KONSEP DASAR PROBABILITAS1Pengantar :2 Banyak kejadian dalam kehidupan sehari-hari yang sulit diketahui dengan pasti, terutama kejadian yang akan datang. Meskipun kejadian-kejadian tersebut tidak pasti, tetapi kita bisa melihat fakta-fakta yang ada untuk menuju derajat kepastian atau derajat keyakinan bahwa sesuatu akan terjadi. Derajat / tingkat kepastian atau keyakinan dari munculnya hasil percobaan statistik disebut Probabilitas (Peluang), yang dinyatakan dengan P.Konsep dan definisi dasar3 Eksperimen/percobaan probabilitas adalah segala kegiatan dimana suatu hasil (outcome) diperoleh. Ruang sampel adalah himpunan seluruh kemungkinan outcome dari suatu eksperimen/percobaan. Biasanya dinyatakan dengan S. Banyaknya outcome dinyatakan dengan n(S). Peristiwa/kejadian adalah himpunan bagian dari outcome dalam suatu ruang sampel.Contoh :4 Dilakukan eksperimen, yaitu diperiksa 3 buah sikringsatu persatu secara berurutan dan mencatat kondisisikring tersebut dengan memberi notasi B untuk sikringyang baik dan R untuk sikring yang rusak. Maka ruang sampel pada eksperimen probabilitaspemeriksaan tersebut adalah S = {BBB, BBR, BRB, RBB, BRR, RBR, RRB, RRR}.Jumlah outcome dalam ruangsampel S adalah n(S) = 23= 8. Jika A menyatakan peristiwa diperoleh satu sikringyang rusak, maka A = {BBR, BRB, RBB}. Jumlah outcome dalam ruang peristiwa adalah n(A) = 3.Definisi probabilitas5 Bila kejadian A terjadi dalam m cara dari seluruh n cara yang mungkin terjadi dan masing-masing n cara itu mempunyai kesempatan yang sama untuk muncul, maka probabilitas kejadian A, ditulis P(A), dapat dituliskan :nmS n A nA P = =) () () (Sifat-sifat probabilitas kejadian A :6 0 s P(A) s 1 , artinya nilai probabilitas kejadian A selalu terletak antara 0 dan 1 P(A) = 0, artinya dalam hal kejadian A tidak terjadi (himpunan kosong), maka probabilitas kejadian A adalah 0. Dapat dikatakan bahwa kejadian A mustahil untuk terjadi. P(A) = 1, artinyadalam hal kejadian A, maka probabilitas kejadian A adalah 1. Dapat dikatakan bahwa kejadian A pasti terjadi.Contoh (1):7 Sebuah koin dilemparkan dua kali. Berapakah probabilitas bahwa paling sedikit muncul satu Muka?Jawab : Misal M = Muka, B = Belakang Ruang sampel untuk percobaan ini adalah S = {MM, MB, BM, BB} Kejadian A = muncul paling sedikit satu Muka adalahA = {MM, MB, BM}Jadi, Probabilitas bahwa paling sedikit muncul satu Muka adalah43) () () ( = =S n A nA PContoh (2):8 Suatu campuran kembang gula berisi 6 mint, 4 coffee, dan 3 coklat. Bila seseorang membuat suatu pemilihan acak dari salah satu kembang gula ini, carilah probabilitas untuk mendapatkan : (a) mint, dan (b) coffee atau coklat.Jawab : Misal, M = mint , C = coffee ,T = coklat(a). Probabilitas mendapatkan mint =(b). Probabilitas mendapatkan coffee atau coklat =136) () () ( = =S n M nM P137130 3 4) () ( ) ( ) () () () ( = += +=

