BabXVIIMetodeNonparametrik

KAT A KUNCI

metode nonparametrik merupakan merode statistik yang tidak mengasumsikan bentukkhusus distribusi dan oleh karena itu tidak menitik beratkan pada nilai parameter yang tidakdiketahui; beberapa contoh adalah sign test, Fredman F test, Wilcoxon rank sum test,Kruskal-Wallis test dan Wilcoxon signed rang test.

Anda telah melihat urutan biasanya pada bab sebelumnya. Saat uji hipotesa ataumenghasilkan confidence interval, kita telah mengasumsikan bahwa populasi kita samplingdengan distribusi yang telah ditentukan, biasanya normal. Meskipun kita tidak mengetahuiparameter (rata-rata dan variance), kita dapat mengestimasinya dari sampel dan bertolak darisana.

Seringkalikita mengasumsidatakontinu, sepertitinggi badan seseorangdalam em 180,1atau 180,11atau 180,109.Apa yangharus kita lakukanjika data terdiri dari orang-orang yangmenggolongkan produk atau service tertentu pada skala 1 sampai 10? Bagaimana kitamengikuti kenyataan bahwa penggolongan bersifat subyektif, yang produk 8 tidak bergunaseperti produk 4 menurut orang yang sarna?

Padahal inikita tidakmempunyaidistribusibiasanyadanparameteruntukmengandalakan,dan untuk prosedur yang berbeda disebut metode nonparametrik.

YANG HARUS DIINGA T

1. Kebanyakan metode statistik yang telah kita bicarakan di muka, mengandungpengestimasian nilai parameter yang tidak diketahui bila bentuk distribusi khususdiasumsikan untuk diterapkan.

2. Metode statistik lain, disebut metode nonparametrik, dapat diterapkan untuk keadaandimana tidak perlu membuat asumsi bentuk distribusi.

SIGN TEST

Salah satu metode nonparametrik yang paling mudah disebut sign test. Adalah sangatberguna bila mengevaluasi pengamatan yang lebih disukai pengamat, tetapi bukan denganberapa banyak. Contoh, Anggap perusahaan Coca Cola menguji coba rasa produknya untukmembandingkan dengan saingannya, perusahaan Pepsi Cola. Kita akan menguji hipotesa nol

253

--- ---

diantara populasi seluruhnya tidak terdapat perbedaan antara dua produk tersebut. Jika riaporangmemberikan estimasi yang tepat tentangkesukaan masing-masing pada skala 1sampai10,kita dapat menggunakan metode statistik yang telah dilakukan sebelum dengan statistikt. Bagaimanapunjuga kita tidak mempunyai urutan yang tersedia; terlebih lagi kita mungkinragu ketepatan perbandingan golongan perorangan jika tersedia. Oleh karena itu kita akanmenggunakan sign test. Dengan mudah kita akan menanyakan 20 orang pada pengamatancola yang mana yang mereka suka, menggunakan tanda tambahan untuk menunjukkanorang-orang yang lebih suka coca cola dan tanda kurang untuk menunjukkan orang-orangyang lebih suka Pepsi Cola. Anggap hasilnya sebagai berikut:

+, -, +, +, +, +, -, +, +, -, +, +, +, -, +, +, -, +, +, +

Dari 20 orang tersebut, 15 orang lebih menyukai coca cola dan 5 orang lebih menyukaiPepsi Cola. Jika hipotesa nol benar, maka tiap individual mempunyai kemungkinan 50 persenmemilih coca cola dan 50 persen memilih Pepsi cola. Oleh karena itu, lambang tambahberasal dari distribusi binomial dengan n =20 dan p =0,5. Kita akan menggunakan n+untuklambang tambah. Maka

E(n) =np = 10 dan Var(n) =np(l-p) =20/4 =5

Kita dapat menggunakan distribusi normal sebagai perkiraan distribusi binomial.(Untuk sign test perkiraan ini secaraumum akanberlaku bilan > 10).Olehkarena itukita akanmenggunakan tes statistik Z:

2n - n+

Z-Vnp(l-p) - -r;jl

=

yang akan berdistribusi normal jika hipotesa nol benar. Pada kasus kita n+ =15 dan n =20,maka kita dapatmenghitung Z=2,236. Kitadapat menolak hipotesanol pada tingkat 5persenkarena 2,236 di luar 1,96.

