BAB VI. PENERAPAN INTEGRAL 6.1. Luas Daerah Bidang · PDF fileSoal-Soal Latihan ......

31

BAB VI. PENERAPAN INTEGRAL

6.1. Luas Daerah Bidang Datar

Daerah di atas sumbu-x. Andaikan y = f(x) menentukan persamaan sebuah

kurva di bidang-xy dan andaikan f kontinu dan tak negatif pada selang [a, b]. Luas

daerah R yang dibatasi oleh y = f(x), x = a, x = b, dan y = 0 adalah

A(R) = ∫b

a

dxxf )(

Contoh 1:

Tentukanlah luas daerah R dibawah kurva y = x4 – 2x

3 + 2 di antara x = -1 dan

x = 2.

Jawab:

A(R) = dxxx )22(

2

1

34

∫−

+− = 2

1

45

]225

[ −−− xxx

= 1,510

51)2

2

1

5

1()4

2

16

5

32( ==−−−−+−

y = x4- 2x

3 + 2

32

Penyelesaian dengan Derive:

AreaUnderCurve(f(x), x, a, b, y) adalah menggambar daerah R yang dibatasi

grafik fungsi y = f(x) di atas sumbu-x di antara x = a dan x = b.

1. Tulislah: AreaUnderCurve(x4 – 2x

3 + 2, x, -1, 2, y), enter, sama dengan

2. Klik icon gambar

3. Tulislah: A(R):= int(x4 – 2x

3 + 2,x,-1,2), enter

4. Klik icon sama dengan, lalu aproksimasi.

Jadi luas daerah R adalah A(R) = 5,1

Daerah di bawah sumbu-x. Andaikan y = f(x) menentukan persamaan sebuah


daerah R yang dibatasi oleh y = f(x), x = a, x = b, dan y = 0 adalah

A(R) = ∫−b

a

dxxf )(

33

Contoh 2:

Tentukanlah luas daerah R dibawah kurva 43

2

−=x

y di antara x = -2 dan x = 3.

Jawab:

A(R) = dxx

)43

(

3

2

2

−− ∫−

=3

2

3

]49

[ −+− xx

= 11,169

145)8

9

8()12

9

27( ==−−+−


AreaOverCurve(f(x), x, a, b, y) adalah menggambar daerah R yang dibatasi

grafik fungsi y = f(x) di bawah sumbu-x di antara x = a dan x = b.

1. Tulislah: AreaOverCurve( 43

2

−x

, x, -2, 3, y), enter

2. Klik icon gambar

3. Tulislah: A(R):= int( 43

2

−x

, x, -2, 3), enter


43

2

−=x

y

34

Jadi luas daerah R adalah A(R) = 145/9 = 16,11.

Daerah di kanan sumbu-y. Andaikan x = f(y) menentukan persamaan sebuah


daerah R yang dibatasi oleh x = f(y), y = a, y = b, dan x = 0 adalah

A(R) = ∫b

a

dyyf )(

Contoh 3:

Tentukanlah luas daerah R yang dibatasi oleh kurva x = y + cos(y) di antara y = 0

dan y = 3.

35

Jawab:

A(R) = ∫ +3

0

)cos( dyyy = 3

0

2

)]sin(2

[ yy

+

= )3sin(2

9+ = 4,50 + 0,1411 = 4,64


AreaUnderCurve(f(y), y, a, b, x) adalah menggambar daerah R yang dibatasi

grafik fungsi x = f(y) di kanan sumbu-y di antara y = a dan y = b.

1. Tulislah: AreaUnderCurve(y + cos(y), y, 0, 3, x), enter

2. Klik icon gambar

3. Tulislah: A(R):= int(y + cos(y), y, 0, 3), enter


x = y + cos(y)

36

Jadi luas daerah R adalah A(R) = 4,64

Daerah di kiri sumbu-y. Andaikan x = f(y) menentukan persamaan sebuah kurva

di bidang-xy dan andaikan f kontinu dan tak negatif pada selang [a, b]. Luas

daerah R yang dibatasi oleh x = f(y), y = a, y = b, dan x = 0 adalah

A(R) = - ∫b

a

dyyf )(

AreaOverCurve(f(y), y, a, b, x) adalah menggambar daerah R yang dibatasi

grafik fungsi x = f(y) di kiri sumbu-y di antara y = a dan y = b.

