Bab Vi Geometri Netral

7/17/2019 Bab Vi Geometri Netral

http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-geometri-netral 1/66

Oleh:1.Dwi Retno Palupi (063214006)

2.Eka Yuniarti (063214014)3.Nurul ik!ah (063214026)

4."!u #ha$unah (06321402%)



Geometri Netral ???

Geometri absolut pertama diperkenalkan oleh Y. Bolyai dari

Hongaria (1802-1860. Geometri ini didasarkan pada empat postulat pertama dari !u"lides dan melepaskan postulat ke lima

yaitu postulat kese#a#aran.

Geometri absolut ini termuat dalam geometri terurut.

$edudukan geometri terurut dalam perkembangan geometri dapat

terlihat dalam skema berikutGeometri Terurut

(Postulat 1&2)

Geometri Affine (Postulat 1,2&5)

Geometri Absolut(Postulat 1,2,3&4)

Geometri Euclides

(Postulat 1,2,3,4&5)



Pengertian Pangkal, Postulat,Definisi pada Geometri Netral

$arena geometri netral #uga termuat dalam geometriterurut% maka pengertian pangkal geometri terurut #ugamen#adi pengertian pangkal pada geometri netral. &elain ituditambah pengertian pangkal yang ke-' yaitu kongruensi.

engertian pangkal geometri absolut% menurut as"hialah)

* +itik-titik

*$eantaraan

*$ongruensi

+itik dipandang sebagai unsur yang tidak dide,inisikan%sedangkan keantaraan kongruensi sebagai relasi-relasi yangtidak dide,inisikan.



&k$io!a 6.1

ika dan B titik berlainan% maka sebarang sinar yang berpangkal di / dan tepat satu titik sedemikian hingga

B/. B

/

B/



&k$io!a 6.2

B

/

!

AB!"

!"E#

$i%a AB!" dan !"E#, ma%a ABE#

ABE#

&k$io!a 6.3

ABBA

B

ifat refle%sif



&k$io!a 6.4

'ika &#*

B /

3 B3 /3dan [A’B’C’]

dan AB≡A’B’danBC≡B’C’,

maka AC ≡A’C’



&k$io!a 6.+

B

3 B3

3

//3

ika B/ dan 3B3/3 adalah dua segitigaika B/ dan 3B3/3 adalah dua segitiga dengan B/dengan B/ B3/3% /B3/3% / /33%/33%

BB 3B33B3 sedang dan 3 adalah dua titik berikutnya sedemkian hinggasedang dan 3 adalah dua titik berikutnya sedemkian hingga

4B/5 dan 4B3/3354B/5 dan 4B3/335 dan Bdan B B33% maka B33% maka 33.33.



"ari a%sioma'a%sioma ini daat diturun%an

ba*a %on+ruensi adala suatu relasi

e%uialensi- .elasi e%uialensi memenui sifat /

a- refle%sif

b- simetri%

c- transitif

Pada a%sioma 0-1 menunu%%an sifat simetris

ada a%sioma 0-2 menunu%%an sifat transitif

ada a%sioma 0-3 menunu%%an sifat refle%sif



Pada a%sioma 0-4 tama% adana enumlaan +aris an+

menadi dasar untu% teori anan+-

AB AB

B! B!

a%a berdasar%an ostulat %a sesuatu an+ sama ditamba den+an

sesuatu an+ sama umlana sama, a%ibatna

AB B! 6 A!

AB B! 6 A!

B /

3 B3 /3

A! 6 A!



"ari a%sioma 0-5 %on+ruensi se+men daat dierluas menadi %on+ruensi sudut

A%sioma 0-5 (a)

$i%a AB! dan AB! adala se+iti+a

B! B!

!A !A

AB AB

a%a se+iti+a AB! dan se+iti+a AB! sisi'sisina sama

7 AB! 7 AB!

∠A 6 ∠ A

∠B 6∠ B

∠B 6∠ !

