1 Bahan Ajar Mekanika Teknik - Rev0 - Updat e 02 Febr uar i 2010 BAHAN KULIAH MEKANIKA TEKNIK Disusun Oleh:M. Muhaemin, Ir., M.Eng., Ph.D. Muhammad Saukat, STP., MT. Asep Yusuf, STP. JURUSAN TEKNI K DAN MANAJEMEN I NDUSTRIPERTANI AN FAKULTAS TEKNOLOGII NDUSTRIPERTANI AN UNI VERSI TAS PADJADJARAN JATI NANGOR 2008 2 Bahan Ajar Mekanika Teknik - Rev0 - Updat e 02 Febr uar i 2010 KESETIMBANGAN GAYA 2 DIMENSI: TRUSS Apakah truss itu ? Rumah KacaAtap koridor Atap bangunanRangka Tangki Ai r3 Bahan Ajar Mekanika Teknik - Rev0 - Updat e 02 Febr uar i 2010 Mengapa truss banyak digunakan ? oEfisien: Setiap member bekerja dengan kekuatan bahan maksimal Momen inersia luasan maksimal Ringan oLebih mudah dibuat Bagaimanakah ukuran member (komponen) ditentukan ? oBerdasarkan besar gaya dan kekuatan bahannya oMakin besar gaya makin besar ukuran Bagaimanakah menghitung gaya yang bekerja pada setiap member ? Tujuan oMengetahui gaya yang bekerja pada setiap member 4 Bahan Ajar Mekanika Teknik - Rev0 - Updat e 02 Febr uar i 2010 Asumsi oDua dimensi oSambungan pin Sambungan berpusat pada satu titik (titik sambung berupa pin) Setiap member dapat berputar bebas pada pin Member hanya mengalami tarikan (tensi) atau kompresi oMassa member diabaikan tensi kompressi Metode oMetoda sambungan oMetoda irisan Metoda sambungan odimulai dari sambungan dengan gaya luar odua variabel yang tidak diketahui Prosedur obuat diagram badan bebas secara keseluruhan obuat perkiraan arah gaya pada setiap member: tensi/kompressi ogambarkan keadaan gaya ini pada diagram badan bebas ohitung reaksi pada titik tumpu omulailah perhitungan dari sambungan dengan gaya yang diketahui ohitung sistem gaya pada sambungan yang berdekatan oulangihalinisampaigayapadamemberyangdiinginkandapat diketahui 00 yxFF5 Bahan Ajar Mekanika Teknik - Rev0 - Updat e 02 Febr uar i 2010 Contoh Soal 1:Tentukan gaya yang bekerja pada AB, BD, CD dan EF HF E CG DBA10 kN 20 kN 10 kN Jawab: RB RA10 kN 20 kN 10 kNABD GC E FH 0 HM18 RA=13,5 (W) 9 (20) 4,5 (10) = 0 RA =kN 201845 180 135+ + BCRAA 0 VFRA=AB.5 , 76= 20 AB =6) 20 ( 5 , 7= 25 kN 6 Bahan Ajar Mekanika Teknik - Rev0 - Updat e 02 Febr uar i 2010 ACDB10 kN 0 HF5 , 75 , 4. AB = BD 5 , 75 , 4. (25) = 15 Kn 0 VF5 , 76.AB + BC = 10 5 , 76(25) + BC = 10 BC = 10 20 = - 10 kN BA ECD 0 VFBC =5 , 76. CD CD =6) 5 , 7 ( 10 = -12,5 kN BCRAA 0 HF5 , 75 , 4.AB = AC AC =5 , 75 , 4.(25) = 15 kN 7 Bahan Ajar Mekanika Teknik - Rev0 - Updat e 02 Febr uar i 2010 BA ECD 0 HFAC = CD5 , 75 , 4+ CE CE = 15 - 5 , 75 , 4(-12,5) CE =22,5 Kn EF = CE = 22,5 kN Contoh Soal 2:Tentukan gaya pada AB dan CD! Jawab: 8 Bahan Ajar Mekanika Teknik - Rev0 - Updat e 02 Febr uar i 2010 0 VFAB.7 , 46 , 3= 6 AB =6 ,`

