BAB VI - akhir a5

BAB VI

UKURAN PENYEBARAN

A. PENDAHULUAN

Telah dikemukakan, bahwa penyajian data statistik dalam

berbagai bentuk table distribusi frekuensi dan grafik, sedikit banyak

telah membantu berbagai pihak misalnya saja seorang peneliti.

Dalam rangka mengenal dan mengetahui ciri atau sifat yang

terkandung dalam sekumpulan bahan keterangan (data) yang

berupa angka maka ia sangat membutuhkan statistika.

Namun demikian, yang harus diingat ialah, kegiatan

menganalisis data yang hanya dengan mengetahui frekuensi dan

nilai rata-ratanya saja dipandang belum “tajam” dan “teliti”, sebab

masih terdapat banyak hal yang berada di luar jangkauan

pengetahuan seorang peneliti dari keterangan tersebut. Karena

sekalipun distribusi frekuensi dan nilai rata-ratanya telah diketahui,

tetapi bagaimana penyebaran/ pemencaran/ variansi/ disperse/

variabilitas data itu sebenarnya belum terlihat secara jelas oleh

peneliti.

Jadi menggambarkan karakteristik sekelompok data ternyata

tidak cukup dengan hanya melihat ukuran pemusatannya, karena

ukuran pemusatan hanya memberikan informasi tunggal tentang

dimana data mengumpul, tanpa mengetahui bagaimana pola

distribusi data secara keseluruhan. Untuk tujuan yang terakhir

disebutkan ini, yaitu untuk mengetahui bagaimana pola distribusi

data secara keseluruhan, digunakan ukuran penyebaran. Ukuran

penyebaran memberikan informasi tentang bagaimana pola data

menyebar, atau seberapa luas data menyebar disekitar rata-ratanya.

Semakin besar nilai pada ukuran penyebaran menunjukkan

semakin luas sebaran data, yang berarti variasi antara satu data

dengan data lainnya semakin besar dan berarti pula datanya

semakin heterogen.

Ukuran penyebaran sangat berguna untuk membandingkan

sifat homogenitas atau kesamaan variasi antara dua populasi.

Perhatikan dua himpunan data tentang jumlah nilai pada raport

siswa kelas VA dan kelas VB MI berikut ini:

Nilai kelas VA: 115 110 86 82 97 100 82 95 89 54

Nilai kelas VB: 96 95 88 96 79 86 93 88 88 91

Jika kedua kelompok data di atas dihitung rata-ratanya maka

akan diperoleh rata-rata yang sama, yaitu 90, tetapi apakah kedua

kelompok data mempunyai nilai-nilai data yang sama? Nilai raport

pada kelas VA lebih bervariasi atau heterogen dibandingkan

dengan kelas VB, dengan range yang lebih lebar yaitu antara 54

sampai dengan 115. Sedangkan kelas VB, nilai raport anak hampir

sama, rangenya lebih sempit dan nilai-nilainya lebih dekat dengan

nilai rata-ratanya. Secara kasar, dapat dianalisis bahwa di kelas VA

terdapat anak dengan kemampuan yang sangat tinggi dan juga

berkemampuan sangat rendah, sedang di kelas VB kemampuan

anak relatif sama. Informasi sederhana ini dapat menjadi dasar bagi

guru dalam menerapkan metode pengajaran yang tepat untuk kelas

dengan materi yang berbeda.

Sehubungan dengan hal-hal yang telah dikemukakan di atas,

maka agar dapat dicapai tingkat “ ketajaman analisis”, disamping

mengetahui distribusi frekuensi dan mengetahui nilai rata-rata dari

data yang sedang kita teliti, maka untuk analisis lebih lanjut

terhadap data tersebut perlu ditentukan ukuran yang dapat

digunakan untuk mengetahui variabilitas atau penyebarannya.

Sebuah nilai untuk mengukur seberapa besar data menyebar relatif

terhadap rata-rata inilah yang disebut dengan nama Ukuran

Variabilitas Data (Measures of Variabilitas) atau Ukuran Penyebaran

Data (Measures of Dispersion).

Pengertian ukuran penyebaran data pada dasarnya ada

bermacam-macam diantaranya adalah ukuran penyebaran data

merupakan berbagai macam ukuran statistik yang dapat digunakan

untuk mengetahui luas penyebaran data, atau variasi data, homogenitas

data, dan stabilitas data. Dalam statistika dikenal beberapa macam

ukuran penyebaran data yaitu dari ukuran yang paling sederhana

(kasar) sampai dengan ukuran yang dipandang memiliki kadar

ketelitian yang tinggi. Ada beberapa ukuran penyebaran yang dapat

digunakan, yaitu: (1) Jangkauan/Range, (2) Deviasi / Simpangan

(yaitu Deviasi Kuartil, Deviasi Rata-rata dan Deviasi Standart), (3)

Ragam / Variance. Sebagaimana dalam ukuran pemusatan, ukuran

penyebaran dapat dihitung pada data tunggal ataupun data

kelompok.

B. JANGKAUAN (RANGE)

Range dikenal sebagai ukuran penyebaran data yang paling

sederhana dan karena itu range sering juga disebut sebagai ukuran

penyebaran data yang paling kasar. Range – yang biasa diberi

lambang R – adalah salah satu ukuran statistic yang menunjukan

jarak penyebaran antara skor (nilai) yang terendah (Lowest Score)

sampai skor (nilai) yang tertinggi (Highest Score). Dengan singkat

dapat dirumuskan :

R = H – L. Atau R = Xt – Xr (6.1)

Keterangan

R = Range yang kita cari

H = Skor (nilai) yang tertinggi ( Xt )

L = Skor (nilai) yang terendah (Xr )

Pemakaian keterangan yang diberikan oleh range sebagai

tambahan bagi keterangan yang telah diberikan oleh harga rata-rata

mengenai sekumpulan data, dapat memberi gambaran yang lebih

terang mengenai kumpulan data itu. Artinya range kita gunakan

sebagai ukuran, apabila di dalam waktu yang sangat singkat kita

ingin memperoleh gambaran tentang penyebaran data yang sedang

kita selidiki dengan mengabaikan faktor ketelitian atau kecermatan.

Contoh 9 :

Dua kelompok memiliki distribusi sebagai berikut :

Kedua kelompok di atas mempunyai range yang

sama yaitu 10-1 = 9, walaupun distribusi kedua

kelompok nilainya jelas berbeda.

Contoh 10 :

Berikut ini adalah contoh perhitungan range nilai

hasil tes untuk 5 macam bidang studi dari 3 orang

peserta yang mengikuti tes seleksi penerimaan calon

mahasiswa baru pada sebuah Perguruan Tinggi

Agama Islam

A : 1 8 9 9 10 10

B : 1 2 4 6 8 10

Keterangan :

• Kolom 3 s.d 7 menunjukan distribusi nilai hasil yang

dicapai oleh 3 orang calon.

• Kolom 8 memuat nilai tertinggi (Highest Score) setiap

calon.

• Kolom 9 memuat nilai terendah (Lowest Score) setiap

calon.

• Kolom 10 menunjukan jumlah seluruh nilai.

• Kolom 11 adalah mean (nilai rata-rata hitung) yang

dicapai oleh masing-masing calon.

Dari tabel di atas kita ketahui bahwa berdasarkan nilai range

kita dapat mengatakan “semakin kecil range dari suatu distribusi

data, maka kita memiliki kecenderungan untuk menganggap bahwa

mean yang kita peroleh merupakan wakil yang representatif dari

data yang bersangkutan., sebaliknya semakin besar rangenya, maka

kita akan cenderung untuk menganggap bahwa mean yang kita

peroleh itu sifatnya meragukan”.

Dari uraian diatas dapat diambil suatu kesimpulan sebagai

berikut:

• Semakin kecil rangenya maka semakin homogen

distribusinya.

• Semakin besar rangenya maka semakin heterogen

distribusinya.

• Semakin kecil rangenya maka meannya merupakan

wakil yang representatif.

No

Ujian

Na

ma

Nilai Yang dicapai H L R =

H-L

Jum.

Nilai

Mean

PMP Dir.

Isla

Bhs.

Ind

Bhs.

Arb.

Bhs.

Ingg

1. 2.

3.

A

B

C

85

58

65

55

65

65

76

72

65

45

60

65

65

70

65

85

72

65

45

58

65

40 14

0

325

325

325

65

65

65

• Semakin besar rangenya maka meannya merupakan

wakil yang kurang reperesentatif.

Kebaikan pemakaian range sebagai salah satu ukuran

penyebaran ialah dengan menggunakan range dalam waktu singkat

dapat diperoleh gambaran umum mengenai luas penyebaran data

yang sedang kita hadapi. Sedangkan kelemahannya ialah:

i. Range akan sangat tergantung kepada nilai-nilai

ekstrimnya. Dengan kata lain, besar kecilnya range akan

sangat ditentukan oleh nilai terendah dan nilai tertinggi

yang terdapat dalam distribusi data, dengan demikian

range sifatnya sangat labil dan kurang teliti.

Contoh:

Data X : H = 80, L = 30 � R = 80 -30 = 50

Data Y : H = 95, L = 45 � R = 95 – 45 = 50

Data Z : H = 88, L = 38 � R = 88 – 38 = 50.

ii. Range sebagai ukuran penyebaran data, tidak

memperhatikan distribusi yang terdapat di dalam range

itu sendiri. Ambillah sebagi contoh, misalnya nilai

tertinggi dari nilai terendah yang berhasil, dicapai oleh

8 orang mahasiswa masing-masing adalah 80 dan 40,

sehingga rangenya = 80 – 40. Dengan range sebesar 40

itu ada kemungkinan distribusi nilai itu adalah: 40, 47,

52, 59, 64, 67, 70 dan 80, mungkin juga: 40, 40, 40, 40, 40,

40, 40 dan 80; mungkin juga: 40, 40, 50, 50, 60, 60, 80, 80,

atau bentuk distribusi lainnya. Yang jelas, dengan

hanya mengetahui range-nya saja, kita belum tahu

secara pasti bagaimana sebenarnya bentuk distribusi

data yang kita hadapi mulai dari nilai terendah sampai

nilai tertinggi.

Karena kelemahan-kelemahan itulah maka sebagai salah satu

ukuran penyebaran data, range sangat jarang digunakan dalam

pekerjaan analisis statistic. Adapun cara mencari range dapat

dibedakan menjadi 3 macam, yaitu :

1. Data Tunggal

Bila ada sekumpulan data tunggal X1, X2, ..., Xn maka

jangkauannya adalah

R = Xt – Xr

(6.1)

Contoh 11:

Tentukan jangkauan data : 1, 4, 7, 8, 9, 11!

Jawab:

Xt = 11 dan Xr = 1

Jangkauan = Xt – Xr = 11 – 1 = 10

2. Data Kelompok

Untuk data kelompok, jangkauan dapat ditentukan

dengan dua cara yaitu menggunakan titik atau nilai

tengah dan menggunakan tepi kelas.

a. Jangkauan adalah selisih titik tengah kelas

tertinggi dengan titik tengah kelas terendah.

b. Jangkauan adalah selisih tepi kelas tertinggi

dengan tepi bawah kelas terendah.

Contoh 12:

Tentukan jangkauan dari distribusi frekuensi

berikut !

Tabel Tinggi Badan 50 Mahasiswa

Tinggi Badan (cm) Frekuensi

140 – 144

145 – 149

2

4

150 – 154

155 – 159

160 – 164

165 – 169

170 – 174

10

14

12

5

3

Jumlah 50

Jawab :

Dari table di atas terlihat bahwa:

Titik tengah kelas terendah = 142

Titik tengah kelas tertinggi = 172

Tepi bawah kelas terendah = 139, 5

Tepi atas kelas tertinggi = 174,5

a. Jangkauan = 172 – 142 = 30

b. Jangkauan = 174,5 – 139,5 = 35

3. Range Antarkuartil dan Range Semi Interkuartil

Range antarkuartil adalah selisih antara nilai

kuartil atas ( K3 ) dan kuartil bawah ( K1 ). Dirumuskan

Interquartile Range = K3 - K1 (6.2)

Interquartile range ini mengandung 50 persen

dari pada pengamatan yang terdapat di dalam

kumpulan data yang bersangkutan. Yang termasuk

kedalamnya adalah 50 persen bagian tengah dari pada

kumpulan data itu atau dari suatu pencaran frekuensi

ukuran ini dapat dipakai untuk tujuan – tujuan tertentu

dan dapat dicari dengan mudah, yaitu dengan mencari

dahulu nilai-nilai kuartil ketiga dan kuartil pertama.

C. SIMPANGAN RATA-RATA (STANDARD DEVIATION)

Dalam statistika, yang dimaksud dengan deviasi ialah

selisih simpangan dari masing-masing skor atau interval

dengan nilai rata-rata hitung atau mediannya. Bila setiap skor/

nilainya lebih besar dari rata-rata hitungnya, maka deviasinya

positif dan bila setiap skor atau nilainya lebih kecil dari rata-

rata hitungnya, maka deviasinya negatif. Deviasi merupakan

salah satu ukuran variabilitas data yang biasa dilambangkan

dengan huruf kecil dari huruf yang digunakan bagi lambang

skornya. Jadi apabila skornya diberi lambang X maka

deviasinya berlambang x; jika skornya Y maka lambang

deviasinya y; jika skornya Z maka lambang deviasinya z.

Karena deviasi merupakan simpangan atau selisih dari

masing-masing skor terhadap rata-rata hitung groupnya, maka

sudah barang tentu akan terdapat dua jenis deviasi, yaitu: (1)

deviasi yang berada di atas rata-rata hitung, dan (2) deviasi

yang berada di bawah rata-rata hitung. Deviasi yang berada di

atas rata-rata hitung dapat diartikan sebagai ”selisih lebih”;

karenanya deviasi semacam ini akan bertanda plus (+), dan

lazim dikenal dengan istilah deviasi positif. Adapun deviasi

yang berada di bawah rata-rata hitung dapat diartikan sebagai

selisih kurang” oleh karena itu, selalu bertanda minus (-), dan

lazim dikenal dengan istilah deviasi negatif. Penjumlahan

deviasi akan selalu menghasilkan nol, sehingga tidak dapat

digunakan untuk mengetahui keragaman data. Supaya hasil

penjumlahan dapat digunakan untuk mengetahui keragaman

data maka pada waktu mengadakan penjumlahan, yang

dijumlahkan adalah harga mutlaknya atau tanda-tanda aljabar

dari deviasi (tanda + dan -) diabaikan, sehingga tanda positif

dan negatifnya tidak mempengaruhi penjumlahan.

Contoh 13:

Skor (X) 8 7 6 5 4 ∑ X = 30

Deviasi (x) 2 1 0 -1 -2 ∑ x = 0

Ukuran penyebaran dibedakan menjadi 2 kelompok

yaitu ukuran penyebaran mutlak dan ukuran penyebaran

relatif. Ukuran penyebaran mutlak terdiri dari: simpangan rata-

rata (mean deviation), simpangan kuartil (quartile deviation), dan

simpangan baku (standard deviation). Sedangkan yang termasuk

dalam ukuran penyebaran relatif adalah koefisien variasi

(coevicient of Variation)

1. Deviasi Rata-Rata / Simpangan Rata-Rata

Seperti terlihat pada table di atas, jika seluruh

deviasi kita jumlahkan, hasilnya pasti sama dengan nol (∑x

= 0). Karena jumlah deviasi akan selalu sama dengan nol,

maka kalau deviasi itu kita gunakan sebagai ukuran untuk

mengetahui variabilitas data tidak akan ada manfaatnya

sama sekali. Oleh karena itulah agar deviasi dapat

digunakan sebagai ukuran variabilitas, dalam menjum-

lahkan deviasi itu tanda-tanda aljabar (yaitu tanda + dan -)

yang terdapat di depan deviasi sebaiknya diabaikan.

Dengan kata lain, agar deviasi dapat dimanfaatkan sebagai

ukuran variabilitas, maka penjumlahan itu dilakukan

terhadap harga mutlaknya. Setelah seluruh harga mutlak

deviasi dijumlahkan lalu dihitung rata-ratanya.

Biasanya kita mempergunakan rata-rata hitung atau

median sebagai dasar pengukuran data. Deviasi rata-rata,

dihitung dengan cara menjumlahkan simpangan masing-

masing nilai skor dengan nilai rata-ratanya (atau median)

dan kemudian membaginya dengan banyaknya skor, tanpa

memperhatikan tanda-tanda aljabarnya. Artinya, simpa-

ngan-simpangan itu harus dirata-ratakan seolah-olah

kesemuanya itu adalah positif. Dalam bahasa Inggris

Deviasi Rata-rata dikenal dengan nama Mean Deviation

(diberi lambang MD) atau Average Deviation diberi lambang

AD.

Dari uraian di atas sebenarnya sudah cukup

tergambar apa sebenarnya yang dimaksud dengan simpa-

ngan rata-rata (Sr) itu, yakni jumlah harga mutlak deviasi

dari tiap-tiap skor, dibagi dengan banyaknya skor itu

sendiri. Dengan demikian, apabila pengertian tentang

simpangan rata-rata tadi kita formulasikan dalam bentuk

rumus, maka akan kita peroleh formula sebagai berikut:

a. Data tunggal

Sr = n

xxn

i

i∑=

−1 (6.3)

Keterangan : Sr = Simpangan rata-rata

xi = Nilai pengamatan ke-i

x = Rata-rata hitung

n = Banyaknya pengamatan

Contoh 14:

Seorang ibu rumah tangga melakukan pencatatan

mengenai jumlah pemakaian gula pasir selama 6 bulan

berturut-turut sebagai berikut:

Bulan Konsumsi gula (kg)

1

2

3

4

5

6

7,00

8,50

6,75

7,25

7,50

7,25

Carilah simpangan rata-rata dari pemakaian gula pasir

tersebut!

Jawab :

i. Kalau memakai dasar perhitungan rata-rata

hitung.

Konsumsi gula (kg)

(xi)

Simpangan = xi - x

7,00

8,50

6,75

7,25

7,50

7,25

7,00 - 7,375 = 0,375

8,50 - 7,375 = 1,125

6,75 - 7,375 = 0,625

7,25 - 7,375 = 0,125

7,50 - 7,375 = 0,125

7,25 - 7,375 = 0,125

∑ xi = 44,25 ∑( xi - x ) = 2,500

• x = ∑ xi / n = 44,25 / 6 = 7,375

• Sr = 2,500/6 = 0,417 kg/bulan

ii. Kalau memakai dasar perhitungan median

Konsumsi gula (kg)

(xi)

Simpangan = xi - Me

7,00

8,50

6,75

7,25

7,50

7,25

7,00 - 7,25 = 0,25

8,50 - 7,25 = 1,25

6,75 - 7,25 = 0, 5

7,25 - 7,25 = 0,00

7,50 - 7,25 = 0,25

7,25 - 7,25 = 0,00

∑ xi = 44,25 ∑( xi - Me) = 2,25

• Me = 7,25

• Sr = 2,25/6 = 0,375 kg/bulan

b. Data Kelompok

Untuk data berkelompok (distribusi frekuensi),

deviasi rata-ratanya dapat dihitung dengan rumus:

Sr =

∑

∑

=

=

−

k

i

i

k

i

ii

f

xxf

1

1 (6.4)

Atau

Sr =

∑

∑

=

=

−

k

i

i

k

i

ttii

f

xxf

1

1 (6.5)

Keterangan : Sr = Simpangan rata-rata

xti = Nilai tengah pengamatan ke-i


tx = Rata-rata hitung nilai tengah pengamatan

x = Rata-rata hitung pengamatan

fi = Frekuensi kelas ke-i

k = banyaknya kelas

Contoh 15 :

Tentukan simpangan rata-rata dari data pada tabel

berikut!

Usia 31 30 29 28 27 26 25 24 23

frek 4 4 5 7 12 8 5 3 2

Jawab :

• Langkah I: Mencari mean, dengan rumus

∑

∑

=

==k

i

i

k

i

ii

f

xf

x

1

1 = 50

1360 = 27,2

• Langkah II: Menghitung deviasi masing

skor, dengan rumus:

x = xi - x (Lihat kolom 4).

• Langkah III : Mengalikan fi dengan │diperoleh nilai fi│x│setelah itu dijumlahkan,

sehingga diperoleh ∑fi│x│= 82,0.

• Langkah IV : Menghitung simpangan rata

dengan rumus:

Sr =

∑

∑

=

=

−

k

i

i

k

i

ii

f

xxf

1

1 = 64,150

0,82=

Tabel Penolong Menghitung Simpangan Rata-Rata Kelompok

Usia (xi ) fi fi xi x = xi - x fi│ xi

31 4 124 + 3,8 15,2

30 4 120 + 2,3 11,2

29 5 145 + 1,8 9,0

28 7 196 + 1,8 5,6

27 12 324 - 0,2 2,4

26 8 208 - 1,2 9,6

25 5 125 - 2,2 11,0

Menghitung deviasi masing-masing

│x│ sehingga

setelah itu dijumlahkan,

ata-rata,

Kelompok

i - x │

15,2

11,2

9,0

5,6

2,4

9,6

11,0

24 3 72 - 3,2 9,6

23 2 46 - 4,2 8,4

Jumlah 50 1360 82,0

Contoh 16:

Tentukan simpangan rata-rata dari ditribusi frekuensi

pada Tabel berikut ini!

Tinggi Badan Mahasiswa STAIN

Tinggi Badan (cm) frek

140 - 144 2

145 - 149 4

150 - 154 10

155 - 159 14

160 - 164 12

165 - 169 5

170 - 174 3

Jumlah 50

Jawab :

• Langkah I: Mencari titik tengah kelas, dengan

rumus

2

kelasbawahBataskelasatasBatas += xti

• Langkah II: Mengalikan fi dengan xti sehingga

diperoleh fi xti ; kemudian jumlahkan. (∑ fixti = 7885)

• Langkah III: Mencari mean, dengan rumus

tx

∑

∑

=

==

k

i

i

k

i

tii

f

xf

1

1 = 50

7885 = 157,7

• Langkah IV: Menghitung deviasi masing-masing

kelas, dengan rumus:

│x = xti - tx │ (Lihat kolom 5).

• Langkah V: Mengalikan fi dengan x sehingga

diperoleh fix ; kemudian tentukan nilai fix setelah

itu dijumlahkan, sehingga diperoleh ∑fix = 282.

