bahan kuliah mektek 2

7/16/2019 bahan kuliah mektek 2

1/384

DAFTAR ISI

Daftar Isi. ....................................................................................................

Prakata.........................................................................................................

1. Tegangan tarik dan tegangan tekan.......................................................

Sasaran belajar......................................................................................

Pendahulan............................................................................................

Tegangan dan regangan........................................................................

Elastisitas dan plastisitas.......................................................................

Hukum HOOKE....................................................................................

Faktor keamanan...................................................................................Angka poissons (u)..............................................................................

Tegangan akibat berat sendiri...............................................................

Tegangan batang akibat beban aksial...................................................

Tegangan akibat perubahan temperatur................................................

Tegangan pada batang tirus..................................................................

2. Tegangan geser.................................................................................... .

Sasaran belajar....................................................................................Pengertian dan tegangan geser...........................................................

Tegangan geser yang diizinkan..........................................................

Tegangan geser pada batang yang mendapat beban tarik dan

Tekan murni..........................................................................................

Tegangan geser pada bidang yang letaknya tegak lurus satu sama

Lain....................................................................................................

3. Momen inersia....................................................................................Sasaran belajar

Pengertian momen intersia.................................................................

Momen inersia polar...........................................................................

Jari-jari girasi......................................................................................

Teorema sumbu sejajar.......................................................................

Momen inersia penampang.................................................................

Momen inersia penampang komposit.................................................

1


2/384

Hasil kali inersia.................................................................................

Soal perlatihan....................................................................................

4. Tegangan normal akibat momen lentur (tegangan lentur)..................

Sasaran belajar....................................................................................

Pendahuluan........................................................................................

Distribusi tegangan penampang simetri.............................................

Distribusi tegangan penampang tak simetri........................................

Tegangan geser dalam balok..............................................................

Tagangan-tegangan dalam balok dengan penampang tak konstan.....

5. Tegangan akibat momen puntir

Sasaran belajar....................................................................................Pendahuluan........................................................................................

Penurunan rumus puntir......................................................................

Torsi pada tabung berdinding tipis.....................................................

Soal perlatihan....................................................................................

6. Tekanan bidang...................................................................................

Pendahuluan........................................................................................

Tekanan pada bidang miring..............................................................Tekanan pada bidang datar.................................................................

Tekanan pada tabung berdinding tipis................................................

Soal perlatihan....................................................................................

7. Tegangan gabungan............................................................................

Sasaran belajar ...................................................................................

Pendahuluan........................................................................................

Kombinasi beban aksial dan lentur.....................................................Persamaan transformasi tegangan bidang...........................................

Lingkaran tegangan mohr...................................................................

Pembuatan lingkaran mohr.................................................................

Soal perlatihan....................................................................................

8. Lendutan.............................................................................................

Sasaran belajar......................................................................................

Pendahuluan........................................................................................

2


3/384

Moroda integrasi ganda.........................................................................

Metode luas momen..............................................................................

Metode superposisi...............................................................................

Soal perlatihan......................................................................................

9. Struktur statis tak tentu.........................................................................

Sasaran belajar......................................................................................

Pendahuluan..........................................................................................

Balok dengan tempuan jepit-ngsel dan jepit rol.................................

Balok dengan tumpuan jepit.................................................................

Balok menerus......................................................................................

Soal perlatihan......................................................................................10. Buckling (Tekuk)................................................................................

Sasaran belajar....................................................................................

Pendahuluan........................................................................................

Kolom panjang dengan rumus euler...................................................

Kolom sedang.....................................................................................

Rumus kolom dengan pembebanan eksentris.....................................

Soal perlatihanDaftar Pustaka............................................................................................

3


4/384

PRAKATA

Dengan mengucapkan syukur alhamdulillah ke hadirat Tuhan Yang Maha

Esa, dan atas berkah rahmat serta hidayah-Nya, maka penyusun dapat

menyelesaikan buku ajar mekanika Teknik II ini dengan baik meskipun masih

banyak kekurangannya.

Buku ini diperuntukkan bagi kalangan mahasiswa yang ingin mempelajari

Mekanika Teknik sebagai lanjutan dari Mekanika Teknik I (satistika) pada

kurikulum jurusan teknik mesin di Universitas/ Institut umumnya dan Politeknik

khususnya.

Pengembangan, koreksi, modifikasi dan lain-lain perbaikan akan

diusahakan dikemudian hari. Oleh karena itu, segala kritik dan saran yang

bersifat membangun akan sangat berguna bagi kami, mengingat bahwa buku ini

masih jauh dari kesempurnaan.

Mudah-mudahan buku ini bermanfaat bagi mahasiswa Politeknik

khususnya dan bagi pembaca umumnya.

Penulis

4


5/384

1. Tegangan tarik dan tagangan tekan

Sasaran belajar

Setelah mempelajari dan menyelesaikan soal perlatihan bab ini, anda dapat

menentukan ukuran batang yang menerima beban tarik maupun tekan.

Anda dapat menjelaskan diagram tegangan dan regangan

Anda dapat menentukan besarnya tegangan berdasarkan pengaruh

temperatur.

Anda dapat menyebutkan paramater yang berhubungan dengan Hukum

Hooke.

Pendahuluan

Kekuatan merupakan bagian dari ilmu kekuaan bahan, sedangkan tegangan

merupakan perluasan dari pelajaran ilmu gaya (statistika), tetapi terdapat

perbedaan yang nyata antara keduanya. Pada dasarnya, statistika membahas

hubungan antara gaya yang bekerja pada benda kaku dan benda dalam keadaan

setimbang. Sedangkan kekuatan bahan meliputi hubungan antara gaya luar yang

bekerja dan pengaruhnya terhadap gaya dalam benda tersebut. Di samping itu,

analisis kekuatan benda tidak anggap kaku, sehingga deformasi kecil tetap

diperhitungkan. Jadi kekuatan bahan adalah kemampuan suatu benda untuk

menahan gaya yang terjadi padanya sampai pada batas yang ditentukan,

sedangkan tegangan adalah reaksi dalam (gaya dalam) persatuan luas penampang.

Gaya dalam adalah reaksi bagian dalam benda terhadap gaya luar. Tegangan

dilambangkan dengan huruf yunani : (sigma), misal untuk kasus benda yang

ditarik unilaksial (seperti pada uji tarik).

5

A

F=


6/384

Gambar 1.1 Benda ditarik uniaksial

Dengan : = Tegangan tarik (pa = N/m2)F = Gaya normal yang besarnya

sama dengan gaya luar (N)A = Luas penampang yang

menahan gaya luar (m2)

Dengan diketahuinya tegangan, kita dapat mengukur kemampuan benda untuk

manahan beban.

Jenis tegangan

1. Berdasarkan arah gaya dikenal tegangan normal dan tegangan geser.

Tegangan normal adalah tegangan yang diakibatkan oleh gaya luar yang

arahnya tegak lurus penampang atau sejajar normal penampang. Tegangan

geser adalah tegangan yang diakibatkan oleh gaya luar yang arahnya

sejajar atau sebidang dengan penampang yang menahan.

2. Berdasarkan pembebanan dikenal dengan tegangan tarik, tegangan tekan,Tegangan geser, tegangan dukung, tegangan lentur dan tegangan puntir

Tegangan tarik adalah tegangan yang dikakibatkan oleh beban tarik, sedangkan

tegangan tekan diakibatkan oleh beban tekan. Bila benda tarik akan terjadi

pemanjangan dan bila ditekan akan terjadi pemendekan

Tegangan dan regangan

Konsep dasar tegangan dan regangan dapat dijelaskan denganmenggunakan sebuah batang yang diberi gaya aksial (axial force) P speerti

diperlihatkan pada gambar 1.2 di bawah ini.

6


7/384

Akibat gaya aksial P akan timbul tegangan (internal stress). Untuk menghitung

tegangan perlu dilakukan pemotongan khayal pada penampang m-n (gambar 1.2

a) dengan arah tegak lurus sumbu batang.

Potongan sebelah kanan dipisahkan sebagai benda bebas (gambar 1.2 b).

Pada ujung sebelah kanan bekerja gaya P (aksi), sedangkan pada bagian sebelah

kiri timbul gaya reaksi yang besarnya sama dengan gaya aksinya.

Tegangan normal yang terjadi dapat dihitung.= )11....(..............................

A

P

Dengan : = Tegangan normal tarik (Pa)

P = Gaya tarik (N)

A = Luas penampang bahan (m2)

Akibat gaya tarik P, batang akan mengalami pemanjangan (elongation),

sedangkan apabila beban P berupa gaya tekan batang akan mengalami

pemendekan. Perubahan panjang batang baik yang mengalami pemanjangan

maupun pemendekan dinyatakan dengan huruf yunani (delta) yang

digambarkan dalam gambar 1.2 a untuk batang dengan beban tarik. Perbandingan

antara perubahan panjang () dengan panjang semula (L) disebut sebagai

regangan (strain) yang dinyatakan dengan huruf yunani = (epsilon)

Dalam persamaan :

)22..(...................................................................... =L

7

Lo

L

P

PP

n

n

n

nP

(a

)

(b

)


8/384

Dengan :

= Regangan

= Remanjangan (mm)

L = Panjang semula (mm)

Regangan untuk kasus di atas dinamakan regangan normal (normal strain)

karena beban yang diberikan arahnya tegak lurus penampang. Regangan

merupakan besaran tak berdimensi (dimensionless quality) karena bagian

regangan merupakan perbandingan antara dua ukuran panjang. Jika batang

mengalami pemanjangan atau terikan, maka reganganya disebut regangan tarik

(tenssile train) dan reganganya dinyatakan berharga positif, sedangkan bila batangmengalami pemendekan atau penekanan regangan disebut regangan tekan

(compressive strain) dan regangannya dinytakan berharga negatif.

Hubungan tegangan dan regangan

Hubungan antara tegangan dan regangan dapat dinytakan dengan diagram

TEGANGAN-REGANGAN. Diagram ini sangat penting karena kita dapat

mengatahui berbagai sifat materia dari diagram tersebut.Di bawah ini diberikan contoh diagram tegangan regangan untuk baja

karbon rendah (low carbon steel).

Diagram tegangan regangan

8


9/384

Keterangan :

Batas kesebandingan (proportional limit) merupakan batas atas daerah

regangan yang tegangannya berbanding lurus dengan regangan. Titik luluh (yield

point) adalah suatu titik yang dicapai bila bahan dibebani, maka akan terjadi

diformasi plastis atau deformasi permanen, artinya benda tidak akan kembali ke

bentuk semula bila beban dihilangkan.

Titik patah adalah titik tempat terjadi patahan. Regangan patah dapat

dipakai sebagai ukuran untuk sifat mampu bentuk suatu bahan. Suatu bahan

dengan regangan patah yang lebih besar akan mudah dibentuk tanpa mengalami

kerusakan. Kekuatan tarik (Ultimete strength) adalah tegangan maksimum yang

dapat ditahan oleh material.Bahan dengan kekuatan tarik yang tinggi disebut kuat dan sebaliknya.

