadap kedua titik tadi dan tegak lurus terhadap segmen garis yang menghubungkannya . dua buah titik dikatakan simetrik terhadap titik ketiga apabila titik ketiga ini terletak persis di tengah segmen garis yang menghubungkannya kedua titik tadi.

Titik ( x,y) adalah simetrik terhadap titik : ( x,-y ) sehubungan dengan sumbu x , ( -x,y ) sehubungan dengan sumbu y, ( -x,-y ) sehubungan dengan titik pangkal.

Sebuah kurva akan simetrik terhadap sumbu x, jika untuk setiap titik ( x,y ) pada kurva itu titik simetri ( x,-y ) juga terdapat kurva tersebut , yakni jika penggantian y oleh y , dalam persamaannya menghasilkan persamaan yang ekivalen.

Sebuah kurva akan simetrik terhadap sumbu y, jika untuk setiap titik ( x,y ) pada kurva itu titik simetri ( -x,y ) juga terdapat pada kurva tersebut, yakni jika pengganti x oleh x, dalam persamaannya menghasilkan persamaan yang ekivalen.

Sebuah kurva akan simetrik terhadap pangkal, jika untuk setiap titik ( x,y ) pada kurva itu titik simetri ( -x,-y ) juga terdapat pada kurva tersebut, yakni jika penggantian x oleh x dan y oleh y dalam persamaannya menghasilkan persamaan yang ekivalen.

Secara ringkas dapat dirumuskan bahwa kurva dari suatu persamaan f(x,y) = 0 adalah simetris terhadap : Sumbu x jika f(x,y) = f(x,-y) = 0 Sumbu y jika f(x,y) = f(-x,y) = 0 Titik pangkal jika f(x,y) = f(-x,-y) = 0

62

3. Perpanjangan Titik titik (x,y) pada bidang sepasang sumbu silang (system

koordinat) sesungguhnya hanya mencerminkan koordinat-koordinat yang terdiri atas bilangan bilangan nyata. System koordinat tersebut tidak berlaku bagi titik titik koordinat yang mengandung bilangan khayal. Jadi, nilai nilai x untuk y yang berupa bilangan khayal tak dapat di tempatkan disitu, sehingga harus keluar dari bidang sepasang sumbu-silang tersebut.

Jika sebuah persamaan mengandung fariabel berpangkat genap, maka penyelesaian untuk variable yang bersangkutan akan melibatkan akar berpangkat genap. Konsekwensinya, perpanjangan kurva dari persamaan yang demikian boleh jadi terbatas, mengingat bilangan negative dibawah tanda akar akan selalu mengahasilkan bilangan khayal. Dalam menyelidiki terdapat atau tidaknnya batas perpanjangan sebuah kurva, sebaiknya ( jika dimungkinkan ) persamaanya dieksplisitkan untuk masing masing variable agar dapat diketahui batas perpanjangan pada masing masing fariabel tersebut. Patut di catat, kehadiran batas perpanjangan pada salah satu variable dapat dengan sendirinya membatasi perpanjangan pada variable lainya.

4. Asimtot Asimtot suatu kurva adalah sebuah garis lurus yang jaraknya

semakin dan semakin dekat dengan salah satu ujung kurva tersebut. Jarak itu sendiri tidak akan menjadi nol; atau dengan perkataan lain, garis lurus dan kurva tadi tidak sampai berpotongan. Jadi, suatu kurva dikatakan asimtotik terhadap sebuah garis lurus tertentu apabila salah satu ujung kurva semakin dan semakin mendekati garis yang bersangkutan.

