...

SabXIII UpHipotesa

KAT A KUNCI

chi-square test adalah metode statistik untuk menguji hipotesa yang kedua faktomyaindependen.goodness-of-fit test adalah prosedur statistik untuk menguji hipotesa yang distribusiprobabilitas khusus cocok dengan susunan data yang diobservasi.hipotesa nol adalah hipotesa yang akan diuji pada uji hipotesa; hipotesa nol sering berbunyi"Tidak ada hubungan antara dua kuantitas".test statistik adalah perhitungan dari kuantitas yang diobservasi yang digunakan untukmenguji hipotesa nol; tes statistik berasal dari distribusi yang diketahui jika hipotesa nolbenar; hipotesa nol akan ditolakjika tes statistik tidak berasal dari distribusi yang diketahui.

Pada bab 3 terdapat problem uji hipotesa yang spesifik: Jika Anda melemparkan uanglogam berkali-kali, bagaimana Anda dapat mengatakan bahwa pelemparan itu adil? Kini kitaakan memikirkan metode yang dipakai oleh para ahli statistikpada saat mereka merumuskandan menguji hipotesa.

Ingat, bahwa hipotesa yangakankita tesdinamakan hipotesanol (Ho), dan hipotesa yangberbunyi "Hipotesa nol adalah salah" dinamakan hipotesa altematif. contoh hipotesa nol:

· Pelemparan uang logam yang adil.· Jumlah rata-rata kismis pada sejumlah kotak kismis adalah 7.· Perbedaan kemanjuran antara empat obat flu terjadi secara keseluruhan dengan tidakterduga.· Perhitungan pemilihan Mahkamah Agung dengan distribusi normal.JiRamenolak hipotesa nol, berarti kita hampir yakin hipotesa tersebut benar. Biasanya

pada tes kita buat kemungkinan 5 persen menolak hipotesa jika benar. Jika kita terimahipotesa, tidak berarti hipotesa itu benar. ltu hanya berarti kita belum menemukan buktisecara statistik untuk menolaknya.

TES STA TISTIK

Prosedur normal pada statistik adalah menghitung kuantitas khusus, yang dinamakan tesstatistik. Ada beberapa tes statistik. Salah satu yang Anda gunakan tergantung pada problemyang dihadapi. Perhatikan beberapa contoh pada bab ini.

168

---- _.. __ - __ __ __ - __ u_ __ ___

Tes statistik dibuat jika hipotesa nol benar, Anda mengetabui dengan pasti distribusi tesstatistik. Anggaplah hipoesa nol adalah benar. Pada kasus tersebut apakah nilai tes statistikmerupakan nilai yang sangat masuk akal? Jika tes statistik tidak seperti yang terjadi, makahipotesa tersebut salah.

MENGUJI HIPOTESA NOL

Anggaplah Anda sedang menguji hipotesa nol menggunakan tes statistik Z. Andamengetabui Z mempunyai distribusi normal jika hipotesa nol benar. Hitung nilai Z. Jikamisalnya, nilai Z adalah 0,878, maka hal itu baik. Anda tidak dapat menolak hipotesatersebut.

Anggaplah nilai observasi tes statistik Z adalah 3, maka Anda akan menjadi curigalDapat Anda lihat pada tabel, probabilitasnya hanya 0,0026 yang variabel random normalberada di luar 3. (Seteusnya kita pakai istilah di dalam dan di luar. Z beada di -c atau jika Z> c. Dengan kata lain Z berada di dalam c jika Z < c dan Z berada di luar c jika Z > c). Andadapat mengatakan kepada pendukung hipotesa nol. "Anda tidak dapat menipu saya. Sayatabu bahwa nilai tes statistik tidak seperti yang terjadi jika hipotesa nol benar, sehingga sayaakan menolak hipotesa itu."

Pendukung hipotesa nol mungkin menjawab, "Jawab Anda menolak hipotesa nol, Andaakan melakukan kesalahan (error) tipe 1, karena menurut kami hipotesa nol adalah benar. Tesstatistik kami buruk dan tidak masuk akal, tetapi masih ada kemungkinan Anda meletakkanangka 3 dari distribusi normal.

MENGHINDARI ERROR TIPE 1 DAN TIPE 2

Ada sedikit kemungkinan bahwa hipotesa nol mungkin benar, sehingga Anda dapat,melakukan error tipe 1secara salah menolak hipotesa. Tetapi itu merupakan risiko yang Andaambil. (Ingatbahwaerrortipe 1 tejadijikaAndamenolakhipotesanol bilahipotesaitu benar.Error tipe 2 terjadi jika Anda menerima hipotesa nol bila hipotesa itu salah. Lihat bab3).Secara normal tes kita buat sedemikian rupa sehingga resiko melakukan error tipe 1 kurangdari 5 persen. Resiko melakukan error tipe 1dinamakan tingkat signifIkan. Dengan demikian,dapat kita katakan bahwa tes kita buat dengan tingkat signifIkan 5 persen.