$adi %on+ruensi se+men daat dierluas menadi

%on+ruensi sudut

B

/

3 B3

/3

udut 7AB! dan 7AB! besarna sama



A%sioma 0-5 (b)

andang B dan 3B33

Pernataan Alasan

B3B3 diketahui

∠B7 ∠3B33 kibat B/ 3B3/3

BB33 dibuat

B/ 3B3/3 &%&d%&

∠B7 ∠3B33 kibatb kongruensi

adi

kongruensi

segmen dapat

diperluas

men#adi

kongruensisudut



Kongruensi segmen dapat diperluas

menjadi kongruensi sudut

Kongruensi dua segmen AB ≡ CD

ekuivalen dengan AB = CD untukpanjang

jadi simbol untuk segmen = simbol

untuk panjang



DISKUSI

Buktikan

jika AB ≡ CD, maka CD ≡ AB

Diketahui : AB ≡ CD

A B

C D

Pernyataan

AB≡ CD

CD ≡ AB

Alasan

DiketahuiKongruensi adalah

relasi ekivalensi

maka memenuhi

sifat simetris



Definisi !"Suatu sudut siku#siku adalah sudut yangkongruen dengan $elurusnya%su$lemennya&, 'esarnya suatu sudut siku#siku sama dengan ( π

Definisi !)

*ingkaran dengan $usat +

dan jari#jari r ialah tem$atkedudukan titik P

sedemikian hingga +P r

r

O

P

M

N



-.+/I SAC0./1 DA*A2 3.+2.-/I

4.-/A*

Dalam mem$elajari geometri netral kita'ertolak dari se'agian teori sa5hery, teta$i

tidak menggunakan a$a yang diteta$kan

sa5hery yaitu:6Postulat kesejajaran eu5lides

harus diangga$ valid73eometri netral di$elajari dengan 5ara mengamati

teorema#teorema!

Istilah yang digunakan dalam $engukuran segmen

garis dan sudut, misalnya sudut siku#siku dan

ukuran derajat sudut juga meru$akan 'agian

dalam geometri netral

“Postulat kesejajaran euclides

harus diana! "alid#



*.22A !"

8ika di'erikan 9 ABC dan ∠ A! maka adasegitiga A"B"C" sedemikian hingga 9 A"B"C"

mem$unyai jumlah sudut yang sama

dengan 9 ABC, dan ∠ A" ≤ ( ∠ A

A C

B $

%

&

' &’

'’

( )



Bukti

Diketahui 9 ABC

Buktikan

Ada 9 A"B"C" yang

jumlah sudutnya

sama dengan 9 AB

dan ∠ A" ≤ ( ∠ AC

B $

%

&

' &’

'’

( )

Pernyataan

"! ∠ A ∠ " dan ∠ )

∠ C ∠ ; ∠ <=

∠ > ∠ )=

Alasan

Di'uat

Di'uat

Di'uat



Pern*ataan

)! Ditentukan . titik tengah BC shg B. .C

<! Per$anjang A. hingga titik > shg A. .>

! B. .C

∠ B.A ∠ >.C

A. .>

9 A.B ≡ 9 >.C

Alasan

Segmen mem$unyai

titik tengah

Segmen da$at

di$er$anjang *angkah "

Bertolak 'elakang

*angkah )

Sisi sudut sisi

A C

%

&

' &’

'’

( )



Pern*ataan?! ∠ ) ∠ )=

∠ < ∠ <=

! ∠ A ; ∠B ; ∠C ∠" ; ∠) ; ∠< ; ∠

@! ∠" ; ∠) ; ∠< ; ∠ ∠"=; ∠)= ; ∠<= ; ∠=

∠" ∠CA>

∠)= ∠ A>C

∠<= ; ∠ ∠ >CA

2aka ∠" ;∠) ;∠< ;∠ ∠CA> ;∠ A>C ;∠ >CA

Sehingga∠ A ;∠B ;∠C ∠CA> ;∠ A>C ;∠ >CA

Alasan Aki'at 9 kongruen

Aki'at 9 kongruen

Diketahui

*angkah

Aki'at langkah @

A C

%

&

' &’

'’

( )



Pern*ataan! 8umlah sudut 9 ABC jumlah sudut 9 A>C

! ∠ A ∠" ; ∠)

2aka ∠" ≤ ( ∠ A

Atau ∠) ≤ ( ∠ A

"! titik A dengan ∠CA> A" titik B dengan

∠ A>C B" titik C dengan ∠>CA C"

""! 9 A>C 9 A"B"C"