Pembicaraan tentang asimtot tak dapat tidak melibatkan konsep limit. Secara umum, garis y = a +bx merupakan asimtot kurva y = f (x) jika f (x) senantiasa lebih kecil atau senantiasa lebih

63

besar dari a + bx dan semakin mendekati a + bx apabila x dan y diperpanjang tanpa batas. Dengan notasi limit, hal ini dituliskan sebagai bxaxf apabila yx,

5. Faktorisasi Faktorisasi fungsi maksudnya ialah menguraikan ruas utama

fungsi tersebut menjadi bentuk perkalian ruas ruas utama dari dua fungsi yang lebih kecil. Sebagai contoh, faktorisasi sebuah fungsi yang memiliki persamaan 0, yxf berarti membentuk sedemikian rupa sehingga diperoleh yxhyxgyxf ,,, .[catatan : f(x, y) disebut ruas utama dari 0, yxf ].

Dalam menghadapi persamaan 0, yxf seringkali, karena kompleksnya jalinan antara x dan y, kita mengalami kesukaran untuk menggambarkan kurvanya. Kesukaran demikian bias diatasi dengan jalan mengfaktorkan (menguraikan) fungsi tersebut, jika hal ini menguraikan ( tidak semua fungsi dapat difaktorkan). Gambar yang dihasilkan akan terdiri atas gambar dan fungsi fungsi yang lebih kecil. Jadi, jika f (x, y) = 0 dapat difaktorkan menjadi yxhyxg ,, maka gambar dari 0, yxf dan h(x, y) =0 penyelidikan mengenai faktorisasi adalah penting, mengingat sebuah persamaan kompleks yang dapat difaktorkan sulit digambarkan dengan tepat apabila tidak difaktorkan. ( persamaan kompleks disini ialah persamaan yang mengandung suku berbentuk hasil kali antara variable bebas dan terikat, misalnya x2 5 y2 + 3 xy = 0.

E. Contoh Soal Contoh 1. Gambarkan 142 xxxf Penyelesaian : o Cari Perpotongan grafik dengan sumbu Y dan X :

64

11040140 2 yxxxfyxmisalSumbuY 2,42,0

014140

21

22 xataux xxxxxfyymisalSumbuX 0,3,4,0,3,0,1,0adalahnnyaperpotongatitiktitikjadi

o Cari Titik Puncak dari f(x)

212 42 abxSimetriSumbu 514 114444 22 aacbyEkstrimNilai Jadi Sumbu simetri kurva pada x = 2 dan nilai ekstrimnya y = 5. Jadi Titik puncak Kurva pada titik ( 2,5 ).

o Tentukan posisi kurva ( terbuka ke atas atau terbuka ke bawah ). Karena a = -1 , maka kurva terbuka ke bawah.

o Gambar

4

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

2

5

X

Y

Gambar 3

65

Contoh 2. Selidiki apakah terdapat batas perpanjangan bagi kurva yang dicerminkan oleh persamaan 02522 yx

Penyelesaian untuk x : 225 yx Berapapun nilai y, bilangan di bawah tanda akar akan selalu positif sehingga x akan berupa bilangan nyata. Berarti perpanjangan kurva searah sumbu y tidak terbatas.

Penyelesaian untuk y : 252 xy Jika x < 5 atau x > -5 ( ringkasnya : |x| < 5 ), bilangan di bawah tanda akar akan negatif dan y akan menjadi bilangankhayal atau maya ( tidak nyata ). Berarti perpanjangan kurva searah sumbu x terbatas hanya sampai 5x

Jadi, dalam kasus ini, tidak terdapat batas perpanjangan bagi kurva untuk variabel x ( searah sumbu y ), tetapi terdapat batas perpanjangan untuk variabel y ( searah sumbu x ). Contoh 3. Selidiki apakah kurva dari persamaan 023 xyyx mempunyai asimtot vertikal dan/atau asimtot horizontal

Penyelesaian untuk x : y

yx 1 23

Jika y , maka 3x dan 3x Jika y , maka 3x dan 3x Berarti x = 3 merupakan asimtot

Penyelesaian untuk y : x

xy 3 2 Jika x , maka 1y dan 1y Jika x , maka 1y dan 1y Berarti y = -1 merupakan asimtot

66

Contoh 4. Faktorkan persamaan 02 22 yxyx lalu gambar kurvanya

Penyelesaian :