Tegangan patah adalah tegangan sebenarnya (true stress) yang terjadi tepat pada

saat benda akan patah. Bila kita perhatikan diagram tegangan regangan, garis OA

adalah garis lurus, ini menandakan bahwa pertambahan tegangan berbanding lurus

dengan pertambahan regangan. Hal ini menggambarkan kelakuan elestitas bahan

atau material yang diuji. Artinya apabila tegangan yang terjadi pada bahan tidak

melampaui batah tengah luluh, maka benda akan kembali ke bventuk semula padasaat beban dihilangkan. Setelah melawati titik A, tegangan dan regangan tidak lagi

berbanding lurus. Oleh sebab itu, tegangan di titik A disebut btas kesebandingan

(proportional limit). Dengan benda diberi beban di atas batas kesebandingan,

maka akan bertambah lebih cepat daripada tegangan. Keadaan tersebut menankan

kalau sudah mulai mengalami keluluhan.

(Yielding). Tegangan yang terjadi disebut tegangan lulu (yielding stress)

atau titik luluh (yield point). Keadaan ini terjadi pada derah B hingga C, di tempatbenda mengalami regangan plastis, artinya benda akan mengalami perubahan

bentuk permanen setelah batang melawati titik C. pembenan lebih lanjut akan

menyebabkan tegangan naik hingga mencapai titik D yang merupakan batas

maksimum kekuatan suatu bahan. Selanjutnya, akan disebut kekuatan tarik

(ultimete stress). Setelah melawati titik D, regangan akan terus bertambah tanpa

perlu menambah besarnya beban sampai akhirnya material yang diuji patah yaitu

pada titik E (titik patah).

9


10/384

Untuk bahan yang rapuh (getas) pada saat patah regangan atau

pengurangan luas penampang yang terkadi kecil. Di bawah ini dapat diberikan

contoh diagram tegangan dan regangan dari berbagai macam bahan atau meterial.

Elastitas dan plastitas

Tegangan dan regangan di atas menggambarkan kelakuan dari berbagai

bahan yang mengalami pembebanan. Bila pada saat beban dihilangkan sedikit

demi sedikit, tegangan dan regangan bergerak dari titik A ke titik O secara linier

(pada kurva tegangan regangan), maka sifat bahan seperti ini disebut elastis.

Apabila suatu bahan yang mengalami pembebanan, dan beban diambil bahan

tidak bisa kembali seperti keadaan semula, maka sifat bahan tersebut disebut sifatplastitas (plasticity) dan bahannya disebut sudah plastis (sudah mengalami

perubahan bentuk permanen). Hal ini ditunjukkan pada diagram tegangan

regangan pada daerah A hingga D.

Hukum HOOKE

Apabila suatu bahan yang mengalami pembenanan menunjukkan suatu hubungan

linier antara tegangan dan regangan, maka bahan dikatakan elestis, sedangkanperbandingan antara tegangan dan regangan pada derah elastis linier dikenal

sebagai modulus elastisitas (modulus elesticity) dari bahan yang dinyatakan

dalam persamaan :

E = )31....(..............................

Dengan E : modulus elestisitas (N/m2) : Tegangan normal (N/m2)

: Ragangan

10


11/384

Modulus elestisitas seringkali disebut modulus young (youngs modulus) yangdinakaman untuk menghargai ilmuwan kebangsaan Inggris bernama bernamaThomas Young yang hidup pada tahun (1773-1829). Modulus elastisitas adalahkemiringan dari diagram tegangan-regangan dalam daerah linier, yang harganya

tergantung pada bahan yang digunakan. Persamaan : tg

E= dikenal sebagai

hukum Hooke. Hukum ini diberikan untuk menghargai ilmuan kebangsaan InggrisRobert Hoooke yang hidup pada tahun (1635-1703). Makin besar sudutkemiringan atau modulus elastisitas (E) berarti bahan akan sulit untuk dibentuk,sebaliknya kalau sudut kemiringan makin kecil, maka bahan akan mudah untukjdibentuk.

Maka; E = )41.......(......................

.

1/

/==

EA

F.Latau

A

LFAF

Dengan; F : Gaya normal (N) L : Panjang semula (mm2

)

A : Luas penampang (mm2) E : Modus elastisitas (N/mm2)

Dari uraian di atas, untuk memenuhi Hukum Hooke dapat disimpulkan sebagai

berikut:

Perpanjangan( )

sebanding dengan gaya (F).

Perpanjangan( )

sebanding dengan panjang bahan (I)

Perpanjangan

( )

berbanding terbalik dengan luas penampang bahan (A)

11


12/384

Perpanjangan( )

berbanding terbalik dengan modulus elastisitas bahan (E)

Contoh soal

Sebuah batang silinder baja yang modulusnya elastisitasnya 2,1.106 kg/cm2

mempunyai panjang 400cm, sedangkan diameternya adalah 25 mm,diberi beban

4500 kg pada ujung bawahnya. Tentukan besarnya :

tegangan normal

regangan

pertambahan panjang

Penyelesaian

Luas penampangan batang (A)

/42.2,5 = 4,909 cm

Tegangan: ot = F/A =

909,4

4500

= 91,68 kg/cm2

Regangan :

=E

t

=610.1,2

68,916

= 0,0004365

Pertambahan panjang = o =

. L = 0,0004365 . 4000 = 0,1746 cm

Faktor Keamanan

Faktor keamanan adalah angka yang menjamin agar benda yang dipakai ataudirencanakan aman.

Faktor keamanan =hkanyangdibutukekua

sebenarnyakekua

tan

tan

Faktor keamanan haruslah lebih besar daripada 1,0. Untuk menghindari

kegagalan, biasanya,angka ini berkisar antara 1,0 sampai 15.

Faktor keamanan dapat ditentukan dengan mempertimbangkan berikut ini.

Kemungkinan pembebanan melampaui batas dari struktur

12


13/384

Jenis pembebanan (statis,dinamis)

Ketidaktelitian dalam struktur

Variasi dalam sifat-sifat bahan.

Keburukan yang disebabkan kondisi atau efek-efek lingkungan yang lain.

Apabila pengambilan faktor keamanan sangat rendah, maka kemungkinan

kegagalan akan menjadi tinggi. Karena itu, rancangan strukturnya mungkin tidak

diterima. Sebaliknya, apabila faktor keamanan sangat besar, maka pemakaian

bahan akan boros dan struktur menjadi berat sehingga tidak cocok dari segi

fungsi. Dalam praktek terdapat beberapa cara melaksanakan faktor keamanan.

Untukkebanyakan struktur, perlu diperhatikanagar bahannya tetap berada dalam

jangkauan elastis untuk menghindari adanya deformasi permanen

apabilabebannya diambil.Oleh karena itu, metode perencanaan yang lazim adalah

menggunakan faktor keamanan terhadap tegangan luluh maupun tegangan batas

dari bahan, sehingga diperoleh tegangan izin (allowable stress) atau tegangan

kerja (working stress), yang tak boleh dilampaui di setiap bagian dalam struktur.

Tegangan yang diizinkan pada suatu benda

Tegangan izin oleh pembebanan tetap

Pembebanan tetap sebenarnya dibagi 2 macam, yaitu :

Pembebanan tetap dalam keadaan diam (statis)

Pembebanan tetap dalam keadaan bergerak (dinamis).

Kedua hal di atas mempunyai faktor keamanan yang berlainan, dan untuk beban

dinamis faktor keamanannya harus lebih besar daripada yang statis karena pada

pembebanan dinamis selain menerima beban gaya luar benda juga mengalami

kelelahan akibat beban yang berubah-ubah.

Tegangan izin oleh pembebanan tidak tetap.

Pembebanan tidak tetap yang dimaksud adalah bebannya bergerak tetapi

bendanya sewaktu-waktu mengalami penambahan beban maupun pengurangan

beban. Oleh karena itu, faktor keamanannya lebih besar dari beban dinamis.

13


14/384

Tegangan izin oleh pembebanan impak (kejut).

Karena bendanya mengalami impek, maka faktor keamanannya lebih besar

daripada benda yang menerima pembebanan tetap dan tidak tetap. Hal ini

disebabkan bendanya tidak sempat mengalami gaya tegang akibat adanya beban

yang tiba-tiba.

Tegangan izin = Tegangan luluhFaktor keamana

izin =n

u.(1-5)

Tegangan izin =keamananFaktor

batasTegangan

izin =n

u..(1-6)

Faktor keamanan terhadap tegangan batas (Ultimate Stress) harus lebih besar

daripada terhadap tegangan luluh (yield stress), Hal ini disebabkan karena

tegangan batas lebih besar daripada tegangan luluh untuk semua bahan.

Contoh soal 2Sebuah kolom pendek berongga terbuat dari besi tuang, mempunyai garis tengah

bagian luar 22 cm dan mendapat beban sebesar 45 ton.Kekuatan tekan dari besi

tuang adalah 7200 kgf/cm. Bila faktor keamanan adalah 4, hitunglah tegangan

tekan yang diizinkan dan berapakah tebal dinding minuman yang diperlukan

supaya tegangan yang diizinkan jangan sampai dilampaui?

Penyelesaian

Kekuatan tekan : u = 7200 kg/cm

14


15/384

Tegangan tekan yang diizinkan ( )

=ananfaktorkeam

tekanKekua tan=n

u

=4

7200 = 1800 kg/cm

Misal garis tengah lingkaran dalam adalah x cm, maka luas penampang kolom

pendek adalah :

A =4

( D- X)

=4 (22- X)(a)

Apabila benda diharapkan mampu menahan beban, teganganyang terjadi harus lebih kecil atau sam dengan teganganizinnya :

A

P 1800

A 1800

P A

1800

45000 25 cm (b)

Dari persamaan a dan b didapat :

.4

(22-X ) 25

X (22- 1,27.25)X 452,17X 17,452 x 21,26 cm

Jadi, tebal dinding minimum = t =2

XD=

2

26,2122

= 0,368 cm = 3,68 mmContoh soal 3Suatu kabel baja menanggung beban 400 kg pada salah satu

ujungnya. Jika tegangan luluh kabel baja adalah 960 kg/cm danfaktor keamanannya 1,2. Berapakah diameter minimum yangdiperlukan.

15


16/384

Penyelesaian

Tegangan izin kabel : 8002,1

960==

n

ykg/cm

Luas penampang kabel : A :4

d2

Agar kabel aman,artinya tidak mengalami perubahanpenampangan bila beban diambil, maka tegangannya yangterjadi harus lebih kecil atau sama dengan tegangan izinnya :

A

F 800

2

.4

400

d

800, maka d 0,7979

Jadi, diameter minimum kabel = 0,7979 cm 0,8 cm

Angka poissons ( )Apabila sebuah batang ditarik (seperti pada gambar 1.8), makapemanjangan aksial akan diikuti dengan kontraksi lateral dalamarah tegak lurus arah kerja gaya.

Pada gambar 1.8, garis putus-putus menyatakan bentuk sebelumpembebanaan dan garis tebal menyatakan bentuk setelahpembebanan.