• Langkah IV : Menghitung simpangan rata-rata,

dengan rumus:

Sr =

∑

∑

=

=

−

k

i

i

k

i

ttii

f

xxf

1

1 = =50

2825,64

Tabel Penolong Menghitung Simpangan Rata-Rata Kelompok

Tinggi

Badan (cm) xti fi fi xti xi=│xti - tx │ fi xi

140 - 144 142 2 284 15,7 31,4

145 - 149 147 4 588 10,7 42,8

150 - 154 152 10 1520 5,7 57

155 - 159 157 14 2198 0,7 9,8

160 - 164 162 12 1944 4,3 51,6

165 - 169 167 5 835 9,3 46,5

170 - 174 172 3 516 14,3 42,9

Jumlah 50 7885 282

Dari uraian di atas telah kita ketahui bersama bahwa untuk

memperoleh simpangan rata-rata, semua deviasi yang ada kita

jumlahkan, setelah itu kita bagi dengan N. Dalam menjumlahkan

deviasi masing-masing skor atau deviasi masing-masing interval

itu, tanda-tanda aljabar yang terdapat di depan angka yang

menunjukkan deviasi itu, kita abaikan; berarti semua deviasi yang

ada kita anggap bertanda “plus”, sebab yang dijumlahkan adalah

harga mutlaknya. Memang cukuplah beralasan bahwa baik tanda

“plus” maupun randa “minus” itu pada dasarnya menunjukkan

“selisih” antara tiap-tiap skor atau interval yang ada dengan mean-

nya (yang dimaksud disini adalah misalnya deviasi sebesar + 1 dan

sebesar – 1, sama saja artinya yaitu “ ada selisih sebesar 1 jika

dibandingkan dengan mean-nya; apakah itu “selisih lebih” ataukah

“selisih kurang”). Namun cara kerja demikian sebenarnya secara

matematik kurang dapat dipertanggungjawabkan, yang karenanya

dalam penganalisisan data statistik ukuran ini jarang sekali

digunakan, karena dianggap kurang teliti.

Karakteristik utama dari simpangan rata-rata adalah:

• Simpangan rata-rata didasarkan pada setiap nilai di

dalam data. Karenanya ia memberikan gambaran yang

lebih baik mengenai penyebaran data dari pada range

dan simpangan kuartil.

• Simpangan rata-rata dihitung dari sebuah rata-rata,

baik rata-rata hitung maupun median. Ia mengukur

penyebaran data sekitar rata-rata lebih baik dari

penyebaran data di dalam nilai-nilai tertentu, seperti

yang di ukur dengan range dan simpangan kuartil.

• Simpangan rata-rata merupakan rata-rata hitung dari

nilai-nilai simpangan yang mutlak. Dalam perhitu-

ngannya, simpangan ini mengabaikan tanda-tanda

positif dan negatif dari simpangan terhadap rata-rata.

Ini merupakan kelemahan dari simpangan rata-rata.

2. Simpangan Kuartil (Quartile Deviation),

Simpangan kuartil (quartile deviation) dengan notasi

“SK” merupakan suatu ukuran dispersi yang didasarkan

atas nilai kuartil, yaitu kuartil pertama (K1) dan kuartil

ketiga (K3). Ukuran ini juga disebut: “semi interquartile

range”, yang berarti setengah jarak antara kuartil pertama

hingga kuartil ketiga.

Orang biasanya lebih suka memakai istilah “quartile

deviation” atau “semi interquartile range” dari pada

interquartile range sebagai ukuran penyebaran. Quartile

deviation adalah sama dengan setengah dari interquartile

range. Oleh karena itu, kita dapat menuliskan rumus quartile

deviation itu sebagai:

Quartile deviation = (1/2) (K3 - K1)

(6.6)

Quartile deviation bukanlah merupakan ukuran-

ukuran yang baik bagi penyebaran sekumpulan data. Jadi,

jika kita hendak mengukur penyebaran sekumpulan data,

biasanya ukuran-ukuran ini tidak kita pakai. Keuntungan

yang mungkin diperoleh dari pemakaian ukuran-ukuran ini

sebagai ukuran penyebaran, hanyalah kemudahan dalam

perhitungan saja. Karakteristik utama dari simpangan

kuartil adalah:

• Apabila distribusinya simetris. Maka K1 dan K3

dipisahkan dari median dengan jarak yang sama

(equidistant). Karena itu, jika kita mengukur +- K dari

median kita menghitung 50 % bagian dari distribusi itu

karena kita telah mengukur kembali K1 dan K3.

• Apabila distribusinya menceng (skewed), seperti biasa

terjadi kita dapat mengambil +- K di sekitar median; dan

sementara kita tidak akan mencapai salah satu dari K1

atau K3, kita dapat mengharapkan dapat memper-

hitungkan +- 50 % dari bagian itu tanpa memperhatikan

besarnya kemencengan.

• Simpangan kuartil relatif tidak dipengaruhi oleh

simpangan-simpangan ekstrim. Di lain pihak karena

sangat tergantung pada nilai K1 dan K3, maka

reliabilitasnya tergantung pada derajad pemusatan

(degree of concentration) pada kuartil-kuartil populasi

dari mana sebuah sampel di ambil. Khususnya bila

terdapat kesenjangan-kesenjangan di dalam populasi di

sekitar kuartil, maka simpangan kuartil itu menjadi

tidak reliabel.

3. Simpangan Baku ( Standard Deviation)

Simpangan baku biasa disebut juga deviasi standar

atau standard deviation karena simpangan baku berasal dari

simpangan rata-rata yang telah dibakukan atau

distandarisasikan, sehingga memiliki kadar kepercayaan

atau reliabiitas yang lebih mantap. Oleh karena itu, dalam

analisis statistika simpangan baku ini mempunyai

kedudukan yang amat penting. Adapun karakteristik

umum dari simpangan baku adalah:

• Simpangan baku didasarkan atas simpangan setiap nilai

yang ada di dalam data. Karenanya, sebagaimana

halnya dengan simpangan rata-rata, simpangan baku

ini memberikan gambaran yang lebih baik mengenai

dispersi dari pada range dan simpangan kuartil.

• Simpangan baku dihitung dari rata-rata hitung nilai-

nilai yang ada dalam rata-rata, bukan dispersi di dalam

nilai-nilai tertentu seperti yang diukur dengan range dan

simpangan kuartil.

• Simpangan baku secara matematis adalah logis (masuk

akal), karena perhitungannya tidak memperhatikan

tanda-tanda positif dan negatif dari simpangan indi-

vidual. Kenyataan ini menambah kegunaan simpangan

baku dalam operasi matematis lebih lanjut.

• Bila setiap nilai dari data tertentu ditambah (dikurangi)

dengan sebuah bilangan tetap, simpangan baku tidak

terpengaruh. Hal ini benar karena rata-rata, seperti

pada setiap nilai, juga ditambah (dikurangi) dengan

bilangan tetap tersebut. Jadi, simpangan setiap nilai

dari rata-rata tidak terpengaruh. Tetapi bila setiap nilai

di dalam data dikalikan (dibagi) dengan sebuah

bilangan tetap, simpang baku juga dikalikan (dibagi)

dengan bilangan tetap itu.

Simpangan baku (standard deviation) merupakan ukuran

penyimpangan terhadap nilai rata-ratanya. Semakin kecil

simpangan baku, berarti semakin terkumpul distribusi skornya,

demikian pula sebaliknya. Dengan demikian maka semakin kecil

simpangan baku, maka semakin baik prediksi rata-rata sample

terhadap rata-rata populasinya. Atau dengan kata lain sekumpulan

skor sample maupun skor individual dapat menggambarkan

keseluruhan skor ( skor populasi).

Simpangan baku merupakan harga akar positif dari selisih

item data dengan nilai rata-rata yang dibagi oleh jumlah data (untuk

data tidak berkelompok). Jika ungkapan tersebut kita tuangkan

dalam bentuk rumus, maka rumus umum simpangan baku (s) atau

standard deviation (SD) ialah sebagai berikut:

a. Data Tunggal

Untuk seperangkat data X1, X2, X3, ........... Xn (data

tunggal) simpangan bakunya dapat ditentukan dengan

dua metode, yaitu metode biasa dan metode angka

kasar.

i. Metode Biasa

SD = ( )

1

1

2

−

−

=

∑=

n

xx

s

n

i

i

, untuk n ≤ 30 (6.7)

Atau

SD = ( )

n

xx

s

n

i

i∑=

−

=1

2

, untuk n > 30 (6.8)

Keterangan :

SD = s = Simpangan baku (Standard Deviation)


x = Nilai rata-rata hitung


ii. Metode Angka Kasar

s = 1

1

2

12

−

−∑∑

=

=

n

n

x

xn

i

n

i

i

i

, untuk n ≤ 30 (6.9)

Atau

s = n

n

x

xn

i

n

i

i

i∑∑

=

=

−1

2

12

, untuk n > 30 (6.10)

Keterangan :





Contoh 17:

Tentukan simpangan baku (standard

deviation) dari data berikut ini!

Nilai kelas VA:

115 110 86 82 97 100 82 95 89 54

Nilai kelas VB:

96 95 88 96 79 86 93 88 88 91

Jawab :

Standard deviation setiap kelas dihitung dengan cara:

Tabel Penolong Menghitung SD kelas VA

Kelas VA

ix x - x i 2

i )x - x(

115 25 625

109 19 361

85 -5 25

81 -9 81

96 6 36

99 9 81

81 -9 81

94 4 16

88 -2 4

52 -38 1444

Σ = 900 Σ = 2754

• Rata-rata hitung dari data adalah

n

x

x

n

i

i∑== 1 =

10

900

10

10

1 =

∑=i

ix

= 90

• Besarnya standard deviation adalah

SD = 1 -n

)x - (x s

2

i∑=

17,493 9

2754 s ==

Interprestasi dari nilai standard deviation 17,493 adalah bahwa

data menyebar sebesar 17,493 disekitar (baik di atas atau di bawah)

nilai rata-rata yang sebesar 90.

Tabel Penolong Menghitung SD kelas VB

Kelas VB

ix x - x i 2

i )x - x(

96 6 36

95 5 25

88 -2 4

96 6 36

79 -11 121

86 -4 16

93 3 9

88 -2 4

88 -2 4

91 1 1

Σ = 900 Σ = 256


n

x

x

n

i

i∑=

=1 =

10

900

10

10

1=

∑=i

ix

= 90


• SD = 1 -n

)x - (x s

2

i∑=

5,333 9

256 s ==

Interprestasi dari nilai standard deviation 5,333 adalah bahwa

data menyebar sebesar 5,333 disekitar (baik di atas atau di bawah)

nilai rata-rata (sebesar 90). Dari kedua data di atas dapat

disimpulkan bahwa meskipun sehimpunan data mempunyai nilai

rata-rata yang sama tetapi standard deviation nya belum tentu sama

juga. Standard deviation kelas VA (17,496) lebih besar dibanding

dengan standard deviation kelas VB (5,333). Hal ini menunjukkan

kemampuan anak di kelas VA lebih bervariasi (heterogen)

dibandingkan dengan kelas VB.

Contoh 18 :

Berikut ini adalah sampel nilai mid test statistika I dari

sekelompok mahasiswa di sebuah universitas.

30 35 42 50 58 66 74 82 90 98

Tentukan simpangan bakunya! (Gunakan kedua rumus).

Jawab :

Tabel Penolong Menghitung Simpangan Baku

ix x - x i 2

i )x - x( xi²

30 - 32,5 1.056,25 900

35 - 27,5 756,25 1.225

42 - 20,5 420,25 1.764

50 - 12,5 156,25 2.500

58 - 4,5 20,25 3.364

66 3,5 12,25 4.356

74 11,5 132,25 5.476

82 19,5 380,25 6.724

90 27,5 756,25 8.100

98 35,5 1.260,25 9.604

Σ = 625 Σ = 4.950,5 Σ = 44.013

i. Dengan metode biasa


n

x

x

n

i

i∑== 1 =

10

625

10

10

1 =

∑=i

ix

= 62,5


SD = 1 -n

)x - (x s

2

i∑= = 23,45

9

4950,5=

ii. Dengan metode angka kasar:

SD = s = 1

1

2

12

−

−∑∑

=

=

n

n

x

xn

i

n

i

i

i

=

( )

110

10

62544013

2

−

−

= 110

5.3906244013

−

−=

9

5.4950

= 056.550 = 23,45

b. Data Kelompok


simpangan bakunya dapat ditentukan dengan tiga

metode, yaitu metode biasa, metode angka kasar, dan

metode coding.

i. Metode Biasa

( )

11

1

2

−

−

=

∑

∑

=

=

k

i

i

k

i

ttii

f

xxf

s , untuk n ≤ 30 (6.11)

atau

( )

∑

∑

=

=

−

=k

i

i

k

i

ttii

f

xxf

s

1

1

2

, untuk n > 30 (6.12)

Keterangan :

s = SD = Standard Deviation = Simpangan Baku

xti = Nilai tengah kelas ke-i



k = banyaknya kelas


s = 1

1

1

1

2

12

−

−

∑

∑∑

∑

=

=

=

=

k

i

i

k

ik

i

i

k

i

tii

tii

f

f

xf

xf

, untuk n ≤ 30 (6.13)

atau

s =

∑

∑∑

∑

=

=

=

=

−

k

i

i

k

ik

i

i

k

i

tii

tii

f

f

xf

xf

1

1

1

2

12

, untuk n > 30 (6.14)

Keterangan :




k = banyaknya kelas

iii. Metode Coding

−

−

−

=

∑∑

∑

∑

∑

==

=

=

=

1111

2

1

1

1

2

k

i

i

k

i

i

k

i

ii

k

i

i

k

i

ii

ff

uf

f

uf

Is , untuk n ≤ 30 (6.15)

atau

2

1

1

1

1

2

−=

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

k

i

i

k

i

ii

k

i

i

k

i

ii

f

uf

f

uf

Is , untuk n > 30 (6.16)

Keterangan :


I = panjang interval kelas

fi = frekuensi kelas ke-i

k = banyaknya kelas di dalam pencaran frekuensi

ui = simpangan antara titik tengah kelas ke-i

dengan titik tengah kelas pertengahan di

bagi dengan interval kelas

Contoh 19:

Misalkan data yang tertera pada contoh 15 yang

telah dihitung simpangan rata-ratanya itu kita

cari simpangan bakunya, maka langkah yang

perlu ditempuh adalah sebagai berikut:

Tabel Penolong Perhitungan Deviasi Standar dari data Pada

Contoh 15

xi fi fi xi x - x i 2

i )x - x( fi 2

i )x - x(

31 4 124 + 3,8 14,44 57,76

30 4 120 + 28 7,84 31,26

29 5 145 + 1,8 3,24 16,20

28 7 196 + 0,8 0,64 4,48

27 12 324 - 0,2 0,04 0,48

26 8 208 - 1,2 1,44 11,52

25 5 125 - 2,2 4,84 24,20

24 3 72 - 3,2 10,24 30,72

23 2 46 - 4,2 17,64 35,28

Σ = 50 Σ = 1360 Σ = 212,00

Jawab :

1) Mencari rata-rata hitung untuk data

kelompok dengan rumus

∑

∑

=

==

k

i

i

k

i

ii

f

xf

x

1

1

50

1360= = 27,2

2) Mencari simpangan tiap-tiap skor yang ada

(kolom 4)

3) Menguadratkan semua simpangan yang ada

(kolom 5)

4) Mengalikan frekuensi (fi) dengan kuadrat

simpangan {2

i )x - x( }, sehingga diperoleh

∑fi2

i )x - x( = 212

5) Mencari simpangan bakunya dengan rumus:

( )

∑

∑

=

=

−

=k

i

i

k

i

ttii

f

xxf

s

1

1

2

24,450

212== = 2,06

Contoh 20:

Tentukan simpangan baku dari distribusi frekuensi pada

tabel di bawah ini! (gunakan ketiga rumus)

Tabel Berat Badan Mahasiswa STAIN Tahun 2007

Berat Badan (Kg) Frekuensi (f)

40 - 44 8

45 - 49 12

50 - 54 19

55 - 59 31

60 – 64 20

65 - 69 6

70 - 74 4

Jumlah 100

Jawab :

i. Metode biasa

Berat badan xti fi fi xti xti - tx ( xti - tx )2 fi ( xti - tx )²

40 - 44 42 8 336 -13,85 191,8225 1.534,58

45 - 49 47 12 564 -8,85 78,3225 939,87

50 - 54 52 19 988 -3,85 14,8225 281,63

55 - 59 57 31 1767 1,15 1,3225 40,99

60 – 64 62 20 1240 6,15 37.8225 756,45

65 - 69 67 6 402 11,15 124,3225 745,94

70 - 74 72 4 288 16,15 260,8225 1043,29

Jumlah 100 5585 5342,75

•

∑

∑

=

==

k

i

i

k

i

ii

f

xf

x

1

1

100

5585= = 55,85

•

( )

∑

∑

=

=

−

=k

i

i

k

i

ttii

f

xxf

s

1

1

2

4275,53100

75,5342== = 7,31

ii. Metode angka kasar

Berat Badan fi xti xti ² f i xti f i xti ²

40 - 44 8 42 1764 336 14112

45 - 49 12 47 2209 564 26508

50 - 54 19 52 2704 988 51376

55 - 59 31 57 3249 1767 100719

60 – 64 20 62 3844 1240 76880

65 - 69 6 67 4489 402 26934

70 - 74 4 72 5184 288 20736

Jumlah 100 5585 317265

s =

∑

∑∑

∑

=

=

=

=

−

k

i

i

k

ik

i

i

k

i

tii

tii

f

f

xf

xf

1

1

1

2

12

=100

100

5585317265

2

−

=100

25,311922317265 −

4275,53100

75,5342== = 7,31

iii. Metode coding

Berat Badan xti fi ui ui² fiui fiui²

40 – 44 42 8 -3 9 -24 72

45 – 49 47 12 -2 4 -24 48

50 – 54 52 19 -1 1 -19 19

55 – 59 57 31 0 0 0 0

60 – 64 62 20 1 1 20 20

65 – 69 67 6 2 4 12 24

70 – 74 72 4 3 9 12 36

Jumlah 100 100 -23 219

• ui I

xx tti −= ; 57=tx ; I = 5

•

2

1

1

1

1

2

−=

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

k

i

i

k

i

ii

k

i

i

k

i

ii

f

uf

f

uf

Is

2

100

23

100

2195

−−=

4619,1.51371,250529,019,25 ==−= = 7,31

D. RAGAM (VARIANCE)

Varians adalah nilai tengah kuadrat simpangan dari

nilai tengah atau simpangan rata-rata kuadrat. Untuk sampel,

variansnya (varians sampel) disimbolkan dengan s² sedang

untuk populasi, variansnya disimbolkan dengan σ2 (baca

sigma). Seperti halnya pada ukuran penyebaran yang lainnya,

maka perhitungan ragam ini dibedakan antara perhitungan

pada data tunggal dan data kelompok.

a. Data Tunggal

Untuk seperangkat data X1, X2, X3, ..... Xn (data

tunggal), variansnya dapat ditentukan dengan dua metode,

yaitu metode biasa dan metode angka kasar.

i. Metode biasa

( )

1

1

2

2

−

−

=

∑=

n

xx

s

n

i

i

, untuk n ≤ 30 (6.17)

atau

( )

n

xx

s

n

i

i∑=

−

=1

2

2 , untuk n > 30 (6.18)

Keterangan : s2 = variansi = ragam





1

1

2

12

2

−

−

=

∑∑

=

=

n

n

x

x

s

n

i

n

i

i

i

, untuk n ≤ 30 (6.19)

atau

n

n

x

x

s

n

i

n

i

i

i∑∑

=

=

−

=1

2

12

2 . untuk n > 30 (6.20)

Contoh 21:

Tentukan varians dari data berikut: 2, 3, 6, 8, 11 !

Jawab :

Tabel Pertolongan Menghitung Varians

xi x - x i 2

i )x - x( xi²

2 -4 16 4

3 -3 9 9

6 0 0 36

8 2 4 64

11 5 25 121

Σ = 30 Σ = 54 Σ = 234

i. Metode biasa

65

301===

∑=

n

x

x

n

i

i

( )

1

1

2

2

−

−

=

∑=

n

xx

s

n

i

i ( )

15

65

1

2

−

−

=

∑=i

ix

4

54= = 13,5


1

1

2

12

2

−

−

=

∑∑

=

=

n

n

x

x

s

n

i

n

i

i

i

( )

15

5

30234

2

−

−

=

5,134

54

4

180234==

−=

b. Data Kelompok


simpangan bakunya dapat ditentukan dengan tiga metode

yaitu metode biasa, metode angka kasar, dan metode

coding.

i. Metode Biasa

( )

11

1

2

2

−

−

=

∑

∑

=

=

k

i

i

k

i

ttii

f

xxf

s , untuk n ≤ 30 (6.21)

atau

( )

∑

∑

=

=

−

=k

i

i

k

i

ttii

f

xxf

s

1

1

2

2 , untuk n > 30 (6.22)

Keterangan :

s2 = variansi = ragam




k = banyaknya kelas


s2 = 1

1

1

1

2

12

−

−

∑

∑∑

∑

=

=

=

=

k

i

i

k

ik

i

i

k

i

tii

tii

f

f

xf

xf

, untuk n ≤ 30 (6.23)

atau

s2 =

∑

∑∑

∑

=

=

=

=

−

k

i

i

k

ik

i

i

k

i

tii

tii

f

f

xf

xf

1

1

1

2

12

, untuk n > 30 (6.24)

Keterangan :




k = banyaknya kelas

iii. Metode Coding

−

−

−

=

∑∑

∑

∑

∑

==

=

=

=

1111

2

1

1

1

2

22

k

i

i

k

i

i

k

i

ii

k

i

i

k

i

ii

ff

uf

f

uf

Is, untuk n ≤ 30 (6.25)

atau

−=

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

2

1

1

1

1

2

22

k

i

i

k

i

ii

k

i

i

k

i

ii

f

uf

f

uf

Is, untuk n > 30 (6.26)

Keterangan :


I = panjang interval kelas


k = banyaknya kelas

ui = simpangan antara titik tengah kelas ke-i dengan titik

tengah kelas pertengahan di bagi dengan interval

kelas

Contoh 22:

Tentukan varians dari distribusi frekuensi berikut:

Diameter (mm) Frekuensi

65 – 67

68 – 70

71 – 73

74 – 76

77 – 79

80 – 82

2

5

13

14

4

2

Jumlah 40

Jawab :

i. Dengan Metode biasa :

Diameter xti fi fi xti xti - tx ( xti - tx )2 fi (xti- tx )2

65 – 67

68 – 70

71 – 73

74 – 76

77 – 79

80 – 82

66

69

72

75

78

81

2

5

13

14

4

2

132

345

936

1050

312

162

-7,425

-4,425

-1,425

1,575

4,575

7,575

55,131

19,581

2,031

2,481

20,931

57,381

110,262

97,905

26,403

34,734

83,724

114,762

Jumlah - 40 2937 467,790

• 425,7340

2937

1

1===

∑

∑

=

=

k

i

i

k

i

tii

t

f

xf

x

•

( )

∑

∑

=

=

−

=k

i

i

k

i

ttii

f

xxf

s

1

1

2

2

40

790,467= = 11,69475

ii. Dengan Metode angka kasar

Diameter xti fi xti 2 fi xti fi xti 2

65 – 67

68 – 70

71 – 73

74 – 76

77 – 79

80 – 82

66

69

72

75

78

81

2

5

13

14

4

2

4356

4761

5184

5625

6084

6561

132

345

936

1050

312

162

8712

23805

67392

78750

24336

13122

Jumlah - 40 2937 216117

• s2 =

∑

∑∑

∑

=

=

=

=

−

k

i

i

k

ik

i

i

k

i

tii

tii

f

f

xf

xf

1

1

1

2

12

=

( )

40

225,215649216117

40

40

2937216117

2

−=

−

694375,1140

775,467==

iii. Dengan Metode coding

Diameter xti fi ui ui² fiui fiui²

65 – 67 66 2 -3 9 -6 18

68 – 70 69 5 -2 4 -10 20

71 – 73 72 13 -1 1 -13 13

74 – 76 75 14 0 0 0 0

77 – 79 78 4 1 1 4 4

80 – 82 81 2 2 4 4 8

Jumlah 40 -21 63

• ui I

xx tti −= ; 75=tx ; I = 3

•

−=

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

2

1

1

1

1

2

22

k

i

i

k

i

ii

k

i

i

k

i

ii

f

uf

f

uf

Is

−−=

2

2

40

21

40

633 { }22 525,0575,13 −=

= 9{1,575 – 0,275625}= 9 {1,299375}

= 11,694375

Hasil perhitungan dengan menggunakan ketiga rumus adalah

sama, namun dengan menggunakan rumus ke-3, perhitungan-

nya jauh lebih sederhana dan cepat.