Faktorisasi persamaan 02 22 yxyx 02 02 22 yxyx yxyx

Sehingga gambar dari grafik 02 22 yxyx terdiri atas garis-garis lurus 0 yx dan 02 yx

x =

3

y = -1 X

Y

023 xyyx

Gambar 4

0 yx02 yxX

Y

02 22 yxyxGambar 5

67

F. Latihan Soal 1. Jika grafik fungsi qpxxy 2

Mempunyai titik puncak (1,2), nilai p dan q adalah 2. Selidiki apakah persamaan-persamaan berikut dapat di faktorkan : (a) 02 22 yxyx (c) 52 xyyx (b) 0422 yxyx (d) yxxyyx 222 3. Untuk persamaan 2 yxxy , (a) tentukan pengggal pada masing-masing sumbu (b) selidiki kesemitreian kurvanya (c) selidiki batas perpanjangan kurvanya (d) tentukan asimtot vertical dan /atau asimtot horizontal (e) jelaskan apakah persamaan tersebut dapat difaktorkan 4. Untuk persamaan 923 yx (a) tentukan penggal pada masing-masing sumbu (b) selidiki kesimetrian kurvanya (c) selidiki batas perpanjangan kurvanya 5. Gambarkan 442 yyyg !

68

HUBUNGAN LINEAR DAN NONLINEAR

A. Hubungan Linear 1. Pengertian

Hubungan linear merupakan bentuk yang paling dasar dan paling sering digunakan dalam analisis ekonomi. Hubungan sebab- akibat antara berbagai variabel ekonomi misalnya antara permintaan dan harga, antara investasi dan tingkat bunga dapat dengan mudah dinyatakan serta diterangkan dalam bentuk fungsi. Sesuai dengan namanya, setiap persamaan linear apabila digambarkan akan menghasilkan sebuah garis (garis lurus). Bentuk umum persamaan linear:

Y = a + bX - Nilai a adalah penggal garis pada sumbu vertikal - Nilai b adalah koefisien arah atau lereng garis, yang

mencerminkan besarnya tambahan nilai Y untuk setiap tambahan satu unit X

- Penggal a mencerminkan nilai Y pada kedudukan X=0

69

2. Pembentukan Persamaan Linear a. Cara Dwi Koordinat

Apabila diketahui titik A (2,3) dan titik B(6,5), sehingga penerapan rumusnya adalah sebagai berikut :

b. Cara Koordinat Lereng Dari sebuah titik dan suatu lereng dapat dibentuk ssebuah

persamaan linear yang memenuhi titik dan lereng tersebut. Apabila diketahui titik A(2,3) dan lereng garisnya 0,5, maka persamaan linear yang dipenuhi adalah :

c. Cara Penggal Lereng Sebuah persamaan linear dapat juga dibentuk jika diketahui

penggalnya pada salah satu sumbu dan lereng garis yang memenuhi persamaan tersebut. Y = a+bX a = penggal ; b = lereng

70

Apabila diketahui lereng garis Y = f (X) masing - masing adalah 4 dan 0,8, maka persamaan linearnya Y = 4 + 0,8X

d. Cara Dwi Penggal Persamaan linear dapat dibentuk apabila diketahui penggal

garis tersebut pada masing - masing sumbu. Apabila a dan c merupakannilai penggal pada masing-masing sumbu vertikal dan horizontal dari sebuah garis lurus, maka persamaan garisnya :

3. Hubungan Dua Garis Lurus Dua buah garis lurus akan berimpit apabila persamaan garis

yang satu merupakan kelipatan dari (proposional terhadap) persamaan garis yang lain. Garis Y1= a1+b1X akan berimpit dengan garis Y2= a2+b2X Jika ; - Y1 = nY2

71

- a1 = na2 - b1 = nb2

Dua buah garis lurus akan sejajar apabila lereng garis yang satu sama dengan lereng garis yang lain. Garis Y = a1+b1X akan sejajar dengan garis Y = a2+b2X jika ; - b1 = b2 - a1 a2

