Bab III. Pembahasan G09gan 4 684874+54

5

TK S . Untuk kondisi ini opsi tidak mempunyai nilai pada saat jatuh tempo. Jadi nilai opsi call pada saat jatuh tempo dapat dituliskan sebagai suatu payoff atau penerimaan bagi pemegang kontrak sebagai berikut:

max( , 0)Tc S K= . (8)

Gambar 1 Diagram payoff opsi call tipe

Eropa

Begitu juga pada waktu opsi put jatuh tempo, apabila TS K< maka pemegang kontrak opsi akan mengeksekusi kontraknya karena investor memperoleh keuntungan sebesar TK S . Sebaliknya apabila TS K pada saat jatuh tempo, maka pemegang kontrak opsi tidak akan mengeksekusi kontraknya, karena investor akan memperoleh kerugian sebesar TS K . Untuk kondisi ini opsi tidak mempunyai nilai pada saat jatuh tempo. Jadi nilai opsi put pada saat jatuh tempo dapat dituliskan sebagai suatu payoff atau penerimaan bagi pemegang kontrak sebagai berikut:

max( , 0)Tp K S= . (9)

Gambar 2 Diagram payoff opsi put tipe

Eropa 2.9 Greeks

Salah satu kegunaan formula Black-Scholes ini adalah sebagai alat untuk mengendalikan risiko (hedging) dalam suatu opsi pada portfolio. Dalam setiap mengukur nilai pasar dari setiap portofolio dipengaruhi oleh perubahan-perubahan dari beberapa variabel seperti harga yang mendasari, volatilitas, tingkat suku bunga dan waktu.

Teknik mengendalikan risiko ini secara umum dikatakan sebagai sensitivitas nilai opsi (Greeks). Greeks ini terdiri atas delta, gamma, theta, vega, dan rho. Delta adalah tingkat perubahan rata-rata nilai opsi terhadap harga saham. Gamma adalah tingkat perubahan delta untuk suatu nilai opsi terhadap harga saham. Theta adalah tingkat perubahan rata-rata nilai opsi terhadap waktu. Vega adalah tingkat perubahan rata-rata nilai opsi terhadap volatilitas. Sedangkan Rho adalah tingkat perubahan rata-rata nilai opsi terhadap suku bunga. Dalam karya ilmiah ini hanya akan dibahas delta.

III. PEMBAHASAN

Dalam bab ini akan dijelaskan model Black-Scholes yang digunakan untuk menentukan rasio lindung nilai (hedge ratio) pada opsi tipe Eropa. Pada bagian pertama akan diberikan komponen-komponen yang dimiliki oleh nilai opsi tipe Eropa.

Pada bagian kedua diberikan model Black-Scholes yang digunakan untuk menghitung nilai opsi call dan opsi put tipe Eropa.

Selain untuk menghitung nilai opsi tipe Eropa, model Black-Scholes juga digunakan sebagai alat untuk mengendalikan risiko (hedging). Pada bagian ketiga akan dijelaskan salah satu teknik untuk mengendalikan risiko, yaitu dengan rasio lindung nilai berupa delta hedging. Sedangkan pada bagian terakhir akan diberikan ilustrasi dari opsi.

Harga ( )Strike K

Harga Saham ( )

TS

Harga ( )Strike K

Harga Saham ( )

TS

Payoff Opsi ( )Put p

Payoff Opsi ( )Call c

6

3.1 Opsi Tipe Eropa Opsi tipe Eropa hanya dapat dieksekusi

pada tanggal jatuh tempo dari opsi. Nilai opsi tipe Eropa mempunyai tiga komponen:

1. Nilai intrinsik 2. Nilai waktu uang pada harga eksekusi

(harga strike) 3. Nilai asuransi Komponen pertama adalah suatu nilai

nyata dari premi sebuah opsi, yang merupakan selisih antara harga strike dan harga saham saat ini. Nilai intrinsik pada opsi call adalah harga saham saat ini dikurangi harga strike, sedangkan nilai intrinsik pada opsi put adalah harga strike dikurangi harga saham saat ini. Suatu opsi yang mempunyai nilai intrinsik positif disebut in-the-money, sedangkan jika selisihnya adalah negatif maka nilai intrinsik dianggap nol dan ini disebut out-of-the-money.

