25

BAB IV

HASIL DAN PEMBAHASAN

Pada bab ini akan dilakukan pembahasan langkah-langkah yang telah

dijelaskan pada bab III untuk memperoleh hasil yang menjadi tujuan penelitian.

IV.1 Data

Data yang digunakan dalam penelitian ini merupakan data penggantian oil

filter mobil saat melakukan reparasi berkala dalam waktu pengamatan tahun 2011

hingga 2016. Data dapat dilihat pada lampiran 2. Data tersebut merupakan sampel

klaim-klaim garansi saat kegagalan pertama komponen oil filter dilihat dari umur

𝑋1 (dalam tahun) dan penggunaan 𝑌1 (jarak tempuh dalam 10000 km).

Gambar IV.1. Scatterplot Data 𝑋1 dan 𝑌1

Gambar IV.1 merupakan scatterplot (𝑋1, 𝑌1) dari data umur 𝑋1 dan penggunaan

𝑌1 komponen oil filter saat kegagalan pertama. Histogram masing-masing

marginal ditampilkan sebelah atas (umur) dan kanan (penggunaan) scatterplot

pada Gambar IV.1. Berikut ini ditampilkan statistik deskriptif dari masing-masing

data pada Tabel IV.1.

Tabel IV.1. Statistik Deskriptif Data Marginal 𝑋1 dan 𝑌1

Marg. Mean Var Min 1Q 2Q 3Q Max Skew. Kurt.

𝑋1 0.520 0.057 0.211 0.338 0.500 0.622 1.208 1.041 0.947

𝑌1 1.005 0.158 0.294 0.844 1.008 1.096 2.532 1.845 5.826

26

IV.2 Goodness of Fit Test Distribusi Marginal 𝑿𝟏 dan 𝒀𝟏

Bagian ini diberikan taksiran parameter-parameter (melalui MLE) dan tes

uji kecocokan Kolmogorov Smirnov (p-value) untuk pilihan distribusi-distribusi

marginal (untuk peubah acak kontinu tak negatif) berdasarkan data 𝑋1 dan 𝑌1 yang

ditampilkan pada Tabel IV.2. uji kecocokan Kolmogorov Smirnov didasarkan

pada p-value masing-masing marginal data lebih besar dari 0.05.

Tabel IV.2. Parameter dan Uji Kecocokan Distribusi Marginal Data

Distribusi Parameter KS-Test

Marg. Parameter p-value

Weibull

𝑋1

𝛼1̂ = 2.6446 𝛽1̂ = 0.5663 0.9401

Lognormal 𝜇1̂ = −0.7506 𝜎1̂ = 0.4414 0.8992

Gamma 𝛼1̂ = 4.7878 𝛽1̂ = 0.1086 0.9340

Eksponensial 𝜆1̂ = 1.9226 1.4333 × 10−4

Weibull

𝑌1

𝛼2̂ = 3.1529 𝛽2̂ = 1.0876 0.0603

Lognormal 𝜇2̂ = −0.0636 𝜎2̂ = 0.3761 0.0800

Gamma 𝛼2̂ = 6.3801 𝛽2̂ = 0.1576 0.0376

Eksponensial 𝜆2̂ = 0.9472 2.6289 × 10−5

Berdasarkan Tabel IV.2, keluarga distribusi eksponesial gagal untuk memodelkan

marginal 𝑋1 dan 𝑌1 karena hipotesis 𝐻0 ditolak di tingkat signifikansi 0.05. Begitu

pula distribusi Gamma gagal untuk memodelkan marginal 𝑌1 karena hipotesis 𝐻0

ditolak di tingkat signifikansi 0.05. Dari sini, penulis akan mengestimasi distribusi

bivariat Weibull Lu-Bhattacharyya karena di tingkat signifikansi 0.05, distribusi

Weibull mampu memodelkan marginal 𝑋1 dan 𝑌1. Copula Archimedean (Clayton,

Gumbel, Frank, dan AMH) diestimasi untuk kombinasi marginal 𝑋1: Weibull,

Lognormal, Gamma; dan 𝑌1: Weibull, Lognormal. Untuk tingkat signifikansi

0.05, distribusi-distribusi tersebut mampu memodelkan marginal 𝑋1 dan 𝑌1.