Dua buah garis lurus akan berpotongan apabila lereng garis yang satu tidak sama dengan lereng garis yang lain. Garis Y = a1+b1X akan berpotongan dengan garis Y =a2+b2X jika ; - b1 b2

72

Dua buah garis lurus akan SALING TEGAK LURUS apabila lereng garis yang satu merupakan kebalikan dari lereng garis yang lain dengan tanda yang berlawanan. Garis Y = a1+b1X akan tegak lurus dengan garis Y =a2+b2X jika ; - b1 = -1/b2 atau - b2 = -1

4. Pencarian Akar Akar Persamaan Linear Dapat dilakukan dengan 2 Cara, yakni dengan merode

Substitusi dan Eliminasi.

73

a. Metode Substitusi Dua persamaan dengan dua bilangan tertentu dapat

diselesaikan dengan cara menyelesaikan terlebih dahulu sebuah persamaan untuk salah satu bilangan tertentu, kemudian mensubsitusikannya ke dalam persamaan yang lain. Contoh : 2X +3Y =21 dan X + 4Y =23 Penyelesaian ; X + 4Y =23 di ubah menjadi X=23-4Y 2X +3Y =21 2(23-4Y)+3Y =21 46 8Y + 3Y = 21 5Y = 25 Y = 5 Kemudian 2X +3Y =21 2X +3(5) =21 2X = 6 X = 3

b. Metode Eliminasi Dua persamaan dengan dua bilangan tertentu dapat

diselesaikan dengan cara menghilangkan untuk sementara (mengeleminasi) salah satu bilangan tertentu yang ada, sehingga dapat dihitung bilangan yang lain Contoh : 2X +3Y =21 dan X + 4Y =23 Penyelesaian ;

Akar-akar persamaan tersebut X = 3 Y = 5

74

B. Hubungan Nonlinear 1. Identifikasi Persamaan Kuadrat

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 Jika B = 0 dan A = C 0 Lingkaran Jika B2 4AC < 0 Elips Jika B2 4AC > 0 Hiperbola Jika B2 4AC = 0 Parabola Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 Jika A = C 0 Lingkaran Jika A C, tanda sama Elips Jika A dan C berlawanan tanda Hiperbola Jika A=0 atau C=0, tapi tidak keduanya Parabola

2. Lingkaran Lingkaran didefinisikan sebagai tempat kedudukan atau

lokus titik-titik P(x,y) yang jaraknya r sampai suatu titik M yang dinamakan pusat lingkaran adalah sama. Persamaan lingkaran menjadi sederhana bila pusat lingkaran berimpit dengan asal 0. Berlaku hukum Pythagoras x2 + y2 = r2

75

h dan k bisa positif / negatif persamaan lingkaran : Ax2 + Ay2 + Dx + Ey + F = 0 A = C dan B = 0

3. Elips Elips didefinisikan sebagai lokus titik-titik yang jumlah

jaraknya hingga dua titik tertentu, yang dinamakan fokus F dan F adalah tetap. Persamaan elips menjadi sederhana bila dipilih asal 0 di pertengahan FF dan sumbu y tegak lurus FF. Misal : 0F = 0F = c, PF + PF = 2a dan a2 c2 = b2

Bila pusat lingkaran dipindahkan dari 0 ke M(h,k) , maka juga dengan hukum pythagoras diperleh persamaan lingkaran : (x h)2 + (y k)2 = r2 x (x h), y (y k) Dapat ditulis x2 + y2 - 2hx - 2ky + (h2+k2+r2)=0

xa

cayxc

cxyxcaacx

yxc

yxcayxc

a PF PF a PF PF

b cdan aa PF c, PF F F

22

222

222

2222

222

)(

2)(442dikanandan dikiri

dikurangidan an dikuadratk)(2)(

22

200

1 -- dengan dibagi

1

22 :andikuadratk

2

2

2

2222

22222

2

22

22222

by

a

xbca

cayxa

c

xa

ccxayxcxc

76

Adapun AA adalah sumbu mayor dan BB adalah sumbu minor elips. Bila elips dipindahkan sejajar sehingga pusatnya tidak lagi di 0. titik M (h,k) maka :

Bentuk umum persamaan elips : Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

4. Hiperbola Hiperbola ialah tempat kedudukan titik-titik yang perbedaan

jaraknya terhadap dua fokus selalu konstan. Sebuah hiperbola mempunyai dua sumbu simetri yang saling tegak lurus dan sepasang asimtot.