Dari tabel standar normal qapat kita lihat bahwa ada kemungkinan 95 persen Z beradadi dalam 1,96, sehingga hipotesa nol diterima jika Z berada di dalam 1,96 dan menolakhipotesajika berada di luar 1,96. Dengan demikian daerah di dalam 1,96 dinamakan daerahpenerimaan dan daerah di luar 1,96 dinamakan daerah kritis (lihat gambar 13-1). Seringkaliangka yang merupakan bagtas antara daerah kritis dan daerah penerimaan disebut nilai kritis.Padakasusini nilaikritisadalah1,96dan-1,96. .

Kita dapat melihat pada tes berikut:

Pr (menolak Ho jika Ho benar)

=Pr[(Z > 1,96) atau (Z < 1,96)]

169

- - - -- - - - -- - -

--- - -

= 0,025 + 0,025

=0,05

Jika nilai pengamatan berada di luar 1,96, kita akan menolak hipotesa pada tingkatsignifIkan 5 persen.

Gambar 13-1

2,5%ofare 2,5%

of are

Criticalregion

o95% of area

VZone of acceptance

}Critical

region

Misalnya kita ingin lebih waspada.Anggap bahwa menolak hipotesa secarasalah adalahsangat mahal biayanya bagi kita, maka kita perlu meyakinkan bahwa probabilitas darikejadian ini hanya sebesar 1 persen. Kemudian kita perlu memperbesar daerah penerimaan(lihat gambar 13-2).Ada kemungkinan 99 persen Z berada di dalam 2,58. Dengan demikiankita dapat memastikan bahwa hanya ada kemungkinan sebesar 1 persen dalam melakukanerror tipe hanya ada kemungkinan sebesar 1 persen dalam melakukan error tipe 1jika kitabuat tes tersebut hingga daerah penerimaan terletak dari -2,58 sampai 2,58. Jika nilai tesstatistik sebesar -2,6, maka kita dapat menilai hipotesa pada tingkat signifIkan sebesar 1persen.

Anggap nilai statistikZ sebesar 2.Padakasus tersebut,kita tidak dapat menolak hipotesapada tingkat 1 persen. Seperti yang telah kita lihat pada tes statistik sebesar 2 kita dapatmenolak hipotesa pada tingkat 5 persen. Tes statistik seperti ini adalah daerah yang diarsir.Apakahhipotesa tersebut benar? Tidak seorangpun yang mengetahui, dan saat ii bahkan kitatidak yakin apakah menerima hipotesa. Jika kita menanggung resiko pada kemungkinan 5persen dari error tipe 1,kita dapat menolak hipotesa. Jika kita ingin lebih waspada, kita akanmenerima hipotesa. .

Keadaan yang lebih tepat apabila t~s statistik adalah sebesar 3 atau lebih besar. Padakasus ini kita dapat menolak hipotesa pada setiap tingkat signifIkan.

Jika Z berdistribusi normal bila hipotesa nol benar, maka

· Jika -1,96 < Z < 1,96, terima hipotesa pada tingkat 5 persen.· Jika -2,58 < Z < 2,58, terima hipotesa pada tingkat 1 persen.

170

-",

Garnbar 13-2

0.5%ofare

Criticalregion

o99% of area

VZone of acceptance

Criticalregion

YANG HARUS DIINGAT

1. Defmisi yang perlu diketahui tentang uji hipotesa:

Hipotesa nol: hipotesa yang akan Anda uji (Ho).

Hipotesa altematif: hipotesa yang mengatakan, "Hipotesa nol adalah salah".

Error tipel: mengatakan hipotesa noI adalah salah bila hipotesa tersebut benar.

Error tipe2: mengatakan hipotesa nol adalah benar bila hipotesa tersebut salah.

2. Prosedur normal uji hipotesa adalah menghitung kuantitas, berdasarkan pengarnatanAnda disebut tes statistik.

3. Jika hipotesa nol benar, maka tes statistik menjadi variabel random dengan distribusiyang diketahui.

4. Jika kelihatannya masuk akal bahwa bilai yang dihitung berasal dari distribusi ini, makaterima hipotesa DOl.

5. Jika tes statistik yang dihitung tidak berasal dari distribusi ini, maka tolak hipotesa noI.

UJI HILAI RATA-RATA

Kini kita lihat tes statistik apa yang muncul pada prakteknya. Misalnya kita mengarnatisejumlah angka berasal dari distribusi normal. Anggap kita mengetahui variance, tetapi rata-rata tidak diketahui. Kita akan menguji hipotesa bahwa J.lsarna dengan nilai khusus u*.Menggunakan notasi Ho, maka

Ho : J.l=J.l*

Contoh, misalnya kita akan menyelidiki sejumlah kismis pada tiap kotak kecil. Jikaterlalu banyak kismis pada kotak, pembeli akan mengeluh. Sebaliknya jika terlalu banyakkismis pada kotak, perusahaan akan rugi. Kismis tersebut dimasukkan ke kotak-kotakmenggunakan mesin.Kita mengetahui mesin tersebut bekerja dengancarajumlah kismis tiap

171

kotak mempunyai distribusi nonnal dengan variance 16,16.Rata-rata tiap kotak terdiri dari7 kismis. Tugas kita adalah menguji hipotesa nol bahwa rata-rata J.1=7. Kita mempunyai 13buah sampel pengamatan :

