BAHAN AJAR

Nama Sekolah : SMA PMT HAMKA

Mata Pelajaran : Matematika

Kelas / Semester : XI IPA / Ganjil

Tahun pelajarn : 2012/2013

I. STANDAR KOMPETENSI

1. Menurunkan rumus trigonometri dan penggunaannya

II. KOMPETENSI DASAR

2.1 Menggunakan rumus sinus dan kosinus jumlah dua sudut, selisih dua sudut,dan

sudut ganda untuk menghitung sinus dan kosinus sudut tertentu

2.2 Menurunkan rumus jumlah dan selisih sinus dan kosinus.

2.3 Menggunakan rumus jumlah dan selisih sinus dan kosinus

III. INDIKATOR PENCAPAIAN

1. Kognitif

o Menggunakan rumus kosinus jumlah dan selisih dua sudut dalam

pemecahan masalah.

o Menggunakan rumus sinus jumlah dan selisih dua sudut dalam

pemecahan masalah.

o Menggunakan rumus tangen jumlah dan selisih dua sudut dalam

pemecahan masalah.

o Menggunakan rumus sinus, kosinus, dan tangen sudut rangkap

(ganda).

o Menggunakan rumus trigonometri (sinus, kosinus, dan tangen) sudut

tengahan.

o Menyatakan kosinus jumlah dan selisih dua sudut dalam perkalian

kosinus dan kosinus maupun perkalian sinus dan sinus.

o Menyatakan sinus jumlah dan selisih dua sudut dalam perkalian sinus

dan kosinus.

o Merancang dan membuktikan identitas trigonometri.

o Mengerjakan soal dengan baik berkaitan dengan materi mengenai

rumus perkalian, penjumlahan, dan pengurangan sinus dan kosinus,

pembuktian rumus trigonometri jumlah dan selisih dari sinus dan

kosinus dua sudut, serta identitas trigonometri.

2. Afektif Karakter

1. Religius2. Dapat dipercaya3. Menghargai4. Tanggung Jawab5. Peduli

Keterampilan Sosial1. Bertanya2. Memberi ide atau pendapat3. Kerjasama

IV. TUJUAN PEMBELAJARAN

1. KognitifSetelah dilakukan pembelajaran, siswa diharapkan:

Dapat mengulang kembali tentang konsep perbandingan sinus, cosinus dan tangen

Dapat menurunkan rumus sinus jumlah dan selisih dua sudut

Dapat menurunkan rumus cosinus jumlah dan selisih dua sudut

Dapat menerapkan rumus sinus dan cosinus jumlah dan selisih dua sudut untuk menyelesaikan soal.

2. Afektif

Karaktera. Dalam proses pembelajaran, siswa dapat dilatihkan karakter dapat

dipercaya diantaranya dapat dipercaya diantaranya, siswa jujur,mencoba menyelesaikan tugas yang diberikan

b. Dalam proses pembelajaran siswa dapat dilatihkan karakter menghargai diantaranya memperlakukan teman/guru dengan baik,sopan dan hormat,peka terhadap perasaan orang lain,tidak mempermainkan dan mempermalukan guru/teman.

c. Dalam proses pembelajaran siswa dapat dilatih karakter tanggungjawab diantaranya siswa mengerjakan tugas-tugas yang diberikan, dapat diandalkan,tidak mencari-cari alasan atau menyalahkan orang lain atas perbuatannya sendiri.

d. Dalam proses pembelajaran siswa dapat dilatih karakter peduli diantaranya siswa dapat peka terhadap perasaan orang lain,membantu guru/teman yang butuh bantuan.

Keterampilan Sosial Siswa diharapkan mempunyai kesadaran dalam menunjukkan karakter:

a. Keterampilan Sosial Dalam kelas siswa aktif mengajukan pertanyaanb. Dalam kelas, siswa aktif memberi ide atau pendapatc. Dalam kelas, siswa dapat bekerja sama dalam menyelesaikan tugas

MATERI AJAR

A. TRIGONOMETRI

Penggunaan Rumus Sinus dan Cosinus Jumlah Dua

Sudut, Selisih Dua Sudut, dan Sudut Ganda

1. Rumus Cosinus Jumlah dan Selisih Dua Sudut

Sebelum membahas rumus cosinus untuk jumlah dan selisih dua sudut, perlu kamu

ingat kembali pelajaran di kelas X. Dalam segitiga siku-siku ABC berlaku:

sin α = sisi didepansisimiring

cos α = sisi di sampingsisimiring

tan α = sisi didepansisi di samping

Dengan mengingat kembali tentang koordinat

Cartesius, maka:

a. koordinat titik A (1, 0)

b. koordinat titik B (cos A, sin A)

c. koordinat titik C {cos (A + B), sin (A + B)}

d. koordinat titik D {cos (–B), sin (–B)} atau (cos B, –sin B)