5. Parabola Parabola ialah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak

sama terhadap sebuah titik fokus dan sebuah garis lurus yang disebut direkstris. Persamaan parabola menjadi sederhana bila dipilih asal 0 di M dan FT = sumbu y. Dengan hukum pythagoras :

x2 + (y x)2 = (y + x)2 x2 2yp = 2yp x2 = 4py y = px2 = ax2

77

C. Latihan Soal Penerapan Hubungan Linear Dan Non Linear 1. Soal Dan Penyelesaian

a. Hubungan Dua Garis Lurus (Penerapan Ekonomi) Diketahui: - Fungsi Permintaan P=15 Q - Fungsi Penawaran P= 3+0,5Q 1). Carilah Harga Keseimbangan 2). Lukis Kurvanya

78

b. Pengaruh Pajak Spesifik Terhadap Keseimbangan Pasar Jika dari kondisi pasar (sebelumnya) Fungsi Permintaan

P=15 Q Fungsi Penawaran P= 3+0,5Q dikenakan pajak sebesar 3 satuan per unit. Berapa harga dan jumlah keseimbangan setelah pajak? Penyelesaian ; Harga dan jumlah keseimbangan Sebelum Pajak ; P=7 dan Q=8 (penyelesaian sebelumnya) Penawaran sebelum pajak: P= 3+0,5Q Penawaran sesudah pajak: P= 3+0,5Q+3 P=6+0,5Q, sehingga Q=-12+2P Persamaan permintaan tetap: P=15-Q _Q=15-P Keseimbangan: Qd=Qs 15-P=-12+2P 3P=27, _ P=9 Q=15-P, _ Q=15-9, maka diperoleh Q=6

Kurva Setelah Pajak ;

2. Soal Latihan Hitung harga dan kuantitas imbang (keseimbangan) kurva

permintaan dan penawaran berikut : S = p2 +2p 3 D = -p2 + 9

79

BAB IV DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA

A. Kuosien Diferensi Dan Derivatif Jika dan terdapat tambahan variable bebas sebesar , maka bentuk persamaannya dapat dituliskan menjadi;

)

Dimana adalah tambahan , dan adalah tambahan berkenaan dengan adanya tambahan . Jadi timbulkarena adanya . Apabila ruas kiri dan ruas kanan persamaan terakhir diatas sama-sama dibagi , maka diperoleh:

Bentuk inilah yang disebut dengan hasil bagi perbedaan atau kuosien diferensi (difference quotient), mencerminkan tingkat perubahan rata-rata variabel terikat terhadap variabel bebas Contoh: Tentukan kuosien diferensi dari

80

Proses penurunan sebuah fungsi, disebut juga proses pendiferensian atau diferensiasi. Contoh: jika Maka kuosien diferensinya Dan turunan fungsinya

Cara menuliskan turunan dari suatu fungsi dapat dilakukan dengan beberapa macam notasi atau lambing. Jika fungsi aslinya maka turnunannya dapat dituliskan dengan notasi-notasi:

Semua cara penulisan di atas sama artinya dan maksudnya, yaitu melambangkan turunan dari terhadap . Dalam hal sangat kecil. itu sendiri. Sehingga:

Dengan kata lain, turunan dari fungsi yang bersangkutan adalah kuosien diferensinya sendiri. Sedangkan kuosien diferensi tak lain adalah lereng (slope) dari garis atau kurva .

Dengan berbagai macam notasi turunan fungsi yang ditunjukan diatas, yang paling lazim digunakan ialah bentuk (dibaca: deye deeks, dan bukan deye bagi deeks !!).

