Persamaan Gerak Euler untuk Benda Kaku

Suryadi Siregar Mekanika Benda Langit_____________________________________________________________________________

Bab 5

Presesi dan Nutasi Presesi

Presesi adalah pergeseran orientasi sumbu rotasi Bumi secara bertahap setiap satu putaran. Orientasi sumbu rotasi kembali pada keadaan semula dalam tempo sekitar 26000 tahun.

Presesi Bumi pada mulanya disebut dengan presesi equinox karena equinoxnya bergerak ke arah barat sepanjang ekliptika relatif terhadap bintang latar belakang( bitang acuan), dengan gerak yang berlawanan dengan gerak Matahari sepanjang ekliptika.

Gb.5.1 Gerak presesi, meyebabkan arah kutub utara terhadap langit berubah seiring waktu

Pada pertengahan abad ke 19, diketahui bahwa ekliptika beringsut sedikit demi sedikit fenomena ini disebut dengan presesi planet, dimana komponen dominan dinamai presesi lunisolar. Kombinasi dari dua presesi tersebut dinamai presesi umum yang lebih dikenal dengan presesi equinox. Presesi lunisolar disebabkan oleh gaya gravitasi Bulan dan Matahari pada ekuator Bumi, yang menyebabkan sumbu rotasi Bumi bergerak dengan arah yang bergantung pada kerangka inersia yang dipilih. Presesi planet adalah perubahan sudut yang kecil disebabkan oleh gaya gravitasi planet lain pada Bumi dengan bidang orbit (ekliptika). Hal ini menyebabkan bidang ekliptika bergeser perlahan relatif terhadap kerangka inersia. Presesi lunisolar 500 kali lebih besar dibandingkan presesi planet. Pada tahun 2006, IAU mengusulkan bahwa komponen dominan dinamakan presesi ekuator dan komponen minor dinamai presesi ekliptik, tapi kombinasi keduanya tetap dinamai presesi umum.

Efek Presesi

Presesi Bumi memiliki beberapa efek yang dapat diamati. Pertama, posisi kutub langit utara dan selatan tampak bergerak dalam bentuk lingkaran melawan arah gerak latar belakang langit yang dipenuhi oleh bintang. Untuk mencapai satu putaran Bumi harus mengelilingi Matahari sebanyak 25.771,5 kali atau setara dengan 25.771,5 tahun. Dengan demikian, bintang Polaris yang saat ini berada di kutub langit utara akan berubah posisinya seiring dengan waktu dan bintang yang lain akan menjadi bintang utara. Seiring dengan pergeseran kutub langit maka secara perlahan terjadi pula pergeseran pada arah penampakan semua bintang.

Kedua, posisi Bumi dalam orbitnya ketika mengitari Matahari pada solstice, equinox akan berubah secara perlahan. Contohnya, misalkan posisi orbit Bumi pada saat itu berada pada summer solstice, ketika kemiringan sumbu rotasi Bumi tepat mengarah ke Matahari, satu kali orbit penuh kemudian, Matahari terlihat kembali pada posisi relatifnya terhadap bintang-bintang latar belakang, kemiringan sumbu rotasi bumi yang sekarang tidak akan tepat mengarah ke Matahari. Ini dikarenakan efek presesi, dengan kata lain solstice terjadi lebih cepat. Dengan demikian, tahun tropis yang digunakan untuk menghitung musim (solstice ke solstice atau equinox ke equinox) menjadi lebih pendek sekitar 20 menit dibandingkan tahun sideris. Beda waktu sebesar 20 menit per tahun berarti ekivalen dengan satu tahun setiap 25.771,5 kali putaran Bumi mengitari Matahari (atau 25.771,5 tahun), maka setelah satu putaran selama 25.771,5 tahun posisi perubahan musim akan kembali seperti semula.

Nutasi

Nutasi adalah gerak irregular dalam order beberapa detik busur pada sumbu rotasi Bumi. Nutasi adalah pergerakan sumbu rotasi dimana presisinya konstan.

