Bahan Kuliah Geometri Lingkaran

8/18/2019 Bahan Kuliah Geometri Lingkaran

1/30

BAHAN KULIAH

GEOMETRI ANALITIKA

BAGIAN KEDUA

LINGKARAN

Dosen Pengampu :

PENDIDIKAN MATEMATIKA

FPMIPA IKIP PGRI SEMARANG

200

1


2/30

LINGKARAN

Θ De!"n"s"

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang mempunyai jarak sama

terhadap sebuah titik tertentu.

Jarak yang sama disebut radius (jari-jari).

Titik tertentu disebut pusat .

Θ Pe#samaan L"ng$a#an %engan Pusa& L ' ( )

PL = R

( ) ( ) 22 β α −+− y x = R

(x - α2 ! (y - β2 = R 2

Jadi" persamaan lingkaran dengan pusat (α" β adalah #

Jika pusat lingkaran $ (%" % maka α = %& β = % maka persamaan lingkaran

dengan pusat (%" % adalah #

Jika lingkaran (x - α2 ! (y - β2 = R 2 diuraikan" maka #

x2 - 2αx ! α2 ! y2 - 2βy ! β2 ' R 2 = %

x2 ! y2 - 2αx - 2βy ! (α2 ! ! β2 ' R 2 = %

dimisalkan # -2α =

-2β = ) didapat #

α2 ! β2 ' R 2 = *

2

o

*

+

P (x" y

L (α" β

'+ , )2 - '* , )2 . R 2

+2 - *2 . R 2

Rumus Umum L"ng$a#an

+2 - *2 - A+ - B* - / . 0


3/30

Θ Pusa& L"ng$a#an

dari pemisalan diatas #

-2α = α =2

1−

-2β = ) β =2

1− )

Θ Ra%"us

α2 ! β2 ' R 2 = *

R 2 = α2 ! β2 ' *

R = C B A −

+

22

2

1

2

1

Θ /a&a&an

1. Persamaan parameter (perantara lingkaran dengan pusat (%" %

x = R +,s θ

y = R sin θ

Bu$&" :

x = R +,s θ x2 = R 2 +,s2 θ

y = R sin θ y2 = R2 sin 2 θ

x2 ! y2 = R 2 (+,s2 θ ! sin2 θ

x2 ! y2 = R 2 . 1

x2 ! y2 = R 2 (terbukti

2. Persamaan parameter lingkaran dengan pusat L (α" β

x = α ! R +,s θ

y = β ! R sin θ

Bu$&" :

x = α ! R +,s θ x2 = α2 ! 2 α R +,s θ ! R 2 +,s2 θ

y = β ! R sin θ y2 = β2 ! 2 β R sin θ ! R2 sin 2 θ !

x2 ! y2 = α2 ! β2 ! 2α R +,s θ ! 2β R sin θ ! R 2 +,s2 θ ! R 2 sin2 θ

didapat # 2

1 "

2

1( B A −−

Pusa& L"ng$a#an


4/30

x2 ! y2 = α2 ! β2 ! 2α (x - α ! 2β (y - β ! R 2 (+,s2 θ ! sin2 θ

x2

! y2

= α2

! β2

! 2α x - 2α2

! 2β y - 2β2

! R 2

. 1

x2 ! y2 ! α2 ! β2 - 2α x - 2β y = R 2

x2 - 2α x ! α2 ! y2 - 2β y ! β2 = R 2

(x - α2 ! (y - β2 = R 2 (terbukti

/on&o :

Tentukan pusat dan radius lingkaran x2 ! y2 ' x ! /y ' 10 = %

Jawab :

x2 ! y2 ' x ! /y ' 10 = %

= -

) = /

* = -10

Pusat

−− B A

2

1"