81

B. Kaidah-Kaidah Diferensiasi Secara umum, membentuk turunan sebuah fungsi dapat

dilakukan dengan cara terlebih dahulu menemukan kuosien diferensinya, kemudian menentukan limit kuosien diferensi tersebut untuk pertambahan variabel bebas mendekati nol (0). Jelasnya, langkah-langkahnya sebagai berikut: 1. Andaikan fungsi aslinya ialah 2. Masukkan nama tambahan dan tambahan memperoleh 3. Manipulasikan untuk memperoleh 4. Bagi kedua ruas dengan sehingga diperoleh kuosien

diferensinya 5. Tentukan limitnya untuk sehingga diperoleh turunan

fungsinya Prosedur diatas jelas membosankan dan cenderung

membuahkan hasil yang tak seharusnya, terutama untuk funsi-fungsi yang tidak sederhana. Berikut ini disajikan sejumlah kaidah yang dapat digunakan untuk menurunkan berbagai bentuk fungsi tertentu.

1. Diferensiasi konstanta. Jika di mana adalah konstanta, Maka; Contoh:

82

2. Diferensi fungsi pangkat. Jika , dimana adalah konstanta,

Maka; Contoh:

3. Diferensi perkalian konstanta dengan fungsi. Jika dimana Maka; Contoh:

4. Diferensi pembagian konstanta dengan fungsi.

Jika dimana Maka; Contoh: maka =

5. Diferensiasi penjumlahan (pengurangan) fungsi. Jika di mana dan , Contoh: misalkan, =

83

6. Diferensiasi perkalian fungsi. Jika dimana dan Maka;

Contoh:

7. Diferensi pembagian fungsi. Jika , dimana dan Maka; Contoh:

8. Diferensiasi fungsi komposit. Jika sedangkan dengan kata lain , Maka Contoh: misalkan sehingga

84

9. Diferensial fungsi berpangkat. Jika di mana dan adalah konstanta, Maka Contoh: misalkan

Kaidah ke-9 ini mirip dengan kaidah ke-8. Untuk kaidah ke-9 ini terdapat pula kasus khusus, yakni jika sehingga , maka = (yang tak lain adalah kaidah ke-2).

10. Diferensi fungsi logaritmik.

Jika

Contoh:

11. Diferensiasi fungsi komposit-logaritmik.

Jika di mana maka Contoh: Misalkan

12. Diferensiasi fungsi komposit-logaritmik-berpangkat. Jika di mana dan adalah konstanta, Maka

85

Contoh: Misalkan ( )

13. Diferensiasi fungsi Logaritmik-Napier.

Jika maka

Contoh: Kaidah ini merupakan kasus khusus dari kaidah ke-10, yakni dalam hal logarimanya berbasis Ingat, bahwa dan Jadi, jika maka . Kaidah ke-14 dan ke-15 berikut ini masing-masing merupakan kasus khusus dari kaidah ke-11 dan ke-12, untuk alas an yang sama.

14. Diferensi fungsi komposit-Logaritmik-Napier.

Jika di mana maka Contoh: Misalkan ( )

15. Diferensi fungsi Komposit-Logaritmik-Napier-Berpangkat. Jika di mana dan adalah konstanta, Maka

86

Contoh: Misalkan ( )

16. Diferensiasi fungsi eksponensial.

Jika di mana adalah konstanta, maka Contoh: Dalam hal maka juga, sebab

17. Diferensiasi fungsi komposit-eksponensial.

Jika di mana maka Contoh: misalkan

= Kasus khusus: dalam hal maka Kaidah ke-16 sebelumnya sesungguhnya juga merupakan kasus khusus dari kaidah ke-17 ini, yakni dalam hal .