Contoh 4:

Tentukan luas daerah R yang dibatasi oleh yyx −= )cos( di antara y = 1 dan

y = 3 (lihat tugas kelompok)

37

Daerah di antara Dua Kurva. Andaikan kurva y = f(x) dan y = g(x) dengan

f(x) ≥ g(x) pada selang [a, b]. Luas yang dibatasi oleh f(x) – g(x), x = a, x = b

adalah dxxgxf

b

a

))()((∫ −

Contoh 5:

Tentukanlah luas daerah di antara kurva 4xy = dan 2

2 xxy −=

Jawab:

A(R) = 1

0

532

]53

[xx

x −−

= 47,015

7)

5

1

3

11( ==−− ∫ −−

1

0

42 )2( dxxxx =


AreaBetweenCurves(f(x), g(x), x, a, b, y) adalah menggambar daerah R yang

dibatasi grafik fungsi y = f(x) dan y = g(x) di antara x = a dan x = b.

1. Deklasikan: f(x):= 2x – x2 dan g(x):= x

4

2. Tulislah: AreaBetweenCurves(2x – x2, x

4, x, 0, 1, y)

y = x4

y = 2x-x2

38

3. Klik icon gambar

4. Tulislah: A:= int(f(x)-g(x), x, 0, 1), enter


Jadi luas daerah di antara y = 2x – x2 dan y = x

4 adalah 0,47.

AreaBetweenCurves(f(y), g(y), y, a, b, x) adalah menggambar daerah R yang

dibatasi grafik fungsi x = f(y) dan x = g(y) di antara y = a dan y = b.

Tugas Kelompok

1. Konstruksi langkah-langkah menentukan luas daerah R yang dibatasi oleh

yyx −= )cos( di antara y = 1 dan x = 3, Jawab: 2,47.


3323 +−−= xxxy di antara x = -1 dan x = 2, Jawab: 23/4


kurva xy 42 = dan 434 =− yx . Jawab: 125/24

39

Soal-Soal Latihan

Gambarlah daerah yang dibatasi grafik persamaan-persamaan yang diketahui,

kemudian tentukanlah luas daerah yang terbentuk.

1. 2

3

13 xy −= , y = 0, di antara x = 0 dan x = 3

2. )2)(4( +−= xxy , y = 0, di antara x = 0 dan x = 3

3. )7(4

1 2 −= xy , y = 0, di antara x = 0 dan x = 2

4. 3 xy = , y = 0, di antara x = -2 dan x = 2

5. )1)(3( +−= xxy , y = x

6. 22 ,2 xyxxy −=−=

7. 0,8 2 =−= xyyx

8. 04,22 =−−−= yxyyx

9. 01244,024 22 =−+=− xyxy

10. 02,,6 3 =+=+= xydanxyxy

11. Tinjaulah kurva y = 2

1

x untuk 1 ≤ x ≤ 6

(a) Hitunglah luas dibawah kurva ini

(b) Tentukanlah c sedemikian sehingga garis x = c membagi dua luas pada (a)

sama besar

(c) Tentukanlah d sedemikian sehingga garis y = d membagi dua luas pada (a)

sama besar

40

6.2. Volume Benda Putar

Apabila sebuah daerah rata, yang terletak seluruhnya pada satu sisi dari

sebuah garis tetap dalam bidangnya, diputar mengelilingi garis tersebut, daerah itu

akan membentuk sebuah benda putar. Garis tetap disebut sumbu benda putar.

Metode Cakram

Menentukan volume benda yang dibentuk oleh daerah R yang dibatasi kurva

y = f(x), x = a, x = b diputar mengelilingi sumbu-x dengan metode cakram adalah

V = ∫b

a

dxxf ))(( 2π

Contoh 6:

Tentukanlah volume benda putar yang dibentuk oleh daerah R yang dibatasi oleh

kurva xy = , sumbu-x, dan garis x = 4 apabila R diputar mengelilingi sumbu-x.