")! jumlah sudut 9ABC jumlah sudut 9A"B"C"

dengan ∠ A" ≤ ( ∠ A

Alasan Aki'at langkah

*angkah "

Di'uat

*angkah dn "

-er'ukti

A C

%

&

' &’

'’

( )



Sepintas lemma ini tidak ada artinya, padahal tidak,sebab dalam geometri netral kita tidak dapat

mengasumsikan bahwa jumlah sudut dalam segitiga selalukonstan, (Teorema Euclides yang buktinya bergantungpada postulat kesejajaran) !leh karena itu postulat inipenting sebab lemma itu menunjukkan bahwa diberikansuatu segitiga tertentu, maka dapat dibuat segitiga

yangn kongruen tetapi mempunyai jumlah sudut sama"ontoh# $iberikan %&'" seperti di bawah ini

B

/



,eore!a 6.1 (-&#ER/

EENDRE) Jumlah sudut sebarang segitiga kurang atausama dengan 180o

Bukti tak langsung

Alasan

Pengandaian

*emma !"

*emma !"

Pern*ataan

"! ∆ ABC dengan jumlah sudut "o ; ,

'ilangan $ositif

)! Dari ∆ ABC da$at di'uat ∆ A"B"C"dengan

jumlah sudut "o ; sedemikian hingga

∠ A" ≤ ( ∠ A

<! ∆ A)B)C) dengan jumlah sudut "o ;

sedemikian hingga ∠ A) ≤ ( ∠ A" ≤ %(&) ∠ A



,eore!a6.1

Alasan

*emma !"

Di$ilih

Aki'at $engandaian

Aki'at langkah ? E

ter'ukti

Pern*ataan

! Dari ∆ An#"Bn#"Cn#" da$at di'uat ∆ AnBnCn

dengan jumlah sudut "o ; sedemikian

hingga∠ An

≤ %(&

n

∠ An#"

?! 4 5uku$ 'esar sedemikian hingga ∠ An

seke5il mungkin! 2isal ∠ An ≤ o

! ∠ An ; ∠Bn ; ∠Cn "o ;

@! ∠Bn ; ∠Cn ≥ "o

-erjadi kontardiksi dengan teorema ?!< maka

$engandaian salah sehingga teorema !" ini

'enar



Contoh 61

Alasan

*emma !"

-eorema !" %ter'ukti&

Pern*ataan

"! terda$at ∆ A"B"C" sedemikian hingga

∠ A" ; ∠B" ; ∠C" "" dan ∠ A" ≤ )?oF)

)! terda$at ∆ A)B)C) sedemikian hingga∠ A) ; ∠B) ; ∠C) "" dan ∠ A) ≤ )?oF

<! terda$at ∆ A<B<C< sedemikian hingga

∠ A< ; ∠B< ; ∠C< "" dan ∠ A< ≤ )?oF

! terda$at ∆ ABC sedemikian hingga

∠ A ; ∠B ; ∠C "" dan ∠ A ≤ )?oF"

?! terda$at ∆ A?B?C? sedemikian hingga

∠ A? ; ∠B? ; ∠C? "" dan ∠ A? ≤ )?oF<) ≤ ∠"o

! ∠B? ; ∠C? > "o tidak mungkin terjadi

2isalkan " dan ∠ A )?o maka dalam ∆ ABC dida$at ∠ A ; ∠B ;

∠C "" dan ∠ A

)?o



Teorema akibat (corollary)Teorema akibat (corollary)

umlah sudut sebarang segiempat kurang atau samaumlah sudut sebarang segiempat kurang atau samadengan *+dengan *+oo--

A

CD

B



&pakahPer$eipanan tu



Definisi 6.3Definisi 6.3

Suatu segiempat disebut persegipanjang jika semuaSuatu segiempat disebut persegipanjang jika semuasudutnya adalah siku.sikusudutnya adalah siku.siku

ngat !!!!