18. Diferensi fumgsi kompleks. Jika di mana dan , Maka Penentuan dari ini dapat pula dilakukan dengan jalan melogaritmakan fungsi atau persamaannya, kemudian mendiferensiasikan masing-masing ruasnya. Perhatikan:

87

mengingat

Berbagai fungsi aljabar yang kompleks bisa lebih mudah dideferensiasikan dengan langkah-langkah seperti diatas. Contoh:

Misalkan = 3

19. Diferensiasi fungsi balikan. Jika dan adalah fungsi-fungsi yang saling berbalikan ( ), maka

Contoh: =

20. Diferensiasi implicit. Jika merupakan fungsi implicit sejati (tidak mungkin dieksplisitkan), dapat diperoleh dengan mendiferensiasikannya suku demi suku, dengan menganggap sebagai fungsi dari

88

Contoh: 4 tentukan

C. Hubungan Antara Fungsi dan Derivatifnya Dengan mengetahui besarnya harga dari turunan pertama dan

turunan kedua sebuah fungsi, akan dapat dikenali bentuk gambar dari fungsi tersebut.

Berdasarkan kaidah diferensial, dapat disimpulkan bahwa turunan dari suatu fungsi berderajat "n" adalah sebuah fungsi bererajat "n-1". Dengan perkataan lain, turunan dari suatu fungsi berderajat 3 adalah sebuah fungsi berderajat 2; turunan dari fungsi berderajat 2 adalah sebuah fungsi bererajat 1; turunan dari fungsi berderajat 1 adalah sebuah fungsi berderajat 0 alias sebuah konstanta; dan akhirnya turunan dari sebuah konstanta adalah 0. Contoh: y= f(x) = 1/3 - 4 + 12x 5 ... fungsi kubik y= dy/dx = - 8x + 12 fungsi kuadrat y= y/d = 2x 8 fungsi linear y= y/d =2. konstanta

1. Fungsi Menaik dan Fungsi Menurun Derivatif pertama dari sebuah fungsi non-linear dapat digunakan untuk menentukan apakah kurva dari fungsi yang bersangkutan menaik ataukah menurun pada kesdudukan tertentu. Dalam kasus khusus, derivatif pertama dapat pula menunjukan titik ekstrim sebuah fungsi non-linear.

89

Contoh: Tentukan apakah y= f(x) = 1/3 - 4 + 12x 5 merupakan

fungsi menaik atau menurun pada x = 5 dan x = 7. Selidiki pula untuk x = 6! f(x) = - 8x + 12 f(x) = 8(5) + 12 = -30, berarti y= f(x) menaik pada x = 7 f(x) = 8(6) + 12 = 0, berarti y= f(x) berada di titik ekstrim pada x = 6; karena f(x)6, titik eksrim pada x=6 adalah titik minimum.

2. Titik Ekstrim Fungsi Parabolik Dalam hal y = f(x) adalah sebuah fungsi parabolik, derivatif pertama berguna untuk menentukan letak titik ekstrimnya, sedangkan derivatif kedua bermanfaat untuk mengetahui jenis titik ekstrim yang bersangkutan. Parabola y = f(x) mexcapai titik ekstrim pada y' = 0 jika y" < 0 : bentuk parabolanya terbuka ke bawah, titik

ekstrimnya adalah titik maksimum jika y" > 0 : bentuk parabolanya terbuka keatas, titik

ekstrimnya adalah titik minimum Contoh: y= f(x)= - 8x + 12 fungsi kuadrat y= f(x)= d y/dx= 2x 8 fungsi linear y = f(x)= y/d = 2 konstanta titik ekstrim y=0 y= 2x 8 = 0 y= - 8x + 12 = 0 2(4)- 8= 0 - 8(4) + 12 = 0 8 8 = 0 16 32 + 12 = -4 titik ekstrim (4,-4)

90

titik fungsi linear y= 2x 8 = 0 2(x 8) = 0 2 = 0 (x 4) = 0 x = 4

titik fungsi linear adalah 4 konstanta

y = 2

3. Titik Ekstrim dan Titik Belok Fungsi Kubik Titik maksimum dan titik minimum suatu fungsi kubik (jika ada, serta titik beloknya, dapat dicari melalui penelusuran terhadap derivatif pertama dan derivatif kedua dari fungsinya. Derivatif pertama berguna untuk menentukan letak titik - titik ekstrimnya, sedangkan derivatif kedua bermanfaat untuk mengetahui jenis titik - titik ekstrim yang bersangkutan dan menentukan letak titik beloknya.

