Bilangan RealBerbagai Sistem BilanganSistem matematika adalah himpunan unsur-unsur dengan operasi yang didefinisikan. Operasi-

operasi yang telah kita kenal antara lain:  ,  dan logaritma. Sedangkan sebagian himpunan dalam aljabar adalah himpunan-himpunan bilangan.Himpunan-himpunan bilangan secara skematis terlihat seperti pada bagan berikut:

Himpunan-himpunan bilangan secara skematis terlihat seperti pada bagan berikut:

Gambar 1

Pengertian Bilangan Real ( )Apakah bilangan real itu dan apa sifat-sifatnya? Untuk menjawabnya, kita mulai dengan beberapa sistem bilangan yang sederhana berikut ini.

Bilangan-bilangan bulat dan rasionalDiantara sistem bilangan yang paling sederhana adalah bilangan-bilangan asli ( = Natural),1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …

Dengan bilangan ini kita dapat menghitung: buku-buku kita, teman-teman kita, uang kita, dan lain sebagainya. Jika kita gandengkan negatifnya dan nol, kita akan peroleh bilangan-bilangan bulat ( = dari bahasa Jerman, Zahlen):…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …

Bila kita mencoba mengukur panjang, berat benda, atau tegangan listrik, bilangan-bilangan bulat tidak akan memadai. Bilangan ini terlalu kurang untuk memeberikan ketelitian yang cukup dalam sebuah pengukuran. Kita dituntut untuk juga mempertimbangkan hasil bagi (rasio) dari bilangan-bilangan bulat, yaitu bilangan-bilangan seperti:

Bilangan-bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk  , dimana mdan n adalah bilangan bulat

dan  , disebut bilangan-bilangan rasional ( = Quotient ).Apakah bilangan rasional berfungsi mengukur semua panjang? Fakta yang mengejutkan ini ditemukan pertama kali oleh orang Yunani kuno beberapa abad sebelum masehi. Mereka

memperlihatkan bahwa meskipun   merupakan panjang sisi miring sebuah segi tiga siku-siku dengan sisi 1 , bilangan ini tidak dapat dituliskan sebagai suatu hasil bagi dua bilangan bulat.

Jadi   adalah suatu bilangan tak rasional (irasional). Demikian juga  .Jika kita belum terbiasa untuk bisa membedakan bilangan rasional dan bilangan irasional secara langsung, maka ada satu ciri khusus yang yang bisa kita jadikan pedoman untuk membedakan keduanya.

Sekarang, coba periksa dengan menggunakan kalkulator nilai dari  .Akan lebih bagus jika kalkulator yang digunakan memiliki digit lebih banyak dibanding kalkulator biasa, atau Anda bisa menggunakan kalkulator yang tersedia di dalam setiap program windows di komputer Anda, yang ketelitiannya bisa mencapai 34 digit.

Setelah diperiksa, diperoleh sebagai berikut:

Apabila kita perhatikan, dua bilangan yang pertama yaitu   dan  memiliki bentuk desimal yang bilangan-bilangannya berulang dengan urutan tertentu. Sedangkan dua bilangan terakhir

yaitu   dan   (pi) bentuk bilangan desimalnya tidak berulang (sembarang).Coba periksa juga bilangan-bilangan lainnya, apakah termasuk bilangan rasional ataukah irasional!

Bilangan-bilangan realSekumpulan bilangan (rasional dan irasional) yang dapat mengukur panjang, bersama-sama dengan negatifnya dan nol kita namakanbilangan-bilangan real. Atau dengan kata lain, bilangan real adalah bilangan yang dapat berkoresponden satu-satu dengan sebuah titik pada garis bilangan. Pada garis bilangan tersebut terdapat titik asal yang diberi lambang 0 (nol) sebagai titik awal untuk mengukur jarak ke arah kanan atau kiri. Setiap titik pada garis bilangan mempunyai lambang yang tunggal, disebut koordinat titik, dan garis bilangan yang dihasilkan diacu sebagai garis real. Perhatikan gambar!