Jawab:

V = ∫4

0

2 ))( dxxπ = ∫4

0

. dxxπ

41

= 13,258)2

16(]

2[ 4

0

2

=== πππx

Penyelesaian dengan Derive

Cara 1:

Menggunakan rumus V= ∫b

a

dxxf2))((π

1. Menggambar daerah R: AreaUnderCurve( x , x, 0, 4, y) enter

2. Klik icon gambar

3. Deklarasikan: V:= )4,0,,int(. xxπ enter

4. Klik sama dengan, lalu klik aproksimasi

Jadi volume benda putar yang dibatasi oleh kurva xy = , sumbu-x, dan garis

y = 4 apabila R diputar mengelilingi sumbu-x adalah V = π8 = 25,13.

42

Cara 2:

Volume_Of_Revolution(f(x), x, x1, x2) adalah menghitung volume daerah yang

dibatasi oleh y = f(x), sumbu-x, di antara x = x1 dan x = x2 di putar mengelilingi

sumbu-x.

1. Menggambar daerah R: AreaUnderCurve( x , x, 0, 4, y) enter

2. Klik icon gambar

3. Tuliskan: VOLUME_OF_REVOLUTION( x , x, 0, 4) enter

4. Klik sama dengan, lalu aproksimasi

43


x = f(y), y = a, y = b diputar mengelilingi sumbu-y adalah

V = ∫b

a

dxyf ))(( 2π

Contoh 6:


kurva 3xy = , sumbu-y, dan garis y = 3 apabila R diputar mengelilingi sumbu-y.

Jawab:

V = ∫4

0

23 )( dxyπ = ∫4

0

3/2. dxyπ

= 76,115

9.9)

2

16(]

5

3[

33

0

3/5 === πππ y


Cara 1:

Menggunakan rumus V= ∫b

a

dxyf2))((π

1. Menggambar daerah R: AreaUnderCurve( 3 y , y, 0, 3, x) enter

44

2. Klik icon gambar

3. Deklarasikan: V:= )3,0,,int(. 3/2 yyπ enter


Cara 2:

Volume_Of_Revolution(f(y), y, y1, y2) adalah menghitung volume daerah yang

dibatasi oleh x = f(y), sumbu-y, di antara y = y1 dan y = y2 di putar mengelilingi

sumbu-y.

1. Menggambar daerah R: AreaUnderCurve(y1/3

, y, 0, 3, x) enter

2. Klik icon gambar

3. Tuliskan: VOLUME_OF_REVOLUTION(y1/3

, y, 0, 3) enter


45

Metode Cincin.


y = f(x) dan y = g(x) dengan f(x) ≥ g(x) diantara x = a, x = b diputar mengelilingi

sumbu-x dengan metode cincin adalah

V = ∫ −b

a

dxxgxf ))()(( 22π

Contoh 7:


kurva 2xy = dan xy 82 = diputar mengelilingi sumbu-x.

46

Jawab:

V = ∫ −2

0

4 )8( dxxxπ = 16,305

48]

52

8[ 2

0

52

==−π

πxx


Menggunakan rumus V= ∫ −b

a

dxxgxf22 )()((π :

1. Deklarasikan f(x): x8 dan g(x): = x2

2. Tulislah: AreaBetweenCurves( x8 , x2, x, 0, 2, y)

3. Klik icon gambar

4. Deklarasikan: V:= )2,0,,)()(int(. 22 xxgxf −π enter


y = x2

y2 = 8x

47

Jadi volume benda putar yang dibatasi oleh kurva xy 8= dan 2xy =

mengelilingi sumbu-x adalah V = 4 π8 /5 = 30,16.

Tugas Kelompok:

1. Konstruksilah langkah-langkah mencari volume benda putar yang dibentuk

oleh daerah R yang dibatasi oleh kurva 2yx = , sumbu-y, dan garis y = 2

apabila R diputar mengelilingi sumbu-y.

2. Konstruksilah langkah-langkah mencari volume pada contoh 6, untuk R

diputar mengelilingi sumbu-y (Metode Kulit Tabung).

Gunakan:

a. Rumus V = ∫ dxxf )(.2π

b. VOLUMEY_OF_REVOLUTION (y, x, 0, 4)

48

3. Konstruksilah langkah-langkah mencari volume benda putar dengan metode

kulit tabung diputar mengelilingi sumbu y = c, c konstan.

(Gunakan: rumus V= ∫ −b

a

dxyxc )(2π )

4. Konstruksilah langkah-langkah mencari volume benda putar yang dibentuk

oleh daerah R yang dibatasi oleh kurva 2xy = dan xy 82 = mengelilingi

sumbu-y.

