POTENSIAL LISTRIK

3.1. ENERGI POTENSIAL LISTRIK.- -

Kerja yang harus dilakukan oleh gaya luar F terhadap medan listrik E untukmemindahkan muatan q dari titik a ke titik b sejauh de adalah

dW = -F.de = -qE.de 3-1

Jumlah kenaikan energi potensial listriknya adalahb

6V = Vb - V. = -J qE.de= Wab 3-2a

Jika dimisalkan titik a terletak di titik yang tak terhingga jaubnya maka V. = 0 dan energipotensial di titik b adalah;

bVb = -JqE.de 3-3

di sini tanda minus menunjukkan bahwa gaya luar F besamya sarna dengan gaya listrikyang melawarmya, dan muatan percobaan q diarnbil sangat keeil.

58

3-2. POTENSIAL LISTRIK

Misalkan di suatu titik dalam rnedan listrik E diternpatkan rnuatan percobaan q,rnaka potensial V di titik itu adalah;

u _v = - = -JE.de 3-4

q

Beda potensial antara dua titik a dan b dalam rnedan listrik E adalah;b

~V = Vb -V. = -J E.de = Vb. 3-5a

Jika rnedan listrik E adalah serba sarna dan besar perp~ndahan de sarna dengan d,rnaka persamaan 3-5 rnenjadi;

b b

Vb. = -JB.de = -E J de = - Eda a

atau

Vb. 3-6E = - - .............................................................................d

Pada urnurnnya rnedan listrik E tidak serba sarna, dan perpindahan de dalarn Ruang,rnaka persamaan 3-5 dapat dinyatakan dengan:

dV = - E.de = -(Ex dx + Ey dy + Ez dz) 3-7atau

- ~~ ~~ ~~ -E = - (- i + - j + - k)= -V V 3-8

~ ~ ili

Ad "d I'ddisini: +V = i - + j - + k-

dx dy dz

dV dV dVEx = - -, Ey = - , Ez = -

dx dy dz

59

3-3. POTENSIAL LISTRIK AKIBAT MUATAN TITIK QMedan listrik pada jarak r dari muatan titik tunggal Q besamya adalah:

1 QE=-

41tE0 f

Beda potensial antara dua titik a dan b dalam medan listrik E menurut persamaan 3-5adalah:

fb - - Q {b drV -V =-J E de = - - -b a .

ra 41tE 0 ra f

I Q, Q=- (---)

41tE 0 rb ra

Untuk menghitung potensiallistrik di suatu titik, biasanya di ambU Vb = a padajarak rb= - dari muatan titik Q. (Gambar 3-1), maka potensial V pada jarak r dari muatan titikQ adalah

1 QV = - - 3-9

41tE 0 r

Q

ra

~a dt

Gambar 3-1.

b

3-4. POTENSIAL DIPOLE LISTRIK.

Dua muatan titik Q yang sarna besar dan berlawanan tanda terpisah sejauh t, disebutdipole listrik. Potensial listrik akibat dipole pada titik sernbarang P sepeni ditunjukkanGambar 3-2 adalah:

1 Q (-Q) Q I I Q LlrV=-(-+ -)=- (___)=_

41tE0 r r+ Llr 41tE0 r r+Llr 41tE0 r(r+ Llr)

disini r adalahjarak dari P ke rnuatan+ Q dan r+Llradalahjarak ke rnuatan-Q. Persa-maan akan menjadi sederhana jika r » 1,dengan dernikian r » Llr=1Cose jugadanr + Llr '" r

60

Potensial dipole listrik menjadi :

1 Qt Cos e 1 p Cos eV==- ==

41tE 0 r2 41tE0 r23-10

disini p == Qt disebut momen dipole. Jika 0 < e < 90° maka V adalah positif dan Vnegatif jika 90° < e < 180°

p

-Q

Gambar 3-2

3-5. POTENSIAL AKIBAT MUATAN TERDISTRIBUSI.

Potensial listrik akibat muatan titik Q menurut persamaan 3-9 adalah

1 QV==--

41tE0 r

Jika dalam ruang ada.n muatan titik, potensia1 listrik di suatu titik C adalah:

1Vc ==VI + V2 + V3 + + Vo ==

41tEo

disini r; adalah jarak muatan ke i (Q) ke titik C.

Jika muatannya merupakan benda bermuatan Q. maka potensial listrik di c adalah:

n Q 3-11I ~ .........................i==l rj

41tEo

J dq 3-11-.............................................r

V==

di sini r adalah jarak dari e1emen muatan dq ke titik C.

61

3-6. SATUAN POTENSIAL LISTRIK.

Menurut persamaan 3-4, potensial listrik mempunyai satuan Volt dalam sistim MKS dan Statvan dalam sistim elektro statikdisini:

J1 Volt (V) = 1-

Cdan

erg1 Stat Volt = 1

stat Coulomb

Untuk elektron, atom atau mo1ekul satuan energinya biasanya digunakan satuanelektron volt (ev), karena satuan energi Joule (J) dalam hal ini ordenya terlalu besar. Satuelektron volt adalah energi yang dibawa oleh satu elektron yang bergerak akibat bedapotensial 1 volt.Jadi:

1 eV = 1,602 X 10-19(C) X 1 (V) = 1,602 X 10-19CVatau

1 eV = 1,602 X 10-19J

CONTO" PENYELESAIAN SOAL

3-1. Muatan Q = 40 ~C terletak pada pusat salib sumbu dan titik P pada posisi x =0,5 m, y = 0,8 m, Z = 0,6 m (Gambar 3-3)(a) Tentukan potensial listrik di P(b) Bila q = 9~C ditempatkan di P, hitunglah energi potensial listriknya.