Komponen kedua adalah harga yang bersedia dibayar oleh pembeli opsi dengan didasarkan pada prediksi pembeli atas kemungkinan dari pergerakan harga aset acuan ke arah yang menguntungkan pembeli opsi (suatu nilai yang melebihi harga kesepakatan). Nilai waktu ini berhubungan langsung dengan sisa waktu yang dimiliki oleh suatu opsi sebelum tanggal jatuh temponya.

Komponen ketiga adalah yang paling utama dalam membedakan suatu opsi dari aset keuangan lainnya dan mengukur keuntungan atau kerugian dari posisi opsi, dengan kerugian yang terbatas pada harga opsi.

3.2Model Black-Scholes untuk Opsi Tipe

Eropa Untuk menghitung opsi tipe Eropa dapat

digunakan model Black-Scholes sehingga diperoleh nilai dari opsi call dan opsi put. Model Black-Scholes untuk opsi call tipe Eropa pada saham yang tidak membayarkan dividen diberikan dalam teorema berikut:

Teorema 3.1

Model Black-Scholes untuk opsi call tipe Eropa diberikan oleh:

1 20 ( ) ( )

rTc S N d Ke N d= (10)

dengan

20

12ln( ) ( )S K r T

dT

+ += (11)

dan

20

22ln( ) ( )S K r T

dT

+ = (12)

dengan

c = harga opsi call tipe Eropa 0S = harga saham saat ini

K = harga strike r = tingkat suku bunga bebas risiko T = jangka waktu berlakunya opsi = volatilitas dari harga saham

( ) N x = fungsi distribusi kumulatif normal

baku, dengan 1 2,x d d=

21

212

( )yxN x e dy

= . (13)

[Hull, 1997] Bukti: lihat Lampiran 5.

Dari definisi dapat dilihat bahwa opsi call dan opsi put mempunyai perilaku yang bertolak belakang. Opsi call dan opsi put dapat dikombinasikan dalam suatu bentuk korelasinya yang sangat dekat. Hal ini diperlihatkan dalam teorema berikut. Teorema 3.2 (Put-call parity)

Konsep harga opsi yang menghubungkan nilai dari opsi call dan opsi put dinyatakan sebagai put-call parity dan memenuhi persamaan:

0rTS p c Ke+ = . (14)


Dengan menggunakan konsep put-call parity, jika nilai opsi call telah diketahui maka nilai opsi put juga dapat ditentukan. Sehingga diperoleh teorema berikut. Teorema 3.3

Model Black-Scholes untuk opsi put tipe Eropa diberikan oleh:

2 10( ) ( )rTp Ke N d S N d= (15)

dengan 1d dan 2d seperti pada persamaan (11) dan (12).


7

3.3Pengertian Rasio Lindung Nilai (Hedge Ratio) atau Delta Rasio lindung nilai (delta) adalah tingkat

perubahan rata-rata nilai opsi terhadap harga saham.

Berdasarkan definisi dan dengan menggunakan model Black-Scholes, didapat rasio lindung nilai (delta) sebagai berikut:

0

VS =

dengan V adalah total nilai opsi dalam portofolio, yaitu jumlah semua nilai opsi dalam portofolio. Rasio lindung nilai (delta) berhubungan dengan analisis Black-Scholes. Black-Scholes menunjukkan bahwa ada kemungkinan membuat portofolio yang bebas risiko yang terdiri atas opsi dan saham.

Rasio lindung nilai (delta) untuk opsi call tipe Eropa didapat dengan menggunakan nilai opsi call tipe Eropa dalam teorema 3.1, sehingga diperoleh teorema berikut. Teorema 3.4

Rasio lindung nilai (delta) untuk opsi call tipe Eropa diberikan oleh:

1( )c N d = (16)

dengan 1( )N d adalah fungsi distribusi

kumulatif normal baku dengan 1d seperti persamaan (10), yaitu:

2

10

ln( / ) ( / 2)S K r Td

T

+ += .