.|6 , 37 , 4= 7,8 kN 0 VF7 , 46 , 3AB = BC BC =7,8 ,`

.|6 , 37 , 4= 6,0 kN 0 VFBC = 7 , 46 , 3CD CD = 6,0 ,`

.|6 , 37 , 4= 7,8 kN Metoda Irisan oirisan pada bidang truss otiga variabel yang tidak diketahui omaksimum memotong tiga member Prosedur obuat diagram badan bebas truss secara keseluruhan obuatirisanyangmencakupmemberyangdikehendaki.Ingatlah bahwa maksimum varibel yang tidak diketahui adalah tiga. Biasanya ini berarti bahwa jumlah member yang diiris maksimum tiga buah openyelesaiandilakukandenganberdasarkanpadakesetimbangan antara gaya luar dan gaya dalam pada member 000 oyxMFF9 Bahan Ajar Mekanika Teknik - Rev0 - Updat e 02 Febr uar i 2010 Contoh Soal 1:Tentukan gaya yang bekerja pada DF dan DE! 1500 NC EGF DB2000 N1000 N800 NB Jawab: IrisanRG RCB800 N1000 N2000 NBD FGE C1500 N 0 CM(800 x 10.4) + (1500 x 6) + (2000 x 18) (RG x 24) (1000 x 12) = 0 RG = 24) 12 2000 ( ) 18 2000 ( ) 6 1500 ( ) 4 . 10 800 ( x x x x + += 1722 N Rx = 800 N 0 VFRC + RG = 1500 + 2000 + 1000 RC + 1722 = 1500 + 2000 + 1000 RC = 2778 N 10 Bahan Ajar Mekanika Teknik - Rev0 - Updat e 02 Febr uar i 2010 Irisan27781500 NC EF DB1000 N800 N B 0 EM(800 x 10.4) + (2778 x 12) + (DF x 10.4) (1000 x 24) (1500 x 6) = 0 DF = 4 . 10) 12 2778 ( ) 4 . 10 800 ( ) 6 1500 ( ) 24 1000 ( x x x x + DF = - 832 N 0 CM(800 x 10.4) + (1500 x 6) + (-832 x 10.4) (DE x 10.4) (1000 x 12) = 0 DE = 4 . 10) 6 500 ( ) 4 . 10 800 ( ) 4 . 10 832 ( ) 12 1000 ( x x x x + DE = 320 N Contoh Soal 2:Tentukan gaya pada BC, FG dan AB! 11 Bahan Ajar Mekanika Teknik - Rev0 - Updat e 02 Febr uar i 2010 Jawab: Rangka dii ri s Irisan 1 0 CM(300 x 6) + (12 . FG) = 0 FG = 126 300x= -150 0 FM(300 x 6) - (12 . BC) = 0 BC = 126 300x= 150 Irisan 2 0 BM(12 x 300) + (200 x 6) + (12 x GH) = 0 GH = 12) 6 200 ( ) 300 12 (+ x x GH = -300 +(-100) = - 400 0 GM(12 x 300) + (6 x 200) + (-12 x BA) = 0 BA = 400 12 Bahan Ajar Mekanika Teknik - Rev0 - Updat e 02 Febr uar i 2010 VEKTOR UNTUK OPERASI GAYA Jenis vektor bebas (free vector) vektor geser (sliding vector) vektor tetap (fixed vector) Perkalian dot or scalar product PQ = PQ cos Perkalian skalar antara suatu vektor dengan suatu unit vektor sama dengan komponen vektor yang pertama pada arah unit vektor CD = PeL Contoh lainnya adalah komponen P pada sumbu x, y dan z, sebagai berikut Px = PiPy = PjPz = Pk 13 Bahan Ajar Mekanika Teknik - Rev0 - Updat e 02 Febr uar i 2010 cross or vector product P Q = (PQ sin )e P Q = (PyQz PzQy)i + (PzQx PxQz)j + (PxQy PyQx)k Momen r = xi + yi +zkF = Fx i + Fy j + Fz k maka M = (FzyFyz)i + (FxzFzx)j + (FyxFxy)k Mx = FzyFyzMy = FxzFzxMz = FyxFxy z y xz y xQ Q QP P Pk j i14 Bahan Ajar Mekanika Teknik - Rev0 - Updat e 02 Febr uar i 2010 z y xF F Fz y xk j iF r M Kopel C = (r1 r2) F C = a F Untuk skal ar persamaannya menjadi C = dF 15 Bahan Ajar Mekanika Teknik - Rev0 - Updat e 02 Febr uar i 2010 KESETIMBANGAN SISTEM GAYA TIGA DIMENSI Persamaan Umum F = 0 M = 0 atau Fx = 0Fy = 0Fz = 0 Mx = 0My = 0Mz = 0 Contoh Penyelesaian soal 1 Sebuah batang silinder dari baja sepanjang 