Soal-Soal Latihan

Dalam soal-soal (1-5) gambarlah daerah R yang dibatasi oleh grafik persamaan,

kemudian tentukan volume benda putar yang terbentuk apabila R diputar

mengelilingi sumbu-x.

1. 0,4,2

=== yxx

yπ

2. 0,4,2,1

==== yxxx

y

3. 0,4,2,9 2 ==−=−= yxxxy

4. 1,0,2 === yxyx

5. 0,4,0,1 ===+= yyxyx



mengelilingi sumbu-y.

6. 3,0,2 === yxyx

49

7. 4,0,2 === yxyx

8. 9,0,2/3 === yxyx

9. 0,4,1,1

==== yxxx

y

10. 0,3, === yxxy



mengelilingi garis yang diberikan.

11. 0,5, === yxxy mengelilingi garis x = 5

12. 0,0),0(9 2 ==≥−= yxxxy mengelilingi garis x = 3

13. 2,0,2 === yxyx mengelilingi garis y = 2

14. 2,0,0,12 ===+= yyxyx mengelilingi garis y = 3

50

6.3. Panjang Kurva Bidang dan Luas Permukaan Benda Putar

Panjang Kurva

Kurva bidang ditentukan sepasang persamaan parametrik x = f(t), y = g(t),

a ≤ t ≤ b, dengan fungsi f dan g kontinu pada selang tersebut. Anggp t

menyatakan waktu, apabila t bertambah dari a ke b maka (x, y) menyelusuri suatu

kurva di bidang.

Rumus panjang kurva:

∫ +=b

a

dttgtfL22 )(')(' ; bentuk parametrik x = f(t), y = g(t), dan a ≤ t ≤ b.

Contoh 8:

Carilah panjang kurva x = 3 t2 +2, y = 2 t

3-

2

1 dengan 1 ≤ t ≤ 4

Jawab:

dx/dt = 6t, dy/dt = 6t2

∫ +=b

a

dttgtfL22 )(')(' = ∫ +

4

1

222 )6()6( dttt

= 6 ∫ +4

1

42dttt = 6 ∫ +

4

1

21 dttt

Misalkan u = 1 + t2 maka du = 2t dt

Untuk t = 1 diperoleh u = 2 dan t = 4 diperoleh u =17

Sehingga:

6 ∫ +4

1

21 dttt = 3 ∫17

2

duu = 17

2

2/3 ][2 u = 2(173/2

-23/2

) = 134,53

Jadi panjang kuva adalah 134,54 satuan panjang

51

PARA_ARC_LENGTH(v, t, a, b) adalah menghitung panjang kurva bentuk

parametrik bentuk vektor v = [x(t), y(t)] dengan a ≤ t ≤ b.

Cara 1 (menggunakan PARA_ARC_LENGTH(v, t, a, b):

1. Tulislah: PARA_ARC_LENGTH([3t2 + 2 , 2 t

3-1/2], t, 1, 4) enter.


Cara 2 (menggunakan rumus):

1. Deklarasikan: f(t):= dif(3t2 + 2, t) dan g(t):= dif(2 t

3 – 1/2, t)

2. Deklarasikan: L:=int(√(f(t)2 + g(t)

2), t, 1, 4). Klik sama dengan, lalu

aproksimasi

52

Rumus panjang kurva:

∫ +=b

a

dxxfL2)('1 ; bentuk y = f(x), dan a ≤ x ≤ b.

Contoh 9:

Carilah panjang kurva 2/3xy = dari titik (1,1) ke titik (4,8).

Jawab:

dy/dx = 2/1

2

3x

∫ +=b

a

dxxfL2)('1 = ∫ +

4

1

22/1 )2

3(1 dxx = ∫ +

4

14

91 dxx

Misal u = 1 + 9/4 x maka du = 9/4 dx

53

Untuk x = 1 diperoleh u =13/4 dan x = 4 diperoleh u =10

∫ +4

14

91 dxx = ∫

10

4/139

4duu = 10

4/13

2/3 ]3

2[

9

4u = ]

4

1310[

27

82/3

2/3 − = 7,63


ARC_LENGTH(f(x), x, a, b) adalah menghitung panjang kurva bentuk y = f(x)

dengan a ≤ x ≤ b.