2

1 Pusat (" -

R = 10((- 22 −−−+

= 101 ++

= %

= 2 1%

*ara lain dari rumus p3 x2 ! px ± 3

(x !2

1 p2 = 3 ! (

2

1 p2

x2

! y2

' x ! /y ' 10 = %

(x2 ' x ! (y2 ! /y = 10

(x - 2 ! (y ! 2 = 10 ! 2 ! 2

(x - 2 ! (y ! 2 = %

Pusat (" -

R = %

= 2 1%


5/30

Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik ("

) (" -2 dan * (" 1 Jawab :

4isal Lingkaran L = x2 ! y2 ! x ! )x ! * = %

4elalui (" ! 1 ! ! ) ! * = %

! ) ! * = -20 5555..(1

4elalui ) (" -2 ! ! ' 2) ! * = %

' 2) ! * = -1 55555(2

4elalui * (" 1

! 1 ! ! ) ! * = % ! ) ! * = -6 5555....(

(1 ! ) ! * = -20

(2 ' 2) ! * = -1 7

) = -12 ) = -2

(1 ! ) ! * = -20

(2 ! ) ! * = -6 7 - ! ) = 12

) = -2 - ' =12

- = 1/ = -

dari hasil diatas" disubtitusikan ke persamaan (1

= - & ) = -2

! ) ! * = -20 55..(1

(- ! (-2 ! * = -20-1/ - / ! * = -20

* = -20 ! 2 * = 1

Jadi" Lingkaran L = x2 ! y2 ' x ' 2y ! 1 = %

Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik" (1"& ) (" -2 dan

* (0" 1 kunci : (x - 1)2 + (y + 2)2 = 25

x2 + y2 – 2x + 4y – 20 = 0

0


6/30

Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik" (-2" -& ) (6" 1 dan

* (2" .Θ Ga#"s SInggung L"ng$a#an

Pandang garis g ≡ y = m x ! +

Lingkaran L ≡ x2 ! y2 = R 2

Jika g dip,t,ng lingkaran L #

x2 ! (mx ! +2 = R 2

x2 ! m2x2 ! 2m+x ! +2 ! - R 2 = %

(1 ! m2

x2

! 2m+x ! (+2

' R 2

= %

Persamaan kuadrat daam ! :

1. Jika 8 9 % maka ada 2 harga x yang berbeda" berarti garis mem,t,ng

lingkaran pada dua titik.

2. Jika 8 = % maka ada 2 harga x yang kembar (x1 = x2 berarti garis g

menyinggung lingkaran.

. Jika 8 : % maka harga x imajiner" berarti garis g di luar lingkaran.

Jadi" syarat garis menyinggung lingkaran aadalah 8 = %8 = % b2 ' a+ = %

(2m+2 ' (1 ! m2 (+2 ' R 2 = %

m2+2 ' +2 ' m2+2 ! R 2 ! m2R 2 = %

+2 = R 2 ! R 2m2

+2 = R 2 ! (1 ! m2

+ = ± R 21 m+

Jadi persamaan garis singgung lingkaran x2

! y2

= R 2

Θ Ga#"s S"nggung L"ng$a#an '+ , )2 - '* , )2 . R 2 %engan g#a%"en& m

a%a1a :

)ukti #

y = mx ± R 21 m+

(y - β = m (x - α ± R 21 m+


7/30

;aris g ≡ y = mx ! +

L ≡ (x - α2

! (y - β2

= R 2

;aris g dip,t,ngkan lingkaran L #

(x - α2 ! (mx ! + - β2 = R 2

x2 - 2αx ! α2 ! m2x2 ! +2 ! β2 ! 2m+x ' 2mβx - 2β+ ' R 2 = %

(1 ! m2 x2 ' (2α - 2m+ ! 2mβ x ! (α2 ! +2 ! β2 - 2βx - 2β+ ' R 2 = %


8/30

y =

-−x !

mg = -

-

Lingkaran L ≡ x2 ! y2 = 20

g 55 l sehingga mg = ml = -

-

Persamaan garis singgungnya # y = mx ± R 21 m+

y = -

-x ± 0

2

-1

−+

y = -

-x ± 0

1

1+

y = -

-x ± 0

1

1+

y = -

-x ± 0 . 20

1

y = -

-x ± 0 .