= S nT C n T n C nS nT C nT C PProbabilitas kejadian majemuk (1):9 Bila A dan B kejadian sembarang pada ruang sampel S, maka probabilitas gabungan kejadian A dan B adalah kumpulan semua titik sampel yang ada pada A atau B atau pada keduanya.) ( ) ( ) ( ) ( B A P B P A P B A P + = Probabilitas kejadian majemuk (2):10 Bila A, B, dan C kejadian sembarang pada ruang sampel S, maka probabilitas gabungan kejadian A, B, dan C adalah :) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) (C B A P C B P C A PB A P C P B P A P C B A P + + + =Contoh :11 Kemungkinan bahwa Ari lulus ujian matematika adalah 2/3 dan kemungkinan ia lulus bahasa inggris adalah 4/9. Bilaprobabilitas lulus keduanya adalah 1/4, berapakahprobabilitas Ari dapat paling tidak lulus salah satu darikedua pelajaran tersebut?Jawab : Bila M adalah kejadian lulus matematika, dan B adalahkejadian lulus bahasa inggris, maka :Probabilitas Ari lulus salah satu pelajaran tersebut adalah :P(MB)= P(M) + P(B) P(M B)= 2/3+ 4/9 1/4= 31/36Contoh:12 Sebuah sistem sembarang seperti terlihat pada gambar di bawah tersusun atas tiga tingkat. Sistem ini akan bekerja dengan baik jika ketiga tingkatnya berjalan dengan baik. Misal seluruh unit dalam setiap tingkat saling bebas dan masing-masing berjalan baik. Diketahui P(A) = 0,7; P(B) = 0,7 ; P(C ) = 0,9 ;P(D) = 0,8 ; P(E) = 0,6 ; P(F) = 0,6 ; dan P(G) = 0,6. Hitunglah probabilitas sistem berjalan dengan baik.Jawab:13 P(T1) = P(AB) = P(A) + P(B) P(AB)= P(A) + P(B) P(A).P(B)= 0,7 + 0,7 (0,7)(0,7) = 0,91 P(T2) = P(C D) = P(C).P(D)= (0,9)(0,8) = 0,72 P(T3) = P(EF G) = P(E) + P(F) + P(G) P(EF) P(EG) P(FG) + P(EF G)= P(E) + P(F) + P(G) P(E).P(F) P(E).P(G) P(F).P(G) + P(E).P(F).P(G)= 0,6 + 0,6 + 0,6 (0,6)(0,6) (0,6)(0,6) (0,6)(0,6)+ (0,6)(0,6) (0,6)= 0,936 Jadi,P(sistem berjalan baik) = P(T1 T2 T3)= P(T1).P( T2).P( T3) = (0,91).(0,72).(0,963) = 0,613.Artinya sistem tersebut secara keseluruhan memiliki 61,3% kemungkinan dapatberjalan dengan baik.Dua kejadian saling lepas (disjoint events atau mutually exclusive): Bila A dan B dua kejadian saling lepas, maka berlaku :) ( ) ( ) ( B P A P B A P + = ) ( ) ( ) ( ) ( C P B P A P C B A P + + =14 Bila A, B, dan C tiga kejadian saling lepas, maka berlaku :Contoh :15 Berapakah probabilitas mendapatkan total 7 atau 11 bilasepasang dadu dilemparkan?Jawab : Bila A adalah kejadian diperoleh total 7, maka A = {(1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (3,4), (4,3)} Bila B adalah kejadian diperoleh total 11, maka B = {(5,6), (6,5)} Sehingga probabilitas mendapatkan total 7 atau 11 adalah :P(AB)= P(A) + P(B) P(A B)= 6/36 + 2/36 0= 8/36Dua kejadian saling komplementer: Bila A dan A dua kejadian dalam S yang saling komplementer, maka berlaku :) ( 1 ) ' ( A P A P =16Contoh:17 Pada pelemparan dua dadu, jika A adalah kejadian munculnyamuka dadu sama, hitunglah probabilitas munculnya muka dua daduyang tidak sama.Jawab : Misal A= kejadian munculnya muka dua dadu yang sama= {(1,1), (2,2) , (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)}maka P(A) = 6/36 Sehingga,Probabilitas munculnya muka dua dadu yang tidak sama = P(A) adalah:P(A) = 1 P(A)= 1 6/36= 30/36Dua kejadian saling bebas (independent): Dikatakan saling bebas artinya kejadian itu tidak saling mempengaruhi. Dua kejadian A dan B dalam ruang sampel S dikatakan saling bebas, jika kejadian A tidak mempengaruhi probabilitas terjadinya kejadian B dan sebaliknya kejadian B tidak mempengaruhiprobabilitas terjadinya kejadian A. Bila A dan B dua kejadian saling bebas, berlaku :) ( . ) ( ) ( B P A P B A P = 18Contoh:19 Pada pelemparan dua uang logam secara sekaligus, apakah kejadian munculnya muka dari uang logam pertama dan uang logam kedua saling bebas?Jawab : Ruang sampel S = {(m,m), (m,b), (b,m), (b,b)} Misalkan,A= kejadian muncul muka dari uang logam 1 P(A) = 2/4 = = {(m,m), (m,b)}B = kejadian muncul muka dari uang logam 2 P(B) = 2/4 = = {(m,m), (b,m)}A B= kejadian muncul dua muka dari uang logam 1 dan 2= {(m,m)} P(A B) = Bila A dan B saling bebas berlaku : P(A B)= P(A). P(B) = . =Jadi, A dan B saling bebas.Probabilitas bersyarat (conditional probability):20 Adalah probabilitas suatu kejadian B terjadi dengan syarat kejadian A lebih dulu terjadi atau akan terjadi atau diketahui terjadi. Ditunjukkan dengan P(B|A) yang dibaca probabilitas dimana B terjadi karena A terjadi0 ) ( ,) () () ( >= A P jikaA PB A PA B PContoh (1):21 Misalkan dipunyai kotak berisi 20 sekering, 5 diantaranya rusak. Bila 2 sekering diambil dari kotak satu demi satu secara acak tanpa mengembalikan yang pertama ke dalam kotak. Berapakah peluang kedua sekering itu rusak? Jawab :MisalkanA = kejadian sekering pertama rusakB = kejadian sekering kedua rusakMaka peluang kedua sekering itu rusak = P(A B)P(A B) = P(A). P(B|A) = 5/20 . 