Z

p

zI

Q /y/ JI

-- X

y

xGambar 3-3

62

Jawab :(a) Di sini r = (0,52 + 0,82 + 0,62)112= 1,118m

Potensial listrik di P1 Q (40x 10-6)

V = - - = (9 X 109)41tEo r 1,118

=3,22 x 10s V

(b) Energi potensial di P

U = qV = (9x1O-6) (3,22 x 105)

= 2,9 J

3-2. Dalam Gambar 3-4, muatan Q =40 IlC di tempatkan di pusat saHib sumbu, rl =0,5 m dan r2 = 1,2 m.(a) Hitunglah potensial di PI dan P2 terhadap Q. Berapa pOlensial di PI lerhadap

P2 ?(b) Sebuah mualan q =81lC di tempatkan di PI' berapa energi pOlensialnya (relalip

terhadap - ) ?(c) Jika muatan q bergerak bebas dari PI ke P2, berapa perubahan energi kine-

tiknya_

z

Q I I / XI

1/

y

Gambar 3-4

Jawab :

(a) Potcnsial di PI dan P2 adalah :

I Q (40 X 1006C)VI = - - - = (9 X 109 N.m2/C2) = 720 kY

41tE 0 rj (0,5 m)

63

1 Q (40 X 10-6 C)V2 = - - - = (9 X 109 N.m2/CZ) = 300 kV

41tEo r2 1.2m

Potensial di PI terhadap P2 adalah

VI2 = VI - V2 = 420 kV

(b) Energi potensial muatan q di PI'

UI = qV. =(8 x 1O-6C)(720 x 103V)= 5.76 J

(c) Perubahan energi kinetik dari PI ke P2.

K2 - KI = UI - U2 = q (VI - V2) = (8 x 1O-6C)(420 x 103V) = 3,26 J

3-3. Beda potensial VAll diantara kawat A dan B Gambar 3-5. diukur dengan voltme-ter adalah 6000 V. Sebuah muatan q = + 500 IlC dan mempunyai massa 0,150 kg,di lepas dari keadaan diam di titik dekat kawat A, dan dibiarkan bergerak menujuB.

(a) . Apakah VAll tergantung pada jarak antara kedua kawat S '!(b) Berapa kerja yang harus dilakukan oleh muatan q(c) Dengan kecepatan v, berapa muatan q~iba di B ?(d) Berapa besar medan listrik Rata-Rata ERaloantara A dan B ?

- VAI!

A

r+

-S = 0,20m

LGambar 3-5.

Jawab :(a) Tidak.

(b) W = UA - UII =qVAI! = (500 x 1O-6C)(6000V) = 3 1.

(c) W = 1/2 m y2 atau y = (2) (3 J) = 6,324 m/s. (0.150 kg)

(d) ERala= VAI! = 6000 V = 30 k Vim

S 0,20 m

64

3-4. Elektron (e/me = 1,759 x 11011C/kg) dari filarnen panas f, ditarik ke anoda P.Beda potensial antara f dan P dibaea di voltmeter sebesar V = 600 V (Gambar3 -6).(a) Denggan kecepatan berapa elektron sarnpai di P, jika dianggap elektron di f

dari keadaan diarn ?(b) Jika jarak antara f dan P 3 ern, berapa besar medan listrik Rata-Rata dalam

pergerakan elektron ?(e) Jika elektron yang tiba di P sekarang keeepatannya 4 x 107mis, berapa besar

tegangan yang dipergunakan ?(d) Dengan energi berapa elektron volt setiap elektron yang sarnpai di P ?(e) Berapa besar energi yang hilang dalarn anoda setelah 6 x 11023elektron (kira-

kira satu mole) telah mengalir ?

+f

v

Gambar 3-6

Jawab:(a) eV = 1/2 ffiey2alau y = V2 (elm) V =~2(1,759 x 1011)(600) =

1,453 X 107m/s .

(600 V)(b) ERata= = 20 kV/m

(3 x 1O-2m)

1 y2 1 (4 X 107)2(e) Dari (a), V = - - = - = 4550 V

2 elm 2 1,759 x 1011e

(d) Setiap elektron sampai di P dengan energi 600 cV(e) Energi yang hilang, L =(6 X 1023elektron)(600 eV/elcklron)( \,6 x 10-19J/cV)

= 57,6 MJ.

65

3-5. Sebuah dipole yang ukurannya dapat diabaikan mempunyai dipole momen 10-10c.m. Dipole ini di tempatkan pada pusat sumbu dengan porosnya sepanjangsumbu x.

(a) Hitunglah line integral dari medan listrik sepanjang garis yang membentuksudut 45° dengan sumbu x dan terletak pada kwadran penama, dari tak ber-hingga sampai dengan jarak 2 em dari pusat sumbu, untuk mencari potensialpada titik tersebut ?

(b) Berap kerja yang diperlukan untuk membawa muatan +1O-9Cdari tak ber-hingga ke titik tersebut ?

(e) Berapa energi potensial dari muatan +HtI9C tersebut

Jawab :

Er

x

Gambar 3-7

(a) Persamaan (3-8) d~n (3-10)

av 1Er=--=-

ar 41tE0

2p Cose avdan Ee = - -

~ ae

p Sin e--

41tE0 r2

Potensial di titik P

V = -f'Er dr = _ 2pCose 0f2~ =_2pCose _ 6r2 ,,02p

41tE0 - r3 41tE0 -2

p Cos

41tEo 0,022 =(9 x 109N.m2/C2)

(10-10C.m) (0,7071)

4 X 10-4

= 1590 V.

(b) Kerja yang di lakukan oleh muatan 1O.9C,

w= - q JE.d = (l0'9C) (1590 V) = 1,59 X 10-6 Jr r

66

(c) Energi potensial muatan +10-9adalah kerja pada (b) yaitu

U= 1,59 x 110-6J.

3-6. (a) Buktikan bahwa bila sebuah partikel yang sedang diam dengan massa danmuatan yang konstan, jika diberi percepatan dalam medan listrik, maka kece-patan akhir partikel ini berbanding dengan akar dari beda potensial untukmempercepat partikel.

(b) Hitunglah besar konstanta perbandingan bila partikel itu adalah elektron(c) Dengan beda potensial berapakah agar elektron itu mempunyai kecepatan

1/10 kecepatan cahaya.Jawab:(a) Jika sebuah partikel di percepat dalam medan listrik, maka energi potensial

partikel itu berkurang dan berubah jadi energi kinetik, maka

q V = 1!2 m y2atau

y =V2q V =V2q. \[V = konstyvm m

(b) Kalau partikel itu sebuah elektr~n maka,

\f2Clkonst= V ~=

2(1,6 X 10-19C)

= 5,93 X 1059,1 x 10-31 kg

(c) Bila kecepatan y = 1/10 x kecepatan cahaya maka,

1/10 x 3 lOS m/s = 5,93 x 105 vvatau

V =2500 V.