0

y = -

-x ±

20

Jadi persamaan garis singgungnya #

y =

-−x !

20 atau y =

-−x -

20

2. ;aris g ≡ x ' y = 10

-y = -x ! 10

y =-

x - 0

mg =-

Lingkaran x2 ! y2 =

;aris g dan lingkaran l membentuk θ = 0%

tg θ =m m"

m m"

.1+

−

/


9/30

tg 0

%

= m

m

-1

-

+

−

(i 1 =m

m

-

1

-

+

−

-

-

-

-m =

-

- !

-

m

-

m !

-

-m =

-

--

-

-

6m

= -

1

⇒ ml = 21

-

= 6

1

Persamaan garis singgung lingkaran melalui gradient ml =6

1

adalah #

y = mx ± R 21 m+

y =6

1x ±

11+

y =61 x ±

6. 0%

y =6

1x ±

6

2-%

(ii

#

#

m

m

-

1

-

+ = -1 55555..silahkan itungen deek>

/on&o Soa1 :

1 Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 ! y2 = 20 yang tegak

lurus garis x ! y = .

2 Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 ! y2 = 1 yang sejajar

dengan garis yang menghubungkan titik (1" 2 dan )(" .

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran (x - 12 ! (y - 2 = 20 yang

sejajar garis x ' y = .

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 ! y2 ' x ' 2y ' 10 = %

yang tegak lurus garis x ' y = 2.


10/30

Θ Ga#"s S"nggung L"ng$a#an %engan T"&"$ S"nggung P '+6( *6)Pandang L ≡ x2 ! y2 = R 2

Titik P (x1" y1 pada L

∴ x12 ! y12 = R 2 555555..(1

;radien $P = m1

m1 =%

%

1

1

−−

x

y

;aris g ⊥ $P m2 =1

1

m m2 =

1

1

y

x−

Jadi garis singgung g melalui P (x1" y1 dan gradient m =1

1

y

x− adalah #

y ' y1 = m (x ' x1

y ' y1 =1

1

y

x−(x ' x1

y1y = y12 = -x1x ! x1

2

x1x ! y1y = x12 ! y1

2 555555..(2

dari persamaan (1 dan (2 didapatkan #

Rumus ga#"s s"nggung 1"ng$a#an %engan &"&"$ s"nggung P '+6( *6)

Θ /a&a&an :

;aris singgung lingkaran x2 ! y2 ! x ! )x ! * = % yang melalui titik

singgung P (x1" y1 adalah #

Bu$&" :

1%

O

P (x1" y

1

m1 =

x2 ! y2 = R 2

+6+ - *6* . R 2

x1x ! y1y !2

1(x ! x1 !

2

1)(y ! y1 ! * = %


11/30

L ≡ x2 ! y2 ! x ! )y ! * = %

Titik singgung P(x1" y1 pada L" maka #x1

2 ! y12 ! x1 ! )y1 = -*555555(1

;radien garis LP = m1 =

A x

B y

2

12

1

1

1

+

+

;radien g ⊥ LP m2 =

+

+

− B y

A x

2

1

2

1

1

1

Jadi garis g melalui P (x1" y1 adalah #y ' y1 = m (x ' x1

y ' y1 =

+

+−

B y

A x

2

1

2

1

1

1

. (x ' x1

(y1 !2

1) y ' (y1 !

2

1) y1 = - (x1 !

2

1 x ! (x1 !

2

1 x1

y1 . y ! 2

1)y ' y12 - 2

1)y1 = -x1x - 2

1x ! x12 ! 2

1x1

x1 x ! y1 y !2

1x !

2

1)y = x2 ! y2

2 !2

1x1 !

2

1)y1

2

1x1 !