AC = BD maka AC2 = DB2

{cos (A + B) – 1}2 + {sin (A + B) – 0}2 = {cos B – cos A}2 + {–sin B – sin A}2

Cos2(A + B) – 2 cos (A + B) + 1 + sin2 (A + B) = cos2 B – 2 cos B cos A + cos 2A +sin2B

+ 2 sin B sin A + sin2A

2 – 2 cos (A + B) = 2 – 2 cos A cos B + 2 sin A sin B

2 cos (A + B) = 2 (cos A cos B – sin A sin B)

cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B

Dengan cara yang sama, maka:

cos (A – B) = cos (A + (–B))

cos (A – B) = cos A cos (–B) – sin A sin (–B)

cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B

Contoh soal

Hitunglah cos 15 dengan menggunakan cos (α−β )

Jawab :

cos15∘=cos (45∘−30∘)

= cos 45∘cos30∘+sin 45∘sin 30∘

=

12√2.

12√3+1

2√2 .

12

=

14

√6+ 14

√2

=

14

(√6+√2 )

1. Rumus sinus jumlah dan selisih dua sudut

sin (α+β )=sinα . cos β+cos α sin β

sin (α−β )=sin α .cos β−cos α sin β

Contoh soal

cos15∘=cos (45∘−30∘)

= sin 45∘cos30∘−cos45∘sin30∘

=

12√2.

12√3−1

2√2.

12

Rumus kosinus jumlah dan selisih dua sudut

cos (α+β )=cosα . cos β−sin α sin β

cos (α−β )=cosα . cos β+sin α sin β

=

14

√6− 14

√2

=

14

(√6−√2 )

2. Rumus tangen jumlah dan selisih

cos (α+β )=cosα . cos β−sin α sin β

cos (α−β )=cosα . cos β+sin α sin β

sin (α+β )=sinα . cos β+cos α sin β

sin (α−β )=sin α .cos β−cos α sin β

tan(α + β) = ❑❑

=

❑cos α cos β

❑cos α cos β

= tan (α+β )=tanα+ tan β

1−tanα tan β

Kalau untuk tan(α – β) nilai β pada tan (α + β) dengan -β

Maka : tan (α−β )=tan α−tan β

1+ tan α tan β

4. Sudut rangkap trigonometri

a. Rumus sudut rangkap Sinus

sin 2α=2sinα cos α

b. Rumus sudut rangkap Kosinus

cos2α=cos2α−sin2α

= 2 cos2α−1

= 1−2sin2 α

c. rumus sudut rangkap tangen

tan2α= 2 tan α

1−tan2α

5 Kosinus jumlah dan selisih dua sudut dalam perkalian kosinus dan kosinus,

sinus dan sinus

sin (α+β )+sin (α−β )=2sinα cos β

sin P+sinQ=2sin12

(P+Q ) cos12

(P−Q )

sin P−sinQ=2 cos12

(P+Q ) sin12

(P−Q )

Contoh soal

a) hitunglah nilai dari cos 195 + cos 105

Jawab :

cos195+cos105=2cos12

(195+105 ) cos (195−105 )

= 2 cos150 . cos45

= 2(−1

2√3)( 1

2√2)

= −1

2√6

b) hitunglah sin 105 –sin 15

Jawab :

sin 105−sin 15=2 cos12

(105+15 )sin12

(105−15 )

= 2 cos60 . sin 45

=2(−1

2 )( 12

√2)

=

12√2

1. Ruus-rumus perkalian trigonometri

2sinα cos β=sin (α+β )+sin (α−β )

2cosα sinβ=sin (α+β )−sin (α−β ) Dan

2cosα cos β=cos (α+β )+cos (α−β )

−2sinα sin β=cos (α+β )−cos (α−β )Contoh soal

Hitunglah 8 cos 15 . sin 75

Jawab :

8cos15sin 75=4 .2cos15sin 75

= 4 {sin (15+75 )−sin (15−75 ) }

= 4{sin 90−sin (−60 ) }

= 4{sin 90+sin 60 }

= 4

(1+ 12√3)=4+2√3