4/19= 1/19Contoh (2):22 Berdasarkan hasil 100 angket yang dilakukan untuk mengetahui respon konsumen terhadap pasta gigi rasa jeruk (J) dan pasta gigi rasa strawbery (S), diperoleh informasi sebagai berikut : 20 pria menyukai rasa jeruk, 30 wanita menyukai rasa jeruk, 40 pria menyukai rasa strawbery, dan 10 wanita menyukai rasa strawbery. Apabila kita bertemu dengan seorang pria, berapa probabilitas ia menyukai pasta gigi rasa strawbery? Apabila kita bertemu dengan seorang wanita, berapa probabilitas ia menyukai pasta gigi rasa jeruk? Apabila kita bertemu dengan seorang yang menyukai pasta gigi rasa jeruk, berapa probabilitas ia adalah pria? Apabila kita bertemu dengan seorang yang menyukai pasta gigi rasa strawbery, berapa probabilitas ia adalah wanita?Jawab:23Misal W = Wanita, R = Pria, S = pasta gigi rasa Strawbery, dan J = pasta gigi rasa jeruk.Jadi, Apabila kita bertemu dengan seorang pria, berapa probabilitas ia menyukai pasta gigi rasa strawbery adalah Apabila kita bertemu dengan seorang wanita, berapa probabilitas ia menyukai pasta gigi rasa jeruk adalah Apabila kita bertemu dengan seorang yang menyukai pasta gigi rasa jeruk, berapa probabilitas ia adalah pria adalah Apabila kita bertemu dengan seorang yang menyukai pasta gigi rasa strawbery, berapa probabilitas ia adalah wanita adalah Responsen J S JumlahR 20 40 60W 30 10 40Jumlah 50 50 10067 . 0604010060 10040) () () ( = = ==R PR S PR S P75 . 040301004010030) () () ( = = ==W PW J PW J P40 . 0502010050 10020) () () ( = = ==J PJ R PJ R P20 . 050101005010010) () () ( = = ==S PS W PS W PAturan Bayes :24 Misalkan A1, A2, dan A3 adalah tiga kejadian saling lepas dalam ruang sampel S. B adalah kejadian sembarang lainnya dalam S. SA1 A2 A3Bprobabilitas kejadian B adalah :25P(B) = P(B|A1). P(A1) + P(B|A2). P(A2) + P(B|A3). P(A3)==31) ( ). (ii iA P A B Pdisebut Hukum Probabilitas Total26 Secara umum, bila A1, A2, A3, , An kejadian saling lepas dalam ruang sampel S dan B kejadian lain yang sembarang dalam S, maka probabilitas kejadian bersyarat Ai|B dirumuskan sebagai berikut :===nii ii iiiA P A B PA P A B PB PA B PB A P1) ( ). () ( ). () () () (disebut Rumus Bayes (Aturan Bayes). Contoh:27 Misalkan ada tiga kotak masing-masing berisi 2 bola. Kotak 1 berisi 2 bola merah, kotak 2 berisi 1 bola merah dan 1 bola putih, dan kotak 3 berisi 2 bola putih. Dengan mata tertutup Anda diminta mengambil satu kotak secara acak dan kemudian mengambil 1 bola secara acak dari kotak yang terambil itu.. Berapakah peluang bola yang terambil berwarna merah? Berapakah peluang bola tersebut terambil dari kotak 2? Jawab28 P(bola yang terambil berwarna merah) = P(bola merah tersebut terambil dari kotak 2) =) 3 ( ). 3 ( ) 2 ( ). 2 ( ) 1 ( ). 1 ( ) ( M P P M P P M P P M P + + =5 . 0636 1 20 .3121.3122.31= =+= + + =33 . 03163616321.31) () 2 ( ). 2 () 2 ( = = = = =M PM P PM PSoal 1:29 Sebuah kotak berisi 8 bola merah, 7 bola putih, dan 5 bola biru. Jika diambil 1 bola secara acak, tentukanlah probabilitas terpilihnya bola : Merah Tidak biru Merah atau putihSoal 2:30 Dari 10 orang staf bagian pemasaran PT. Rumah Elok, diketahui :Sarjana teknik pria 1 orang, Sarjana teknik wanita 3 orang,, dan Sarjana ekonomi pria 2 orang, dan Sarjana ekonomi wanita 4 orangDari 10 staf tersebut dipilih secara acak 1 orang untuk menjadi manajer pemasaran. Berapa peluang A, jika A menyatakan kejadian bahwa manajer adalah seorang wanita? Berapa peluang B, jika B menyatakan kejadian bahwa manajer adalah seorang sarjana teknik? Hitunglah P(A|B). Hitunglah P(AB).Soal 3:31 Ada 3 kotak yaitu 1, 2, dan 3 yang masing-masing berisi bola merah danputih, seperti yang dituliskan dalam tabel di bawah iniMula-mula satu kotak