Gb.5.2 Perbedaan antara presesi (P) dan nutasi (N)

Nutasi pada planet terjadi akibat efek pasang surut(efek-tidal) yang menyebabkan presesi equinox berbeda dari waktu ke waktu sehingga kecepatan presesi menjadi tidak konstan. Nutasi telah ditemukan pada 1728 oleh astronom Inggris bernama James Bradley. Nilai nutasi adalah beberapa detik busur per dekade. Ada gangguan lain pada Bumi yang disebut dengan polar motion atau gerak kutub yang dapat diperkirakan hanya dalam beberapa bulan karena ia terpengaruhi oleh hal-hal yang cepat berubah dan tidak dapat diprediksi seperti pasang surut, angin dan gerakan perut Bumi.

Nutasi dibedakan dalam komponen paralel dan komponen tegak lurus terhadap bidang ekliptika. Komponen yang bekerja sepanjang ekliptika/paralel dikenal dengan nutasi dalam longitude. Komponen yang tegak lurus ekliptika dikenal dengan nutasi dalam inklinasi. Sistem koordinat langit berdasarkan pada ekuator dan equinox, yang berarti lingkaran besar di langit yang menjadi proyeksi ekuator Bumi, dan garis vernal equinox yang memotong lingkaran tesebut, yang menjadi titik awal untuk menentukan asensiorekta. Hal tersebut dipengaruhi oleh presesi equinox dan nutasi, maka dengan demikian tergantung pada teori yang digunakan pada presesi dan nutasi dan pada tanggal yang digunakan sebagai epoch (tanggal referensi) untuk sistem koordinat. Jadi jelas, nutasi dan presesi sangat penting dalam pengamatan dari Bumi dalam menghitung posisi semu bintang dan obyek lainnya.

Nutasi pada Bumi

Pada kasus Bumi, sumber utama gaya pasang surut adalah Matahari dan Bulan yang lokasinya berubah secara kontinyu satu sama lain. Keadaan ini menyebabkan nutasi pada sumbu rotasi Bumi. Komponen terbesar nutasi Bumi memiliki perioda 18,6 tahun, sama seperti presesi node orbit Bulan. Tetapi ada hal periodik lain yang signifikan yang harus dihitung selaras dengan ketelitian yang ingin dicapai yaitu persamaan matematika yang merepresentasikan nutasi yang disebut dengan teori nutasi.

Persamaan Gerak Euler untuk Benda Kaku

Tinjau benda kaku terdiri dari kumpulan titik massa yang kaku, berputar secara tiba-tiba pada sumbu dengan pusat Kecepatan linier

Momentum Sudut

Atau boleh juga ditulis sebagai

Gb.5.3 Titik massa m dalam koordinat kartesis x,y danzJadi untuk sejumlah n, titik massa berlaku

(5.1)Tetapi radius vektor terhadap pusat koordinat O(0,0,0) adalah

Kecepatan sudut

Momentum sudut

Persamaan momentum sudut (5.1) diatas dapat dinyatakan kembali

Besaran diatas didefinisikan sebagai

1. Momen Inersia

, dan

(5.2)2. Product of Inertia

, dan

(5.3)Untuk medium yang kontinyu simbol penjumlahan dapat diganti dengan integral.Hukum II Newton, untuk gerak rotasi

Tinjau turunan momentum sudut L

(5.4)N adalah Torque di titik O. Misalkan () menyatakan bilangan arah sebuah garis lurus yang melalui titik O (lihat Gb.5.4)

Gb.5. 4. Bilangan arah((,(,() dan titik massa mj untuk menghitung torka

terhadap pusat sumbu koordinatTerdefinisi Momen inersia terhadap garis, l dengan jarak d adalah;

(5.5)Untuk distribusi massa yang kontinyu

( density, dV elemen volume

Dalam komponen

(5.6)Dengan

Kalau kita gabungkan diperoleh

(5.7)Ini pernyataan momen inersia dari sebuah garis lurus yang melalui titik O Misal

koordinat sebuah titik massa yang terletak pada garis tersebut, berjarak ( dari sumbu O akan mempunyai bilangan arah

(5.8)Sehingga, persamaan (5.7) dapat ditulis kembali sebagai;

(5.9)Jika dimisalkan maka kita peroleh;

(5.10)Menyatakan persamaan ellipsoida. Permukaannya disebut momental ellipsoid untuk benda yang pusatnya berada di titik O

Pilih sebagai koordinat sehingga pernyataan (5.9) dapat ditulis dalam bentuk;

(5.11)

Dengan menyatakan momen inersia terhadap sumbu simetri ellipsoid, persamaan ini disebut principal moments of inertiaSebagai sumbu inersia dipilih sumbu utama ellipsoid, sehingga arah vektor momentum sudut akan segaris dengan vektor kecepatan sudut.

