Statistika dan Aplikasi KomputerSesi 2: Ukuran Sentral dan Persebaran

Program Pasca Sarjana Universitas Indonesia Magister Kajian Kependudukan & Ketenagakerjaan

Semester Gasal 2012/2013

E. L. Pardede 2

Garis Besar

• Meninjau tugas pertemuan ke-1• Ukuran sentral/pemusatan: Rerata/rata-rata,

median, modus• Ukuran persebaran: range (jangkauan),

deviasi/simpangan rata-rata, varians, standar deviasi (simpangan baku);

• Ukuran kecondongan (skewness); dan• Distribusi frekuensi dan latihan

12/09/2012

E. L. Pardede 3

Tugas 1: Populasi & Sampel

di mana: = proporsi populasi P = proporsi sampeln = besarnya sampel Untuk tingkat keyakinan 95%

4

Hasil Pilkada Gubernur DKI Jakarta

12/09/2012

Sumber:(3) Diolah dari http://www.republika.co.id/berita/menuju-jakarta-1/news/12/07/19/m7ev7i-ini-hasil-resmi-jumlah-suara-pilkada-dki-putaran-satu

E. L. Pardede 5

Ukuran Pemusatan/Sentral

Ukuran pemusatan: nilai tunggal yang mewakili suatu kumpulan data yang menunjukkan (lokasi) pusat dari nilai data1. Rata-rata hitung (arithmetic mean): rata-rata

hitung populasi dan sampel, rata-rata hitung tertimbang (weighted mean)

2. Median (nilai tengah)3. Modus: nilai yang paling sering muncul

12/09/2012

6

Untuk data tidak berkelompok, rata-rata hitung populasi adalah jumlah seluruh nilai dalam populasi dibagi dengan jumlah observasi dalam populasi:

di mana m (myu) rata-rata hitung populasiN = jumlah observasi dalam populasiX = nilai tertentu dalam populasi = penjumlahan dari....

Rata-rata Hitung Populasi

E. L. Pardede

E. L. Pardede7

Rata-rata Hitung SampelUntuk data tidak berkelompok, rata-rata hitung sampel adalah jumlah seluruh nilai dalam sampel dibagi dengan jumlah observasi dalam sampel:

di mana X bar, rata-rata sampel

n = jumlah observasi dalam sampel

E. L. Pardede8

Rata-rata Hitung Tertimbang

Rata-rata hitung tertimbang dari sekelompok angka X1, X2, ..., Xn, dengan bobot w1, w2, ...,wn, dapat dihitung dengan rumus berikut:

E. L. Pardede9

Latihan 1

E. L. Pardede 10

Ciri-ciri/Sifat dari Rata-rata HitungRata-rata hitung paling sering digunakan; membutuhkan data dengan skala pengukuran interval dan rasio. Sifat/ciri utamanya:– Semua nilai observasi digunakan dalam penghitungan– Setiap data memiliki nilai rata-rata hitung yang unik– Dihitung dengan menjumlahkan semua nilai dibagi

dengan jumlah observasi– Jumlah simpangan (deviasi) dari nilai rata-rata adalah

nol.– Nilainya dipengaruhi oleh nilai data yang ekstrim

(besar atau kecil)

12/09/2012

E. L. Pardede 11

MedianMedian atau nilai tengah adalah titik tengah dari nilai-nilai observasi setelah observasi diurutkan dari nilai terkecil ke nilai terbesar (membagi observasi menjadi dua atau masing-masing 50%).– Nilai di atas dan di bawah median jumlahnya sama

dalam data yang terurut.– Untuk observasi yang jumlahnya genap, median

adalah rata-rata hitung dari dua nilai di tengah data terurut.

12/09/2012

E. L. Pardede 12

Ciri-ciri/Sifat Median• Nilai median unik untuk setiap data.• Tidak terpengaruh oleh nilai yang ekstrim

(sangat besar atau sangat kecil) tepat untuk menggambarkan kecenderungan sentral ketika ada nilai-nilai ekstrim

• Bisa dicari/dihitung untuk data yang berskala ukuran rasio, interval, dan ordinal.

• Dapat dihitung untuk distribusi frekuensi dengan kelas interval yang terbuka jika mediannya tidak di kelas yang terbuka tersebut.

12/09/2012

E. L. Pardede13

Modus

Modus adalah nilai obervasi yang paling sering muncul.

E. L. Pardede14

Latihan 2

E. L. Pardede 15

Kapan menggunakan ukuran sentral tertentu?

• Modus: paling mudah, tetapi paling tidak cukup untuk menggambarkan ukuran sentral

• Median: lebih berguna dan lebih mudah dipakai, terutama jika ada nilai ekstrim

• Tetapi Rata-rata hitunglah yang memperhitungkan semua nilai dalam observasi dan yang paling sering digunakan

12/09/2012

E. L. Pardede16

Posisi Relatif dari Rata-rata, Median dan Modus

17

Ukuran persebaran

Untuk apa mempelajari ukuran persebaran?– Pengukuran seperti rata-rata atau median penting

untuk menggambarkan pusat/sentral dari data, tetapi ukuran ini tidak menggambarkan apa pun tentang persebaran data.

– Contoh: kedalaman sungai yang akan diseberangi;– Persebaran data dapat dibandingkan dengan

melihatnya dalam distribusi tertentu.

