BAB II

BAB II

POLA, BARISAN, DAN DERET BILANGAN

STANDAR KOMPETENSI :6. Memahami barisan dan deret bilangan serta menggunakannya dalam pemecahan masalah.

KOMPETENSI DASAR :

6.1 Menentukan pola barisan bilangan sederhana

6.2 Menentukan suku ke-n barisan aritmetika dan barisan geometri

6.3 Menentukan jumlah n suku pertama deret aritmetika dan deret geometri

6.4 Memecahkan masalah yang berkaitan dengan barisan dan deret

RINGKASAN MATERIA. Jenis dan Bentuk Pola Bilangan1. Pola bilangan ganjil

1357

2. Pola bilangan genap

2468

3. Pola bilangan persegi

14916

4. Pola bilangan persegi panjang

261220

5. Pola bilangan segitiga

13610

6. Pola bilangan segitiga Pascal

1

1

1

1

2

1

1

3

3

1

1

4

6

4

1

1

5

10

10

5

1 dan seterusnya

Kegunaan segitiga Pascal salah stunya adalah untuk menentukan koefisien pada perpangkatan bentuk aljabar suku dua, misalnya :

(a + b )2 = a2 + 2ab + b2(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3Dan seterusnyaB. Barisan BilanganBarisan adalah urutan bilangan-bilangan yang disusun menurut aturan tertentu.Tiap bilangan dalam barisan tersebut disebut suku barisan (U) dan urutannya ditunjukkan dengan pemetaan pada bilangan asli.Contoh :

Bilangan asli:1234n

Barisan:0246

Pada barisan bilangan di atas :

Suku kesatu ditulis U1 = 0

Suku kedua ditulis U2 = 2

Suku ketiga ditulis U3 = 4

Suku keempat ditulis U4 = 6

Suku ke-n ditulis Un

Beberapa contoh barisan bilangan :

a. 1, 3, 5, 7, 9, aturannya adalah bilangan berikutnya diperoleh dengan menambah 2 bilangan sebelumnya.

b. 22, 19, 16, 13, 10, aturannya adalah bilangan berikutnya diperoleh dengan mengurangi 3 bilangan berikutnya.

c. 32, 16, 8, 4, aturannya adalah bilangan berikutnya diperoleh dengan membagi dua bilangan sebelumnya.d. 1, 3, 4, 7, 11, aturannya adalah bilangan berikutnya diperoleh dengan menjumlahkan dua bilangan sebelumnya.

Latihan :

Pemahaman Konsep1. Pada pola bilangan segitiga Pascal :

a. enam bilangan pertama baris ke-5 adalah .

b. empat bilangan pertama diagonal ke-3 adalah

2. Isilah titik-titik berikut, berdasarkan pola bilangan segitiga Pascal :

a. (p + q)2 = p2 + pq + q2

b. (a + b)5 = a5 + a4b + a3b2 + a2b3 + ab4 + b5

3. Tentukan aturan dari barisan bilangan berikut :

a. 2, 6, 18, 54, aturannya adalah .b. 3, 8, 13, 18, aturannya adalah .

c. 99, 92, 85, 78, aturannya adalah .Penalaran dan Komunikasi

1. Perhatikan gambar di bawah ini !

a. Tulislah barisan bilangan yang menyatakan banyaknya segitiga sama sisi dengan sisi 1 satuan pada tiap gambar !

.

b. Teruskanlah barisan tersebut dua bilangan berikutnya !

.

2. Lengkapilah titik-titik pada barisan bilangan berikut :

a. 13, 22, , 40, 49

b. 14, 6, , , -18

c. 1, 9, , 729,

d. 2, , 26, 38, 50

Pemecahan Masalah1. Tentukan nilai p pada tiap barisan bilangan berikut :

a. 2, 6, p, 14,

b. 2, 10, 50, 2p,

c. 56, 28, 14, (6p + 1),

d. -2, 18, -162, (4p 2),

2. Dengan memperhatikan pola bilangan segitiga Pascal, jabarkan perpangkatan berikut :

a. (a + 1)4 = .b. (p ( 5)3 =

c. (2c ( d)6 =

C. Menentukan dan menghitung suku ke-n barisan bilangan1. Barisan Aritmetika

Barisan aritmetika adalah barisan bilangan yang suku berikutnya didapat dengan menambahkan beda pada suku sebelumnya.