3-7. Suatu elektron dalam tabung gambar pesawat TV di percepat dari keadaan awaldiam dengan beda potensial Vba= 5000 V.(a) Berapa perubahan energi potensial elektron ?(b) Berapa besar kecepatan elektron akibat percepatan ini ?

Jawab :(a) Perubahan energi potensial yang teljadi,

V =q Vba= (-1,6 X 10-19C) (5000 V)

= - 8,0 X 10-16 J.

Tanda negatif menunjukkan bahwa elektron ditarik dari elektroda negatif kepositif.

67

(b) Dengan menggunakan hukum kekebalan energi.

6KE = - 6U

1/2 mv2-O = -q V ba

V =v- -2:V..=

-2(-1,6x 1Q-19C) (5000V)

9,1 X 10-31kg

=4,2 X 107m/s.

3-8. Berapa besar keIja yang diperlukan untuk membawa muatan q = 3,0 J..lCdaritempat yang jauh sekali ke titik 0,50 m dari muatan Q = 20,0 J..lC ?

Jawab :Kerja yang diperlukan

q Q QW = qVba= - (- --)

41tE0 rb r.

(9,0 x 109 N.m2/C2) (20,0 x 1O-6C)= (3,0 X 10-6C)

= 1,08 J(0,50 m)

disini rb = 0,50 m dan r. = -3-9. Jarak antara atom carbon (C) dan oxygen (0) dalam gugusan C = 0, kira-kira

1.2 x 10-10m dan momen dipole yang teIjadi adalah 8,0 x 10-30Cm.Hitunglah :(a) Muatan Netto Q pada C (+) dan 0 (-).(b) Potensial pada jarak 9,0 x 10-10m dari dipole sepanjang sumbunya, dengan

atom oxygen yang terdekat (lihat gambar 3-2, dengan e = 180°)(c) Berapa potensial di titik ini jika hanya oxygen (0-) yang dimuati ?

Jawab :(a) Momen dipole adalah p = Qt. Maka,

p (8,0 x 10-30Cm)Q =- = = 6,6 X 10-20C

t (1,2 X 10-10m)

(b) Karena e =1800, maka persamaan3-10 menjadiI p Cos e (9,0 x 109N.m/C2)(8,0 x 10-30Cm) (-1,0)

V=- =41tE 0 r2 (9,0 X 10-10 M)2

=-0,088 V

68

1

(e) V = -41tEo

Q (9,0 X 109 N.m/C2) (-6,6 x 1O.20C)=

r (9,0 x 1O-1Dm)

= -0,66 V

3-10. Sebuah dioda terdiri dari katoda yang berbentuk sHinder dengan jari-jari 0,05 emditempatkan dalam sHinderanoda yang beIjari-jari 0,45 em, seeara koaksial (Gambar3-8).Potensial anoda 300V lebih tinggi dari katoda. Sebuah elektron meninggal-kan permukaan katoda dengan keeepatan awal no!. Hitunglah keeepatan.(a) Jika elektron itu telah menempuh jarak 2mm(b) Jika elektron itu telah meneapai anoda

Jawab :

Gambar 3-8

Misal muataan persatuan panjang A.. maka HKGauss menjadi,1 A.

E=-

21tE 0 r

dVKarena E = - - . maka

drA. dr

- j dv = - Jva r

Karena Vb > Va' makaA.

V - V = V =b a ba

bIn - ... ... 1)

a

69

Untuk bidang Gauss dengan jari-jari r,A. b

In - .2)27tE 0 a

v - V =r a

Jika persamaan 1) dan 2) diseIesaikan,r r

lna InaVra

-~- atauV =Vra ba

lnba

In ba

disiniV = V

ra

Vba= 300 V

r = 0,25 em.a = 0,05 em.b = 0,45 em.

makaIn5

Vra= V = (300V)- = 220 VIn9

Menurut hukum kekebalan energi

qV = 1/2 mv2 atau V =~q-Vm

maka pada jarak r,

V= (220 V) = 8,89 x 106m/s2(1,6 X 10.19C)

(9,1 x 10-31kg)

(b) Pada anoda, V = 300 V maka keeepatan elektron,

V=2(1,6 X 10.19C)

(300 V) = 10,3 X 106m/s(9,1 x 10-31kg)

3-11. Pada atom Hidrogen model Bohr, sebuah elektron berputar mcngelilingi protondengan radius 5,28 x 10-9em(a) Berapa energi potensial dari atom ?(b) Berapa besar selisih potensial dari elektron untuk mcndapaLkanenergi sebesar

ini ?

70

Jawab :1 q (1,6 X 10-19C)

V = - - = (9 x 1()9Nm2fC)41tE0 r (5,28 x 10-11m)

= 27,2 V

Energi potensial atom

U =qV =(1,6 x 1O-19C)(27,2 V) =43,6 X 10-19 J

(b) Beda potensial daTi elektron sebesar 27,2 V

3-12. Potensial pada suatu titik pada suatu bidang diberikan dalam bentuk :

a Cos e bV=' +-

r2 r

disini r dan e merupakan koordinat polar dari suatu titik pada bidang, a dan badalah suatu konstanta. Tentukan komponen-komponen Er dan Ee pada semba-rang titik.

Jawab :dV d

-E=-=-r dr dr

a Cos e b+-

f r

-a Cos e . 2r -b= +-

r" r2

2 Cos e bEr= + -

r3 f

1 dV 1 dEr= =---

r de r de

a Cos e b+-

r2 r

- a sin e= +0

r

a sin e=

71

3-13. Dua tabungkonduktoryang tipis,masing-masingdenganjari-jari 1 em dan 10emditempatkan sedemikian rupa sehingga kedua sumbunya berimpit dan tabung luarberadapada potensialburni. (Garnbar3-9)(a) Berapakah potensial maksimum dari tabung dalam jika intensitas medan lis-

trik antara kedua tabung itu tidak melebihi 5 x IQ2Vim.(b) Tikapotensial tabung dalam sudah mencapai maksimum, hitunglah potensial

dan intensitas medan listrik pada satu titik 5 em dari sumbu.(c) Hitunglah muatan persatuan panjang dari silinder.