9, 11,6, 10;7, 4, 0, 7,8,6,8,2, 18

Rata-rata sampel x adalah 7,38. Apakah itu cukup mendekati 7 dan kita hams menerimahipotesa? Ataukah itu terlalu jauh? Kita tabu jika hipotesa benar, x mempunyai distribusinormal dengan rata-rata J.1=7 dan variance 16,16/n, maka

~n (x -7) --113(7,38 - 7)z= =

cr 4,02

mempunyai distribusi normal. Z merupakan tes statistik. Nilai z - 0,341 dimana terletak didaerah penerimaan. Otomatis kita dapat menerima hipotesa bahwa J.1=7.

Tentu saja, pada umumnya kita tidak dapat menggunakan tes statistik Z = (X - J.1*)/s,karena biasanya kita tidak tahu nilai a. Bagaimanapun juga, jika hipotesa nol J.1=J.1*adalahbenar, maka tes statistik

X - J.1*t=~n

akan mempunyai distribusi t dengan df n - 1(lihat bab 11).Contoh, data di bawah ini menunjukkan sampel dari berat 27 orang pemain sepak bola:

160,185,235,208,170,185,204,180,205

215,185,188,180,220,220,221,205,235

225,190,180,205,250,210,230,210,218

Anda ingin menguji hipotesa yang berat tersebut dipilih dari distribusi normal denganrata-rata 220. Anda perlu menghitung x =204,4dans2=22,1.MakaAndadapatmenghitungtes statistik t:

204,4 - 220t= {27 = -3,67

22.1

Jika hipotesabenar, t akanmempunyaidistribusi tdengan df26. Jika Anda lihathasilnya padatabel t, maka nilai kritis untuk tes 1 persen adalah 2,779. Dengan kata lain, Anda dapatmenolak hipotesa nol pada tingkat 1 persen jika tes statistik di luar 2,779 . Karena -3,67terletak di daerah kritis, Anda mempunyai bukti secara statistik untuk menolak hipotesabahwa sampel pemain sepak bole yang terpilih dari populasi dengan rata-rata 220.

172

Langkah Umum Menguji Hipotesa u =u*, Dila Anda Mempunyai Observasi n yangDersal dari Distribusi Normal

Cara 1. Jika variance (cr2)distribusi diketahui.1. Hitung rata-rata sampel x.2. Hitung tes statistik Z:

-..In (X - Jl*)Z=

a

3. Jika Anda ingin menguji hipotesapada tingkat signifikan 5persen, maka terima hipotesaJl=Jl*jika beradadiantara-1,96dan 1,96;selainitu tolakhipotesa.

4. JikaAnda ingin menguji hipotesapada tingkat signifikanyang lain, maka lihatpada tabel11-1 atau A3-2 untuk mendapatkan nilai kritis untuk.

Cara 2. Jika variance (cr2)distribusi tidak diketahui.1. Hitung rata-rata sampel x.2. Hitung variance sampel S22:

(xl - X)2 + (x2 -X)2 + ... + (xn -X)2

n - 1

3. Hitung t statistik:

(x - Jl*)t=-..In

4. Statistikt akanmempunyaidistribusidengandf n- 1.Lihat tabelA3-5 untukmendapatkannilai kritis distribusi t dengan df yang tepat.Ada hubungan yang dekat antara uji hipotesa untuk rata-rata dan confidence interval

untuk rata-rata pada bab 11.Dapat kita hitung confidence interval 95 persen untuk berat rata-rata yang tidak dikets statistik Z:

X -5000 56Z= = =- 1,12

..J10.000/4 50

Nilai ini berada pada 95 persen daerah penerimaan, jadi kita dapat menerima hipotesapada tingkat signifikan 5 persen.

Contoh lain, misalnya 4884 kepala hasil dari 10.000pelemparan,maka nilai tes statistikadalah -116/50 = -2,32. Nilai ni berada di luar 1,96,maka kita tolak hipotesa pada tingkat 5

173

-- ---

persen. -2,32 tidak beradadi luardaerah penerimaan pada tingkat signifIkan 1persen, makakitaingin lebih waspada kita tidak dapat menolak hipotesa pelemparan uang logam yang adil.

Kita kembali pada situasi pertama, dimana 5056 kepala muncul pada pelemparan 10.000kali. Misalnya sebenarnya kita tidak percaya bahwa pelemparan tersebut adil, sehinggamenurut kita pelemparan uang logam tidak seimbang dan munculnya kepala berkurang. Padakhususnya, kita akan menguji hipotesa bahwa p =0,51. Jika hipotesa nol benar, maka X akanberdistribusi normal dengan kasus ini nilai tes statistiknya adalah -44/49,98 = -0,880. Nilaiini berada pada daerah penerimaan, maka kita tidak dapat menolak hipotesa p =0,5. Adalahtidak mungkin bahwa kedua hipotesa tersebut menjadi benar, tetapi kita tidak dapat hanyamenggunakan informasi saja. Mungkin Anda dapat menebak bahwa hal itu sangat sulit untukmembedakan kedua hipotesa tersebut.