E. KOEFISIEN VARIASI

Ukuran-ukuran dispersi atau variasi yang telah dibahas

sebelumnya merupakan dispersi absolut, seperti jangkauan,

simpangan rata-rata, simpangan kuartil, dan simpangan baku.

Ukuran dispersi absolut hanya dapat digunakan untuk melihat

penyimpangan-penyimpangan nilai yang terdapat pada

sekumpulan data, bukan untuk beberapa kumpulan data.

Untuk membandingkan dispersi atau variasi dari

beberapa kumpulan data digunakan istilah dispersi relatif, yaitu

perbandingan antara dispersi absolut dan rata-ratanya. Dispersi

relatif dirumuskan:

%100xrataRata

absolutDispersirelatifDispersi

−=

(6.27)

Ukuran dispersi ini dinyatakan dengan (%), gunanya

untuk mengamati prosentase variasi data atau sebaran data

dari meannya (rata-ratanya). Artinya semakin kecil koefisien

variasinya maka data semakin seragam (homogen), sebaliknya

semakin besar koefisien variasinya maka data semakin

heterogen.

Dispersi mutlak seperti yang telah diuraikan umumnya

dinyatakan dalam bentuk satuan original, misalnya: dalam

rupiah, kilogram, liter, dan sebagainya. Apabila diinginkan

untuk membandingkan dispersi dari dua buah rangkaian atau

lebih dengan mempergunakan ukuran mutlak akan sulit

dilakukan manakala rangkaian-rangkaian itu memiliki satuan

ukuran atau ukuran rata-rata yang berbeda satu dengan yang

lain. Misalkan kita ingin membandingkan dispersi antara gaji

pegawai negeri yang dibayar secara bulanan dengan upah

buruh kasar yang dibayar secara harian. Gaji dan upah

mempunyai ukuran rata-rata yang berlainan, gaji diukur atas

dasar bulanan sedang upah diukur atas dasar harian. Demikian

pula kita tidak dapat membandingkan secara mutlak dispersi

antara gula pasir yang mempunyai satuan berat kilogram

dengan tekstil yang mempunyai satuan panjang meter.

Untuk mengatasi kesulitan ini Karl Pearson (1857 –

1936) telah menciptakan ukuran lain yang disebut Koefisien

Variasi (KV). Ukuran ini merupakan ukuran yang relatif

sifatnya karena diperoleh dengan cara yang tidak langsung.

Dispersi relatif kemudian dikembangkan untuk mengetahui

variasi dari beberapa ukuran dispersi absolut, yaitu: variasi

jangkauan, variasi simpangan rata-rata, variasi simpangan

kuartil, dan variasi simpangan baku sebagai berikut:

1. Variasi Jangkauan (VR)

Variasi jangkauan adalah dispersi relatif yang dispersi

absolutnya digantikan dengan jangkauan. Variasi jangkauan

dirumuskan:

%100xx

RVR =

(6.28)

2. Variasi Simpangan Rata-Rata (VSR)

Variasi simpangan rata-rata adalah dispersi relatif yang

dispersi absolutnya digantikan dengan simpangan rata-rata.

Variasi simpangan rata-rata dirumuskan:

%100xx

SRVSR =

(6.29)

3. Variasi Kuartil (VK).

Variasi kuartil adalah dispersi relatif yang dispersi

absolutnya digantikan dengan kuartil. Variasi kuartil

dirumuskan:

%100x

x

SKVK =

(6.30) atau

%100xMe

SKVK =

(6.31) atau

%10013

13 xKK

KKVK

+

−=

(6.32)

4. Variasi Simpangan Baku (KV)

Variasi simpangan baku adalah dispersi relatif yang dispersi

absolutnya digantikan dengan simpangan baku. Variasi

simpangan baku ini lebih dikenal dengan istilah Koefisien Variasi. Koefisien variasi merupakan angka perbandingan

antara nilai simpangan baku (tingkat penyimpangan data )

dengan nilai rata-ratanya (nilai tengahnya). Rumus yang

digunakan untuk menghitung koefisien variasi data

berkelompok dan data tunggal adalah:

%100x

sKV = (6.33)

Keterangan : KV = Koefisien variasi



Contoh 23:

Dari suatu penelitian diketahui penjualan besi beton

di toko A dan toko B adalah sebagai berikut: rata-rata

kekuatan besi beton di toko A yang terjual adalah

55590 dengan simpangan baku 20. Sedangkan rata-

rata kekuatan besi beton di toko B yang terjual adalah

76000 dengan simpangan baku 25.

a. Tentukan koefisien variasi masing-masing!

b. Di toko mana sebaiknya kita membeli besi

beton!

Jawab :

a. %036,0%100590.55

20%100 === xx

x

sKV

A

A

A

%033,0%100000.76

25%100 === xx

x

sKV

B

B

B

Jadi, variasi kekuatan besi beton yang terjual

di toko A lebih besar dari pada variasi

kekuatan besi beton di toko B.

b. Sebaiknya membeli besi beton di toko B.

Contoh 24:

Dalam suatu sampel penelitian diketahui gaji

karyawan di dua perusahaan yang sedang

berkembang adalah sebagai berikut:

Perusahaan A : 250, 500, 550, 600, 300, 350, 400

Perusahaan B : 350, 450, 500, 750, 200, 250, 300

a. Tentukan dispersi relative dari kedua

perusahaan tersebut dengan menggunakan

keempat cara diatas !

b. Perusahaan manakah yang memiliki variasi gaji

lebih baik ?

Jawab :

Tabel Penolong Menghitung Dispersi

relative

Perusahaan A

ix │ x - x i │ 2

i )x - x(

250 171,4286 29387,76

300 121,4286 14744,9

350 71,42857 5102,041

400 21,42857 459,1837

500 78,57143 6173,469

550 128,5714 16530,61

600 178,5714 31887,76

Σ =2950 Σ =771,4286 Σ =104285,7

Perusahaan B

ix │ x - x i │ 2

i )x - x(

200 200 40000

250 150 22500

300 100 10000

350 50 2500

450 50 2500

500 100 10000

750 350 122500

Σ =2800 Σ =1000 Σ =210000

1. Perhitungan variasi jangkauan.

• RA = 600 – 250 = 350

=Ax 4286,4217

2950==

%100xx

RVR

A

A

A =

%05,83%1004286,421

350== x

• RB = 750 – 200 = 550

=Bx 4007

2800==

%100xx

RVR

B

B

B = %5,137%100400

550== x

2. Perhitungan variasi simpangan rata-rata

• SrA = n

xxn

i

i∑=

−1 2041,110

7

4286,771==

%100xx

SRVSR

A

A

A =

%15012,26%1004286,421

2041,110== x

• SrB = n

xxn

i

i∑=

−1 8571,142

7

1000==

%100xx

SRVSR

B

B

B =

%71429,35%100400

8571,142== x

3. Perhitungan variasi simpangan kuartil

• Urutan data Perusahaan A :

250, 300, 350, 400, 500, 550, 600

K1 = 300 K2 = 400 K3 = 550

SKA = ½ ( K3 – K1) = ½ (550 – 300) = ½ (250) = 125

%100xx

SKVK

A

A

A = %100xMe

SK

A

A=

%25,31%100400

125== x

• Urutan data Perusahaan B :

200, 250, 300, 350, 450, 500, 750

K1 = 250 K2 = 350 K3 = 500

SKA = ½ ( K3 – K1) = ½ (500 – 250) = ½ (250) = 125

%100xx

SKVK

B

B

B = %100xMe

SK

B

B=

%71429,35%100350

125== x

4. Perhitungan variasi simpangan baku

•

1 -n

)x - (x s

2

i

A

∑=

6

104285,71 =

131,8368417380,952 ==

%28,31%1004286,421

83684,131%100 === xx

x

sKV

A

A

A

•

1 -n

)x - (x s

2

i

B

∑=

6

210000 =

187,082935000 ==

%77,46%100400

0829,187%100 === xx

x

sKV

B

B

B

a. Dari perhitungan disperse relative di atas, terlihat

bahwa dispersi relative gaji perusahaan B lebih baik

dari pada disperse gaji perusahaan A.

b. Variasi gaji di perusahaan B lebih baik diban-

dingkan variasi gaji di perusahaan A.

F. ANGKA BAKU (STANDARD SKOR)

Angka baku (Z score) ialah bilangan yang menunjukkan

tingkat penyimpangan data dari mean dalam satuan

simpangan baku atau seberapa jauh suatu nilai tersebut

menyimpang dari rata-ratanya dengan satuan SD. Kegunaan

angka baku untuk untuk mengamati perubahan nilai kenaikan

dan nilai penurunan variable atau suatu gejala yang ada dari

meannya.Semakin kecil angka bakunya semakin kecil pula

perubahan variable tersebut dari nilai meannya. Sebaliknya

semakin besar angka bakunya semakin besar juga perubahan

angka baku dari nilai rata-ratanya. Dari uraian tersebut maka

dapat ditulis rumus untuk angka baku adalah:

SD

xxz

−= (6.34)

Keterangan z = angka baku

x = nilai variable

x = rata-rata hitung (mean)

SD = simpangan baku

Dalam penggunaan bilangan z sering dirubah menjadi

distribusi baru (model yang baru) yang mempunyai rata-rata x0

dan simpangan baku st.dv0 yang sudah ditentukan. Bilangan

yang diperoleh dengan cara ini disebut bilangan baku

(bilangan standar). Adapun rumus untuk memperoleh

bilangan baku sebagai berikut:

−+=

SD

xxSDxz 00 (6.35)

Keterangan:

z = angka baku

x = nilai variable

x = rata-rata hitung (mean)

SD = simpangan baku

0x = mean yang sudah ditentukan

SD0 = simpangan baku yang sudah ditentukan

Contoh 25:

Imah adalah mahasiswa STAIN yang semester ini

hanya mengambil 5 mata kuliah. Pada pertengahan

semester diperoleh data tentang nilai UTS dan rata-rata

kelas Imah sebagai berikut:

Bahasa Inggris : nilai 80 ; rata-rata 70; SD 5

Statistika : nilai 95 ; rata-rata 75; SD 4

Manaj. SDM : nilai 85 ; rata-rata 80; SD 5

Kewiraan : nilai 90 ; rata-rata 70; SD 10

Matematika : nilai 100; rata-rata 85; SD 5

Berdasarkan uraian kelima nilai di atas, bidang studi

apakah yang memperoleh nilai terbaik ?

Jawab:

Kalau dilihat dari besar nilainya, Matematika adalah

yang paling baik derajadnya yaitu 100, tetapi kalau

dinilai secara relative yaitu dibandingkan dengan rata-

rata kelasnya, maka kita peroleh hasil sebagai berikut:

15

8085)(

54

7595)(

25

7080)(

=−

=

=−

=

=−

=

MSDMz

Statz

BIz

35

85100)(

210

7090)(

=−

=

=−

=

Matz

Kewz

Berdasarkan kelima nilai tersebut yang lebih

baik ialah statistika. Atau kedudukan nilai Statistika

lebih tinggi dari pada nilai keempat mata kuliah

lainnya (matematika, Bahasa Inggris, kewiraan, dan

manajemen SDM).

Jika angka-angka di atas dimasukkan ke dalam

angka baku dengan rata-rata 50 dan simpangan baku

10, maka angka baku untuk kelima mata kuliah

tersebut adalah:

805

851001050)(

7010

70901050)(

805

80851050)(

1004

75951050)(

905

70801050)(

=

−+=

=

−+=

=

−+=

=

−+=

=

−+=

Matz

Kewz

MSDMz

Statz

BIz

Jadi nilai terbaik diperoleh Imah dari mata kuliah

Statistika.

Contoh 26:

Pak Adi adalah pedagang es campur di Jalan Bromo

Malang, penghasilan rata-ratanya adalah Rp.

25.000,00/hari dengan simpangan baku Rp. 500,00.

sedangkan Pak Bari adalah seorang pedagang es degan

di tempat yang sama mempunyai penghasilan rata-rata

Rp. 50.000,00/hari dengan simpangan baku Rp.

2.500,00. Sewaktu ada festival dan tontonan di Jalan

Bromo, maka pendapatan Pak Adi mengalami

peningkatan sehingga mencapai Rp. 75.000,00 dan Pak

Bari sebesar Rp. 100.000,00. Pedagang manakah yang

pendapatannya mengalami peningkatan yang

signifikan dikarenakan naiknya volume penjualan?

Jawab :

Pak Adi = 100500

000.25000.75=

−

Pak Bari = 20500.2

000.50000.100=

−

Berdasarkan analisa di atas, maka Pak Adi lebih

berhasil menaikkan volume penjualannya dengan

angka sebesar 100 dibanding Pak Bari yang cuma

mencapai angka 20.

G. LATIHAN SOAL

1. Jangkauan semi interkuartil dari data 9, 7, 12, 6, 14, 8, 10, 11

adalah ...

2. Dari daftar frekuensi data-data nilai suatu bidang studi

berikut, jangkauan semi interkuartilnya adalah . . . .

Nilai Frekuensi

50 3

53 4

61 5

70 3

3. Diketahui data 1, 4, 13, 7, 8, 4, x1, x2 yang memiliki mean 6

dan ragam 12,5. Tentukan nilai x1 dan x2.

4. Seorang guru ekonomi melakukan ujian tertulis pada 12

siswanya dan diperoleh nilai sebagai berikut.

Siswa ke-i Nilai

1 75

2 85

3 55

4 80

5 80

6 75

7 75

8 90

9 95

10 90

11 100

12 85

5. Hitung range, simpangan rata-rata, simpangan baku, dan

variansinya.

6. Diketahui data 1, 4, 13, 7, 8, 4, x1, x2 yang memiliki mean 6

dan ragam 12,5. Tentukan nilai x1 dan x2.

7. Berikut adalah data indeks harga konsumen gabungan di 43

kota di Indonesia, carilah standar deviasinya serta koefisien

relatifnya?

No Kelompok IHK

1 Bahan pangan 317

2 Makanan jadi 304

3 Perumahan 235

4 Sandang 285

5 Kesehatan 277

6 Pendidikan, rekreasi, dan olah raga 248

7 Transpor, dan komunikasi 255

8. Berikut adalah tingkat hunian hotel di beberapa kota di

Indonesia pada bulan Desember 2002

Kota % dari jumlah kamar tersedia

Medan 36

Padang 28

Jakarta 48

Bandung 34

Semarang 41

Yogyakarta 55

Surabaya 41

Denpasar 68

Menado 47

Makasar 32

a. Hitunglah range dari tingkat hunian hotel.

b. Hitunglah standar deviasinya.

c. Hitunglah koefisien relatifnya.

9. Berikut adalah harga saham sektor perikanan di BEJ pada

bulan Mei 2003:

Kisaran Harga Saham Jumlah Perusahaan

200–300 2

300–400 6

400–500 12

500–600 4

600–700 3

a. Hitunglah deviasi rata-rata

b. Hitunglah standar deviasi

10. Berikut adalah data kepadatan jumlah penduduk

Kabupaten Bengkulu Selatan pada tahun 2003.

Kecamatan Kepadatan Penduduk

Manna 129

Kota Manna 342

Kedurang 53

Seginim 171

Pino 62

Pino Raya 68

Hitunglah koefisien kecondongan dari kepadatan jumlah

penduduk, apabila koefisien negatif condong ke kiri berarti

penduduk mengarah ke perkotaan dan sebaliknya.

11. Berikut adalah realisasi pembangunan perumahan melalui

KPR BTN dalam unit selama tahun 2002 di Wilayah

Sumatera.

Propinsi Unit

Aceh 18

Sumatera Utara 324

Sumatera Barat 216

Riau 468

Jambi 120

Sumatera Selatan 302

Bengkulu 152

Lampung 176

a. Hitunglah range dari tingkat realisasi pembangunan

rumah melalui KPR BTN.

b. Hitunglah standar deviasinya.

c. Hitunglah koefisien relatifnya.

12. Luas tanaman perkebunan rakyat di Indonesia berkisar 3,6

juta hektar. Dari luas lahan tersebut yang relatif besar

adalah perkebunan karet. Luas perkebunan karet antara 539

sampai 557 ribu hektar. Data statistik menunjukkan selama

1997-2002 rata-rata luas lahan mencapai 546 ribu hektar dan

standar deviasinya mencapai 8 ribu hektar. Hitunglah:

a. Koefisien standar deviasi

b. Berapa kisaran produksi luas lahan karet untuk 95%

dari seluruh luas lahan yang ada sepanjang tahun 1997-

2002

H. DAFTAR PUSTAKA

Hartono. Statistik Untuk Penelitian. Yogyakarta: LSFK2P, 2004.

Hasan, Iqbal. Pokok-pokok Materi Statistik 1 (Statistik

Deskriptif). Jakarta: PT. Bumi Aksara. 2008.

Irianto, Agus. Statistik Konsep Dasar dan Aplikasinya. Jakarta:

Kencana, 2007.

Mangkuatmodjo, Soegyarto. Pengantar Statistik. Jakarta: Rineka

Cipta, 2003.

Riduan. Statistika1. Bandung: Alfabeta, 2001.

Saleh, Samsubar. Statistik Deskriptif. Yogyakarta: UPP AMP

YKDN, 1998.

Sudjana. Statistik Metoda Grafis. Bandung: Tarsito, 1996.

Sujiono, Anas.Pengantar Statistik Pendidikan. Jakarta: PT Raja

Grafindo Persada, 2005.

Usman, Husain. Pengantar Statistika. Bandung: Bumi Angkasa,

2006.

BAB VII

UKURAN KEMENCENGAN (SKEWNESS)

A. PENDAHULUAN

Seperti telah kita ketahui bahwa bentuk distribusi

frekuensi pada dasarnya ada tiga, yaitu distribusi frekuensi

yang berbentuk simetris (biasa disebut dengan bentuk

lonceng), distribusi frekuensi yang bentuknya menceng kanan,

dan distribusi frekuensi yang bentuknya menceng kiri.

Kemencengan ini mempengaruhi letak nilai rata-rata hitung,

median, dan modus. Dalam suatu pencaran frekuensi yang

simetris, nilai rata-rata hitung, median, dan modus adalah sama

ketiga-tiganya dan ketiganya akan berbeda jika pencaran

frekuensi itu tidak simetris.

Contoh :

Tabel Pertolongan Perhitungan Dari 3 Kelompok Distribusi

Frekuensi

Kelas X Kelompok I Kelompok II Kelompok III

f U fU fU2 f U fU fU2 f U fU fU2

5-9 7 2 -2 -4 8 5 -2 -10 20 6 -2 -12 24

10-14 12 16 -1 -16 16 10 -1 -10 10 10 -1 -10 10

15-19 17 14 0 0 0 15 0 0 0 12 0 0 0

20-24 22 12 1 12 12 15 1 15 15 14 1 14 14

Distribusi Frekuensi Kelompok I :

•

∑

∑

=

=+=

k

i

i

k

i

ii

Me

f

uf

Ixx

1

1 = 17 + 5

60

30= 19,5

• SD = =

−=

−

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

2

2

1

1

1

1

2

60

30

60

1305

k

i

i

k

i

ii

k

i

i

k

i

ii

f

uf

f

uf

I 6,9222

• 79,18514

18305,14 =

−+=Me

• 875,135214

145,9 =

++=Mo

•

∑

∑

=

=+=

k

i

i

k

i

ii

Me

f

uf

Ixx

1

1 = 17 + 5 60

30= 19,5

• SD =

=

−=

−

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

2

2

1

1

1

1

2

60

30

60

1305

k

i

i

k

i

ii

k

i

i

k

i

ii

f

uf

f

uf

I

6,9222

25-29 27 10 2 20 40 10 2 20 40 16 2 32 64

30-34 32 6 3 18 54 5 3 15 45 2 3 6 18

60 30 130 60 30 130 60 30 130

• 5,19515

15305,14 =

−+=Me

• 5,19505

55,14 =

++=Mo

Gambar 17. Distribusi Frekuensi Menceng Kanan

Distribusi Frekuensi Kelompok II :

•

∑

∑

=

=+=

k

i

i

k

i

ii

Me

f

uf

Ixx

1

1 = 17 + 5 60

30= 19,5

• SD = =

−=

−

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

2

2

1

1

1

1

2

60

30

60

1305

k

i

i

k

i

ii

k

i

i

k

i

ii

f

uf

f

uf

I 6,9222

• 5,19515

15305,14 =

−+=Me

• 5,19505

55,14 =

++=Mo

0

10

20

7 12 17 22 27 32Fre

ku

en

si

Titik Tengah Kelas

Kelompok 1

0

10

20

7 12 17 22 27 32

Fre

ku

en

si

Titik Tengah Kelas

Kelompok 1

Gambar 18. Distribusi Frekuensi Yang Simetris

Distribusi Frekuensi Kelompok III :

•

∑

∑

=

=+=

k

i

i

k

i

ii

Me

f

uf

Ixx

1

1 = 22 + 5 60

30−= 19,5

• SD = =

−−=

−

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

2

2

1

1

1

1

2

60

30

60

1305

k

i

i

k

i

ii

k

i

i

k

i

ii

f

uf

f

uf

I

6,9222

• 21,20514

28305,19 =

−+=Me

• 214,255142

25,24 =

++=Mo

0

10

20

7 12 17 22 27 32

Fre

ku

en

si

Titik Tengah Kelas

Kelompok 2

0

10

20

7 12 17 22 27 32

Fre

ku

en

si

Titik Tengah Kelas

Kelompok 2

Gambar 19. Distribusi Frekuensi Menceng Kiri

Dari analisa diatas diperoleh hasil bahwa hubungan antara

nilai Mean, Median, dan Modus pada ketiga kelompok adalah

sebagai berikut:

Kelompok 1 : Mean > Median > Modus

Kelompok 2 : Mean = Median = Modus

Kelompok 3 : Mean < Median < Modus

Jadi meskipun ketiga distribusi frekuensi diatas

mempunyai mean dan standar deviasi yang sama, namun

nilai median dan modus yang berbeda maka bentuk kurvany

juga berbeda. Hal ini akan lebih jelas jika kita lihat pada

grafiknya.