Satu manfaat penting dari sign test adalah Anda tidak perlu membuat asumsi yangdibatasi tentang populasi alamiah. Contoh,Anda tidak perlu mengasumsikan kesukaan yangterdistribusi menurut distribusi normal. Kelemahan sign test adalah mengabaikan beberapainformasi yang Anda miliki pada kasus yang pasti. Jika pada contoh cola, informasi yangtersedia hanya mengatakan merk mana yang lebih disukai, maka Anda akan menggunakansign test. Kekuatan kesukaan tiap orang, maka sign test tidak efektif karena mengabaikaninformasi itu.

FRIEDMAN Fr TEST

Di atas, dimana kita menguji hanya dua pilihan, kita hanya memperhatikan orang yangmana yang lebih suka. Tentukan tiga atau lebih pilihan, kita mungkin juga ingin mengetahui

254

orang yang mana yang menyukai kedua terbaik, ketiga terbaik dan seterusnya. Tentukanpilihan n,kita akanmenanyakan orang-orang untuk mengurutkan yang lebih disukai mereka.Hal ini melanggar hipotesa nol yang mengasumsikan distribusi binomial (mudah dimengertigeneralisasi kasus dua pilihan), yang hanya menganggap pilihan yang mana yang palingdisukai seseorang.

Dengan demikian kita menggunakan Friedman Fr test dan membentuk tes statistikbarn:

(12

J (

k

JFr= IRj2

bk (k + 1) j=l-3b(k+l)

dimana b adalah besar sampelk adalah banyak pilihan

R. adalah jumlah rank (urutan) pilihan ke-j (jumlah pilihan k dan juga k > 5 atau bJ

> 5, maka Fr berdistribusi chi-square dengan df k - 1, yang dapat digunakan mengujihipotesa no1.

Contoh: Aplikasi Friedman Fr Test

Misalnya 10 salesmen sebuah perusahaan membandingkan penjualannya (bekerjasecara independen) di 4 negara. Tes dilakukan untuk melihat apakah mereka bekerja lebihbaik atau lebih buruk daripada rata-rata di beberapa negara. Berikut ini adalah tabel data:

Jawab:

b =10,k =4, Fr =4,08dandenganmelihatpadatabelA3-3,kita lihatbahwakitadapatmenerima hipotesa nol pada tingkat 2 persen.

255

---- -- -- -

Salesman Kotal Rank 1 Kota 2 Rank 2 Kota 3 Rank 3 Kota 4 Rank 4

1 15 3 18 4 9 1 11 22 19 3 20 4 13 2 6 13 27 4 7 1 15 3 8 24 43 4 9 1 19 2 29 35 18 4 17 3 16 2 18 36 12 4 10 2 11 3 9 17 20 4 13 1 16 2 18 38 14 1 22 2 23 3 31 49 40 4 14 2 25 3 13 1

10 9 1 14 2 26 3 19 4

Rl =32 R2 =22 R3=24 R4 = 22

- --

Prosedur umum, pengamatan yang ditentukan menghasilkan urutan pilihan yang lebihdisukai (karena data numerik tidak tersedia atau karena tidak sesuai dengan distribusi yangdiketahui), sehingga hipotesa nol adalah tidak ada yang lebih disukai diantara pilihan, bilabesar sampel (b) atau banyak pilihan (k) lebih besar dari 5.

Langkah Friedman Fr Test

1. Hitung jumlah rank Rj.2. Hitung

(12

J ~

k

JFr = L Rp

bk (k + 1) j=1-3b(k+l)

3. Fr berdistribusi chi-square dengan dfk - 1.Periksa tabel A3-3 untuk dfk - 1. Terima atautolak hipotesa nol pada tingkat signifikan yang telah dipilih.

Catatan : Angka seri dapat terjadi pada saat mengurutkan data numerik. Jika hanya adabeberapa angka seri, rata-rata ranking 1,5,4,1,5,3, karena ada angka seri pada rankingpertama dan kedua. Jika terdapat banyak angka seri, maka data Anda tidak dapat dipercaya.