Jawab :

Gambar 3-9

(a) Medan listrik antara kedua tabung,

I AE = - - 1)

21tE 0 r

Beda potensial antara tabung dalam dan luar ,

A bV.b = - In - 2)

21tE0 a

Dari persamaan I) dan 2) diperoleh,

1 VE=-~

r In b

a

atau

bV = V - V = Er In.b . b 3)

a

Untuk Emu = S X IQ2Vim, maka persamaan 3) menjadi,

10V - ° = (S x IQ2Vim) (0,01 m) In - = II,S V

a IVa = 11,S V.

(b) Pada titik C yang beIjarak S em dari sumbu,

IE =-

C r=

I

(O,OSm)

(11,S V)

In 10= 100 Vim

In b

a

I A AE = - - -> = E . r = (100 V1m) (O,OSm) =S V

21tE 0 r 21tE0

Potensial di titik S em dari sumbu :

A b 10VCb= - In - = (S V) In - = 3,47 V

21tE 0 e S

(c) Muatan persatuan panjang A,

A SV- = S V atau A= (SV) (21tEJ =-21tEo 2(9 X 109 N.m2/C2

=2,8 x 10-10C/m.

3-14. Dua buah bola konduktor dengan jari-jari I em dan 2 em, masing-masing diberimuatan 10-8C. Jika jarak antara kedua pusat bola I m dan dihubungkan dengankawat yang halus, berapakah akhimya muatan pada masing-masing bola, dan hi-tunglah pula potensialnya.

lOOCm

.Gambar 3-10

73

Jawab :Setelah kedua bola dihubungkan, muatan dan potensial pada masing-masing bola,

adalah ql' q2 dan VI' V2.

Potensial pada bola I :

I ql q2 9VI = - ( - - }- = (9 x 10)41tEo rl I

Potensial pada bola 2 :

I ql q2 9VI = - ( - -) = (9 x 10)

41tEo I I

Jumlah muatan kedua bola tetap,

ql q2 =2 X 10-8C

Karena VI = V2. maka

100 ql + q2 = ql + 50 q2

49q =- q

I 99 2

maka:

ql =0.66 X 10-8 C

dan

VI = V2 = 6060,6 V == 6, 0606 kV.

q2 = 1,34 X 10-8 C

3.15. Berapa usaha diperlukan untuk membawa elektron dari kutub positif batere 12 voltke kutub negatimya ?Apabila dari kutub positif kita pindah ke kutub negatif, kita mengalami penurunanpotensial. Dalam hal ini, sebesar V = -12V, maka :

maka = qV = (-1,6 x 1O-19C)(-12V)= 1,92 x 10-18J

positif, karena elektron bermuatan negatif. Maka diperlukan usaha positif untukmemindahkannya dalam arah yang berlawanan.

3-16. Proton mengalami penurunan potensial 5 kV sewaktu bergerak antara dua titik.Berapakah penurunan EPL dialami proton?Proton bermuatan positif. Karenanya, jika tidak dihalangi proton akan bergerakdari tempat berpotensial tinggi menuju ke tempat berpotensial rendah. PerubahanU yang dialaminya jika mengalami beda potensial V adalah qV. Dalam soal ini V= -5 kV, maka :

74

perubahan U =Vq =(-5000V)(1,6 x 1O-19C)= -8x 10-16 J)

3.17. Dari keadaan diam, elektron bergerak dan mengalami kenaikan potensial sebesar80V. Berapakah laju akhir elektron ?Partikel bennuatan positif mengalami penurunan potensial dalam medan, sedangkanpartikel yang bennuatan negatif, seperti elektron, mengalami kenaikan potensial

perubahanU =Vq =(80V)(-1,6 x 1O-19C)=-1,28 x 10-17J

EPL yang hHang ini menjelma sebagai EK elektron : ELP yang hHang =EK yangmuneul.

v =I

(1,28 X 10-17J)(2)= 5,3 X 106mlS

9,1 X 10-31 kg

3.18. (a) Diketahui muatan 2~C; berapakah potensial mutlak pada jarak r = 10 em danr = 50 em?

(b) Berapa usaha diperlukan untuk memindahkan muatan 0,05 ~C dari titik padar = 50 em ke titik pada r = 10 em?

q 2xl~~VIO= k - = (9 X 109N.m2/C?) = 1,8 x 105V

r 0,10 m(a)

10Vso = - VIO =0,36 x IOSV

50

(b) Usaha =q(VIO - Vso> = (5 x 1~8C)(1,44 x IOSV)=7,2 X 10-3 J

3-19. Perhatikan soal3-18. Misalkan sebuah proton dHepas di titik r = 10 em. Berapakahlajunya kalau melewati titik di r = 50 em?Dari titik yang satu ke titik yang lain partikel mengalami penurunan potensial.

penurunan potensial = 1,80 x 105V- 0,36 x IOSV= 1,44 x 105V

Proton menerima EK sewaktu mengalami penurunan potensial ini

EK yang diperoleh -- U yang hHang

1/2 mv/ - 1/2 mVo2= qV

1/2 (1,67 x 10-27kg)v/ - 0 = (1,6 x 1O-19C)(1,44x IOSV)

Setelah dihitung : vI = 5,3 x 106m/s..

75

.__n... n u. --

3-20. Inti atom timah putih bennuatan +50e.(a) Hitunglah potensial mutlak V pada jarak r = 1O-12mdari inti itu.(b) Kalau proton dilepas di titik ini, berapakah kecepatannya kalau sudah menca-

pai jarak 1 m dari inti?

q (50)(1,6 x 10-19)(a) V = k - = (9 X 109) = 72.000V= 72 kV

r l~u

(b) Proton ditolak inti dan bergerak ke luar (ke titik di tak berhingga). Potensialmutlak di suatu tempat ialah beda potensial antara titik tersebut dan titik di takberhingga. Karena itu dalam geraknya, proton mengalami penurunan potensialsebesar 72 kV.Pada umumnya jarak 1 m dari inti sudah dianggap titik tak berhingga. Tetapi,untuk mengadakan perbandingan, marilah kita hitung V di titik r - 1 m.

qV = k - = (9 X 109)1m

r(10)(1,6 x 10-19)= 7,2 X 1O-8y

1

yang boleh dikatakan adalah nol bila dibanding dengan potensial 72 kY.Sewaktu proton mengalami penurunan potensial sebesar 72 kV :

penambahan EK = berkurangnya EPL

112 mv 2 - 112mv2 = qvI 0

112(1,67 X 10-27kg) v/ - 0 = (1,6 x 1~19C)(72.000Y)

atau vI =3,7 x 1()6m/s.