Kenyataan ini menggambarkan metode uji hipotesa dapat membuktikan hipotesa benar.Jika Anda memutuskan hipotesa nol, ini tidak berarti tidak ada hipotesa lain yang cukup dapatmenjelaskan data. Jika Anda ingin lebih yakin bahwa hipotesa Anda benar, maka Anda akandapat melakukan hal itu pada contoh uang logam, kita tidak dapat mengatakan bahwapelemparan itu adil.

Kita hanya mempunyai satu harapan -jika kita melempar banyak uang logam berkali-kali,dan akhirnya kita dapatkan alasan dimana kita mengatakan perbedaan antara hipotesa p = 0,5dan p = 0,51. Pada kenyataannya Anda sering tidak dapat memperbesar ukuran sampel Anda.

YANG HARUS DIINGA T

1. Membuktikan hipotesa salah lebih mudah daripada membuktikan hipotesa benar.2. Jika kita satupun kedua hipotesa dapat dibuktikan salah, maka diperoleh jalan buntu.

UJI PERBEDAANANTARADUA RATA-RATA

Misalnya Anda mempunyai dua populasi yang berbeda yang akan dibandingkan.Asumsikan variabel random x. (mean fl., variance cra2)dan xb (meanb, variance crb2)mempunyai distribusinormal. Jika Anda mengambil sampel masing-masing nadan nb, makarata-rata sampel x. dan xb merupakan variabel random dan perbedaan keduanya adalahv'ariabel random dengan mean fl. - ~ dan variance cra2/n. + crb2/nb.

Contoh, hipotesa nol berbunyi rata-rata populasi adalah sarna.

fl. = ~ atau fl. - ~ = 0

Lebih umumnya, anggap hipotesa nol menjadi

fl.-~=D

Jika variance populasi sa2 dan sb2 diketahui, kita dapat membentuk tes statistik Z:

Z=

174

yang berdistribusi nonnal jika hipotesa nol benar.Misalnya kita mempunyai dua mata dadu A dan B. Kita mengharapkan dadu A

mempunyai rata-rata nilai 0,7 lebih besar daripada dadu B. Dadu A dilempar 20 kali danmenghasilkan nilai:

4,5,3,6,3,5,6,3,3,6,5, 1,4,2,6,6, 1,5,5,6,2,

Dadu B dilempar 15 kali dan menghasilkan nilai:

4,3,5,4,3,2,5,1,4,1,5,6,3,6,1,

Diketahui bahwa cra2 = 3,0 dan crb2= 2,8, sehingga diperoleh tes statistik:

-+.- =0,580

sehingga:

4,04 - 3,53 - 0,7z= = -0,310

0,58

Karena hasilnya berada dalam daerah penerimaan, maka kita akan menerima hipotesaDOl.

Jika variance populasi tidak diketahui, kita hams kembali lagi pada statistik t. Jikahipotesa nol benar, dan kitajuga mengetahui bahwa cra2= crb2,maka

T=

mempunyai distribusi t dengan df n. + "" - 2, dimana

(n - 1) sa2 + (nb - 1) sb2.Sp2 =

n. + "" -2

dan

(Xa2- Xa2)n. (Xb2- Xb2)""sa2= dan sb2=

n - 1 n -1. b

175

--- - - - - -

(lihat bab 16)

Contoh: Uji Perbedaan Antara Dua Rata-rata

Kita putuskan nilai cra2dan crb2dan contoh sebelumnya, tidak dapat dipercaya. Kitaanggapbahwacra2=crb2.Sekali lagi kita ingin menguji hipotesa J.1a- J.1b=0,7. Dengandemikian dapat kita hitung:

sa2 = 2,892 sb2 = 2,981 Sp2 = 2,930

dan

T=4,05 - 3,53 - 0,7

..J 2,9300/20 + 1/15)

= -0,308

yang merupakan distribusi t yang mempunyaidf33 jika hipotesa kitabenar. Periksa tabel A3-5, kita lihat bahwa kita akan menerima hipotesa nol pada tingkat 5 persen -0,308 berada didalarn nilai kritis 2,030.

Langkah Umum Menyelesaikan Uji Hipotesa Perbedaan Antara Dua Rata-rataCara 1. Jika nilai aa2 dan ab2 diketahui,

1. Hitung x. dan xb.2. Hitung ges statistik Z:

(X -x ) -D. b

T=

3. Jika Anda ingin menguji hipotesa pada tingkat signiflkan 5 persen, maka terima hipotesabahwa J.1a- J.1b=Djika Z diantara-1,96dan 1,96;selainitu hipotesaditolak.

4. Jika Anda ingin menguji hipotesa pada tingkat signiflkan yang lain, maka lihatlah padatabel 11-1 untuk mendapatkan nilai kritis untuk Z.