/arena dalam geometri netral kita tidak menggunakan postulat ke.0Euclides, maka tidak otomatis kita dapat menggunakan proposisi

Euclides yang terkenal, seperti#a sisi.sisi yang berhadapan dari suatu persegipanjang adalah sejajar

b sisi.sisi tersebut sama panjang

c diagonal persegipanjang membagi persegipanjang menjadi dua

segitiga yang kongruenika kita ingin menyatakan sebarang akibat, kita harusmembuktikannya dengan berdasarkan de1inisi di atas tanpamenggunakan postulat kesejajaran



Teorema 6."Teorema 6."

ika ada sebuah persegipanjang, maka akan ada jugaika ada sebuah persegipanjang, maka akan ada jugasebuah persegipanjang dengan salah satu sisinya lebihsebuah persegipanjang dengan salah satu sisinya lebihpanjang dari pada ruas garis tertentu-panjang dari pada ruas garis tertentu-

$iketahui # persegipanjang &'"$$iketahui # persegipanjang &'"$ruas garis 2yruas garis 2y B C

D A

G y

'uktikan # adapersegipanjang

lain dengansalah satusisinya lebihpanjang dari

pada 2y

C C



#ukti $

B C

D A

G y

C)

D)

Pernyataan %lasan

ruas garis 2y

3 &da persegipanjang &'"$ diketahui

diketahui

segiempat $4"4"$ ≡ &'"$

4 5ukis segiempat $4"4"$ sehingga dibuat

C C



B C

D A

G y

C)

D)

* "4$4≡ AB ≡ CD

""4 ≡ BC

$$4 ≡ AD

&kibat langkah 4

5angkah 4 dan * 6 $4"

4"$ adalah persegipanjang

0 ', ", "4 teletak pada satu garis 7anya ada satu garis

8ang tegak lurus "$

$i "

C C "



B C

D A

G y

C)

D)

&kibat langkah 0+ &'""4$4$ adalah segiempat

&'"4$4 adalah persegipanjang

9 &$4 : 4&$ &kibat langkah * dan 0

; 5ukis segiempat $*"*"4$4

$*"

*"

4$

4≡ $

4"

4"$

Sedemikian hingga segiempat

$ibuat

$*

"*

&, $, $4

teletak pada satu garis

CB C C)



C<

D<

B C

D A

G y

C)

D)

< "*$* ≡ "4$4

$4$* ≡ $$4

"*"4 ≡ ""4

&kibat langkah ;

&kibat langkah ; dan <3 $*"

*"

4$

4 adalah persegipanjang

$, $4, $* terletak pada satu garis

33 ", "4, "* terletak pada satu garis 7anya ada satu garis

8ang tegak lurus "$

$i "

CB C C C



Dn

CnB C

D A

G y

C) C<

D) D<

&kibat langkah 3334 &'""4"*$*$4$ ialah segiempat &'"*$* ialah persegipanjang

&kibat langkah < dan 333* &$* : *&$

30 =ilih n cukup besar sehingga n &$ > 2y $ipilih

3+ &'"n$n adalah persegipanjang yang salah

satu ruas garisnya lebih panjang dari 2y

Terbukti

36 $apat disimpulkan &$n : n &$ &kibat langkah 9 dan 3*



Teorema &kibatTeorema &kibat

&&'ika ada sebua persegi panang, maka ada'ika ada sebua persegi panang, maka adasebua persegi panang yang dua sisinya yangsebua persegi panang yang dua sisinya yangberdekatan panangnya masing*masing lebiberdekatan panangnya masing*masing lebipanang dari dua segmen tertentu+panang dari dua segmen tertentu+

A

B C

D

W

YXZ

Diketaui $ persegi panang %#Dsegmen garis - dan

/0

#uktikan $ ada persegi panang%1G2 dengan %1 -dan %G /0

W



'ukti #'ukti #

Pernyataan Alasan

1. Persegi panjang ABCD

Segmen XY dan ZW

diketahui

2. Ada persegi panjang ABEF e!rema ".2

Dengan AF #XY

A

B C

D

W

YXZ

>

.

3 0



$. Buat persegi panjang %ang

&!ngruen dengan persegi panjang

ABFE 'eru(ang)u(ang dan(etakkan di atas persegipanjang ABFE

di'uat

*. er'entuk persegi panjang

AF+, dengan A+ #ZW

-. adi ter'ukti ada persegipanjang AF+, denganA+#ZW

Aki'at (angkah $

W

YXZ A

BC

D >

.