dipilih secara acak, kemudian dari kotak yang terpilih diambil 1 bola juga secara acak. Tiap kotak mempunyaikesempatan yang sama untuk terpilih. Berapa peluang bahwa bola itu merah ? Berapa peluang bahwa bola itu putih ? Bila bola terpilih merah, berapa peluang bahwa bola tersebut dari kotak1? Bila bola terpilih putih, berapa peluang bahwa bola tersebut dari kotak2?Kotak 1 Kotak 2 Kotak 3 JumlahBola merah 5 7 8 20Bola putih 4 3 9 16Jumlah 9 10 17 36Soal 432 Sebuah sistem mekanik memerlukan dua fungsi sub-sistem yang saling berkaitan. Skema penyederhaan sistem tersebut terlihat dalam gambar di bawah. Terlihat bahwa A harus berfungsi dan sekurangnya salah satu dari B harus berfungsi agar sistem mekanik itu bekerja baik. Diasumsikan bahwa komponen-komponen B bekerja dengan tidak bergantung satu sama lain dan juga pada komponen A. Probabilitas komponen berfungsi baik adalah untuk A = 0.9 dan masing-masing B = 0.8. Hitunglah probabilitas sistem mekanik tersebut berfungsi dengan baik.AB1B2Input OutputSoal 533 Mesin produksi dari PT Banjarbaru Jaya ada 2. Kapasitas produksimesin pertama adalah 30% dan mesin kedua adalah 70%. 40% dari produksi mesin pertama menggunakan komponen lokal dansisanya menggunakan komponen impor. Sedangkan 50% dari mesinkedua menggunakan komponen lokal dan sisanya menggunakankomponen impor. Apabila dipilih secara random sebuah produksi, berapa probabilitas: Produk yang terambil menggunakan komponen lokal Bila diketahui produk yang terambil menggunakan komponen lokal, berapa probabilitas produk tersebut dari mesin pertama.DISTRIBUSI PROBABILITAS34Variabel Random :35 adalah suatu fungsi yang menghubungkan sebuah bilangan riil dengan setiap unsur didalam ruang sampel S. Untuk menyatakan variabel random digunakan sebuah huruf besar, misalkan X. Sedangkan huruf kecilnya, misalkan x, menunjukkan salah satu dari nilainya.Contoh :36 S = {BBB, BBC, BCB, CBB, BCC, CBC, CCB, CCC} dengan B menunjukkan tanpa cacat (baik) dan C menunjukkan cacat. Variabel random X yang menyatakan jumlah barang yang cacat pada saat tiga komponen elektronik diuji, maka ditulis X = 0, 1, 2, 3.Variabel random diskrit:37 Jika suatu ruang sampel berisi sejumlah kemungkinan terhingga atau urutan yang tidak terbatas dengan unsur sebanyak bilangan bulat, maka ruang sampel ini disebut Ruang Sampel Diskrit, dan variabel random yang didefinisikan disebut Variabel Random Diskrit.Variabel random kontinu:38 Jika suatu ruang sampel berisi sejumlah kemungkinan tak terhingga yang sama dengan jumlah titik-titik didalam sebuah segmen garis, maka ruang sampel ini disebut Ruang Sampel Kontinu, dan variabel random yang didefinisikan disebut Variabel Random Kontinu.Distribusi Probabilitas :39 Kumpulan pasangan nilai-nilai dari variabel acak X dengan probabilitas nilai-nilai variabel random X, yaitu P(X=x) disebut distribusi probabilitas X (distribusi X)Distribusi Probabilitas Diskrit X (1) : 40 Himpunan pasangan tersusun (x, f(x)) adalah sebuah fungsi probabilitas, fungsi padat probabilitas, ataudistribusi probabilitas dari suatu variabel random diskrit X bila untuk setiap keluaran x yang mungkin, berlaku :- P(X = x) = f(x)--1 ) (1==nxx f0 ) ( > x fDistribusi Probabilitas Diskrit X (2) : 41 Distribusi kumulatif F(x) dari suatu variabel random diskrit X dengan distribusi probabilitas f(x), adalah : < < = s =sx untuk t f x X P x Fx t) ( ) ( ) (Distribusi Probabilitas Diskrit X (3) : 42 Nilai ekspektasi X adalah nilai tengah (rata-rata) dari variabel random diskrit X. Dinyatakan dengan E(X), yaitu:= ) ( . ) (i ix f x X EContoh:43 Sebuah pengiriman 8 alat Jar Test yang serupa kesuatu jaringan eceran berisi 3 alat yang cacat. Bilasuatu perusahaan melakukan suatu pembelian acak2 dari alat Jar Test ini, Carilah distribusi probabilitas untuk jumlah yang cacat. Carilah distribusi kumulatif untuk jumlah yang cacat. Dengan menggunakan F(x), buktikan f(2) = 3/28 Hitung nilai rata-rata X.Jawab (1):44 Ambil X sebagai variabel random yang didefinisikan sebagai banyaknya mikrokomputer yang cacat yang mungkin akan dibeli oleh sekolah tersebut. Maka dapat dituliskan : X= banyaknya mikrokomputer cacat yang mungkin akan dibeli oleh sekolah= 0, 1, 2 Sehingga dapat dihitung :281028 2503) 0 ( ) 0 ( =||.|