7 m dengan massa 200 kg bersandar miringpadadindingsepertiterlihatdalamgambardibawahini.PadaujungA, batangbajadidukungdengansambunganbola-soket,sementarapadaujungB, bajabersandarpadabidangyanglicin.Hitunglahgaya-gayareaksipadalantai dan dinding ! Jawab: Gaya berat W = mg = 200 (9.81) = 1962 N Tinggi vertikal B dapat dihitung sebagai berikut: 72 = 22 + 62 + h2 h = 3 m 16 Bahan Ajar Mekanika Teknik - Rev0 - Updat e 02 Febr uar i 2010 PENYELESAIAN SECARA SKALAR KarenapadatitikAbekerjabanyaksekaligayayangdiketahui,persamaan kesetimbangan momen diambil pada titik A. MAx = 0 W (3) 3 By = 0 1962 (3) 3 By = 0 By = 1962 N MAy = 0 W (1) + 3 Bx = 0 1962 (1) + 3 Bx = 0 Bx = 654 N KarenasemuagayapadaBtelahdiketahui,denganpen-jumlahangaya, gaya-gaya pada A akan dapat diselesaikan. Fx = 0 Ax + Bx = 0 Ax + 654 = 0 Ax = 654 N Fy = 0 Ay + By = 0 Ay + 1962 = 0 Ay = 1962 N Fz = 0 Az W = 0 Az 1962 = 0 Az = 1962 N PENYELESAIAN SECARA VEKTOR Sebelummenghitungmomen,vektorposisiB(rAB)danG(rAG)harusditentukan terlebih dahulu. Dari posisi B dan G relatif tehadap A, diperoleh rAB = 2i 6j + 3k rAG = 1i 3j + 1.5k MA = 0 rAB (Bx + By) + rAG W = 0 ( 2i 6j + 3k) (Bxi + Byj) + ( 1i 3j + 1.5k) (1962k) = 0 (03By)i + (3Bx0)j + (2By+6Bx)k + (3(1962)0)i + (01962)j + (0)k = 0 (3By + 5886)i + (3Bx1962)j + (2By+6Bx)k = 0 Ini berarti 01962 0 05 . 1 3 103 6 2 + k j iB Bk j iy x17 Bahan Ajar Mekanika Teknik - Rev0 - Updat e 02 Febr uar i 2010 3By + 5886 = 0 By = 1962 N 3Bx1962 = 0 Bx = 654 N Gaya-gaya pada A dapat dihitung dengan kesetimbangan gaya pada setiap sumbu, sebagai berikut FA = 0 (Bx Ax)i + (By Ay)j + (Az W)k = 0 (654 Ax)i + (1962 Ay)j + (Az 1962)k = 0 Ax = 654 N, Ay = 1962 N, Az = 1962 N Penyelesaian dengan cara vektor lebih elegan. Contoh Penyelesain Soal 2 Sebuah struktur ditahan pada bidang horizontal x-y dengan sambungan bola-soket pada titik A dan ring longgar pada B. Dengan pembebanan 2-kN, putaran terhadap garisA-BdicegahdengankabelCD,danstrukturitutetapstabilsepertiterlihat pada gambar di bawah ini. Bila berat setiap bagian struktur diabaikan, tentukanlah tegangan T pada kabel dan reaksi pada A dan B. 18 Bahan Ajar Mekanika Teknik - Rev0 - Updat e 02 Febr uar i 2010 Jawab: Sepertiterlihatpadadiagrambadanbebas,ada6gayayangtidakdiketahui. Supaya penyelesaian dapat dilakukan secara langsung, jumlah variable yang tidak diketahuiiniharusdikurangihinggaminimum.Caranyaadalahdengan menghitung kesetimbangan momen pada garis AB. Dengan cara ini, yang masuk kedalam perhitungan hanyalah gaya T yang dicari dan gaya luar 2 kN. KarenamomenakandihitungterhadapAB,makaunitvektoruuntukgarisAB harus diketahui terlebih dahulu.Panjang AB = (4.52 + 62)1/2 = 7.5 m u = 1/7.5(4.5j + 6k) = 1/5(3j + 4k) Selainvektorposisiuntukujung vektorT,r1dan vektorposisigayaeksternal,r2, pun harus dicari terlebih dahulu. r1 = 1i + 2.5j r2 = 2.5i + 6k F = 2j kN Vektor T adalah besaran T dikalikan dengan unit vektor pada arah CD. Jarak CD = (2.52 + 22)1/2 = 6.8 m. Sehingga T = 1/6.8 T(2i + 2.5j + 6k) 19 Bahan Ajar Mekanika Teknik - Rev0 - Updat e 02 Febr uar i 2010 Persamaan momennya adalah MAB = 0 r1 Tu + r2 Fu = 0 ( 1i + 2.5j) 1/6.8 T(2i + 2.5j + 6k) 1/5(3j + 4k) + (2.5i + 6k) 2j 1/5(3j + 4k) = 0 Penyelesaian persamaan vektor di atas menghasilkan T = 2.83 kN Tx = 2/6.8 2.83 = 0.832 kN Ty = 2.5/6.8 2.83 = 1.040 kN Tz = 6/6.8 2.83 = 2.50 kN Gaya tak diketahui lainnya dapat dicari dengan persamaan skalar berikut ini Mz = 0 2(2.5) 4.5 Bx 1.040 (3) = 0 Bx = 0.418 kN Mx = 0 4.5 Bz 2(6) 1.040(6) = 0 Bx = 4.06 kN Fx = 0 Ax + 0.418 + 0.832 = 0 Ax = 1.250 kN Fy = 0 Ay + 2 + 1.040 = 0 Ay = 3.04 kN Fz = 0 Az + 4.06 2.50 = 0 Az = 1.56 kN ( ) ( ) 0 4 3510 2 00 6 5 . 2 4 35188 . 37 . 29 .0 5 . 2 1 + + + k jk j ik jT T Tk j i20 Bahan Ajar Mekanika Teknik - Rev0 - Updat e 02 Febr uar i 2010 SENTROID (CENTROID) Pengertian Pusat suatu benda: panjang, luasan atau volume Tujuan - mahasiswa dapat menghitung sentroid benda satu, dua dan tiga dimensi Kegunaan - menentukan resultant suatu distribusi gaya: + kabel + roda + dam + berat benda - menentukan titik pusat massa Perbedaan pusat massa, titik berat dan sentroid - massa jenis - berat jenis - hanya memperhitungkan bentuk geometri Sentroid Benda Tunggal Titik berat suatu benda dihitung dengan prinsip momen. Bila benda terdiri dari elemen berat dW, maka berat benda adalah Bila jarak dari elemen benda ini terhadap garis acuan adalah r, maka berdasarkan prinsip momen, jumlah r dW harus sama dengan jumlah momen keseluruhan r W dW W21 Bahan Ajar Mekanika Teknik - Rev0 - Updat e 02 Febr uar i 2010 Dengandemikian,definisititikberatadalahdefinisipusatmassaBiladm digantikan dengan dV Karenasentroidhanyamemperhitungkanbentukgeometri,maka=1,sehingga definisi sentroid adalah Bila r dipecah ke dalam komponen x, y, dan z, maka Kalau benda berbentuk luasan Kalau benda berbentuk garis WdW rrmdm rrVdV zzVdV yyVdV xx AdA zzAdA yyAdA xx LdL zzLdL yyLdL xx dW r W rdVdV rrdVdV rr22 Bahan Ajar Mekanika Teknik - Rev0 - Updat e 02 Febr uar i 2010 Contoh Soal 1 Tentukan sentroid busur suatu lingkaran. Penyelesaian Karena simetri, y=0. Seperti terlihat dalam gambar, panjang dari elemen yang dipilih adalah dL = r d Dalam koordinat Cartesius x.dL = (r cos ) r d Panjang total busur adalah L = r = 2r Berdasarkan definisi sentroid, [ ] sinsin 2 2sin 2cos 2) cos (222rxr x rr x rd r x rd r r x LLdL xx23 Bahan Ajar Mekanika Teknik - Rev0 - Updat e 02 Febr uar i 2010 Contoh Soal 2 Tentukan jarak vertikal h suatu segitiga dari dasarnya ! Penyelesaian Karena segitiga adalah luasan, sebagai dasar perhitungan diambil elemen luasan dA.Karena yang dicariadalah h, maka elemen luasan sebaiknyasejajardengan sumbu x. Dari gambar, kita peroleh dA = x dy Karena dA akan dintegrasikan terhadap y, maka x harus dinyatakan dalam y pula. b/h = x/(h-y) x = b/(h(h-y)) 24 Bahan Ajar Mekanika Teknik - Rev0 - Updat e 02 Febr uar i 2010 Contoh Soal 3 Tentukan sentroid dari sebuah benda yang berbentuk setengah bola. 36 23 23 2) () () (33 303 202000hyhhbybhh hhby Ay hyhby Ady y hyhby Adyhy h by y Ady x y y AAdA yyhhhhh