Beda (b) adalah selisih dari dua suku berurutan.

b = U2 U1 = U3 U2 = U4 U3 = Un Un - 1

Misalnya U1 = a, beda = b, maka barisan bilangan aritmetika adalah :a, (a + b), (a + 2b), (a + 3b), , Un

Dimana rumus suku ke-n adalah : Un = a + (n 1)b

Contoh 1:

Diketahui barisan 4, 10, 16, 22,

Tentukan :

a. beda

b. rumus suku ke-n

c. suku ke-20

d. nilai n, jika Un = 100

Jawab :

a. b = 10 4 = 6Jadi beda barisan tersebut adalah 6

b. Un = a + (n 1)b

= 4 + (n 1)6

= 4 + 6n 6

= 6n 2

Jadi rumus suku ke-n barisan bilangan tersebut adalah Un = 6n 2c. U20 = 6(20) 2

= 120 2

= 118

Jadi suku ke-20 barisan bilangan tersebut adalah 118

d. Un = 100

6n 2 = 100

6n= 100 + 2

6n= 102

n=

n = 17Jadi nilai n = 17Contoh 2:

Diketahui barisan aritmetika dengan U3 = 15 dan U7 = 31.

Tentukan :

a. beda

b. suku pertama

c. rumus suku ke-nJawab.

a. U3 = 15

a + (3 1)b = 15

a + 2b = 15 .(1)

U7 = 31

a + (7 1)b = 31

a + 6b = 31 .(2)

Dari persamaan (1) dan (2), eliminasi a

a + 6b = 31

a + 2b = 15

4b = 16

b = 4

Jadi beda barisan tersebut adalah 4

b. Substitusi b = 4 ke persamaan (1)

a + 2b = 15

a + 2(4) = 15

a + 8 = 15

a= 15 8

a = 7

Jadi suku pertama barisan tersebut adalah 7

c. Un = a + (n 1)b

= 7 + (n 1)4

= 7 + 4n 4

= 4n + 3

Jadi rumus suku ke-n barisan tersebut adalah Un = 4n + 3Contoh 3 :

Tentukan empat suku pertama dari barisan dengan rumus Un = 3n 1.

Jawab.

U1 = 3(1) 1= 3 1= 2

U2= 3(2) 1= 6 1 = 5

U3= 3(3) 1= 9 1= 8

U4= 3(4) 1= 12 1= 11Jadi empat suku pertama barisan bilangan tersebut adalah 2, 5, 8, 11.

2. Barisan Geometri

Barisan geometri adalah barisan bilangan yang suku berikutnya didapat dengan mengalikan rasio pada suku sebelumnya.

Rasio (r) adalah hasil bagi dari dua suku berurutan.

r = = =

Misalnya U1 = a, rasio = r, maka barisan bilangan geometri adalah :

a, (a r), (a r2), (a r3), , Un

Dimana rumus suku ke-n adalah : Un = a rn-1Contoh 1.

Diketahui barisan 2, 6, 18, 54,

Tentukan :

a. rasio

b. rumus suku ke-n

c. suku ke-6d. nilai n, jika Un = 39.366Jawab.

a. r = = 3

Jadi rasio barisan tersebut adalah 3

b. Un = 2 rn-1 = 2 3n-1

Jadi rumus suku ke-n barisan tersebut adalah Un = 2 3n-1

c. U6 = 2 36-1 = 2 35

= 2 243

= 486

Jadi nilai suku ke-6 barisan tersebut adalah 486.

d. Un = 39.366

2 3n-1 = 39.366

3n-1 =

3n-1 = 19.683

3n-1 = 39

n 1= 9

n= 9 + 1

n= 10

Jadi nilai n = 10Contoh 2:

Diketahui barisan geometri dengan U2 = 9 dan U4 = 81.