Dari gambar di atas dapat dikatakan bahwa kelompok 1

adalah distribusi frekuensi yang kurvanya memiliki ekor lebih

memanjang ke kanan (dilihat dari meannya) sehingga dapat

dikatakan kurva menceng kanan. Sedangkan kelompok 2 adalah

distribusi frekuensi yang kurvanya berbentuk simetris, dan

kelompok 3 adalah distribusi frekuensi yang kurvanya memiliki

ekor lebih memanjang ke kiri (dilihat dari meannya) sehingga

0

10

20

7 12 17 22 27 32

Fre

ku

en

si

Titik Tengah Kelas

Kelompok 3

Gambar 19. Distribusi Frekuensi Menceng Kiri

Dari analisa diatas diperoleh hasil bahwa hubungan antara

pada ketiga kelompok adalah

Mean > Median > Modus

Mean = Median = Modus

Mean < Median < Modus

eskipun ketiga distribusi frekuensi diatas

dan standar deviasi yang sama, namun karena

bentuk kurvanya

pada gambar

Dari gambar di atas dapat dikatakan bahwa kelompok 1

adalah distribusi frekuensi yang kurvanya memiliki ekor lebih

memanjang ke kanan (dilihat dari meannya) sehingga dapat

takan kurva menceng kanan. Sedangkan kelompok 2 adalah

distribusi frekuensi yang kurvanya berbentuk simetris, dan

kelompok 3 adalah distribusi frekuensi yang kurvanya memiliki

ekor lebih memanjang ke kiri (dilihat dari meannya) sehingga

dapat dikatakan kurva menceng kiri. Dewasa ini untuk

mengetahui bahwa konsentrasi distribusi menceng ke kanan atau

ke kiri kita tidak harus menggunakan metode grafis seperti yang

sudah kita lakukan di atas. Karena metode seperti ini sangat

tidak efisien sebab untuk melakukannya kita memerlukan waktu

yang relatif lama. Salah satu cara singkat yang dapat digunakan

untuk menentukan kemencengan atau ketidaksimetrisan suatu

distribusi data adalah menggunakan koefisien kemencengan

(skewness).

Sebuah distribusi yang tidak simetris akan memiliki rata-

rata, median, dan modus yang tidak sama besarnya

( )MoMex ≠≠ , sehingga distribusi akan terkonsentrasi pada

salah satu sisi dan kurvanya akan menceng. Makin tinggi derajat

asimetri dari pencaran frekuensi itu makin besar pula

penyimpangan antara ketiga macam nilai rata-rata itu. Oleh

karena itu, dapat dimengerti dengan mudah mengapa orang

memakai selisih antar ketiga nilai tersebut itu sebagai ukuran

atau sebagai dasar untuk menentukan ukuran skewness.

Sebagai ukuran yang kasar bagi skewness, kita dapat

memakai selisih itu. Jika sebuah pencaran mempunyai skewness

yang positif, maka nilai rata-rata hitung lebih besar daripada

modus atau ( )Mox − adalah positif. Sebaliknya, jika pencaran

frekuensi mempunyai skewness yang negative, maka modus lebih

besar dari nilai rata-rata hitung sehingga ( )Mox − adalah

negatif. Akan tetapi, pemakaian selisih antara nilai rata-rata

hitung itu dengan modus ini memiliki kelemahan yaitu

pemakaian selisih antara nilai rata-rata hitung itu dengan modus

ini akan berubah dengan adanya perubahan skala (satuan

ukuran), akibatnya ukuran kasar ini menjadi tidak bisa dipakai

lagi.

Tetapi dewasa ini orang telah mendapatkan jalan untuk

menghindarkan kesulitan yang ditimbulkan oleh skala itu, yaitu

dengan membagi selisih antara nilai rata-rata hitung dan modus

dengan standar deviasi. Karena selisih dan standar deviasi itu

mempunyai satuan yang sama, maka hasil bagi, yang dipakai

sebagai ukuran bagi skewness itu, tidak mempunyai satuan sama

sekali (hanya bilangan saja).

Secara perhitungan, skewness adalah hasil momen ketiga

terhadap mean. Distribusi normal dan distribusi simetris lainnya

(misalnya distribusi t atau Cauchy) memiliki skewness 0 (nol).

Adapun untuk menentukan koefisien skewness dapat digunakan

berbagai metode antara lain : koefisien kemencengan Pearson,

koefisien kemencengan Bowley, koefisien kemencengan Moment,

dan koefisien kemencengan Persentil.

B. KOEFISIEN KEMENCENGAN PEARSON

Untuk mengukur derajat kemencengan suatu distribusi

frekuensi biasanya dinyatakan dengan koefisien kemencengan

yang mula-mula dirumuskan oleh Karl Pearson. Koefisien

kemencengan ini kemudian kita kenal dengan koefisien Pearson

yaitu ukuran kemencengan yang dinyatakan dengan sk. Adapun

koefisien skewness pearson yang pertama adalah

SD

Moxsk

−=1 (7.1)

Keterangan :

sk1 = Koefisien skewness pearson yang pertama

x = Mean (rata-rata)

Mo = Modus

SD = Standar Deviasi

Akan tetapi rumus tersebut akan mengalami kesulitan

dalam pemakaiannya jika sebuah distribusi frekuensi

mempunyai Modus yang lebih dari satu. Adanya kenyataan

bahwa kebanyakan modus dari suatu distribusi frekuensi

hanyalah merupakan suatu perkiraan semata semakin mele-

mahkan validitas rumus di atas. Menurut Karl Pearson, distribusi

frekuensi yang asimetris secara umum mempunyai ketentuan

bahwa hubungan antara harga rata-rata hitung, median, dan

modus adalah:

( )MexMox −=− 3

– ( )MexMo −= 3 – x

( )xMeMo −= 3 + x

xMeMo 23 −=

Oleh karena itu perumusan Pearson tentang koefisien

skewness yang pertama diatas dapat dirubah menjadi :

( )

SD

Mex

SD

xMex

SD

xMexsk

33

23

23

−=

+−=

−−=

( )

SD

Mexsk

−=

32 (7.2)

Keterangan :

sk2 = Koefisien skewness pearson yang kedua

x = Mean (rata-rata)

Me = Median

SD = Standar Deviasi

Dengan menggunakan rumus skewness pearson yang

kedua tersebut, maka ketiga distribusi frekuensi dalam contoh

di atas dapat dihitung koefisien kemencengannya, sebagai

berikut :

Distribusi Frekuensi Kelompok I :

( )3223,0

98,6

75,185,1932 =

−=sk

Distribusi Frekuensi Kelompok II :

( )0

98,6

5,195,1932 =

−=sk

Distribusi Frekuensi Kelompok III :

( )3052,0

98,6

21,205,1932 −=

−=sk

Dari hasil perhitungan di atas dapat di simpulkan

bahwa secara umum besarnya koefisien skewness mempunyai

ketentuan sebagai berikut :

• jika koefisien skewness positif, berarti distribusi frekuensinya

menceng positif, yaitu ekor kurvanya panjang (menjulur) ke

kanan

• jika koefisien skewness sama dengan nol, berarti distribusi

frekuensinya simetris

• jika koefisien skewness negatif, berarti distribusi frekuensinya

menceng negatif, yaitu ekor kurvanya panjang (menjulur)

ke kiri

Contoh 1 :

Berikut ini adalah data nilai ujian statistik dari 40

orang mahasiswa sebuah universitas.

Tabel Nilai Ujian Statistik Pada Semester II 1997

Nilai Ujian Frekuensi

31-40 4

41-50 3

51-60 5

61-70 8

71-80 11

81-90 7

91-100 2

Jumlah 40

a. Tentukan nilai sk dan ujilah arah

kemencengannya (gunakan kedua rumus

tersebut)

b. Gambarlah kurvanya

Jawab :

Nilai xi fi fi xi ui ui2 fi ui fi ui2

31 - 40 35,5 4 142 -4 16 -16 64

41 - 50 45,5 3 136,5 -3 9 -9 27

51 - 60 55,5 5 277,5 -2 4 -10 20

61 - 70 65,5 9 589,5 -1 1 -8 8

71 - 80 75,5 10 755 0 0 0 0

81 - 90 85,5 7 598,5 1 1 7 7

91 - 100 95,5 2 191 2 4 4 8

Jumlah 40 2690 -32 124

• Diketahui: ui I

xx tti −= ; 5,65=tx ; I =

10

•

∑

∑

=

==

k

i

i

k

i

ii

f

xf

x

1

1

40

2690= = 67,25

• If

ff

BMem

ksmt

b

−

+=2

1

109

12402

1

5,60

−

+=

109

12205,60

−+= 4,69

9

805,60 =

+=

• Iba

aBMo b

++= 10

31

15,70

++=

735,25,704

105,70 =+=

+=

•

2

1

1

1

1

2

−=

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

k

i

i

k

i

ii

k

i

i

k

i

ii

f

uf

f

uf

ISD

2

40

7

40

10910

−=

694375,210030625,0725,210 =−=

641455,1.10= = 16,41455

a. SD

Moxsk

−=1

= 41455,16

7325,67 −

= – 0,3503

( )

SD

Mexsk

−=

32

= 41455,16

45,6

41455,16

)4,6925,67(3 −=

−

= – 0,3929

b. Oleh karena nilai sk-nya negative (–0,3503 atau –

0,3929) maka kurvanya menceng ke kiri atau

skewness negatif.

Gambar Kurvanya :

Gambar 20. Kurva nilai ujian statistik 40 mahasiswa

0

5

10

15

35.5 45.5 55.5 65.5 75.5 85.5 95.5

Fre

ku

en

si

Titik Tengah Kelas

Contoh 2 :

Diketahui bahwa sebuah sebaran frekuensi memiliki

rata-rata hitung 45 unit, median 47 unit, modus 49

unit, dan simpang baku 3,5 unit. Tentukan koefisien

kemencengan dari sebaran tersebut.

Jawab :

Dengan rumus Pearson yang pertama diperoleh hasil :

1428,15,3

4

5,3

)4945(1 −=

−=

−=sk

Dengan rumus Pearson yang kedua diperoleh hasil :

7143,15,3

6

5,3

)4745(32 −=

−=

−=sk

Koefisien kemencengan Pearson akan positif apabila rata-rata

hitung lebih besar dari median dan modus, dan akan negatif apabila rata-rata hitung lebih kecil dari median dan modus.

C. KOEFISIEN KEMENCENGAN BOWLEY

Koefisien Bowley merupakan rumusan yang lebih

sederhana dari Koefisien Pearson yang diformulasikan oleh

A.L. Bowley. Rumusan ini didasarkan atas hubungan antara

statistik kuartil K1, K3 dan median (K2) dari suatu distribusi.

Dasar-dasar Statistika perumusan Koefisien Bowley adalah:

• simetris, maka jarak antara kedua kuartil (K1 dan K3)

dengan median (K2) harus sama : {K3 – K2 = K2 – K1},

sedangkan pada yang:

• asimetris, jarak keduanya tidak sama : jika { K3 – K2 > K2 –

K1} maka kurva akan menjulur positif atau jika { K3 – K2 <

K2 – K1} maka kurva akan menjulur negatif.

Secara umum koefisien Bowley (skB) dirumuskan menjadi :

skB = )K ( )K (

)K ( )K (

1223

1223

−+−

−−−

KK

KK

= )K (

)K ( )K (

13

1223

−

−+−

K

KK

skB = )K (

)2K K (

13

213

−

−+

K

K

(7.3)

Keterangan :

skB = koefisien kemencengan Bowley.

Ki = kuartil ke-i

Koefisien kemencengan Bowley sering juga disebut Kuartil

Koefisien Kemencengan. Apabila nilai skB dihubungkan dengan

keadaan kurva, didapatkan:

1) Jika K3 – K2 > K2 – K1 maka distribusi akan menceng ke

kanan atau menceng secara positif.

2) Jika K3 – K2 < K2 – K1 maka distribusi akan menceng ke

kiri atau menceng secara negatif.

3) skB positif, berarti distribusi menceng ke kanan.

4) skB negatif, berarti distribusi menceng ke kiri.

5) skB = + 0,10 menggambarkan distribusi yang menceng

tidak signifikan.

skB > + 0,30 menggambarkan kurva yang menceng

signifikan.

Contoh 1 :

Tentukan kemencengan kurva dari distribusi

frekuensi berikut !

Tabel Nilai Ujian Matematika Dasar 1

Nilai Ujian Frekuensi

20,00 – 29,99

30,00 – 39,99

40,00 – 49,99

50,00 – 59,99

60,00 – 69,99

70,00 – 79,99

4

8

25

40

28

5

Jumlah 110

Jawab :

• Untuk p = 1 diperoleh 5,271104

1

4==tf

p yang

berarti kelas kuartil pertama adalah kelas 40,00 –

49,99

XK1 = If

ffB

K

st

b

−+

1

141

= 1025

12110995,39 4

1

−+

= 39,995 + 6,2

= 46,195

• Untuk p = 2 diperoleh 551104

2

4==tf

p yang


59,99

XK2 = If

ffB

K

st

b

−+

2

242

= 1040

37110995,49 4

2

−+

= 49,995 + 4,5

= 54,495


3

4==tf

p yang


69,99

XK2 = If

ffB

K

st

b

−+

2

242

= 1028

77110995,59 4

3

−+

= 59,995 + 1,964

= 61,959

• skB = )K (

)2K K (

13

213

−

−+

K

K

= 495,46959,61

)495,54(2195,46959,61

−

−+

= 05406,0464,15

836,0−=

−

Karena skB negative (– 0,05406) maka kurva menceng

ke kiri dengan kemencengan yang tidak signifikan.

Gambar 21. Kurva Nilai Ujian Matematika Dasar 1

Contoh 2 :

Dalam suatu penelitian di desa “X” akan diamati

kuantitas kedelai yang dihasilkan desa tersebut.

Untuk keperluan itu maka sampel diambil dari 8

petani pada satu masa produksi dengan hasil sebagai

berikut : 13 10 8 5 4 2 4 2 . Tentukanlah tingkat

produktifitas kedelai di desa “X” tersebut !

Jawab :

Data diurutkan terlebih dahulu menjadi: 2, 2, 4, 4, 5, 8, 10, 13

• K1 = ( )

( )23225,2

4

918

4

1 25,0 XXXXXX −+===+

( ) 5,25,022425,02 =+=−+=

0

10

20

30

40

50

24.995 34.995 44.995 54.995 64.995 74.995

Fre

ku

en

si

Titik Tengah Kelas

• K2 = ( )

( )4545,4

4

1818

4

2 5,0 XXXXXX −+===+

( ) 5,45,04455,04 =+=−+=

• K3 = ( )

( )67675,6

4

2718

4

3 75,0 XXXXXX −+===+

( ) 5,95,1881075,08 =+=−+=

Sehingga diperoleh :

skB = )K (

)2K K (

13

213

−

−+

K

K=

( )

)2,5 5,9(

)4,52 2,5 5,9(

−

−+= 4286,0

7

3=

Berarti distribusi ini menjulur positif secara signifikan. Hasil

ini bermakna bahwa kemenjuluran distribusi produksi

kedelai tersebut bersifat positif secara nyata atau bermakna,

dan ini menunjukkan bahwa produktifitas kedelai di desa

“X” sangat dominant yang rendah.

Gambar 22. Kurva Kuantitas produksi kedelai

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 5 10 15

Fre

ku

en

si

Kuantitas

D. KOEFISIEN KEMENCENGAN MOMENT

Koefisien kemencengan momen didasarkan pada

perbandingan moment ke-3 dengan pangkat tiga simpangan

baku. Koefisien kemencengan moment dilambangkan dengan

α3. Koefisien kemencengan moment disebut juga kemencengan relatif. Apabila nilai α3 dihubungkan dengan keadaan kurva,

didapatkan :

1. untuk distribusi simetris (normal), nilai α3 = 0

2. untuk distribusi menceng ke kanan, nilai α3 = +

(positif)

3. untuk distribusi menceng ke kiri, nilai α3 = – (negatif)

4. menurut Karl Pearson, distribusi yang memiliki nilai

α3 > + 0,50 adalah distribusi yang sangat menceng.

5. menurut Kenney dan Keeping, nilai α3 bervariasi antara

+ 2 bagi distribusi yang menceng.

Untuk mencari nilai α3 dibedakan antara data tunggal dan data

berkelompok:

1. Data tunggal

Koefisien kemencengan momen untuk data tunggal

dirumuskan :

( )∑=

−==n

i

i xxSDnSD

m

1

3

33

3

3

1α (7.4)

Keterangan :

3α = koefisien kemencengan moment

m3 = moment ke -3

n = banyaknya data

xi = data ke-i

x = rata-rata hitung

SD = standar deviasi

Contoh 3:

Tentukan nilai α3 dari data : 2, 3, 4, 5, 9, 11

Jawab :

ix x - x i 2

i )x - x( 3

i )x - x(

2 -4 16 - 64

3 -3 9 - 27

5 -1 1 - 1

9 3 9 27

11 5 25 125

Σ = 30 - Σ = 60 Σ = 60


n

x

x

n

i

i∑=

=1 = 6

5

30

5

5

1 ==

∑=i

ix


SD = 1 -n

)x - (x s

2

i∑= 3,873

4

60==

• Koefisien kemencengan momentnya adalah

( )∑=

−==n

i

i xxSDnSD

m

1

3

33

33

1α

( )( )

( )( )60

873,35

1

873,35

13

5

1

3

3=−= ∑

=i

i xx

206556,04775,290

60==

2. Data kelompok

Jika datanya tersusun di dalam sebuah pencaran frekuensi

(Data kelompok) maka koefisien kemencengannya dihitung

dengan dua cara sebagai berikut :

i. Metode moment biasa

( )∑=

−==k

i

ii

t

fxxSDfSD

m

1

3

33

33

1α (7.5)

Keterangan :


m3 = moment ke -3


ft = frekuensi total

xi = nilai tengah kelas data ke-i

x = rata-rata hitung titik tengah

k = banyaknya kelas


Contoh 4:

Tentukan tingkat kemencengan dari distribusi

frekuensi di bawah ini dengan menggunakan koefisien

kemencengan moment!

Tabel 3. Usia Peserta Diklat Di 10 Klinik

Usia Peserta Frekuensi

15 – 19 1

20 – 24 29

25 – 29 43

30 – 34 41

35 – 39 24

40 – 44 12

Jumlah 150

Jawab :

Tabel Penolong Menghitung skewness

Usia xti fi fi xti xti - tx fi ( xti - tx )2 fi (xti- tx )3

15 – 19

20 – 24

25 – 29

30 – 34

35 – 39

40 – 44

17

22

27

32

37

42

1

29

43

41

24

12

17

638

1161

1312

888

504

-13,133

-8,1333

-3,1333

1,86667

6,86667

11,8667

172,484

1918,38

422,164

142,862

1131,63

1689,81

-2265,3

-15603

-1322,8

266,676

7770,5

20052,5

Jumlah - 150 4520 5477,33 8898,71


1333,30150

4520

1

1===

∑

∑

=

=

k

i

i

k

i

tii

f

xf

x


( )

∑

∑

=

=

−

=k

i

i

k

i

ttii

f

xxf

SD

1

1

2

150

33,5477= = 6,04281


( )∑=

−==k

i

ii

t

fxxSDfSD

m

1

3

33

3

3

1α

( ) 486,33098

71,889871,8898

04281,6150

13

==

= 0,26886

ii. Metode Coding (Cara Singkat Perhitungan Koefisien Skewness)

+

−=

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

=

=

=

3

1

1

1

1

1

1

2

1

1

3

3

3

3 23k

i

i

k

i

ii

k

i

i

k

i

ii

k

i

i

k

i

ii

k

i

i

k

i

ii

f

fu

f

fu

f

fu

f

fu

SD

Iα

(7.6)

Keterangan :


I = interval kelas



u = simpangan antara titik tengah kelas ke-i dengan titik

tengah kelas pertengahan di bagi dengan interval kelas


Contoh 5:

Dengan soal yang sama pada contoh di atas, tentukan koefisien

kemencengan dari distribusi frekuensi tersebut dengan

menggunakan cara singkat (metode coding)!

Jawab :

Usia xti fi ui fiui fiui2 fiui3

15 – 19

20 – 24

25 – 29

30 – 34

35 – 39

40 – 44

17

22

27

32

37

42

1

29

43

41

24

12

-2

-1

0

1

2

3

-2

-29

0

41

48

36

4

29

0

41

96

108

-8

-29

0

41

192

324

Jumlah 150 - 94 278 520

• ui I

xx tti −= ; 27=tx

• I = 5

•

2

2

1

1

1

1

2

150

94

150

2785

−=

−=

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

k

i

i

k

i

ii

k

i

i

k

i

ii

f

uf

f

uf

ISD

39271,085333,1562672,085333,152

−=−=

( )20856,1546062,15 == = 6,0428

•

+

−=

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

=

=

=

3

1

1

1

1

1

1

2

1

1

3

3

3

3 23k

i

i

k

i

ii

k

i

i

k

i

ii

k

i

i

k

i

ii

k

i

i

k

i

ii

f

fu

f

fu

f

fu

f

fu

SD

Iα

( )

+

−=

3

3

3

150

942

150

94

150

2783

150

520

0428,6

5

( ) ( ) ( ){ }362667,0262667,085333,1346667,3

65545,220

125+−=

( ){ }246099,0248428,346667,356649,0 +−=

{ }492198,048428,346667,356649,0 +−=

{ }474588,056649,0= = 0,26885

Gambar 23. Kurva Usia Peserta Diklat Di 10 Klinik

Dalam pemakaiannya, terlihat bahwa rumus kedua lebih

praktis dan lebih mudah penerapan perhitungannya.

0

10

20

30

40

50

17 22 27 32 37 42

Fre

ku

en

si

Titik Tengah Kelas

E. KOEFISIEN KEMENCENGAN PERSENTIL

Koefisien kemencengan persentil diperoleh berdasarkan

atas hubungan antar persentil (P90, P50 dan P10) dari sebuah

distribusi. Koefisien kemencengan persentil dinotasikan dengan

skp dengan rumus sebagai berikut:

skp = 1090

10505090 )()(

PP

PPPP

−

−−−

skp = 1090

105090 2

PP

PPP

−

+− (7.7)

Keterangan :

skp = koefisien kemencengan persentil

Pi = persentil ke-i

Contoh 6:

Tentukan nilai skP dari distribusi frekuensi berikut !

Tabel Upah 65 Karyawan Perusahaan “Z”, 1997

Upah (ratusan ribu rupiah) Frekuensi

250,00 – 259,99

260,00 – 269,99

270,00 – 279,99

280,00 – 289,99

290,00 – 299,99

300,00 – 309,99

310,00 – 319,99

8

10

16

14

10

5

2

Jumlah 65

Jawab :

Untuk mencari persentil ke-10, 50, dan persentil ke-90, terlebih

dahulu dicari kelas persentil ke-10, 50, dan ke-90.


