Belajar Memahami Logika Permutasi Dan Kombinasi:

Mari berlatih lagi. Berikut adalah kiriman soal test masuk UI. (Terima kasih kepada Pak Hussain atas soalnya).

2). A dan B pergi menonton konser musik di suatu Stadion yang mempunyai 8 pintu. A dan B masuk dari pintu yang sama, tetapi keluar dari pintu yang berbeda. Berapa banyak cara yang dapat mereka lakukan untuk keluar dari Stadion ini ? (dikutip dari test masuk UI thn 2010 (kode 308).

Jawab:Banyak cara untuk keluar = 8×7 = 56 (Selesai).

Catatan:Soal di atas menantang siswa untuk memahami konsep permutasi dan kombinasi. Bagi yang memahami rumus permutasi mereka dapat menghitung dengan,

8P2 = 8!/(8-2)! = 8!/6! = 8.7 = 56 (Selesai).

Tetapi memahami rumus permutasi dan kombinasi tidaklah selalu mudah. Seorang siswa perlu memahami berbagai macam situasi dengan tepat.

Logika permutasi dan kombinasi justru dapat membantu siswa pada tahap ini.

Misal 8 pintu stadion kita beri tanda sebagai pintu 8, 7, …. 1.A dan B harus keluar dari pintu yang berbeda. (Pintu yang digunakan A berbeda dengan B; Penafsiran lain adalah pintu keluar berbeda dengan pintu masuk)

Misal,A keluar dari pintu 8 maka B memiliki 7 pilihan pintu yaitu pintu 7, 6,…1. (7 cara)A keluar dari pintu 7 maka B memiliki 6 pilihan pintu yaitu pintu 6, 5,…1. (6 cara)…

Dan seterusnya.Banyaknya cara adalah = 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28

Mari kita hitung kebalikannya,B keluar dari pintu 8 maka A memiliki 7 pilihan pintu yaitu pintu 7, 6,…1. (7 cara)

B keluar dari pintu 7 maka A memiliki 6 pilihan pintu yaitu pintu 6, 5,…1. (6 cara)…Dan seterusnya.Banyaknya cara adalah = 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28

Sehingga banyak cara seluruhnya = 28 + 28 = 56 (Selesai).

Logika berpikir yang baru kita pakai ini cukup menantang akal. Bahkan siswa tidak perlu bingung dengan konsep permutasi atau kombinasi. Logika ini juga sangat bagus bila kita sinergi kan dengan logika deret.

Mari kita coba,

8 = n7 = n-1

7 + 6 + … + 1 = (n-1) + (n-2) + …+1 = [(n-1) + 1](n-1)/2 = n(n-1)/2

Karena kita menghitung 2 kali, kebalikannya juga maka

[n(n-1)/2] x 2 = n(n-1)

Rumus terakhir ini konsisten dengan rumus permutasi nP2 = n!/(n-2)! = n(n-1).

Bagaimana dengan kombinasi?

Tentu banyaknya kombinasi kurang (lebih sedikit) dari banyaknya permutasi. Misal untuk pertandingan catur adalah kombinasi. A bertanding B sama artinya dengan B bertanding A. Kita hitung sebagai 1 kombinasi. Jadi kita tidak perlu menghitung kebalikannya.

(n-1) + (n-2) + … + 1 = n(n-1)/2

Rumus di atas juga konsisten dengan rumus kombinasi

nC2 = n!/[(n-2)!2!] = n(n-1)/2

Sesuai saran Paman APIQ, mari berlatih lagi. Kembali ke contoh soal test masuk UI di atas.

a) Berapa banyak cara masuk?

Jawab: 8

Karena A dan B harus masuk dengan pintu yang sama maka mereka dapat kita anggap sebagai 1 tim. Pilihan cara mereka masuk adalah melalui pintu 8 atau 7 atau….1 = 8 cara (Selesai).

Kita juga dapat menghitung dengan rumus permutasi atau kombinasi,

8P1 = 8!/(8-1)! = 8!/7! = 8 (Selesai).

b) Berapa banyak cara masuk dan keluar?

Jawab: 8 x 56 = 448

Karena banyak cara masuk = 8banyak cara keluar = 56

Maka banyak cara masuk dan keluar adalah 8 x 56 = 448.Cara memasangkan dengan mengalikan seperti di atas kita kenal sebagai Cartesian Product.