3 0



,eore!a 6.3

!Jika ada sebuah persegi panjang maka ada persegipanjang dengan panjang dua sisi "ang berdekatan masing#masing sama dengan s$gmen %& dan segmen '()

A B

CD

X YZ

W

Diketahui : $ersegi $anjang ABCD

ruas garis H1 dan J

Buktikan : $ersegi $anjangdengan AB= H1

dan AD=J

C=D=



ukti :

Pernyataan Alasan

1.Persegi panjang ABCD

/uas garis XY dan ZW

diketahui

2. Ada persegi panjang AB0C0D0

Dengan AB0#XY dan AD0#ZW

Aki'at te!rema ".2

BA

CD

X YZ

W

CD

B=

C=D=



$. Am'i( titik B pada garis AB0

Sedemikian hingga AB XY

di'uat

*. Am'i( titik D pada garis AD0

Sedemikian hingga AD ZW

di'uat

-. arik garis tegak (urus D0C0 di'uat

BA

CD

X YZ

W

CD

B=B

D

C=D=C==



3e(a(ui B sedemikian hingga

3em!t!ng D0C0 di titik C4

Dan ∠BC4D0 ≡ ∠BC4C0

". ∠BC4D0 56° 7 8 π9

∠BC4C0 56° 7 8 π9

De:. sudut siku)siku dan

aki'at (angkah -

;. ∠ABB0 1<6° 7π9 Sudut (urus

=ika ∠ABC4 > 56° maka

BA

CD

X YZ

W

CD

B=B

D

C=D=C==



∠C4BB0 < 56° dan jm( sudutsegiempat

ABC4D0 > $"6°> terjadi k!ntradiksi

Dengan aki'at te!rema ".1

=ika ∠C4BB0 > 56° maka

∠ABC4 < 56° dan jm( sudut

BB0C0C4 > 56°> terjadi k!ntradiksi

Dengan aki'at te!rema ".1

BA

CD

X YZ

W

CD

B=B

D

C=D=C==



=3aka satu)satun%a kemungkinan

Ada(ah ∠ABC4 56°

<. ABC4D0 ada(ah persegi panjang Aki'at (angkah ;

5. arik garis ⊥ BC4 me(a(ui D

Sedemikian hingga mem!t!ng BC4

Dititik C dan ∠DCB∠D4CB

di'uat

16. ∠ADD0 1<6° Sudut pe(urus

BA

CD

X YZ

W

CD

B=B

DC D==

C=D=C==



BA

CD

X YZ

W

CD

B=B

DC D==

L8ika ∠ ADCM° maka ∠CDD= N °

Dan jumlah sudutsegiem$at ABCD= M<°, terjadi

kontradiksi dengan teorema !"

L8ika ∠ ADCN° maka ∠CDD= M °

Dan jumlah sudut segiem$at

CDD=C7 M<°, terjadi kontradiksi denganteorema !"

L2aka satu#satunya

kemungkinan adalah ∠ ADC

°



8arena ∠"9AB9 6 ∠AB9!9 6 ∠B9!9"9 6

∠!9"9A 6:; ma%a se+iemat AB9!9"9

adala erse+ianan+

'a5i teore!a 6.3

,ER",.

T 6 4



Teorema 6.4Teorema 6.4

ika ada sebuah persegipannjang, maka setiap segitigaika ada sebuah persegipannjang, maka setiap segitiga

siku.siku mempunyai jumlah sudut 3;siku.siku mempunyai jumlah sudut 3;°°--

$iketahui # persegipanjang &'"$

'uktikan # setiap segitiga siku.sikumempunyai jumlahsudut 3;°

$&

' "

w & $& $



#ukti $

%lasanPernyataan3 ∆&'" siku.siku di ' dibuat

4 Segmen 2y : '"

segmen @A : &'

dibuat

* $ari segiempat &'"$ dapat dibuat

segiempat &'"$ dengan '" : 2y dan

'& : Bw

Teorema +*

w

B

y2

' "

$&

' ""

w & $& $



6 '" : '" dan '& : '& &kibat langkah *

0 7ubungkan & dengan " $ibuat

w

B

y2

' "

$&

' ""

+ ∆&'" ≡ ∆&'" sisi, sudut, sisi

9 umlah sudut ∆&'" : jumlah sudut

∆&'"

&kibat langkah +

; = adalah jumlah sudut ∆&'"

