1

Permutasi & Kombinasi

2

PERMUTASI

Permutasi r unsur dari n unsur yang tersedia(ditulis Pr

n atau nPr)

banyak cara menyusun r unsur yang berbeda diambil dari sekumpulan n unsur yang tersedia.

3

Permutasi

4

Permutasi Menyeluruh

Permutasi Sebagian

Permutasi keliling

Permutasi Data Berkelompok

Permutasi Menyeluruh

Peyusunan semua objek ke dalam

suatu urutan tertentu

Rumus: nPr = n!

5

Metode permutasi menyeluruh

Metode ruang

Diagram Pohon

Contoh:

Cara menyusun 3 kalkulator A,B dan

C secara teratur di atas sebuah

meja

nPr = n! = 3! = 6 cara

Permutasi Menyeluruh

6

Metode permutasi menyeluruh

Metode ruang

Diagram Pohon

ABC BAC CAB

ACB BCA CBA

pohon

AB C

C B

BA C

C A

CA B

B A

)!rn(

!n

Permutasi Sebagian

Penyusunan sebagian objek ke

dalam suatu urutan tertentu

Rumus: nPr =

7

8

Contoh 1

Banyak cara menyusun pengurus

yang terdiri dari Ketua, Sekretaris,

dan Bendahara yang diambil dari

5 orang calon adalah….

9

Penyelesaian•banyak calon pengurus 5 n = 5

•banyak pengurus yang akan

dipilih 3 r = 3

nPr = =

5P3 = =

= 60 cara

)!rn(

!n

)!35(

!5

!2

!5

!2

5.4.3!.2

10

Contoh 2

Ada 3 penghargaan (pengajaran,

penelitian, dan pengabdian

masyarakat) yang akan diberikan

kepada 25 dosen di suatu jurusan di

suatu PTN. Jika satu dosen hanya

dapat menerima 1 penghargaan,

berapa banyak kemungkinan

pemilihan yang ada?

11

Penyelesaian•banyak angka = 25 n = 25

•bilangan terdiri dari 3 angka

r = 3

nPr = =

25P3 = =

= 13.800 cara

)!rn(

!n

)!325(

!25

!22

!25

!22

25.24.23!.22

Permutasi keliling Permutasi suatu kelompok objek

yang membentuk suatu lingkaran

Rumus : ( n – 1)!

Contoh: Misalkan ada 4 orang duduk di kursi

dengan meja berbentuk lingkaran, berapa

jumlah komposisi yang mungkin?

Jawab : (4 -1)! = 3! = 6

A

B

C

D

A

C

D

B

A

D

C

B

A

B

D

C

A

C

B

D

A

D

B

C

PERMUTASI DATA BERKELOMPOK

Apabila suatu data kelompok yang terdiri dari n obyek di mana n1 merupakan kumpulan objek yang sama (tidak dapat dibedakan), n2 adalah kumpulan objek lain yang sama, dst, maka

Permutasi:

Contoh:

Ada berapa carakah kata “televisi” dapat dipermutasikan?

!,...,!!

!

,...,,2121 kk nnn

n

nnn

n

Jawab :

Kata “televisi” terdiri dari 8 huruf yaitu 1t, 2e, 1l, 1v, 2i, dan 1s.

Dengan demikian n1 = 1, n2 = 2, n3 = 1, n4 = 1, n5 = 2 dann6 = 1 dan permutasi dari ke-8 huruf akan menghasilkan:

15

cara080.10!1!2!1!1!2!1

!8

1,2,1,1,2,1

8

LATIHAN SOAL

Dalam sesi pelatihan sepak bola perguruan tinggi, koordinator harus memiliki 10 pemain. Di antara 10 pemain, ada 1 mahasiswa tingkat 1, 2 mahasiswa tingkat 2, 4 mahasiswa tingkat 3, dan 3 mahasiswa tingkat 4. Berapa banyak cara yang berbeda dapat dapat dipilih?

16

Kombinasi

Kombinasi r unsur dari n unsur yang tersedia (ditulis Crn atau

nCr) adalah banyak cara

mengelompokan r unsur yang diambil dari sekumpulan n unsur

yang tersedia.

Kombinasi tidak menghiraukan urutan

Kombinasi

Menyeluruh Sebagian

Kombinasi Menyeluruh

Penyusunan semua obyek ke dalam suatu

tempat dan urutan tidak diperhatikan

nCn = 1

Kombinasi Sebagian

Penyusunan sebagian obyek ke dalam suatu

tempat dan urutan tidak diperhatikan

!)!(

!

rrn

nnCr

19

Contoh 1Seorang siswa diharuskan

mengerjakan 6 dari 8 soal,

tetapi nomor 1 sampai 4 wajib

dikerjakan .

Banyak pilihan yang dapat

diambil oleh siswa adalah….

20

Penyelesaian• mengerjakan 6 dari 8 soal,

tetapi nomor 1 sampai 4 wajib

dikerjakan

• berarti tinggal memilih 2 soal lagi

dari soal nomor 5 sampai 8

• r = 2 dan n = 4

• 4C2 = 2!.2!

4!

2)!(42!

4!6 pilihan

21

Contoh 2Dari sebuah kantong yang berisi

10 bola merah dan 8 bola putih

akan diambil 6 bola sekaligus

secara acak.

Banyak cara mengambil 4 bola

merah dan 2 bola putih adalah….

22

Penyelesaian• mengambil 4 bola merah dari

10 bola merah r = 4, n = 10

10C4 = =

= =

• mengambil 2 bola putih dari

8 bola putih r = 2, n = 8

8C2 = =

)!410(!4

!10

!6!4

!10

!6.4.3.2.1

10.9.8.7!.63

7 x 3 x 10

)!28(!2

!8

!6!2

!8

23

• 8C2 = =

= 7 x 4

• Jadi banyak cara mengambil

4 bola merah dan 2 bola putih

adalah 10C4 x 8C2 = 7x3x10 x 7x4

= 5880 cara

!6!2

!8

!6.2.1

8.7!.64

LATIHAN SOAL

Seorang anak meminta ibunya untuk mendapatkan 5 Game-BoyTM dari koleksi 10 dari arcade dan 5 permainan olahraga. Berapa banyak cara yang ada bahwa ibunya bisa mendapatkan 3 arcade dan 2 permainan olahraga?

24