3-21. Pada sumbu x terdapat muatan + 2 JlC di x =20 em, muatan -3 JlC di x = 30 emdan muatan -4 JlC titik x =40 em. Berapakahpotensialmutlak di x =O?Karena potensial ialah besaran skalar, maka :

qjV=kL-

r.I2 X 10-6 -3 x 10-6 -4 x 10-6

= (9 X 109) [ + =0,20 0,30 0,40

= (9 x 109)[10x 10-6- 10 x 1~6 - 10 X 10-6]= -90.000 Y

76

3.22. Diketahui muatan titik +q dan -q pada jarak pisah d. S€flaindi titik tak berhingga,dimanakah terdapat potensial mutlak nol ?Di titik (atau titik-titik) yang dicari berlaku :

q -qo = k - + k - atau rl = rz

rl r2

Syarat ini berlaku pada titik-titik dalam bidang datar yang berada di tengah-tengahdi antara kedua muatan itu dan tegak lurus pada garis penghubung kedua muatantersebut.

3.23. Pada keempat sudu.tbujursangkar (sisi 30 em) terletak muatan. Tentukan potensialdi titik pusat bujursangkar jika(a) keempat muatan itu masing-masing + f.1C,dan(b) dua di antara keempat muatan itu + 2 f.1Cdan yang lain - 2 f.1c.

q. Lq. (4)(2 x I~ C)(a) V = kL :.. =k :.. = (9 x 1()9N.m2jCZ) = 3.4 x 105 V

r. r (0,3 m) cos 45°1

(b) V = (9 X 109N.m2jCZ) (2 + 2 - 2 - 2) X IO-6C=0(0,3 m) cos 45°

3.24. Pada Gambar 3-11 muatan di A ialah + 200 pC dari di B - 100 pc.(a) Tentukan potensial mutlak titik C dan D.(b) Berapa usaha diperlukan untuk diperlukan untuk memindahkan muatan + 500

f.1Cdari titik C ke titik D?

qj 2 X 1O-IOC(a) VC = kL - = (9 x 109 N.m2jCZ)[

ri 0,8 m

1 X 1O-IOC

] = -2,25 V0,2 m

2 X 10-10 1 X 10-10

VD = (9 x 109) [ ] =+7,88 V0,2 0,8

(b) Antara titik C dan D terdapat kenaikan potensial sebesar

V = VD - VC =7,88 V -(-2,25V) = 10,13 V.

Maka usaha = Vq = (l0,13V)(5 X IO-4C) = 5,06 X 1O-3J

77

+ 200pC D. )(

L.=J 60em

C -100 pC)( .

.L20=J

B

120V

Gambar 3-11 Gambar 3-12

3-25. Gambar 3-12 menunjukkan dua keping logam besar yang berhubungan denganbatere l20V. Kedua keping berada dalam vakum dan jauh lebih besar dari yangtampak pada gambar.(a) Tentukan E di antara kedua keping;(b) Tentukan juga gaya yang dialami elektron yang berada di antara kedua keping

itu;(c) Hitung U yang hilang bila elektron berpindah dari keping B ke keping A,(d) Hitung juga laju elektron sesaat sebelum mengenai keping A kalau dilepas

dari keping B.

(a) Arah E adalah dari keping positif A ke keping negatif B. Medan listrik antaradua keping yang luas bersifat homogen, sebesar :

V 120VE=-= =6000 Vim

d 0,02 m

berarah dari kiri ke kanan. Satuan V1m sarna dengan N/C; sering sekali kuatmedan listrik dinyatakan dalam Vim.

(b) F = qE = (-1,6 x 1O-19C)(6000Vim) = -9,6 x 10-16NTanda negatif berarti gaya F berlawanan arah dengan E. Karena keping A ber-muatan positif elektrontertarikpadanya.Gayapadaelektron berarahke kiri.

(c) Perubahandalam U =Vq = (120V)(-1,6 X 10-19C) = -1,92 X 1O_11}

Perhatikan bcihwaV berarti potensial yang naik/membesar kalau kita dari Bberpindah ke A.

78

(d) Kekurangan EPL = penambahan EK

1,92 x 10-17J = 1/2 mv/ = 1/2 mVo2

1,92 x 10-17J = 1/2 (9,1 x 10-31kg)v/ - °

maka VI = 6,5 x 1()6m/s.

3-26. Gambar 3-13 menunjukkan partikel bennuatan mengambang/diam di antara duakeping bennuatan. Jarak antara kedua keping ialah 2 em dan m = 4 x 10-13 kg

sedangkan muatan partikel q = 2,4 X 10-18C. Berapakah beda potensial antarakedua keping itu ?

Karena partikel dalam keadaan seimbang,berat partikel=gaya listrik ke atas

mg = qE ataumg (4 x 10-13kg)(9,8 m/s2)

E = - = = 1,63 x 1(1' V1mq 2,4 x 1O-18C

Pada susunan keping sejajar berlaku

V = Ed = (1,63 x 106V/m)(O,02m)= 32,7 kV

3-27. Partikel alfa (q = 2e, m = 6,7 x 10-27kg) mengalami penurunan potensial sebesar3 x I()6V(3 MV).

qV (2e)(3 x 106)(a) Berapakah Energi dalam eV = - = 6 x 1()6eV =6 MeV.

e e

(b) EPL yang hUang =EK yang diperolehqv = l/2mv2 - l/2mv 2I 0

(2)(1,6 x 1O-19C)(3x 106V) = 1/2(6,7x 1O-27kg)v/- °maka vI = 1,7X 107mfs.

79

------

.1.t:

1,+ + + + + + + +

Gambar 3-13.

3-28. Berapakah beda potensial yang hams diberikan untuk rnenghasilkan rnedan listrikyang dapat rnernpercepat elektron sehingga kecepatannya rnenjadi 107rn/det ?