C adalah jumlah sudut ∆&"$

dibuat

< = D C ≤ *+° &kibat teorema +3

w & $& $



3 &da * kemungkinan

3 p : C : 3;°

4 = 3;°, C 3;°

* p 3;°, C > 3;°

&kibaat langkah <

33 /emungkinan 3 # p 3;°, maka C > 3;°

Terjadi kontradiksi dengan teorema +3

adi kemungkinan 3 salah

5angkah 3

B

y2

' "

&

' ""

w & $& $



34 /emungkinan 4 # p > 3;°, maka C 3;°

Terjadi kontradiksi dengan teorema +3

adi kemungkinan 4 salah

5angkah 3

3* Satu.satunya kemungkina yang benar

adalah p : 3;° dan C : 3;°

Terbukti

B

y2

' "

&

' ""




ika ada sebuah persegipanjang, maka setiap segitigaika ada sebuah persegipanjang, maka setiap segitiga

memiliki jumlah sudut 3;F-memiliki jumlah sudut 3;F-

$iketahui # persegipanjang =HS

'uktikan # setiap segitiga(segitiga sembarang)memiliki jumlah sudut3;F

=

S H

HS



=

!

#ukti $

%lasanPernyataan3 Segiempat =HS diketahui

4 7ubungkan titik S dan ,

titik = dan H, sedemikian hingga S dan=H berpotongan di !

dibuat

* Terbentuk %=!, %!H, %S!H,

%=!S, %=SH dan %=H

&kibat langkah 4

HS



T

HS

=

!

dibuat

6 =andang sebarang segitiga, misal

%=!

0 Tarik garis tinggi melalui !

sehingga memotong = di T

9 umlah sudut %=T! : jumlah sudut

%=! yaitu 3;F

+ &da %=T! dan %T! &kibat langkah 0Teorema +6

; ∠!T= : <F dan ∠!T : <F Siku.siku

HS



I

H

T =

!

< /arena %=T! dan %T! sisi !T berimpit,

maka jika disatukan akan terbentuk %=!

3 umlah sudut %=! adalah

jumlah ∠∆=T! D ∠∆T! J (∠!T= D

∠

!T): 3;F D 3;F . (<F D <F) : 3;F

=enjumlahan sudut

33 ika ditarik garis tinggi pada %!H

sehingga terbentuk %I! dan %HI!

dibuat

HS



H

T

I

=

!

3* 'egitu juga dengan segitiga.segitiga yang

lain, akan terbentuk segitiga sembarangdengan jumlah sudut 3;F

34 $engan langkah yang sama seperti langkah

9.3 maka diperoleh %H! dengan jumlahsudut 3;F

Terbukti



'umla udut uatu egitiga'umla udut uatu egitiga

'erdasarkan teorema +3 (Saccheri.5agendre) dan'erdasarkan teorema +3 (Saccheri.5agendre) dan

teorema +0 maka adanya segitiga dengan jumlahteorema +0 maka adanya segitiga dengan jumlahsudut 3;F adalah ekiKalen dengan persegipanjangsudut 3;F adalah ekiKalen dengan persegipanjang




&&'ika ada sebua segitiga dengan umla sudut 789:,'ika ada sebua segitiga dengan umla sudut 789:,

maka akan ada sebua persegipanang+maka akan ada sebua persegipanang+

Diketaui $ ;%# dengan

umla sudut 789:

#uktikan $ adapersegipanang %#

B

/

"



& '=#ukti $

%lasan Pernyataan3 %&'" diketahui

4 Tarik garis tinggi melalui ", hingga

memotong &' di =

dibuat

&kibat langkah 4* &da %&=" siku.siku di = dan %"='

siku.siku di =

Teorema +66 mlh sudut %&=" : jumlah %'=" :3;F

3= "



+ ∆&=" ditempelkan pada ∆&=" dengan =

berlainan pihak dengan = dari sisi &" dan&= bersesuaian ="

$ibuat

9 mlh sdt ∆&=" : 3;°, jadi : ∠3 D ∠ 4 : <° &kibat langkah 6

&kibat langkah ;< ∠3 D ∠4 : ∠3 D ∠4 : <°

∠&"& : <°

∠3 D ∠4 : ∠3 D ∠4 : <°

∠&=& : <°

&

34

3=

4

3= "