Dengan perkatan lain

(5.12)

Dalam hal ini didefinisikan;

I=momen inersia utama

Tinjau momentum sudut

Jadi kalau diturunkan terhadap waktu t, diperoleh;

(5.13)

Atau dapat juga ditulis;

(5.14) Jadi kita peroleh;

(5.15)Karena tetap, maka sehingga pernyataan diatas menjadi;

(5.16)Terdefinisi persamaan gerak Euler berlaku dengan syarat pusat massa di titik O selalu tetap. Pusat massa system sekaligus merupakan sumbu koordinat.

Ilustrasi 1: variasi lintangTiga titik massa bergerak pada bidang xy. Dengan kecepatan sudut konstan Seluruh bidang xy juga berputar dengan kecepatan sudut konstan ( terhadap sumbu y, sehingga sb.x bergerak dalam bidang kertas.

Gb.5.6 Tiga titik massa yang bergerak pada bidang xy. Bidang xy berotasi terhadapsumbu y dengan kecepatan sudut tetap sebesar (. Sedangkan ketika benda berotasi

dalam bidang xy dengan kecepatan sudut

(5.17)

(5.18)

(5.19)

(5.20)

dan

(5.21)Dari sifat-sifat momen inersia, kita ketahui ,

, dan

(5.22)Oleh sebab itu, persamaan Eulernya menjadi

(5.24)

(5.25)Jadi Torque pada masing-masing sumbu adalah

Dalam kasus ini sumbu z menembus bidang kertas. Contoh lain tentang gerak pitching, yawing dan rolling dapat ditemukan pada gerak ToutatisIlustrasi 2: Pitching, yawing dan rollingTinjau rotasi terhadap suatu titik, tanpa adanya torque misalnya rotasi bumi sebagai contoh (aproximasi) torque yang disebabkan oleh matahari dan bulan relative kecil. Mempunyai sumbu simetri

Dari persamaan gerak Euler;

(5.29)Misalkan diambil ,maka dengan cara yang sama dapat disimpulkan kembali;

(5.30)Karena konstant, maka dapat juga ditulis

(5.31)Misalkan suatu konstanta yang tidak bergantung pada waktu jadi kalau pernyataan diatas diturunkan satu kali terhadap t diperoleh;

(5.32)Maka

(5.33)Merupakan solusi real, a dan b konstanta

Jadi

(5.34)Jadi

(5.35)Dengan perkataan lain projeksi vektor pada bidang (1-2=x-y) bergerak dalam suatu lingkaran, dengan jejari a;

Dalam hal ini;

(5.36)

Gb.5.7 Kecepatan sudut diuraikan dalam komponen sumbu (1), sumbu (2) dan sumbu (3)Diketahui sifat fungsi sinus & cosinus periodik dengan periode 2. Jadi periode w1 dan w2 harus memenuhi QUOTE

atau tulis t=P maka QUOTE

Vektor akan Untuk Bumi dan Jadi 300 hari, menyatakan gerak periodic vector w, terhadap sumbu simetri (poros Bumi), fenomena ini disebut sebagai variation of latitude. Data observasi 433 hari. Perbedaan disebabkan asumsi benda kaku tidaklah benar. Bumi bersifat elastik.Sudut Eulers dan pers gerak

Tinjau sistem koordinat kartesis yang tetap x0, y0, z0

Gb.5.8 Definisi sudut Euler untuk sistim 3 benda

Dapat dilihat

(5.37)

(5.39)Dengan bantuan pers gerak Euler dan sumbu simetri diambil Untuk ketiga sudut tersebut

(5.40)

(5.42)Bila persamaan ini dapat kita selesaikan maka orientasi dari tiga titik massa , untuk setiap waktu dapat ditentukan.