Cara 2. Jika nilai cra2dan crb2tidak diketahui tetapi diasumsikan sarna:1. Hitung x. dan xb.2. Hitung vriance sarnpai (versi 2) untuk kedua sarnpel: sa2dan sb2.3. Hitung pooled estimator sp2:

(n. - l)sa2 + (~ - 1) sb2

176

4. Hitung tes statistik T:

x -x -D. b

T=

5. Jika hipotesa nol benar, maka T merupakan distribusi t dengan df na + nb - 2. Lihat padaA3-5 untuk mendapatkan nilai kritis untuk distribusi t yang tepat.

UJI PERBEDAAN ANTARA DUA PROPORSI

Misalnya kita mempunyai dua buah data yang akan dites. Tes A ditunjukkan oleh na,dengan masing-masing tes mempunyai probabilitas berhasil pa yang tidak diketabui. Jika X.

adalah jumlah dari keberhasilan, maka pa = X/n. merupakan penaksir p.. Jika na besar, makateori central limit mengatakan bahwa pa berdistribusi normal dengan rata-rata pa dan

variance p. (1 - p.)/n.. Serupa dengan itu, jika ~ merupakan jumlah keberhasilan pada

percobaan ~ untuk tes B, masing-masing dengan probabilitas berhasil pb, maka untuk~, pb

besar =XJ~ berdistribusi normal dengan rata-rata pb dan vriance Pb (1 - pb)/~. Dengandemikian p.-Pbjuga berdistribusi normal dengan rata-rata (P. - Pb) dan variance sarna dengan

[P.(1-p.)/n. + Pb(1-pJ/nJ.

Jika pa - pb = D, maka kuantitas ini:

... ...pa-pb-D

mempunyai distribusi normal. Jikakita buat hip90tesa bhawa p. -Pb= D, makakita uji hipotesaini menggunakan statistik diatas. Sayangnya, kita perlu mengetahui nilai p. dan Pb untukmenghitung statistik itu. Tetapi jika kita sudah tabu nilai-nilai tersebut, kita tidak perlumenguji hipotesa pada urutan pertama.

Seberapajauh kita akan mengganti p. untuk p. dan Pbuntuk Pb?Jika n. besar, maka Ip.-p. I akan lebih kecil, I(P. - p .)/na) Iakan tetap kecil. alasan yang sarna juga diterapkan untuk

mengganti Pbuntuk Pb'dan juga jika hipotesa nol benar dan pa -pb = D, maka tes statistik Z:

Z=

--JP . (1 - P .)/n. + P b (1 - PJ/~

mempunyai distribusi normal.

177

-- -

--

Contoh: Uji Hipotesa Perbedaan Antara Dua ProporsiMisalnya ada dua perusahaan A dan B menawarkan bola lampu kepada perusahaan Anda.Anda mengira bahwa bole lampu perusahaan B kurang baik mutunya daripada bole lampuperusahaan A.

Kenyataannya probabilitas bola lampu perusahaan B mengalami kerusakan O,OOllebihbesar daripada kerusakan bola lampu pabrik A. Apakah perkiraan Anda benar?

Sampel random dari 1000 bola lampu pabrik A mengalami kerusakan sebanyak 15 buah,sedangkan bola lampu pabrik B mengalami kerusakan sebanyak 36 buah. Dengan demikian,

dan nilai Z adalah

0,015 - 0,018 - (-0,001)Z=

"'/0,0000148 + 0,00000883

= -0,412

Anda menerima hipotesa bahwa p. - Pb= -0,001 pada tingkat signifIkan sebesar 5 persenkarena -9,96 < -0,412 < 1,96.

Jika D = 0, kita dapat menemukan estimasi yang lebih baik untuk pa dan pb (yang

diasumsikan sarna pada kasus ini). Kita akan menggunakan estimator p =(X.+ Xb) / (n. +

oJ. Letakkan untuk p. dan Pbpada penyebut, maka

Z=

.../p (1 - p) (1/n.+ 1I~)

Problem:

Anggap bahwa kita mengharapkan hipotesa nol adalah p. = Pb'Dengan demikian,

15 + 36....P =- =0,017

1000 + 2000

178

15 36.... =0,015

.... =0,018P.= Pb=1000 2000

.... .... .... ....P .(a - P.) Pb(1 - Pb)

= 0,0000148 = 0,00000883na nb

-

p(l - p) [ :. + I,J =0,005007danZ=

0,015 -0,018

= 0,5990,005007

Kita terima hipotesa nol pada tingkat 5 persen karena -1,96 < -0,599 < 11,96.

Langkah Umum Uji Hipotesa Bahwa Pa-Pb = D,Tes A Mempunyai Keberhasilan XaPada Percobaan na' Tes B Mempunyai Keberhasilan XbPada Percobaan nbdan nadannb adalah BesarCara 1. Jika D tidak sarna dengan nol.1. Hitung P. dan Pb:

z=

3. Jika Anda ingin menguji hipotesapada tingkat signifIkan5 persen. Maka terima hipotesajika Z diantara -1,96 dan 1,96;selain itu hipogtgesa ditolak.

4. Jika Anda ingin menguji hipotesa pada tingkat signiflkan yang lain, maka lihat tabelll-1 untuk mendapatkan nilai kritis Z.

179

- -- ---

x....

dan...

P.=- Pb=n.