Jawab :Energi kinetik elektron tersebutadalah :

Ek = l/2rny2 = 1/2 x 9,1. x 10-31[kg] X (107 [rn/det])2 =4,6 x 10-17[J]Energi kinetik tersebut karena sarna dengan usaha W pada elektron oleh rnedanlistrik, jadi

W = qV =Ekw Ek

V=-=-

q q

Ek 4,6 x 1O-17[J]- ---- =2,9 x 1()2[V] =290 [V]1,6 X 1O-19[C]

3-29. Batere l2V sedang diberi rnuatan dengan laju 15 C/detik.a. Berapakah daya yang dipakai untuk rnengisi batere.b. Berap~kah energi yang tersirnpan dalarn batere, jika pengisian tersebut ber-

langsung 1 hari ?

Jawab :a. Usaha untuk rnernindahkan rnuatan q dari satu elektroda ke elektroda yang

lain dalarn batere rnelawan beda potensial V adalah W =Vq. Daya adalah lajukerja yang digunakan, rnaka :

W Vqp =- =- = 12 [V] x 15 [C/det] = 180 [watt]

t t

b. Usaha yang dilakukan dalarn 1 hari adalah

W = Pt = 180 [WI x 3600 [det) = 6,48 x 105 [joule]

Jika efisiensi p~ses pengisian ideal, jurnlah ini rnernpakan energi yang ter-sirnpan dalarn batere.

c. Untuk titik P yang terletak jauh dari pusat cakrarn, yakni 1"» a rnaka dapatdiadakan pendekatan sebagai berikut :

a2 a2

(r2 + a2)11l= r (1 + - )11l "" r (1 + 1/2 ~ )r2 r2

80

a2

(r2 + a2)11l= r + -r2

0' a2

Sehingga V = - (r + - - r)2E 0 2r

oa2V=-

4Eor

3-30. Muatan Q didistribusikan secara merata pada sebuah cincin yng tipis sekali danberjari-jari a, carilah potensial listrik dan kuat medan listrik pada titik p yangterletak pada sumbu cincin dan beIjarak y dari pusat cincin itu. (Gambar 3-14).

Jawab :

p~I \ \

\\ r

\.\

(--1--'" \

I \.. ).. -

a (11./'-~

y

Gambar 3-14.

Andaikan muatan persatuan panjangQ

A. =-21ta

1 dqdV=-

41teo rQ

dq = Adl= - dl21ta

1 Q dlv = fdV= fdl=

41t Eo 21ta r

81

Mengingat sifilt simetri maka kuat medan listrik dititik P adalah searah dengansumbu itu, jadi

av QE=--=-

ay 41te°

Qy 1E=-

41tE 0 (y2 + a2)312

(-I/2)(2y)(y2 + a2) -312

3-31. Sebuah tongkat yang penampangnya keeil sekali dan panjangnya L diletakkanvertikal, tongkat tersebut mempunyai muatan persatuan panjang A.. Sebuah titik Pterletak sejauh y tepat venikal di atas dari titik ujung bagian atas dari tongkat itu.DitaIiyakan :(a) Berapa potensial listrik pada titik P itu ?(b) Berapa kuat medan listrik dititik P sepanjang sumbu y itu?(e) Berapa besar komponen kuat medan listrik yang tegak lurus sumbu y. (Gambar

3-15).

Jawab :

p

y

tll

L

1

Gambar 3-15.

82

Q Qv= Jdl= 21ta

81t2E oar 81t2Eoar

Qv=

41tE O(y2 + a2)112

(a) dV =~ dq

d1tE0 r

r=y+L-l

dq = d1

1 d1V = JdV = - t

41tE 0 1=10 (y+L-l)

v =~ t d(y+L-l)

41tEo 1=0 (y+L-l)

-A L

V =- In (y + L - 1) I41tEo 1=0

-A

= {In y - In (y + L)}

41tE~

A y + LV= In-

41tEo Y

av A a y + 1(b) E = - - = - - (1n )y

ay 41tEo ay y

-A y l.y - (y + L).l--

-A LE =+-

y

41tE 0 y(y + L)

(c) E = 0x

Mengingat bahwa kuat medan listrik dititik P yang dihasilkan oleh elemenmuatan dari tongkat itu hanyalah sepanjang sumbu y saja.

83

3-32. Sebatang kawat 1urns yang panjangnya L diletakkan horizontal sepanjang sumbux, salah satu ujung kawat itu berimpit dengan titik asal 0 (x=O, y=O). Batang kawat

tadi mempunyaimuatanpersatuanpanjangA;; 0.. Bila sebuah titik.P terletak.pada sumbu -y yang vertikal sejauh sejauh y dari titik 0, maka ditanyakan :(a) Berapa potensial listrik di titik P itu ?(b) Berapa komponen kuat medan listrik sepanjang sumbu y ? (Gambar 3-16)

Jawab :

)'

L x

y

Xidx

Gambar 3-16

(a) Vp = fdV =dq

f-

41tE0 r

1

dq = Adx =kx dx

1 kx dxtVI'-< =

41tE x~o

k

Vp = {(i + U)ll2 - y}

41tEo

84

k

1/2 td(y2 + x2)

=

41tEox=l

(y2 + X2)112

kL

= 2(y2 + X2)112I

81tEox=o

avp k

(b) Ey =- a;- 41tEo

2y{l/2 - I}

(y2 + U)ll2

k YEy =- {I - }

41tE 0 (y2 + U)ll2

3-33. Dua bola penghantar yang identik dan beIjari-jari r = 0,15 m terpisah oleh jaraka = 10,0 m, masing-masing bola penghantar itu mempunyai potensial +1500 Voltdan =1500 Volt.Ditanyakan berapa muatan pada masing-masing bola itu ?

Jawab :r 0,15 m

-- = 0,015 = 1,5%a 10m

Jadi kedua bola dapat dianggap terpisah eukup jauh satu sarna lain.

1 qV=

41tE0 r

Untuk V = :t 1500 VoltNm Nm2

:t 1500 - =9 X 109_C C 0,15 m

0,15q ==:t 1500 x C

9x 109

q = :I:2,5 X 10-8C

3-34. Dua bola konduktor masing-masing dengan jari-jari 6 em dan 12 em mempunyaimuatan yang sarna besamya 3 x IO-8C,kedu,abola konduktor itu terpisah jauh satusarna lain. Bila selanjutnya kedua bola konduktor itu dihubungkan oleh seutaskawat penghantar.Ditanyakan :(a) Berapa besar dan arah aliran dari muatan yang dipindahkan itu?(b) Berapa besar muatan dan potensial akhir pada masing-masing bola konduktor?