Rasio lindung nilai (delta) untuk opsi call nilainya selalu positif, yaitu 0 1c . Ini dikarenakan peningkatan harga aset underlying akan mempengaruhi peningkatan harga opsi call, sehingga dapat dimengerti bahwa meningkatnya aset underlying akan meningkatkan peluang nilai payoff positif.

Gambar 3 Diagram delta untuk opsi call tipe

Eropa

Dari diagram dapat dilihat bahwa semakin meningkatnya harga saham akan meningkatkan nilai dari delta opsi call.

Sedangkan rasio lindung nilai (delta) untuk opsi put tipe Eropa didapat dengan menggunakan teorema 3.2, sehingga diperoleh teorema berikut. Teorema 3.5

Rasio lindung nilai (delta) untuk opsi put tipe Eropa diberikan oleh:

1( ) 1p N d =

dengan 1( )N d adalah fungsi distribusi

kumulatif normal baku dengan 1d seperti persamaan (10), yaitu:

2

10

ln( / ) ( / 2)S K r Td

T

+ += .


Rasio lindung nilai (delta) untuk opsi put nilainya selalu negatif, yaitu 1 0p .

1

0Harga ( )Strike K

Harga Saham ( )

TS

Delta Opsi ( )cCall

8

Gambar 4 Diagram delta untuk opsi put tipe

Eropa

Dari diagram dapat dilihat bahwa semakin meningkatnya harga saham akan meningkatkan nilai dari delta opsi put. 3.4 Ilustrasi dari Model Black-Scholes

Untuk memberikan gambaran yang lebih jelas mengenai opsi call tipe Eropa, put-call parity, opsi put tipe Eropa, delta untuk opsi call tipe Eropa dan delta untuk opsi put tipe Eropa, perhatikan ilustrasi berikut:

1. Opsi call tipe Eropa

Misalkan pada tanggal 12 Pebruari 2009 investor A dan B membuat perjanjian kontrak opsi call. Dalam kontrak disebutkan bahwa A mempunyai hak untuk membeli saham dari B seharga $40 dengan masa berlaku kontrak tersebut 6 bulan, yaitu jatuh tempo pada 12 Agustus 2009 dengan harga saham sebesar $42 . Misalkan pula suku bunga 10% dan volatilitas dari harga saham 20%. Dari ilustrasi tersebut, diperoleh nilai-nilai parameter sebagai berikut:

042S =

40K =

0.1r =

0.2 =

0.5T =

2

10.2 0.5

ln(42 / 40) (0.1 0.2 / 2)0.50.7693d

+ += =

2 1 0.6278d d T= = sehingga

(0.7693) 0.7792N =

(0.6278) 0.7350N = \ dan

0.1 0.540 38.049rTKe e = = . Maka harga opsi call tipe Eropa yang dihitung menggunakan persamaan (10) menjadi:

0 1 2( ) ( )

(42 0.7792) (38.049 0.7350) 4.76.

rTc S N d Ke N d= = =

0 20 40 60 80 100ST

10

20

30

40

50Payoff Opsi Call

Gambar 5 Diagram payoff opsi call tipe Eropa untuk 40K = .

Dari diagram dapat dilihat bahwa pada

TS K> maka pemegang kontrak opsi akan mengeksekusi kontraknya karena investor memperoleh keuntungan sebesar TS K . 2. Put-call parity

Dari ilustrasi pada opsi call tipe Eropa, harga opsi put tipe Eropa yang dihitung dengan menggunakan persamaan (14) put-call parity akan menjadi sebesar:

0

4.76 42 38.049 0.81.

rTp c S Ke= += +=

Harga Saham ( )