2

1)y1 =

2

1x1 !

2

1)y1

x1x ! y1y !2

1 (x ! x1 !

2

1) (y ! y1 = x1

2 ! y12 ! x1 ! )y1 5555.(2

(1 (2 x1x ! y1y !2

1 (x ! x1 !

2

1) (y ! y1 = - *

11

P (x1" y

1

L(-1?2" 1?2)

g


12/30

x1x ! y1y !2

1 (x ! x1 !

2

1) (y ! y1 ! * = % (terbukti

/on&o :

1. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran di titik ("

lingkaran x2 ! y2 = 20

a3a4 :

x2 ! y2 = 20

! 1 = 20

Jadi P(" adalah titik singgung

;aris singgung melalui P(" adalah #

g ≡ x1 . x ! y1 . y = R 2

x ! y = 20

2. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran (x - 22 ! (y - 12 = 20

yang melalui titik (0" 0

a3a4 :

L ≡ (x - 22 ! (y - 12 = 20

x2 ! y2 ' x ' 2y ' 2% = %

P (0" 0 20 ! 20 ' 2% ' 1% ' 2% = %

Jadi titik P (0" 0 adalah titik singgung.

;aris singgung x1x ! y1y !2

1 (x ! x1 !

2

1) (y ! y1 ! * = %

0x ! 0y ' 2 (x ! 0 ' (y ! 0 ' 2% = %

0x ! 0y ' 2x ' 1% ' y ' 0 ' 2% = % x ! y ' 0 = %

Θ Ga#"s Ku&u4 5 Ga#"s Po1a#

Jika titik P (x1" y1 di dalam atau di luar lingkaran" maka titik P disebut titik

kutub ($%ar).

Jika P (x1" y1 di luar lingkaran x2 ! y2 = R 2 maka #

Titik singgung @ (x2" y2 pada lingkaran x2

! y2

= R 2

.

12


13/30

;aris singgung g1≡ x2 x ! y2 y ! R 2 555555.(1

Titik singgung R (x" y pada lingkaran x2

! y2

= R 2

.;aris singgung g2≡ x x ! y y ! R 2 555555.(2

Titik P (x1" y1 pada g1 x2 x1 ! y2 y1 = R 2 555555.(

Titik P (x1" y1 pada g2 x x1 ! y y1 = R 2 555555.(

&ari $ers' ()

x1 x2 ! y1 y2 = R 2 berarti pada titik @ (x2" y2

terletak pada garis l ≡ x1x ! y1y = R 2 .

&ari $ers' (4)

x1 x ! y1 y = R 2 berarti pada titik @ (x" y

terletak pada garis l ≡ x1x ! y1y = R 2 .

Jadi garis yang melalui @ dan R adalah #

8isebut garis kutub ($%ar)

Θ /a&a&an

1. Jika P (x1" y1 di luar lingkaran x2 ! y2 ! x ! )x ! *= % maka garis kutub

adalah #

l ≡ x1x ! y1y !2

1(x1 ! x !

2

1)(y1 ! y ! * = %

2. Jika P (x1" y1 di luar lingkaran maka garis singgung yang melalui P (x1" y1

diper,leh dengan +ara mem,t,ngkan garis kutub dengan lingkaran

sehingga diper,leh dua titik p,t,ng yang berAungsi sebagai titik singgung.

/on&o :

1. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 ! y2 = 20 yang melalui

P(6" 1

Jawab :

1

1 ≡ +6+ - *6* . R 2


14/30

x2 ! y2 = 20

! 1 = 20 0% 9 20. Titik di luar lingkaran" maka P(6" 1 di luar

lingkaran.