YANG HARUS DIINGAT

1. Sign test digunakan untuk menguji hipotesa bahwa tidak ada perbedaan antara duakuantitas saat Anda meranking menggantikan nilai numerik.

2. Friedman Fr test digunakan untuk menguji hipotesa bahwa tidak ada perbedaaan antarayang lebih disukai bila ada lebih dari dua kemungkinan.

WILCOXON RANK SUM TEST

Misalnya kini Anda mempunyai sampel (tidak perlu sarna besar) dari dua populasi yangAnda kira mempunyai distribusi yagn sarna (tidak diketahui). Salah satu cara mengu ji apakahkeduanya berasal dari distribusi yang sarna atau tidak adalah dengan menggabungkan sampeldan melihat bagaimana keduanya tercampur. Jika semua nilai dari satu sampellebih kecildaripda semua nilai sampellain, maka Anda hendaknya menolak hipotesa nol (bahwa duapopulasi mempunyai distribusi yang sarna). Disamping itu, jika keduanya tercampur baik,maka Anda tidak punya alasan untuk menolak hipotesa.

Cara mengukur seberapa baik sampel yang tergabung itu tercampur disebut Wilcoxonrank sum test. Itu terdiri dari gabungan sampel A dan B, merankingnya, dan menabmah rankyang ditentukan pada A ke bentuk jumlah rank T. Jika besar tiap sampel paling sedikit 8, makaT berdistribusi normal dengan parameter

Ilr= dan

2

256

0: =T12

dimana nA =besar sampel A dan nB=besar sampel B. Maka dengan membandingkan (T - f.lT)/crTdengan tabel A3-2, kita dapat menentukan apakah menerima hipotesa atau tidak.

Contoh: Aplikasi Wilcoxon Rank Sum Test

Misalnya 9 orang profesor ekonomi dari Astina dan 8orang dari Alengka memprediksi inflasiuntuk tahun depan:

Uji hipotesa nol bahwa prediksi profesor berdistribusi sarna.Jawab:

T=55 (18)

f.lr= -= 812

(9) (8) (18)cr =T = 108 = -2,5

12

dan bandingkan dengan tabel A3 - 2, kita lihat bahwa kita dapat menolak hipotesa padatingkat 95 persen.

Kita mempunyaiprosedur yangditunjukkan di bawahuntuk menguji hipotesa nolbahwasampel berasal dari dua populasi dengan distribusi yang sarna.

257

- -- -

Prediksi inflasi Prediksi inflasiAstina (persen) Rank Alengka (persen) Rank

1 8,6 1 1 15,8 152 9,7 3 2 13,4 113 11,8 6 3 12,2 74 17,1 16 4 17,3 175 12,9 10 5 12,6 96 11,7 5 6 14,3 147 12,4 4 7 14,2 138 10,3 4 8 13,5 129 8,9 2

---

Prosedur Wilcoxon Rank Sum Test

1. Gabung sarnpel2. Ranking (juka ada beberapa angka seri, rankingnya adalah rata-ratanya)3. Hitungjumlah rank T untuk sarnpel A

4. Bandingkan variabel random normal (T -uT)aT dengan tabel A3-2 pada tingkat tangtelah ditentukan untuk menentukan apakah kita menerima hipotesa atau tidak.

KRUSKAL-WALLISH TEST

Kruskal-Wallis H Test merupakan generalisasi Wilcoxon rank sum test untuk lebih daridua populasi.

Contoh: Aplikasi Kruskal-Wallis H Test

Misalnya kita mempunyai sampel k populasi dan kita ingin menguji hipotesa bahwapopulasi mempunyai distribusi yang sarna.

Pemecahan:

Kita kembali menggabungkan sarnpeldan merankingnya. Tes statistikuntuk hal ini agakrumit:

dimana

k

n =I.njj=l

n. =besar sampel populasi ke-j dan R. =rank sum ke-j.J J

H berdistribusi chi-square dengan df k - 1,jika tiapn. lebih besar dari 5.