IV.3 Ukuran Keterhubungan Kendall’s Tau dari Data 𝑿𝟏 dan 𝒀𝟏

Keterhubungan Data 𝑋1 dan 𝑌1 dihitung berdasarkan Kendall’s tau.

Kendall’s tau dari data 𝑋1 dan 𝑌1 diberikan pada Tabel IV.3

Tabel IV.3. Ukuran Keterhubungan Kendall’s Tau dari Data 𝑋1 dan 𝑌1

Marginal Kendall’s Tau

𝑋1 dan 𝑌1 𝜏 = 0.0880

27

IV.4 Estimasi Parameter Distribusi Bivariat Weibull Lu-Bhattacharyya

Berdasarkan persamaan (2.26) dan (2.39), dapat dilihat bahwa fungsi

survival bivariat Lu-Bhattacharyya merupakan copula Gumbel dengan marginal-

marginalnya adalah fungsi survival Weibull. Parameter distribusi bivariat Weibull

Lu-Bhhattacharyya yang bersesuaian dengan parameter copula Gumbel adalah

𝛿 = 1 𝜃⁄ . Sehingga parameter distribusi bivariat Weibull Lu-Bhhattacharyya 𝛿

dapat diperoleh dengan mengetahui terlebih dahulu parameter copula Gumbel.

IV.5 Estimasi Parameter Copula Archimedean

Estimasi parameter copula Archimedean yang terdiri dari copula Clayton,

Gumbel, Frank, dan AMH diperoleh dengan menggunakan ukuran keterhubungan

Kendall’s tau seperti dijelaskan pada subbab III.4.(iv). Parameter distribusi

bivariat Weibull Lu-Bhhattacharyya (LB) diperoleh berdasarkan parameter copula

Gumbel. Tabel IV.4 berisi estimasi parameter-parameter tersebut.

Tabel IV.4. Parameter Copula Archimedean dan Distribusi Bivariat Weibull LB

𝜃 𝛿

Clayton Gumbel Frank AMH Bivariat Weibull LB

0.1930 1.0965 0.7972 0.3583 0.9120

IV.6 Uji Kecocokan Distribusi Biv. Weibull LB dan Copula Archimedean

Uji kecocokan model distribusi bivariat dilakukan untuk mengetahui

seberapa cocok model distribusi bivariat dapat mencerminkan perilaku data. Uji

kecocokan model distribusi bivariat dilakukan berdasarkan model-model

distribusi bivariat pada Tabel IV.4 dan marginal-marginal pada Tabel IV.2

melalui statistik Cram�̀�r-von Mises 𝑆𝑛 dan p-value dari simulai parametric

bootstrap seperti yang telah dijelaskan pada subbab II.10. Tabel IV.5 menunjukan

statistik 𝑆�̂� yang telah diperoleh untuk tiap model distribusi bivariat.

Setelah diperoleh nilai 𝑆�̂�, akan dilakukan simulasi parametric bootstrap

untuk memperoleh distribusi dari 𝑆𝑛 agar dapat dilakukan uji kecocokan model

distribusi bivariat nantinya. Dengan simulai parametric bootstrap akan

dibangkitkan 1000 nilai statistik uji 𝑆𝑛 seperti yang telah dijelaskan pada subbab

28

II.10 untuk kecocokan model distribusi bivariat. Dalam satu kali simulasi untuk

beberapa model distribusi bivariat, histogram 1000 nilai statistik uji 𝑆𝑛 diberikan

pada Gambar IV.2 sampai dengan Gambar IV.6.