85

Jawab :(a) Jari-jari untuk bola konduktor keeil r1= 6 em = 6 x 10-2m

}~.n-j~n\1U\U~'ooln~onOMtOibe~(U12 ii fi em ;; 1111fi'illSetelah dihubungkan oleh kawat penghantar potensial listrik untuk masing-masing bola konduktor yang keeil Vr1 dan bola konduktor yang besar Vr2adalah :

IV _ q1r1---

I q2Vr =-

2 41tEo r2

dan Vrl = Vr2

1 ql_~ q2sehingga_4 ---;:- 41tEo r21tEo .

6xlO-2m I- ----- --q2 r2 12 x 10-2m 2

q2=2 ql

q. + q2 = 2 x 3 X 10-8 C =6 X lO-8C

ql + 2 ql =6 X lO-8C

ql =2 X lO-8C

Berarti teIjadi aliran muatan dari bola konduktor yang keeil ke bola konduktoryang besar, sebesar = 3 x lQ-8C - 2 x lO-8C = 1 X 1O-8e.

Vrl =Vr2 = 3000 Volt

86

(b) ql =2 X 1O-8C

q2 = 4 x 1Q-8C1 ql

V = V =rl r241tEo rl

Nm2 2 x lQ-8C= 9 x 1()9- .

C2 6 X 10-2 m

3-35. Suatu tetes air yang berbentuk bola memiliki muatan sebesar 3 x lO-11C danpotensial 500 Volt pada permukaannya.Ditanyakan :(a) Berapa jari-jari dari tetesan itu ?(b) Bila dua tetesan yang mempunyai jari-jari dan muatan yang sarna digabungkan

membentuk suatu tetesan bola tunggal, maka berapa potensial pada pe.rmukaantetesan barn itu ?

Jawab :1

(a) V = q41tE 0 r

Nm2 3 x 104C500 Volt = 9 x 109-

C r

27 X 10-2r= . m - 5,4 x 104m

500

(b) Andaikan jari-jari tetesan bola sebelum dan sesudah bergabung masing-masing adalah r dan R.

4 42 - 1tr3=- 1tR3

3 3

R3 = 2r3

R = 2113x 5,4 x 104m

Muatan total Q dari tetesan air gabungan adalah 2 x 3 X lO-IIC

1 Q Nm2 6 x 10-11CV = - - = 9 X 109-

41tEo R C2 2113x 5,4 X 104 m

V = 793,7 Volt.

87

3-36. Sebuah partikel alpha dalam suatu generator elektrostatik dipercepat oleh suatubeda potensial sebesar 106Volt.Ditanyakan :

(I) DUReRM~a't!KAalliliu~~Y~a Al!U~AI~k~!~ik~lAl~k!l~~A~~ulij

(b) Berapa besar tenaga kinetik yang akan diperoleh sebuah proton untuk kondisiyang sarna seperti yang dialarni partikel alpha itu ?

(c) Partikel yang mana akan memperoleh kecepatan lebih besar, bila keduanyapada mulanya dalarn keadaan diarn ?

Jawab :

Q = 2 x 1 6 X 1O-19Ca '

Ea = Qa I1V = 2 x 1,6 X 10-19C. X 1()6 Volt

= 3,2X 10-13Joule

(b) Qp = 1,6 X 1O-19C

E = Q .I1V= 1,6 x 1O-19Cx 1()6Voltp p

= 1,6 X 10-13 Joule

E = 1/2 m V 2 = 3 2 X 10-13 Joulea. a a '

m = 4 ma p

E = 1/2 m V 2 = 1 6 X 10-13Joulep p p ,

E 3 2 X 10-13Joulea '--1/2 . 4m V 2

_ P a

1/2m V 2p pE 1 6 X 10-13 Joulep ,

4v22 = a

v2

Jadi protonlah yang mempunyai kecepatan akhir lebih besar.

88

SOAL-SOAL TAMBAHAN

3-37. Suatu partikel yang membawa suatu muatan +3 x 10-9coul didorong ke kiri olehsuatu medan listrik. Suatu gaya mekanis menggerakkannya ke kanan dari titik a ketitik b, kerja yang dilakukannya 6 x 10-5joule, dan pada waktu yang sarna mena-ikkan tenaga kinetik partikel itu dengan 4.5 x 10-5joule. Berapakah perbedaanpotensial antara titik a dan b ?

3.38. Suatu muatan 2.5 x 10-8coul ditempatkan dalarn suatu medan listrik yang seragarnyang arahnya ke atas dengan intensitas 5 x I()4n/joule. Berapa besamya kerja yangdilakukan terhadap medan itu apabila muatan itu digerakkan (a) 45 em ke kanan?(b) 80 em ke bawah? (c) 260 em pada sudut 45° ke atas dari horisontal?

3-39. (a) Buktikan bahwa n/coul secara dimensi sarna dengan volt/m, (b) Perbedaanpotensial antara dua papan-papan paralel ialah 2000 volt. Berapakah jarak yangterdekat antara papan-papan ini, jika kekuatan dielektrik udara ialah 3 x 106 n/coul?

3~40. Suatu bola kecil dengan massa 0.2 gm. menggantung pada suatu tali antara duapapan paralel yang vertikal yang jaraknya 5 em. Bola itu membawa muatan 6 x109coul. Berapa seharnsnya perbedaan potensial antara papan-papan itu bila di-inginkan tali itu membuat sudut 30° dengan vertikal?

3-41. Perbedaan potensial antara dua papan paralel yang jaraknya 4 em ialah 1600 volt.Suatu 'elektron dilepaskan dari papan negatif pada saatnya suatu proton dilepaskandari papan positif. (a) Berapa jauh dari papan positif mereka akan bertemu? (b)Bandingkanlah kecepatannya apabila mereka menumbuk papan di hadapannyamasing-masing. (c) Bandingkan tenaga kinetik pada waktu mereka menumbukpapan-papan di hadapannya masing-masing.

a

Gambar 3-14.

3-42. Pada garnbar3-14, ql =25 X 10-9coul dan q2 = -25 X 10-9coul. (a) Berapakahpotensial pada titik a? (b) Berapa kerja yang harns dilakukan pada suatu muatan-8 x 10-9coul untuk menggerakkannya dari titik a ke titik b?