Gb.5.9 Nutasi dan presesi identik dengan gerak gasing

Contoh: Gerak sebuah gasing, dapat diturunkan dengan persamaan Euler. Sifat gasing ,berputar pada porosnya dan sekaligus bergerak mengitari sumbu-zJika dimisalkan l, jarak pusat gravitasi ke sumbu (koordinat), maka

QUOTE

Komponen Torque yang lain tidak ada artinya, Jadi persamaan Geraknya

QUOTE

(5.43)

(5.44)

(5.45)

Atau

(5.46)Demikian pula

konstan

(5.47)Atau

(5.48)Besaran ini disebut kecepatan presesi, hanya merupakan fungsi dari sudut ( sajaAnalisis lebih lanjut menunjukkan bahwa ( juga berubah terhadap waktu. Fenomena ini disebut Nutasi. Selanjutnya jika (kecepatan spin jauh lebih besar dari kecepatan gerak) maka dan memenuhi hubungan . Substitusi pers (5.48) dan (5.46) pada (5.45) diperoleh

(5.49)Dapat diselesaikan bila bentuk

diketahui

Tinjau persamaan energy kinetis

QUOTE

(5.50)Atau

QUOTE

(5.51)Atau

(5.52)Jadi energy total E=T+V dengan energi potensial

Atau

(5.53)Atau

(5.54)Misalkan

(5.55)

Bentuk ini sering dinyatakan sebagai potensial fiktif. Dapat dilihat nilainya akan maksimum bila dan (. Mempunyai nilai minimum bila yang dapat dicari dengan meletakkan syarat , maka diperoleh;

(5.56)Kalau diintegralkan diperoleh;

(5.57)

_____________________________________________________________________________KK-Astronomi, FMIPA ITB 5.9

_1311683188.unknown

_1311690306.unknown

_1340299120.unknown

_1340299184.unknown

_1340299194.unknown

_1340299198.unknown

_1340428230.unknown

_1340428977.unknown

_1340430866.unknown

_1340309841.unknown

_1340299196.unknown

_1340299190.unknown

_1340299192.unknown

_1340299186.unknown

_1340299137.unknown

_1340299146.unknown

_1340299150.unknown

_1340299141.unknown

_1340299129.unknown

_1340299133.unknown

_1340299125.unknown

_1340299104.unknown

_1340299112.unknown

_1340299116.unknown

_1340299108.unknown

_1321245471.unknown

_1340299095.unknown

_1340299099.unknown

_1321248274.unknown

_1340299091.unknown

_1321248059.unknown

_1313821531.unknown

_1321245443.unknown

_1313821485.unknown

_1312201541.unknown

_1311684863.unknown

_1311685673.unknown

_1311686303.unknown

_1311687206.unknown

_1311688437.unknown

_1311688603.unknown

_1311689206.unknown

_1311688915.unknown

_1311688530.unknown

_1311688380.unknown

_1311686511.unknown

_1311686832.unknown

_1311686342.unknown

_1311686100.unknown

_1311686151.unknown

_1311686013.unknown

_1311685261.unknown

_1311685365.unknown

_1311685575.unknown

_1311685287.unknown

_1311685003.unknown

_1311685181.unknown

_1311684965.unknown

_1311683646.unknown

_1311684607.unknown

_1311684830.unknown

_1311684476.unknown

_1311683520.unknown

_1311683575.unknown

_1311683236.unknown

_1311681683.unknown

_1311682478.unknown

_1311682857.unknown

_1311682944.unknown

_1311683031.unknown

_1311683112.unknown

_1311682884.unknown

_1311682647.unknown

_1311682709.unknown

_1311682597.unknown

_1311682087.unknown

_1311682312.unknown

_1311682392.unknown

_1311682134.unknown

_1311681839.unknown

_1311682026.unknown

_1311682062.unknown

_1311681903.unknown

_1311681799.unknown

_1302702855.unknown

_1302704734.unknown

_1302705280.unknown

_1302705689.unknown

_1302706227.unknown

_1311681516.unknown

_1302705935.unknown

_1302705385.unknown

_1302704974.unknown

_1302705144.unknown

_1302704621.unknown

_1302704652.unknown

_1302703616.unknown

_1302704480.unknown

_1302703601.unknown

_1302702169.unknown

_1302702510.unknown

_1302702602.unknown

_1302702295.unknown

_1302701889.unknown

_1302702002.unknown

_1302701822.unknown