;aris kutub l ≡ x1 x ! y1 y = R 2

6x ! y = 20

y = 20 ' 6x

8ip,t,ngkan lingkaran x2 ! (20 ' 6x2 = 20

x2 ! 20 ' 0%x ! x2 ' 20 = %

0%x2 ' 0%x ! %% = %

x2 ' 6x ! 12 = %

(x - (x - = %

x = B x =

⇒ Cntuk x = y = 20 ' 6x y =

Titik singgung ("

;aris singgung x ! y = 20

⇒Cntuk x = y = 20 ' 2/ y = -

Titik singgung (" -

;aris singgung x ' y = 20

2. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran (x - 2 ! (y - 2 = 20 yang

melalui titik (1%" 0

Jawab :

L ≡ (x - 2 ! (y - 2 = 20

x2 ! y2 ' x ' /y = %

P (1%" 0 1%% ! 20 ' % ' % 9 %

Jadi P (1%" 0 diluar lingkaran.

;aris kutub l ≡ 1%x ! 0y ' (x ! 1% ' (y ! 0 = %

6x ! y ' 0% = %

y = 0% ' 6x

1


15/30

8ip,t,ngkan ke lingkaran x2 ! y2 ' x ' /y = %

x2 ! (0% ' 6x2 ' x ' /(0% ' 6x = %

x2 ! 20%% ' 6%%x ! x2 ' x ' %% ! 0x = %

0%x2 ' 0%x ! 21%% = %

x2 ' 1x ! 2 = %

(x - (x - 6 = %

x = B x = 6

⇒ Cntuk x = y = 0% ' 6x y = /

Titik singgung (" /

;aris singgung x ! /y ' (x ! ' (y ! / = %

x ! /y ' x ' 1/ ' y ' 2 = %

x ! y ' 0% = %

⇒ Cntuk x = 6 y = 0% ' 6x y = 1

Titik singgung (6" 1

;aris singgung 6x ! y ' (x ! 6 ' (y ! 1 = %

6x ! y ' x ' 21 ' y ' = %

x ' y ' 20 = %

. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (-" 2 dan menyinggung

garis x ' y = /

Jawab :

;aris singgung x ' y = /

y = x ' /

y =

-

x ' 2

8ip,t,ngkan ke lingkaran #

(x ! 2 ! (y - 22 = R 2

(x ! 2 !2

-

− x = R 2

x2 ! x ! !1

2x2 ' x ! 1 ' R 2 = %

1.

20

x2

! 10 ' R 2

= %

10


16/30

20x2 ! %% ' 1R 2 = %


17/30

(x ! 12 ! (y ! 22 = 0

8an persamaan lingkaran dengan P2 (2" 1 dan jari-jari 0 adalah

(x - α2 ! (y - β2 = R 2

(x - 22 ! (y - 12 = 0

0. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik (%" % menyinggung garis

x ' y = dan pusat pada garis x ' 2y ! = %

Jawab :

Persamaan lingkaran melalui (%" % α2! β2 = R 2 5555..(1

Pusat (α" β pada garis x ' 2y = -

α - 2β = - 5555..(2

Jarak P (α" β ke garis x ' y =

R =1

-

+−− β α

R =0

- −− β α α - β = 0R ! 55555..(

Pers. (2 dan ( α - β = 0R ! x 1 α - β = 0R !

α - 2β = - x α - /β = - 2 7

0β = 0R ! %

β = R !

α = 2β -

α = 2 (R ! '

α = 2R !

(1 α2 ! β2 = R 2

(2R ! 2 ! (R ! 2 = R 2

R 2 ! 2R ! ! R 2 ! 12R ! = R 2

R 2 ! R 2 ! 62 = %

R 2 ! R ! 1/ = %

(R ! (R ! = %

R = - B R = -

α1 = 2(- ! β1 = 0 !