,`

.|

,`

.| ]]]

25 Bahan Ajar Mekanika Teknik - Rev0 - Updat e 02 Febr uar i 2010 Jawab Seperti terlihat dalam gambar, karenasimetris, z = x = 0. Sementarayharusdihitungdenganberdasarkanpadaelemenvolumeyang sejajar dengan sumbu z. Persamaan sebuah bola adalah x2 + y2 + z2 = r2 Bolainiberpotongandenganbidangy-z,sehinggapersamaanlingkaranyang terbentuk adalah x = 0 y2 + z2 = r2 Sehingga jari-jari elemen volumenya adalah z = (r2 y2)1/2 Volume potongan kecil dV = luas tinggi = (jari-jari)2 dy dV = (r2 y2) dy Menurut definisi, r yrr yr r rr yy y r yy r ydy y r y dy y r ydV y dV yr rr r834 3204 2034 2 3) ( ) (434 4 3304 2 203202 202 2 ,`

.|''

,`

.| ''

,`

.|]]]

]]]

26 Bahan Ajar Mekanika Teknik - Rev0 - Updat e 02 Febr uar i 2010 Dalam penentuan sentroid dengan metoda integrasi, penentuan elemen sangatlah penting.Berikutiniadalahbeberapapatokanumumdalampenentuanelemen tersebut. (a).Jikamemungkinkan,pilihlahelemenordo-kesatudibandingelemendengan ordolebihtinggi(ordo-kedua,danordo-ketiga).Elemenordo-kesatuhanya memerlukansekaliintegrasi,sementarayanglainnyamemerlukanduaatautiga kali integrasi. (b). Pilihlah elemen dengan fungsi yang kontinyu untuk seluruh range benda yang akandicariintegrasinya.Bilaelemenyangdipilihterdirilebihdarisatufungsi, maka integrasinya pun akan lebih dari satu kali. (c). Buanglah suku dengan ordo-tinggi dari persamaan elemen. (d). Pilihlah sistemkoordinat yang paling cocok dengan batas-batas wilayah yang akan diintegrasikan. Sentroid Benda Gabungan Bilasebuahbendadapatdipecahmenjadielemenyangsentroid-nyatelah diketahui,perhitungansentroidbendagabunganmenjadilebihmudah.Prinsip perhitungannyasamadenganmetodaintegrasiyangtelahdibicarakanterlebih dahulu, yaitu prinsip momen. Bilasebuahbendadapatdipecahmenjadibeberapabagiandenganmassa m1,m2,danm3denganpusatmassapadaarah xadalah,masing-masing,x1,x2 dan x3, maka (m1 + m2 + m3) X = m1x1 + m2x2 + m3x3 dimanaXadalahkoordinatpusatmassapadasumbu-xdarikeseluruhanbenda. Persamaandiatasdapatditulisdenganlebihkompaksebagaiberikutdan dikembangkan untuk sumbu yang lainnya. mz mZmy mYmx mX27 Bahan Ajar Mekanika Teknik - Rev0 - Updat e 02 Febr uar i 2010 Persamaandiatasjugaberlakubilabendaberupagaris,luasan,atauvolume. Sehingga Contoh Soal 4 Hitunglahsentroidbendakompositdibawahini.Diketahuibahwabahanuntuk bidang vertikal mempunyai massa jenis 25 kg/m2, sementara bidang horizontalnya terbuat dari bahan dengan massa 40 kg/m2 (tebal bidang horizontal dan vertikal di abaikan), dan porosnya terbuat dari baja dengan massa 7 830 kg/m3. Vz VZVy VYVx VXAz AZAy AYAx AXLz LZLy LYLx LX28 Bahan Ajar Mekanika Teknik - Rev0 - Updat e 02 Febr uar i 2010 Penyelesaian Berdasarkanbentuknya,bendadibagimenjadilimabagiansepertiterlihatdalam gambar pada halaman berikut ini. Berdasarkan pembagian itu, massa total benda komposit adalah M = m1 + m2 m3 + m4 + m5 m1= A1 25 kg/m2 = 0.5 (50 10-3)2 25 kg/m2 = 0.098 kg m2= A2 25 kg/m2 = (15010-3) (15010-3) 25 kg/m2 = 0.562 kg m3= A3 25 kg/m2 = 0.5(7510-3) (10010-3) 25 kg/m2 = 0.094 kg m4= A4 40 kg/m2 = (15010-3) (10010-3) 40 kg/m2 = 0.600 kg 29 Bahan Ajar Mekanika Teknik - Rev0 - Updat e 02 Febr uar i 2010 Penentuan Pusat Massa Tiap Bagian Karena simetri, untuk setiap bagian benda, maupun benda komposit, x = 0. Bagian I y = 0 z = 4r/3=21.2 mm (lihat tabel sentroid bentuk dasar benda) Bagian II y = 0 z = 150/2 = 75 mm Bagian III y = 0 z = 50 2/3 (75) = 100 mm Bagian IV y = 100/2 = 50 mm z = 150 mm Bagian V y = 150/2 = 75 mm z = 0 Perhitungan sentroid benda komposit Y= (m1y1+ m2y2 m3y3+ m4y4+ m5y5)/M = 140.7/2.642 = 53.3 mm Z= (m1z1+ m2z2 m3z3+ m4z4+ m5z5)/M = 120.73/2.642 = 45.7 mm 30 Bahan Ajar Mekanika Teknik - Rev0 - Updat e 02 Febr uar i 2010 MOMEN INERSIA Video yang ditayangkan 1.Runtuhnya narrow bridge di Amerika Serikat Pesan : Jembatan runtuh karena adanya hembusan angin jembatan terlalu lentur berhubungan dengan momen inersia Defleksi pada balok (beam) ( )EIx Mdxy d22 Normal stress pada balok IMc 2.Ice skating Pesan: Ketika pemain ice skating yang berputar menjulurkan tangannya, kecepatan putarnya menurun. Ini terjadi karena momen inersianya bertambah besar. Kekekalan momentum anguler ( ) '0 0 I HI M Momen inersia Momen inersia luasan Kekakuan /kekuatan bahan momen inersia massa Benda tegar dalam rotasi Momen inersia luasan dA y Ix2 dA x Iy2 31 Bahan Ajar Mekanika Teknik - Rev0 - Updat e 02 Febr uar i 2010 Momen inersia bentuk geometridasar 3121bh Ig 3361bh Ig 441r Ig Momen inersia benda komposit Sama dengan jumlah momen inersia komponen penyusunnya. Teorema sumbu sejajar Momen inersia suatu luasanbendaterhadapsuatu sumbusama dengan momen inersiabendaitudengansumbuyangsejajartetapimelewatisentroidnya ditambahdenganhasilkaliantaraluasanbendatersebutdengankuadratjarak antara kedua sumbu. 