TS

-1

0Delta Opsi ( )pPut

Harga ( )Strike K

9

3. Opsi put tipe Eropa Misalkan pada tanggal 12 Pebruari 2009

investor A dan B membuat perjanjian kontrak opsi put. Dalam kontrak disebutkan bahwa A mempunyai hak untuk membeli saham dari B seharga $40 dengan masa berlaku kontrak tersebut 6 bulan, yaitu jatuh tempo pada 12 Agustus 2009 dengan harga saham sebesar $42 . Misalkan pula suku bunga 10% dan volatilitas dari harga saham 20%. Dari ilustrasi tersebut, diperoleh nilai-nilai parameter sebagai berikut:

0 42S = 40K =

0.1r = 0.2 = 0.5T =

2

10.5

ln(42 / 40) (0.1 0.2 / 2)0.50.7693

0.2d

+ += =

2 1 0.6278d d T= = Sehingga

( 0.6278) 0.2650N =

( 0.7693) 0.2208N = dan

0.1 0.540 38.049rTKe e = = . Maka harga opsi put tipe Eropa yang dihitung menggunakan persamaan (15) menjadi:

2 10( ) ( )

(38.049 0.2650) (42 0.2208) 0.81.

rTp Ke N d S N d= = =

0 20 40 60 80 100ST

10

20

30

40

50Payoff Opsi Put

Gambar 6 Diagram payoff opsi put tipe Eropa 40K = .

Dari diagram dapat dilihat bahwa pada

TS K maka pemegang kontrak opsi tidak akan mengeksekusi kontraknya, karena investor akan memperoleh kerugian sebesar

TS K . Terlihat bahwa hasil yang diperoleh dari

kedua rumus (persamaan (14) put-call parity dan persamaan (15)) adalah sama.

4. Delta untuk opsi call tipe Eropa

Misalkan diketahui harga saham adalah $42 dan nilai opsi call adalah $4.76 . Misalkan pula pada saat 6 bulant = harga saham naik menjadi $50 atau harga saham turun menjadi $35. Asumsikan harga strike sebesar $40 . Suku bunga 10% dan volatilitas dari harga saham 20%, maka delta untuk opsi call tipe Eropa adalah

1( ) 0.7792c N d = = .

0 20 40 60 80 100ST

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0Dc

Gambar 7 Diagram delta untuk opsi call tipe Eropa 40K = .

10

Dari diagram dapat dilihat bahwa semakin meningkatnya harga saham akan meningkatkan nilai dari delta opsi call. Misalkan investor tersebut menjual 100 opsi call. Misalkan salah satu dari skenario berikut terjadi, yaitu harga saham saat jatuh tempo menjadi 50 atau 35 . a. Jika 50TS = . Kasus 1: Investor melakukan delta

hedging, yaitu membeli 0.7792(100) 78 saham= . Saat 0.t =

100(4.76) 78(42)

2800,

Cash flow = =

yang didanai dari pinjaman bank dengan suku bunga 10% .

Saat 6 bulan.t = dari opsi

(50 40) 100 1000

Cash flow

= =

dari saham

78(50) 3900

Cash flow

= =

0.5

dari utang

2800(1.1) 2937

Cash flow

= =

Total 37cash flow = . Kasus 2: Investor tidak

melakukan delta hedging. Saat 0.t =

100(4.76)

476,

Cash flow ==

ditabungkan dengan suku bunga10% .


(50 40) 100 1000

Cash flow

= =

dari saham 0Cash flow = 0.5

dari tabungan

476(1.1) 499

Cash flow

= =

Total 501.cash flow = b. Jika 35TS = . Kasus 1: Investor melakukan delta

hedging, yaitu membeli 0.7792(100) 78 saham= .

Saat 0.t = 100(4.76) 78(42)

2800,

Cash flow = =

yang didanai dari pinjaman bank dengan suku bunga 10% .

Saat 6 bulan.t = dari opsi 0Cash flow = dari saham

78(35) 2730

Cash flow

= =

0.5

dari utang

2800(1.1) 2937

Cash flow

= =

Total 207cash flow = . Kasus 2: Investor tidak melakukan

delta hedging. Saat 0.t =

100(4.76)

476,

Cash flow ==

ditabungkan dengan suku bunga 10% .

