Bab III Ukuran Tendensi Sentral

29

BAB 3

UKURAN TENDENSI SENTRAL

Kompetensi

Mampu menjelaskan dan menganalisis konsep dasar ukuran tendensi

sentral.

Indikator 1. Menjelaskan dan menganalisis mean.

2. Menjelaskan dan menganalisis median.

3. Menjelaskan dan menganalisis modus.

A. Pendahuluan

Ukuran tendensi sentral adalah suatu nilai yang mewakili semua nilai

observasi dalam suatu nilai. Nilai tersebut dianggap sebagai gambaran dari

kondisi suatu data (Atmaja, 1997). Beberapa macam ukuran tendensi sentral

yang sering dipakai yaitu:

1. Mean

2. Median

3. Modus

Dalam pembahasan ini dibedakan antara data yang dikelompokkan

dan data yang tidak dikelompokkan. Data yang dikelompokkan yaitu data

30

yang sudah disusun ke dalam suatu distribusi frekuensi. Sedangkan data

yang tidak dikelompokkan adalah data yang tidak disusun ke dalam suatu

distribusi frekuensi.

B. Mean (Rata-Rata Hitung)

Mean merupakan angka rata-rata dari sekelompok data. Notasi yang

digunakan untuk mean yaitu X (eks bar) untuk rata-rata sampel dan µ (miu)

untuk rata-rata populasi. Mean dapat dihitung dari 2 macam, yaitu:

1. Mean Untuk Data Yang Tidak Dikelompokkan

nXXX

X n+++=

.......21

Atau

nX

X ∑=

Keterangan:

rataratameanX −= /

X = harga tiap-tiap data

N = banyaknya data

31

Contoh:

Pendapatan tukang becak di Malioboro yaitu:

Tabel 3.1 Pendapatan Tukang Becak

Nama Pendapatan (Rp)

Karjo 15.000

Paijo 12.500

Parto 14.000

Slamet 17.500

Saidun 20.000

Jupri 10.000

Hitunglah rata-rata pendapatan tukang becak di Malioboro

Penyelesaian:

833.146

89000=== ∑

nX

X

2. Mean Untuk Data Yang Dikelompokkan

nfX

X ∑=

Keterangan:

rataratameanX −= /

32

f = frekuensi masing-masing kelas

X = titik tengah masing-masing kelas

N = banyaknya data

Contoh:

Skor TOEFL mahasiswa FE UMY yaitu:

Tabel 3.2 Skor TOEFL

Skor Frekuensi

300 - 349 4

350 - 399 10

400 - 449 15

450 - 499 6

500 - 549 8

550 - 599 2

Hitunglah rata-rata skor TOEFL mahasiswa FE Universitas Muhammadiyah

Yogyakarta

Penyelesaian:

Tabel 3.3 Perhitungan Rata- rata Skor TOEFL

Skor Frekuensi X (Titik Tengah) fX

300 - 349 4 324,5 1298

350 - 399 10 374,5 3.745

400 - 449 15 424,5 6367,5

450 - 499 6 474,5 2847

500 - 549 8 524,5 4196

550 - 599 2 574,5 1149

Jumlah 45 19.602,5

33

61,43545

5,602.19===

∑n

fXX

C. Median

Median adalah nilai yang terletak di tengah suatu data yang telah

diurutkan dari nilai terkecil hingga terbesar. Median dapat dihitung dari 2

macam, yaitu:

1. Median Untuk Data Yang Tidak Dikelompokkan

Median merupakan harga tengah dari sekelompok data yang sudah disusun

ke dalam array data (data yang sudah diurutkan).

Contoh:

a. Pendapatan tukang becak di Malioboro yaitu:



Karjo 15.000

Paijo 12.500

Parto 14.000

Slamet 17.500

Saidun 20.000

Jupri 10.000

Hitunglah median pendapatan tukang becak di Malioboro

34

Penyelesaian:

10.000 12.500 14.000 15.000 17.500 20.000

500.142

000.15000.14=

+=Md

b. Pendapatan pedagang kaki lima di Malioboro yaitu:

Tabel 3.5 Pendapatan Pedagang Kaki Lima


Karjo 15.000

Paijo 12.500

Parto 14.000

Saidun 20.000

Jupri 10.000

Hitunglah median pendapatan pedagang kaki lima di Malioboro

Penyelesaian:

10.000 12.500 14.000 15.000 20.000

Md = 14.000

35

2. Median Untuk Data Yang Dikelompokkan

fmd

Fn

iTBKMd md

−+= 2

Atau

fmd

nFiTAKMd md

2'−

−=

Keterangan:

TBKmd = tepi bawah kelas median

TAKmd = tepi atas kelas median

N = banyaknya data = jumlah frekuensi

I = interval kelas

F = frekuensi kumulatif dari kelas-kelas di muka kelas median

F’ = frekuensi kumulatif sampai dengan kelas median

Fmd = frekuensi kelas median

36

Contoh:


Tabel 3.6 Skor TOEFL

Skor Frekuensi

300 - 349 4

350 - 399 10

400 - 449 15 450 - 499 6

500 - 549 8

550 - 599 2

Hitunglah median skor TOEFL mahasiswa FE UMY

Penyelesaian:

a. Menentukan letak kelas media

5,22245

2===

nmediankelasLetak

Frekuensi Kelas 1 = 4 kurang 18,5

Frekuensi Kelas 2 = 10 kurang 8,5

Frekuensi Kelas 3 = 10 letak kelas median

b. Menghitung nilai median

fmd

Fn

iTBKMd md

−+= 2

5,3992

400399=

+=mdTBK

37

I = 50

F = 4 + 10 =14

Fmd = 15

83,42715

14245

505,3992 =−

+=−

+=fmd

Fn

iTBKMd md

Atau

fmd

nFiTAKMd md

2'−

−=

5,4492

450449=

+=mdTAK

F’ = 4 +10 +15 = 29

83,42715

24529

505,4492'

=−

−=−

−=fmd

nFiTAKMd md

38

D. Modus

Modus Merupakan angka yang sering muncul. Modus dapat dihitung

dari 2 macam, yaitu:

1. Modus Untuk Data Yang Tidak Dikelompokkan

Contoh:

a. Pendapatan tukang becak di Malioboro yaitu:



Karjo 15.000

Paijo 12.500

Parto 14.000

Slamet 17.500

Saidun 20.000

Jupri 10.000

Hitunglah modus pendapatan tukang becak di Malioboro

Penyelesaian:

Tidak ada modusnya karena tidak ada tukang becak yang mempunyai

pendapatan yang sama.

39

b. Pendapatan pedagang kaki lima di Malioboro yaitu:



Karjo 15.000

Paijo 12.500

Parto 15.000

Saidun 15.000

Jupri 10.000

Hitunglah modus pendapatan pedagang kaki lima di Malioboro

Penyelesaian:

Mo = 15.000

c. Pendapatan pedagang souvenir di Malioboro yaitu:



Karjo 15.000

Paijo 12.500

Parto 15.000

Saidun 12.500

Jupri 10.000

40

Hitunglah modus pendapatan pedagang souvenir di Malioboro

Penyelesaian:

Mo = 12.500 dan 15.000

2. Modus Untuk Data Yang Dikelompokkan

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

−+=

−

−

11

11

22 fffmoffiXMo mo

Atau

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++=

211dd

diTBKMo mo

Keterangan:

Xmo = titik tengah kelas modus

fmo = frekuensi kelas modus

TBKmo = tepi bawah kelas modus

f1 = frekuensi dari kelas sesudah kelas modus

f-1 = frekuensi dari kelas sebelum kelas modus

d1 = selisih antara frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas

sebelumnya (fmo-f-1)

d2 = selisih antara frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas

sesudahnya (fmo-f1)

41

Contoh:



Skor Frekuensi

300 - 349 4

350 - 399 10

400 - 449 15 450 - 499 6

500 - 549 8

550 - 599 2

Hitunglah modus skor TOEFL mahasiswa FE UMY

Penyelesaian:

a. Menentukan letak kelas modus

Letak kelas modus yaitu pada kelas yang memiliki frekuensi paling banyak.

Dalam soal ini letak kelas modus pada kelas ke -3.

b. Menghitung nilai modus

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

−+=

−

−

11

11

22 fffmoffiXMo mo

5,4242

449400=

+=moX

i = 50

61 =f

101 =−f

42

fmo = 15

36,417106)152(

1062

505,424 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

−+=

xMo

Atau

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++=

211dd

diTBKMo mo

5,3992

400399=

+=mdTBK

d1 = 15 – 10 = 5

d2 = 15 – 6 = 9

36,41795

5505,399 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++=Mo

E. Perhitungan Mean, Median, Dan Modus Menggunakan SPSS

Perhitungan mean, median, dan modus menggunakan spss, dilakukan

dengan contoh berikut ini:

Data nilai mahasiswa yang mengambil matakuliah metoda penelitian bisnis

pada program studi manajemen FE UMY yaitu:

20 75 80 90 80 20 35 60 60 40 65 60 5 100 65 25 90 45 60 70 45 70 30 100 55 45 28 90 60 60 90 5 100 10 90 70 45 90 45 10 70 55 75 20 82 85 75 72 68 67 Berdasarkan data tersebut carilah nilai mean, median, dan modus Penyelesaian menggunakan SPSS diperoleh output sebagai berikut:

43

Statistics

NILAI50

059.0462.50

60a

ValidMissing

N

MeanMedianMode

Multiple modes exist. The smallest value is showna.