Kontrasaksi lateral dapat dilihat dengan mudah pada karet yangdirenggangkan, tetapi pada logam perubahan dimensi lateralbiasanya sangat kecil untuk dapat dilihat, walaupun dapatdiamati dengan peukur. Perbandingan regangan lateral(melintang) dengan regangan aksial (memanjang) dikenalsebagai angka nisbah (perbandingan) Poissons (poissonsration), dan dinyatakan dengan huruf yunani (nu).

= )71(.................... ==

aksialregangan

lateralregangan

Angka poissons dinamakan untuk menghargai ilmuanmatematika kenamaan Prancis, yaitu Simon Denis Poisson yang

hidup pada tahun 1781-1940. Untuk batang dalam keadaan tarik,

16


17/384

regangan lateral menyatakan penurunan dalam ukuran besar(regangan negatif), sedangkan regangan aksial menyetakanpemanjangan (regangan positif). Besarnya angka poisson untukkebanyakan bahan berada dalam jangkauan : 0,10 + 0,50 (lihat

lampiran 1).

17


18/384

Perubhan volume

Karena dimensi suatu batang dalam keadaan tarik atau tekan berubahapabiladibebani, maka volume batang juga berubah. Perubahan ini dapat dihitung dariregangan lateral dan aksial

Pada gambar 1.9 diperlihatkansebuah elemen kecil dari bahanyang dipotong pada sebuah batangyang mengalami beban tarik.Bentuk awal dari elemendiperlihatkan oleh jajaran genjang

(pararel epiped) siku- siku sepertidi perlihatkan garis putus-putus

pada gambar, sedangkan bentukakhir elemen diperlihatkan dengangaris tebal.

Gambar 1.9 Perubahan bentuk dari sebuah elemen dalam keadaan tarik

Pemanjangan elemen dalam arah pembebanan adalah a1 1 dengan adalahregangan aksial. Karena regangan lateral = v . , dimensi-dimensi lateral

berkurang dengan b1 v. ; c. v. , berturut-turut dalam arah z . jadi dimensiterakhir dari elemen adalah a1 (1 + ) ; b1(1-v ); dan c1 (1-v )dan volumeterakhirnya adalah

Vf= a1 b1 c1 (1+ )(1-v )(1-v )

Apabila pernyataan ini di selesaikan suku-suku yang mengandung kuadrat danpangkat tiga dari dank arena sangat kecil, maka kuadrat dan pangkat tiga dapatdi abaikan sehingga persamaannya menjadi :

Vf= a1b1c1(1+ -2 )..(1-8)

Dan perubahan volumenya adalah :

V = Vf + V = a1b1c1(1+ -2 ) a1b1c1

= a1b1c1 (1-2v).(1-9)

Perubahan volume satuan (e) didefenisikan sebagai purahan volume dibagidengan volume semula.

18


19/384

E = = (1-2v) = (1- 2v)..(1-10)

Contoh soal 4 :

Sebuah batang baja yang panjangnya 2,5 m berpenampangan bujursangkar yangpanjang rusuk-rusuknya 100 mm dikenekan sebuah gaya aksial tarik p = 1300kN

(lihat gambar). Dengan mengansumsikan bahwa modulus elastisitasnya = 200GPadan angka poissonsnya adalah 0,3.

Tentukan

a. Pemanjanganbatang

b. Penguranganpenampang

c. Perubahanvolume

Gambar 1.10. Contoh soal

Penyelesaian :

1 GPa = 1 . 109 Pa = 1 . 109 N/m2 = 1kN/ mm2

a. Panjag batang :

= = = 1,625 mm

tegangan tarik yang terjadi :

= = = 0,13 kN/mm2

19


20/384

regangan aksial yang terjadi :

= = = 6,5 .10-4

b. Pengurangan ukuran penampang pada bagian tebal

c = lateral . c = v . . c = 0,3 . 6,5 . 10-4 . 100 = 0,0195 mm

Karena lebar benda sama dengan tebal benda, maka pengurangan penampangbagian lebar sama dengan pengurangan penampang bagian teba ; b = c =0.0195 mm

Volume awal dari benda sebelum ditarik :

V = 1 . b . c . = 2,5 . 103 . 100 . 100 = 2,5 . 107

c. Perubahan volume benda setelah benda di tarik :

V = V . (1-2v)

= 2,5 . 107

. 6.5 5 10-4

(1-2 . 0,3)= 6500 mm3

Karena batang mengalami tarik , maka V menyatakan suatu pertambahan dalamvolume, sehingga volume benda setelah mengalami tarik adalah :

Vf = V + V = (2,5 . 107 + 6500) mm3 = (0,025 + 6,5 . 10-6) m3

= 0,0250065 m3

Soal perlatihan 1

Sebuah pipa yang panjangnya 1,8 m , memiliki diameter d = 116 mm, dan tebaldindingnya (t) = 8mm, dikenakan beban aksial P = 180 kN. Dengan menganggap

bahwa modulus elastisitas nya 200 Gpa dan angka poissons.

Tentukan

a. Pemendekan dari pipa

20


21/384

b. Pertambahan dalam diameter luar

c. Penambahan dalam ketebalanpipa

Gambar soal perlatihan 1

Soal perlatihan 2

Tentukan besarnya gay P minimum dari suatu batang baja yang ber diameter 125mmdan pengurangan diameter nya = 0,025 mm, apabila modulus elastisitas 2,1 .

105

Mpa dan angka poissons = 0,4


Tegangan akibat berat sendiri

Jika suatu benda atau batang digantung, maka benda akan mengalami tarikanyangdisebabkan karena beratnya sendiri. Tegangan maksimum yang terjadi adalah

berat benda sendiri dibagi luas penampangnya.

Tegangan yang paling besar adalah pada bagian teratas.

t = W/A W = V .

=

Dengan ; t = Tegangan tarik yang terjadi (N/m2)

W = Berat benda (N)

A = Luas penampang (m2)

V = Volume benda ( mm3)

= Masa jenis benda (N/m3

)

21


22/384

Batang pejal

Contoh soal 5

Pada gambar 1.11 di tunjukkan sebuah batang baja berpenampangan lingkaranyang dipasangkan tetep pada salah satu ujung nya, sedang ujung yang lainyabebas. Berapakah tegangan maksimum yang terjadi jika massa jenis dari batangbaja adalah .

Penyelesaian

Luas penampang batang:

A = /4 . d2

Volume batang :

V = A . x

Berat batang :

W = V . = A . X .

Gambar 1.11 contoh soal 5

Tegangan tarik akibat berat sendiri

= = = x .

Tegangan minimum terjadi bila x mendekati nol, sedangkan tegangan bila xmendekati nol, sedangkan tegangan maksimum terjadi bila x = L Jadi min = 0dan max = L.

Batang berlubang

Contoh soal 6

Sebuah batang kuningan yang panjangnya L ber penampang lingkaran berlubang,diameter bagian luar dan dalamnya berbanding 3 : 2 (seperti ditunjukkan padagambar 1.12).

22


23/384

Carilah tegangan maksimum yang terjadi akibat berat sendiri bila massa jenisbatangan .

Penyelesaian :

Misal diameter batang adalahd

diameter bagian dalam =2d

Diameter bagian luar


Luas penampang batang :

Bagian dalam = A2 = /4 (2d)2 = d2

Bagian luar = A = /4 (3d)2 = 2,25 . . d

Luas penampang batang = A =A1 - A2 = .d2(2,25-1) = 1,25 d2

Volume batang :

Bagian dalam = V2 = A2 . L/2 = 0,5 d2. L

Bagian luar = V1 = A1 . L = 2,25 . . d2. L

Volume batang =V = V1 .V2 = d2.L(2,25 . 0,5) = 1,75 . d2..L

23


24/384

Berat batang W = V . = 1,75 . .d2L.

Tegangan tarik akibat berat batang :

= = =1,4 . L .

Jadi, kesimpulan semangkin kecil volume lubang yang terjadi pada batang,tegangan yangterjadi semangkin besar.

Contoh soal 7

Sebuah batang kuningan ( = 540kN/m3) dengan panjang 1,2 m

berpenampang bujur sangkar yangsebagian sisinya berlubang (seperti

pada gambar 1.13) Tentukan besarnyategangan maksimum yang terjadiakibat berat benda itu sendiri.

Gambar 1.13 contoh soal

Penyelesaian :

Luas penampang : A = A1-A2 = 14 x14 -14 x 6 = 112 cm2

Volume = V1 V2 = A1 L1 A2.L2

V = 14 x 14 . 120 -14 x 6 x40

24


25/384

= 20160 cm3

Berat kuningan : W = V .

= . 10,8864 .102

= 10,8864 kN

Tegangan tarik yang terjadi pada kuningan :

t = N/nm2

= 0,972 N/nm2

= 0,972 MPa

Tegangan batang akibat beban aksial

25


26/384

Pada umumnya , untuk menentukan besarnya tegangan yang diakibatkan olehbeban aksial berat batang sering diabaikan tetapi ada kalanya berat batang harusdiperhitungkan seperti pada perencanaan suatu alat.

Berat batang di perhitungkan

Benda yang tergantung dan mendapat tarikan yang sama dengan tarikan akibatberat sendiri. Jika ditambah dengan beban pada ujung nya, maka tegangan tarikyang terjadi :

t = =

Dengan :

t = Tegangan tarik yang terjadi (N/m2)

W = Gaya akibat berat sendiri (N)

F = Gaya luar (N)

A = Luas penampang (m2)

V = Volume benda (m)

= Massa jenis benda (N/m3)

Pada gambar 1.14, :

Bila ditinjau berat bendadibawah ini penampang m- nsepanjang x : Wx = Vx.

26


27/384

= A . x .

Gambar 1.14 Batang digantung dan mendapat tarikan

Tegangan pada penampang

t = = =F/a + X.

Tegangan tarik minimum bila x = 0 min = F/A

Tegangan tarik minimum bila x = L max=F/A + L .

Tegangan yang terjadi = tegangan maksimum

= F/A + L . (N/m2)

Luas penampang A = (m)2

Berat batang diabaikan

27


28/384

Batang bebas

Contoh soal 8

Sebuah batang baja yangapnjangnya 0,9 m dan berdiameter20 mm, mengalami beban tarik 20kN (Lihat gambar 1.15).


Panjang batang bertambah 0,5 mm akibat beban 20 kN .

Tentukan tegangan dan renggangan normal !

Penyelesaiaan :

Luas penampang batang = A = /4 . d2 = /4 .202 = 3,14 mm2

Tegangan tarik btang = t = F/A = = 63,66 N/.m2

Regangan normal = = / L = = 5,56 . 10-4

Contoh soal 9

Batang baja berongga berdiameter bagian luarnya 150 mm, sedangkan tebalbatang adalah 1/8 dari diameter luarnya mengalami gaya tekan sebesar 1200 kN

28


29/384


Tetukan tegangan yang terjadi pada batang tersebut!