Tentukan :

a. rasio

b. suku pertama

c. rumus suku ke-n

Jawab.

a. U4 = 81a r4-1= 81a r3= 81 (1)

U2 = 9

a r2-1= 9

a r1= 9 (2)

Dengan membandingkan persamaan (1) dan (2) diperoleh :

r2 = 9

r =

r = 3

Jadi rasio barisan tersebut adalah 3

b. Substitusi r = 3 ke persamaan (2) diperoleh

a r1= 9a 31= 9

a 3= 9

a=

a= 3

Jadi suku pertama barisan tersebut adalah 3

c. Un = a rn-1= 3 3n-1

= 3n-1+1

= 3n

Jadi rumus suku ke-n barisan tersebut adalah Un = 3n.Latihan :Pemahaman Konsep

1. Tuliskanlah lima suku pertama dari barisan yang rumus umumnya sebagai berikut :a. Un = 2n 3

b. Un = (n + 1)2c. Un =

d. Un = 76 4n

2. Tentukan rumus suku ke-n dari setiap barisan berikut :

a. -1, 4, 9, 14,

b. 2, 4, 6, 8,

c. 1, 4, 9, 16,

d. 9, 27, 81, 243,

3. Diketahui barisan aritmetika dengan U3 = 4 dan U8 = 19.Tentukan :

a. beda

b. rumus suku ke-n

c. nilai n jika Un = 314. Diketahui barisan geometri dengan U2 = 48 dan U4 = 12.

Tentukan :

a. rasio

b. suku pertama

c. rumus suku ke-n

Penalaran dan Komunikasi

1. Tentukan suku ke-305 dari barisan bilangan 145, 149, 153, 157, 161, ..2. Diketahui barisan geometri dengan U3 = 6 dan U6 = 48.

a. rasio

b. suku pertama

c. rumus suku ke-n

3. Diketahui barisan bilangan 1, 2, 5, 10, 17, p, q. tentukan nilai p dan q.

4. Tentukan rumus suku ke-n barisan bilangan berikut :

a. 1, 3, 6, 10,

b. 1, 8, 27, 64, .

c. 1,

5. Di dalam suatu ruangan terdapat 12 kursi pada baris pertama, 15 kursi pada baris kedua, 18 kursi pada baris ketiga dan seterusnya. Tentukan :

a. banyaknya kursi pada baris ke-15.b. pada baris keberapakah terdapat 72 kursi.

Pemecahan Masalah

1. Diketahui tiga bilangan (3x + 2), (5x 8), dan ( + 12) membentuk barisan aritmetika. Tentukan nilai x.

2. Andi berlari lurus dengan kecepatan tetap 4 km/jam selama sejam pertama. Pada jam kedua, kecepatannya berkurang menjadi dari kecepatan pada jam pertama. Setiap kecepatan tiap jamnya berkurang dari kecepatan sebelumnya. Berapakah jarak yang telah ditempuh Andi selama 5 jam.

D. Menentukan jumlah n suku pertama barisan bilangan

1. Deret Aritmetika

Deret aritmetika adalah jumlah suku-suku yang berurutan dari suatu barisan aritmetika.

U1 + U2 + U3 + .

Deret Aritmetika dinamakan juga deret hitung.

a. Deret Aritmetika Naik

Suatu deret aritmetika dikatakan naik, jika beda dari deret aritmetika itu positif (b > 0).

Contoh :

1) 1 + 3 + 5 + 7 + .

2) 4 + 7 + 10 + 13 +

b. Deret Aritmetika Turun

Suatu deret aritmetika dikatakan turun, jika beda dari deret aritmetika itu negatif (b < 0).

