BAB V

SEGITIGA LANJUTAN

A. TEOREMA PROYEKSI DALAM SEGITIGA SIKU-SIKU, LANCIP DAN TUMPUL1. Teorema Proyeksi pada Segitiga Siku-Siku

C q D a b t p

A c B

b dan c sisi siku-sikua sisi miringt garis tinggi dati titik sudut siku-siku Ap disebut proyeksi sisi siku-siku c pada sisi miring aq disebut proyeksi sisi siku-siku b pada sisi miring a

Teorema 5.1. Kuadrat sisi siku-siku sama dengan hasil kali proyeksinya ke sisi miring dan sisi miring sendiri . b2= qa dan c2= pa

Teorema 5.2. Kuadrat garis tinggi ke sisi miring sama dengan hasil kali bagian sisi miring. t2=pq

Teorema 5.3. Hasil kali sisi siku-siku sama dengan hasil kali sisi miring dengan garis tinggi ke sisi miring itu. bc = ta.

Teorema 5.4. Kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadratkedua sisi yang lain. a2=b2+c2

Buktinya Sebagai berikut

C q 1 D a b 2

t p 1 2 A c B

Diketahui : ABC, A 90o, AD BCBuktikan :

1. b2= qa dan c2= pa2. t2=pq3. bc = ta.4. a2=b2+c2

Bukti no 1Lihat ADC dan BACKarena D1 = A (90o) dan C = C (berimpit)Maka ADC BAC (Sd, Sd)Sehingga b:a= q:b atau b2=qa

Analog lihat ABD dan CBA, maka c2=pa

Bukti no 2Lihat ADC dan BDAKarena D1 = D2 (90o) dan C = A2 (90o- B)Maka ADC BDA (Sd, Sd)Sehingga t:p = q:t atau t2=pq

Bukti no 3 Karena ABD CBA Maka c:a = t:bAtau bc =ta

Bukti no 4Dari hasil no 1

b2=qa c2=pa + b2+ c2 = qa +pa b2+ c2 = (q +p)a b2+ c2 = a.a b2+ c2 = a2

a2 = b2+ c2

2. Teorema Proyeksi pada Segitiga Lancip /Tumpul

C

b t a

P q A D B c

a2 = b2 =

C

t b a

p c D A B p

a2 =

Teorema 5.5. Kuadrat sisi dihadapan sudut lancip (tumpul)sama dengan jumlah kuadrat kedua sisi yang lain dikurangi(ditambah)dua kali sisi yang satudan proyeksi sisi yang kedua ke sisi yang pertama.

B. TEOREMA STEWARTTeorema 5.6. (Teorema Stewart) : Jika garis x yang ditarik dari titik C dan membagi sisi c dalam c1 dan c2, maka x2.c = a2 c1 + b2.c2 –c1.c2.c

C

b x a m

A E D B c1 c2 c

C. GARIS-GARIS ISTIMEWA DALAM SEGITIGA(Lanjutan)Teorema 3.7. Garis garis berat dalam segitigaberpotongan atas bagian yang perbandingannya 2:1

Teorema 5.8. Jika za , zb dan zc berturut-turus garis berat ke sisi a, b dan c maka

Za2 = b2 + c2 - a2

Zb2 = a2 + c2 - b2

Zc2 = a2 + b2 - c2

Teorema 5.9. Garis bagi membagi sisi di depannya menjadi dua bagian yang berbanding seperti sisi sisi yang berdekatan.

Teorema itu juga berlaku untuk gais bagi luar.

E C

a E b

D p A c B q

Teorema 5.10. Kuadrat garis bagi dalam sama dengan hasil kali sisi sebelah dikurangai hasil kali bagian sisi di hadapannya.

Untuk garis bagi luar, CD2 = pq – ab

Teorema 5.11. dua garis tinggi dalam segitigaberbanding terbalik dengan sisi-sisinya.

Teorema 5.12. Jika diketahui ABC, 2S= a + b + c dan ta , tb , dan tc berturut turut garis tinggi pad a, b dan c , maka :

ta =

tb =

tc =