Penyelesaian :

Luas penampang batang = A = A1-A2

Dengan ; A1 = luas penampang bagian luar

= /4 d2

A2 = Luas penampang bagian dalam

= /4 (d-2t)2 = /4 (d-2.d/8)2

= /4 ( 3d/4)2 = /4 (9d2/16)

A = A1 A2 = /4 (d2-9d2/16) = /4 (7/16 d2)

= 0,3434 d2 = 0,3434 . 1502 = 7726,5 mm2

Tegangan tekan yang terjadi c = = = 155,31 N/m2 = 155,31 Mpa

Contoh soal 10 :

Batang baja AD ( lihat gambat 1.17) memiliki panjang 6 meter danberpenampangan bujur sangkar yang panjang sisi nya 16 mm, batang di bebanigaya-gaya aksial 16 kN. Dengan menganggap modulus, elastisitas adalah 200Mpa. Hitunglah perudbahan panjang dan tentukan apakah batang memanjang atau

memendek !

29


30/384


Penyelasaian

Untuk menghitung tegangan pada persoalan diatas dapat di uraikan gaya-gayayang berkerja pada setiap segmen, yaitu dengan cara membagi bagian batangsehingga didapatkan diagram benda bebas, dan untuk menentukan gaya-gaya

aksial yang terjadi pada setiap penampang kita dapat memulai dengan gaya yangsudah diketahui pada ujung sebelah kiri maupun ujung sebelah kanan.

Dari kiri:

Pa = 24 kN

Pb = Pa 16 = 18 kN

Pc = Pb + 8 = 18 kN

E = 200 Gpa =200 . 103

N/mm2

Gambar 1.18 uraian gaya pada batang dari kiri

Pemanjangan

AB = a = = = 1,4063 mm

AB = a = = = 0,3125 mm

AB = a = = = 0,3125 mm

30


31/384

AD = a + d + c = (1,406 + 0,3125 + 0,3125) = 2,03 mm

Batang mengalami pemanjangan sebesar 2,03 mmDari kanan

Pc = 16 kN

Pb = Pc 8 = 9 kN

Pa = Pb + 16 kN

Pa = 24 kN

Gambar 1.19 uraian gaya pada batang dari kanan

Dengan cara yang sama seperti penyelesaian dari sebelah kiri di dapat kan

pemanjangan sebesar = = 2,03 mm

Contoh soal 11

Batang ABC tersusun dari dua buah bahan dan memiliki panjang tptal 0,9 m

(lihat gambar 1.20). Bagian AB terbuat dari baja Es = 200 GPa , dan batng BCterbuat dari aluminium EAE = 75 GPa masing-masing bahan berdiameter 500 mm,sedang kedua batang dikenakan gaya aksial sebesar 125 kN

Tentukan :

a. Panjang LS dan LAC berturut turut untuk bagian baja dan aluminium agarsuapay kedua bagian memiliki pemendekan yang sama.

b. Pemendekan total batng

c. Teganganyangterjadi pada masing-masing batang

31


32/384

Gambar 120 contoh soal 11

Penyelesaian

FS = 125 kN

FS = FAL =215 kN

a. Pemanjangan yang sama : s = AL

=

= EAL . L = ES.AAL

75 LS = 200 LAL

= 200/75 LAL = 2,67 LAL

Karena = LS + LAL = 900

2,67 LAL + LAL = 900 LAL 900/3,67 = 245,45 mm

Sehingga = LS = 900 245 ,45 = 654,55 mm

b. Pemendekan = = = 0

AL = = =0,7 mm

Pemendekan total : = S + AL = 0,208 + 0,701 = 0,909 mm

c. Tegangan yang terjado masing- masing batang :

32


33/384

s = = 63,66 MPa

AL sama dengan s disebabkan karena gaya-gaya yang di terima dan

penampangnya sama pada kedua batang tersebut.

Soal latihan 3

Sebuah batang aluminium dikatakan antara batang baja dan batang perungguseperti yang diperlihatkan pada gambar. Carilah harga P yang tidak akan melebihideformasi maksimum 2mm bila s= 140 MPa dan AL = 80 MPa b = 120 MPaasumsi bahwa rakitan dipatri secara sempurna guna menghindari local bucklingguna Es = 200 GPa ; EAL =70 GPa dan Eb = 83 GPa


Soal perlatihan 4

33


34/384

4. sebuah batang di bebani gaya aksial P = 4ton ( seperti yang diperlihatkan padagambar ) modulus elastisitas adalah E = 2.106 kg/cm2. Tentukan pemanjangan

total dari batang tersebut!


Salah satu ujung batang dijepit

Contoh soal 12 :

Sebuah batang baja (E = 200 GPa) disangga dan dibebani seperti yangdiperlihatkan pada gambar. Luas penampang batang 250 mm2.

34


35/384

Tentukan :

Penampang batang AD

Ganbar 1.21 contoh soal 12

Penyelesaian :

Untuk menyelesaikan persoalan diatas di uraikan terlebih dahulu gaya-gaya yang

bekerja pada setiap penampang dengan cara membagi batang atas beberapasegman, sehingga didapatkan diagram benda bebas, dengan pembagian yang dimulai dari ujung bebas. Pada ujung yang dijepit dapat dimisalkan mengalamitarikan atau tekanan, tetapi untuk menghindari nkesalahan sebaiknya dimisalkansesuai dengan arah gaya pada ujung bebas.

35


36/384

Jika gaya hasil perhitunganberharga negative, berarti arahgaya yang sebenarnya kebalikandari pemisalan.

Gambar Gaya-gaya yang bekerja pada penampang

Fa = 6 Kn

Fb = Fc + 15 = 24 Kn

Fc = Fb 10 = 14 Kn

Pemanjangan batang

DC = = = = 0,054 mm

DC = b = = = 0.096 mm

BA = c = = = 0, 096 mm

36


37/384

Jadi, pemanjangan batang AD = + b + c

= 0,054 + 0,096 + 0,112

= 0,262 mm

Contoh soal 13

Poros bertingkat AD yang terbuat dari baja(liat gambar 1.23) memiliki

panjang 9 m dan mempunyai penampang lingkaran(D = 10cm, d =7

cm). Batang dibebani gaya-gaya aksial dengan menganggap E =200GPa

Contoh soal 13

a. Hitunglah tegangan normal maksimum.?

b. Hitunglah perubahan panjang batang yang disebabkan oleh beban-beban tersebut dan tentukan apakah batangnya memanjang ataumemendek ?

37


38/384

Penyelesaian

Tegangan normal pada masing masing batang :

3,82 MPa

Gambar 1.24

Uraian gaya pada masing-masing batang

Jadi, tegangan normal maksimum terjadi pada batang CD =

46,8MPa(tarik).

=

=

38


39/384

=

+ + -0,057 +0,234 +0,702 = 0,879 mm

Jadi batang mengalami pemanjangan sebesar = 0,879 mm

Contoh soal 14

Sebuah kaki kolom beton berpenampang bujur sangkar (150x150)mm

ditulangi oleh empat buah baja yang berdiameter 20mm (seperti pada

gambar 1,25).

Gambar 1.25 Contoh soal 14

Hitunglah beban maksimum P yang diperkenankan bila tegangan izin

dalam baja & beton masing-masing adalah 124MPa dan

14MPa(asumsikan E baja +200 MPa dan E beton +24 GPa).

Penyelesaian

Untuk menganalisis struktur ini kita mengganti gaya aksinya pada kaki

tiang dengan dua buah gaya Ps dan Pc yang menyatakan beban-beban

yang dipilul oleh baja dan beton.

39


40/384

( P = Ps + Pc) dan arena bentuknya simetris,pelat dukung

menyebabkan baja dan beton berdeformasi(d) sama besar yaitu :

Sehingga : . atau

Untuk menentukan besarnya tegangan yang terjadi pada masing-

masing batang, masukkan tegangan izinj pada salah satu batang dan

apabila tegangan yang terjadi lebih besar dari tegangan izinnya,

berarti tidak memenuhi sebab diharapkan batang mampu menahan

balok sehingga tegangan yang terjadi harus lebih kecil atau sama

dengan tegangan izinnya.

Bila kita masukkan tegangan izin beton = = 14 MPa

= (200/24) . 14 = 116,67 MPa

< s (memenuhi )

Bila kita masukkan tegangan izin baja = = 124 MPa

= (24/200)

> c (tidak memenuhi )

40


41/384

Tegangan kerja sebenarnya: =14 MPa

=116,67 MPa

Luas penampang masing masing bahan:

Baja : = 4 ( =4 ( .20)=1256,64mm

Beton : =(150.150)- =22500-1256,64=21243,36mm

Jadi, beban maksimum P yang diperkenalkan adalah :

P = + = . + .

= 116,67.1256,64+14.21243,36

= 146612,19+297407,04 = 444019,23 N = 444 KN

Contoh soal 15

Balok kaku dengan massa M ditumpu oleh tiga batang yang terbuat

dari baja dan tembaga dipisahkan secara simetris seperti ditunjukkan

pada gambar 1,26. Batang tembaga mempunyai luas penampang

900mm, modulus elastisitas :Ecu = 120 GPa dan tegangan izin = 70

MPa, dan batang baja mempunyai luas penampang As = 1200 mm,

modulus elastisitas Es =200 GPa dan tegangan izin = 140 MPa.

41


42/384

Hitung massa M terbesar yang dapat ditumpu bila percepatan gravitasi

g= 9,81 m/s !

Penyelesaian :

Karena balok kayu tahan ditahan oleh tiga

batang, maka berat balok (aksi) sama dengan jumlah gaya reaksi

ketiga batang tersebut.

W = Ps + 2Pcu.


Pemendekan batang tembaga = pemendekan batang baja.

=

dengan : = .

= . = 2,22

42


43/384

Untuk tegangan izin tembaga = cu = 70 MPa

= 2,22 . 70 = 155,40 MPa

> s ( tak memenuhi )

Untuk tegangan izin baja = = 140 MPa

= = = 63,06 MPa

< cu (memenuhi )

Tegangan kerja sebenarnya = 63,06 MPa, = 140 MPa, Jadi

beban maksimum W yang di izinkan adalah :

W = 2 Pcu + PS = 2 . Acu + As

= 2 . 63,06 . 10-3 . 900 +140 . 10-3 . 1200 = 281,5 Kn

Massa balok m = w/g = = 28,7 ton

43


44/384

Contoh soal 16

Pelat baja diletakkan di atas kolom berukuran(10 x10) cm. Kolom

tengah lebih pendek 0,05 cm daripada dua kolom yang lain (seperti

pada gambar). Tentukan besarnya P yang di izinkan jika tegangan

tekan beton b = 200kg/cm2 dan Eb = 12.104 kg/cm2.

Penyelesaian

P = 2 Pb + Ps

Deformasi batang beton

= deformasi batang baja + 0,05.