16


18/30

α1 = % β1 = %

α2 = -12 ! β2 = %

α2 = -

Jadi pusatnya P1 (%" & P2 (-" %

P1 (%" persamaan lingkaran D ≡ x2 ! (y - 2 =

P2 (-" % persamaan lingkaran DD ≡ (x ! 2 ! y2 =

Θ Kuasa T"&"$ Te#a%ap L"ng$a#an

Jika P(x1" y1 diluar lingkaran L = % maka melalui P dapat dibuat garis banyak

sekali" sehingga mem,t,ng L = % di dan E & ) dan )E & * dan *E dan

seterusnya serta menyinggung L = % di @

Pandang ∆P@ dan ∆P@E

∠P =∠P (berimpit

∠@1 = ∠E (∩ @

∠= ∠@ (1/%% ' (∠P !∠@1

Jadi" ∆P@ − ∆PE@

∴ F PA

P)

= P)

PA

P@2

= P . PE

nal,g P@2 = P) ' P)E

P@2 = P* . P*E

Θ Rumus

Jika P(x1" y1 diluar lingkaran L = % dan garis melalui P mem,t,ng L di dan

E& ) dan )E& * dan *E dan seterusnya serta menyinggung L = % di @" maka

berlaku P@2 = P . PE = P) . P)E = P* . P*E = tetap harganya.

1/

P '+6( *

6) 7

A6

B6

/6

8

4

a


19/30

)ilangan yang tetap ini disebt kuasa P terhadap L = %.

Jika P diluar lingkaran maka kuasa P terhadap L = % p,sitiA.

Jika P pada lingkaran maka kuasa P terhadap L = % sama dengan %.

Jika P didalam lingkaran maka kuasa P terhadap L = % negatiA.

Θ Da1"1

Jika kuasa P(x1" y1 terhdap L ≡ x2 ! y2 ! x ! )x ! * = % adalah k 2 maka

berlaku #

Jika kuasa P (x1" y1 terhadap L ≡ (x - α2 ! (y - β2 = R 2

Θ Bu$&"

L ≡ (x - α2 ! (y - β2 = R 2

Pusat L (α" β

@L = R

PL = 212

1 (( β α −+− y x

P@2 = PL2 ' @L2

k 2 = P@2 = (x1 - α2 ! (y1 - β2 ' R 2 (terbukti

Θ Ga#"s Kuasa

Jika L1 ≡ x2 ! y2 ! ax ! by ! + = %

L2 ≡ x2 ! y2 ! px ! 3y ! r = %

4aka tempat kedudukan titik-titik yang mempunyai kuasa sama terhadap dua

lingkaran k = % dan L2 = % berbentuk garis dengan persamaan #

Garis kuasa

1

k 2 = 2 P) = x12 ! y1

2 ! x1 ! )y1 ! *

k 2 = 2 P) = (x1 - α2 ! (y1 - β2 ' R 2

L6 . L2 . 0

P(x1" y

1

L(α" β

7

B

B9


20/30

G*aris yan" mem$unyai kuasa sama terada$ 2 in"karan,

g ≡ L1 ' L2 = %

L garis kuasa

g ≡ L1 - L2 = %

Θ Me1u$"s Ga#"s Kuasa

1. )uat sembarang L = % yang mem,t,ng L1 = % dan L2 = %

2. )uat garis kuasa g1 yaitu L2 ' L = %

. )uat garis kuasa g2 yaitu L1 ' L = %

. g1 dan g2 berp,t,ngan di T (titik kuasa

0. 4elalui T buat garis g yag L sentral

Titik kuasa adalah titik yang mempunyai kuasa yang sama dengan lingkaran

yaitu L1 = %" L2 = %" L = %

/on&o :

1. Tentukan sebuah titik pada garis x ' y ! 2 = % yang mempunyai kuasa

sama terhadaplingkaran x2 ! y2 ' y ! 2 = % dan x2 ! y2 ' x ! = %

Jawab :