Contoh :

1) 8 + 6 + 4 + 2 + .

2) 40 + 35 + 30 + 25 +

Rumus jumlah n suku pertama (Sn) deret aritemetika adalah :

Sn = n(a + Un)atauSn = n [2a + (n-1)b]

Dimana :

n= banyaknya suku

a= U1 = suku pertama

b= beda

Un= suku ke-n

Sn= jumlah n suku pertama

Contoh 1.

Diketahui deret aritmetika 3 + 10 + 17 + Tentuka jumlah 20 suku petama deret tersebut.

Jawab.

a = 3b = 10 3 = 7S20 = 20 [2 20 + (20 ( 1)7]

= 10 [40 + (19)7]

= 10 [40 + 133]

= 10 [ 173 ]

= 1.730

Contoh 2.

Diketahui deret aritmetika yang mempunyai suku pertama 4 dan beda 3, tentukan a. rumus suku ke-n

b. rumus Snc. nilai S50

Jawab.

a. Un = a + (n 1)b

= 4 + (n 1)3

= 4 + 3n 3

= 3n + 1

Jadi rumus suku ke-n deret tersebut adalah Un = 3n + 1b. Sn= n(a + Un)

=n(4 + 3n + 1)

= n(3n + 5)

Jadi rumus jumlah n suku pertama deret tersebut adalah Sn = n(3n + 5)

c. S50= n(3n + 5)

= 50 (3 50 + 5)

= 25 (150 + 5)

= 25 (155)

= 3.875Jadi jumlah 50 suku pertama deret tersebut adalah 3.875.2. Deret Geometri

Deret geometri adalah jumlah suku-suku yang berurutan dari suatu barisan geometri.

U1 + U2 + U3 + .

Deret Geomatri dinamakan juga deret ukur.

a. Deret Geometri Naik

Suatu deret geometri dikatakan naik, jika suku pertama (a) dan rasio (r) dari deret geometri tersebut memenuhi syarat a > 0 dan r > 1.

Contoh :

1) 1 + 3 + 9 + 27 + .

2) 2 + 4 + 8 + 16 +

b. Deret Aritmetika Turun

Suatu deret geometri dikatakan turun, jika suku pertama (a) dan rasio (r) dari deret geometri tersebut memenuhi syarat a > 0 dan 0 < r < 1.Contoh :

1) 16 + 8 + 4 + 2 + .

2) 3 + + + +

Rumus jumlah n suku pertama (Sn) deret geometri adalah :

Sn =

atauSn = dengan r 1Dimana :

n= banyaknya suku

a= U1 = suku pertama

r= rasioSn= jumlah n suku pertama

Contoh 1.

Diketahui deret geometri 1 + 3 + 9 +

Tentuka jumlah 8 suku petama deret tersebut.

Jawab.

a = 1

r = = 3S8 =

=

=

=

= 3.280Jadi jumlah 8 suku pertama deret tersebut adalah 3.280.Contoh 2.

Diketahui deret geometri yang mempunyai suku pertama 2, rasio (2 dan Sn = -42. Tentukan banyaknya suku dari deret geometri tersebut.Jawab.

a = 2r = (2

Sn = -42

Sn =

(42=

(42=

(42=

(126= 2[1 (((2)n]

(63= 1 ((2)n

((2)n= (64

((2)n = 64

((2)n = ((2)6

n= 6

Jadi banyaknya suku dari deret tersebut adalah 6.Latihan

Pemahaman Konsep

1. Tentukan jumlah 40 suku pertama deret 2 + 7 + 12 + 17 + .2. Tentukan nilai m dari deret bilangan 2 + + + .

3. Tentukan jumlah 8 suku pertama deret 1 2 + 4 (

4. Diketahui deret 729 + 243 + 81 +

Tentukan :

a. rasio

b. U8

c. S5

Penalaran dan Komunikasi

1. Di dalam suatu aula terdapat 15 kursi pada barisan pertama, 20 kursi pada barisan kedua, 25 kursi pada barisan ketiga, dan seterusnya. Jika dalam aula tersebut terdapat 15 baris, maka tentukan banyaknya kursi pada aula tersebut.