Tabel IV.5. Statistik Cram�́�r-von Mises 𝑆�̂� Model-Model Distribusi Bivariat

Distribusi Marginal 𝑆�̂�

Clayton Gumbel Frank AMH Biv. Weibull

LB

Weibull Weibull 0.1843 0.1720 0.1780 0.1796 0.18111

Weibull Lognormal 0.1830 0.1728 0.1797 0.1806 -

Weibull Gamma 0.2047 0.1931 0.1993 0.2009 -

Weibull Eksponensial 0.5979 0.6069 0.6075 0.5989 -

Lognormal Lognormal 0.1979 0.1874 0.1962 0.1974 -

Lognormal Weibull 0.1922 0.1793 0.1876 0.1893 -

Lognormal Gamma 0.2177 0.2053 0.2140 0.2156 -

Lognormal Eksponensial 0.6696 0.6588 0.6706 0.6578 -

Gamma Gamma 0.2205 0.2142 0.2054 0.2161 -

Gamma Lognormal 0.1982 0.1185 0.1939 0.1955 -

Gamma Weibull 0.1967 0.1813 0.1896 0.1916 -

Gamma Eksponensial 0.6330 0.6252 0.6322 0.6191 -

Eksponensial Eksponensial 1.3296 1.3035 1.3312 1.2994 -

Eksponensial Weibull 06219 0.6161 0.6198 0.5973 -

Eksponensial Lognormal 0.6685 0.6614 0.6666 0.6424 -

Eksponensial Gamma 0.6844 0.6740 0.6384 0.6599 -

Gambar IV.2. Histogram 1000 𝑆𝑛

untuk Copula Clayton, Marginal

Weibull dan Lognormal

Gambar IV.3. Histogram 1000 𝑆𝑛

untuk Copula Gumbel, Marginal

Gamma dan Weibull

Gambar IV.4. Histogram 1000 𝑆𝑛

untuk Copula Frank, Marginal Gamma

dan Lognormal

29

Gambar IV.5. Histogram 1000 𝑆𝑛

untuk Copula AMH, Marginal

Lognormal dan Weibull

Gambar IV.6. Histogram 1000 𝑆𝑛

untuk Biv. Weibull LB, Marginal

Weibull dan Weibull

Langkah selanjutnya adalah mengulangi simulasi parametric bootstrap

sebanyak 100 kali untuk menaksir rata-rata p-value dan seberapa banyak 𝐻0

diterima dalam pengulangan tersebut. Tabel IV.6 menunjukkan jumlah 𝐻0 yang

diterima, rata-rata nilai p-value, dan standar deviasi p-value setelah dilakukan

pengulangan sebanyak 100 kali. Rata-rata nilai p-value terbesar merupakan nilai

copula Clayton untuk Marginal Weibull dan Lognormal.