89

3-43. Potensial pada suatu jarak tenentudari suatu muatan titik ialah 600 volt, danmedan listrik ialah 200 n/eool. (a) Berapakah jarak ke muatan titik itu ? (b) Bera-pakah besar muatan itu ?

3-44. Dua muatan titik yang besamya +20 x 10-9cool dan -12 x 10-9eoul dipisahkanoleh jarak 5 em. Sebuah elektron dilepaskan dari keadaan diarn antara dua muatanitu, 1 em dari muatan negatif, dan bergerak sepanjan~ garis yang menghubungkandua muatan tersebut. Berapakah keeepatannya apabila ia 1 em dari muatan positif?

3-45. Dua buah elektron diarn, apabila terpisah 0.05 em. Mereka bergerak menjauhimasing-masing karena pengaruh gaya tolak-menolaknya. Berapakah keeepatan re-latifnya apabila mereka berjarak 1 em?

3-46. Satu elektron volt ialah suatu satuan tenaga, sarna dengan tenaga kinetik yangdiperoleh sebuah elektron waktu melalui suatu perbedaan potensial satu volt. (a)Berapa besamya perbedaan potensial yang diperlukan untuk memberi kepada suatupartikel-alpha tenaga sebesar 105 ev? (b) Berapakah keeepatan panikel-alpha terse-but? Massa partikel-alpha itu ialah 6.68 x 10-27kg.

Gambar 3-15.

3-47. Dua penghantar berbentuk bola rongga yang konsentris masing-masing mempu-nyai jari-jari 2 em dan 4 em (garnbar 3-15). Bola sebelah dalarn membawa muatan12 x 10-9eoul. Tentukanlah potensial pada jarak-jarak yang berikut dari pusatnya5 em, 4 em, 2 em dan 1 em.

3-48. Dua bola dari soal 3-48 dihubungkan oleh suatu penghantar, yang kemudian dilepas-kan. Berapakah potensial pada titik-titk sepeni di atas?

3-49. Tiga buah muatan-muatan titik yang bersamya sarna-sarna 3 x 10-17eoul ditaruhpada ujung-ujung suatu segitiga sarna sisi yapg panjangnya 1 meter. Berapakahtenaga potensial sistim ini? Ambillah sebagai tenaga potensial nol tenaga ketigamuatan itu apabila mereka berjauhan sekali.

90

3-50. Suatu tabung elektron trioda dibayangkan dibuat datar sebagai berikut. Suatu per-mukaan datar (katodanya) memanearkan elektron-elektron dengan keeepatan-keeepatan awal yang dapat diabaikan. Paralel dengan katoda itu dan 3 mm daripadanya terdapat kisi terbuka dari kawat halus dengan potensial 18 volt di ataskatoda. Suatu permukaan datar kedua (anoda) 12 mm lewat kisi dan pada potensial15 volt di atas katoda. Misalnya bahwa bidang kisi ialah suatu permukaan ekipo-tensial, dan bahwa gradien potensial antara katoda dan kisi dan antara kisi dananoda ialah seragarn. Misalnya pula bahwa susunan kisi eukup terbuka supayaelektron-elektron bebas melaluinya. (a) garnbarkan diagram potensial vs. jarak,sepanjang suatu garis dari katoda ke anoda. (b) Dengan keeepatan berapa elektron-elektron akan menumbuk anoda? (e) Jika anoda dibuat 18 volt negatif terhadapkatoda, berapa jauh elektron-elektron itu akan melampaui kisi?

3-51. Misalkan perbedaan potensial antara ujung bola dari generator Van de Graaff dantitik pada mana muatan-muatan diharnburkan pada pita yang sedang bergerak keatas, ialah 2 juta volt. Jika pita itu memberikan muatan negatif pada bola rata-rata2 x 10-3eoul/det dan memindahkan muatan positif yang besamya sarna seperti itupula, berapa dayakuda harus dikeluarkan untuk memutar pita itu terhadap gaya-gaya listrik?

3-52. Sumber elektron mengeluarkan elektron (q = -e, m =9,1 x 10-31kg) menuju kepinglogarn pada jarak 4 mm dalam vakum. Keping ini potensialnya 5,0 V di bawahpotensial sumber elektron. Berapakah kecepatan elektron sekeluamya dari sumberagar dapat meneapai keping itu ?

3-53. Beda potensial antara dua keping besar dari logam ialah 120 V. Jarak pisah keping3,0 mm. Tentukan intensitas medan dalam ruang antara kedua keping itu.

3-54. Sebu~ elektron (q = -e, m = 9,1 x 10-31kg) ditembakkan dengan keeepatan 5 x106 m/s dalam arah sejajar intensitasmedan listrik 3000 V1m. Berapakahjarakyang dapat ditempuhelektron sebelumberhenti?

3-55. Antara dua keping yang terpasang sejajar dan mendatar terhadap medan listrikkarena kedua keping itu terdapat beda potensial 24 kV. Jar~k pisah keping 1,8 em.Kalau tetesan minyak (m = 2,2 x 10-13kg) dikctahui mengambang dalam ruangantar keping, tentukan muatannya. .

3-56. Hitung potensial mutlak di titik pada jarak 3 em (dalam udara) dari muatan 5 xIO-6C.

3-57. Hitung intensitas medan dan potensial mutlak di titik sejauh I nm dari inti heliumyang bermuatan + 2e. Berapakah energi potensial (dihitung terhadap titik di takberhingga) sebelum proton pada titik tersebut ?

91

3-58. Berapa usaha diperlukan untuk memindahkan muatan 0,2 JlC dari titik dalamvakum pada jarak 30 em dari muatan titik 3 JlC ke titik pada jarak 12 em darimuatan tersebut?

3-59. Muatan titik + 2 JlC tedetak pada titik 0 sumbu koordinat. Muatan kedua, sebesar-3 JlC diletakkan pada titik x = 100 em. Pada titik (atau titik-titik x =100 em. Padatitik (atau titik-titik) manakah pada sumbu x potensial mutlak berharga nol?

3-60. Lihat soal 3-59. Berapakah beda potensial antara titik A (x = 10 em) dan titik B(x = 90 em)? Titik yang mana berpotensial lebih tinggi ?

92