2. Hitunglah bilangan asli di antara 1 sampai 300 yang habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 6.

3. Tinggi tumpukan dua gelas 15 cm dan tinggi tiga tumpukan gelas yang sama adalah 18 cm. Jika gelas tersebut ditumpuk hingga 20 buah, berapakah tingginya ?Pemecahan Masalah

1. Di kelas 9 terdapat 100 siswa yang saling berjabat tangan untuk berhalal-bihalal. Berapakah banyaknya seluruh jabat tangan yang terjadi ?

2. Seorang bayi bernama Dinda pada tanggal 25 Januari 2006 memiliki berat 3.100 gram. Jika pertambahan beratnya setiap bulan merupakan suatu deret geometri dengan rasio dan pada tanggal 25 April 2006 beratnya 4.600 gram. Tentukan berat Dinda pada tanggal 25 Mei 2006.

Uji Kompetensi

Pemahaman Konsep

1. Diketahui pola titik-titik berikut :

a. Tulislah barisan bilangan yang menunjukkan banyaknya titik-titik.

b. Tentukan rumus suku ke-n untuk barisan bilangan tersebut.

c. Tentukan banyaknya titik pada pola ke-8.

2. Diketahui barisan bilangan : 1, 9, 17, 25, 33, .Tentukanlah :

a. rumus suku ke-n barisan bilangan tersebut.

b. suku ke-23.

c. nilai n jika Un = 233.

3. Diketahui deret aritmetika dengan U3 = 19 dan U6 = 37.

Tentukanlah :

a. beda dan suku pertama

b. suku ke-50

c. jumlah 50 suku pertama

4. Tentukan jumlah 10 suku pertama deret 6 + 18 + 54 + Penalaran dan Komunikasi

1. Jumlah n suku pertama suatu deret geometri mempunyai rumus Sn = (2(1 ( 2n). Hitunglah n jika Sn = 62.2. Suatu deret aritmetika diketahui S5 = 55 dan U1 = 3. Tentukan :

a. beda deret tersebut

b. suku ke-5

3. Tiga buah bilangan membentuk deret geometri. Suku pertama dan suku ke-3 adalah 6 dan 54. Tentukan suku ke-2.Pemecahan Masalah

1. Dalam suatu penyelidikan diketahui bahwa perkembangbiakan sebuah sel bakteri dua kali lipat dalam tiap menit. Jika semua ada 100 sel bakteri untuk penyelidikan, berapa banyaknya bakteri tersebut setelah 4 menit.2. Diketahui deret aritmetika dengan U1 + U3 = 38 dan U3 + U5 + U7 = 93. Tentukan suku pertama dan beda barisan itu.

dan seterusnya

dan seterusnya

dan seterusnya

dan seterusnya

dan seterusnya

PAGE 22

_1235595772.unknown

_1235990441.unknown

_1236276124.unknown

_1236277218.unknown

_1236277990.unknown

_1236278034.unknown

_1236279303.unknown

_1236278018.unknown

_1236277286.unknown

_1236276158.unknown

_1236277152.unknown

_1236276134.unknown

_1236275652.unknown

_1236275873.unknown

_1236276038.unknown

_1236275476.unknown

_1236275503.unknown

_1236275541.unknown

_1236275456.unknown

_1235989319.unknown

_1235989532.unknown

_1235990399.unknown

_1235989479.unknown

_1235988015.unknown

_1235988943.unknown

_1235596055.unknown

_1235593712.unknown

_1235594947.unknown

_1235595647.unknown

_1235594630.unknown

_1235593620.unknown

_1235593683.unknown

_1235592091.unknown