J

Tentukan tingkat signifikan dan sampel dari populasi k yang berbeda (dengan setiapbesar sarnpellebih besar dari 5), hitung H dan periksa Tabel A3-3 dfk - 1untuk menentukanapakah menerima hipotesa nol atau tidak (populasi berdistribusi sarna).

258

nA(nA+ nB + 1)= dan

2

nAnB(nA+ nB + 1)a =T

12

WILCOXON SIGNED RANK TEST

Seperti yang telah Anda kira, Wilcoxon signed rank test hampir sama caranya denganWilcoxon rank sum test. Ini dapat dipakai pada keadaan yang mirip dengan pembicaraan signtest. Hipotesa nol menyatakan bahwa htidak ada perbedaan antara dua populasi.

Misalnya kita menanyakan orang-orang untuk mengevaluasi dua pilihan A dan B. Saatini, menyatakan yang mana yang lebih disukai, mereka menggolongkan masing-masing padaskala (misalnya, dari 1 sampai 10 atau 100). Kemudian kita ranking nilai absolut positif dan

perbedaan negatif, tandai T+ dan T_.Jika kita anggap T lebih kecil dari T+dan T_,dan besarsampel N adalah besar, maka T adalah variabel random normal dengan parameter

N (N + 1) N (N + 1) (2N + 1)J.lT = dan aT =

4 24

jika hipotesa nol benar. Kemudian kita mempunyai variabel random normal (T -1lr)/crT yangdapat kita bandingkan dengan tabel A3-2 untuk memutuskan apakah menerima hipotesa atautidak.

Contoh: Aplikasi Wilcoxon Signed Rank Test

Misalnya kita mengambil sampel random dari 10 orang yang menyewa mobil dari JatayuEkspres dan Baker Ekspres dan menyuruh mereka untuk menggolongkan kedua persewaantersebut pada skala 1 sampai 10. Kita dapatkan tabel berikut ini:

Ujilah hipotesa bahwa tidak ada perbedaan antara dua perusahaan.

259

- --

Orang A B A-B A-B Rank + -

1 4 7 -3 3 9 92 5 6 -1 1 3 33 9 6 3 3 9. 9 94 5 7 -2 2 6,5 35 4 5 -1 1 3 36 9 8 1 1 3 37 5 4 1 1 3 38 7 6 1 1 3 39 3 5 -2 6,5 6,510 3 6 -3 3 9 9

total 18 37

Jawab:

T =18 T =37+ -T=T+=I8 10(11)

JlT= = 27,54

10 (11) (21)a =T = 96,25

24

(T - 1lr)/crT= -0,97 dan kita dapat menerima hipotesa pada tingkat 95 persen.Pada kasus angka seri, maka ranking adalah rata-ratanya. Jika seseorang memberikan

golongan yang sarna pada A dan B (maka A - B = 0), buat tes dua kali, pertarna hitung 0sebagai perbedaan positif, kedua hitung 0 sebagai perbedaan negatif. Jika hasilnya sesuai,baik. Jika tidak,data Andatidak dapat dipercaya. Dibawah ini adalahprosedur penggolonganyang telah ditentukan dari duapilihan yangdilakukan olehN orang (perusahaan,departemen,dan sebagainya).

Prosedur Wilcoxon Signed Rank Test

1. Ranking nilai absolut dari perbedaan golongan2. Hitung jumlah rank T+ dan T-3. Anggap T lebih kecil dari T+ dan T-

N (N + 1) N (N + 1)(2N + 1)JlT = dancrT=

4 24

4. Bandingkan (T -1lr)/crTdengan tabel A3-2 untuk menentukan apakah menerimahipotesanol atau tidak pada tingkat signifIkan yang ditentukan.

YANG HARUS DIINGA T

1. Wilcoxon rank sum test digunakan untuk menguji hipotesa yang tidak ada perbedaanantara rata-rata populasi.

2. Kruskal-Wallis H test adalah generalisasi dari Wilcoxon rank sum test, digunakan saatada lebih dari dua populasi.

3. Wilcoxon signed rank test digunakan untuk menguji hipotesa yang tidak ada perbedaanantara rata-rata populasi.

260