10

100==tf

p yang berarti

kelas persentil ke-10 adalah kelas 250,00 – 259,99

XP10 = If

ffB

P

st

b

−+

10

10100

10

= 99,108

065995,249 100

10

−+

= 249,995 + 8,929375

= 258,929325


50

100==tf

p yang berarti


XP50 = If

ffB

P

st

b

−+

50

50100

50

= 99,1016

1865995,269 100

50

−+

= 269,995 + 9,95969

= 279,95469


90

100==tf

p yang berarti


XP90 = If

ffB

P

st

b

−+

90

90100

90

= 99,105

5865995,299 100

90

−+

= 299,995 + 1,099

= 301,094

skp = 1090

105090 2

PP

PPP

−

+−

= 929325,258094,301

929325,258)95469,279(2094,301

−

+−

= 164675,42

929325,25890938,559094,301 +−

=164675,42

113945,0

= 0,0027024

Hasil ini menunjukkan bahwa distribusi ini mempunyai

kemenjuluran positif yang relatif tidak bermakna, atau

kurva relatif simetris.

Gambar 24. Kurva Upah 65 Karyawan Perusahaan “

F. LATIHAN SOAL

1. Diberikan rata-rata 78.3, standar deviasi 10.8, median 77.9,

selidiki apakah data tersebut berdistribusi normal, miring ke

kanan, atau miring ke kiri ?

2. Dari data pada table dibawah ini, tentukan

kemiringan dan jenisnya (skewness)!

Nilai Ujian Frekuensi (fi)

21-30

31-40

41-50

51-60

61-70

3

2

5

25

15

Jumlah 50

Upah 65 Karyawan Perusahaan “Z”, 1997

rata 78.3, standar deviasi 10.8, median 77.9,

berdistribusi normal, miring ke

tentukan koefisien

3. Diketahui data minat masyarakat pada satu acara reality

show yang disiarkan oleh satu stasiun TV swasta yang

berjumlah 54 responden adalah sebagai berikut :

Nilai Tengah (Xi) Frekuensi

12.5

17.5

22.5

27.5

32.5

37.5

42.5

3

7

16

12

9

5

2

Pertanyaan :

a. Hitunglah standard deviasi (s) dari data tersebut !

b. Hitunglah ukuran Skewness-nya dan tentukan jenisnya !

4. Diketahui pencaran frekuensi data motivasi kerja suatu

departemen yang berjumlah 100 personil adalah sebagai

berikut :


60

65

70

75

80

85

90

2

3

18

42

27

5

3

Pertanyaan :


b. Hitunglah ukuran Skewness-nya dan tentukan jenisnya !

G. DAFTAR PUSTAKA

Hasan, Iqbal. Pokok-pokok Materi Statistik I (Statistik deskriptif).

Jakarta : Bumi Aksara. 2008

Mangkuatmojo, Soegyarto. Pengantar Statistik. Jakarta : Rineka

Cipta. 2003

Mustafa. Zainal. Pengantar Statistik Deskriptif. Yogyakarta. Surya

Sarana utama. 1998

Hanafiah, kemas Ali. Dasar-dasar Statistik. Jakarta : Raja Grafindo

Persada. 2006

BAB VIII

UKURAN KERUNCINGAN (KURTOSIS)

A. PENDAHULUAN

Setelah kita bicarakan ukuran kemencengan dari suatu

distribusi frekuensi, baiklah sekarang kita bicarakan ukuran

keruncingan bagi suatu distribusi frekuensi. Keruncingan dari

suatu distribusi frekuensi biasa disebut dengan “Kurtosis” atau

“Peakedness” sedangkan ukuran derajat keruncingannya disebut

“Koefisien Kurtosis”. Ada beberapa pengertian dari kurtosis,

diantaranya:

1. Kurtosis adalah ukuran keruncingan untuk menentukan

jenis kurva dari suatu pencaran frekuensi data.

2. Kurtosis adalah derajat keruncingan suatu distribusi

(biasanya diatur relatif terhadap distribusi normal).

3. Kurtosis adalah ukuran kelancipan distribusi data dimana

distribusi normal sebagai pembanding.

4. Keruncingan atau kurtosis adalah tingkat kepuncakan dari

sebuah distribusi yang biasanya diambil secara relatif

terhadap suatu distribusi normal.

5. Kurtosis adalah derajat kepuncakan suatu distribusi yang

biasanya diambil relatif terhadap suatu distribusi normal.

Dari beberapa definisi di atas, dapat disimpulkan bahwa

kurtosis adalah ukuran keruncingan sebuah pencaran frekuensi

data. Ditinjau dari sudut keruncingan, pencaran frekuensi dapat

dibagi atas tiga kelompok, yaitu pencaran frekuensi yang

leptokurtik, pencaran frekuensi yang platykurtik, dan pencaran

yang mesokurtik. Kurva yang lebih lebih runcing dari distribusi

normal dinamakan leptokurtik, yang lebih datar platykurtik dan

yang berdistribusi normal disebut mesokurtik. Kurtosis dihitung

dari momen keempat terhadap mean. Distribusi normal memiliki

kurtosis = 3, sementara distribusi yang leptokurtik biasanya

kurtosisnya > 3 dan platikurtik kurtosisnya < 3.

Salah satu manfaat dari koefisien kurtosis adalah untuk

mengetahui bagaimanakah bentuk / derajat keruncingan dari

suatu distribusi frekuensi, karena seringkali terjadi bahwa

beberapa distribusi frekuensi yang mempunyai mean (rata-rata),

standar deviasi dan ukuran kemencengan sama tetapi berbeda

tingkat keruncingannya.

Dibawah ini diberikan contoh 2 kelompok distribusi

frekuensi yang mempunyai mean, standar deviasi dan ukuran

kemencengan yang sama tetapi ukuran keruncingannya yang

dimiliki ternyata berbeda.

Tabel Perhitungan Mean, Standar Deviasi Dan Kemencengan Dari 2

Distribusi Frekuensi

Kelas xi Kelompok I Kelompok II

f u f.u fu2 f u f.u fu2

2 – 6

7 – 11

12 – 16

17 – 21

4

9

14

19

7

8

10

40

-3

-2

-1

0

-21

-16

-10

0

63

32

10

0

5

10

20

20

-3

-2

-1

0

-15

-20

-20

0

45

40

20

0

22 – 26

27 – 31

32 – 36

24

29

34

10

8

7

1

2

3

10

16

21

10

32

63

20

10

5

1

2

3

20

20

15

20

40

45

90 0 0 210 90 0 0 210

Distribusi Frekuensi Kelompok I

•

∑

∑

=

=+=

k

i

i

k

i

ii

Me

f

uf

Ixx

1

1 = 19 + 5 90

0= 19

• SD = =

−=

−

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

2

2

1

1

1

1

2

90

0

90

2105

k

i

i

k

i

ii

k

i

i

k

i

ii

f

uf

f

uf

I

7,6376

• =

−+= 5

40

25455,16Me 19

• =

++= 5

3030

305,16Mo 19

• sk2 = 6376,7

)1919(3 − = 0

Distribusi Frekuensi Kelompok II

•

∑

∑

=

=+=

k

i

i

k

i

ii

Me

f

uf

Ixx

1

1 = 19 + 5 90

0= 19

• SD = =

−=

−

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

2

2

1

1

1

1

2

90

0

90

2105

k

i

i

k

i

ii

k

i

i

k

i

ii

f

uf

f

uf

I

7,6376

• =

−+= 5

20

35455,16Me 19

• =

++= 5

00

05,16Mo 16,5

• sk2 = 6376,7

)1919(3 − = 0

Gambar 25. Histogram dan kurva distribusi frekuensi kelompok I

0

20

40

60

4 9 14 19 24 29 34

Fre

ku

en

si

Titik Tengah Kelas

Kelompok I

0

10

20

30

40

50

4 9 14 19 24 29 34

Fre

ku

en

si

Titik Tengah Kelas

Gambar 26. Histogram dan kurva distribusi frekuensi

kelompok II

Dari analisa diatas ( baik melalui hitungan maupun grafis)

jelas sekali terlihat bahwa kedua distribusi frekuensi diatas

walaupun mempunyai mean, standar deviasi dan kemencengan

yang sama ternyata berbeda tingkat keruncingannya.

Berdasarkan keruncingannya, kurva suatu distribusi data

dapat dibedakan menjadi tiga macam, yaitu :

1. Leptokurtik

Leptokurtik merupakan distribusi yang memiliki puncak

relatif tinggi. Pencaran yang leptokurtik adalah pencaran

yang agak sempit pada bagian puncaknya. Pencaran-

pencaran frekuensi yang mendekati bentuk runcing, pada

umumnya, termasuk pencaran yang leptokurtik. Pada

pencaran yang demikian, kebanyakan dari frekuensi

tersebar pada interval yang pendek sekitar harga rata-rata

hitung, sehingga hanya sedikit data yang tersebar lebih jauh

dari harga rata-rata hitung. (Gambar 27. menunjukkan

sebuah contoh distribusi frekuensi yang leptokurtik.)

0

20

40

4 9 1419242934Fre

ku

en

asi

Titik Tengah Kelas

Kelompok II

0

5

10

15

20

25

4 9 14 19 24 29 34

Fre

ku

en

si

Titik Tengah Kelas

2. Platykurtik

Platykurtik merupakan distribusi yang memiliki puncak

hampir mendatar. Pencaran platykurtik mempunyai puncak

yang agak mendatar (tumpul) sehingga pencaran itu seolah-

olah berbentuk lebar. Di dalam pencaran seperti ini, data

tersebar agak merata pada seluruh kelas-kelas, kecuali pada

beberapa kelas-kelas pertama dan terakhir. (Gambar 29.

menunjukkan sebuah contoh distribusi frekuensi yang

platykurtik).

3. Mesokurtik

Mesokurtik merupakan distribusi yang memiliki puncak

tidak tinggi dan tidak mendatar. Pencaran frekuensi yang

tidak leptokurtik dan tidak platykurtik dinamakan pencaran

yang mesokurtik. Bila distribusinya merupakan distibusi

simetris maka distribusi mesokurtik dianggap sebagai

distribusi normal. Jadi pencaran data yang berdistribusi

normal adalah suatu pencaran yang mesokurtik. (Gambar 28.

menunjukkan sebuah contoh distribusi frekuensi yang

mesokurtik.)

Gambar 27. Gambar 28. Gambar 29.

Tabel Klasifikasi Ukuran Kurtosis

No Kelas Ukuran Kurtosis α4

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

Sangat platikurtik

Agak platikurtik

Platikurtik

Kurang mesokurtik

Mesokurtik (normal)

Lebih mesokurtik

Agak leptokurtik

Leptokurtik

Sangat leptokurtik

< 1,00

1,00 – 1,99

2,00 – 2,33

2,34 – 2,66

2,67 – 3,33

3,34 – 4,50

4,51 – 5,99

6,00 – 9,00

>9

Untuk mengetahui keruncingan suatu distribusi, ada berbagai

ukuran yang bisa dipakai. Ukuran yang sering digunakan

adalah koefisien kurtosis metode moment dan koefisien kurtosis

persentil.

B. KOEFISIEN KURTOSIS METODE MOMENT

Ukuran yang paling banyak dipakai untuk menentukan

kurtosis suatu data adalah hasil bagi moment keempat sekitar

harga rata-rata hitung dengan pangkat empat dari standard

deviasi. Ukuran tersebut tidak mempunyai satuan dan biasanya

dinyatakan dengan α4(alpha 4) dan dinamakan moment

coefficient of kurtosis. Secara umum ukuran keruncingan suatu

data dapat dibedakan dalam 3 kriteria yaitu:

1. Jika nilai α4 kurang dari 3 (< 3) maka distribusinya adalah

distribusi platikurtik = sangat datar

2. Jika nilai α4 lebih dari 3 (> 3) maka distribusinya adalah

distribusi leptokurtic = sangat runcing

3. Jika nilai α4 sama dengan 3 (= 3) maka distribusinya adalah

distribusi mesokurtik = sedang

Berdasarkan keterangan di atas maka ukuran

keruncingan (kurtosis) yang diberi simbol α4 dapat dituliskan

dalam bentuk rumus sebagai berikut :

α4 = 2

2

4

m

m

(8.1)

dimana m4 =

m2 =

Dalam aplikasinya penulisan rumus koefisien kurtosis

ini dibedakan menurut bentuk datanya yaitu data tunggal atau

data kelompok.

1. Data tunggal

α4 = 4

4

SD

m = ( )∑

=

−n

i

i xxSDn 1

4

4

1 (8.2)

Keterangan :

α4 = koefisien kurtosis/ukuran keruncingan

m4 = moment ke-4

n = banyaknya data

∑=

−n

i

xxn 1

4

1 )(1

∑=

−n

i

i xxn 1

2)(1

xi = data ke-i

x = rata-rata hitung


Contoh 1:

Diketahui nilai kuiz mata kuliah statistik adalah sebagai berikut :

95, 90, 80, 85, 70, 100, 60, 65.

Hitunglah koefisien kurtosisnya!

Jawab :

Tabel Penolong Menghitung Kurtosis

xi xi – x (xi – x )2 (xi – x )4

95

90

80

85

70

100

60

65

14,4

9,4

-0,6

4,4

-10,6

19,4

-20,6

-15,6

207,36

88,36

0,36

19,36

112,36

376,36

424,36

243,36

42998,17

7807,49

0,13

374,81

12624,77

141646,85

180081,41

59224,09

645 1471,88 444757,72


8

6451==

∑=

n

x

x

n

i

i

= 80,6


SD =

( )5,1427,210

18

88,1471

1

1

2

==−

=−

−∑=

n

xxn

i

i

• Koefisien keruncingan momentnya adalah

α4 = ( )∑=

−n

i

i xxSDn 1

4

4

1

= . 444757,72

=

=

= 1,2576

Karena nilai α4 = 1,2576 < 3,0, maka kurvanya berbentuk

platykurtik atau sangat datar.

Contoh 2:

Tentukan nilai α4 dari data : 2, 3, 5, 9, 11

Jawab :

Tabel Penolong Menghitung Kurtosis

xi xi –

x

2

i )x - x( 3

i )x - x( 4

i )x - x(

2 -4 16 - 64 256

3 -3 9 - 27 81

5 -1 1 - 1 1

45,14.8

1

06,44205.8

72,444757

48,353640

72,444757

9 3 9 27 81

11 5 25 125 625

Σ =

30 - Σ = 60 Σ = 60

1044


n

x

x

n

i

i∑=

=1 = 6

5

30

5

5

1 ==

∑=i

ix


SD = 1 -n

)x - (x s

2

i∑= 3,873

4

60==


( )∑=

−==n

i

i xxSDnSD

m

1

3

33

33

1α

( )( )

( )( )60

873,35

1

873,35

13

5

1

3

3=−= ∑

=i

i xx

206556,04775,290

60==

• Koefisien keruncingan momentnya adalah

( )∑=

−==n

i

i xxdevstndevst

m

1

4

44

44

.

1

.α

( ) ( ) 0967875,5625

1044

0193575,11255

1044

873,35

10444

===

= 0,1855968

Karena nilai α4 (=0,1855968) < 3 maka distribusi frekuensi

tersebut mempunyai bentuk yang platykurtik.

2. Data kelompok

i. Metode Moment Biasa

α4 = 4

4

SD

m = ( )∑

=

−k

i

itii

t

fxxSDf 1

4

4

1 (8.3)

Keterangan :

α4 = koefisien kurtosis/ukuran keruncingan

m4 = moment ke-4


ft = frekuensi total

xti = nilai tengah kelas data ke-i

ix = rata-rata hitung titik tengah

k = banyaknya kelas


Contoh 3:

Carilah koefisien kurtosis dari data berikut ini!

Kelas f

30-34

35-39

40-44

45-49

50-54

55-59

6

13

5

10

15

1

Jawab :

Tabel Penolong Menghitung Kurtosis Data Kelompok

Kelas fi xi fi xi xi – x (xi – x )2 fi (xi – x )2 (xi – x )4 fi (xi – x )4

30-34

35-39

40-44

45-49

50-54

55-59

6

13

5

10

15

1

32

37

42

47

52

57

192

481

210

470

780

57

-11,8

-6,8

-1,8

3,2

8,2

13,2

139,24

46,24

3,24

10,24

67,24

174,24

835,44

601,12

16,2

102,4

1008,6

174,24

19387,78

2138,14

10,49

104,86

4521,22

30359,58

116326,68

27795,82

52,45

1048,6

67818,3

30359,58

50 2190 2738 243401,43

•

50

2190

1

1==

∑

∑

=

=

k

i

i

n

i

ii

f

xf

x = 43,8

• SD =

( )88,55

150

2738

11

1

2

=−

=

−

−

∑

∑

=

=

k

i

i

k

i

ii

f

xxf

= 7,47

• α4 = ( )∑=

−k

i

itii

t

fxxSDf 1

4

4

1

= . 243401,43

=

447,7.50

1

74,3113.50

243401,43

=

= 1,5634

Karena nilai α4 = 1, 5634 < 3, maka kurvanya berbentuk

platykurtik atau sangat datar.

ii. Metode Coding (Cara Singkat)

Selain rumus-rumus tersebut, ada rumus singkat

perhitungan koefisien kurtosis, sebagai berikut :

−

+

−=

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

=

=

===

=

=

=

=

=

4

1

1

2

11

2

1

1

1

1

3

1

1

4

4

4

4 364k

i

i

k

i

ii

k

i

i

ii

k

i

i

ii

k

i

i

k

i

ii

k

i

i

k

i

ii

k

i

i

k

i

ii

f

fu

f

fu

f

fu

f

fu

f

fu

f

fu

SD

Iα

(8.4)

Keterangan :

=4α koefisien kurtosis / ukuran keruncingan

I = interval kelas



ui = simpangan antara titik tengah kelas ke-i dengan titik

tengah kelas pertengahan di bagi dengan interval

kelas


Contoh 4:

Berikut ini adalah nilai DP3 untuk 34 PNS

Tabel Distribusi Nilai DP3

155687

3401,4342

Hitunglah koefisien kurtosis-nya dengan menggunakan metode

coding!

Jawab :

Kelas fi xi fi xi xi – x (xi – x )2 fi (xi – x )2 ui ui. fi ui2. fi ui3. fi ui4. fi

48 – 54

55 – 61

62 – 68

69 – 75

76 – 82

83 – 89

90 – 96

1

2

7

12

7

3

2

51

58

65

72

79

86

93

51

116

455

864

553

258

186

-22,03

-15,03

-8,03

-1,03

5,97

12,97

19,97

485,32

225,9

64,48

1,06

35,64

168,22

398,8

485,32

451,8

451,36

12,72

249,48

504,66

797,6

-3

-2

-1

0

1

2

3

-3

-4

-7

0

7

6

6

9

8

7

0

7

12

18

-27

-16

-7

0

7

24

54

81

32

7

0

7

48

162

34 2483 2952,94 5 61 35 337

•

I

xxu

tii −= ; I = 7 ; tix = 72

Nilai DP3 frek

48 – 54

55 – 61

62 – 68

69 – 75

76 – 82

83 – 89

90 – 96

1

2

7

12

7

3

2

total 34

•

34

2483

1

1 ==

∑

∑

=

=

k

i

i

n

i

ii

f

xf

x = 73,03

• SD =

( )48,89

134

94,2952

11

1

2

=−

=

−

−

∑

∑

=

=

k

i

i

k

i

ii

f

xxf

= 9,46

•

−

+

−=

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

=

=

===

=

=

=

=

=

4

1

1

2

11

2

1

1

1

1

3

1

1

4

4

4

4 364k

i

i

k

i

ii

k

i

i

ii

k

i

i

ii

k

i

i

k

i

ii

k

i

i

k

i

ii

k

i

i

k

i

ii

f

fu

f

fu

f

fu

f

fu

f

fu

f

fu

SD

Iα

=

= {9,9 – 4 (1,03) (0,15) + 6 (1,8) (0,15)2 – 3 (0,15)4}

= 0,29 {9,9 – 4 (0,1545) + 6 (1,8) (0,0225) – 3 (0,0005)}

= 0,29 {9,9 – 0,618 + 0,243 – 0,0015}

= 0,29 {9,5235}

= 2,7618

Jadi nilai α4 = 2, 7618 < 3, maka termasuk jenis mesokurtik atau

normal.

−

+

−

42

4

4

34

53

34

5

34

616

34

5

34

354

34

337

46,9

7

75,8008

2401

Gambar 30. Histogram nilai DP3

Contoh 5 :

Berikut ini distribusi frekuensi dari pengukuran diameter pipa.

Tabel Distribusi Diameter Pipa

Diameter (mm) Frekuensi

65 – 67

68 – 70

71 – 73

74 – 76

77 – 79

80 – 82

2

5

13

14

4

2

Jumlah 40

0

5

10

15

51 58 65 72 79 86 93

Fre

ku

en

si

Titik Tengah Kelas

0

5

10

15

51 58 65 72 79 86 93

Fre

ku

en

si

Titik Tengah Kelas

a. Tentukan nilai koefisien keruncingannya dan

bentuknya !

b. Gambarkan grafiknya !

Jawab :

Diameter xi fi fi xi xi – x fi (xi – x )2 (xi – x )4 fi (xi – x )4

65 – 67

68 – 70

71 – 73

74 – 76

77 – 79

80 – 82

66

69

72

75

78

81

2

5

13

14

4

2

132

345

936

1050

312

162

-7,425

-4,425

-1,425

1,575

4,575

7,575

110,2613

97,90312

26,39812

34,72875

83,7225

114,7613

3.039,3858

383,4009

4,1234

6,1535

438,0911

3.292,5361

6.078,7716

1.917,0044

53,6047

86,1490

1.752,3642

6.585,0722

Jumlah 40 2937 - 467,775 16.472,9661

•

40

2937

1

1==

∑

∑

=

=

k

i

i

n

i

ii

f

xf

x = 73,425

• SD =

( )99423,11

140

775,467

11

1

2

=−

=

−

−

∑

∑

=

=

k

i

i

k

i

ii

f

xxf

=

3,46327

• α4 = ( )∑=

−k

i

itii

t

fxxSDf 1

4

4

1

= ( )97,16472)46327,3(40

14

= ( )8616,14340

97,16472

= 463,5754

97,16472

= 2,862642

Karena nilai α4 = 2,862642 hampir sama atau sama dengan 3

maka bentuk kurvanya adalah mesokurtik atau sedang.