Fungsi kubik y = f(x) mencapai titik ekstrim pada y = 0 Jika y0 pada y maka titik ekstrimnya adalah titik minimum Fungsi kubik y= f(x) berada di titik belok pada y=0

91

D. Penerapan Ekonomi

1. Elastisitas Elastisitas dari suatufungsi y=f(x) berkenaan dengan x

dapat didefinisikan dengan :

Bahwa elastisitasy=f(x) merupakan limit dari rasio antara perubahan relative dalam y terhadap perubahan relative dalam x, untuk perubahan x yang sangat kecil atau mendekati nol.

2. ElastisitasPermintaan Ialah perubahan jumlah barang yang diminta akibat

perubahan harga. Merupakan rasio antara presentase perubahan jumlah barang yang diminta terhadap presentase perubahan harga. Jika dinyatakan dengan Qd= f(P) maka elastisitas permintaannya:

Di mana tak lain adalah atau f(P) Permintaan suatu barang akan dikatakan bersifat elastic apabila | |> 1, elastik-unier jika | | = 1, dan inelastic bila| |< 1.

3. ElastisitasPenawaran Ialah besarnya perubahan jumlah barang yang ditawarkan

karena perubahan harga. Merupakan rasio antara presentase perubahan jumlah barang yang ditawarkan terhadap presentase

92

perubahan harga. Jika dinyatakan dengan , maka elastisitas penawarannya:

Di mana /dP tak lain adalah atau f(P) Penawaran suatu barang dikatakan bersifat elastic apabila > 1, elastic-uniter jika = 1, dan inelastic bila < 1.

4. ElastisitasProduksi Ialah besarnya perubahan jumlah output yang dihasilkan

akibat perubahan jumlah input. Merupakan rasio antara presentase perubahan jumlah keluaran terhadap presentase perubahan jumlah masukan. Jika P= jumlah produk yang dihasilkan, X= jumlah factor produksi yang digunakan, dinyatakan dengan P=f(X), maka elastisitas produksinya:

Dimana dP/dX adalah produk marjinal dari X [P atau f(X)]

E. Analisis Keuntungan Maksimum Tingkat produksi yang memberikan keuntungan maksimum,

atau menimbulkan kerugian maksimum, dapat diketahui dengan pendekatan diferensial sbb:

R = r(Q) C = c(Q)

93

ket: R=penerimaan total MR=penerimaan marjinal C=biaya total MC=biaya marjinal Q=jumlah yang dihasilkan =keuntungan

94

F. Penerimaan pajak maksimum Telah diketahui rumus penawaran suatu barang ditunjukkan

oleh persamaan P = a + bQ, dan pemerintah mengenakan pajak spesifik sebesar atas setiap unit barang yang dijual, maka penawaran sesudah pajak:

Apabila fungsi permintaan akan barang dicerminkan oleh maka dengan mensubstitusikan P dari fungsi permintaan ini ke dalam persamaan pajak per unit di atas, diperoleh:

Pajak total yang diterima oleh pemerintah adalah besarnya pajak per unit dikalikan jumlah barang yang terjual di pasar (jumlah keseimbangan) sesudah pengenaan pajak tersebut. Dengan notasi matematis:

Berdasar bentuk persamaan persamaan terakhir yang kuadrat-parabolik ini, kita dapat menentukan pada tingkat keterjualan berapa unit barang (Q) pemerintah akan memperoleh penerimaan maksimum dari rencana pajak-spesifik yang akan dikenakannya.

Pajak total yang diterima pemerintah:

T maksimum jika , yakni pada

95

Ket: t = pajak P= harga Q= jumlah

G. Efek pemajakan bagi penunggal Pajak, disamping sebagai sumber pendapatan negara pajak

juga m