Kedudukan bilangan real dalam sistem bilangan dapat kita lihat dalam diagram Gambar 1.

PertanyaanDengan mengetahui anggota dari masing-masing himpunan bilangan yang termasuk kelompok bilangan real, bagaimanakah hubungan masing-masing himpunan bilangan asli, bilangan cacah, bilangan bulat, bilangan rasional, bilangan real, dan bilangan kompleks jika kita gambarkan dalam diagram venn?

Operasi pada Bilangan RealOperasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagiana) Operasi penjumlahan

Contoh:

1. 

2. 

3. 

4. 

b) Operasi pengurangan

Contoh:

1. 

2. 

3. -6 – 4 = -6 + (-4) = -10 $

c) Operasi perkalian

Contoh:

1. 

2. 

3. 

d) Operasi pembagian

Contoh:

Pengubahan pecahan ke desimal, desimal ke persen, dan sebaliknyaa) Mengubah Pecahan Biasa ke Desimal

Contoh:

b) Mengubah Pecahan Desimal ke Persen

Contoh:

c) Mengubah persen ke pecahan dan sebaliknya

Contoh:

Nyatakan ke dalam pecahan atau ke dalam persen!

Menghitung persentasea) Komisi

Komisi adalah pendapatan yang besarnya tergantung pada tingkat penjualan yang dilakukanContoh:

Seorang salesman akan mendapatkan komisi sebesar 15 % jika ia mampu menjual barang senilai Rp. 2.000.000,00. tentukan besarnya komisi yang diterima?

Jawab:

Komisi = 15 % x Rp. 2.000.000

 Jadi besarnya komisi yang diterima oleh salesman itu sebesar. Rp. 300.000,00b) Diskon

Diskon adalah potongan harga yang diberikanContoh:

Menjelang miladnya, sebuah toko serba ada memberikan diskon sebesar 25% untuk semua produk. Jika kita berbelanja senilai Rp. 800.000,00, berapa kita harus membayar?Jawab:

Diskon = 25 % x Rp. 800.000,00

Jadi, kita harus membayar sebesar:Rp. 800.000,00 – Rp. 200.000,00 = Rp. 600.000,00

c) Laba dan rugi

Laba diperoleh jika harga penjualan lebih dari harga atau biaya pembelian. Dirumuskan sebagai berikut:

Rugi diderita jika harga penjualan kurang dari harga atau biaya pembelian. Rumusannya sebagai berikut:

Contoh:

Sebuah barang dibeli dengan harga Rp. 2.000.000,00, dan di jual dengan harga Rp. 2.400.000,00. Hitunglah persentase keuntungan dari harga pembelian dan dari harga penjualan!

Jawab:

Laba = Rp. 2.400.000,00 – Rp. 2.000.000,00 = Rp. 400.000,00

Persentase keuntungan (laba) dari harga beli:

Persentase keuntungan (laba) dari harga penjualan:

Sifat-sifat Operasi Bilangan RealWaktu SMP kita sudah mengenal operasi-operasi yang berlaku pada bilangan real berikut sifat-sifatnya, dan sekarang kita tengok kembali sifat-sifat yang berlaku pada bilangan real dengan operasi “penjumlahan” dan “perkalian”.

Untuk setiap     , beralaku sifat-sifat berikut;Penjumlahan:1. Sifat tertutup pada penjumlahan;

2. Sifat komutatif pada penjumlahan

3. Sifat asosiatif pada penjumlahan

4. Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan

5. Sifat identitas pada penjumlahan (0 adalah elemen identitas atau elemen netral)

6. Sifat invers pada penjumlahan

Perkalian:1. Sifat tertutup pada perkalian

2. Sifat komutatif pada perkalian

3. Sifat asosiatif pada perkalian

4. Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan

5. Sifat identitas pada perkalian (1 adalah elemen identitas perkalian)

6. Sifat invers pada perkalian tidak berlaku, sebab 0 tidak mempunyai invers.

(untuk  )

(tidak ada/tidak didefinisikan)Catatan:Untuk selanjutnya kita sepakati jangan sekali-kali membagi dengan nol, karena kita tidak mungkin membuat pengertian dari lambang-lambang iniRelated posts:

1. Matriks- Bagian 12. Memangkatkan Bilangan dengan Digit Terakhir 53. Trik Perkalian Sebelas4. Empat Sama dengan Lima5. Log Negatif Satu Nol

Sifat – Sifat Bilangan Riil Dalam Operasi Hitung

Sifat – Sifat Bilangan Riil Dalam operasi Hitung

1.    Ketertutupan

Suatu bilangan asli jika  dilakukan operaso tambah, hasilnya adalah bilangan asli. Demikian juga

dengan operasi kali pada bilangan asli, hasilnya adalah bilangan asli juga. Inilah yang dinamakan

dengan sifat tertutup. Dapat disimpulkan bahwa bilangan asli tertutup  pada operasi tambah dan

operasi kali, tetapi tidak tertutup pada operasi kurang dan operasi bagi pada bilangan asli

Pada sistem bilangan riil, operasi hitung tambah, kurang , kali dan bagi memiliki sifat

ketertutupan, kecuali i unsur nol dalam operasi bagi.

2.    Komutatif (Pertukaran)

Jika bilangan riil a dan b dijumlahkan, hasilnya akan sama walaupun tempat atau posisi bilangan

itu ditukar.

a + b = b + a

sifat ini berlakku juga untuk perkalian, tetapi tidak berlaku pada operasi pengurangan dan

pembagian

3.    Asosiatif (Pengelompokan)

Untuk setiap a, b dan c bilangan riil, berlaku:

(a + b) + c = a + (b + c)

Sifat Asosiatif ini berlaku juga untuk perkalian. Sama halnya dengan sifat komutatif, sifat

asosiatif tidak berlaku pada operasi pembagian dan pengurangan

4.    Distributif atau Penyebaran

Untuk setiap a, b, dan c bilangan riil, berlaku sifat berikut:

a x (b + c) = (a x b) + (a x c)

atau

(a x b) + c = (a x c) + (b x c)

5.    Elemen Satuan

Elemen satuan disebut unsur identitas, sebuah unsur bilangan yang dioperasikan dengan bilangan

lain. Hasilnya adalah bilangan itu sendiri. Pada operasi penambahan bilangan riil berlaku:

a + 0 = 0 + a = a

atau

a x 1 = 1 x a = a

untuk identitas operasi tambah (+), yaitu 0 dan 1 merupakan unsur identitas pada operasi kali (x)

6.    Invers

Sebuah unsur bilangan jika dioerasikan dengan bilangan lain akan menghasilkan sebuah unsur

identitas. Jika a adalah bilangan riil berlaku

a + (-a) = (-a) + a = 0

invers penjumlahan dari a adalah –a

sifat-sifat operasi hitung sangat berguna untuk memahami dan melakukan operasi hitung pada

bilangan bulat yang akan anda pelajari berikut ini.

CONTOH

PENJUMLAHAN

3 + 4 = 7 berlaku sifat komutatif karena 3 + 4 = 4 + 3 =7

((-2) + 3) + 1 = 2 berlaku sifat asosiatif karena ((-2) + 3) + 1 =(- 2) + (3 + 1) = 2

PENGURANGAN

7 – 9 = -2 tidak berlaku sifat komutatif karena 7 – 9 tidak sama dengan 9 – 7

(2 – 3) -2 = -3 tidak berlaku sifat asosiatif karena (2 – 3) -2 = 2 - (3 - 2)

PERKALIAN

(-3) x 3 = -9, berlaku sifat komutatif (-3) x 3 = 3 x (-3) = -9

(2 x 4) x (-2) = -16, berlaku sifat asosiatif karena (2 x 4) x (-2) = 2 x (4 x (-2)) = -16

3 x (1 + (-2)) = (3 x 1) + (3 x -2) = -3, berlaku sifat distributif (x) terhadap (+)

PEMBAGIAN

Seperti halnya dengan operasi pengurangan,sifat asosiatif dan komutatif tidak berlaku untuk

operasi pembagian ini.