Gambar 1.27 Contoh Soal 16

= + 0,05

+ 0,05

+ 0,05

44


45/384

+ 0,05

= 0,6 +100

Untuk tegangan izin beton = = 200 kg/cm2

200 = 0,6 . + 100 s = 100/0,6 = 166,67 kg/cm2

< s (memenuhi)

Untuk tegangan izin baja = s = 250 kg/cm2

= 0,6 . 250 + 100 = 250 kg/cm2 > b(tidak memenuhi)

Tegangan kerja actual = 200 kg/cm2

= 166,67 kg/cm2

Beban P yang diizinkan : P = 2 Pb + Ps

= 2 . Ab + . As

=2.200(10x10) + 166,67(10x10)

=56667 kg

= 56,67 ton

45


46/384

Contoh soal 17

Batang mendatar dengan massa yang dapat diabaikan, diberi engsel

pada ujung A seperti pada gambar 1.28 dan dianggap baku, disokong

oleh batang perunggu dengan panjang 2 m dan batang baja dengan

panjang 1 m. Hitunglah tegangan pada setiap batang bila baja dan

perunggu mempunyai sifat sebagai berikut :

Batang baja : E = 200GPaA = 600mm2

= 240 GPa

Batang perunggu : E = 300GPaA = 83mm2

= 140 GPa

Penyelesaian :

46


47/384

MA = 0

0,6 Ps + 1,6 Ps = 50.2,4 =

120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a)

Karena batang dianggap kaku maka diperoleh deformasi elastic batang

akibat gaya 50kN seperti pada gambar 1,28, sehingga diperoleh

persamaan :

/ = 0,6/1,6

0,6 = 1,6

atau : 0.6 ( = 1,6 s

0.6 ( = 1,6

0,819 . Pb = 1,25 . Ps

Ps = 3,85 Pb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b)

Dari persamaan a dan b didapat

0,6 . 3,85 Pb + 1,6 Pb =120

Pb = 120/3,91 = 30,69 Kn

47


48/384

Dari persamaan b :

Ps = 3,85 . 30,69 = 118 . 159 Kn

Besarnya masing masing tegangan :

= Pb / Ab = = 102,30 MPa

= Ps / As = = 196,93 MPa

Karena kedua tegangan yang terjadi masih di bawah tegangan izin,

maka kedua batang tersebut aman. Apabila tegangan yang terjadimelebihi batas ijinnya, perlu dilakukan perencanaan ulang dengan cara

memperbesar penampang batang.a

Contoh soal 18

Tiga batang masing-masing luasnya 300 mm bersama-sama

menumpu 10kN,

48


49/384

Seperti diperlihatkan pada gambar 1,29. Andaikan sebelum beban

terpasang tidak terdapat pengencangan, hitung tegangan pada setiap

batang bila E2 = 200GPa

Dan Eb = 83 GPa.


Penyelesaian

Karena titik A mengalami tarikan, maka di titik A aka turun sebesar

(vertical) sehingga batang baja akan bertambah sebesar s dan batang

perunggu akan bertambah panjang sebesar b.

Pada gambar a :

Kedua batang perunggu simetris terhadap batang baja, sehingga

kesetimbangan gaya di titik A adalah :

Fy = 0 Ps + 2 Pb . cos 250 = 20Kn

Ps + 1.813 Pb = 20 Kn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a)

49


50/384

Pada gambar b :

= . cos 250

Ls = Lb . cos 250

) . cos 250 =

Sehingga . = . = 2,838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. b)


2,938 + 1,813 =20

4,752 = 20 = 4,210 kN

Dari persamaan a didapat :

+ 1,83 . 4,210 = 20, maka = 20 7,631 = 12,369 kN

Tegangan masing masing batang :

= 41,23 MPa

= 14,03 MPa

50


51/384

Contoh soal 19

Batang AB kaku sekali, digantung oleh tiga kabel yang panjangnya

sama, yaitu 30 cm, seperti diperlihatkan pada gambar 1.30.

Masing-masing kabel mempunyai ketentuan sebagai berikut :

Kabel 1 (baja) Kabel 2 (tembaga) kabel 3 (perunggu)

Es = 200 GPa Eb = 110 GPa E = 83 GPa

As = 4 cm2 Ab = 2,4 cm2 A = 3 cm2

Tentukan gaya pada masing-masing penggantung

51


52/384


Penyelesaian

Karena letak kabel 3 dan 1 tidak simetris terhadap kabel 2, demikianjuga luas penampang dan modulus elastisitas setiap kabel tidak sama,

maka titik berat system kabel akan berada di antaraa kabel 1dan 2

misal di titik D berjarak x dari B (gambar b):

Menentukan x :

Statis momen perkalian AE terhadap kabel 2 = 0, M(2) = 0

E1 A1 (60) . E3 A3(40) (A1 E1 + A2 E2 + A3 E3) = 0

X = = = = 28,97 CM

Gaya P dipindahkan dari titik B ke titik D ( titik berat kabel ), timbul

momen : M= P.X = 10 . 28,97 = 289,7 kN cm.

Akibat P sentries terhadap D,maka perpanjangan ketiga batang sama

besar.

= =

Gaya- gaya batang akibat P sentries diberi notasi F

52


53/384

=

Dengan, + + = P

sehingga

F10 = . P = = = 6,09 kN (tarik)

F20 = . P = = 1,90 kN(tarik)

Akibat momen, kabel 2 dan 3 akan tertekan sedang kabel 1 akan

tertarik.

53


54/384

Pemanjangan batang :

=

Gambar 1.31 Pemanjangan akibat momen

Dengan ; = +

= Panjang semula

D = Pemanjangan akibat P sentries

: = 28,97 : ( 60 28,97 )

: =28,97 : 31,03

: 28,97 : 31,03

= 3,25 . . . . . . . . . . . . . . . .a)

54


55/384

: = 28,97 = 68,97

: = 28,97 : 68,97

: = 28,97 : 68,97

= 2,28 .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .

. .a)

55


56/384

Gambar 1.32 Uraian gaya

Kesetimbangan momen terhadap titik D :

. 31,03 + . 28,97 + . 68,97 M = 0

3,25 . 31,03 + 28,97 + 2,28 . 68,97 289,7 = 0

= = 1,01 KN (tarik)

Dari persamaan a = 3,25 = 3,25 . 1,01 = 3,28 KN (tarik)

Dari persamaan b = 2,28 = 2,28 . 1,01 = 2,30 KN (tarik)

Gaya dalam pada masing-masing kabel :

Kabel 1 P1 = P10 - = 6,09 - 3,28 = 2,81 KN (tarik)

Kabel 2 P2 = P20 + = 2,01 + 1,01 = 3,04 KN (tarik)

Kabel 3 P3= P30 + = 1,90 + 2,30 = 4,20 KN (tarik)

56


57/384

Total = 10,03 KN

Syarat =P = P1 + P2 +P3 = 10 kN

10,03 = 10 (memenuhi)

Soal perlatihan 5

Hitunglah lendutan horizontal dan vertical h, dan v, berturut- turut

dari bagian atas tonggak kayu yang diseababkan oleh beban horizontal

P = 30kN(seperti gambar soal perlatihan 5). Tonggak kayu memiliki

luas penampang 32.000 mm2 dan modulus elastisitas 10 GPa.

Tonggaknya disokong oleh sebuah baja AC yang berdiameter 25 mm

dan modulus elastisitasnya 210 GPa.

Gambar Soal perlatihan 5

Soal perlatihan 6

Sebuah rangka batang ABC menyangga sebuah beban P = 13Kn

(seperti gambar sal perlatihan 6), batang AB dan BC berturut-turut

memiliki luas penampang AAB= 900 mm2

57


58/384

Dan ABC= 2600 mm2. Bahan batang adalah alumunium dengan modulus

elastisitas E = 70 GPa. Hitunglah lendutan horizontal h dan lendutan

vertical v dari titik B !


Soal perlataihan 7

Batang ABC kaku sekali, digantung oleh tiga kabel 1, 2, 3

Kabel 1 terbuat dari baja :

A= 2 cm

2

; E= 210 GPa

58


59/384

Kabel 2 terbuat dari tembaga:

A= 2,8 cm2 ; E= 110 GPa

Kabel 3 terbuat dari besi tuang:

A= 3,5 cm2 ; E= 70 GPa


Gaya P bekerja di titik O (P= 8 kN). Berapakah gaya dalam pada

masing-masing penggantung !

Soal perlatihan 8

Sebuah batang baja (E= 200 GPa) disangga dan dibebani seperti

diperlihatkan B. Luas penampang batang adalah 250 mm2 dan 500

mm2. Tentukan tegangan pada masing-masing batang bila ujung

batang terbawah(D) dibatasi untuk tidak bergerak secara verticalapabila dikenakan beban .


59


60/384

Soal perlatihan 9

Sebuah beton berlubang diperkuat secara aksial dengan batang baja

yang ditempatkan secara simetris ( seperti gambar soal perlatihan 9 ).

Apabila beban terpasang P = 100 kN, hitung tegangan yang terjadi

pada baja tersebut !

Kedua ujung batang dijepit

Dalam menyelesaikan persoalan dari suatu bahan yang mendapat tarikan maupun tekananyang kedua ujungnya dijepit,kita dapat menguraikan terlebih dahulu gaya-gaya yang

berkerja pada setiap penampang mulai dari jepitan kanan.karena kedua ujungnya

dijepit,maka deformasi total dari batangnya sama dengan nol ( tot = 0)

Contoh soal 20

Sebuah batang terbuat dari baja dan aluminium yang dirangkai seperti ditunjukan padagambar 1.33.batang mengalami beban aksial P1 = 25 kN dan P2 = 50 kN.

Hitunglah tengangan maksimum yang terjai pada batang!

Penyelesaian

Kaena kedua ujung dijepit, perubahan panjang total (tot) = 0

Dari jepitan sebelah kanan

Penyelesaian :

Pb = Pa +P2 = Pa + 50

Pc = Pb P1 = Pa + 50 25

60


61/384

= P + 25

Perubahna panjang total = a + b + c = 0

+ + = 0

+ + = 0

0,00635 Pa + 0,0025 Pa + 0,125 + 0,00475 Pa + 0,0119 = 0

0,01361 Pa = -0,244

Pa = = -17,93 kN (tekan)

Pb = Pa + 50 = -17,93 + 50 = 32,07 kN (tarik)

Pc = Pa 25 = -17,93 + 25 = 7,07 kN (tarik)

a. Tegangan yang terjadi pada masing-masing batang :

a = CD = Pa / Aa = = 19,92 MPa

b = BC = Pb / Ac = = 26,73 MPa

c = AB = Pc / Ac = = 7,86 MPa

Tegangan maksimum terjadi pada batang BC : BC = 26,73 MPa

Cara lain :

Jepitan sebeleh kiri

Penyelesaian

Pb = Pc . P1 = Pc . 25

Pa = Pb + P2 = Pc . 25 + 50

= Pc + 25

Perubahan panjang total :

a + b + c = 0

61


62/384

+ + = 0

+ + = 0

4,76 . 10-3 Pc + 2,5 . 10-3 Pc 0,0625 + 6,35 . 10-3 Pc + 0,1587 = 0

13,61 . 10-3 Pc = -0,0962

Pc = . 10-3 = -7,07 kN (tarik)

Pb = Pc 25 = -7,07 25 = 32,07 kN (tarik)

Pa = Pc + 25 = =7,07 +25 = 17,93 kN (tarik)

Tegangan yang terjadi masing-masing :

b = BC = Pc / Ac = = 26,73 MPa

a = CD = Pa / Aa = = 19,92 MPa

Tegangan maksimum terjadi pada batang BC = 26,73 MPa

Soal pelatihan 10

Batang aluminium dan soalpelatihan baja yangdiperlihatkan dalam gambardipsangkan ke penyangga-

penyangga kaku pada salah satuujung-ujungnya dank e pelattegar C pada ujung-ujunglainny. Dua buah beban P yangsama besar dikenalkan secarasimetris pada pelat.