Saat 6 bulan.t = dari opsi 0Cash flow = dari saham 0Cash flow = 0.5

dari tabungan

476(1.1) 499

Cash flow

= =

Total 499.cash flow = Dari hasil terlihat bahwa jika 50TS = ,

lebih baik investor melakukan delta hedging. Sedangkan jika 35TS = , lebih baik investor tidak melakukan delta hedging. 5. Delta untuk opsi put tipe Eropa

Misalkan diketahui harga saham adalah $42 dan nilai opsi put adalah $0.81. Misalkan pula pada saat 6 bulant = harga saham naik menjadi $50 atau harga saham turun menjadi $35. Asumsikan harga strike sebesar $40 . Suku bunga 10% dan volatilitas dari harga saham 20%, maka delta untuk opsi put tipe Eropa adalah

1( ) 1 0.2208p N d = = .

11

20 40 60 80 100ST

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

Dp

Gambar 8 Diagram delta untuk opsi put tipe Eropa 40K = .

Dari diagram dapat dilihat bahwa semakin

meningkatnya harga saham akan meningkatkan nilai dari delta opsi put.

Misalkan investor tersebut menjual 100 opsi put. Misalkan salah satu dari skenario berikut terjadi, yaitu harga saham saat jatuh tempo menjadi 50 atau 35 .a. Jika 50TS = . Kasus 1: Investor melakukan delta

hedging, yaitu menjual (short sell) 0.2208(100) 22 saham = .

Saat 0.t = 100(0.81) ( 22)(42)

1005,

Cash flow = =


Saat 6 bulan.t = dari opsi 0Cash flow = dari saham

22(50) 1100

Cash flow

= =

0.5

dari tabungan

1005(1.1) 1054

Cash flow

= =



100(0.81) 81,Cash flow = = ditabungkan dengan suku bunga 10% .

Saat 6 bulan.t = dari opsi 0Cash flow = dari saham 0Cash flow =

0.5

dari tabungan

81(1.1) 85

Cash flow

= =

Total 85.cash flow = b. Jika 35TS = . Kasus 1: Investor melakukan delta

hedging, yaitu menjual (short sell) 0.2208(100) 22 saham = .

Saat 0.t = 100(0.81) ( 22)(42)

1005

Cash flow = =



(40 35) 100 500

Cash flow

= =

dari saham

22(35) 770

Cash flow

= =

0.5

dari tabungan

1005(1.1) 1054

Cash flow

= =



100(0.81)

81

Cash flow ==



(40 35) 100 500

Cash flow

= =

dari saham 0Cash flow = 0.5

dari tabungan

81(1.1) 85

Cash flow

= =

Total 585.cash flow = Dari hasil terlihat bahwa jika 50TS = ,

lebih baik investor tidak melakukan delta hedging. Sedangkan jika 35TS = , lebih baik investor melakukan delta hedging.

12

6. Portofolio Replikasi

Misalkan diberikan data pergerakan harga saham selama 52 minggu, seperti pada gambar berikut ini:

Gambar 9 Harga saham vs waktu Dari harga saham di atas, diperoleh portofolio replikasi seperti pada Gambar 10 berikut: Tabel portofolio replikasi dapat dilihat pada Lampiran 10.

Gambar 10 Delta hedging harga opsi vs nilai portofolio

Dari gambar tersebut, dapat dilihat bahwa dengan menggunakan strategi delta hedging diperoleh portofolio yang mereplikasi harga

opsi dengan cukup baik, sehingga risiko dapat dinormalkan.

IV. SIMPULAN DAN SARAN

Selain untuk menentukan nilai opsi, model Black-Scholes juga dapat digunakan untuk

menentukan rasio lindung nilai (delta) untuk opsi tipe Eropa.

Bab III. Pembahasan G09gan 4 684874+54

Documents

Transcript of Bab III. Pembahasan G09gan 4 684874+54