2. Hitung Z :

Cara 2. Jika p. = Pb'D = 01. Hitung p, p. danP b :

X.+ X.... ... ...p= P.= - Pb=-

n.+ n.2. Hitung Z :

... ...P.-Pb

Z=

.P (1 -p) (1/n. + a/)

--

3. Jika Anda ingin menuji hipotesa pada tingkat signiftkan 5 persen, maka terima hipotesajika Z diantara - 1,96 dan 1,96; selain itu tolak hipotesa.

4. Jika Anda ingin menguji hipotesa pada tingkat signiftkan yang lain, maka lihat tabel11-1 untuk mendapatkan nilai kritis untuk Z.

CHI-SQUARE TEST

TABEL KEMUNGKINAN

Misalnya kita mencoba menguji apakah ada perbedaan antara 4 obat flu. Tidak sampunobat-obat tersebutdijamin bekerjadengan baik, tetapi masing-masing menjanjikan mengurangikemungkinan terkena flu. Jumlah orang-orang yang mencoba tiap obat dan terkena flu dapatdianggap sebagai variabel random. Anggap kita telah memeriksa sampel sebanyak 495orang. Kita menanyakan mereka obat jenis mana yang mereka gunakan. Baik yang terkenaflu maupun yang tidak. Hasilnya kita dapatkan:

(Tipe tabel ini disebut tabel kemungkinan pada kasus ini dengan 2 baris dan empatkolom).

Dapat kita lihat dari tabel bahwa obat 3 lebih efektif; hanya 8,5 persen dari orang-orangyang mencoba obat 3 yang terkena flu. Bagaimanapun juga ada Qanyak faktor yangmenentukan terkena flu. Mungkin orang-orang yang menggunakan obat 3 kebetulan hanyamempunyai bakteri flu yang lebih sedikit. Dengan demikian hipotesa nol kita adalah: Tidakadaperbedaanyangmendasarkanantara4 obattersebut.Padakasus itu,perbedaanpengamatanantara obat-obat tersebut semata-mata timbul karena adanya kemungkinan.

MEMBUA T TES STATISTIK

Kini kita perlu membuat tes statistik untuk memeriksa hipotesa ini. Kita dapat mengamatinya pada total sampel, fraksi orang-orang yang terkena flu adalah 0,129 dan fraksi yangtidak terkena flu adalah 0,871. Jika benar tidak ada perbedaan antara obat -obat tersebut, makafraksi baik yang terkena flu maupun yang tidak pada tiap kelompok seharusnya mendekatifraksi-fraksi tersebut. Kita dapat membuat tabe1 perbandingan antara kenyataan danpengamatan untuk jumlah orang pada tiap kelompok.

180

Obat 1 Obat 2 Obat 3 Obat 4 Total

Berapa banyak 15 26 9 14 64

yang terkena fluBerapa banyak 111 107 96 117 431

yang tidakterkena flu 126 133 105 131 495Total 126 133 105 131 495

(Tiap lokasi pada tabel disebut sel. Tabel ini mempunyai delapan sel).

Kita ingin menempatkan tes statistik pada perbedaan antara frekuensi pengamatan danfrekuensi peramalan jika pada kenyataannyha tidak ada perbedaan antara obat-obat tersebut.Jika perbedaannya kecil, kita dapat menerima hipotesa yang tidak mempunyai perbedaan.Jika perbedaannya besar, maka hipotesa kita tolak.

f;mewakili frekuensi observasi pada sel i dan fi mewakili frekuensi peramalan untuk seli. Maka, jika ada n sel, kita akan menggunakan tes statistik ini:

Kita mempunyai delapan sel, dan nHai tes statistik adalah

Jika hipotesa benar maka tes statistik mempunyai distribusi chi-square, sehinggastatistik chi-square. Derajat kebebasannya (df) adalah:

181

- - --

Obat 1 Obat 2 Obat 3 Obat 4

Jumlah yang flukenyataan 15 26 9 14ramalan 16.254 17.157 13.545 16.899Jumlah yang tidakflu kenyataan 111 107 96 117ramalan 109.746 115.843 91.455 114.101

(f1- fl (f2- fY (f - f)2n ns= + ... +

f( f2 fn

= (fj- f)n

L;=If.I

(15 - 16,254)2 (26 - 17,157)2 (9 - 13.545)2 (14 - 16,899)2+ + +

16,254 17,157 13,545 16.899

(111 - 109,746)2 (107 - 115,843)2 (96 - 91,455)2+ + +

109,746 115,843 9,455

(117 - 114,101)2+ =7,666

114,101

df =(jumlah baris -1) x (jumlah kolom - 1)

Kita punya dua baris dan empat kolom, sehingga statistik chi-squree di atas mempunyai (2- 1) x (4 - 1) =3.