\|||.|

\|||.|

\|= = = X P f281528 1513) 1 ( ) 1 ( =||.|

\|||.|

\|||.|

\|= = = X P f28328 0523) 2 ( ) 2 ( =||.|

\|||.|

\|||.|

\|= = = X P f Jadi,distribusi probabilitas dari X adalahx 0 1 2f(x) 10/28 15/28 3/28Rumus distribusi probabilitas adalah2 , 1 , 0 ,2825.3) ( ) ( =||.|

\|||.|

\|||.|

\|= = = x untukx xx f x X PJawab (2):45 Distribusi kumulatif F(x) adalah :F(0)= f(0)= 10/28 F(1) = f(0) + f(1) = 10/28 + 15/28 = 25/28F(2)= f(0) + f(1) + f(2)= 10/28 + 15/28 + 3/28= 1Sehingga :1 , untuk x < 0F(x) = 10/28, untuk 0 s x < 1 25/28, untuk 1 s x < 21 , untuk x > 2Jawab (3):46 Dengan menggunakan F(x), makaf(2)= F(2) F(1)= 1 25/28= 3/28 Nilai Ekspektasi X adalahE(X) = 0.f(0) + 1.f(1) + 2.F(2)= (0). (10/28) + (1). (15/28) + (2). (3/28) = 21/28Distribusi Probabilitas Kontinu X (1):47 Himpunan pasangan tersusun (x, f(x)) adalah sebuah fungsi probabilitas, fungsi padat probabilitas, atau distribusi probabilitas dari suatu variabel random kontinu X bila untuk setiap keluaran x yang mungkin, berlaku :R x semua untuk x f e > , 0 ) (1 ) ( =} dx x f}=