Hitunglah :

a. Tegangan aksial maksimum yang terjadi dari kedua batang tersebut.

b. Ukuran-ukuran batang ( dAL ; ds ; LAL dan Ls) setelah terjadi pembebanan.

62


63/384

Catatan :

Berat batang diabaikan

Angka poisson : baja (s) : 0,3 ; Aluminium (Al) = 0,33

P = 48 kN ; d = 50 mm ; L = 100 mm

E = 200 GPa ; EAl = 70 GPa

Soal pelatihan 11

Sebuah batang baja AD berpenampang bervariasi (seperti pada gambar soal pelatihan11)

Ditahan antara peyangga-penyangga kokoh dan dibebanidi B dan C oleh gaya yang

besarnya berturut-turut adalah :

Tentukan : Tegangan maksimum batang, jika diameter batang baja : d = 50 mm

Tegangan akibat perubahan temperature

Perubahan temperature dari suatu benda akan menghasilkan perubahan dimensi. Misalkansebuah balok seperti pada gambar 1.36 dari suatu bahan yang homogen dapat memuaisecara bebas ke semua arah. Jika bahan dipanaskan, maka rusuk-rusuk balok akanmemanjang.

Pada gambar 1.36 gars teablmenunjukkan benda sebelum

mengalami pemanasan,sedangkan garis putus-putusmenunjukkan benda setelahmengalami pemanasan.

Dengan demikian, batang mengalami suatu regangan termal merata (t) yang diberikanoleh pernyataan :

t = (t)

Dengan ;

63


64/384

= Regangan termal

= Koefisien mual termal

= Perubahan temperature (0C)

Regangan termal (t) berharga positif bila ia menyatakan permuaian dan berharga negatifbila menyatakan penyusutan. Benda akan memuai bila dipanaskan, dan menyusut biladidinginkan. Oleh karena itu, kenalkan temperatur akan menghasilkan regangan negatif.

Dari rumus di atas jika satu dimensinya L maka :

= t = t . = . (t) .

= t = (t1 t2) .

Dengan; t : Menyatakan perubahan panjang yang disebabkan oleh perubahantemperature (t)

Menurut : Hukum Hooke

= = = ; = = . E = t . E

= (t1 t2) . E

Dengan : = Tegangan normal yang terjadi (N/mm2)

E = Modulus elastisitas (N/mm2)

Contoh soal 21

Sebuah batang baja ACB memiliki dua buah penampang yang berbeda yang ditahanantara penyangga-penyangga tegar (seperti gambar 1.37) luas penampang bagian kiri dan

kanan berturut-turut : Aac = 1300 mm2 dan Abc = 1940 mm2, Modulus elastisitasnya E =200 GPa dan = 12 . 10-6 / 0C. Batang dikenakan suatu kanalkan teperatur merata t = 240C

Tentukan :

a. Gaya aksial dalam batang P,

b. Tegangan aksial

maksimum ,

64


65/384

c. Perpindahan dari titik c.

Penyelesaian

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menguraikan terlebih dahulu menurut bagiandari batang. Kemudian kita gambarkan gaya yang terjadi karena pengaruh temperatur dan

pengaruh gaya. Karena kedua ujung dijepit, salah satu batang akan mengalamipemendekan yang sama bessarnya denga pemanjangan batang yang lainnya.

a Pemanjangan :

Karena pengaruh temperature

ac = . t . Lac = 12 . 10-6 . 24 . 600

= 0,173 mm

bc = . t . Lbc = 12 . 10-6 . 24 . 900

= 0,259 mm

Karena pengaruh gaya :

Lac = =2,308 . 10-6 . P (mm)

Lbc = = 2,320 . 10-6 . P (mm)

Pemanjangan yang sama untuk kedua batang

= bc . Lbc . ac

0,259 . 2,320 10-6 . P = 2,309 . 10-6 . P . 0,173

P = = 94219,34 N

b bc = P/Aa = = 72,48 N/mm2

bc = P/Abc = = 48,57 N/mm2

c = bc Lbc = 0,259 2,320 . 10-6 . 94219,34

= 0,04 mm

Perpindahan dari titik C = 0.04 mm (ke kiri)

65


66/384

Contoh soal 22

Sebuah selubung (sleeve) berbentuk sebuah pipa yang panjang 15 cm ditempatkandi sekitar sebuah baut dan mur yang diputar sehingga ia benar-benar pas (seperti

pada gambar 1.38). Baut berdiameter 25 mm an selubung berdiameter dalam 26mm dan diameter luar 36 mm. Hitunglah kenaikan temperatur(t)yang dibutuhkanuntuk menghasilkan tegangan tekan 3 dibutuhkan untuk menghasilkan tegangantekan 30MPa, bila :

Selubung :

k = 20 . 10-6/0C

Ek = 100 GPa

Ak = /4 (362 - 262)

= 486,95 mm2

Baut : s = 12 . 10-6/0C

Es = 200 GPa

A = /4 . 25 = 490,87 mm2

Karena mur dan selubung terbuat dari bahan yang berbeda, jika mereka dapatmemuai secara bebas maka masing-masing bahan akan memanjang dengantambahan yang berbeda, tetapi mereka ditahan oleh susunannyaoleh karena ituakan timbul tegangan-tegangan termal.

Cara sederhana untuk memacahkan masalah ini dengan memisahkan kepalabaut(seperti gambar 5), kemudian dianggap terjadi perubahan temperature T,yang menghasilkan pemanjangan berturut-turut dari selubung dan baut.

k= k(T)k . Lk ; s = s (T)s . Ls

Dengan s dan k adalah koefisien koefisien muai termal. Gaya- gaya padaselubung dan baut dalam susunan semula haruslah seemikian rupa merekamemendekkan selun=bung an memanjangkan baut hingga pemanjanganterakhir dari selubung dan baut sama.

66


67/384

Dalam gambar c ditunjukan bahwa Ps gaya tekan dalam selubung dan Pb gayatarik dalam baut. Pemendekkan Lk yang bersangkutan dari selubung dan

pemanjangan Ls dari baut.

Lk= ; Lk=

Dengan Es, As dan Ekadalah kelakuan aksial baut an selubung. Sekarang dapatditulis sebuah persamaan kesepadanan yang menyatakan kenyataan

pemanjangan (d) yang sama untuk kedua batang. Pemanjangan dari selubungadalah k-Lkdan dari baut s + Ls oleh karena itu :

= k Lk= s + Ls

k . ( T)k . Lk- = s . ( T)s . Ls +

Gaya-gaya aksial diperoleh dari kesetimbangan statis :

P = 0 Ps Pk= 0

Gaya tekan dalam selubung sama dengan gaya tarik dalam baut, sehinggadiperoleh persamaan :

Ps = Pk = . . . . . . . . . . . . . . . . . . a)

Jika s lebih dari k , gaya Ps adalah tekan dan gaya Pkadalah tarik. Apabilakedua batang tersebut dari bahan yang sama s = kmaka Ps = Pk = 0 dan = k (T) . L karena tegangan tekan dalam selubung 30 MPa maka :

k = Pk= k . k= 30 . 486,95

Pk= 14,601 kN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .b)


T = = 14,60( + )

= 56,07 0C

Contoh soal 23

67


68/384

Pada suhu 200C terdapat gap = 0,2 mm antara ujung terendah batangperunggu dengan piringan kaku yang disokong oleh dua batang baja sepertipada gambar 1.39.

Hitung tegangan pada masing-masing batang apabila suhu rakitan bertambah1000C, jika diketahui :

Batang perunggu : A = 800 mm2 ; E = 83 GPa ; = 18,9.10-6 / 0C

Batang baja :A = 400 mm2 ; E = 200 GPa ; = 11,7.10 / 0C

Massa pelat (m) diabaikn.

Penyelesaian :

Karena perunggu mempunyaikoefisien mual termal () yanglebih besar dari koefisien mualtermal baja maka

pemanjangannya lebih besar daribaja pada suhu yan sama.

Pemanjangan karena pengaruh temperature :

batang baja :s = s . T . Ls = 11,7 . 10-6 (100 . 20) . 0,8

= 7,488 . 10-4 m = 0,7488 mm

Batang perunggu :

b = b . T (Ls - ) = 18,9 . 10-6 (100 - 20) (0,8 2. 10-4)

= 1,209 . 10

-3

m= 1,209 mm

Pemanjangan karena pengaruh gaya :

Batang baja :

s = = = 0,01 Pa (mm)

batang perunggu :

68


69/384

s = = = 0,012 Pb (mm)

Untuk menghasilkan pemanjangan yang sama pada kedua batang :

= s + s + = b . b

0,7488 Ps + 0,01 Ps + 0,2 = 1,209 = 0,012 Pb

0,01 Ps + 0,012 Pb = 0,2602. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a)

Pb = 2Ps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b)


0,01 Ps + 0,012 (2 Ps) = 0,2602

0,034 Ps = 0,2602

Ps = = 7,56 kN

Pb = 2 . Ps = 7,65 = 15,3 kN

Jadi, tegangan pada masing-masing batang :

s = = = 19,125 MPa

b = = = 19,125 N/mm2 = 19,125 MPa

s = b

Soal pelatihan 12

Pipa kuningan dengan diameter bagian dalam 14 mm dan diameter bagianluar 20 mm, serta pipa

baja berdiameter 10 mmdipasang pada sebuah tiang.

Pada saat pemasangan awal temperaturruang 300C, dalam keadaan tersebut

tidak terdapat tegangan baikpada pipa

kuningan maupun pipa baja.Peralatan tersebut digunakan di suatu

ruangan dengan temperatur 900C.

69


70/384

Hitung tegangan yang terjadi pada pipa baja pada saat digunakan diruangan yanglebih panas tersebut.

Catatan :

- kuningan : Ek= 1,2 . 105 N/mm2 ; k= 18 . 10-6 / 0C

- baja Es = 2,1 . 105 N/mm2 ; s = 12 . 10-6 / 0C

Soal pelatihan

Sebuah batang baja ACB memiliki dua penampang yang berbeda ditahandengan penyangga-

penyangga kakuseperti diperlihatkan paa gambar

soal pelatihan 13 luas penampang batang A =1300 mm2 modulus elastisitas batang E =

200 GPa, koefisien mualtermal = 12 . 10-6 / 0C.

Batang dikenalkan suatu kenaikan temperatur merata t = 35 0C

Hitunglah = a. Gaya aksial (F) pada batang

b. Tegangan aksial maksimum

c. Perpindahan dari titik C

Soal pelatihan 14

Batang aluminium dengan diameter 80 mm, silinder baja dengan diameterdalam 85 mm dan diameter

luar 140 mm denganpanjang masing-masing 500 mm

(diperoleh dari hasil pengukuran padatemperature 30 0C).