Setelah kita dapatkan tes statistik, selanjutnya kita lihat nilai kritis p[ada tabel chi-squre.Variabel random A X 32 mempunyai kemungkinan 5 persen menjadi lebih besar daripada7,8. Karena tes statistik yang didapat kurang dari 7,8, maka kita tidak dapat menolak hipotesapada tingkat siggniflkan 5 persen. Menggunakan data-data ini, kita tidak dapat menetapkanbahwa ada beberapa perbedaanantara obat-obat tersebut.Nilai pengamatan tes statistik7,666adalah hampir mendekat 7,8, sehingga data ini menunjukkan bahwa lebih bervariasi antaraobat-obat tersebut daripada mengharapkan kejadian yang disebutkan oleh kemungkinanmurni. Dengan demikian, data-data ini cenderung menyarankan bahwa kita seharusnyamenyelidiki pertanyaan ini lebihjauh. Catat bahwa chi-square test merupakan pengujian satusisi, karena kita menolak hipotesa hanyajika tes statistik yang dihitung terlalu besar.

Langkah Umum Chi-square Test

Misalnya Anda mempunyai tabel kemungkinan dengan m baris (kategori) dan n kolom(kelompok):

Chi-saure tes digunakan untuk menguji hipotesa yang tidak ada perbedaan signifIkan antarakelompok. Dengan kata lain, beberapa perbedaan pengamatan pada proprosi tiap kelompokmilik kategori khusus semata-mata timbul oleh kemungkinan.

1. Hitung jumlah total pengamatan pada tiap kategori:

atotal= a) + a2 + ... + an

biota):=b) + b2 + ...+ bndan seterusnya.

2. Hitung jumlah total pengamatan pada tiap kelompok:

t) =a) + b) + c) + ....t2 =a2+ b2 + c2 + .....................................t =a + b + c + ....n n n n

182

Kategori Kelompok 1 Kelompok 2 Kelompok 3 ... Kelompok n

Kategori a al a2 a3 an

Kategori b bl b2 b3 bn

Kategori c cl c2 c3 cn

3. Hitung jumlah total keseluruhan pengamatan :

4. Hitung proporsi tiap kategori:

Pa=T

T

dan seterusnya.

5. Hitung frekue~si kejadian yang diramal tiap sel.

fal = Patl fa2 = Pat2 ....

fbl = Pbtlb2 = Pbt2 ....

fan= Patnfbn= pbtn

6. Hitung nilai chi-square tes s:

(~ - fa2f+ + ... +

(a - f )2n an

s=fan

+ + +... +

7. Jika hipotesa nol benar, tes statistik s akan mempunyai distribusi chi-square dengan dr(m - 1) x ( (n - 1). Lihat nilai kritis pada tabel A3-3. Jika nilai pengamatan.lebih besardaripada nilai kritis, maka hendaknya Anda menolak hipotesa.Kita dapat meringkas formula statistik chi-square dengan lambang:

(pengamatan - yang diharapkan)2(statistik chi-square) =L

yang diharapkan

dimana kita dapat menghitung pengamatan tiap sel pada tabel kemungkinan dan frekuensiyang diharapkan terjadi pada tiap sel, menganggap hipotesa nol benar, dan kemudianmenjumlahkan semua sel.

183

- - -- - -

APLIKASI CHI-SQUARE TEST

Pada umumnya, chi-square test dapat digunakan untuk menguji apakah dua faktor salingindependen. Berikut ini merupakan contoh ekstrim. Misalnyakita mempunyai sebuah pabrikdan kita akan menguji apakah barang yang dibuat pada hari Senin dan Jum'at lebih kurang(rusak)daripadabarangyangdibuatpadahari-hari lain.Dibawah iniadalahtabelpengamatan:

Secara jelas dapat kita lihat bahwa ada proporsi yang lebih besar secara signiftkan daribarang yang rusak yang dibuat pada hari Senin dan Jum'at. Kita dapat menggunakan chi-squaretesuntukmenguji hipotesanolbahwaadakemungkinan barangyangrusak independenpada hari saat barang itu dibuat. Tabel yang membandingkan frekuensi pengamatan danfrekuensi yang diharapkan adalah sebagai berikut:

Nilai statistik chi-square yang dihitung adalah 20,16. Dfnya adalah (5 - 1) x (2 -1)=4. Nilaikritis 95 persen dari tabel adalah 9,48, maka hipotesa nol kita tolak.

Contoh lain, anggaplah bahwa kita mengevaluasi pengaruh 3 macam proghram latihankerja terhadap pegawai. Hipotesa nol mengatakan bahwaevaluasi tidak dipengaruhi olehmacam program latihan kerja. Datanya adalah sebagai berikut:

184

Hari Barang yang rusak Barang yang baik

Senin 16 132Selasa 4 140Rabu 5 138Kamis 2 149Jum'at 13 126

Barang yang rusak Barang yang barikHari

pengamatan yang Pengamatan yangdiharapkan diharapkan

Senin 16 8,166 132 139,835Selasa 4 7,945 140 136,055Rabu 5 7,890 138 135,110Kamis 2 8,331 149 142,669Jum'at 13 7,669 126 131,331

Sekilas terlihat bhawa angka-angka ini tidak menunjukkan perbedaan yang banyakantara program latihan kerja. Nilai statistik chi-square yang dihitung adalah 0,19, sehinggakita sehamsnya menerima hipotesa DOl.