Tabel IV.6. Hasil Pengulangan Parametric Bootstrap

Marg. Hasil AMH Clayton Frank Gumbel Biv. Weibull

LB

Weibull

Weibull

𝐻0 accepted 100 100 100 100 100

Mean p-value 0.6799 0.7045 0.6709 0.6304 0.6886

Sd. p-value 0.1577 0.0154 0.0151 0.0160 0.0156

Weibull

Lognormal

𝐻0 accepted 100 100 100 100 -

Mean p-value 0.7906 0.8139 0.7861 0.7542 -

Sd. p-value 0.0134 0.0123 0.0126 0.0150 -

Weibull

Gamma

𝐻0 accepted 100 100 100 100 -

Mean p-value 0.7123 0.7380 0.7075 0.6591 -

Sd. p-value 0.0165 0.0138 0.0155 0.0151 -

Weibull

Eksponensial

𝐻0 accepted 100 100 100 100 -

Mean p-value 0.6705 0.7422 0.6175 0.6537 -

Sd. p-value 0.0164 0.0131 0.0165 0.0139 -

Lognormal

Lognormal

𝐻0 accepted 100 100 100 100 -

Mean p-value 0.6354 0.6683 0.6290 0.5998 -

Sd. p-value 0.0157 0.0137 0.0146 0.0166 -

Lognormal

Weibull

𝐻0 accepted 100 100 100 100 -

Mean p-value 0.5431 0.5685 0.5349 0.4989 -

Sd. p-value 0.0161 0.0168 0.0171 0.0159 -

30

Lognormal

Gamma

𝐻0 accepted 100 100 100 100 -

Mean p-value 0.5541 0.5874 0.5510 0.5069 -

Sd. p-value 0.0136 0.0151 0.0163 0.0138 -

Lognormal

Eksponensial

𝐻0 accepted 100 100 100 100 -

Mean p-value 0.4790 0.5561 0.4599 0.4254 -

Sd. p-value 0.0154 0.0150 0.0182 0.0155 -

Gamma

Lognormal

𝐻0 accepted 100 100 100 100 -

Mean p-value 0.7235 0.7429 0.7177 0.6884 -

Sd. p-value 0.0148 0.0136 0.0148 0.0162 -

Gamma

Weibull

𝐻0 accepted 100 100 100 100 -

Mean p-value 0.0668 0.6615 0.6412 0.6015 -

Sd. p-value 0.0155 0.0145 0.0156 0.0151 -

Gamma

Gamma

𝐻0 accepted 100 100 100 100 -

Mean p-value 0.6603 0.6731 0.6542 0.6102 -

Sd. p-value 0.0160 0.0168 0.0148 0.0152 -

Gamma

Eksponensial

𝐻0 accepted 100 100 100 100 -

Mean p-value 0.6263 0.7003 0.6083 0.5752 -

Sd. p-value 0.0153 0.0154 0.0158 0.0149 -

Eksponensial

Eksponensial

𝐻0 accepted 31 100 5 2 -

Mean p-value 0.0462 0.0811 0.0398 0.0378 -

Sd. p-value 0.0063 0.0079 0.0062 0.0061 -

Eksponensial

Weibull

𝐻0 accepted 100 100 100 100 -

Mean p-value 0.4832 0.5562 0.4743 0.4952 -

Sd. p-value 0.0157 0.0158 0.0148 0.0144 -

Eksponensial

Lognormal

𝐻0 accepted 100 100 100 100 -

Mean p-value 0.4214 0.4914 0.4074 0.4027 -

Sd. p-value 0.0148 0.0145 0.0152 0.0153 -

Eksponensial

Gamma

𝐻0 accepted 100 100 100 100 -

Mean p-value 0.3358 0.4133 03282 0.3202 -

Sd. p-value 0.0147 0.0167 0.0144 0.0140 -

Setelah dilakukan pengulangan simulasi terlihat bahwa untuk tingkat

signifikansi 0.05 (5%) model distribusi bivariat yang memiliki rata-rata p-value

terbesar adalah model copula Clayton dengan 𝜃 = 0.1930 yang memodelkan

marginal

𝑋1~Weibull(𝛼1̂ = 2.6446, 𝛽1̂ = 0.5663)

dan marginal

𝑌1~Lognormal(𝜇2̂ = −0.0636, 𝜎2̂ = 0.3761).

31

a. Fungsi Distribusi b. Contour Densitas c. Fungsi Densitas

Gambar IV.7. Bivariat Copula Clayton dengan 𝜃 = 0.1930

untuk Marginal 𝑋1~Weibull(𝛼1̂ = 2.6446, 𝛽1̂ = 0.5663)

dan 𝑌1~Lognormal(𝜇2̂ = −0.0636, 𝜎2̂ = 0.3761)

IV.7 Ekspektasi Banyak Kegagalan dan Estimasi Biaya Garansi

Setelah diperoleh model distribusi bivariat yang terbaik adalah model

distribusi bivariat copula Clayton dengan marginal 𝑋1 Weibull dan 𝑌1 Lognormal,

maka ekspektasi banyak kegagalan di dua dimensi untuk komponen oil filter

bergaransi polis FRW dengan strategi penggantian dapat diperoleh seperti yang

dijelaskan pada subbab II.6.