&

34

3=

4

&kibat langakh *

&kibat langkah <

3 ∠&=" : <°

∠&=" : <° ∠=&= : <°

∠="= : <°

33 Laka segiempat &=&" adalahpersegipanjang

$e1inisipersegipanjang



&kibat 3 teorema +3&kibat 3 teorema +3ika sebuah segitiga mempunyai jumlah sudut 3;M,ika sebuah segitiga mempunyai jumlah sudut 3;M,maka setiap sgitiga mempunyai jumlah sudut 3;M-maka setiap sgitiga mempunyai jumlah sudut 3;M-

$iketahui # ∆&'" dengan jumlahsudut 3;M

'ukatikan # setiap segitigamempunyai jumlah sudut3;M &

"

'

"3

= "



#ukti $

Pernyataan %lasan

3 ∆&'" dengan jumlah sudut 3;M

4 &da persegipanjang &="=

* $ari persegipanjang &="=, maka

setiap segitiga memiliki jumlah sudut 3;M6 adi jika sebuah segitiga jumlah

sudutya 3;M, maka setiap segitiga

memiliki jumlah sudut

Teorema ++

Teorema +0

Tebukti

$iketahui

& ' &

3 4

3=

4



&kibat 4 teorema ++

ika sebuah segitiga mempunyai jumlah sudut kurangdari 3;M, maka setiap segitiga mempunyai jumlahsudut kurang dari 3;M-

$iketahui # ∆=H denga jumlah sudutkurang dari 3;M

'uktikan # setiap segitiga mempunyai jumlah sudut kurang dari 3;M

#ukti $



#ukti $

Pernyataan %lasan

3 Segitiga sembarang dengan jumlah

sudut ≤ 3;M

$iketahui

Teorema +34 ∆=H denga jumlah sudut (p) ≤ 3;M

* = : 3;M Teorema +3

6 Setiap segitiga jumlah sudutnya 3;M $ipilih

0 Terjadi kontrndiksi dengan langkah 3

jadi p 3;M

Terbukti

$ b di k t kib t 3 d 4$engan membandingkan teorema akibat 3 dan 4



$engan membandingkan teorema akibat 3 dan 4$engan membandingkan teorema akibat 3 dan 4dari teorema ++, kita amati suatu 1akta pentingdari teorema ++, kita amati suatu 1akta penting yang tidak termuat dalam Teorema Saccheri yang tidak termuat dalam Teorema Saccheri5agendre Geometri netral adalah homogen-,5agendre Geometri netral adalah homogen-,dalam arti bahwa semua segitiga mempunyaidalam arti bahwa semua segitiga mempunyai jumlah sudut 3;M, atau semua segitiga jumlah sudut 3;M, atau semua segitiga

mempunyai jumlah sudut kurang dari 3;Mmempunyai jumlah sudut kurang dari 3;M

enis geometri netral yang pertama tersebutenis geometri netral yang pertama tersebutmerupakan geometri Euclides Sedangkan yangmerupakan geometri Euclides Sedangkan yangkedua secara historis muncul geometri non.kedua secara historis muncul geometri non.EuclidesEuclides

P i i i i G t i N t lProposisi proposisi Geometri Netral



Proposisi*proposisi Geometri NetralProposisi*proposisi Geometri Netralbidangbidang

33 $ua gairs yang tidak beimpit mempunyai paling$ua gairs yang tidak beimpit mempunyai palingbanyak satu titik potongbanyak satu titik potong

44 Setiap segmen garis mempunyai tepat satu titikSetiap segmen garis mempunyai tepat satu titiktengahtengah

** Setiap sudut mempunyai tepat satu garis bagiSetiap sudut mempunyai tepat satu garis bagi66 /omplemen dari sudut.sudut yang sama aadalah sama/omplemen dari sudut.sudut yang sama aadalah sama

00 Sudut yang bertolak balakang besarnya samaSudut yang bertolak balakang besarnya sama

Intuk proposisi.proposisi pada nomer selanjutnya,silahkan lihat di buku Sistim Geometri bab GeometriNetral- halaman 3*

Bab Vi Geometri Netral

Documents

Transcript of Bab Vi Geometri Netral