Dengan rumus kedua, perhitungan α4 ialah sebagai berikut :

Diameter xi fi ui ui 2 ui 3 ui 4 fi ui fi ui 2 fi ui 3 fi ui 4

65 – 67

68 – 70

71 – 73

74 – 76

77 – 79

80 – 82

66

69

72

75

78

81

2

5

13

14

4

2

-3

-2

-1

0

1

2

9

4

1

0

1

4

-27

-8

-1

0

1

8

81

16

1

0

1

16

-6

-10

-13

0

4

4

18

20

13

0

4

8

-54

-40

-13

0

4

16

162

80

13

0

4

32

Jumlah 40 -21 63 -87 291

•

I

xxu

tii −= ; I = 3 ; tix = 75

• SD =

2

1

1

1

1

2

−

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

k

i

i

k

i

ii

k

i

i

k

i

ii

f

uf

f

uf

I

( )2

2

525,0575,1340

21

40

633 −=

−−=

( )139901,13299375,13275625,0575,13 ==−=

= 3,419704 =3,42

•

−

+

−=

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

4

1

1

2

1

1

1

1

2

1

1

1

1

3

1

1

4

4

4

4 364k

i

i

k

i

ii

k

i

i

k

i

ii

k

i

i

k

i

ii

k

i

i

k

i

ii

k

i

i

k

i

ii

k

i

i

k

i

ii

f

fu

f

fu

f

fu

f

fu

f

fu

f

fu

SD

Iα

( )

−−

−

+

−

−−=

42

4

4

40

213

40

21

40

636

40

21

40

874

40

291

42,3

3

( )

−−

−

+

−

−−=

42

4 40

213

40

21

40

636

40

21

40

874

40

291

42,3

81

( )( ) ( )( ) ( ){ }42525,03525,0 575,1 6525,0 175,2 4275,7

8058,136

81−−−+−−−=

= 0,59208 { 7,275 – 4,5675 + 2,6046563 – 0,2279074 }

= 0,59208 {5,0842488}

= 3,0102835

Karena nilai α4 (3,0102835) hampir sama atau sama dengan 3

maka bentuk kurvanya adalah mesokurtik atau sedang.

b. Gambar grafiknya adalah :

Gambar 31. Histogram Ukuran Diameter Pipa

Adapun langkah-langkah mengerjakan atau mencari

kurtosis sebuah pencaran data adalah:

1. Untuk memudahkan dalam mengerjakan atu mencari

koefisien kurtosis, maka diperlukan “tabel penolong”

sebagai berikut :

a. Untuk data tunggal dengan rumus,

α4 = ( )∑=

−k

i

itii

t

fxxSDf 1

4

4

1, maka tabelnya sebagai

berikut :

xi xi - (xi - )2 (xi - )4

Σ xi Σ (xi - )2 Σ (xi - )4

Untuk x , diperoleh dari n

x

x

n

i

i∑=

=1

0

5

10

15

20

66 69 72 75 78 81

Fre

ku

en

si

Titik Tengah Kelas

x x x

x x

0

5

10

15

66 69 72 75 78 81

Fre

ku

en

si

Titik Tengah Kelas

b. Untuk data kelompok dengan rumus :

α4 = ( )∑=

−k

i

itii

t

fxxSDf 1

4

4

1, maka tabelnya sebagai

berikut :

Kelas xi fi fi xi xi – x (xi – x )2 fi (xi – x )2 (xi – x )4 fi (xi – x )4

Σfi Σ fi

xi

Σfi (xi – x )2 Σ fi (xi – x )4

Untuk x , diperoleh dari

∑

∑

=

==

k

i

i

n

i

ii

f

xf

x

1

1

c. Untuk data berkelompok dengan rumus singkat, maka

tabel yang dibutuhkan adalah :

Kelas fi xi fi xi xi – x (xi – x )2 fi (xi – x )2 ui ui.fi ui2.fi ui3.fi ui4.fi

Σ fi Σ fi xi Σfi (xi – x )2 Σuifi Σui2.fi Σui3.fi Σui4.fi

Untuk x , diperoleh dari

∑

∑

=

==

k

i

i

n

i

ii

f

xf

x

1

1 dan

I

xxu

tii −=

2. Setelah membuat dan mengisi “tabel penolong” di atas,

langkah selanjutnya adalah mencari standar deviasi (SD)

dengan memasukkan data dari tabel tersebut, kedalam

rumus :

a. Untuk data tunggal, SD =1 -n

)x - (x

2

i∑

b. Untuk data kelompok,

( )

11

1

2

−

−

=

∑

∑

=

=

k

i

i

k

i

ii

f

xxf

SD

3. Langkah selanjutnya adalah mencari koefisien kurtosis (α4)

dengan memasukkan data-data yang terdapat dalam tabel

kedalam rumus koefisien kurtosis yang telah dijelaskan

sebelumnya.

4. Tentukan jenis kurtosis dari data tersebut, apakah termasuk

mesokurtik, platykurtik atau leptokurtik.

C. KOEFISIEN KURTOSIS PERSENTIL

Koefisien Kurtosis Persentil dilambangkan dengan K

(kappa). Untuk distribusi normal, nilai K adalah 0,263.

Koefisien Kurtosis Persentil dapat dirumuskan sebagai berikut:

( )

1090

1321

PP

KKK

−

−= (8.5)

Keterangan :

K = Koefisien Kurtosis Persentil

K1 = Kuartil ke-1

K3 = Kuartil ke-3

P10 = Persentil ke-10

P90 = Persentil ke-90

Contoh 6:

Berikut ini disajikan tabel distribusi frekuensi dari tinggi 66

mahasiswa universitas XYZ.

a. Tentukan koefisien kurtosis persentil (K)!

b. Apakah distribusinya termasuk distribusi normal?

c. Gambarkan grafiknya !

Tabel Tinggi Mahasiswa Universitas “XYZ”

Tinggi (cm) Frekuensi (f)

160 – 162 7

163 – 165 18

166 – 168 6

169 – 171 27

172 – 174 8

Jumlah 66

Jawab :

• Kelas kuartil ke-1 = kelas yang memuat data ke tfp

4 =

5,16664

1= yaitu kelas 163 – 165.

• K1 = If

ffB

K

st

b

−+

1

14

1

= 318

7665,162 4

1

−+

= 318

5,95,162

+ =

+

18

5,285,162

= 162,5 + 1,58333 = 164,08333

• Kelas kuartil ke-3 = kelas yang memuat data ke tfp

4 =

5,49664

3= yaitu kelas 169 – 171.

• K3 = If

ffB

K

st

b

−+

3

34

3

= 327

31665,168 4

3

−+

= 327

5,185,168

+ =

+

27

5,555,168

= 168,5 + 2,05555 = 170,55555

• Kelas persentil ke-10 = kelas yang memuat data ke tfp

100

= 6,666100

10= yaitu kelas 160 – 162

• P10 = If

ffB

P

st

b

−+

10

10100

10

= 37

0665,159 100

10

−+

= 37

6,65,159

+ =

+

7

8,195,159

= 159,5 + 2,82857 = 162,32857

• Kelas persentil ke-90= kelas yang memuat data ke tfp

100

= 4,5966100

90= yaitu kelas 172 – 174

• P90 = If

ffB

P

st

b

−+

90

90100

90

= 38

58665,171 100

90

−+

= 38

4,15,171

+ =

+

8

2,45,171 = 171,5 + 0,525 =

172,025

a. ( )

1090

1321

PP

KKK

−

−=

=32857,162025,172

)08333,16455555,170(2

1

−

−

= 69643,9

23611,3

69643,9

)47222,6(2

1

=

= 0,33374

b. Karena nilai K = 0,33374 (K > 0,263 ) maka

distribusinya bukan distribusi normal

c. Gambar grafiknya adalah

Gambar 32. Histogram Tinggi Mahasiswa Universitas “XYZ”

0

10

20

30

160 170 180

Fre

ku

en

si

Titik Tengah Kelas

0

10

20

30

161 164 167 170 173

Fre

ku

en

si

Titik Tengah Kelas

D. LATIHAN SOAL

1. Diketahui data minat masyarakat pada satu acara reality

show yang disiarkan oleh satu stasiun TV swasta yang

berjumlah 54 responden adalah sebagai berikut :


12.5

17.5

22.5

27.5

32.5

37.5

42.5

3

7

16

12

9

5

2

Pertanyaan :


b. Hitunglah ukuran Kurtosis-nya dan tentukan jenisnya !

2. Diketahui pencaran frekuensi data motivasi kerja suatu

departemen yang berjumlah 100 personil adalah sebagai

berikut :


60

65

70

75

80

85

90

2

3

18

42

27

5

3

Pertanyaan :


b. Hitunglah ukuran Kurtosis-nya dan tentukan jenisnya !

3. Berikut adalah data nilai ekspor minyak mentah menurut

negara tujuan pada tahun 2002:

Negara Nilai (juta US$)

Jepang 1840

Singapura 413

Cina 857

Australia 718

Amerika Serikat 380

Korea Selatan 788

Hitunglah koefisien kecondongan dari nilai ekspor minyak

mentah dan apa kesimpulannya!

4. Berikut adalah data kepadatan jumlah penduduk

Kabupaten Bengkulu Selatan pada tahun 2003.

Kecamatan Kepadatan Penduduk

Manna 129

Kota Manna 342

Kedurang 53

Seginim 171

Pino 62

Pino Raya 68

Hitunglah koefisien kecondongan dari kepadatan jumlah

penduduk, apabila koefisien negatif condong ke kiri berarti

penduduk mengarah ke perkotaan dan sebaliknya.

E. DAFTAR PUSTAKA

Hanafiah, kemas Ali. Dasar-dasar Statistik. Jakarta : Raja Grafindo

persada. 2006

Hasan, Iqbal. Pokok-pokok Materi Statistik I (Statistik deskriptif).

Jakarta : Bumi Aksara. 2008

http://arika.blog.unej.ac.id/files/2009/05/kemiringan-dan-

kurtosis.pdf

http://pksm.mercubuana.id/modul, diakses tanggal 9 Juni 2009.

http://statutorial.blogspot.com/2008/01/skewness-dan-kurtosis.html

Mangkuatmojo, Soegyarto. Pengantar Statistik. Jakarta : Rineka

Cipta. 2003

Mustafa. Zainal. Pengantar Statistik Deskriptif. Yogyakarta. Surya

Sarana utama. 1998

Pasaribu, Amudi. Pengantar Statistik. Jakarta Timur: Ghalia

Indonesia, 1965

Sudjana. Metoda Statistika. Bandung: Tarsita, 1995

BAB IX

ANGKA INDEKS

A. PENDAHULUAN

Pada bab-bab terdahulu sudah dipelajari bagaimana

menyajikan data, mengetahui ukuran pemusatan dan penyeba-

ran sebagai bagian dari statistik deskriptif. Apabila kita membaca

surat kabar atau melihat berita ekonomi maka akan banyak

disajikan indikator perekonomian seperti indeks harga konsu-

men, indeks harga bahan pokok, indeks harga yang diterima

petani, indeks harga produsen, indeks harga saham, dan indeks

yang lain.

Angka indeks adalah sebuah angka yang menggambarkan

perubahan relatif tehadap harga, kuantitas atau nilai yang

dibandingkan dengan tahun dasar. Angka indeks memperli-

hatkan bagaimana perubahan terjadi. Bagaimana harga-harga,

pendapatan, produksi, dan nilai produksi berubah seiring de-

ngan perubahan waktu, teknologi dan sumber daya manusia.

Untuk melihat seberapa besar perubahan tersebut, maka angka

indeks membandingkannya dengan tahun dasar. Tahun dasar

(base year) adalah tahun pembanding yang dipilih secara bebas.

Namun demikian, apabila Anda melihat indikator ekonomi

Badan Pusat Statistik (BPS), tahun dasar diubah setiap 10 tahun

seperti 1973,1983, 1993, 2003, dan ke depan 2013. Angka indeks

akan membandingkan bagaimana kondisi misalnya tahun 2002

dibandingkan dengan tahun 1993, apakah sama, meningkat atau

menurun.

Pemilihan tahun dasar untuk angka indeks biasanya

memperhatikan:

(a) Tahun yang dipilih sebagai tahun dasar menunjukkan

kondisi perekonomian yang stabil. Apabila dipilih kondisi

tidak stabil seperti tahun 1997-1998, dalam kondisi krisis,

perekonomian tidak berjalan normal sehingga tidak dapat

dibuat sebagai dasar perbandingan. Pertimbangan ideal-

nya adalah untuk membandingkan sesuatu seharusnya

dibandingkan dengan sesuatu yang normal.

(b) Tahun dasar diusahakan tidak terlalu jauh dengan tahun

yang dibandingkan, sehingga perbandingannya masih

bermakna. Oleh sebab itu, tahun dasar setiap 10 tahun diu-

bah, sebab tidak baik juga apabila setiap tahun mengubah

tahun dasar.

Untuk mempelajari angka indeks, berturut-turut akan dibahas:

I. Angka Indeks Relatif Sederhana

1. Angka indeks harga relatif sederhana

2. Angka indeks kuantitas relatif sederhana

3. Angka indeks nilai relatif sederhana

II. Angka Indeks Agregat Sederhana

1. Angka indeks harga agregat sederhana

2. Angka indeks kuantitas agregat sederhana

3. Angka indeks nilai agregat sederhana

III. Angka Indeks Agregat Tertimbang

1. Indeks harga tertimbang

2. Formula Laspeyres

3. Formula Paasche

4. Formula Fisher

5. Formula Drobisch

6. Formula Marshal-Edoeworth

7. Formula Wals

IV. Macam-macam lndeks

1. Indeks harga konsumen

2. Indeks harga perdagangan besar

3. Indeks nilai tukar oetani

4. Indeks produktivitas

Masalah dalam penyusunan indeks

B. ANGKA INDEKS RELATIF SEDERHANA

Angka indeks relatif sederhana dikenal juga dengan

unweighted index yaitu indeks yang tanpa memperhitungkan

bobot setiap barang dan jasa. Setiap barang dan jasa diberikan

porsi yang sama, sehingga peran bahan pangan (beras, daging,

dan sayuran) sama saja dengan barang lain seperti pakaian,

elektronika, dan sebagainya.

1. Angka Indeks Harga Relatif Sederhana

Angka indeks harga relatif sederhana menunjukkan

perkembangan harga relatif suatu barang dan jasa pada tahun

berjalan dengan tahun dasar, tanpa memberikan bobot terhadap

kepentingan barang dan jasa.

Angka indeks harga relatif sederhana dirumuskan sebagai

berikut:

1000

xH

HIH t= (9.1)

Di mana: lH : Indeks harga

Ht : Harga pada tahun t

H0 : Harga pada tahun dasar

Contoh 1:

Berikut adalah harga beras per kg di Jakarta. Hitunglah

indeks harga relatif sederhana dengan menggunakan tahun

dasar 1996.

Tahun Harga per kg

1996 1014

1997 1112

1998 2461

1999 2058

2000 2240

2001 2524

2002 2777

Sumber: Laporan Perekonomian

Indonesia,BPS,2002

Penyelesaian:

a. Tahun dasar 1996, maka angka indeks adalah 100.

b. Indeks harga relatif sederhana untuk tahun 1997 adalah:

1101001014

1112100

0

=== xxH

HIH t

c. Dengan cara yang sama pada point b, maka indeks harga

relatif sederhana adalah sebagai berikut:

Tahun Harga per kg Indeks Perhitungan

1996 1014 100 (1014/1014) x 100

1997 1112 110 (1112/1014) x 100

1998 2461 243 (2461/1014) x 100

1999 2058 203 (2058/1014) x 100

2000 2240 221 (2240/1014) x 100

2001 2524 249 (2524/1014) x 100

2002 2777 274 (2777/1014) x 100

Dari indeks harga sejak 1996 sampai 2002 harga telah

naik 174% (274–100) atau setiap tahunnya 24,86%

Contoh 2:

Berikut adalah perkembangan harga saham PT Indofarma

Tbk. Selama tahun 2002. Hitunglah indeks harganya dengan

harga dasarnya bulan Juli 2002.

Bulan Harga Bulan Harga

Januari 200 Juli 275

Februari 250 Agustus 230

Maret 240 September 245

April 290 Oktober 265

Mei 300 Nopember 240

Juni 260 Desember 230

Sumber: Investor V(70)

Penyelesaian:

lH = (Ht /H0) x 100 dengan bulan dasar Juli (lH Juli = 100)

lH Februari = (250/275) x 100 = 91

Penyelesaian seluruhnya adalah sebagai berikut:

Bulan Harga Indeks Perhitungan

Januari 200 73 (200/275)x100

Februari 250 91 (250/275)x100

Maret 240 87 (240/275)x100

April 290 105 (290/275)x100

Mei 300 109 (300/275)x100

Juni 260 95 (260/275)x100

Juli 275 100 (275/275)x100

Agustus 230 84 (230/275)x100

September 245 89 (245/275)x100

Oktober 265 96 (265/275)x100

Nopember 240 87 (240/275)x100

Desember 230 84 (230/275)x100

Dari nilai indeks harga saham PT Indofarma terlihat bahwa

yang lebih tinggi dari bulan Juli ada 2 bulan, sedang 9 bulan

lainnya di bawah bulan Juli. Indeks yang di atas seratus

terkumpul pada April sampai Juli kecuali bulan Juni,

selebihnya bulan September-Maret indeks harga saham

cenderung turun.

2. Angka Indeks Kuantitas Relatif Sederhana

Indeks kuantitas relatif sederhana dimaksudkan untuk

melihat perkembangnn kuantitas barang dan jasa. Seberapa

besar perkembangan kuantitas tersebut dibandingkan

dengan tahun atau periode dasarnya. Indeks kuantitas

sederhana dihitung tanpa memberikan bobot setiap

komoditas, karena masih dianggap mempunyai

kepentingan yang sama.

lndeks kuantitas relatif sederhana dirumuskan sebagai

berikut:

1000

xK

KIK t= (9.2)

Di mana: lK : Indeks kuantitas

Kt : Kuantitas Pada tahun t

K0 : Kuantitas Pada tahun dasar

Contoh 3

Berikut adalah produksi beras di Indonesia. Hitunglah indeks

kuantitas relatif sederhana dengan menggunakan tahun dasar

1996.

Tahun Produksi (juta ton)

1996 31

1997 30

1998 32

1999 33

2000 32

2001 30

2002 31

Sumber: Laporan Perekonomian Indonesia.BPS.2002

Penyelesaian:

a. Tahun dasar 1996, maka angka indeks adalah 100.

b. Indeks kuantitas relatif sederhana untuk tahun 1997 adalah:

9710031

30100

0

=== xxK

KIK t

c. Dengan cara perhitungan yang sama pada bagian b, maka

indeks kuantitas relatif sederhana adalah sebagai berikut:

Tahun Produksi (juta ton) Indeks Perhitungan

1996 31 100 (31/31) x 100

1997 30 97 (30/31) x 100

1998 32 103 (32/31) x 100

1999 33 106 (33/31) x 100

2000 32 103 (32/31) x 100

2001 30 97 (30/31) x 100

2002 31 100 (31/31) x 100

Dari indeks kuantitas terlihat bahwa produksi yang lebih kecil

dari 1996 adalah tahun 1997 dan 2001. Produksi selama 1996–

2002 mengalami penurunan sebesar 3% (97% – 100%) dan

kenaikan tertinggi 6% (106% – 100%).

3. Angka Indeks Nilai Relatif Sederhana

Indeks nilai relatif sederhana menunjukkan perkembangan

nilai (harga dikalikan dengan kuantitas) suatu barang dan

jasa pada suatu periode dengan periode atau tahun

dasarnya.

Indeks nilai relatif sederhana dirumuskan sebagai berikut:

100100000

xKH

KHx

V

VIN ttt == (9.3)

Di mana: IN : Indeks nilai relatif sederhana

Vt : Volume/nilai pada periode/tahun t

V0 : Volume/nilai pada periode/tahun dasar

Ht : Harga komoditi pada periode/tahun t

Kt : Kuantitas komoditi pada periode/tahun t

H0 : Harga komoditi pada periode/tahun dasar

K0 : Kuantitas komoditi pada periode/tahun dasar

Contoh 4

Berikut adalah harga beras dan produksi beras di Indonesia

tahun 1996–2002. Hitunglah indeks nilai berdasarkan tahun

dasar 1996.

Tahun Harga (Rp/Kg) Produksi (juta ton)

1996 1014 31

1997 1112 30

1998 2461 32

1999 2058 33

2000 2240 32

2001 2524 30

2002 2777 31

Penyelesaian:

a. Menghitung nilai yaitu perkalian harga dengan kuantitas

Contoh tahun 1996

= 1.014 (Rp/Kg) x 31.000.000.000 Kg = 31.434.000.000.000

Untuk menyederhanakan ditulis 31.434 miliar.

b. Membagi nilai masing-masing tahun dengan nilai tahun

dasar.

Hasil selengkapnya adalah sebagai berikut:

Tahun Harga

(Rp/Kg)

Produksi

(juta ton)

Nilai Indeks Perhitungan

1996 1014 31 31434 100 (31434/31434) x 100

1997 1112 30 33360 106 (33360/31434) x 100

1998 2461 32 78752 251 (78752/31434) x 100

1999 2058 33 67914 216 (67914/31434) x 100

2000 2240 32 71680 228 (71680/31434) x 100

2001 2524 30 75720 241 (75720/31434) x 100

2002 2777 31 86087 274 (86087/31434) x 100

Dari indeks nilai dapat diketahui bahwa penerimaan dari padi

meningkat 6% untuk tahun 1996–1997, sedang selama periode

1996–2002, penerimaan meningkat 174% atau meningkat 24,86%

per tahunnya.

Contoh 5

Berikut adalah transaksi saham PT Astra lnternasional di BEJ, 5

Maret 2003. Hitunglah indeks harga saham dengan

menggunakan tahun dasar 1998!

Tahun Harga (Rp/lembar) Jumlah (juta lmb)

1998 1525 2,33

1999 1237 1,11

2000 2664 2,35

2001 2300 2,29

2002 2350 3,91

Sumber: Kompas.Prospektif.InfoBank

Penyelesaian:

a. Menghitung nilai = harga saham x volume penjualan

Untuk 1998 = 1525 x 2,33 = 3553 juta

Dan dilanjutkan untuk semua tahun.

b. Menghitung indeks = (nilai tahun Unilai tahun 1998) x 100

Untuk 1999 = (1373/3553) x 100 = 39.

Perhitungan selengkapnya adalah sebagai berikut:

Tahun Harga

(Rp/lembar)

Jumlah

(juta lb)

Nilai Indeks Perhitungan

1998 1525 2,33 3553,25 100 (3553,25/3553,25)x100

1999 1237 1,11 1373,07 39 (1373,07/3553,25)x100

2000 2664 2,35 6260,4 176 (6260,4/3553,25)x100

2001 2300 2,29 5267 148 (5267/3553,25)x100

2002 2350 3,91 9188,5 259 (9188,5/3553,25)x100

Dari angka indeks nilai memperlihatkan kecenderungan nilai

saham yang meningkat dari Astra Internasional. Sejak tahun

1998 sampai 2002 telah meningkat 159% atau per tahun

meningkat 31,8%. Nilai indeks hanya turun tahun 1999, di mana

Astra harus merestrukturisasi utang-utangnya.

C. ANGKA INDEKS AGREGAT SEDERHANA

Angka indeks ini menekankan agregasi yaitu barang dan jasa

lebih dari satu. Harga, kuantitas; dan nilai dari beberapa

komoditi dijadikan satu, sehingga mendapatkan angka indeks

yang mewakili agregasi tersebut. Contoh berdasarkan pada

metode BPS, ada agregasi makanan (merupakan kelompok dari

beras, jagung, kedelai, minuman, tembakau, dan lain - lain)

,perumahan (alat dan bahan perumahan), sandang (tekstil dan

produk tekstil), dan aneka barang dan jasa (untuk seluruh

barang dan jasa yang tidak masuk agregasi yang lainnya). Pada

subbagian ini akan dibahas indeks agregat untuk harga,

kuantitas, dan nilai sederhana yaitu tanpa pembobotan.