Tentukan :

a. Tegangan yang terjadi pada silinder baja dan batang aluminium.

b. Panjang aluminium dan silinder baja pada kondisi kerja (500)

Catatan :

- Aluminium = EAl = 120 kN/mm2 ; Al = 23 . 10-6 / 0C

- Baja = Es = 210 kN/mm2

; s = 11 .10-6

/0

C

70


71/384

Soal pelatihan 15

Sebuah batang tembaga AB yang panjangnya 1 m ditempatkan pada kedudukanruang dengan celah 0,01 mm antara ujung A dan sebuah dinding kaku (lihatgambar soal pelatihan 15)

Hitunglah tegangan tekan dalanbatang jika temperaturnya naik 400C. anggap =17.10-6 / 0C dan E = 110 Gpa

Tegangan pada batang tirus

Contoh soal 24

Sebuah batang AB yang sedikit diruncingkan dengan penampang berbentuklingkaran dan panjang L disangga di ujung B dan dikenakan beban P pada ujung

bebas (lihat ganbar 1.40). Diameter batang pada ujung A dan d1 dan pada ujung Badalah d2.

Tentukan sebuah rumus untuk pemanjangan dari batang yang disebabkan olehbeban P, bila berat batang diabaikan.

Penyelesaian :

Ambil elemen setebal dxsejarak x dari ujung kiri.

dL

xLdxd )(. 12 +=

L

Ld

L

dd x 12 )( +

=

)( 121 dd

L

xd +=

71


72/384

Akibat beban P, elemen akan bertambah panjang sebesar :

dEA

dxP

.

.=

..

.)(

.

.

.

0

1214

+

==L

o

L

EddL

xd

dxP

EA

dxP

+

+

=L

ddL

xd

ddL

xdd

dd

L

E

P

0 2

121

121

21)(

)(

).(.

.

4

L

O

ddL

xd

ddE

LP

+

=

)(

1

)(..

.4

12112

=

+

+

)(0

1

)(

1

)(.

..4

12112112 dd

Lddd

L

Ld

ddE

LP

72


73/384

=

+

)(0

1

)(

1

)(.

..4

12112112 dd

Lddd

L

Ld

ddE

LP

=

21

21

12.)(..

..4

dd

dd

ddE

LP

=21

...

..4

ddE

LP

Contoh soal 25

Sebuah balok dengan panjang AB ( seperti gambar 1.41 )

berpenampang bujur sangkar dan terbuat dari baja ( E = 2,1 . 106

kg/cm2 ) mendapat beban P = 10 ton yang bekerja sentris.

Penyelesaian

Ambmil elemen sejarah x dari

ujung J

Lebarnya = b dan tebalnya : dx

b =L

xbxb .)1( 21 +

=240

.4)240(3 xx +

=240

3X

+


Pemanjang batang akibat ditarik :

d () = L

EA

dxP .

.

73


74/384

= +

=240

62

4

2

10.1,2.)240

3(

10

.

.

x

dx

Eb

dxPL

= +

+240

2210.1,2.)

240

3(

)240

3(

o x

xd

=

240

0

3

2403

1)240(10.75,4

+

+

x

=

=

12

114,1

3

1

4

114,1

= 0,095 cm

Jadi pemanjangan batang = 0,95 mm 1 mm

Soal perlatihan 16

Sebuah tiang beton penampangnya berbentuk bujur sangkar tingginya

6 cm ( seperti gambar ) soal perlatihan 16 yang sisi sisinya

meruncing secara merata dari lebar 0,5 m pada bagian atas hingga 1

m pada bagian bawah. Tentukan pemendekan tiang akibat aksi sebuahbeban tekan 1400 KN. Anggap Ebeton = 24 Gpa

74


75/384


Soal perlatihan 17

Sebuah batang baja yang panjangnya 100 cm dibebani gaya aksial

tarik P = 5 KN, bekerja di sumbu batang. Diameter penampang atas

( d1 ) = 2 cm diameter penampang bawah ( d2 ) = 6 cm Gambar soal

17 Tentukan pemanjangan batang, bila modulus elastisitas batang

( E ) = 2,1 . 105 Mpa, dan berat batang diabaikan

75


76/384


2 Tegangan geser

Sasaran belajar

Setelah mempelajari dan mengerjakan soal perlatihan di bab ini, anda

diharapkan :

dapat menghitung besarnya tegangan geser ; dapat menentukan besarnya gaya potong yang seharusnya

terjadi pada suatu elemen mesin yang menerima beban geser ; dapat menetukan ukuran batang yang menerima beban geser.

Pengertian tegangan geser

Tegangan geser berbeda dengan tegangan tarik dan tekan karena

tegangan geser ditimbulkan oleh gaya yang bekerja sejajar atau

searah dengan bidang penahan gaya, sedangkan tegangan tarik dan

tekan ditimbulkan oleh gaya yang tegak lurus terhadap luas bidang

penahan gaya. Oleh karena itu, tegangan geser dapat juga disebut

76


77/384

tegangan tangensial, sedangkan tegangan tarik dan tekan disebut

tegangan normal.

Tegangan geser terjadi apabila beban terpasang menyebabkan salah

satu penampangan benda cenderung menggelincirkan padapenampang yang bersinggungan.

Gambar 2.1 contoh geser

Beberapa contoh diperlihatkan pada gambar 2.1. Gambar (a) paku

keling menahan geser sepanjang luas penampang. Gambar (b) baut

menahan geser sepanjang kedua luas penampang. Kasus (a) bisa

disebut geser tunggal dan kasus (b) disebut geser ganda. Tegangan

77


78/384

geser merata terjadi bila resultan gaya geser F melalui titik pusat

penampangan yang bergeser.

Tegangan geser dilambangkan dengan huruf yunani

g = F/A . (2.1)

Dengan ;

g = Tegangan geser rata rata (Mpa)

F = Gaya geser ( N )

A = Luas penampang penahan (mm2)

Pada praktiknya tegangan geser tidak pernah terbagi secara merata

( lihat butir 4.4 )

Contoh soal 1

Sebuah batang baja yang berpenampang d = 20mm, diletakkan di atas

papan aluminium yang mempunyai tebal t = 5 mm ( seperti pada

gambar 2.2 )

Berapa besarnya tegangan

geser rata rata

yang terjadi pada aluminium

tersebut,

apabila dikenakan beban

sebesar P = 120

KN?

78


79/384


Penyelesaian

g =A

P

A = keliling lubang x tebal

= . d . t = . 20 . 5 = 314,16 mm2

Maka : g = P/A = 87,38116,314

10.1203

= MPa

Tegangan geser yang dizinkan

Jika kita dihadapkan pada persoalan menetukan gaya maupun ukuran

yang terjadi akibat geseran, maka tegangan geser harus diketahuiterlebih dahulu. Dalam hal semacam ini, tegangan geser () yang

terjadi, biasanya tidak boleh melampui nilai tertentu, yaitu yang

disebut tegangan geser yang diizinkan () maka rumusnya :

batang rusak = batang aman =

Contoh soal 2

Pelat baja berukuran 3 x 100 x 200mm akan

Dibentuk dengan membuang bagian

yang diarsir.

Proses pembentukan dengan proses

tekan

( proses punching ) dengan satu kali

penekanan.

79


80/384

Tegangan maksimum baja ( u ) =

1200 MPa

dengan faktor koreksi v = 3, dan

tegangan geser

pelat baja yang diizinkan : = 0,6 . .

Hitung gaya

yang harus diberikan pada

penekanan?

Gamabr 2.3 contoh soal 2

Penyelesaian

= u/v = 1200/3 = 400 MPa

= 0,6 = 0,6 . 400 = 240 MPa

Luas total A = keliling x tebal pelat

= tt

Rd .)

..2.20.2(

++

= 3.)15.20.40( ++

= 449,867 mm2

Karena diharapkan patah :

g, dengan g = F/A

maka = F . A

240 . 449,867 . 103

80


81/384

107,968 kN

108 kN

Jadi, gaya minimum yang harus diberikan pada penekan adalah = 108

kN

Contoh soal 3

Sebuah batang baja dengan penampang berbentuk empat persegi

panjang ( 15 x 45 ) mm memikul sebuah beban tarik P dan

digantungkan pada sebuah pnyangga dengan mempergunakan sebuah

pasak bundar pejal yang berdiameter 20 mm ( lihat gambar 2.4 )

Tegangan izin untuk batang dalam keadaan tarik dan pasak dalmkeadaan geser adalah berturut turut : = 120 MPa dan = 60 MPa.

Berapakah harga P maksimum yang diperoleh ?


Penyelesaian

Untuk tegangan tarik :

Batang aman :

81


82/384

P1/A1 , maka P1 A .

Dengan : A1 = ( 45 20 ) . 15 = 375 mm2

Jadi, P2 120 . 375 45000 N 45

Untuk tegangan geser :

Batang aman : <

P2 ( 2 . A2 ) maka : P ( 2 . A2 )

Dengan ; A . /4 . d2 = /4 . 202 = 314,16 mm2

Jadi, P2 60 . 314,16 37699,11 N 37,7 KN

Dengan membandingkan kedua harga P di atas, maka harga P

maksimum yang diizinkan adalah : 37,7 KN.

Soal perlatihan 1

Sebuah benda pada gambar soal 1 dibuat dari pelat aluminium dengan

tebal 2 mm pembuatannya dengan mesin punch ( potong ). Tegangan

geser yang diizinikan adalah 150 MPa. Te3ntukan gaya tekan minimum

yang harus diberikan pada mesin punch !


82


83/384

Soal perlatihan 2

Sebuah benda ( seperti gambar soal perlatihan 2 ) dibuah dari pelat

baja st 37 dengan kekuatan tarik 37 kg/mm2 mempunyai tebal 3 mm,

pembuatannya dengan mesin punch ( potong ). Tentukan gaya

minimum yang harus diberikan pada mesin punch bila tegangan geser

yang diizinkan adalah 0,6 dari tegangan tarik izin dengan faktor

keamanan 4 !


Soal perlatihan 3

Sebuah balok kayu diuji dalam keadaan geser langsung, dengan

mempergunakan contoh bahan uji ( seperti gambar soal perlatihan 3 )

beban P diberikan pada balok kayu, bidang AB punya lebar 50 mm dantinggi h adalah 50 mm. Berapakah tegangan geser rata rata dalam

kayu?

83


84/384


Soal perlatihan 4

Ujung busur truss kayu disusun ke busur dasar seperti gambar soal

perlatihan 4, dengan mengabaikan gesekan :

a. hitung ukuran b apabila tegangan geser izin 900 Kpa !b. tentukan ukuran c sehingga tegangan dukung tidak melebihi 7

MPa !


Soal perlatihan 5

Bell crank pada gambar soal perlatihan 5 berada dalam keadaan

setimbang

84


85/384

a. Tentukan diameter batang AB apabila tegangan aksial hingga100 MPa.

b. Tentukan tegangan geser di pin D apabila diameter pin 20 mm!


Tegangan geser pada batang yang mendapat

beban tarik dan tekan murni

Dalam pembahasan mengenai tarik dan tekan dalam sebuah batang,

tegangan yang ditinjau adalah tegangan tegangan normal yang

bekerja pada penampang m-m dari batang AB.