L1 ≡ x2 ! y2 ' y ! 2 = %

L2 ≡ x2 ! y2 ' x ! = %

2%

76

72

L2

L6

L6

L2

1

L6 L2


21/30

;aris kuasa = L1 ' L2

L1 ≡ x2 ! y2 ' y ! 2 = %

L2 ≡ x2 ! y2 ' x ! = % 7

x ' y ' 2 = %

;aris kuasa ≡ x ' 2y ' 1 = %

D ≡ x ' y ! 2 = %

Jadi titik pada D yang mempunyai kuasa sama terhadap L 1 = % & L2 = %

adalah titik p,t,ng dan D

x =

11

2-

12

21

−

−

−−

−

=2-

1

+−

−−

= 0

y =1

21

1-

−

−

=1

1

−

−−

= 6

jadi titik itu (0" 6

2. Tentukan panjang garis singgung dari titik P(6" 1 terhadap lingkaran

x2 ! y2 = 20

Jawab :

Huasa P terhadap L

k 2 = 2 P)

jadi panjang garis singgung

P@ = kuasa

k 2 = 2 P) = x12 ! y1

2 = R 2

k 2 = 2 P) = ! 1 ' 20 = 20

jadi panjang garis singgung P@ = 20 = 0

/a#a La"n :

21

7

P'( 6)

+2 - *2 . 2;

g


22/30

P(6" 1 x2 ! y2 = 20

! 1 9 20Jadi" (6" 1 diluar lingkaran.

;aris kutub ≡ x1 .x ! y1 . y = R 2

6x ! y = 20

y = 20 ' 6x

8ip,t,ngkan Lingkaran #

x2 ! (20 ' 6x2 = 20

x

2

! 20 ' 0%x ! x

2

= 200%x2 ' 0%x ! %% = %

x2 ' 6x ! 12 = %

(x - (x - = %

x = B x =

⇒ x = y = 20 ' 21 =

Titik singgung @ = ("

Panjang garis singgung P@ = ( )

22

1(-6 −+−

= 20 = 0

⇒ x = y = 20 ' 2/ = -

Titik singgung @ (" -

P@ = ( ) 22 -1(6 ++−

= 20 = 0

Θ Ke%u%u$an Dua L"ng$a#an

1. Jika L1 = % dan L2 = % berp,t,ngan ⊥


23/30


24/30

0b = 21 b =0

21

Jadi lingkaran mempunyai pusat (0

2/−"0

21 dan R = 2

adalah22

0

21

0

2/

−+

+ y x =

⇒ Jika lingkaran bersinggungan di dalam

0

%.2(- +− = a

a = 0

12−

0

%.2-.- + = b

b =0

2

Jadi Lingkaan (x !0

122 ! (y -

0

22 =

/a#a 1a"n :

Jika menyinggung di luar

4issal # L1 ≡ (x - α2 ! (y - β2 =

Pusat L1 (α" β

R 1 = 2

L2 ≡ x2 ! y2 = 20

Pusat L2 (%" %

R 2 = 0


25/30

(1 I (2 α2 ! β2 =

α2

! β2

! /α - β = -21 7

-/α ! β = 6%

-α ! β = 0

β =-

-0 α + 555(

( subst (1 α2 ! β2 =

α2 !2

-

-0

+ α =

α2 !

1.2/%1220 2α α ++ =

α2 ! 1220 ! 2/%α ! 1α2 = 1

20α2 ! 2/%α ! 6/ = %

(0α ! 2/2 = %

α =0

2/−

β =

-

0

2/-0

−+

β =10

112160 −

10

.- β =

0

21

Jadi" lingkaran ≡ 2

0

2/

+ x !

2

0

21

− y =

Jika menyinggung di dalam

L1 L2 = R 1 ' R 2

4elalui (-"

(- - α2 ! ( - β2 =

α2 ! β2 ! /α - β ! 21 = % 5555.(1

α2 ! β2 = 5555.(2

Pers (1 dan (2

α2 ! β2 =

20


26/30

α2 ! β2 ! /α - β = -21 7

-/α ! β = %

-α ! β = 10

β =-

10 α +55555.(

( subst (2

α2 !2

-

10

+ α

=

α2

!