1. Angka indeks harga agregat sederhana

Angka indeks harga agregat sederhana adalah angka indeks

yang menunjukkan perbandingan antara jumlah harga

kelompok barang dan jasa pada periode tertentu dengan

periode dasarnya,

Angka indeks harga agregat sederhana dirumuskan sebagai

berikut:

1000

xH

HIHA t

Σ

Σ=

(9.4)

Di mana:

IHA : Indeks harga agregat sededrana

ΣHt : Jumlah harga kelompok barang dan jasa periode t

ΣH0 : Jumlah harga kelompok barang dan jasa periode dasar

Contoh 6

Hitunglah indeks harga agregat kelompok makanan berikut

dengan tahun dasar 2000.

Jenis Barang 1997 1998 1999 2000 2001 2002

Beras 815 1002 1013 1112 2461 2777

Jagung 456 500 627 662 1294 1650

Kedelai 1215 1151 1148 1257 1380 1840

Kacang Hijau 1261 1288 1630 1928 3687 3990

Kacang Tanah 2095 2000 2288 2233 2540 3100

Ketela Pohon 205 269 261 243 551 650

Ketela Rambat 298 367 357 351 798 980

Kentang 852 824 937 1219 2004 2450

Sumber: BPS, 2002

Penyelesaian:

a. Langkah pertama menjumlahkan harga semua jenis

barang.

Contoh ΣH97 =

815 + 456 + 1215 + 1261 + 2095 + 205 + 298 + 852 = 7197

Penjumlahan seluruhnya adalah sebagai berikut:

Jenis Barang 1997 1998 1999 2000 2001 2002

Beras 815 1002 1013 1112 2461 2777

Jagung 456 500 627 662 1294 1650

Kedelai 1215 1151 1148 1257 1380 1840

Kacang Hijau 1261 1288 1630 1928 3687 3990

Kacang Tanah 2095 2000 2288 2233 2540 3100

Ketela Pohon 205 269 261 243 551 650

Ketela Rambat 298 367 357 351 798 980

Kentang 852 824 937 1219 2004 2450

Jumlah 7197 7401 8261 9005 14715 17437

b. Langkah kedua menghitung angka indeks

Indeks 1997 = (7.197/9.005) x 100 = 80

Indeks 1998 = (7.401/9.005) x 100 = 82

Hasil selengkapnya angka indeks adalah sebagai berikut:

Tahun Angka Indeks Harga Agregat

1997 80

1998 82

1999 92

2000 100

2001 163

2002 194

Angka indeks tahun 2002 berdasarkan tahun dasar 2000 adalah

194, ini menunjukkan bahwa selama 2 tahun dari 2000–

2002,harga telah naik 94% (194–100). Apabila kita melihat pada

selisih angka indeks, maka kita mendapatkan kenaikan harga

setiap tahun, seperti dari 1997 ke 1998, harga naik 2%, tahun

1998–1999 naik 10%, tahun 1999–2000 naik 8%, tahun 2000–2001

naik 63% dan tahun 2001–2002 naik 31%

2. Angka indeks kuantitas agregat sederhana

Angka indeks kuantitas agregat sederhana adalah angka

indeks yang menunjukkan perbandingan antara jumlah

kuantitas kelompok barang dan jasa pada periode tertentu

dengan periode dasarnya. Angka indeks kuantitas agregat

sederhana dirumuskan sebagai berikut:

1000

xK

KIKA t

Σ

Σ= (9.5)

Di mana:

IKA : Indeks kuantitas agregat sederhana

ΣKt : Jumlah kuantitas kelompok barang dan jasa periode t

ΣKo: Jumlah kuantitas kelompok barang dan jasa periode

dasar

Contoh 7

Hitunglah indeks kuantitas agregat kelompok makanan berikut

dengan tahun dasar 2000. Nilai dalam juta ton.

Jenis Barang 1997 1998 1999 2000 2001 2002

Beras 44,7 45,2 44,7 48,2 48,1 46,6

Jagung 6,2 6,7 6,2 7,9 6,5 6,8

Kedelai 1,3 1,5 1,6 1,9 1,7 1,6

Kacang Hijau 0,2 0,3 0,2 0,5 0,6 0,3

Kacang Tanah 0,6 0,7 0,7 0,8 0,6 0,6

Ketela Pohon 17,1 15,8 15,9 16,5 17,3 15,7

Ketela Rambat 2,2 1,9 2,1 2,2 2,1 1,8

Kentang 0,1 0,3 0,4 0,5 0,6 0,5

Sumber: BPS, 2002

Penyelesaian:

a. Langkah pertama adalah menjumlahkan kuantitas

produksi seluruh barang setiap tahunnya.

K 97 = 44,7 + 6,2 + 1,3 + 0,2 + 0,6 + 17,1 + 2,2 + 0,1 =72,4

Penjumlahan seluruhnya adalah sebagai berikut:

Jenis Barang 1997 1998 1999 2000 2001 2002

Beras 44,7 45,2 44,7 48,2 48,1 46,6

Jagung 6,2 6,7 6,2 7,9 6,5 6,8

Kedelai 1,3 1,5 1,6 1,9 1,7 1,6

Kacang Hijau 0,2 0,3 0,2 0,5 0,6 0,3

Kacang Tanah 0,6 0,7 0,7 0,8 0,6 0,6

Ketela Pohon 17,1 15,8 15,9 16,5 17,3 15,7

Ketela Rambat 2,2 1,9 2,1 2,2 2,1 1,8

Kentang 0,1 0,3 0,4 0,5 0,6 0,5

Jumlah 72,4 72,4 71,8 78,5 77,5 73,9

b. Menghitung angka indeks kuantitas

Angka indeks 97 = (72,4178,5) x 100 = 92

Angka indeks seluruhnya adalah sebagai berikut:

Tahun Angka Indeks

1997 92

1998 92

1999 91

2000 100

2001 99

2002 94

lndeks kuantitas tahun 2002 sebesar 94, hal ini menunjukkan

bahwa selama tahun 2000–2002, produksi turun 6% (100 - 94).

Dari selisih nilai indeks terlihat selama tahun 1997–1998 produksi

tidak meningkat, tahun 1998-1999 meningkat 1%, tahun 1999–

2000 meningkat 9%, namun untuk 2000–2001 turun 1% dan

tahun 2001–2002 turun 5%.

Mengapa produksi pangan cenderung menurun? Dampak krisis

yang mendorong menin–katnya harga sarana produksi seperti

pupuk, obat, dan alat pertanian mungkin salah satu jawabannya.

3. Angka indeks nilai agregat sederhana

Indeks nilai agregat relatif sederhana menunjukkan

perkembangan nilai (harga dikalikan dengan kuantitas)

sekelompok barang dan jasa pada suatu periode dengan

periode atau tahun dasarnya.

Indeks nilai agregat relatif sederhana dinimuskan sebagai

berikut:

100100000

xKH

KHx

V

VINA ttt =

Σ

Σ= (9.6)

Di mana: INA : Indeks nilai agregat relatif sederhana

Σ : Lambang operasi penjumlahan

Vt : Volume/nilai pada periode/tahun t

V0 : Volume/nilai pada periode/tahun dasar

Ht : Harga komoditi pada periode/tahun t

Kt : Kuantitas komoditi pada periode/tahun t

H0 : Harga komoditi pada periode/tahun dasar

K0 : Kuantitas komoditi pada periode/tahun

dasar

Contoh 8

Berikut adalah harga dan kuantitas kelompok bahan

pangan. Hitunglah indeks nilai agregat relatif sederhana

dengan tahun dasar 2000.

Jenis Barang Tahun 2000 Tahun 2002

Harga Kuantitas Harga Kuantitas

Beras 1112 48,2 2777 46,6

Jagung 662 7,9 1650 6,8

Kedelai 1257 1,9 1840 1,6

Kacang Hijau 1928 0,5 3990 0,3

Kacang Tanah 2233 0,8 3100 0,6

Ketela Pohon 243 16,5 650 15,7

Ketela Rambat 351 2,2 980 1,8

Kentang 1219 0,5 2450 0,5

Sumber: BPS, 2002

Penyelesaian:

a. Menghitung nilai masing-masing barang, contoh:

Nilai beras tahun 2000 = 1.112 x 49,2 = 53.598

Nilai beras tahun 2002 = 2.777 x 46,6 = 129.408

Nilai selengkapnya adalah sebagai berikut:


H0 K0 H0K0 Ht Kt HtKt

Beras 1112 48,2 53598 2777 46,6 129408

Jagung 662 7,9 5230 1650 6,8 11220

Kedelai 1257 1,9 2388 1840 1,6 2944

Kacang Hijau 1928 0,5 964 3990 0,3 1197

Kacang Tanah 2233 0,8 1786 3100 0,6 1860

Ketela Pohon 243 16,5 4010 650 15,7 10205

Ketela Rambat 351 2,2 772 980 1,8 1764

Kentang 1219 0,5 610 2450 0,5 1225

Jumlah 69358 159823

b. Langkah kedua menjumlahkan nilai tahun 2000 = 69.358

dan tahun 2002= 159.823

c. Mengitung angka indeks nilai agregat relatif sederhana

23010069358

159823100100

000

===Σ

Σ= xx

KH

KHx

V

VINA ttt

Angka indeks nilai agregat tahun 2002 sebesar 230 dapat

diartikan bahwa selama tahun 2000–2002 nilai agregat meningkat

130% (230 – 100). Apa yang mempengaruhi indeks nilai agregat?

Perubahan harga dan kuantitas selama periode yang diukur.

D. ANGKA INDEKS AGREGAT TERTIMBANG

Angka indeks tertimbang (weighted index), indeks ini berbeda

dengan indeks sederhana. Indeks tertimbang memberikan

bobot yang berbeda terhadap setiap komponen. Mengapa

harus diberikan bobot yang berbeda? Karena pada dasarnya

setiap barang dan jasa mempunyai tingkat utilitas (manfaat dan

kepentingan) yang berbeda. Beras mungkin dirasakan lebih

penting dibandingkan dengan sayuran atau jenis barang lain.

lndeks tertimbang biasa digunakan untuk indeks agregat di

mana banyak jenis komoditi, sehingga setiap komoditi

mempunyai bobot yang berbeda. Untuk indeks relatif tidak

perlu diadakan pembobotan karena barang dan jasanya

tunggal.

1. Indeks Harga Tertimbang

Rumus indeks tertimbang adalah sebagai berikut:

100)(

)(

0

xWxP

WxPIHT t

Σ

Σ= (9.7)

Di mana: IHT : Indeks harga agregat tertimbang

Pt : Harga agregat pada tahun t

P0 : Harga agregat pada tahun dasar

W : Bobot penimbang

Σ : Lambang operasi penjumlahan

Untuk menghitung indeks tertimbang, ada beberapa

permasalahan yaitu bagaimana menentukan bobot penim-

bang. Penentuan bobot berdasarkan utilitas tentunya bisa

subjektif tergantung darimana orang memandangnya. Oleh

sebab itu, ada beberapa formula yang telah dikembangkan

untuk menentukan nilai bobot sebagai penimbang tersebut.

Berikut beberapa formula tersebut:

2. Formula Laspeyres

Etienne Laspeyres mengembangkan metode ini pada akhir

abad ke-18 dalam menentukan sebuah indeks tertimbang

dengan menggunakan bobot sebagai penimbang yaitu

periode dasar.

Indeks tertimbang Laspeyres dirumuskan sebagai berikut:

10000

0 xKH

KHIL t

Σ

Σ= (9.8)

Di mana: IL : Indeks Laspeyres



K0 : Kuantitas pada tahun dasar sebagai

pembobot (W)

Contoh 9

Hitunglah indeks Laspeyres dari kelompok pangan berikut

ini, dengan menggunakan tahun dasar 2000.



Beras 1112 48,2 2777 46,6

Jagung 662 7,9 1650 6,8

Kedelai 1257 1,9 1840 1,6

Kacang Hijau 1928 0,5 3990 0,3

Kacang Tanah 2233 0,8 3100 0,6

Ketela Pohon 243 16,5 650 15,7

Ketela Rambat 351 2,2 980 1,8

Kentang 1219 0,5 2450 0,5

Sumber: BPS, 2002

Penyelesaian:

a. Menghitung nilai HtK0 dan H0K0

Untuk beras misalnya, HtK0= 2.777x 48,2 = 133.851

Untuk beras misalnya, H0K0 = 1 .112 x 48,2 = 53.598

Untuk nilai HtK0 dan H0K0 seluruhnya adalah sebagai

berikut:

Jenis Barang H0 Ht K0 H0K0 HtK0

Beras 1112 2777 48,2 53598 133851

Jagung 662 1650 7,9 5230 13035

Kedelai 1257 1840 1,9 2388 3496

Kacang Hijau 1928 3990 0,5 964 1995

Kacang Tanah 2233 3100 0,8 1786 2480

Ketela Pohon 243 650 16,5 4010 10725

Ketela Rambat 351 980 2,2 772 2156

Kentang 1219 2450 0,5 610 1225

Jumlah 69358 168963

b. Menentukan angka indeks Laspeyres

24410069358

168963100

00

0 ==Σ

Σ= xx

KH

KHIL t

Jadi nilai indeks Laspeyres 244 ini menunjukkan bahwa

harga barang pangan dari tahun 2000–2002 telah

meningkat 144% (244 – 100).

3. Formula Paasche

Setelah Laspeyres mengemukakan formulanya, Paasche

mengemukakan konsep penggunaan bobot tahun beridan

dan bukan tahun dasar sebagai bobot. Formula Paasche

selanjutnya dirumuskan sebagai berikut:

1000

xKH

KHIP

t

tt

Σ

Σ= (9.9)

Di mana: IP : Indeks Paasche



Kt : Kuantitas pada tahun berjalan sebagai

pembobot (W)

Contoh 10

Hitunglah indeks Paasche untuk komoditi pangan pada

contoh 9.

Penyelesaian:

a. Menghitung nilai HtKt dan H0Kt

Untuk beras misalnya, HtKt = 2.777 x 46,6 = 129.408

Untuk beras misalnya, H0Kt = 1.112 x 46,6 = 51.819

Untuk nilai HtKt dan H0Kt, seluruhnya adalah sebagai

berikut:

Jenis Barang H0 Ht Kt H0Kt HtKt

Beras 1112 2777 46,6 51819 129408

Jagung 662 1650 6,8 4502 11220

Kedelai 1257 1840 1,6 2011 2944

Kacang Hijau 1928 3990 0,3 578 1197

Kacang Tanah 2233 3100 0,6 1340 1860

Ketela Pohon 243 650 15,7 3815 10205

Ketela Rambat 351 980 1,8 632 1764

Kentang 1219 2450 0,5 610 1225

Jumlah 65307 159823

b. Menentukan angka indeks Paasche

24510065307

159823100

0

==Σ

Σ= xx

KH

KHIP

t

tt

Nilai indeks Paasche sebesar 245, artinya harga pangan

telah meningkat 141% selama tahun 2000–2002 (245 –

100).

4. Formula Fisher

Fisher mencoba memperbaiki formula Laspeyres dan

Paasche. Menurut Fisher, Indeks agregat adalah paduan

dari kedua indeks dan merupakan akar dari perkalian

kedua indeks. Indeks Fisher menjadi lebih sempurna

dibandingkan kedua indeks yang lain baik Laspeyres

maupun Paasche.

IPxILIF = (9.10)

Di mana: lF : Indeks Fisher

lL : Indeks Laspeyres

lP : Indeks Paasche

Contoh 11

Hitunglah indeks Fisher dengan menggunakan data pada

Contoh 9 dan Contoh 10.

Penyelesaian:

Diketahui Indeks Laspeyres = 244 dan Indeks Paasche = 245

Maka Indeks Fisher = 245244 x = 244,5

Nilai Indeks Fisher sebesar 244,5 menunjukkan bahwa

selama tahun 2000–2002 harga telah meningkat 144,5%

(244,5–100). Nilai Fisher juga merupakan nilai tengah di

antara Indeks Laspeyres dan Indeks Paasche.

5. Formula Drobisch

Indeks Drobisch dipergunakan apabila nilai Indeks

Laspeyres dan Indeks Paasche berbeda terlalu jauh, Indeks

Drobisch juga merupakan jalan tengah selain lndeks Fisher.

Indeks Drobisch merupakan nilai rata-rata dari kedua

indeks. Indeks Drobisch dirumuskan sebagai berikut:

2

IPILID

+= (9.11)

Di mana: ID : lndeks Drobisch

IL : Indeks Laspeyres

IP : Indeks Paasche

Contoh 12

Hitunglah lndeks Drobisch, apabila Indeks Laspeyres = 244

dan Indeks Paasche = 245.

Penyelesaian:

5,2442

245244

2=

+=

+=

IPILID

6. Formula Marshal-Edgeworth

Formula Marshal-Edgeworth relatif berbeda dengan konsep

Laspeyres dan Paasche. Marshal- Edgeworth menggunakan

bobot berupa jumlah kuantitas pada tahun t dengan

kuantitas pada tahun dasar. Pembobotan ini diharapkan

akan mendapatkan nilai yang lebih baik. Indeks Marshal-

Edgeworth dirumuskan sebagai berikut:

100)(

)(

00

0 xKKH

KKHIME

t

tt

+Σ

+Σ= (9.12)

Di mana: IME : Indeks Marshal-Edgeworth



Kt : Kuantitas pada tahun t

K0 : Kuantitas pada tahun dasar

Contoh 12

Hitunglah indeks Marshal-Edgeworth dari kelompok pangan

seperti data pada Contoh 9.

Penyelesaian:

a. Langkah pertama menjumlahkan K0 + Kt

b. Langkah kedua mengalikan H0(K0 + Kt) dan Ht(K0 + Kt)

c. Langkah ketiga menjumlahkan ΣH0 (K0 + Kt) danΣHt (K0 + Kt)

d. Menghitung Indeks Marshal-Edgeworth

Jenis Barang H0 K0 Ht Kt K0+Kt H0(K0+Kt) Ht(K0+Kt)

Beras 1112 48,2 2777 46,6 94,8 105418 263260

Jagung 662 7,9 1650 6,8 14,7 9731 24255

Kedelai 1257 1,9 1840 1,6 3,5 4400 6440

Kacang Hijau 1928 0,5 3990 0,3 0,8 1542 3192

Kacang Tanah 2233 0,8 3100 0,6 1,4 3126 4340

Ketela Pohon 243 16,5 650 15,7 32,2 7825 20930

Ketela Rambat 351 2,2 980 1,8 4 1404 3920

Kentang 1219 0,5 2450 0,5 1 1219 2450

Jumlah 134665 328787

Indeks Marshal-Edgeworth

15,244100134665

328787100

)(

)(

00

0 ==+Σ

+Σ= xx

KKH

KKHIME

t

tt

Nilai IME= 244,15, nilai ini menunjukkan bahwa harga

telah meningkat sebesar 144,15% (244,5–100) selama tahun

2000–2002. Nilai ini lebih kecil dibandingkan dengan

Indeks Paasche, Fisher dan Drobisch tetapi lebih dekat

dengan angka Laspeyres.

7. Formula Wals

Indeks Wals menggunakan pembobot berupa akar dari

perkalian kuantitas tahun berjalan dengan kuantitas tahun

dasar. Rumus Indeks Wals adalah sebagai berikut:

10000

0x

KKH

KKHIW

t

tt

Σ

Σ= (9.13)

Di mana IW : lndeks Wals



Kt : Kuantitas pada tahun t

K0 : Kuantitas pada tahun dasar

Contoh 13

Hitunglah indeks Wals dari kelompok pangan seperti data pada

Contoh 9

Penyelesaian:

a. Langkah pertama mengalikan K0 x Kt dan membuat akarnya.

b. Langkah kedua mengalikan H0 dan Ht dengan akar (K0.Kt)

c. Langkah ketiga menjumlahkan ΣH0(K0.Kt) dan ΣHt( K0.Kt)

d. Menghitung Indeks Wals

Jenis Barang H0 K0 Ht Kt K0.Kt √(K0.Kt)

Beras 1112 48,2 2777 46,6 2246,12 47,39

Jagung 662 7,9 1650 6,8 53,72 7,33

Kedelai 1257 1,9 1840 1,6 3,04 1,74

Kacang Hijau 1928 0,5 3990 0,3 0,15 0,39

Kacang Tanah 2233 0,8 3100 0,6 0,48 0,69

Ketela Pohon 243 16,5 650 15,7 259,05 16,10

Ketela Rambat 351 2,2 980 1,8 3,96 1,99

Kentang 1219 0,5 2450 0,5 0,25 0,50

Jenis Barang H0√(K0.Kt) Ht√(K0.Kt)

Beras 52701 131611

Jagung 4852 12093

Kedelai 2192 3208

Kacang Hijau 747 1545

Kacang Tanah 1547 2148

Ketela Pohon 3911 10462

Ketela Rambat 698 1950

Kentang 610 1225

Jumlah 67258 164243

Indeks Wals:

2,24410067258

164243100

00

0==

Σ

Σ= xx

KKH

KKHIW

t

tt

Jadi indeks wals sebesar 244,2 ini menunjukkan bahwa

selama tahun 2000–2002 harga telah meningkat 144,2%

(244,2 - 100).

E. MACAM-MACAM INDEKS

Pada bagian di atas telah dibahas tentang rumus/formula

beberapa indeks. Berikut ini dibahas beberapa macam indeks

yang umum dipakai dalam perekonomian.

1. Indeks Harga Konsumen

Indeks harga konsumen (lHK) merupakan indeks yang

memperhatikan harga-harga yang harus dibayar konsumen

baik di perkotaan maupun pedesaan. IHK merupakan dasar

bagi perhitungan laju inflasi di Indonesia. Perhitungan IHK

pada tahun 1999 didasarkan pada 249–353 komoditas dari

44 kota. Kelompok barang dalam IHK diperluas menjadi 7

yang sebelumnya hanya 4 kelompok. Kelompok barang

tersebut adalah bahan makanan, (makanan jadi, minuman,

rokok, dan tembakau), perumahan, sandang, kesehatan,

pendidikan, rekreasi dan olah raga, serta transportasi dan

komunikasi.

Berikut gambaran Indeks Harga Konsumen di Indonesia

tahun 1998-2001.

Kelompok 1998 1999 2000 2001

Makanan 209 262 249 270

Perumahan 142 164 175 196

Sandang 192 230 245 268

Aneka Barang 174 216 229 262

IHK 168 203 210 234

Inflasi (%) NA 20,83 3,45 11,43

Tabel di atas menunjukkan IHK yang berguna untuk

melihat besarnya laju inflasi. Rumus inflasi adalah sebagai

berikut:

1001

1 xIHK

IHKIHKInflasi

t

tt

−

−−

= (9.14)

Di mana:

IHKt : Indeks harga konsumen tahun t

IHKt-1 : Indeks harga konsumen tahun t – 1 (tahun lalu)

Jadi inflasi secara umum adalah:

lnflasi umum 1998-1999 = [(203 – 168)/168] x 100 = 20,83

Inflasi makanan = [(262 – 209)/209] x 100 = 25,36

Inflasi perumahan = (164 – 142)/142] x 100 = 15,49

Inflasi sandang = [(230 – 192)/192] x 100 = 19,79

Inflasi aneka barang =[216 – 174)/174] x 100 = 24,14

Inflasi menunjukkan laju kenaikan harga barang dan jasa yang

dapat mempengaruhi derajat sejauh mana daya beli konsumen

dapat tertekan oleh harga. Inflasi tahun 1998–1999 sebesar

20,83% ini menunjukkan bahwa semua barang dan jasa

meningkat sebesar 20,83%. Apabila gaji tenaga kerja tidak

meningkat sebesar nilai inflasi tersebut, maka daya belinya

menurun. Oleh sebab itu, inflasi bermanfaat sebagai indikator

ekonomi untuk melakukan perbaikan tingkat upah, gaji, dan

tunjangan pensiun. Selain itu, IHK setiap kelompok juga berman-

faat untuk mengetahui kelompok apa yang menyebabkan

besarnya inflasi. Untuk tahun 1998–1999 terlihat bahwa

kelompok makanan mengalami laju inflasi tertinggi 25,36%,

sedang yang rendah adalah kelompok perumahan sebesar

15,49%.