Analisis:

Berdasarkan output di atas diperoleh hasil:

N merupakan jumlah data yaitu 50.

Nilai mean sebesar 59,04.

Nilai median sebesar 62,50.

Nilai modus sebesar 60.

F. Kuartil, Desil, Persentil

1. Kuartil

Kuartil adalah suatu harga yang membagi histogram frekuensi menjadi empat

bagian yang sama.

14

11 fk

Fn

iTBKK k

−+=

24

2

22 fk

Fn

iTBKK k

−+=

343

33 fk

Fn

iTBKK k

−+=

44

2. Desil

Desil merupakan harga-harga yang membagi histogram menjadi 10

bagian yang sama besar.

dstnDnDnD1033,

1022,

101 ===

3. Persentil

Persentil merupakan harga-harga yang membagi histogram menjadi

100 bagian yang sama besar.

dstnPnPnP10033,

10022,

1001 ===

G. Kedudukan Mean, Median, dan Modus

Hubungan mean, median, dan modus, dapat digambarkan sebagai

berikut:

1. Apabila nilai mean > median > modus, maka kurvanya menceng ke kanan

(ekor kurva ada di sebelah kanan)

Mo Md X

Gambar 3.1 Bentuk menceng kanan/positif

45

2. Apabila nilai mean = median = modus, maka kurvanya simetris

X =Mo=Md

Gambar 3.2 Bentuk simetris

3. Apabila nilai mean < median < modus, maka kurvanya menceng ke kiri

(ekor kurva ada di sebelah kiri)

X Md Mo

Gambar 3.3 Bentuk menceng kiri/negatif

H. Rangkuman

Ukuran tendensi sentral adalah suatu nilai yang mewakili semua nilai

observasi dalam suatu nilai. Beberapa macam ukuran tendensi sentral yang

sering dipakai yaitu mean, median, dan modus.

46

Mean merupakan angka rata-rata dari sekelompok data. Median

adalah nilai yang terletak di tengah suatu data yang telah diurutkan dari nilai

terkecil hingga terbesar. Modus merupakan angka yang paling sering muncul

dalam sekelompok data.

I. Latihan Soal

1. Data Keuntungan per hari pedagang di Pasar Beringharjo yaitu:

Tabel 3.11 Keuntungan Pedagang di Pasar Beringharjo

Keuntungan Per Hari (000)

Jumlah Pedagang

5 – 9 15

10 – 14 21

15 – 19 17

20 – 24 29

25 – 29 24

30 – 34 19

35 – 39 30

40 – 45 20

Berdasarkan data tersebut, hitunglah mean, median, modus.

2. Data di bawah ini menunjukkan distribusi pendapatan per minggu

karyawan di PT”KATLYA”, dengan gaji minimum Rp120.000

47

Tabel 3.12 Pendapatan Karyawan

GAJI (000) JUMLAH KARYAWAN

Kurang dari 120 0

Kurang dari 135 6

Kurang dari 150 17

Kurang dari 165 31

Kurang dari 180 49

Kurang dari 195 59

Kurang dari 210 66

Kurang dari 225 75


3. Data jumlah produksi karyawan PT”DENDRO” yaitu:

Tabel 3.13 Jumlah Produksi

Poduksi Jumlah Karyawan

50 atau lebih 92

65 atau lebih 76

80 atau lebih 62

95 atau lebih 32

110 atau lebih 24

125 atau lebih 8

140 atau lebih 0


48

4. Data lama bekerja karyawan PT”HANG-HANG” yaitu:

Tabel 3.14 Lama Bekerja Karyawan PT”HANG-HANG”

Lama Bekerja Jumlah Karyawan

2 - 5 5

6 - 9 9

10 - 13 8

14 - 17 11

18 - 21 7

22 - 25 15

26 - 29 4


5. Nilai ujian Statistika I Jurusan Manajemen FE UMY ditunjukkan dalam

table 3.15 di bawah ini:

Tabel 3.15 Niali Ujian Statistika I

Nilai Jumlah Mahasiswa

Kurang dari 20 0

Kurang dari 40 5

Kurang dari 60 27

Kurang dari 80 49

Kurang dari 100 60


Bab III Ukuran Tendensi Sentral

Documents

Transcript of Bab III Ukuran Tendensi Sentral