Cara 1 (menggunakan ARC_LENGTH(f(x), x, a, b):

1. Tulislah: ARC_LENGTH( 2/3x , x, 1, 4) enter.


Jadi panjang kurvanya adalah 7,63


1. Deklarasikan: f(x):=dif(x3/2

, x)

54

2. Deklarasikan: L:=int(√(1 + (f(x))2), x, 1, 4)


Tugas Kelompok::

Selesaikan contoh 9 dengan menggunakan:

a. Rumus: ∫ +=b

a

dyyfL2)('1 ; bentuk x = f(y), dan a ≤ y ≤ b.

b. Konstruksi dengan Derive

55

Luas Permukaan Benda Putar

Rumus luas permukaan benda putar:

∫ +=b

a

dttgtftgA22 )(')(')(2π ; bentuk parametrik x = f(t), y = g(t), a ≤ t ≤ b

diputar mengelilingi sumbu-x.

∫ +=b

a

dxxfxfA2)('1)(2π ; bentuk y = f(x), dan a ≤ x ≤ b diputar mengelilingi

sumbu-x.

Area_Of_Revolution(f(x), x, a, b) adalah menghitung luas permukaan bila

y = f(x) antara x = a dan x = b diputar mengelilingi sumbu-x.

Areay_Of_Revolution(f(x), x, a, b) adalah menghitung luas permukaan bila

y = f(x) antara x = a dan x = b diputar mengelilingi sumbu-y.

Contoh 10:

Carilah luas permukaan benda putar bila kurva xy = , 0 ≤ x ≤ 4 diputar

mengelilingi sumbu-x.

Jawab:

dy/dx = 1/2√x

∫ +=b

a

dxxfxfA2)('1)(2π = ∫ +

4

0

2)2

1(12 dx

xxπ = ∫ +

4

0

14 dxxπ

= 18,36])14(3

2.

4

1.[ 4

0

2/3 =+xπ


Cara 1 (menggunakan Area_Of_Revolution(f(x), x, a, b) ):

1. Tulislah: Area_Of_Revolution(√, x, 0, 4) enter.

56


Jadi luas permukaan benda putar adalah 36,18


1. Deklarasikan: f(x):=√x enter

2. Deklarasikan: g(x):=dif(f(x), x) enter

3. Deklarasikan: A(R):= 2π.int(√(1 + (g(x))2), x, 0, 4)


57

Tugas Kelompok:

1. Konstruksilah langkah-langkah mencari panjang kurva x = y2; 0 ≤ y ≤ 2 dalam

dua cara.

2. Konstruksilah langkah-langkah mencari luas permukaan benda putar bila

kurva 2/3xy = , 1 ≤ x ≤ 4 diputar mengelilingi sumbu-y dalam dua cara.

3. Konstruksilah langkah-langkah mencari luas permukaan benda putar bila

kurva )cos(2 tx = )sin(4 ty = , -2 ≤ t ≤ 2 diputar mengelilingi sumbu-x.

58

Soal-soal Latihan

Carilah panjang kurva-kuva yang diberikan

1. 31,2 =−== xdanxdiantaraxy

2. π20),sin( === xdanxdiantaraxy

3. 31,32 ==+= xdanxdiantaraxy

4. 53/1,4 2/3 === xdanxdiantaraxy

5. 81,)4( 2/33/2 ==−= xdanxdiantaraxy

6. 32,2

1

16 2

4

−=−=+= ydanydiantaray

yx

7. π20),sin( === ydanydiantarayx

8. 10;2

,2

3 ≤≤== tt

ytx

9. π≤≤−== ttytx 0;5)cos(4),sin(4

10. π20);(cos),(sin 33 ≤≤== ttaytax

Carilah luas permukaan benda putar yang terbentuk bila kurva-kurva:

11. xsumbugimengelilinxxy −≤≤= 10,6

12. ysumbugimengelilinxxy −≤≤= 10,6

13. xsumbugimengelilinxxy −≤≤= 71,3/3

14. ysumbugimengelilinxxy −≤≤= 71,3/3

15. xsumbugimengelilinxtytx −≤≤== 10,, 3

59

6.4. Momen dan Pusat Massa

Momen

Hasil kali massa m suatu partikel dengan jarak berarahnya dari suatu titik

(lengan tuas) dinamakan momen partikel terhadap titik tersebut. Dengan kata lain

Momen = panjang lengan tuas kali massa atau ∑= mxM

m

∆ x

Gambar 1.