21Ar I Ig x+ 32 Bahan Ajar Mekanika Teknik - Rev0 - Updat e 02 Febr uar i 2010 Contoh Hitunglahmomeninersialuasanbalokdibawahiniterhadapsumbuhorizontal yang melewati titik sentroidnya. Jawab : a.Menentukan sentroid luasan ( )( )( ) ( )()( )714 . 22816 6016 121 8 2 3 2 6 22 12 2 1 1+++ +++A Ay A y Ay b.Menentukan momen inersia tiap komponen terhadap sumbu yang melewati sentroid. Benda I ( )( )( )( ) ( )( )71 . 9812 286 . 2 6 212112 286 . 21212 32 321+ + + bhA r I Ig Benda II ( )( )( )( ) ( )( )34 . 5216 714 . 1 8 812116 714 . 11212 32 322+ + + bhA r I Ig 05 . 15134 . 52 71 . 982 1+ + I I I 33 Bahan Ajar Mekanika Teknik - Rev0 - Updat e 02 Febr uar i 2010 Momen inersia massa Untuk benda tebal ( )( )( )dm y x Idm z x Idm z y Izyx+ + + 2 22 22 2 Untuk benda tipis y x zyxI I dm r Idm x Idm y I+ 222 Teorema sumbu sejajar 2mr I Ig x+ Momeninersiabendasederhanaterhadapsumbuyangmelewati sentroidnya 22ml Iml Izy ( )( )( )2 22 22 2121121121c b m Ic a m Ib a m Izyx+ + + 34 Bahan Ajar Mekanika Teknik - Rev0 - Updat e 02 Febr uar i 2010 222444RmIRmIRmIzyx ( )( )22 22 212131213121mR Ih R m Ih R m Izyx+ + ( )2120121r r m Iz+ Bola, r222525252mR ImR ImR Izyx 35 Bahan Ajar Mekanika Teknik - Rev0 - Updat e 02 Febr uar i 2010 contoh : Tentukan momen inersia flywheel seperti di bawah ini Jawab : Asumsikanbahwaflywheelinterdiridarisilinderberonggaluardandalamserta batang panjang sebagai jari-jarinya. a.Menentukan massa tiap komponen 1.Massa silinder luar( ) h d d21204 2.Massa silinder dalam( ) h d d21204 3.Massa 1 jari-jari ld42 b.momen inersia tiap komponen terhadap sumbu perputaran flywheel ( )( )jari jari2120 22120 12121 Ir r m Ir r m I 36 Bahan Ajar Mekanika Teknik - Rev0 - Updat e 02 Febr uar i 2010 KINEMATIKA PARTIKEL Kinematika: Kajian gerakan tanpa memperhatikan gaya atau faktor lain yang mempengaruhi gerakan tersebut. Posisi:Letakpartikelterhadapsuatutitikacuanuntukbendayang bergerak posisi ini adalah suatu fungsi dari waktu. contoh : ( )( ) tk tj ti t rt t t x 2 sin 5 cos 52 3 52+ + + + Kecepatan : ( ) t xdtdxv Percepatan : ( )( ) t x at vdtdva Contoh : Sebuahpartikelbergeraksesuaidenganpersamaan( ) 2 3 52+ + t t t x . Berapakah kecepatan dan percepatannya pada t = 2 ? Waktu (t) dinyatakan dalam detik dan jarak (x) dalam meter. Jawab : Kecepatan,3 10+ tdtdxvPercepatan, 10 dtdVapada t = 2, 37 Bahan Ajar Mekanika Teknik - Rev0 - Updat e 02 Febr uar i 2010 ( )sm10sm233 2 103 10+ + at v Percepatan dari gerakan ini adalah tetap karena tidak merupakan fungsi dari z. Untuk posisi yang dinyatakan dengan vektor posisi, dikenal dua istilah velocity dan speed. Bila lintasan suatu benda dapat dinyatakan dengan vektor ( ) ( ) ( ) ( )k t z j t y i t x t r + + maka, ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) skalarvekto k t z j t y i t xt V t r + + t V velocity dari besaranspeedvelocity Contoh : Sebuahpartikelbergerakdalamlintasanberbentukheliksdenganpersamaan sbb : ( ) tk tj ti t r 2 sin 5 cos 5 + + Hitunglah : velocity, speed, dan percepatannya! 38 Bahan Ajar Mekanika Teknik - Rev0 - Updat e 02 Febr uar i 2010 Jawab :Jari-jari lingkaran = 5 cm kecepatan putar = radian/det kecepatan naik (arah z) = 2 m/det a.( ) ( ) k tj i t t r v 2 cos 5 sin 5 + + b.Speed smt tt v294 251 cos sin4 cos 25 sin 252 22 22 2 2 2 2 + + + + c.Percepatan ( ) ( )k tj it r t v a0 sin 5 cos 52 2+ + Percepatan hanya ada pada arah i dan j , sementara pada arah k (vertikal) adalah nol. Hal ini juga dapat dilihat dari persamaan kecepatan dimana pada arah z bernilai konstan (tidak merupakan fungsi waktu). Contoh : Salah satumekanismeuntukmengubahgerakanberputar(rotasi)menjadi gerakan lurus (translasi) adalah Scotch Yoke seperti terlihat di bawah ini. 39 Bahan Ajar Mekanika Teknik - Rev0 - Updat e 02 Febr uar i 2010 BilacrankOAberputarmaka sliderB akan bergerakkekiri dan kekanan. Simpanganmaksimumslidersamadengan2xpanjangOA.Tentukanhubungan antarakecepatanputarcrankdenganpergeseran,kecepatan,danpercepatan slider! Jawab : Pergeseransliderdigambarkandengangambarsliderputus-putusdan disimbolkan dengan x. bila crank berada pada posisi horizontal maka. OA L OB + .................(1) ketikacranksudahbergerakkeatassebesar,makasliderbergeserkekanan sebesar x. bila titik B menunjukkan posisi ujung kiri slider ketika = 0o, maka OAcos L - OB x + ...............(2) dengan demikian ( )( ) crank jari - jari R OA cos - 1 OAOAcos - OAOAcos - L - OA L x / + / ( ) cos 1 R x ...............(3) Sudutadalahsudutyangditempuhcrankdalamwaktut.karenakecepatan sudut crank=, maka waktu kecepatan t ...(4) Bila kita subtitusikan pada persamaan (3), akan diperoleh ( )( ) t cos - 1 Rcos - 1 R x Kecepatan: {( )t Rt Rt R Rdtd sinsincosdtdxv0+