12/09/2012 E. L. Pardede

18

Ukuran-ukuran persebaran• Range

(jangkauan)• Simpangan/Deviasi

Rata-rata

• Varians Populasi

• Standar Deviasi Populasi

Range = Nilai Terbesar – Nilai Terkecil

E. L. Pardede19

Varians & Standar Deviasi Sampel

• Varians sampel

• Standar Deviasi Sampel

Faktor

Koreksi

E. L. Pardede20

Latihan 3

21

Rata-rata Hitung untuk Data Berkelompok

di mana: rata-rata sampel

M = nilai tengah dari setiap kelas/kelompokf = frekuensi dari tiap kelasn = jumlah observasi dalam sampel

12/09/2012E. L. Pardede

22

Standar Deviasi/Simpangan Baku dari Data Berkelompok

di mana: s standar deviasi sampelM = nilai tengah dari setiap kelas/kelompokf = frekuensi dari tiap kelasn = jumlah observasi dalam sampel

= rata-rata sampel

12/09/2012E. L. Pardede

23

Median dari Data Berkelompok

di mana: Md median sampelL = batas bawah/tepi kelas lokasi mediann = jumlah observasi dalam sampelCf = frekuensi kumulatif sebelum kelas lokasi medianf = frekuensi dari tiap kelasi = besarnya interval kelas

12/09/2012E. L. Pardede

24

Modus dari Data Berkelompok

di mana: Mo modus sampelL = batas bawah/tepi kelas lokasi modusd1 = selisih frekuensi kelas lokasi modus dengan

frekuensi kelas sebelumnyad2 = selisih frekuensi kelas lokasi modus dengan

frekuensi kelas sesudahnyai = besarnya interval kelas

12/09/2012E. L. Pardede

25

Teorema Chebyshev• Teorema Chebyshev:

Untuk suatu kelompok data (sampel/populasi), proporsi nilai-nilai yang berada dalam standar deviasi dari rata-rata hitung k sekurang-kurangnya 1-1/k2, di mana k merupakan konstanta bernilai > 1.

• Implikasinya: 75% atau ¾ data berada pada kisaran ± 2s, 89,9% data berada pada kisaran ± 3s, dan 96% data berada pada kisaran ± 5s.

12/09/2012 E. L. Pardede

E. L. Pardede 26

Teorema Chebyshev: ContohNilai rata-rata hitung harga saham ( ) Rp. 490,7 dengan standar deviasi (s) Rp. 144,7. Berapa jumlah perusahaan dengan harga saham berkisar Rp. 201,3 –Rp. 780,1?

(210,3; 780,1) = 490,7 ± 2 x 144,7(210,3; 780,1) = ± 2s, berarti k = 2Dengan rumus 1-1/k2 = 1-1/22 = 1-1/4=3/4

(75%)

12/09/2012

27

Hukum Empirik Distribusi Simetrik

12/09/2012 E. L. Pardede

E. L. Pardede 28

Ukuran Kecondongan (Skewness)• Selain ukuran sentral (rata-rata, median, dan modus)

dan ukuran persebaran (range, varians, standar deviasi), karakteristik lain dari data adalah bentuknya.

• Berdasarkan pengamatan, ditemukan ada empat bentuk kecondongan data yang umum: – Simetris (symmetric)– Condong positif (positively skewed) – Condong negatif (negatively skewed) – Bimodal.

12/09/2012

E. L. Pardede 29

Bentuk-bentuk Kecondongan Data

12/09/2012

30

Rumus Ukuran Kecondongan• Nilai koefisien kecondongan

(skewness atau sk): -3 sk 3.– Nilai sk yang mendekati -3,

misalnya -2,57: kecondongan negatif yang besar

– Nilai sk 1,63: kecondongan positif yang sedang

– Nilai sk 0, yang muncul jika rata-rata dan median sama: distribusi simetris dan tidak terdapat kecondongan.

12/09/2012E. L. Pardede

Pearson’s coefficient of skewness

E. L. Pardede 31

Tugas: Ukuran Sentral & Persebaran

1. Berdasarkan data 50 Lansia dari IFLS 2007: a) Hitung rata-rata, median, dan modus usia untuk

seluruh sampel dan masing-masing untuk lansia laki-laki dan lansia perempuan!

b) Hitung jangkauan, varians, dan standar deviasi usia lansia laki-laki dan lansia perempuan! Apa yang dapat Anda simpulkand dari hasilnya?

c) Sampel mana yang persebaran usianya paling mendekati simetris? (Hitung kecondongannya!)

12/09/2012

E. L. Pardede 32

Tugas: Ukuran Sentral & Persebaran

2. Pilih sampel acak 3 kali (=3 sampel) dari populasi tinggi badan mahasiswa S2KK BKKBN/Reguler (5 orang dari 16 orang).

a) Hitung standar deviasi ketiga sampel tersebut! b) Apakah terbukti perlunya faktor koreksi (n-1)

untuk standar deviasi sampel (s) agar lebih mendekati standar deviasi populasi ()?

12/09/2012

E. L. Pardede 33

Tugas: Ukuran Sentral & Persebaran

3. Kelompokkanlah data Lansia dalam 5 tahunan (60-64, 65-69, dst.).

a) Hitung rata-rata, median, modus, varians, dan standar deviasi data tersebut dengan metode untuk data berkelompok!

b) Bandingkan hasilnya dengan hasil dalam tugas no. 1. Apakah rumus data terkelompok tersebut merupakan aproksimasi yang baik untuk ukuran sentral dan persebaran?

12/09/2012