Baiklah sekarang diselidiki tegangan tegangan yang bekerja pada

penampang m m ( seperti gambar 2.5 )

85


86/384

Gambar 2.5 Dua batang direkatkan menerima beban tarik

Tegangan geser yang terjadi pada penampang m m :

m =

AaSinF

A

aaF

aA

aF

A

F

m

gm

22

cos.sin.

cos/

sin

=

==

Dengan,

Ftm = Gaya tarik pada penampang m m

Fgm = Gaya geser pada penampang m m

Tegangan tarik maksimum terjadi bila sudut : a = 0o

m = AFAFA a ==0.cos.cos 22

Tegangan geser maksimum terjadi bila sudut : a = 450

m =A

F

A

SinF

A

aSinF

22

45.2.

2

2. 0==

Sehingga didapat : ( )maks = . (m)maks

Contoh soal 4

86


87/384

Sebuah batang prismatik yang mengalami beban tarik memiliki luas

penampang A = 1200 mm2 dan memikul sebuah beban P = 90 kN

( seperti gambar 2.6 ).Tentukan tegangan yang bekerja pada semua

permukaan elemen yang diputar dengan sudut = 250!

Penyelesaian

x = F/A = 7500.12

10.902

3

=mm

NMPa


Tegangan tarik yang terjadi pada penampang m m

= x Cos2 = 75 . Cos2 . 25 = 61,6 MPa

Tegangan geser yang terjadi pada penampang m m

= x sin Cos = 75 sin 250 . Cos 250 = 28,7 MPa

Soal perlatihan 7

Sebuah batang tarik dibuat dari dua potong bahan yang direkatkan

bersama ( lihat gambar soal perlatihan 7 ). Karena alasan praktis sudut

normal bidang potong dibatasi pada jangkauan = 0 sampai dengan

60o.

87


88/384

Tegangan geser izin pada sambungan rekat besarnya dari tegangan

tarik izin Berapa seharusnya harga agar batang dapat memikul

beban terbesar?


Soal perlatihan 8

Sebuah batang baja prismatik yang berpenampang empat persegi

panjang ( 100 x 75 ) mm, dikenakan sebuah beban tarik P = 500 kN

( seperti gambar soal perlatihan 8 ). Tentukan tegangan normal dan

geser pada semua permukaan dari sebuah elemen yang diputar

melalui sudut = 250

Gamabr Soal perlatihan 8

88


89/384

Tegangan geser pada bidang yang

letaknya tegak lurus satu sama lain

Tinjau sebuah kubus yang ditarik pada sisi sisinya dengan gaya

sebesar F

Gambar 2.7 tegangan dan regangan geser

Jika bahannya elastis linier, maka diagram tegangan regangan untuk

keadaan geser ( tehadap ) berbentuk serupa dengan diagramtegangan regangan untuk keadaan tarik/ tekan ( terhadap ) untuk

bahan bahan yang sama.

= tan = LDA

DD/

1

1

=

Karena adalah sudut yang kecil maka : tan

=

GA

F

L

GA

LF

L .

.

.

==

89


90/384

=G

g

Dengan,

= Perubahan sudut akibat geseran ( radian )

g = Tegangan geser ( MPa )

g = Modulus elastisitas geser ( MPa )

Contoh soal 5

Sebuah bantalan luncur dari suatu bahan fleksibel ( seperti gambar 2.8

) yang bagian atasnya ditutupi oleh sebuah pelat baja tipis denganukuran a x b yang sama, dikenakan sebuah gaya geser horizontal 20

kN. Tentukan tegangan dan regangan geser rata rata dalam bantalan

dan penggeseran horizontal d dari pelat bila modulus elastisitas

geswer (G) = 0,8 . 105 MPa.

90


91/384


Penyelesaian

Tegangan geser = 67,6615.20000.20

. === baP

A

Pg MPa

Regangan geser = tan =3

51033,1

108,0

67,66 ==G

g

Pergeseran horizontal :

= d/h d = d = h . = 10 . 1,33 . 103

= 1,33 . 102 mm

Soal perlatihan 9

Hitunglah perubahan sudut, jika diketahui tegangan geser = 20 MPa

dan modulus geser G = 8 . 10 MPa dihitung dalam radian. !

Soal perlatihan 10

Sebuah batang dengan ukuran ( seperti gambar soal perlatihan 10

mendapat gaya geser P. Tegangan geser yang diizinkan 25 MPa dan

modulus geser : 8 . 104 MPa. Tentukan besarnya gaya P bila sudut

geser = 250!

91


92/384


92


93/384

3 Momen inersia

Sasaran belajar

Setelah mempelajari dan mengerjakan soal perlatihan bab ini, anda

diharapkan :

- dapat menjelaskan contoh-contoh pengguaan momen inersiapada komponen permesinan;

- dapat mencari inersia suatu benda baik terhadap sumbu x,ymaupun sumbu polarnya;

- dapat menentukan tegangan yang terjadi pada suatu elemen

mesin yang berhubungan dengan momen inersia.

93


94/384

Pengertian momen inersia

Tujuan penggunaan momen inersia yang biasa dinyatakan dengan

simbol l. Dalam banyak rumus teknik yang berhubungan dengan

momen inersia adalah menjelaskan arti rumus tersebut, seperti pada

rumus lentur, tegangan bending, tegangan puntir, tekuk, dan

sebagainya.

Dalam pembahasan momen inersia dari suatu batang, kita harus

mengetahui terlebih dahulu letak titik berat batang tersebut. Apabila

letak titik berat batang tersebut tidak diketahui kita tidak dapat

menentukan koordidat bidang x & y dari suatu batang.

Sebelum mendefenisikan momen inersia, kita perhatikan terlebih

dahulu mengenai pembahasan titik berat suatu batang yang

sebernarnya sudah dibahas di mekanika teknik satu secara luas.

Untuk menentukankoordinat-koordinat titik

berat ini, marilah kita

melihat luas elemen dA

dengan koordinat-koordinat

x & y yang diperlihatkan

dalam gambar 3.1.

Gambar 3.1. Luas biodang datar A dengan titik berat C

94


95/384

Luas total A di defenisikan sebagai integrasi berikut : A = dA. Begitu

pula momen-momen pertama dari luas ini berturut-turut terhadap

sumbu-sumbu x dan y adalah :

Qx = y dA dan Qy = x dA

Koordinat-koordinat x dan y dari titik berat benda ( C ) sama dengan

momen-momen pertama dibagi luasnya :

titik berat terhadap sumbu X =

= x . dA / dA = Qy / A

(3.1)

titik berat terhadap sumbu Y =

= y dA / dA = Qx / A

(3.2)

Dengan ;

95


96/384

; = titik berat terhadap sumbu x ; y

Qx ; Qy = Momen pertama luas terhadap sumbu x ; y

A = Luas penampang

Demikian juga mengenai momen inersia suatru penamang tehadap

sumbu x dan y berturut-turut didefenisikan oleh integral-integral :

momen inersia terhadap sumbu x :

Ix = y-2 dA

(3.3)

momen inersia terhadap sumbu y :

Iy = x2 dA

(3.4)

Dengan,

Ix ; Iy = Momen inersia terhadap sumbu x ; y

x ; y = Koordinat-koordinat dari elemen luas penampang (dA)

dA = Elemen luas penampang

Karena dA dikalikan kuadrat jaraknya, momen inersia disebut jugamomen kedua penampang sehingga dapat di defenisikan bahwa

momen inersia adalah integral dari pada perkalian antara luas

penampang dengan jarak kuadrat suatu titik atau garis lurus.

96


97/384

Momen inersia polar

Momen inersia polar adalah momen inersia penampang relatif

terhadap garis atau sumbu yang tegak lurus bidang dan ditunjukkan

dengan rumus :

Ip = p2 dA = ( x2 + y2 ) dA

= x2

dA + y2

dA(3.5)

Ip = Iy + Ix

Sehingga dapat dinyatakan bahwa momen inersia polar suatu

penampang terhadap sumbu tegak lurus bidang sama dengan jumlah

momen inersia terhadap dua sumbu lainnya yang terletak pada bidang

dan tegak lurus sumbu polar.

Jari-jari girasi

Jari-jari garis dipergunakan untuk menjelaskan ekspresi matematis lain

yang terdapat pada rumus kolom. Jari-jari garis biasayanya dinyatakandengan lambang k atau r. Peninjauan suatu bidang luas A yang

bermomen inersia Ix terhadap sumbu x. Kita anggap bidang A

merupakan suatu pita tipis yang sejajar dengan sumbu x ( lihat gambar

3.2. ). Jadi supaya bidang A yang berkonsentrasi mempunyai momen

inersia ( kelembaman ) terhadap sumbu x. Pita itu harus di letakkan

pada jarak Kx dari sumbu x yang di defenisikan melalui hubungan :

97


98/384

Ix = ( K )2 . A

Kx =

(3.6)

Gambar 3.2. Jari-jari girasi terhadap sumbu x

Demikian juga untuk sumbu y dan polarnya :

Ky

(3.7)

Kp =

(3.8)

Dengan = Kx ; Ky ; Kp adalah jari-jari girasi

Toerema sumbu sejajar

Sering kali kita memindahkan momen inersia suatu penampang

terhadap sembarang sumbu yang sejajar sumbu penampangnya.

Untuk menurunkan rumus ini, ditinjau gambar 3-3 Xc dan Yc diukur

dari salib sumbu koordinat yang melalui titik berat benda C, sedang X

dan Y diukur dari salib sumbu koordinat yang melalui 0.

98


99/384

Gambar 3.3 Penurunan teorema sumbu sejajar

Jarak antara sumbu-sumbu beraturan adalah d1 dan d2. Dari defenisi

momen inersia terhadap sumbu X diperoleh persaan :

Ix = y2 dA = ( yc + d1 )2 dA

= yc2 dA + 2d1 yc dA +d12 dA

Integral pertama adalah momen inersia terhadap sumbu Xxc (1)

integral kedua sama dengan nol karena sumbu Xc melalui titik berat,

dan integral ketiga adalah luas A. sehingga momen inersia terhadap

sumbu X adalah :

Ix = Ixc + 0 + d12 . A

99


100/384

= Ixc + d12 . A

Dengan,

Ix = Momen inersia terhadap sumbu X (mm4)

Ixc = Momen inersia terhadap sumbu Xc (mm4)

d1 = Jarak dari sumbu X ke sumbu Xc (mm)

A = Luas penampang (mm2)

Demikian pula momen inersia terhadap sumbu Y dan momen inersia

polar nya :

Iy = Iyc + d22 . A

Ip = Ipc + (d12+d22) A

Kesimpulan

Momen inersia suatu penampang terhadap sembarang sumbu yang

terletak pada bidang penampang sama dengan momen inersia suatusumbu yang melalui titik berat ditambah hasil kali luas dan kuadrat

jarak antara kedua sumbu itu.

Momen inersia penampang

Penampang empat persegi panjang

100


101/384

momen inersia terhadap

sumbu X :

Ix = y2 dA,

Karena : dA = b . dy,

maka

Ix = y2 . b . dy

bahan kuliah mektek 2

Documents

Transcript of bahan kuliah mektek 2