,`

.| 40 Bahan Ajar Mekanika Teknik - Rev0 - Updat e 02 Febr uar i 2010 Kecepatanbernilaimaksimumketikasin1 t ,yaituketikacrankdalamposisi tegak. Percepatan: ( )t Rt Rdtddtdva sinsin2 Percepatanbernilaimaksimumketikacost=1,yaituketikacrankdalamposisi mendatar. 41 Bahan Ajar Mekanika Teknik - Rev0 - Updat e 02 Febr uar i 2010 KINETIKA PARTIKEL Mempelajari gerakan yang terjadi karena adanya ketidakseimbangan gaya. Hukum Newton : 1.Bendayangdiamatau bergeraklurusdengankecepatan tetap akantetap demikian bila tidak diberikan gaya. 2.BendayangdiberigayatidakseimbangFakanmengalamipercepatan sebesarayangsearahdengangayadanmempunyaibesaranyang sebandingdengan gaya itu. a m F . 3.untuksetiapgayayangbekerjapadasuatubenda,bendaakan melawannyadenganbesaranyangsamatetapiberlawananarahdan segaris dengan gaya aksi. Kinetika memadukan:- a m F .-Kinematika Besar gaya: - Gesekan a m F .-Pegaskx F Kinematika : 20 02020212at t v s sas v vat v v+ + + + 42 Bahan Ajar Mekanika Teknik - Rev0 - Updat e 02 Febr uar i 2010 Contoh 1 : Tentukan kecepatan pada t = 5s, k = 0.3. Jawab : 0 0. y yy yF aa m F maka, + + 40 sin 250 81 . 9 500 40 sin 250 81 . 9 500NNFy gaya gesek, NN fk 3 . 0. Sehingga, axa Na Na m Fxxx x50 3 . 0 40 cos 25024 3 . 0 40 cos 250. 43 Bahan Ajar Mekanika Teknik - Rev0 - Updat e 02 Febr uar i 2010 Kecepatan benda, 5 00 + + xaat V V Contoh 2: Berapa kecepatan putarnya ? Jawab : rmva m Fn n2. V VrVrmVFFtgnn 2226081 . 9 6030 rpmradrVCOr CO V 260. 44 Bahan Ajar Mekanika Teknik - Rev0 - Updat e 02 Febr uar i 2010 Contoh 4: Berapa h supaya partikel dapat putaran penuh ? Jawab : 0 cos . .0 .sin .. sin . ..ll g m Na m Fg aa m g ma m F 20 021. sin .. . sin .v s gdv v ds gvdv adsv s sinhs Pada , gh vv ghv hg222 sinsin22 Supaya benda tidak jatuh N = 0 45 Bahan Ajar Mekanika Teknik - Rev0 - Updat e 02 Febr uar i 2010 {00nn nFa m F ( ) d h g Vgd ghgd V Vas V Vtttop + 22 2222202202 ( )d ddhddhdd hdg d h gdg VtdmVtmg Fn45422222 22220222 + + 46 Bahan Ajar Mekanika Teknik - Rev0 - Updat e 02 Febr uar i 2010 Persamaan untuk percepatan konstan 1.at V Vt+ 0 2.as V Vt2202+ 3. 2021at t V s + 4.( )t V V st 021+ Contoh : 1.Sebuahkeretaapimengubahkecepatannyadari60km/jammenjadi30mph dari jarak 1500 m. Berapakah percepatannya ? Jawab : Diketahui : V0 = 60 km/jam, s= 1500 m, Vt = 30 km/jam Pilih persamaan yang ada kedua variabel di atas, serta jaraknya. ( )22 22 2202sm9 . 0300060 301500 2 60 302 + + aaas V Vt a bernilai negatif, karena kereta api melambat. 2.Sebuah partikel bergerak vertikal dan percepatannya dapat dinyatakan dengan 20 12 t a . Diketahui pula bahwa posisinya adalah s = -10m pada t = 0, dan s = 10m pada t = 5 detik. Bagaimanakah persamaan gerakan benda itu ? Jawab : 47 Bahan Ajar Mekanika Teknik - Rev0 - Updat e 02 Febr uar i 2010 20 12 t akarena dtdva , maka ( )( )122021220 1220 1220 12dtdvC t t vdt T dvdt t dvt+ Untuk mendapatkan jarak s, kita integralkan sekali lagi : ( )2 12 32 12 3121210 22203620 620 6C t C t t sC C t t sdt C t t dsC t tdtdsdtdsv+ + + + + + Konstanta integrasi C1 dan C2 dapat dicari dengan menggunakan kondisi pada t = 0 dan t = 5. 2 12 310 2 C t C t t s + + Pada t = 0, s = -10, sehingga ( ) ( ) ( )100 0 0 100 0 10 0 2 10222 1 + + + + CCC C Pada t = 5, s = 10, sehingga ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )452010 10 510 5 250 250 1010 5 25 10 125 2 1010 5 5 10 5 2 10111112 3 + + + + + CCCCC 48 Bahan Ajar Mekanika Teknik - Rev0 - Updat e 02 Febr uar i 2010 Dengan demikian persamaan geraknya adalah 10 4 10 22 3 + t t t sdimana, s = jarak dalam meter t = waktu dalam detik 3.Sebuahpartikelbergerakdalamarahvertikaldenganpercepatanv a 2 . Ketika2 t detik, jaraknya adalah 65 m dan kecepatan 15 m/s.Tentukan jarak, kecepatan, dan percepatan pada t = 3 detik. jawab : Diketahui : v a 2 pada t = 2, s = 65, v = 15 vdtdva 2 Dengan memisahkan variabel yang sejenis diperoleh dt dv vdtvdv2221 dengan integrasi diperoleh 1121212 222112C t vC t vdt dv v+ + karena pada t = 2, v = 15 m/s, maka 49 Bahan Ajar Mekanika Teknik - Rev0 - Updat e 02 Febr uar i 2010 ( )( )746 . 