Ekspektasi banyak kegagalan komponen oil filter pada masa garansi

[0, 𝑘) × [0, 𝑙) polis FRW dengan strategi penggantian dapat diperoleh dan

dinyatakan oleh

𝐸[𝑁2(𝑘, 𝑙)] = �̂�𝐶𝐶,�̂�(𝑘, 𝑙) (4.1)

dengan

�̂�𝐶𝑐,�̂�(𝑘, 𝑙) = ∑ ∑ [(1 + �̂�𝐶𝐶,�̂�(𝑥𝑖−1, 𝑦𝑗−1)) ∆𝑥𝑖−1

𝑥𝑖 ∆𝑦𝑗−1

𝑦𝑗 𝐶𝐶,�̂�(𝐹(𝑥 − 𝑎), 𝐺(𝑦 − 𝑏))]

𝑚

𝑗=1

𝑛

𝑖=1

dengan 𝐶𝐶,�̂�(𝑢, 𝑣) seperti pada (2.36) dan 𝜃 = 0.1930 untuk 𝐹 dan 𝐺 berurutan

adalah fungsi distribusi marginal 𝑋1~Weibull(𝛼1̂ = 2.6446, 𝛽1̂ = 0.5663) dan

marginal 𝑌1~Lognormal(𝜇2̂ = −0.0636, 𝜎2̂ = 0.3761). Ekspektasi tersebut

ditampilkan pada Tabel IV.7 terlihat bahwa banyak kegagalan oil filter meningkat

seraya umur dan penggunaan meningkat. Gambar IV.8 merupakan grafik

peningkatan ekspektasi banyak kegagalan oil filter berdasarkan penggunaan untuk

32

tiap umur tertentu. Dalam hal ini, 0,5 tahun setara dengan 6 bulan. Sebagai

contoh, bilangan 1,5 tahun berarti 1 tahun 6 bulan. Selanjutnya, dimisalkan harga

oil filter baru adalah seharga ℓ = 30000 Rupiah, maka Tabel IV.8 berisi estimasi

biaya garansi oil filter mobil untuk masa garansi dua dimensi tertentu. Terlihat

pada Tabel IV.8 bahwa estimasi biaya (dalam Rupiah) garansi oil filter mobil

meningkat seraya umur dan penggunaan meningkat.

Tabel IV.7. Ekspektasi Banyak Kegagalan berdasarkan (4.1)

Batas Penggunaan (10000 km)

0.5 1 1.5 2 2.5 3

Bat

as U

mur

(Tah

un)

0.5 0.0322 0.3114 0.4744 0.5245 0.5391 0.5431 1 0.0468 0.5662 0.9827 1.2612 1.4276 1.5064

1.5 0.0471 0.5735 1.0548 1.5180 1.9063 2.1850 2 0.0471 0.5736 1.0610 1.5541 2.0317 2.4715

2.5 0.0471 0.5736 1.0610 1.5563 2.0490 2.5361

Gambar IV.8. Ekspektasi Banyak Kegagalan berdasarkan (4.1)

Tabel IV.8. Estimasi Biaya Garansi Dua Dimensi berdasarkan (2.2) dan (4.1)

Batas Penggunaan (10000 km)

0.5 1 1.5 2 2.5 3

Bat

as U

mur

(Tah

un)

0.5 966 9342 14232 15735 16173 16293 1 1404 16986 29481 37836 42828 45192

1.5 1413 17205 31644 45540 57189 65550 2 1413 17208 31380 46623 60951 74145

2.5 1413 17208 31830 46689 61470 76083