1.12%220 2α α ++=

α2 !220 ! 12%α ! 1α2 = /1

20α2 !12%α ! 1 = %

(0α ! 122 = %

α = -0

12

β =-

0

12(10

−+ β = 10/60 −

= 10

26 = 0

2

Persamaan lingkaran ≡ 2

0

12

+ x !

2

0

− y =

2 Tentukan persamaan lingkaran yang mem,t,ng lingkaran x2 ! y2 ' 2x ! 0y

' 0 = %

⊥ melalui titik (" 1 dan yang pusatnya terletak pada garis x ! y = 6

Jawab :

4isal # L2 = (x - α2 ! (y - β2 = R 2

Pusat L2 (α" β R 2 = R

L1 ≡ x2 ! y2 -2x ! 0y ' 0 = %

(x - 12 (y !2

02 0 ! 1 =

20

(x - 12 (y !2

02 =

2


27/30

Pusat L1 = (1" -2

0 R 1 =

2

6


28/30

( β =

6 α −

β =

-6 −

β =

1− = -

(1 α2 ! β2 - 2α ! 0β = R 2 ! 0

! 1 ' 1 ' 2% = R 2 ! 0

R 2 = 2

Jadi persamaan lingkaran ≡ (x - α2

! (y - β2

= R 2

(x - 62 ! (y ! 2 = 2

Tentukan persamaan tali busur lingkaran x2 ! y2 = 20 sehingga titik (2"

merupakan titik tengah tali busur itu.

Jawab :

2

21 x x + = 2

x1 ! x2 = 5..(1

2

21 y y + =

y1 ! y2 =

Persamaan tali busur yang melalui (2"

y ' = m (x - 2

y = mx ' 2m !

dip,t,ngkan lingkaran ≡ x2 ! y2 = 20

x2 ! (mx -2m ! 2 = 20

x2 ! m2x2 ! m2 ! ' m2x ! mx ' 12m ' 20 = %

(1 ! m2x2 ' (m2 ' mx ! (m2 ' 12m - 1 = %

x1 ! x2 = -a

-

2

2

1

.

m

mm

+−

555..(2

(1 dan (22

2

1

.

m

mm

+

−= m2 ' m = ! m2

2/

'2( =)

A'+6( *

6)

B'+2( *

2)


29/30

m = --

2

jadi persamaan tali busurnya #

y = mx ' 2m !

y = --

2x !

-

!

2x ! y ' 1 = %

Tentukan persamaan tali busur lingkaran (x - 22 ! (y -12 = 20 sehingga

titik (" merupakan titik tengah tali busur.

Jawab :

x1 ! x2 = / .......... 1

L = (x - 2

2

! (y - 1

2

= 20Persamaan tali busur yang melalui ("

y ' = m (x -

y = mx ' m !

8ip,t,ngkan lingkaran

(x - 22 ! ((mx ' m ! - 12 = 20

x2 ' x ! ! (mx ' m ! 2 = 20

x2 ' x ! ! (m2x2 ! m2 ! ' /m2x ! mx ! 2m ' 20 = %

(1 ! m2 x2 ' (/m2 - m x ! (m2 ! 2m - 21 = %

x1 ! x2 =a

-−

=2

2

1

./

m

mm

+−

55555..(2

(1 dan (22

2

1

./

m

mm

+

− = /

2

'>(>)

A'+6( *

6)

B'+2( *

2)


30/30

/m2 -m = / ! /m2

m = -?

jadi persaman talibusur # y ' = -? ( x '

x ! y ! = %

0 Tentukan persamaan lingkaran yang mem,t,ng tegak lurus lingkaran x2 !

y2 ! 2x ! y ' = % melalui (" 2 dan pusatnya pada garis x ! y = .

Bahan Kuliah Geometri Lingkaran

Documents

Transcript of Bahan Kuliah Geometri Lingkaran