34 746 . 74 873 . 3 22 2 15 2111 + + CCC dengan demikian persamaan kecepatan menjadi ( )508 . 3 746 . 3873 . 1873 . 1746 . 3 3 222+ + + + + tt vt vt v Untuk mendapatkan persamaan jarak, kita perlu mengintegrasikan sekali lagi. ( )22 322 323508 . 3 873 . 131508 . 32746 . 331508 . 3 746 . 3508 . 3 746 . 3C t t tC t t t sdt t t dst tdtdsv+ + + + + + + + + karena pada t = 2, s = 65, maka ( ) ( ) ( )825 . 47 508 . 3 873 . 131845 . 472 508 . 3 4 873 . 1 831652 322+ + + + + + t t t SCC pada t = 3 detik ( ) ( ) ()()222 3sm746 . 9746 . 23 22sm746 . 23508 . 3 3 746 . 3 9508 . 3 746 . 3 t vm 206 . 90825 . 47 3 508 . 5 3 873 . 1 331+ + + + + + v ats DINAMIKA BENDA TEGAR DALAM ROTASI 50 Bahan Ajar Mekanika Teknik - Rev0 - Updat e 02 Febr uar i 2010 Benda tegar : Multi partikel Tidak mengalami perubahan bentuk Rotasi pada sumbu tetap dtd ---------(1) dtd ---------(2) ddd dt d d ---------(3) 2tetap yang Untuk ( )020220 00221 + + + + ccct tt Titik P Kecepatan linier r ar ar vnt2 Kinetika benda tegar dalam rotasi ( )tt td dtt + 00 000( )( )0202200220 0 + d d( )02000210 + + dt td dt dtd dtt51 Bahan Ajar Mekanika Teknik - Rev0 - Updat e 02 Febr uar i 2010 O : Sumbu putaran G : Sentroid Pada rotasi yang terjadi karena ketidakseimbangan gaya berlaku persamaan berikut : 02 2I Mr mma Fr mma Fma Fttnn Jari-jari girasim I dimana : rotasi sumbuterhadap inersia momenIG danO antara jarakranguler percepatananguler kecepatan benda massa mO Contoh 1: Sebuahpiringanlogamdenganberat50kgdandapatberputarpada porosnya tanpa gesekan diberi gayatangensial sebesar60 N. Jikapiringanpada awalnya diam, berapa putaran yang diuperlukan sampai kecepatannya menjadi 30 rad/s? Tentukan pula reaksi pada porosnya. 52 Bahan Ajar Mekanika Teknik - Rev0 - Updat e 02 Febr uar i 2010 Jawab : Karena sumbu rotasi sama dengan sentroid maka0 r , sehingga : 002 r m Fr m Ftn yang berlaku hanyalah, O Muntuk piringan, 56 . 125 . 0 50212122O mr Nm 1525 . 0 60 r F M 2Osrad62 . 9 56 . 1 15 M Karenagayadanmassabendaadalahtetap konstan.Dengandemikian berlaku, ( )radian 78 . 4624 . 19 90062 . 9 2 0 3022 2202+ + karena 1 putaranradian 2 , maka : putaran 45 . 7radputaran21rad 78 46 putaran Jumlah . Reaksi pada sumbu 53 Bahan Ajar Mekanika Teknik - Rev0 - Updat e 02 Febr uar i 2010 NWFFyyyx5 . 55060 81 . 9 50 O0 60 O00 + Contoh 2 : Sebuahdrumdenganmassa80kgdandiameter0.6mdililitdengantali yangujungnyadigantungibendadenganmassa10kg.Jikabebantersebut dilepaskan, berapa percepatan anguler drum? Tentukan pula tegangan pada tali. jawab : Karena sumbu rotasi = sentroid, maka persamaan yang berlaku hanyalah 6 . 309 . 0 403 . 0 80212G OO M Perhatikan diagram benda bebas, drum dan beban dianalisa secera terpisah. Drum: 126 . 3 3 . 06 . 3MO TTr T Beban vvvva Ta Tma T Wma F 1 . 9810 81 . 9 10 Karenatalimemutardrum,makakecepatanlinierdrumsamadengankecepatan 54 Bahan Ajar Mekanika Teknik - Rev0 - Updat e 02 Febr uar i 2010 linier tali. percepatan linier tepi drum = percepatan tali 54 . 615 1 . 983 12 1 . 983 1 . 983 . 0 10 1 . 983 . 0 a rv TTav Tegangan tal i N 48 . 7854 . 6 1212 T Apakah T = W ? N 1 . 9881 . 9 10 g m W TW, oleh karena itu beban jatuh ke bawah dan drum berputar Contoh 3 : Sebuahflywheelyangtidakseimbangmempunyaijari-jarigirasiKG=0.6. Jikaflywheelitudipasang sepertigambardibawahinidanberputar8rad/s.Bila massa flywheel = 50 kg, berapakah reaksi pada pin O. Jawab : Diagram benda bebas 55 Bahan Ajar Mekanika Teknik - Rev0 - Updat e 02 Febr uar i 2010 125 . 190225 . 0 50 1815 . 0 50 181836 . 0 506 . 0 502222 + + + r mmKG OG G Percepatan anguler 2s rad 85 . 3125 . 19 575 . 73125 . 19 15 . 0 81 . 9 50 OO Or WM Arah tangensial N 38 . 519875 . 28 5 . 49085 . 3 15 . 0 50 81 . 9 50 ttttt tOOOr m W Oma F Arah normal N 48064 15 . 0 508 15 . 0 5022 r m Oma Ftn n