Indeks harga konsumen (lHK) tidak hanya bermanfaat untuk

melihat inflasi. IHK bermanfaat juga untuk mengetahui:

pendapatan riil, penjualan yang dideflasi, daya beli uang, dan

penyesuaian biaya hidup.

a. IHK dan Pendapatan Riil

Pendapatan seseorang, perusahaan, atau negara secara nominal

akan meningkat sepanjang tahun. Seseorang yang bergaji Rp

500.000 tahun 1992, pada tahun 2002 menjadi Rp 2.500.000,

gajinya meningkat 5 kali. Namun demikian tidak selalu

pendapatan riilnya juga meningkat 5 kali, karena harga-harga

yang harus dibayar juga meningkat seperti misalnya nasi

sebungkus tahun 1992 masih Rp 500 pada tahun 2002 sudah Rp

8.500. Oleh sebab itu,-diperlukan pengetahuan tentang

pendapatan riil yang mencerminkan daya beli. Pendapatan riil

selanjutnya dirumuskan sebagai berikut:

100mintan

tan xIHK

alNoPendapaRiilPendapa = (9.15)

Berikut ini contoh perhitungan pendapatan per-kapita riil

penduduk Indonesia.

Tahun Pendapatan

Nominal

IHK

(1993=100) Pendapatan Riil

1995 532.568 254 (532568/254) x 100 = 209.672

1998 989.573 322 (989573/322) x 100 = 307.321

2001 1.490.974 363 (1490974/363) x 100 = 410.737

Pendapatan nominal 2001 sebesar Rp 1.490.974 sebetulnya sama

dengan pendapatan Rp 410.737 pada tahun 1993. Oleh sebab itu,

pendapatan nominal tahun 1995-1998 yang naik 86%, namun

secara riil hanya meningkat 47%, hal ini terjadi karena adanya

kenaikan harga yang tercermin dari kenaikan lHK.

b. IHK dan Penjualan yang Dideflasi

Penjualan yang dideflasi penting untuk mengetahui kecende-

rungan penjualan riil . Hal ini diperlukan karena mungkin

nominal penjualan meningkat, namun demikian perlu diingat

bahwa harga bahan baku juga sudah meningkat. Contoh: mobil

untuk angkutan pada tahun 1996 masih berkisar Rp 30-40 juta,

namun sejak tahun 1998 sudah meningkat menjadi berkisar Rp

70-80 juta. Oleh sebab itu, penjualan juga perlu diindeks dengan

IHK untuk mengetahui penjualan riil.

100arg

xSesuaiYangaHIndeks

AktualPenjualanRiilPenjualan =

(9.16)

Indeks harga yang sesuai dimaksudkan tidak hanya IHK tetapi

juga indeks harga perdagangan besar (IHPB) yang merupakan

pedoman harga produsen dan bukan konsumen.

Berikut contoh perhitungan penjualan riil berdasarkan lndeks

Harga Perdagangan Besar pada PT Astra Agro Lestari Tbk.

Tahun Penjualan Nominal IHK (1983=100) Penjualan Riil

2001 1200 820 (1200/820) x 100 = 146

2002 1400 923 (1400/923) x 100 = 152

Pendapatan tahun 2001 sebesar Rp 1.200 miliar setara dengan Rp

146 miliar tahun 1983. Penjualan nominal tahun 2002 kelihatan

naik 17% dari tahun 2001, namun secara riil hanya 4,1%.

c. IHK dan Daya Beli Uang

IHK dan daya beli uang mempunyai kaitan dengan daya beli riil.

Nilai nominal yang sama mempunyai daya beli yang berbeda

berdasarkan waktu, karena ada pengaruh dari kenaikan harga.

Daya beli uang dirumuskan sebagai berikut:

100min

xIHK

rupiahalNoBeliDaya = (9.17)

Contoh berikut adalah daya beli Rp 10.000 berdasarkan pada

tahun berbeda:

Tahun IHK Daya Beli Perhitungan

1995 254 3937 (10000/254) x 100

1998 322 3106 (10000/322) x 100

2002 363 2755 (10000/363) x 100

Nilai daya beli pada tahun 2002 menunjukkan bahwa nominal

Rp 10.000 pada saat itu secara riil nilainya sama dengan Rp 2.755

dengan tahun dasar 1993. Ini menunjukkan bahwa nilai uang

menurun, seiring kenaikan lHK.

2. Indeks Harga Perdagangan Besar

Indeks harga perdagangan besar merupakan indikator

yang digunakan untuk melihat perekonomian suatu negara, yang

pada hakikatnya menyangkut komoditi yang diperjualbelikan di

suatu negara pada tingkat perdagangan besar/grosir.

IHPB di Indonesia mencakup lima sektor yaitu pertanian

(44 komoditas), pertambangan dan penggalian (6 komoditas),

industri (140 komoditas), ekspor (53 komoditas) dan impor (38

komoditas). Berikut adalah contoh Indeks Harga Perdagangan

Besar dengan tahun dasar 1993.

Kelompok 1997 1998 1999 2000 2001

Pertanian 170 298 410 459 567

Tambang & Galian 141 173 214 236 275

Industri 132 217 268 278 309

Impor 129 286 289 316 356

Ekspor' 148 417 366 461 521

Indeks Umum 140 288 314 353 403

IPHB menunjukkan harga pada tingkat grosir dan pada

tahun 2001 IPHB yang paling besar adalah produk pertanian dan

yang terkecil adalah tambang dan galian. IPHB pertanian

meningkat relatif besar, karena depresiasi mata uang rupiah dari

Rp 2.000-3.000.per US $ menjadi Rp 8.000-10.000, per US$

sehingga produk pertanian yang diekspor mengalami kenaikan

harga yang cukup besar.

3. Indeks Nilai Tukar Petani

Jika Anda membaca laporan BPS, maka akan ada data

tentang indeks harga yang diterima petani, indeks harga yang

dibayar petani dan nilai tukar petani. Mengapa perlu angka in-

deks untuk petani? Jawabannya adalah karena mayoritas

penduduk Indonesia bermukim di pedesaan dan menggan-

tungkan hidupnya pada pertanian.

Untuk melihat fluktuasi harga barang-barang yang dihasil-

kan petani dari tahun ke tahun digunakan indeks harga yang

diterima petani, yang merupakan rata-rata harga produsen darl

hasil produksi petani sebelum farm gate atau yang disebut

dengan harga di sawah setelah petik' Dengan membandingkan

indeks yang diterima petani (lT) ierhaoap indeks harga yang

dibayar petani (lB), maka akan diperoleh nilai tukar petani.

Indeks harga yang diterima petani.

(lT) merupakan suatu ukuran perubahan harga yang terja-

di pada rata-rata harga yang diterima petani untuk produk-

si'pertaniannya. sedang indeks yang dibayar petani (lB) merupa-

kan ukuran perubahan harga yang dibayar petani untuk barang

dan jasa baik untuk keperluan rumah tangga maupun produksi

pertanian. Apabila nilai tukar petani (NTP) lebih dari 100, maka

kondisi petani lebih baik dari tahun dasar dan begitu sebaliknya.

Berikut contoh lT, lB dan NTP di Indonesia tahun 1999-

2002

Indeks 1998 1999 2000 2001

IT 648 342 377 489

IB 615 368 363 427

NTP 104 93 104 114

4. Indeks Produktivitas

Produktivitas merupakan rasio antara output atau

produksi dengan input, produktivitas input bisa mencerminkan

jenisnya seperti produktivitas tenaga kerja, produktivitas modal

dan produktivitas mesin. Namun demikian pada saat teknologi

berkembang, sumbangan input sudah tidak dapat dipisahkan,

maka sebutan produktivitas diarahkan pada produktivitas total.

Indeks produktivitas dirumuskan sebagai berikut:

1000Pr

PrPr x

periodesoduktivita

tperiodesoduktivitasoduktivitaIndeks =

(9.18)

Apabila indeks lebih dari 100, menunjukkan bahwa

produktivitas tebih baik dari tahun dasar.

Berikut adalah contoh Indeks Produktivitas beberapa

sektor pada tahun 1997-2000.

Sektor 1997 1998 1999 2000

Pertanian 106,3 90,4 102,9 96,3

Konstruksi 97,2 76,8 99,5 104,8

Keuangan & Perbankan 111,3 78 89,6 74,4

Jasa 100,2 103,9 101,4 130,2

Sektor yang produktivitasnya meningkat adalah sektor

jasa, setain di atas 100, juga mempunyai trend meningkat. Sektor

yang mempunyai produktivitas menurun adalah sektor

keuangan dan perbankan, semenjak krisis produktivitas

menurun, kemudian tahun 1999 meningkat, namun tahun 2000

menurun lagi. Lemahnya dukungan perbankan pada sektor riil

dan hanya mengandalkan SBl, mendorong turunnya

produktivitas sektor keuangan dan perbankan.

F. MASALAH DALAM PENYUSUNAN INDEKS

Dalam menyusun angka indeks ada beberapa masalah

utama yang dihadapi dan berpengaruh terhadap keabsahan atau

validitas dari angka indeks. Beberapa masalah utama tersebut

adalah:

1. Masalah Pemilihan Sampel. Adalah suatu kemustahilan

untuk mendata seluruh komoditi pada semua tempat

seperti Indonesia. IHK misalnya sebelum tahun 1998 hanya

didasarkan pada 200-225 jenis barang dan jasa di 27 ibu kota

propinsi, dan sesudah 1998 diperluas menjadi 249-353

barang dan jasa di 44 kota. Permasalahannya adalah, bagai-

mana memilih barang dan jasa, dan bagaimana memilih

tempat. Apakah pemilihan ibu kota sudah mewakili?

Bagaimana dengan kondisi di pedesaan? Masalah pemilihan

sampel ini penting supaya angka indeksnya objektif.

2. Masalah Pembobotan. Masalah pembobotan terkait dengan

apakah suatu bobot akan sesuai pada suatu periode dengan

periode yang lainnya. Seiring dengan perubahan waktu,

terdapat perubahan perilaku dan gaya hidup masyarakat.

Oleh sebab itu, diperlukan ukuran pembobotan yang tidak

menghasilkan angka indeks yang over estimate atau under

estimate.

3. Perubahan Teknologi. Teknologi berkembang sepanjang

waktu, dan seiring perubahan teknologi harga juga berubah.

Apakah dapat diidentifikasi suatu kenaikan harga disebab-

kan oleh kenaikan harga semata, atau karena ada perbaikan

kualitas produk sehingga harganya meningkat. Apabila kita

membeli TV misalnya, pada tahun 1990-an hanya untuk TV

saja, namun pada saat ini ada TV yang dapat untuk CD,

VCD, bahkan radio. Jadi apakah kenaikan harga TV akibat

perbaikan kualitas atau sekadar harganya meningkat?

4. Masalah Pemilihan Tahun Dasar. Pemilihan tahun dasar

adalah penting sehingga harus diperhatikan: (a) tahun dasar

adalah tahun di mana kondisi normal, tidak krisis dan tidak

pula boom, (b) tahun dasar memudahkan dalam perhitu-

ngan indeks untuk membandingkan dengan tahun yang

lainnya.

5. Bagaimana Mengubah Periode Dasar. Masalah timbul

apabila kita mempunyai dua atau lebih data dengan tahun

dasar yang berbeda, sehingga kedua nilai tidak dapat diban-

dingkan. Berikut contoh dari dua indeks yang mempunyai

tahun berbeda.

Indeks 1999 2000 2001 2002

Indeks Harga Diterima Petani Jabar (1983=100) 274 316 329 369

Indeks Harga Diterima Petani Aceh (1987=100) 167 190 202 214

Kita tidak bisa mengatakan bahwa lT di Jawa Barat lebih

tinggi dari lT di Aceh, karena kedua angka indeks mempunyai

tahun dasar berbeda, Jawa Barat 1983 = 100, sedang Aceh 1987 =

100. oleh sebab itu, untuk membandingkan dibuat tahun dasar

yang sama, misalnya tahun 1999 dibuat tahun dasar baru untuk

Jawa Barat dan Aceh, di mana keduanya mempunyai nilai indeks

= 100. Sehingga indeks tahun 2000;

lndeks lT 2000 Jawa Barat = (316/274) x 100 = 115

Indeks lT 2000 Aceh = (190/167) x 100 = 114

Hasil perhitungan indeks secara lengkap dengan tahun

dasar 1999 menjadi sebagai berikut:

Indeks 1999 2000 2001 2002

Indeks Harga Diterima Petani Jabar (1999=100) 100 115 120 135

Indeks Harga Diterima Petani Aceh (1999=100) 100 114 121 128

Setelah angka indeks dengan tahun dasar sama, maka

dapat diperbandingkan. Apabila menggunakan tahun dasar

berbeda, maka Jawa Barat terlihat lebih tinggi dari Aceh, namun

dengan tahun dasar yang sama 1999 = 100, terlihat bahwa Jawa

Barat lebih tinggi sedikit dibandingkan dengan Aceh, bahkan

tahun 2002 lebih rendah.

G. CONTOH SOAL

1. Berikut data pendapatan per kapita dan kurs nilai tengah Bl

untuk US$. Hitunglah angka indeks relatif sederhananya dan

kecederungan dari indeks relatifnya dengan menggunakan

tahun dasar 1998.

Tahun Pendapatan/Kapita (ribuan) Kurs Nilai Tengah

1998 4955 8076

1999 5915 7100

2000 6228 9595

2001 7161 10400

2002 8140 8905

Penyelesaian:

lH = (Ht/H0)x 100

Indeks pendapatan per kapita 1999 = (5.915/4.955) x 100 = 119

Indeks kurs nilai tengah 1999 = (7.100/8.076) x 100 = 88

Indeks selengkapnya adalah sebagai berikut:

Tahun Pendapatan/Kapita (ribuan) Kurs Nilai Tengah

1998 100 100

1999 119 88

2000 126 119

2001 145 129

2002 164 110

lH pendapatan per kapita 2002, 164 menunjukkan bahwa dari 1998

sampai 2002, pendapatan per kapita naik 64%. Sedang lH untuk

nilai kurs 2002, 110 menunjukkan bahwa nilai tukar naik 10%

selama 1998-2002

Kecenderungan atau trend mempunyai rumus sama dengan

pertumbuhan dan inflasi.

Kencederungan t = [(lHt – lH0)/lH0] x 100.

Kecenderungan pendapatan 1999 = [(119 – 100)/100] x 100 = 19%

Kecenderungan nilai tukar 1999 = [(88 – 100)/100] x 100 = -12%

Nilai kecenderungan selengkapnya adalah sebagai berikut:

Tahun Pendapatan/Kapita (%) Kurs Nilai Tengah (%)

1998 - -

1999 19 -12

2000 5 35

2001 15 8

2002 14 -14

Pendapatan meningkat 19% pada tahun 1999-2000, sedang nilai

tukar turun 12%. Peningkatan pendapatan terkecil tahun 2000 dan

nilai tukar mengalami kenaikan (depresiasi) paling besar yaitu 35%.

2. Berikut perkembangan harga dan kuantitas ekspor komoditi

pertanian lndonesia tahun 2000 dan 2002. Harga dalam US$/Kg

dan kuantitas dalam ribuan ton.



Karet 1,05 42 1,17 36

Kopi 0,97 329 2,61 267

Udang 8,98 97 10,26 98

Teh 1,25 124 1,17 36

Hitunglah:

a. Indeks Laspeyres

b. lndeks Paasche

c. Indeks Fisher

Penyelesaian:

a. Indeks Laspeyres = (ΣHtK0/ΣH0K0) x 100

Jenis Barang H0K0 HtK0

Karet 44 49

Kopi 319 859

Udang 871 995

Teh 155 145

Jumlah 1389 2048

lndeks IL = (2.048/1.389) x 100 = 147,42

b. Indeks Paasche = (ΣHtKt/ΣH0Kt) x 100

Jenis Barang H0Kt HtKt

Karet 38 42

Kopi 259 697

Udang 880 1005

Teh 45 42

Jumlah 1222 1787

lndeks lP = (1.787/1.222) x 100 = 146,22

c. Indeks Fisher = IPxILIF = 22,14642,147 x= = 146,819

Nilai Indeks Fisher sebesar 146,8 menunjukkan bahwa selama

tahun 2000–2002 harga ekspor produk pertanian telah

meningkat 46,8% (146,8–100).

3. Laba bersih PT HM Sampoerna tahun 2002 menjadi Rp 1.480

miliar dari tahun 2001sebesar Rp 794 miliar. Apabila IHPB

tahun 2001 sebesar 120 dan 2002 menjadi 135.

Hitunglah persentase perubahan laba bersih:

(a) dalam harga berlaku

(b) dalam harga konstan.

Penyelesaian:

a. Perubahan persentase dalam harga berlaku

40,86100794

)7941480(=

−x

b. Perubahan persentase dalam harga konstan

Tahun 2001 = (794/120) x 100 = 662

Tahun 2002 = (1.480/135) x 100 = 1.096

Perubahan harga konstan = 56,65100662

)6621096(=

−x

Hasil perubahan harga berlaku 86,40%, sedang harga

konstannya 65,56%. Perubahan harga konstan lebih kecil

daripada harga berlaku, karena dalam harga berlaku

terdapat pengaruh nilai uang akibat inflasi dan lain-lain.

4. Upah pekerja di DKI Jakarta berupa UMP (upah minimum

provinsi dinaikkan dari 650.000/ bulan menjadi 950.000/bulan).

Sementara IHK pada tahun yang sama naik dari 145 menjadi

164. Apa yang terjadi dengan UMP riil tenaga kerja?

Penyelesaian:

Upah nominal meningkat sebesar =

15,46100650

)650950(=

−x

Kenaikan IHK = 10,13100145

)145164(=

−x

Karena kenaikan upah nominal mencapai 46,15% lebih besar

dari kenaikan IHK (13,10%), maka upah riil tenaga kerja di

Jakarta meningkat.

H. LATIHAN SOAL

1. Berikut adalah perkembangan ekspor migas dan non-migas

Indonesia tahun 1998-2002.

Tahun Migas Non Migas

1998 7,9 41

1999 9,8 38,9

2000 14,4 47,8

2001 12,6 43,7

2002 10,8 41,1

Sumber: BPS dan BKPM

a. Hitunglah indeks nilai berdasarkan tahun dasar 1998

untuk ekspor migas dan non-migas.

b. Hitunglah trend/kecenderungan ekspor migas dan non-

migas, mana yang lebih besar, dan mengapa?

2. Berikut adalah data harga saham dan volume penjualan

beberapa perusahaan dalam kelompok properti dan real estate.

Harga dalam Rp/lembar dan volume dalam ribuan lembar.

Perusahaan 5 Maret 2003 14 Maret 2003 22 Maret 2003

Harga Volume Harga Volume Harga Volume

BIPP 15 55 15 37 20 925

CAKRA 35 3 30 5 30 1

CITRA 70 21 65 175 60 60

JAKA 45 25 45 21 45 70

LAMI 60 49 55 35 50 25

a. Hitunglah Indeks Fisher dan Indeks Wals untuk ketiga

transaksi tanggal 5,14, dan 22 Maret 2003.

b. Lebih besar mana Indeks Fisher dan Indeks Wals.

c. Apakah Indeks menunjukkan kencenderungan

meningkat dan menurun?

3. Berikut adalah nilai penjualan PT Semen Gresik selama 3 tahun

dan Indeks Harga Perdagangan Besar. Hitunglah persentase

kecenderungan nilai penjualan dalam nilai nominal dan nilai

konstan.

Keterangan 2000 2001 2002

Penjualan 3596 4659 4808

IHPB 416 392 425

4. 4. Berikut adalah data jumlah produk sepatu dan jam kerja

karyawan PT PSK Jaya, Tangerang. Hitunglah indeks

produktivitasnya dan bagaimana perbedaan antar-kedua tahun

tersebut, adakah perbaikan atau penurunan?

Jenis 2001 2002

Produk Jam Produk Jam

Anak 20 46 35 50

Olah Raga 60 90 65 80

Dewasa 80 120 120 200

Wanita 60 120 70 150

I. DAFTAR PUSTAKA

Adiningsih, Sri, 2001, Statistik, BPFE-Yogyakarta.

Bank lndonesia, 2002, Perkembangan Ekonomi Keuangan dan Kerja Sama

Internasional,Bank Indonesia, Jakarta.

BPS, 2003, Indikator Ekonomi, Januari 2003, BPS, Jakarta.

CESS, 1998, Kekuatan Kolektif Sebagai Strategi Mempercepat Pemberdayaan

Usaha Kecil. CESS. Jakarta.

Harian Kompas, 2003, Finansial, 5, 14,22 Maret 2003.

Lapin L. Lawrence, 1982, Statistics for Modern Business Decisions,

Harcourt Brace Jovanavich, Inc.

Lind, A. Dauglas, William G. Marchal and Robert D. Mason, 2002,

Statistical Techniques in Business & Economics, McGraw-Hill

lrwin.

Majalah Investor, 2003, Peluang Gain Saham-saham Farmasi. V (72).

Majalah Investor, 2003, Rontoknya Daya Beli Rakyat. V (70).

Majalah Indonesia Corp 2003, Astra dan Indomobil: Jadi Pedagang Mobil

Saja, ll(04).

Majalah Indonesia Corp 2003, Telkomsel: Coverage Terluas. ll (03).

Majalah InfoBank, 2003, Rezeki Baru Setelah Bunga Turun. XXV (285).

Majalah Jurnal, 2003, Pengusaha Menghimpit, Pengusaha Menjerit, Rakyat

Terjepit. VIX (2).

Majalah Prospektif, 2003, Emiten-emiten Pembagi Dividen di Tahun 2003. V

(14).

Maryati, MC, 2001, Statistik Ekonomi dan Bisnis Plus, UPP AMP YKPN.

Mason D. Robert and Dauglas A. Lind, 1996, Statistical Techniques in

Business and Economics, Richard D. lrwin, Inc.

Mulyono, Sri, 1991, Statistika Untuk Ekonomi, LP-FEUI.

Pasaribu, Amudi, 1965, Pengantar Statistika, Ghalia Indonesia.

BAB VI - akhir a5

Documents

Transcript of BAB VI - akhir a5