Jadi,

∑

∑

=

===n

i

i

n

i

ii

m

mx

m

Mx

1

1

Titik x dinamakan pusat massa (titik kesetimbangan)

Contoh 11:

Massa sebesar 4, 2, 6, dan 7 kilogram masing-masing diletakkan pada titik-titik

0, 1, 2, dan 4 sepanjang sumbu-x. Carilah pusat massanya.

Jawab:

21,219

42

7624

)7)(4()6)(2()2)(1()4)(0(==

+++

+++=x

Distribusi massa yang kontinu sepanjang kawat dengan kepadatan di x adalah δ(x)

adalah

60

∫

∫==

b

a

b

a

dxx

dxxx

m

Mx

)(

)(

δ

δ

Contoh 12:

Kepadatan δ(x) sepotong kawat di titik yang terletak x sentimeter dari salah satu

ujungnya adalah δ(x) = 3x2 gram/sentimeter. Tentukan pusat massa kawat antara

x = 0 dan x = 10.

Jawab:

cm

dxx

dxxx

xb

a

b

a 5,71000

7500

3

3.

2

2

===

∫

∫

Tugas: Hitung contoh 12 di atas menggunakan derive

Pusat Massa (centroid)

Area_Centroid(x, a, b, y, f(x), g(x)) adalah untuk menghitung pusat massa

daerah R yang dibatasi oleh a ≤ x ≤ b dengan y = f(x) dan y = g(x).

Contoh 13: Tentukanlah pusat massa daerah R yang dibatasi oleh 0 ≤ x ≤ 1,

y = √x, dan y = x3.


1. Gambar daerah R: AreaBetweenCurves(√x, x3, x, 0, 1, y)

2. Gambar pusat massa: Area_Centroid(x, 0, 1, y, (√x, x3)


61

Jadi pusat massa daerah R adalah (0,48; 0,43)

Tugas:

Hitunglah contoh 13 di atas dengan menggunakan rumus:

∫

∫

−

−

=b

a

b

a

dxxgxf

dxxgxfx

x

)()([

)]()([

∫

∫

−

−

=b

a

b

a

dxxgxf

dxxgxfx

y

)()([

])()([ 22

62

Soal-Saol Latihan

1. Partikel-partikel bermassa m1 = 5, m2 = 7, dan m3 = 9 terletak di x1 = 2,

x2 = -2, dan m3 = 1 sepanjang suatu garis. Carilah pusat massanya.

2. Feni dan Wati beratnya masing-masing 25 dan 15 kilogram duduk pada ujung-

ujung papan yang panjangnya 3 meter dengan titik tumpu di tengah-tengah

papan. Dimanakah Ari dengan berat 10 kilogram harus duduk agar papan

tersebut dalam keadaan setimbang?

3. Sepotong kawat lurus panjangnya 7 satuan mempunyai kepadatan δ(x) = √x

pada sebuah titik yang jauhnya x-satuan dari salah satu ujungnya. Tentukan

jarak dari ujung ini ke pusat massa kawat.

Dalam soal-soal 4-5, Massa-massa dan koordinat-koordinat suatu sistem partikel

dalam bidang koordinat diberikan. Tentukanlah momen dan pusat massanya.

4. 2, (1,1); 3, (7,1); 4, (-2,-5); 6, (-1,0); 2, (4,6)

5. 5, (-3,2); 6, (-2,-2); 2, (3,5); 7, (4,3); 1, (7,-1)

Dalam soal-soal 6-8, Carilah centroid daerah yang dilingkupi oleh kurva yang

diberikan dan buatlah grafiknya.

6. 0,2 2 =−= yxy

7. 1,0,3 === xyxy

8. 1,2,42 ==−= xxyxy

9. Untuk setiap lamina homogen R1 dan R2 yang ditunjukkan dalam gambar,

carilah m, Mx, My, ydanx, .

63

10. Untuk lamina homogen R yang ditunjukkan dalam gambar, carilah m, Mx, My,

ydanx, .

BAB VI. PENERAPAN INTEGRAL 6.1. Luas Daerah Bidang · PDF fileSoal-Soal Latihan ......

Documents

Transcript of BAB VI. PENERAPAN INTEGRAL 6.1. Luas Daerah Bidang · PDF fileSoal-Soal Latihan ......