YANG HARUS DIINGAT

1. Chi-square tes digunakan apakah ada beberapa perbedaan antara beberapa kelompokatau apakah perbedaan pengamatan dapat terjadi oleh kemungkinan.

2. Chi-square tes berdasarkan perbedaan antara frekuensi pengamatan pada tabelkemungkinan dan frekuensi yang diharapkan yang terjadi jika hipotesa nol benar.

3. Hipotesa nol ditolak jika nilai yang dihitung untuk statistik chi-square lebih besardaripada nilai kritisnya.

GOODNESS-OF-FITTESTS

Chi-square tes juga dapat digunakan untuk menguji apakah distribusi probabilitaskhusus sesuai dengan data pengamatan. Tipe tes demikian disebut goodness-of-fit test.Sekali lagi, kita akan membandingkan frekuensi pengamatan f dari kejadian khusus denganfrekuensi yang diharapkan f* yang diperkirakan terjadi jika distribusi benar-benar sesuaidengan data. Sekali lagi, kita hitung statistik

(f. - fYI I

f.I

Jika hipotesa nol benar, tes statistik akan mendekati distribusi chi-square. Jika nilai tesstatistik menjadi terlalu besar, maka terlalu banyak perbedaan antara hasil pengamatan danhasil yang diramal, sehingga kita dapat menolak hipotesa bahwa' distribusi perkiraan atauramalan sesuai dengan data. Degree of freedom untuk chi-square statistik adalah

n - 1 - Uumlah parameter yang hams Anda estimasi menggunakan sampel)

Contoh, jika Anda menggunakan sampel untuk mengestimasi rata-rata distribusi yangAnda gunakan, maka statistik X2akan memiliki degree of freedom n - 2.

Marilah menggunakan goodness-of-fit tes untuk melihat apakah distribusi Poissonsesuai untuk memprediksi angka penegak hukum yang akan dipilih untuk periode 5 tahun.Tabell3-1 menunjukkan angka yang telah dibuat menurut sejarah.

185

--- -

Evaluasi

Program Diatas rata-rata Rata-rat Dibawah Rata-rata

1. 36 78 292 24 53 213 33 67 28

-- ----

Rata-ratanya adalah 2,605, maImpada rata-rata 2,605 pengangkatan penegak hukumdilakukan pada periode 5 tahun. Frekuensi distribusi data-data ini adalah sebagai berikut:

Angka yang terletak di atas merupakan banyak pengangkatan; sedangkan angka yang dibawah merupakan periooe dimana terjadi bebeapa pengangkatan.

o2

18

210

36

48

53

61

Tabel 13-1: Pengangkatan Penegak Hukum

Jika banyak pengangkatan ditentukan oleh distribusi Poisson yang mempunyai rata-rata2,605, distribusi frekuensi yang diperkirakan adalah sebagai berikut:

o 1 2 3 4 5 6.

2,77 7,30 9,50 8,25 5,36 2,77 1,22

Kita dapat menghitung statistik chi-square:

186

Periode Banyak pengangkatan Periode Banyak penangkatan

1790-94 3 1885-89 31795-99 4 1890-94 41800-04 2 1895-99 2

1805-09 2 1900-04 21810-14 2 1905-09 2

1815-19 0 1910-14 61820-24 1 1915-19 21825-29 2 1920-24 4

1830-34 1 1925-29 11835-39 5 1930-34 31840-44 1 1935-39 41845-49 3 1940-44 51850-54 2 1945-49 4

1855-59 1 1950-54 1

1860-64 5 1955-59 4

1865-69 0 1960-64 2

1870-74 4 1965-69 3

1875-79 1 1790-74 31880-84 4 1975-79 1

-

Kita mempunyai n =7 kategori dan kita harns menggunakan sampel untuk mengestimasirata-rata, sehingga dfnya adalah 7 - 1 - 1 = 5. Dapatkita lihatdari tabelchi-squarebahwavariabel X52mempunyai kemungkinan 95 persen yang kurang dari 11.07; sehingga daerahkritis berada pada nilai tes statistik di atas 11,07. Nilai pengamatan berada di antara batastersebut, sehingga kita akan menerima hipotesa yang mengatakan bahwa pengangkatanpenegak hukum dapat dijelskan oleh distribusi Poisson. (Catat bahwa ini merupakanpengujian satu sisi. Karena kita akan menolak hipotesa jika hanya tes statistik sangat kecil,frekuensi perkiraan sangat mendekati frekuensi pengamatan).

YANG HARUS DIINGAT

1. Goodness-of-fit test menggunakan statistik chi-square yang digunakan untuk mengujiapakah distribusi khusus sesuai dengan sejumlah observasi.

2. Statistik chi-square berdasarkan dari perbedaan antara frekuensi pengamatan danfrekuensi yang diharapkan terjadi jika hipotesa nol adalah benar.

187

- --- - --

(2 -2,77)2 (8 - 7,30)2 (10 - 9,50)2 (6 -8,25)2+ + +

2,77 7,30 9,50 8,25

(8 -5,36)2 (3 - 2,77)2 (1 - 1,22)2+ + + =2,28

5,36 2,77 1,22